3주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

3주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설#

예제 — 표기 번역을 함께 만들기#

예제 세 개는 모두 번역이다 — 나열에서 조건제시로, 조건제시에서 나열로, 그리고 표기에서 크기로. 예제 2.1은 한 줄씩 함께 만들고, 2.2는 설계만 함께 하고, 2.3은 처음부터 혼자 한다.

예제 2.1 — 나열 → 조건제시#

문제. \(\{4, 8, 12, 16, \dots\}\)를 조건제시법으로 쓰시오.

설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지. 증명의 번역표와 같은 요령으로, 주어진 것과 만들 것을 먼저 확정한다.

주어진 것 / 만들 것

확정할 정보

출발점

나열 \(4, 8, 12, 16, \dots\)

이 나열의 규칙은 무엇인가

도착점

조건제시법 표기 하나

무대(재료 범위)와, 조건 또는 생성식

확인 13. 출발점부터. \(4, 8, 12, 16, \dots\)의 각 원소를 “\(4 \times (\text{무엇})\)”

꼴로 적으면 곱해지는 수들은 차례로 무엇인가. 그 수들의 공통 자격은?

답

\(4 = 4 \times 1\), \(8 = 4 \times 2\), \(12 = 4 \times 3\), \(16 = 4 \times 4\) —

곱해지는 수는 \(1, 2, 3, 4, \dots\), 곧 자연수 전부다. 나열의 규칙:

4의 양의 배수 전부. (1주차 §1.2에서 짝수로 한 것과 같은 절차다 — 재료만

2에서 4로 바뀌었다.)

확인 14. 도착점을 생성형으로 잡자. 만드는 식과 재료의 범위를 정해 보자:

\(\{\underline{\quad} : k \in \underline{\quad}\}\)

답

\(\{4k : k \in \mathbb{N}\}\). 만드는 식은 \(4k\), 재료 \(k\)의 범위는 \(\mathbb{N}\)이다 —

나열이 4부터 시작하는 양의 배수뿐이므로 \(\mathbb{Z}\)가 아니라 \(\mathbb{N}\)이다.

\(k \in \mathbb{Z}\)로 잡으면 \(0, -4, -8, \dots\)까지 들어와 다른 집합이 된다.

확인 15. 검산. 표기가 옳다는 것은 두 방향이 맞는다는 것이다 — ① 표기가

만드는 값이 전부 나열에 있고 ② 나열의 원소가 전부 표기로 만들어진다.

\(k = 1, 2, 3\) 대입과, 나열의 원소 \(20\)이 \(4k\) 꼴인지로 두 방향을 점검해 보자.

답

① \(k = 1, 2, 3 \to 4, 8, 12\) — 전부 나열에 있다. ② \(20 = 4 \times 5\)이고

\(5 \in \mathbb{N}\) — 표기로 만들어진다. 두 방향 다 통과다.

(이 “두 방향” 감각이 문제 16에서 정식 논증이 된다.)

완성본. 조건형 표기까지 포함해 정리한다.

증명의 한 줄

왜 이 줄을 쓰는가?

나열의 규칙: 원소들은 4의 양의 배수 전부다.

출발점 확정. \(4 \times 1, 4 \times 2, \dots\)로 다시 적어 규칙을 읽었다.

생성형: \(\{4k : k \in \mathbb{N}\}\).

만드는 식 \(4k\) + 재료 범위 \(\mathbb{N}\). 양의 배수뿐이므로 범위는 \(\mathbb{N}\).

조건형: \(\{x \in \mathbb{N} : 4 \mid x\}\).

같은 집합의 다른 표기. “4의 배수”라는 조건이 정의 2.1의 \(4 \mid x\)로 번역된다.

검산: \(k = 1, 2, 3 \to 4, 8, 12\) ✓, \(20 = 4 \times 5\), \(5 \in \mathbb{N}\) ✓.

표기\(\to\)나열, 나열\(\to\)표기의 두 방향 대입.

2주차의 \(\mid\) 기호가 조건 자리에 재사용되었다 — 정의는 만들어 두면 다른 표기의 부품이 된다.

예제 2.2 — 조건제시 → 나열#

문제. \(A = \{x \in \mathbb{Z} : |x| \le 2\}\)와 \(B = \{3x : x \in \mathbb{Z},\ |x| \le 2\}\)를 나열하시오.

이번에는 설계만 함께 하고, 풀이는 완성본으로 본다.

확인 16. 두 표기의 콜론 왼쪽을 비교해 보자. \(A\)와 \(B\)는 각각 조건형인가

생성형인가 — 그래서 각각 “걸러내기”와 “만들어내기” 중 무엇을 하면 되는가.

답

\(A\)는 왼쪽이 변수(\(x \in \mathbb{Z}\)) — 조건형. 정수 중 \(|x| \le 2\)인 것을

걸러 남긴다. \(B\)는 왼쪽이 식(\(3x\)) — 생성형. \(|x| \le 2\)인 정수 \(x\)를

재료로 \(3x\)를 만들어 모은다. 조건이 같아도 하는 일이 다르므로 결과가

다를 수 있다.

풀이. \(A\): 절댓값이 2 이하인 정수는 \(-2, -1, 0, 1, 2\)이므로 \(A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}\). \(B\): 재료는 방금 구한 다섯 정수이고, 각각에 3을 곱하면 \(-6, -3, 0, 3, 6\). 따라서 \(B = \{-6, -3, 0, 3, 6\}\). 같은 조건 \(|x| \le 2\)를 공유하지만 \(A\)는 조건형, \(B\)는 생성형이라 결과가 다르다.

예제 2.3 — 크기 판정#

문제. \(C = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\)의 크기와, \(\emptyset \in C\)의 참\(\cdot\)거짓을 구하시오.

이번에는 설계부터 혼자 해 보자. 쓸 도구는 §1.6의 한 겹 규칙 하나다. 스스로 판정한 뒤에 아래 풀이와 대조한다.

풀이. \(C\)의 원소 목록은 두 항목 — \(\emptyset\)과 \(\{\emptyset\}\) — 이고, 확인 12에서 본 대로 이 둘은 서로 다른 대상이므로 \(|C| = 2\). \(\emptyset \in C\)는 후보 \(\emptyset\)이 목록의 첫 항목과 통째로 일치하므로 참이다.

산문으로 몇 문장에 끝났다. 표와 확인 상자는 연습 단계의 장치이고, 실전의 판정은 처음부터 끝까지 이런 산문이다.

관찰 — 세 예제의 같은 절차#

확인 17. 세 예제가 공통으로 밟은 절차를 대응표로 확인하자. 각 단계에

해당하는 예제 속 행동을 찾아 보자.

