# 3주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설 ## 예제 — 표기 번역을 함께 만들기 예제 세 개는 모두 번역이다 — 나열에서 조건제시로, 조건제시에서 나열로, 그리고 표기에서 크기로. 예제 2.1은 한 줄씩 함께 만들고, 2.2는 설계만 함께 하고, 2.3은 처음부터 혼자 한다. ### 예제 2.1 — 나열 → 조건제시 **문제.** $\{4, 8, 12, 16, \dots\}$를 조건제시법으로 쓰시오. **설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지.** 증명의 번역표와 같은 요령으로, 주어진 것과 만들 것을 먼저 확정한다. | | **주어진 것 / 만들 것** | **확정할 정보** | |---|---|---| | 출발점 | 나열 $4, 8, 12, 16, \dots$ | 이 나열의 규칙은 무엇인가 | | 도착점 | 조건제시법 표기 하나 | 무대(재료 범위)와, 조건 또는 생성식 | :::{container} quotebox **확인 13.** 출발점부터. $4, 8, 12, 16, \dots$의 각 원소를 "$4 \times (\text{무엇})$" 꼴로 적으면 곱해지는 수들은 차례로 무엇인가. 그 수들의 공통 자격은? ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $4 = 4 \times 1$, $8 = 4 \times 2$, $12 = 4 \times 3$, $16 = 4 \times 4$ — 곱해지는 수는 $1, 2, 3, 4, \dots$, 곧 자연수 전부다. 나열의 규칙: **4의 양의 배수 전부**. (1주차 §1.2에서 짝수로 한 것과 같은 절차다 — 재료만 2에서 4로 바뀌었다.) ::: :::{container} quotebox **확인 14.** 도착점을 생성형으로 잡자. 만드는 식과 재료의 범위를 정해 보자: $\{\underline{\quad} : k \in \underline{\quad}\}$ ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $\{4k : k \in \mathbb{N}\}$. 만드는 식은 $4k$, 재료 $k$의 범위는 $\mathbb{N}$이다 — 나열이 4부터 시작하는 양의 배수뿐이므로 $\mathbb{Z}$가 아니라 $\mathbb{N}$이다. $k \in \mathbb{Z}$로 잡으면 $0, -4, -8, \dots$까지 들어와 다른 집합이 된다. ::: :::{container} quotebox **확인 15.** 검산. 표기가 옳다는 것은 두 방향이 맞는다는 것이다 — ① 표기가 만드는 값이 전부 나열에 있고 ② 나열의 원소가 전부 표기로 만들어진다. $k = 1, 2, 3$ 대입과, 나열의 원소 $20$이 $4k$ 꼴인지로 두 방향을 점검해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown ① $k = 1, 2, 3 \to 4, 8, 12$ — 전부 나열에 있다. ② $20 = 4 \times 5$이고 $5 \in \mathbb{N}$ — 표기로 만들어진다. 두 방향 다 통과다. (이 "두 방향" 감각이 문제 16에서 정식 논증이 된다.) ::: **완성본.** 조건형 표기까지 포함해 정리한다. | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | 나열의 규칙: 원소들은 4의 양의 배수 전부다. | 출발점 확정. $4 \times 1, 4 \times 2, \dots$로 다시 적어 규칙을 읽었다. | | 생성형: $\{4k : k \in \mathbb{N}\}$. | 만드는 식 $4k$ + 재료 범위 $\mathbb{N}$. 양의 배수뿐이므로 범위는 $\mathbb{N}$. | | 조건형: $\{x \in \mathbb{N} : 4 \mid x\}$. | 같은 집합의 다른 표기. "4의 배수"라는 조건이 정의 2.1의 $4 \mid x$로 번역된다. | | 검산: $k = 1, 2, 3 \to 4, 8, 12$ ✓, $20 = 4 \times 5$, $5 \in \mathbb{N}$ ✓. | 표기$\to$나열, 나열$\to$표기의 두 방향 대입. | 2주차의 $\mid$ 기호가 조건 자리에 재사용되었다 — 정의는 만들어 두면 다른 표기의 부품이 된다. ### 예제 2.2 — 조건제시 → 나열 **문제.** $A = \{x \in \mathbb{Z} : |x| \le 2\}$와 $B = \{3x : x \in \mathbb{Z},\ |x| \le 2\}$를 나열하시오. 이번에는 설계만 함께 하고, 풀이는 완성본으로 본다. :::{container} quotebox **확인 16.** 두 표기의 콜론 왼쪽을 비교해 보자. $A$와 $B$는 각각 조건형인가 생성형인가 — 그래서 각각 "걸러내기"와 "만들어내기" 중 무엇을 하면 되는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $A$는 왼쪽이 변수($x \in \mathbb{Z}$) — 조건형. 정수 중 $|x| \le 2$인 것을 **걸러** 남긴다. $B$는 왼쪽이 식($3x$) — 생성형. $|x| \le 2$인 정수 $x$를 재료로 $3x$를 **만들어** 모은다. 조건이 같아도 하는 일이 다르므로 결과가 다를 수 있다. ::: **풀이.** $A$: 절댓값이 2 이하인 정수는 $-2, -1, 0, 1, 2$이므로 $A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$. $B$: 재료는 방금 구한 다섯 정수이고, 각각에 3을 곱하면 $-6, -3, 0, 3, 6$. 따라서 $B = \{-6, -3, 0, 3, 6\}$. 같은 조건 $|x| \le 2$를 공유하지만 $A$는 조건형, $B$는 생성형이라 결과가 다르다. ### 예제 2.3 — 크기 판정 **문제.** $C = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$의 크기와, $\emptyset \in C$의 참$\cdot$거짓을 구하시오. 이번에는 설계부터 혼자 해 보자. 쓸 도구는 §1.6의 한 겹 규칙 하나다. 스스로 판정한 뒤에 아래 풀이와 대조한다. **풀이.** $C$의 원소 목록은 두 항목 — $\emptyset$과 $\{\emptyset\}$ — 이고, 확인 12에서 본 대로 이 둘은 서로 다른 대상이므로 $|C| = 2$. $\emptyset \in C$는 후보 $\emptyset$이 목록의 첫 항목과 통째로 일치하므로 참이다. 산문으로 몇 문장에 끝났다. 표와 확인 상자는 연습 단계의 장치이고, 실전의 판정은 처음부터 끝까지 이런 산문이다. ### 관찰 — 세 예제의 같은 절차 :::{container} quotebox **확인 17.** 세 예제가 공통으로 밟은 절차를 대응표로 확인하자. 각 단계에 해당하는 예제 속 행동을 찾아 보자. ① 형태 판별(조건형/생성형/나열): 예제 2.2에서는 $\underline{\qquad}$ ② 무대$\cdot$규칙 확정: 예제 2.1에서는 $\underline{\qquad}$ ③ 대입 검산: 예제 2.1에서는 $\underline{\qquad}$ ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown ① 콜론 왼쪽이 변수인지($A$) 식인지($B$)를 보고 걸러내기/만들어내기를 정했다. ② 만드는 식 $4k$와 재료 범위 $\mathbb{N}$을 확정했다. ③ $k = 1, 2, 3$을 넣어 나열이 재생되는지, $20$이 그 꼴로 표현되는지 — 두 방향을 대입으로 확인했다. ::: 방금 확인한 절차에 이름을 붙인다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **집합 번역의 3단계** ① 콜론 왼쪽을 본다 — 변수면 걸러내기(조건형), 식이면 만들어내기(생성형) $\to$ ② 무대(재료 범위)와 조건(생성식)을 확정한다 $\to$ ③ 값 몇 개를 양방향으로 대입해 검산한다 ::: 이 절차는 4주차($\subseteq$ 판정)와 27주차(상등 증명)에서도 첫 단계로 쓰인다. ## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며 읽기에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 답은 해설(6장)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다. ### 훈련 1 ●○○ — 표기 빈칸 (1) 홀수 전체의 집합을 생성형으로: $\{\underline{\quad}\ :\ k \in \mathbb{Z}\}$ (2) 홀수 전체의 집합을 조건형으로: $\{x \in \mathbb{Z} : x = 2k+1 \text{인 정수 } k\text{가 } \underline{\quad}\}$ (3) $\{x \in \mathbb{N} : x \mid 12\} = \{\underline{\qquad\qquad}\}$ (나열) (4) $|\{\{1,2\}, \{3\}, \emptyset\}| = \underline{\quad}$ ### 훈련 2 ●●○ — 판정과 근거를 함께 이번에는 소속 판정문을 근거와 함께 완성한다. **판정 A.** $6 \in \{x \in \mathbb{Z} : x^2 < 40\}$인가. ① 무대 검사: $6 \in \underline{\quad(1)\quad}$ — 통과. ② 조건 검사: $6^2 = \underline{\quad(2)\quad}$이고 이 값은 $40$보다 작다 — 통과. 따라서 원소$\underline{\quad(3)\quad}$ (이다 / 아니다). **판정 B.** $10 \in \{4k : k \in \mathbb{N}\}$인가. 생성형이므로 재료의 존재를 묻는다: $10 = 4k$로 두면 $k = \underline{\quad(4)\quad}$인데, 이 수는 $\underline{\quad(5)\quad}$가 아니므로 그런 재료 $k$는 존재하지 않는다. 따라서 원소가 $\underline{\quad(6)\quad}$ (이다 / 아니다). ### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고 말로 주어진 모임을 표기로 세우는 전 과정을 혼자 수행한다. 집합 번역의 3단계의 각 칸을 통째로 채운다. **모임.