① 형태 판별(조건형/생성형/나열): 예제 2.2에서는 \(\underline{\qquad}\)

② 무대\(\cdot\)규칙 확정: 예제 2.1에서는 \(\underline{\qquad}\)

③ 대입 검산: 예제 2.1에서는 \(\underline{\qquad}\)

답

① 콜론 왼쪽이 변수인지(\(A\)) 식인지(\(B\))를 보고 걸러내기/만들어내기를 정했다.

② 만드는 식 \(4k\)와 재료 범위 \(\mathbb{N}\)을 확정했다.

③ \(k = 1, 2, 3\)을 넣어 나열이 재생되는지, \(20\)이 그 꼴로 표현되는지 —

두 방향을 대입으로 확인했다.

방금 확인한 절차에 이름을 붙인다.

백지 암기 대상

집합 번역의 3단계

① 콜론 왼쪽을 본다 — 변수면 걸러내기(조건형), 식이면 만들어내기(생성형) \(\to\)

② 무대(재료 범위)와 조건(생성식)을 확정한다 \(\to\)

③ 값 몇 개를 양방향으로 대입해 검산한다

이 절차는 4주차(\(\subseteq\) 판정)와 27주차(상등 증명)에서도 첫 단계로 쓰인다.

빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며#

읽기에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 답은 해설(6장)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다.

훈련 1 ●○○ — 표기 빈칸#

(1) 홀수 전체의 집합을 생성형으로: \(\{\underline{\quad}\ :\ k \in \mathbb{Z}\}\) (2) 홀수 전체의 집합을 조건형으로: \(\{x \in \mathbb{Z} : x = 2k+1 \text{인 정수 } k\text{가 } \underline{\quad}\}\) (3) \(\{x \in \mathbb{N} : x \mid 12\} = \{\underline{\qquad\qquad}\}\) (나열) (4) \(|\{\{1,2\}, \{3\}, \emptyset\}| = \underline{\quad}\)

훈련 2 ●●○ — 판정과 근거를 함께#

이번에는 소속 판정문을 근거와 함께 완성한다.

판정 A. \(6 \in \{x \in \mathbb{Z} : x^2 < 40\}\)인가. ① 무대 검사: \(6 \in \underline{\quad(1)\quad}\) — 통과. ② 조건 검사: \(6^2 = \underline{\quad(2)\quad}\)이고 이 값은 \(40\)보다 작다 — 통과. 따라서 원소\(\underline{\quad(3)\quad}\) (이다 / 아니다).

판정 B. \(10 \in \{4k : k \in \mathbb{N}\}\)인가. 생성형이므로 재료의 존재를 묻는다: \(10 = 4k\)로 두면 \(k = \underline{\quad(4)\quad}\)인데, 이 수는 \(\underline{\quad(5)\quad}\)가 아니므로 그런 재료 \(k\)는 존재하지 않는다. 따라서 원소가 \(\underline{\quad(6)\quad}\) (이다 / 아니다).

훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고#

말로 주어진 모임을 표기로 세우는 전 과정을 혼자 수행한다. 집합 번역의 3단계의 각 칸을 통째로 채운다.

모임. 1 이상 100 이하의 짝수 전부.

  • ① 무대\(\cdot\)규칙 확정: \(\underline{\quad(1)\quad}\)

  • ② 생성형: \(\underline{\quad(2)\quad}\)

  • ③ 조건형: \(\underline{\quad(3)\quad}\)

  • ④ 검산 (양방향 대입 한 번씩): \(\underline{\quad(4)\quad}\)

(이 훈련이 문제 4의 예행연습이다.)

연습문제 (20문항)#

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 ‘접근’까지만 읽고 다시 시도한다 \(\to\) 그래도 안 되면 풀이를 읽는다.

이번 주의 채점 기준

답이 아니라 근거가 점수다. 나열 문제는 나열 자체보다 “무대 확인 \(\to\)

조건\(\cdot\)생성식 적용 \(\to\) 경계 검산”의 절차가, 판정 문제는 참\(\cdot\)거짓보다 두 단계

검사(무대\(\cdot\)조건)와 한 겹 규칙의 인용이 점수다. 난이도와 무관하게, 힌트 상자는

5분 이상 막힌 뒤에만 연다.

기본 ●○○#

1. 다음을 나열하시오. (a) \(\{x \in \mathbb{Z} : -2 \le x < 3\}\) (b) \(\{x \in \mathbb{N} : x^2 \le 20\}\) (c) \(\{x \in \mathbb{R} : x^2 = 9\}\) (d) \(\{x \in \mathbb{N} : x^2 = 9\}\)

힌트

무대부터 확인한다. (a)는 경계에 주의 — \(-2\)는 \(\le\)이므로 포함, \(3\)은 \(<\)이므로

제외다. (c)와 (d)는 조건이 같다 — 무대가 무엇을 지우는지 본다.

2. 다음을 나열하시오. (a) \(\{x \in \mathbb{N} : x \mid 15\}\) (b) \(\{x \in \mathbb{Z} : -1 \le x \le 1\}\) (c) \(\{x \in \mathbb{R} : x^2 + 1 = 0\}\)

힌트

(a)의 조건 \(x \mid 15\)는 정의 2.1로 읽는다 — \(15 = xc\)인 정수 \(c\)가 존재하는가.

(c)는 조건을 통과하는 실수가 있는지부터 본다 — 통과자가 없으면 답은 공집합이고,

그것도 정상적인 답이다.

3. 참\(\cdot\)거짓 판정: (a) \(\frac{1}{2} \in \mathbb{Z}\) (b) \(\frac{1}{2} \in \mathbb{Q}\) (c) \(-3 \in \mathbb{N}\) (d) \(\sqrt{2} \in \mathbb{Q}\) (판정만; 이유는 21주차에서 증명) (e) \(0.333\ldots = \frac{1}{3} \in \mathbb{Q}\)

힌트

근거는 각 수 체계의 정의다. \(\mathbb{Q}\) 판정 기준은 확인 10 — “정수/0 아닌

정수” 꼴로 쓸 수 있는가. (e)는 \(0.333\ldots\)이 \(\frac13\)과 같은 수라는 사실이

문제에 이미 주어져 있다.

4. 다음을 조건제시법으로 쓰시오 (조건형\(\cdot\)생성형 어느 쪽이든). (a) \(\{5, 10, 15, 20, \dots\}\) (b) \(\{1, 4, 9, 16, 25, \dots\}\) (c) 7의 배수인 정수 전체 (d) \(\{\dots, -5, -3, -1, 1, 3, 5, \dots\}\)

힌트

예제 2.1의 절차 — 규칙 읽기 \(\to\) 생성식과 재료 범위 \(\to\) 검산. (c)(d)에는 음수가

있다 — 재료 범위를 \(\mathbb{N}\)으로 잡으면 무엇이 빠지는지 대입으로 확인한다.