** 1 이상 100 이하의 짝수 전부. - ① 무대$\cdot$규칙 확정: $\underline{\quad(1)\quad}$ - ② 생성형: $\underline{\quad(2)\quad}$ - ③ 조건형: $\underline{\quad(3)\quad}$ - ④ 검산 (양방향 대입 한 번씩): $\underline{\quad(4)\quad}$ (이 훈련이 문제 4의 예행연습이다.) ## 연습문제 (20문항) 해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 '접근'까지만 읽고 다시 시도한다 $\to$ 그래도 안 되면 풀이를 읽는다. :::{admonition} 이번 주의 채점 기준 :class: quotebox 답이 아니라 **근거**가 점수다. 나열 문제는 나열 자체보다 "무대 확인 $\to$ 조건$\cdot$생성식 적용 $\to$ 경계 검산"의 절차가, 판정 문제는 참$\cdot$거짓보다 두 단계 검사(무대$\cdot$조건)와 한 겹 규칙의 인용이 점수다. 난이도와 무관하게, 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다. ::: ### 기본 ●○○ **1.** 다음을 나열하시오. (a) $\{x \in \mathbb{Z} : -2 \le x < 3\}$ (b) $\{x \in \mathbb{N} : x^2 \le 20\}$ (c) $\{x \in \mathbb{R} : x^2 = 9\}$ (d) $\{x \in \mathbb{N} : x^2 = 9\}$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 무대부터 확인한다. (a)는 경계에 주의 — $-2$는 $\le$이므로 포함, $3$은 $<$이므로 제외다. (c)와 (d)는 조건이 같다 — 무대가 무엇을 지우는지 본다. ::: **2.** 다음을 나열하시오. (a) $\{x \in \mathbb{N} : x \mid 15\}$ (b) $\{x \in \mathbb{Z} : -1 \le x \le 1\}$ (c) $\{x \in \mathbb{R} : x^2 + 1 = 0\}$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (a)의 조건 $x \mid 15$는 정의 2.1로 읽는다 — $15 = xc$인 정수 $c$가 존재하는가. (c)는 조건을 통과하는 실수가 있는지부터 본다 — 통과자가 없으면 답은 공집합이고, 그것도 정상적인 답이다. ::: **3.** 참$\cdot$거짓 판정: (a) $\frac{1}{2} \in \mathbb{Z}$ (b) $\frac{1}{2} \in \mathbb{Q}$ (c) $-3 \in \mathbb{N}$ (d) $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$ (판정만; 이유는 21주차에서 증명) (e) $0.333\ldots = \frac{1}{3} \in \mathbb{Q}$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 근거는 각 수 체계의 정의다. $\mathbb{Q}$ 판정 기준은 확인 10 — "정수/0 아닌 정수" 꼴로 쓸 수 있는가. (e)는 $0.333\ldots$이 $\frac13$과 같은 수라는 사실이 문제에 이미 주어져 있다. ::: **4.** 다음을 조건제시법으로 쓰시오 (조건형$\cdot$생성형 어느 쪽이든). (a) $\{5, 10, 15, 20, \dots\}$ (b) $\{1, 4, 9, 16, 25, \dots\}$ (c) 7의 배수인 정수 전체 (d) $\{\dots, -5, -3, -1, 1, 3, 5, \dots\}$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 예제 2.1의 절차 — 규칙 읽기 $\to$ 생성식과 재료 범위 $\to$ 검산. (c)(d)에는 음수가 있다 — 재료 범위를 $\mathbb{N}$으로 잡으면 무엇이 빠지는지 대입으로 확인한다. ::: **5.** 다음 집합의 크기를 구하시오. (a) $\{1, 2, \{3, 4\}\}$ (b) $\{\{1, 2, 3\}\}$ (c) $\{\emptyset\}$ (d) $\{x \in \mathbb{Z} : x^2 < 0\}$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 크기는 최상위 한 겹의 항목 수다(확인 11). 항목의 내부에 무엇이 몇 개 들었는지는 세지 않는다. (d)는 먼저 나열을 시도해 본다. ::: **6.** 다음 각 쌍이 같은 집합인지 판정하고 이유를 한 줄로 쓰시오. (a) $\{1, 2, 2, 3\}$과 $\{3, 2, 1\}$ (b) $\{1, \{2\}\}$와 $\{1, 2\}$ (c) $\{0\}$과 $\emptyset$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 기준은 상등 기준 하나 — 각 쌍의 원소 목록을 적어 대조한다. (b)는 $\{2\}$와 $2$가 같은 대상인지, (c)는 $\{0\}$의 크기부터 확인한다. ::: ### 표준 ●●○ **7.** $A = \{\{1\}, \{1,2\}, 3\}$에 대해 참$\cdot$거짓 판정: (a) $1 \in A$ (b) $\{1\} \in A$ (c) $3 \in A$ (d) $\{3\} \in A$ (e) $2 \in A$ :::{admonition} 문제 8, 19가 빌려 쓰는 사실 — 이차부등식의 해 :class: quotebox 실수 무대에서 $p < q$일 때 $(x-p)(x-q) \le 0$의 해는 $p \le x \le q$이고, $(x-p)(x-q) < 0$의 해는 $p < x < q$다. 