5. 다음 집합의 크기를 구하시오. (a) \(\{1, 2, \{3, 4\}\}\) (b) \(\{\{1, 2, 3\}\}\) (c) \(\{\emptyset\}\) (d) \(\{x \in \mathbb{Z} : x^2 < 0\}\)

힌트

크기는 최상위 한 겹의 항목 수다(확인 11). 항목의 내부에 무엇이 몇 개 들었는지는

세지 않는다. (d)는 먼저 나열을 시도해 본다.

6. 다음 각 쌍이 같은 집합인지 판정하고 이유를 한 줄로 쓰시오. (a) \(\{1, 2, 2, 3\}\)과 \(\{3, 2, 1\}\) (b) \(\{1, \{2\}\}\)와 \(\{1, 2\}\) (c) \(\{0\}\)과 \(\emptyset\)

힌트

기준은 상등 기준 하나 — 각 쌍의 원소 목록을 적어 대조한다. (b)는 \(\{2\}\)와

\(2\)가 같은 대상인지, (c)는 \(\{0\}\)의 크기부터 확인한다.

표준 ●●○#

7. \(A = \{\{1\}, \{1,2\}, 3\}\)에 대해 참\(\cdot\)거짓 판정: (a) \(1 \in A\) (b) \(\{1\} \in A\) (c) \(3 \in A\) (d) \(\{3\} \in A\) (e) \(2 \in A\)

문제 8, 19가 빌려 쓰는 사실 — 이차부등식의 해

실수 무대에서 \(p < q\)일 때 \((x-p)(x-q) \le 0\)의 해는 \(p \le x \le q\)이고,

\((x-p)(x-q) < 0\)의 해는 \(p < x < q\)다. 고1에서 배운 이 사실은 지금은 증명 없이

인정하고 쓴다(부등식 증명 자체는 16주차에서 다룬다).

8. \(\{x \in \mathbb{Z} : x^2 - 4x + 3 \le 0\}\)을 나열하시오. (고1 이차부등식 복습)

힌트

두 단계로 나눈다: ① 실수에서 부등식을 푼다 — 인수분해 \((x-1)(x-3)\)에 위 상자의

사실을 적용 ② 그 구간을 무대 \(\mathbb{Z}\)로 걸러 정수만 남긴다.

9. \(\{3k+1 : k \in \mathbb{Z}\}\)와 \(\{3k-2 : k \in \mathbb{Z}\}\)를 각각 몇 개 나열해 보고, 두 집합이 같은지 다른지 직관적으로 판단하시오. (같음의 엄밀한 증명은 27주차)

힌트

각 표기에 \(k = -1, 0, 1, 2\)를 넣어 값을 비교한다. 같아 보이면 근거를 만든다 —

\(3k - 2\)의 \(k\) 자리에 \(k+1\)을 넣으면 무엇이 나오는가.

10. 생성형 \(\{x^2 : x \in \mathbb{Z}, -3 \le x \le 3\}\)을 나열하시오. 크기가 7이 아닌 이유를 한 문장으로 쓰시오.

힌트

확인 9와 같은 상황이다 — 재료 일곱 개를 전부 넣어 값 목록을 만든 뒤, 집합으로

모으면서 중복을 지운다.

11. 다음 생성형 집합을 나열하고 크기를 구하시오. (a) \(\{2^k : k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\}\) (b) \(\{(-1)^n : n \in \mathbb{N}\}\)

12. \(\{(2k+1)^2 : k \in \mathbb{Z}\}\)의 원소를 작은 것부터 5개 나열하시오. 이 집합을 말로 표현하면 무엇인가?

힌트

\(k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots\) — 음수 \(k\)를 빠뜨리기 쉽다. \(k = -2\)가 만드는 값은

무엇이고, 그 값은 처음 나오는 값인가. “말로 표현”은 생성식 \((2k+1)^2\)의 두

부분(\(2k+1\), 제곱)을 각각 읽으면 된다(확인 8).

13. \(\{x \in \mathbb{Q} : 2x \in \mathbb{Z}\}\)의 원소를 5개 제시하고, 이 집합을 생성형으로 쓰시오.

힌트

조건 “\(2x \in \mathbb{Z}\)”를 등식으로 바꾼다 — \(2x = k\)인 정수 \(k\)가 있다는

뜻이므로 \(x\)에 대해 풀면 생성식이 나온다.

14. 다음 중 공집합인 것을 모두 고르시오. (a) \(\{x \in \mathbb{N} : x < 1\}\) (b) \(\{x \in \mathbb{Z} : x^2 = 3\}\) (c) \(\{0\}\) (d) \(\{\emptyset\}\) (e) \(\{x \in \mathbb{R} : x^2 < 0\}\)

힌트

각 항목에 물을 것은 하나 — “원소가 하나라도 있는가”. (c)(d)는 목록에 항목이

이미 보인다. 그 항목이 무엇이든 하나 있으면 공집합이 아니다.

도전 ●●●#

15. \(D = \{x \in \mathbb{Q} : x = \frac{n}{n+1} \text{인 } n \in \mathbb{N}\text{이 존재}\}\)의 원소를 작은 것부터 4개 나열하고, \(1 \in D\)인지 판정하시오.

힌트

\(n = 1, 2, 3, \dots\)을 차례로 넣어 원소를 수집한다. “\(1 \in D\)?”는 방정식

\(\frac{n}{n+1} = 1\)이 자연수 해를 갖는가로 번역된다 — 훈련 2의 판정 B와 같은

요령이다.

문제 16이 예습하는 틀 — 양방향 원소 추적

두 집합이 같음을 보이는 표준 방법: 왼쪽 집합의 임의의 원소가 오른쪽 집합의

자격을 갖추는 것과, 오른쪽 집합의 임의의 원소가 왼쪽 집합의 자격을 갖추는

것을 각각 보인다. 두 방향이 끝나면 원소가 완전히 같으므로 상등 기준에

의해 두 집합은 같다. 각 방향에서 쓸 근거는 정의뿐이다(근거 ①). 27주차 상등

증명의 표준 틀을 여기서 앞당겨 경험한다.

16. 두 표기 \(\{x \in \mathbb{Z} : 6 \mid x\}\)와 \(\{6k : k \in \mathbb{Z}\}\)가 같은 집합임을 설명하시오.