고1에서 배운 이 사실은 지금은 증명 없이 인정하고 쓴다(부등식 증명 자체는 16주차에서 다룬다). ::: **8.** $\{x \in \mathbb{Z} : x^2 - 4x + 3 \le 0\}$을 나열하시오. (고1 이차부등식 복습) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 두 단계로 나눈다: ① 실수에서 부등식을 푼다 — 인수분해 $(x-1)(x-3)$에 위 상자의 사실을 적용 ② 그 구간을 무대 $\mathbb{Z}$로 걸러 정수만 남긴다. ::: **9.** $\{3k+1 : k \in \mathbb{Z}\}$와 $\{3k-2 : k \in \mathbb{Z}\}$를 각각 몇 개 나열해 보고, 두 집합이 같은지 다른지 직관적으로 판단하시오. (같음의 엄밀한 증명은 27주차) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 각 표기에 $k = -1, 0, 1, 2$를 넣어 값을 비교한다. 같아 보이면 근거를 만든다 — $3k - 2$의 $k$ 자리에 $k+1$을 넣으면 무엇이 나오는가. ::: **10.** 생성형 $\{x^2 : x \in \mathbb{Z}, -3 \le x \le 3\}$을 나열하시오. 크기가 7이 아닌 이유를 한 문장으로 쓰시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 확인 9와 같은 상황이다 — 재료 일곱 개를 전부 넣어 값 목록을 만든 뒤, 집합으로 모으면서 중복을 지운다. ::: **11.** 다음 생성형 집합을 나열하고 크기를 구하시오. (a) $\{2^k : k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\}$ (b) $\{(-1)^n : n \in \mathbb{N}\}$ **12.** $\{(2k+1)^2 : k \in \mathbb{Z}\}$의 원소를 작은 것부터 5개 나열하시오. 이 집합을 말로 표현하면 무엇인가? :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown $k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$ — 음수 $k$를 빠뜨리기 쉽다. $k = -2$가 만드는 값은 무엇이고, 그 값은 처음 나오는 값인가. "말로 표현"은 생성식 $(2k+1)^2$의 두 부분($2k+1$, 제곱)을 각각 읽으면 된다(확인 8). ::: **13.** $\{x \in \mathbb{Q} : 2x \in \mathbb{Z}\}$의 원소를 5개 제시하고, 이 집합을 생성형으로 쓰시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 조건 "$2x \in \mathbb{Z}$"를 등식으로 바꾼다 — $2x = k$인 정수 $k$가 있다는 뜻이므로 $x$에 대해 풀면 생성식이 나온다. ::: **14.** 다음 중 공집합인 것을 모두 고르시오. (a) $\{x \in \mathbb{N} : x < 1\}$ (b) $\{x \in \mathbb{Z} : x^2 = 3\}$ (c) $\{0\}$ (d) $\{\emptyset\}$ (e) $\{x \in \mathbb{R} : x^2 < 0\}$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 각 항목에 물을 것은 하나 — "원소가 하나라도 있는가". (c)(d)는 목록에 항목이 이미 보인다. 그 항목이 무엇이든 하나 있으면 공집합이 아니다. ::: ### 도전 ●●● **15.** $D = \{x \in \mathbb{Q} : x = \frac{n}{n+1} \text{인 } n \in \mathbb{N}\text{이 존재}\}$의 원소를 작은 것부터 4개 나열하고, $1 \in D$인지 판정하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown $n = 1, 2, 3, \dots$을 차례로 넣어 원소를 수집한다. "$1 \in D$?"는 방정식 $\frac{n}{n+1} = 1$이 자연수 해를 갖는가로 번역된다 — 훈련 2의 판정 B와 같은 요령이다. ::: :::{admonition} 문제 16이 예습하는 틀 — 양방향 원소 추적 :class: quotebox 두 집합이 같음을 보이는 표준 방법: 왼쪽 집합의 임의의 원소가 오른쪽 집합의 자격을 갖추는 것과, 오른쪽 집합의 임의의 원소가 왼쪽 집합의 자격을 갖추는 것을 **각각** 보인다. 두 방향이 끝나면 원소가 완전히 같으므로 상등 기준에 의해 두 집합은 같다. 각 방향에서 쓸 근거는 정의뿐이다(근거 ①). 27주차 상등 증명의 표준 틀을 여기서 앞당겨 경험한다. ::: **16.** 두 표기 $\{x \in \mathbb{Z} : 6 \mid x\}$와 $\{6k : k \in \mathbb{Z}\}$가 **같은 집합**임을 설명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown "왼쪽 집합의 임의의 원소가 오른쪽에도 들어 있고, 그 반대도 성립한다"를 정의 2.1로 보이면 된다. 왼쪽 $\to$ 오른쪽 방향에서 조건 $6 \mid x$를 정의 2.1로 풀면 오른쪽의 생성 꼴이 그대로 나온다. ::: **17.** $|A| = 2$이면서 $\emptyset \in A$이고 $\{\emptyset\} \in A$인 집합 $A$를 제시하시오. 