힌트

“왼쪽 집합의 임의의 원소가 오른쪽에도 들어 있고, 그 반대도 성립한다”를

정의 2.1로 보이면 된다. 왼쪽 \(\to\) 오른쪽 방향에서 조건 \(6 \mid x\)를 정의 2.1로

풀면 오른쪽의 생성 꼴이 그대로 나온다.

17. \(|A| = 2\)이면서 \(\emptyset \in A\)이고 \(\{\emptyset\} \in A\)인 집합 \(A\)를 제시하시오. 이 \(A\)에 대해 \(|A|\)가 2인 이유를 설명하시오.

힌트

목록에 두 개 적었다고 크기가 2인 것은 아니다 — \(\{1, 1\}\)의 크기는 1이다.

크기 2의 근거로 무엇을 확인해야 하는가(확인 12).

문제 18이 빌려 쓰는 사실 — 절댓값 부등식

\(c \ge 0\)일 때 \(|A| \le c \iff -c \le A \le c\)다. 고1에서 배운 이 동치는 지금은

증명 없이 인정하고 쓴다(절댓값의 정의와 경우 나누기는 17주차에서 다룬다).

18. \(\{x \in \mathbb{Z} : |2x - 1| \le 5\}\)를 나열하시오.

힌트

위 상자의 동치로 절댓값을 벗기면 \(-5 \le 2x - 1 \le 5\). 세 변을 함께 정리해

\(x\)의 구간을 만든 뒤, 문제 8처럼 무대 \(\mathbb{Z}\)로 거른다.

19. \(\{x \in \mathbb{N} : x^2 - 2x - 15 < 0\}\)을 나열하시오.

힌트

문제 8과 같은 2단계 분업이다 — 인수분해가 \((x-5)(x+3)\)이고, 이번 무대는

\(\mathbb{N}\)이므로 구간의 한쪽이 통째로 잘려 나간다.

20. (서술) “표기가 달라도 같은 집합일 수 있다”를 보여 주는 서로 다른 예를 두 개 만드시오. (문제 9를 참고하되 새로운 예로. 각 예마다 두 표기가 같은 집합을 가리키는 이유를 한 줄씩)

힌트

만드는 방법 세 가지: ① 생성식의 평행이동(문제 9 유형) ② 조건형 \(\leftrightarrow\) 생성형

또는 나열의 번역(예제 2.1 유형) ③ 조건을 동치인 다른 조건으로 교체.

어느 방법이든 “같은 이유”는 상등 기준 — 원소가 완전히 같음 — 으로 적는다.

백지 재현 — 복습 프로토콜#

권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다.

1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용. 집합 번역의 3단계와 §1.5의 해부 표만 펴 놓고, 수 체계 표와 예제 2.1~2.3을 처음부터 끝까지 적는다. 본문은 보지 않는다.

2차 시도 (5일차) — 완전 백지. 아무것도 보지 않고 수행한다:

  • \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\) 기호와 뜻을 쓰고, \(\mathbb{Q}\)는 조건제시법 정의(\(b \neq 0\) 조각까지)로 썼다.

  • \(\{x \in S : P(x)\}\)를 소리 내어 읽고, 소속 판정의 두 단계(무대 검사\(\cdot\)조건 검사)를 말했다.

  • 조건형과 생성형의 차이를 예 하나씩 들어 설명했다.

  • \(\emptyset\)과 \(\{\emptyset\}\)의 차이를 크기로 설명했다.

  • 짝수\(\cdot\)홀수 전체의 집합을 생성형으로 쓰고 1주차 정의 1.1, 1.2와 연결했다.

막힌 지점별 처방. 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

막힌 지점

처방

\(\mathbb{Q}\)의 정의가 기억나지 않는다

§1.5 확인 10 — “\(b \neq 0\)”까지 조각의 이유와 함께 다시 외운다

조건형과 생성형이 헷갈린다

§1.5의 두 형태 구분과 확인 9 — 콜론 왼쪽부터 본다

소속 판정에서 항목의 내부를 열어 본다

§1.6 한 겹 규칙 — 확인 11을 다시 판정한다

공집합 관련 판정이 흔들린다

확인 12와 문제 14 — “원소가 하나라도 있는가”와 크기로 구분한다

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다.

해설#

각 해설은 접근(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 풀이로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

빈칸 사다리 — 훈련 1#

(1) \(2k+1\) (2) 존재한다 (3) \(\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}\) (4) \(3\)

※ (2)의 “존재한다”가 정의 1.2 그대로다 — 조건형의 조건 자리에는 1주차의 정의가 문장째 들어간다. (4)는 한 겹 규칙: 항목은 \(\{1,2\}\), \(\{3\}\), \(\emptyset\) 세 개다.

빈칸 사다리 — 훈련 2#

(1) \(\mathbb{Z}\) (2) \(36\) (3) 이다 (4) \(\frac{10}{4} = 2.5\) (5) 자연수 (6) 아니다

※ 생성형의 소속 판정은 방정식 풀기가 된다 — “\(10 = 4k\)인 재료 \(k\)가 범위 안에 존재하는가”. 조건형의 두 단계 검사와 형태만 다를 뿐, 둘 다 표기를 읽고 검사하는 일이다.

빈칸 사다리 — 훈련 3#

(1) 무대는 \(\mathbb{N}\)(1 이상만 다루므로), 규칙은 “짝수이고 100 이하” — 생성 관점으로는 “\(2k\) 꼴, \(k = 1, \dots, 50\)”. (2) \(\{2k : k \in \mathbb{N},\ k \le 50\}\) (3) \(\{x \in \mathbb{N} : 2 \mid x,\ x \le 100\}\) (4) 표기\(\to\)나열: \(k = 1 \to 2\) ✓ (나열의 첫 원소). 나열\(\to\)표기: \(100 = 2 \times 50\)이고 \(50 \in \mathbb{N}\), \(50 \le 50\) ✓. 경계 밖 검사: \(102\)는 \(2 \mid 102\)이지만 \(x \le 100\) 위반으로 탈락 ✓.

※ 조건이 두 개면 쉼표로 잇고 “그리고”로 읽는다 — 확인 10의 \(\mathbb{Q}\)에서 이미 본 형태다.

문제 1#

접근. 조건형 나열은 걸러내기다: 무대(\(\mathbb{Z}\)? \(\mathbb{N}\)? \(\mathbb{R}\)?)를 먼저 확인하고, 조건을 통과하는 원소를 경계까지 정확히 수집한다. (c)와 (d)는 조건이 같고 무대만 다르다 — 확인 6에서 본 현상이 답을 가른다.

풀이. (a) 조건 \(-2 \le x < 3\): 왼쪽 부등호는 \(\le\)이므로 \(-2\) 포함, 오른쪽은 \(<\)이므로 \(3\) 제외. 그 사이의 정수를 나열하면 \(\{-2, -1, 0, 1, 2\}\). (b) \(x^2 \le 20\)인 자연수: \(1^2 = 1\), \(2^2 = 4\), \(3^2 = 9\), \(4^2 = 16\)은 20 이하이고 \(5^2 = 25 > 20\)부터 탈락. \(\{1, 2, 3, 4\}\). (c) \(x^2 = 9\)의 실수 해는 \(x = 3\)과 \(x = -3\) 둘 다이고, 둘 다 실수이므로 \(\{-3, 3\}\). (d) 같은 방정식이지만 무대가 \(\mathbb{N}\): \(-3\)이 무대 검사에서 탈락한다. \(\{3\}\).

복기. 무대가 답을 바꾼다 — (c)와 (d)는 조건이 같아도 다른 집합이다. 나열 문제의 첫 확인은 언제나 무대다.

문제 2#

접근. (a)는 조건 \(x \mid 15\)를 정의 2.1로 읽는다 — “\(15 = xc\)인 정수 \(c\)가 존재하는가”를 자연수 \(x\)마다 검사한다. (c)는 통과자가 없으면 공집합 — §1.5 읽기 훈련 마지막 줄의 상황이다.

풀이. (a) \(15 = 1 \times 15 = 3 \times 5\)이므로 통과하는 자연수는 \(1, 3, 5, 15\)가 전부다 (예컨대 \(x = 2\)는 \(15 = 2c\)인 정수 \(c\)가 없어 탈락). \(\{1, 3, 5, 15\}\). (b) \(-1 \le x \le 1\)인 정수: 양 끝이 모두 \(\le\)이므로 둘 다 포함. \(\{-1, 0, 1\}\). (c) \(x^2 + 1 = 0\)이면 \(x^2 = -1\)인데, 실수의 제곱은 항상 0 이상이므로 그런 실수는 없다. 따라서 \(\emptyset\).

복기. “그런 원소가 없다”는 결론을 피하지 않는다 — 공집합은 오답이 아니라 정상적인 답 중 하나다.

문제 3#

접근. 각 수가 해당 수 체계의 소속 검사를 통과하는지 본다. \(\mathbb{Q}\) 판정 기준은 확인 10의 정의 — “정수/0 아닌 정수” 꼴로 쓸 수 있는가.

풀이. (a) 거짓 — \(0 < \frac12 < 1\)이므로 \(\frac12\)는 정수 나열 \(\dots, 0, 1, \dots\) 어디에도 없다. (b) 참 — \(a = 1\), \(b = 2\)로 \(\frac{a}{b}\) 꼴이 되어 \(\mathbb{Q}\)의 정의를 만족한다. (c) 거짓 — 자연수는 \(1, 2, 3, \dots\)으로 1부터다. \(-3\)은 없다. (d) 거짓 — \(\sqrt{2}\)는 무리수, 곧 \(\frac{a}{b}\) 꼴로 쓸 수 없는 실수다. (이 사실의 증명은 21주차 귀류법에서 한다 — 지금은 판정만.) (e) 참 — \(0.333\ldots = \frac13\)이고 \(a = 1\), \(b = 3\)으로 정의를 만족한다. 무한소수로 표기되어 있어도 분수로 쓸 수 있으면 유리수다.

복기. 소속 판정의 근거는 언제나 그 집합의 정의다. “느낌상 아니다”가 아니라 “\(\frac{a}{b}\) 꼴 여부”로 답한다.

문제 4#

접근. 나열에서 규칙을 읽고 생성식과 재료 범위를 정한다 — 예제 2.1의 절차 그대로. 규칙의 후보는 배수, 제곱, 홀짝 등이고, 정한 뒤에는 반드시 대입 검산한다.

풀이. (예시 답 — 같은 집합을 가리키는 다른 표기도 정답이다.) (a) \(5, 10, 15, 20, \dots\)은 5의 양의 배수 전부: \(\{5k : k \in \mathbb{N}\}\). 검산: \(k = 1, 2 \to 5, 10\) ✓, \(20 = 5 \times 4\), \(4 \in \mathbb{N}\) ✓. (b) \(1, 4, 9, 16, 25, \dots\)은 자연수의 제곱 전부: \(\{k^2 : k \in \mathbb{N}\}\). 검산: \(k = 1, 2 \to 1, 4\) ✓, \(25 = 5^2\) ✓. (c) 7의 배수인 정수 전체 — 0과 음의 배수도 포함하므로 재료는 \(\mathbb{Z}\): \(\{7k : k \in \mathbb{Z}\}\), 조건형으로는 \(\{x \in \mathbb{Z} : 7 \mid x\}\). (d) \(\dots, -5, -3, -1, 1, 3, 5, \dots\)은 홀수 전체 — 음수를 포함하므로 \(\{2k+1 : k \in \mathbb{Z}\}\). \(k \in \mathbb{N}\)으로 잡으면 \(k = 1, 2, \dots \to 3, 5, \dots\)만 나와 \(1\)과 음의 홀수가 전부 빠진다.

복기. 재료 범위(\(\mathbb{N}\)인가 \(\mathbb{Z}\)인가)가 (a)와 (c)(d)를 가른다 — 나열에 0이나 음수가 보이면 범위를 \(\mathbb{Z}\)로 의심한다.

문제 5#

접근. 크기는 최상위 한 겹의 항목 수다. 항목의 내부는 열지 않는다. (d)는 먼저 나열을 시도한다.

풀이. (a) 항목은 \(1\), \(2\), \(\{3, 4\}\) — \(\{3, 4\}\)는 통째로 한 항목이다. 크기 3. (b) 항목은 \(\{1, 2, 3\}\) 하나뿐이다 — 내부의 1, 2, 3은 세지 않는다. 크기 1. (c) 항목은 \(\emptyset\) 하나 — 크기 1 (확인 12). (d) 제곱이 음수인 정수는 없으므로 이 집합은 \(\emptyset\) — 크기 0.

복기. (c)와 (d)의 대비가 이 문제의 목적이다: \(\{\emptyset\}\)은 크기 1, \(\emptyset\)은 크기 0. “비어 보이는” 두 표기가 다른 집합이다.

문제 6#

접근. 상등 기준(§1.2)은 하나 — 원소가 완전히 같은가. 각 쌍의 원소 목록을 적어 대조한다.