이 $A$에 대해 $|A|$가 2인 이유를 설명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 목록에 두 개 적었다고 크기가 2인 것은 아니다 — $\{1, 1\}$의 크기는 1이다. 크기 2의 근거로 무엇을 확인해야 하는가(확인 12). ::: :::{admonition} 문제 18이 빌려 쓰는 사실 — 절댓값 부등식 :class: quotebox $c \ge 0$일 때 $|A| \le c \iff -c \le A \le c$다. 고1에서 배운 이 동치는 지금은 증명 없이 인정하고 쓴다(절댓값의 정의와 경우 나누기는 17주차에서 다룬다). ::: **18.** $\{x \in \mathbb{Z} : |2x - 1| \le 5\}$를 나열하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 위 상자의 동치로 절댓값을 벗기면 $-5 \le 2x - 1 \le 5$. 세 변을 함께 정리해 $x$의 구간을 만든 뒤, 문제 8처럼 무대 $\mathbb{Z}$로 거른다. ::: **19.** $\{x \in \mathbb{N} : x^2 - 2x - 15 < 0\}$을 나열하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 문제 8과 같은 2단계 분업이다 — 인수분해가 $(x-5)(x+3)$이고, 이번 무대는 $\mathbb{N}$이므로 구간의 한쪽이 통째로 잘려 나간다. ::: **20.** (서술) "표기가 달라도 같은 집합일 수 있다"를 보여 주는 서로 다른 예를 두 개 만드시오. (문제 9를 참고하되 새로운 예로. 각 예마다 두 표기가 같은 집합을 가리키는 이유를 한 줄씩) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 만드는 방법 세 가지: ① 생성식의 평행이동(문제 9 유형) ② 조건형 $\leftrightarrow$ 생성형 또는 나열의 번역(예제 2.1 유형) ③ 조건을 동치인 다른 조건으로 교체. 어느 방법이든 "같은 이유"는 상등 기준 — 원소가 완전히 같음 — 으로 적는다. ::: ## 백지 재현 — 복습 프로토콜 권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다. **1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용.** 집합 번역의 3단계와 §1.5의 해부 표만 펴 놓고, 수 체계 표와 예제 2.1~2.3을 처음부터 끝까지 적는다. 본문은 보지 않는다. **2차 시도 (5일차) — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다: - [ ] $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ 기호와 뜻을 쓰고, $\mathbb{Q}$는 조건제시법 정의($b \neq 0$ 조각까지)로 썼다. - [ ] $\{x \in S : P(x)\}$를 소리 내어 읽고, 소속 판정의 두 단계(무대 검사$\cdot$조건 검사)를 말했다. - [ ] 조건형과 생성형의 차이를 예 하나씩 들어 설명했다. - [ ] $\emptyset$과 $\{\emptyset\}$의 차이를 크기로 설명했다. - [ ] 짝수$\cdot$홀수 전체의 집합을 생성형으로 쓰고 1주차 정의 1.1, 1.2와 연결했다. **막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다. | **막힌 지점** | **처방** | |---|---| | $\mathbb{Q}$의 정의가 기억나지 않는다 | §1.5 확인 10 — "$b \neq 0$"까지 조각의 이유와 함께 다시 외운다 | | 조건형과 생성형이 헷갈린다 | §1.5의 두 형태 구분과 확인 9 — 콜론 왼쪽부터 본다 | | 소속 판정에서 항목의 내부를 열어 본다 | §1.6 한 겹 규칙 — 확인 11을 다시 판정한다 | | 공집합 관련 판정이 흔들린다 | 확인 12와 문제 14 — "원소가 하나라도 있는가"와 크기로 구분한다 | 하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다. ## 해설 각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 1 (1) $2k+1$ (2) 존재한다 (3) $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$ (4) $3$ ※ (2)의 "존재한다"가 정의 1.2 그대로다 — 조건형의 조건 자리에는 1주차의 정의가 문장째 들어간다. (4)는 한 겹 규칙: 항목은 $\{1,2\}$, $\{3\}$, $\emptyset$ 세 개다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 2 (1) $\mathbb{Z}$ (2) $36$ (3) 이다 (4) $\frac{10}{4} = 2.5$ (5) 자연수 (6) 아니다 ※ 생성형의 소속 판정은 방정식 풀기가 된다 — "$10 = 4k$인 재료 $k$가 범위 안에 존재하는가". 조건형의 두 단계 검사와 형태만 다를 뿐, 둘 다 표기를 읽고 검사하는 일이다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 3 (1) 무대는 $\mathbb{N}$(1 이상만 다루므로), 규칙은 "짝수이고 100 이하" — 생성 관점으로는 "$2k$ 꼴, $k = 1, \dots, 50$". (2) $\{2k : k \in \mathbb{N},\ k \le 50\}$ (3) $\{x \in \mathbb{N} : 2 \mid x,\ x \le 100\}$ (4) 표기$\to$나열: $k = 1 \to 2$ ✓ (나열의 첫 원소). 나열$\to$표기: $100 = 2 \times 50$이고 $50 \in \mathbb{N}$, $50 \le 50$ ✓. 경계 밖 검사: $102$는 $2 \mid 102$이지만 $x \le 100$ 위반으로 탈락 ✓. ※ 조건이 두 개면 쉼표로 잇고 "그리고"로 읽는다 — 확인 10의 $\mathbb{Q}$에서 이미 본 형태다. ### 문제 1 **접근.** 조건형 나열은 걸러내기다: 무대($\mathbb{Z}$? $\mathbb{N}$? $\mathbb{R}$?)를 먼저 확인하고, 조건을 통과하는 원소를 경계까지 정확히 수집한다. (c)와 (d)는 조건이 같고 무대만 다르다 — 확인 6에서 본 현상이 답을 가른다. **풀이.** (a) 조건 $-2 \le x < 3$: 왼쪽 부등호는 $\le$이므로 $-2$ 포함, 오른쪽은 $<$이므로 $3$ 제외. 그 사이의 정수를 나열하면 $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$. (b) $x^2 \le 20$인 자연수: $1^2 = 1$, $2^2 = 4$, $3^2 = 9$, $4^2 = 16$은 20 이하이고 $5^2 = 25 > 20$부터 탈락. $\{1, 2, 3, 4\}$. (c) $x^2 = 9$의 실수 해는 $x = 3$과 $x = -3$ 둘 다이고, 둘 다 실수이므로 $\{-3, 3\}$. (d) 같은 방정식이지만 무대가 $\mathbb{N}$: $-3$이 무대 검사에서 탈락한다. $\{3\}$. **복기.** 무대가 답을 바꾼다 — (c)와 (d)는 조건이 같아도 다른 집합이다. 나열 문제의 첫 확인은 언제나 무대다. ### 문제 2 **접근.** (a)는 조건 $x \mid 15$를 정의 2.1로 읽는다 — "$15 = xc$인 정수 $c$가 존재하는가"를 자연수 $x$마다 검사한다. (c)는 통과자가 없으면 공집합 — §1.5 읽기 훈련 마지막 줄의 상황이다. **풀이.** (a) $15 = 1 \times 15 = 3 \times 5$이므로 통과하는 자연수는 $1, 3, 5, 15$가 전부다 (예컨대 $x = 2$는 $15 = 2c$인 정수 $c$가 없어 탈락). $\{1, 3, 5, 15\}$. (b) $-1 \le x \le 1$인 정수: 양 끝이 모두 $\le$이므로 둘 다 포함. $\{-1, 0, 1\}$. (c) $x^2 + 1 = 0$이면 $x^2 = -1$인데, 실수의 제곱은 항상 0 이상이므로 그런 실수는 없다. 따라서 $\emptyset$. **복기.** "그런 원소가 없다"는 결론을 피하지 않는다 — 공집합은 오답이 아니라 정상적인 답 중 하나다. ### 문제 3 **접근.** 각 수가 해당 수 체계의 소속 검사를 통과하는지 본다. $\mathbb{Q}$ 판정 기준은 확인 10의 정의 — "정수/0 아닌 정수" 꼴로 쓸 수 있는가. **풀이.** (a) 거짓 — $0 < \frac12 < 1$이므로 $\frac12$는 정수 나열 $\dots, 0, 1, \dots$ 어디에도 없다. (b) 참 — $a = 1$, $b = 2$로 $\frac{a}{b}$ 꼴이 되어 $\mathbb{Q}$의 정의를 만족한다. (c) 거짓 — 자연수는 $1, 2, 3, \dots$으로 1부터다. $-3$은 없다. (d) 거짓 — $\sqrt{2}$는 무리수, 곧 $\frac{a}{b}$ 꼴로 쓸 수 없는 실수다. (이 사실의 증명은 21주차 귀류법에서 한다 — 지금은 판정만.) (e) 참 — $0.333\ldots = \frac13$이고 $a = 1$, $b = 3$으로 정의를 만족한다. 무한소수로 표기되어 있어도 분수로 쓸 수 있으면 유리수다. **복기.** 소속 판정의 근거는 언제나 그 집합의 정의다. "느낌상 아니다"가 아니라 "$\frac{a}{b}$ 꼴 여부"로 답한다. ### 문제 4 **접근.** 나열에서 규칙을 읽고 생성식과 재료 범위를 정한다 — 예제 2.1의 절차 그대로. 규칙의 후보는 배수, 제곱, 홀짝 등이고, 정한 뒤에는 반드시 대입 검산한다. **풀이.** (예시 답 — 같은 집합을 가리키는 다른 표기도 정답이다.) (a) $5, 10, 15, 20, \dots$은 5의 양의 배수 전부: $\{5k : k \in \mathbb{N}\}$. 검산: $k = 1, 2 \to 5, 10$ ✓, $20 = 5 \times 4$, $4 \in \mathbb{N}$ ✓. (b) $1, 4, 9, 16, 25, \dots$은 자연수의 제곱 전부: $\{k^2 : k \in \mathbb{N}\}$. 검산: $k = 1, 2 \to 1, 4$ ✓, $25 = 5^2$ ✓. (c) 7의 배수인 정수 전체 — 0과 음의 배수도 포함하므로 재료는 $\mathbb{Z}$: $\{7k : k \in \mathbb{Z}\}$, 조건형으로는 $\{x \in \mathbb{Z} : 7 \mid x\}$. (d) $\dots, -5, -3, -1, 1, 3, 5, \dots$은 홀수 전체 — 음수를 포함하므로 $\{2k+1 : k \in \mathbb{Z}\}$. $k \in \mathbb{N}$으로 잡으면 $k = 1, 2, \dots \to 3, 5, \dots$만 나와 $1$과 음의 홀수가 전부 빠진다. **복기.