풀이. (a) 같다 — 왼쪽의 원소는 \(1, 2, 3\) (중복 표기는 소속을 바꾸지 않는다), 오른쪽도 \(1, 2, 3\) (순서는 무관). 목록이 일치한다. (b) 다르다 — 왼쪽의 원소는 \(1\)과 \(\{2\}\), 오른쪽은 \(1\)과 \(2\). \(\{2\}\)는 집합이고 \(2\)는 수이므로 \(\{2\} \neq 2\) — 목록이 다르다. (c) 다르다 — \(\{0\}\)은 원소 \(0\) 하나를 가지므로 \(|\{0\}| = 1 \neq 0 = |\emptyset|\). 크기부터 다르므로 같은 집합일 수 없다. 숫자 0을 “없음”으로 읽는 습관이 \(\{0\}\)을 빈 집합으로 보이게 하지만, 0은 엄연히 대상 하나다.

복기. 상등 시비는 전부 원소 목록 대조로 끝난다. 27주차의 상등 증명은 이 기준을 무한집합에서도 쓸 수 있게 정식화한 것이다.

문제 7#

접근. 한 겹 규칙 — 후보를 원소 목록(\(\{1\}\), \(\{1,2\}\), \(3\))과 통째로 대조한다. 내부는 열지 않는다.

풀이. (a) 거짓 — 목록의 세 항목 중 숫자 \(1\)은 없다. \(1\)은 항목 \(\{1\}\)의 내부에 있을 뿐이다. (b) 참 — 첫 항목이 정확히 \(\{1\}\)이다. (c) 참 — 셋째 항목이 \(3\)이다. (d) 거짓 — \(\{3\}\)이라는 항목은 없다. \(3\)은 있지만 \(\{3\}\)과 \(3\)은 다른 대상이다. (e) 거짓 — 숫자 \(2\)는 목록에 없다 (\(\{1, 2\}\)의 내부에만 있다).

복기. (c)와 (d)의 대비: 원소로 들어 있는 것은 \(3\)이지 \(\{3\}\)이 아니다. 괄호 한 겹이 대상을 바꾼다.

문제 8#

접근. 두 단계 분업: ① 실수 무대에서 부등식을 푼다(인수분해 \(\to\) 문제 앞 상자의 사실) ② 그 구간을 무대 \(\mathbb{Z}\)로 걸러 정수만 남긴다. “부등식 풀기”와 “집합 나열”을 한 번에 하려면 헷갈린다 — 나눠서 한다.

풀이. 인수분해: \(x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)\). 문제 앞 상자의 사실에 의해

\[ (x-1)(x-3) \le 0 \iff 1 \le x \le 3 \]

이 구간의 정수는 \(1, 2, 3\)이므로 구하는 집합은 \(\{1, 2, 3\}\). 검산: \(x = 1 \to 1 - 4 + 3 = 0 \le 0\) ✓ (경계 포함), \(x = 2 \to 4 - 8 + 3 = -1 \le 0\) ✓, \(x = 0 \to 0 - 0 + 3 = 3 > 0\) 탈락 ✓.

복기. 실수에서 풀고, 무대로 거른다 — 문제 18, 19가 같은 분업이다.

문제 9#

접근. 표기가 다르면 일단 원소를 몇 개 뽑아 비교한다 — 각 표기에 \(k = -1, 0, 1, 2\) 정도를 넣는다. 같아 보이면 “한쪽 식을 다른 쪽 꼴로 변형”할 수 있는지 보아 근거를 만든다.

풀이. \(\{3k+1 : k \in \mathbb{Z}\}\): \(k = -1, 0, 1, 2 \to -2, 1, 4, 7\). \(\{3k-2 : k \in \mathbb{Z}\}\): \(k = 0, 1, 2, 3 \to -2, 1, 4, 7\). 같은 값들이 나온다. 이유: \(3k - 2 = 3(k-1) + 1\)이므로 오른쪽 표기가 만드는 값은 전부 왼쪽 표기의 꼴(\(3 \times \text{정수} + 1\))이고, 거꾸로 \(3k + 1 = 3(k+1) - 2\)이므로 왼쪽 표기가 만드는 값도 전부 오른쪽 꼴이다. 어느 쪽의 원소든 다른 쪽 꼴로 표현되므로 같은 집합이다.

복기. “표기가 다르다 \(\neq\) 집합이 다르다.” 판단 순서: 값을 뽑아 비교 \(\to\) 식 변형으로 근거 만들기. 이 직관 수준의 논증을 정식 증명으로 바꾸는 일은 27주차 예제 2.3에서 바로 이 문제를 다시 불러 이루어진다.

문제 10#

접근. 생성형 — 재료 \(x = -3, \dots, 3\) 일곱 개를 전부 식에 넣고, 결과를 집합으로 모을 때 중복을 지운다. 확인 9와 같은 상황이다.

풀이. 제곱값을 차례로 계산하면 \((-3)^2 = 9\), \((-2)^2 = 4\), \((-1)^2 = 1\), \(0^2 = 0\), \(1^2 = 1\), \(2^2 = 4\), \(3^2 = 9\). 값의 목록은 \(9, 4, 1, 0, 1, 4, 9\)이지만 집합은 중복을 세지 않으므로 \(\{0, 1, 4, 9\}\) — 크기 4. 크기가 7이 아닌 이유(한 문장): \(x\)와 \(-x\)가 같은 제곱값을 만들어, 일곱 번의 생성이 서로 다른 값을 네 개만 내놓기 때문이다.

복기. 생성 횟수 \(\neq\) 원소 개수. 생성형의 크기는 반드시 중복을 병합한 뒤에 센다.

문제 11#

접근. (a)는 재료 다섯 개를 전부 대입한다. (b)는 재료가 무한(\(\mathbb{N}\) 전체)이지만 생성되는 값이 몇 개인지 본다 — 문제 10의 병합이 극단적으로 일어난다.

풀이. (a) \(2^0 = 1\), \(2^1 = 2\), \(2^2 = 4\), \(2^3 = 8\), \(2^4 = 16\) — 다섯 값이 전부 다르므로 \(\{1, 2, 4, 8, 16\}\), 크기 5. (b) \((-1)^n\)은 \(n\)이 홀수면 \(-1\), 짝수면 \(1\) — \(n\)이 아무리 커져도 값은 이 둘뿐이다. \(\{-1, 1\}\), 크기 2.

복기. 무한한 재료가 유한한 집합을 만들 수 있다. 크기 문제에서 “재료의 개수”를 세고 있었다면 멈추고 “값의 개수”를 센다.

문제 12#

접근. \(k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots\)를 넣어 값을 모으고 작은 것부터 정렬한다. 서로 다른 \(k\)가 같은 값을 줄 수 있음(문제 10)에 주의한다. “말로 표현”은 생성식 \((2k+1)^2\)의 두 부분 — \(2k+1\)과 제곱 — 을 읽으면 된다.