** 재료 범위($\mathbb{N}$인가 $\mathbb{Z}$인가)가 (a)와 (c)(d)를 가른다 — 나열에 0이나 음수가 보이면 범위를 $\mathbb{Z}$로 의심한다. ### 문제 5 **접근.** 크기는 최상위 한 겹의 항목 수다. 항목의 내부는 열지 않는다. (d)는 먼저 나열을 시도한다. **풀이.** (a) 항목은 $1$, $2$, $\{3, 4\}$ — $\{3, 4\}$는 통째로 한 항목이다. 크기 3. (b) 항목은 $\{1, 2, 3\}$ 하나뿐이다 — 내부의 1, 2, 3은 세지 않는다. 크기 1. (c) 항목은 $\emptyset$ 하나 — 크기 1 (확인 12). (d) 제곱이 음수인 정수는 없으므로 이 집합은 $\emptyset$ — 크기 0. **복기.** (c)와 (d)의 대비가 이 문제의 목적이다: $\{\emptyset\}$은 크기 1, $\emptyset$은 크기 0. "비어 보이는" 두 표기가 다른 집합이다. ### 문제 6 **접근.** 상등 기준(§1.2)은 하나 — 원소가 완전히 같은가. 각 쌍의 원소 목록을 적어 대조한다. **풀이.** (a) 같다 — 왼쪽의 원소는 $1, 2, 3$ (중복 표기는 소속을 바꾸지 않는다), 오른쪽도 $1, 2, 3$ (순서는 무관). 목록이 일치한다. (b) 다르다 — 왼쪽의 원소는 $1$과 $\{2\}$, 오른쪽은 $1$과 $2$. $\{2\}$는 집합이고 $2$는 수이므로 $\{2\} \neq 2$ — 목록이 다르다. (c) 다르다 — $\{0\}$은 원소 $0$ 하나를 가지므로 $|\{0\}| = 1 \neq 0 = |\emptyset|$. 크기부터 다르므로 같은 집합일 수 없다. 숫자 0을 "없음"으로 읽는 습관이 $\{0\}$을 빈 집합으로 보이게 하지만, 0은 엄연히 대상 하나다. **복기.** 상등 시비는 전부 원소 목록 대조로 끝난다. 27주차의 상등 증명은 이 기준을 무한집합에서도 쓸 수 있게 정식화한 것이다. ### 문제 7 **접근.** 한 겹 규칙 — 후보를 원소 목록($\{1\}$, $\{1,2\}$, $3$)과 통째로 대조한다. 내부는 열지 않는다. **풀이.** (a) 거짓 — 목록의 세 항목 중 숫자 $1$은 없다. $1$은 항목 $\{1\}$의 내부에 있을 뿐이다. (b) 참 — 첫 항목이 정확히 $\{1\}$이다. (c) 참 — 셋째 항목이 $3$이다. (d) 거짓 — $\{3\}$이라는 항목은 없다. $3$은 있지만 $\{3\}$과 $3$은 다른 대상이다. (e) 거짓 — 숫자 $2$는 목록에 없다 ($\{1, 2\}$의 내부에만 있다). **복기.** (c)와 (d)의 대비: 원소로 들어 있는 것은 $3$이지 $\{3\}$이 아니다. 괄호 한 겹이 대상을 바꾼다. ### 문제 8 **접근.** 두 단계 분업: ① 실수 무대에서 부등식을 푼다(인수분해 $\to$ 문제 앞 상자의 사실) ② 그 구간을 무대 $\mathbb{Z}$로 걸러 정수만 남긴다. "부등식 풀기"와 "집합 나열"을 한 번에 하려면 헷갈린다 — 나눠서 한다. **풀이.** 인수분해: $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$. 문제 앞 상자의 사실에 의해 $$ (x-1)(x-3) \le 0 \iff 1 \le x \le 3 $$ 이 구간의 정수는 $1, 2, 3$이므로 구하는 집합은 $\{1, 2, 3\}$. 검산: $x = 1 \to 1 - 4 + 3 = 0 \le 0$ ✓ (경계 포함), $x = 2 \to 4 - 8 + 3 = -1 \le 0$ ✓, $x = 0 \to 0 - 0 + 3 = 3 > 0$ 탈락 ✓. **복기.** 실수에서 풀고, 무대로 거른다 — 문제 18, 19가 같은 분업이다. ### 문제 9 **접근.** 표기가 다르면 일단 원소를 몇 개 뽑아 비교한다 — 각 표기에 $k = -1, 0, 1, 2$ 정도를 넣는다. 같아 보이면 "한쪽 식을 다른 쪽 꼴로 변형"할 수 있는지 보아 근거를 만든다. **풀이.** $\{3k+1 : k \in \mathbb{Z}\}$: $k = -1, 0, 1, 2 \to -2, 1, 4, 7$. $\{3k-2 : k \in \mathbb{Z}\}$: $k = 0, 1, 2, 3 \to -2, 1, 4, 7$. 같은 값들이 나온다. 이유: $3k - 2 = 3(k-1) + 1$이므로 오른쪽 표기가 만드는 값은 전부 왼쪽 표기의 꼴($3 \times \text{정수} + 1$)이고, 거꾸로 $3k + 1 = 3(k+1) - 2$이므로 왼쪽 표기가 만드는 값도 전부 오른쪽 꼴이다. 어느 쪽의 원소든 다른 쪽 꼴로 표현되므로 **같은 집합**이다. **복기.** "표기가 다르다 $\neq$ 집합이 다르다." 판단 순서: 값을 뽑아 비교 $\to$ 식 변형으로 근거 만들기. 이 직관 수준의 논증을 정식 증명으로 바꾸는 일은 27주차 예제 2.3에서 바로 이 문제를 다시 불러 이루어진다. ### 문제 10 **접근.** 생성형 — 재료 $x = -3, \dots, 3$ 일곱 개를 전부 식에 넣고, 결과를 집합으로 모을 때 중복을 지운다. 확인 9와 같은 상황이다. **풀이.