풀이. \(k = 0 \to 1^2 = 1\), \(k = -1 \to (-1)^2 = 1\), \(k = 1 \to 3^2 = 9\), \(k = -2 \to (-3)^2 = 9\), \(k = 2 \to 5^2 = 25\), \(k = 3 \to 7^2 = 49\), \(k = 4 \to 9^2 = 81\). 작은 것부터 5개: \(1, 9, 25, 49, 81\). 말로: \(2k+1\)(\(k \in \mathbb{Z}\))은 홀수 전체를 훑으므로(확인 8), 이 집합은 홀수의 제곱 전체의 집합이다. \(k\)와 \(-k-1\)이 부호만 다른 같은 홀수 크기를 주므로(예: \(k = 1\)과 \(k = -2\)가 각각 \(3\)과 \(-3\)) 두 재료가 같은 원소를 만든다.

복기. 생성식을 말로 되읽는 훈련이다 — “\((2k+1)^2\) = 홀수의 제곱”. 표기를 읽을 줄 알면 집합의 정체가 문장으로 나온다.

문제 13#

접근. 조건 “\(2x \in \mathbb{Z}\)”를 등식으로 뒤집는다: \(2x = k\)인 정수 \(k\)가 있다는 뜻이므로 \(x = \frac{k}{2}\). 조건형을 풀어 생성형을 얻는 문제다.

풀이. 원소 다섯 개(예): \(0\) (\(2 \times 0 = 0 \in \mathbb{Z}\)), \(\frac12\) (\(2 \times \frac12 = 1\)), \(1\) (\(2 \times 1 = 2\)), \(-\frac32\) (\(2 \times (-\frac32) = -3\)), \(7\) (\(2 \times 7 = 14\)). 생성형 유도: \(x\)가 원소 \(\iff\) \(2x = k\)인 정수 \(k\)가 존재 \(\iff\) \(x = \frac{k}{2}\)인 정수 \(k\)가 존재. 따라서 이 집합은 \(\left\{ \frac{k}{2} : k \in \mathbb{Z} \right\}\) — 정수 전부와 “정수 \(+ \frac12\)” 꼴이 전부 들어 있는 집합이다. 검산: \(k = 3 \to \frac32\), \(2 \times \frac32 = 3 \in \mathbb{Z}\) ✓. 반대쪽 검사: \(\frac13\)은 \(2 \times \frac13 = \frac23 \notin \mathbb{Z}\)이므로 원소가 아니다 ✓.

복기. 조건형 \(\leftrightarrow\) 생성형 번역의 축은 등식이다 — 조건을 “\(=\) 꼴”로 다시 쓰면 생성식이 나온다. 1주차 §1.1(“개념이 등식이 되어야 계산이 시작된다”)과 같은 원리다.

문제 14#

접근. 각 후보에 물을 것은 하나 — “원소가 하나라도 있는가”. (c)(d)는 목록에 항목이 보이므로 즉답이고, (a)(b)(e)는 조건을 통과할 후보가 없음을 근거와 함께 말한다.

풀이. 공집합인 것: (a), (b), (e). (a) 1 미만의 자연수 — 자연수는 1부터이므로 없다. 공집합. (b) \(x^2 = 3\)의 해는 \(\pm\sqrt{3}\)인데 \(1^2 = 1 < 3 < 4 = 2^2\)이므로 \(\sqrt{3}\)은 1과 2 사이의 수, 정수가 아니다. 정수 해가 없으므로 공집합. (c) 항목 \(0\)이 있다 — \(|\{0\}| = 1\). 공집합이 아니다. (d) 항목 \(\emptyset\)이 있다 — \(|\{\emptyset\}| = 1\) (확인 12). 공집합이 아니다. (e) 실수의 제곱은 항상 0 이상이므로 \(x^2 < 0\)인 실수는 없다. 공집합.

복기. 공집합 판정은 존재 질문이다. 표기가 복잡해 보여도 “통과자가 있는가” 하나만 물으면 된다.

문제 15#

접근. 조건이 “존재”로 적혀 있다: \(x = \frac{n}{n+1}\)인 자연수 \(n\)이 존재하는 유리수 전부. \(n = 1, 2, 3, \dots\)을 차례로 넣어 원소를 수집한다. “\(1 \in D\)인가”는 방정식 \(\frac{n}{n+1} = 1\)이 자연수 해를 갖는가로 번역된다 — 소속 판정이 방정식 풀기가 되는 훈련 2의 상황이다.

풀이. \(n = 1, 2, 3, 4\)에서 \(\frac12, \frac23, \frac34, \frac45\)가 나온다. 이 수열은 증가한다 — \(\frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}\)이고, \(n\)이 커질수록 빼는 양 \(\frac{1}{n+1}\)이 작아지기 때문이다. 따라서 작은 것부터 4개는 \(\frac12, \frac23, \frac34, \frac45\)다. \(1 \in D\) 판정: \(\frac{n}{n+1} = 1\)이려면 양변에 \(n+1\)을 곱해 \(n = n + 1\), 곧 \(0 = 1\)이 되어야 하므로 성립하는 자연수 \(n\)은 없다. 따라서 \(1 \notin D\). 관찰: \(1 - \frac{n}{n+1} = \frac{1}{n+1}\)은 \(n\)을 키우면 얼마든지 작아진다 — 원소들이 1에 한없이 가까워지지만 1 자신은 원소가 아니다. 이 관찰은 45주차에서 극한 정리(\(\lim \frac{n}{n+1} = 1\))로 정식화된다.

복기. “존재”가 든 조건의 소속 판정은 방정식의 해 존재 문제로 번역된다 — 판정이 계산이 되는 순간이다.

문제 16#

접근. 문제 앞 상자의 틀 — 양방향 원소 추적. 왼쪽 집합의 임의의 원소가 오른쪽의 자격(생성 꼴)을 갖추는지, 오른쪽 집합의 임의의 원소가 왼쪽의 자격(무대 + 조건)을 갖추는지를 각각 보인다. 각 방향에서 쓸 근거는 정의 2.1과 정의 3.3의 두 단계 검사뿐이다.

풀이. (왼쪽 \(\to\) 오른쪽) \(x\)를 왼쪽 집합 \(\{x \in \mathbb{Z} : 6 \mid x\}\)의 임의의 원소라 하자. 소속의 두 검사에 의해 \(x \in \mathbb{Z}\)이고 \(6 \mid x\)다. 정의 2.1에 의해 \(x = 6k\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 이는 정확히 오른쪽 집합 \(\{6k : k \in \mathbb{Z}\}\)의 생성 꼴이므로 \(x\)는 오른쪽 집합의 원소다. (오른쪽 \(\to\) 왼쪽) \(x\)를 오른쪽 집합의 임의의 원소라 하자. 생성 꼴에 의해 \(x = 6k\)인 정수 \(k\)가 존재한다. 정수의 곱은 정수이므로(근거 ②) \(x \in \mathbb{Z}\) — 무대 검사 통과. 그리고 \(x = 6k\)는 정의 2.1 그대로 \(6 \mid x\)를 뜻한다 — 조건 검사 통과. 따라서 \(x\)는 왼쪽 집합의 원소다. 어느 쪽의 원소든 다른 쪽의 원소이므로, 상등 기준(원소가 완전히 같다)에 의해 두 집합은 같다. \(\blacksquare\)

복기. 이 양방향 원소 추적이 집합 상등 증명의 표준 틀이다 — 27주차에서 정식으로 다룬다. 각 방향의 진행은 1주차의 3단계 틀 그대로였다: 임의의 원소를 문자로 잡고, 소속을 정의로 풀고, 목표 쪽 자격의 꼴을 만들었다.

문제 17#

접근. 요구 조건이 곧 설계도다: \(\emptyset\)과 \(\{\emptyset\}\)을 원소로 넣어야 하고, 크기가 2여야 하므로 그 둘만 넣는다. 남는 일은 “그 둘이 정말 서로 다른 대상인가”의 확인이다 — 이것이 빠지면 크기가 2라는 주장에 근거가 없다.

풀이. \(A = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\)로 잡는다 (예제 2.3의 \(C\)와 같은 집합이다). 요구 조건 검사: \(\emptyset \in A\) — 목록의 첫 항목과 통째로 일치, 참. \(\{\emptyset\} \in A\) — 둘째 항목과 일치, 참. \(|A| = 2\)인 이유: 목록의 항목은 \(\emptyset\)과 \(\{\emptyset\}\) 둘이고, 확인 12에서 본 대로 \(|\emptyset| = 0 \neq 1 = |\{\emptyset\}|\)이므로 두 항목은 서로 다른 대상이다. 서로 다른 원소가 정확히 두 개 — 크기 2다.

복기. “크기가 2”를 말하려면 두 항목이 서로 다르다는 근거까지가 답이다. 목록에 두 개 적었다고 크기가 2인 것이 아니다 — \(\{1, 1\}\)의 크기는 1이다.

문제 18#

접근. 문제 앞 상자의 동치로 절댓값을 벗기고, 실수에서 \(x\)의 구간을 구한 뒤, 무대 \(\mathbb{Z}\)로 거른다 — 문제 8의 2단계 분업 앞에 “절댓값 벗기기”가 한 단계 붙는다.

풀이.

\[ |2x - 1| \le 5 \iff -5 \le 2x - 1 \le 5 \iff -4 \le 2x \le 6 \iff -2 \le x \le 3 \]

각 단계의 근거: 절댓값 동치(문제 앞 상자) \(\to\) 세 변에 1을 더함 \(\to\) 세 변을 2로 나눔(2는 양수이므로 부등호 방향 유지). 이 구간의 정수를 나열하면 \(\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}\). 검산: \(x = -2 \to |2(-2) - 1| = |-5| = 5 \le 5\) ✓ (경계 포함), \(x = 4 \to |7| = 7 > 5\) 탈락 ✓.

복기. 경계가 포함되는지(\(\le\)인지 \(<\)인지)를 검산 대입으로 확정하는 습관 — 나열 문제의 오류 대부분이 경계에서 난다.

문제 19#

접근. 문제 8과 같은 2단계 분업. 단 이번 무대는 \(\mathbb{N}\)이므로, 실수에서 구한 구간 중 0 이하 쪽이 통째로 잘려 나간다.

풀이. 인수분해: \(x^2 - 2x - 15 = (x-5)(x+3)\). 문제 앞 상자의 사실에 의해

\[ (x+3)(x-5) < 0 \iff -3 < x < 5 \]

이 구간의 자연수는 \(1, 2, 3, 4\)다 — 0과 음수는 \(\mathbb{N}\)이 아니고, \(5\)는 부등호가 \(<\)이므로 제외된다. 따라서 \(\{1, 2, 3, 4\}\). 검산: \(x = 4 \to 16 - 8 - 15 = -7 < 0\) ✓, \(x = 5 \to 25 - 10 - 15 = 0\)은 \(< 0\)이 아니므로 탈락 ✓.

복기. 문제 1(c)(d)와 같은 교훈의 부등식판 — 조건이 같아도 무대가 \(\mathbb{Z}\)냐 \(\mathbb{N}\)이냐로 답이 달라진다.

문제 20#

접근. “같은 집합, 다른 표기”를 만드는 흔한 방법 세 가지: ① 생성식의 평행이동(문제 9 유형) ② 조건형 \(\leftrightarrow\) 생성형 또는 나열의 번역(예제 2.1 유형) ③ 조건을 동치인 다른 조건으로 교체. 어느 방법이든 “같은 이유”는 상등 기준 — 원소가 완전히 같음 — 으로 한 줄 적는다.

풀이. (예시 답 — 이유가 맞으면 다른 예도 정답이다.) 예 1 (평행이동): \(\{2k : k \in \mathbb{Z}\}\)와 \(\{2k + 4 : k \in \mathbb{Z}\}\). 이유: \(2k + 4 = 2(k+2)\)이므로 오른쪽이 만드는 값은 전부 \(2 \times (\text{정수})\) 꼴이고, 거꾸로 \(2k = 2(k-2) + 4\)이므로 왼쪽 값도 오른쪽 꼴이다 — 둘 다 짝수 전체다. 예 2 (조건형 \(\leftrightarrow\) 나열): \(\{x \in \mathbb{N} : x \mid 6\}\)과 \(\{1, 2, 3, 6\}\). 이유: 6의 양의 약수를 전부 나열하면 정확히 \(1, 2, 3, 6\)이므로 두 표기의 원소가 완전히 같다. (그 외: \(\{x \in \mathbb{Z} : x^2 \le 1\}\)과 \(\{-1, 0, 1\}\) 등 — 이유가 맞으면 정답이다.)

복기. 이번 주 전체의 요약이 이 문제다: 집합의 정체는 표기가 아니라 원소다. 같은 집합이 전혀 다르게 생긴 표기 여럿을 가질 수 있고, 그 사이를 오가는 것이 번역이다.

다음 주 예고: “\(A\)의 원소가 모두 \(B\)의 원소”라는 관계를 \(A \subseteq B\)로 정의한다. \(\in\)과 \(\subseteq\)를 혼동시키는 문제가 이어지므로, 이번 주의 한 겹 규칙을 단단히 해 둔다.