** 제곱값을 차례로 계산하면 $(-3)^2 = 9$, $(-2)^2 = 4$, $(-1)^2 = 1$, $0^2 = 0$, $1^2 = 1$, $2^2 = 4$, $3^2 = 9$. 값의 목록은 $9, 4, 1, 0, 1, 4, 9$이지만 집합은 중복을 세지 않으므로 $\{0, 1, 4, 9\}$ — 크기 4. 크기가 7이 아닌 이유(한 문장): $x$와 $-x$가 같은 제곱값을 만들어, 일곱 번의 생성이 서로 다른 값을 네 개만 내놓기 때문이다. **복기.** 생성 횟수 $\neq$ 원소 개수. 생성형의 크기는 반드시 중복을 병합한 뒤에 센다. ### 문제 11 **접근.** (a)는 재료 다섯 개를 전부 대입한다. (b)는 재료가 무한($\mathbb{N}$ 전체)이지만 생성되는 값이 몇 개인지 본다 — 문제 10의 병합이 극단적으로 일어난다. **풀이.** (a) $2^0 = 1$, $2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$, $2^4 = 16$ — 다섯 값이 전부 다르므로 $\{1, 2, 4, 8, 16\}$, 크기 5. (b) $(-1)^n$은 $n$이 홀수면 $-1$, 짝수면 $1$ — $n$이 아무리 커져도 값은 이 둘뿐이다. $\{-1, 1\}$, 크기 2. **복기.** 무한한 재료가 유한한 집합을 만들 수 있다. 크기 문제에서 "재료의 개수"를 세고 있었다면 멈추고 "값의 개수"를 센다. ### 문제 12 **접근.** $k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$를 넣어 값을 모으고 작은 것부터 정렬한다. 서로 다른 $k$가 같은 값을 줄 수 있음(문제 10)에 주의한다. "말로 표현"은 생성식 $(2k+1)^2$의 두 부분 — $2k+1$과 제곱 — 을 읽으면 된다. **풀이.** $k = 0 \to 1^2 = 1$, $k = -1 \to (-1)^2 = 1$, $k = 1 \to 3^2 = 9$, $k = -2 \to (-3)^2 = 9$, $k = 2 \to 5^2 = 25$, $k = 3 \to 7^2 = 49$, $k = 4 \to 9^2 = 81$. 작은 것부터 5개: $1, 9, 25, 49, 81$. 말로: $2k+1$($k \in \mathbb{Z}$)은 홀수 전체를 훑으므로(확인 8), 이 집합은 **홀수의 제곱 전체의 집합**이다. $k$와 $-k-1$이 부호만 다른 같은 홀수 크기를 주므로(예: $k = 1$과 $k = -2$가 각각 $3$과 $-3$) 두 재료가 같은 원소를 만든다. **복기.** 생성식을 말로 되읽는 훈련이다 — "$(2k+1)^2$ = 홀수의 제곱". 표기를 읽을 줄 알면 집합의 정체가 문장으로 나온다. ### 문제 13 **접근.** 조건 "$2x \in \mathbb{Z}$"를 등식으로 뒤집는다: $2x = k$인 정수 $k$가 있다는 뜻이므로 $x = \frac{k}{2}$. 조건형을 풀어 생성형을 얻는 문제다. **풀이.** 원소 다섯 개(예): $0$ ($2 \times 0 = 0 \in \mathbb{Z}$), $\frac12$ ($2 \times \frac12 = 1$), $1$ ($2 \times 1 = 2$), $-\frac32$ ($2 \times (-\frac32) = -3$), $7$ ($2 \times 7 = 14$). 생성형 유도: $x$가 원소 $\iff$ $2x = k$인 정수 $k$가 존재 $\iff$ $x = \frac{k}{2}$인 정수 $k$가 존재. 따라서 이 집합은 $\left\{ \frac{k}{2} : k \in \mathbb{Z} \right\}$ — 정수 전부와 "정수 $+ \frac12$" 꼴이 전부 들어 있는 집합이다. 검산: $k = 3 \to \frac32$, $2 \times \frac32 = 3 \in \mathbb{Z}$ ✓. 반대쪽 검사: $\frac13$은 $2 \times \frac13 = \frac23 \notin \mathbb{Z}$이므로 원소가 아니다 ✓. **복기.** 조건형 $\leftrightarrow$ 생성형 번역의 축은 등식이다 — 조건을 "$=$ 꼴"로 다시 쓰면 생성식이 나온다. 1주차 §1.1("개념이 등식이 되어야 계산이 시작된다")과 같은 원리다. ### 문제 14 **접근.** 각 후보에 물을 것은 하나 — "원소가 하나라도 있는가". (c)(d)는 목록에 항목이 보이므로 즉답이고, (a)(b)(e)는 조건을 통과할 후보가 없음을 근거와 함께 말한다. **풀이.** 공집합인 것: **(a), (b), (e)**. (a) 1 미만의 자연수 — 자연수는 1부터이므로 없다. 공집합. (b) $x^2 = 3$의 해는 $\pm\sqrt{3}$인데 $1^2 = 1 < 3 < 4 = 2^2$이므로 $\sqrt{3}$은 1과 2 사이의 수, 정수가 아니다. 정수 해가 없으므로 공집합. (c) 항목 $0$이 있다 — $|\{0\}| = 1$. 공집합이 아니다. (d) 항목 $\emptyset$이 있다 — $|\{\emptyset\}| = 1$ (확인 12). 공집합이 아니다. (e) 실수의 제곱은 항상 0 이상이므로 $x^2 < 0$인 실수는 없다. 공집합. **복기.** 공집합 판정은 존재 질문이다. 표기가 복잡해 보여도 "통과자가 있는가" 하나만 물으면 된다. ### 문제 15 **접근.** 조건이 "존재"로 적혀 있다: $x = \frac{n}{n+1}$인 자연수 $n$이 존재하는 유리수 전부. $n = 1, 2, 3, \dots$을 차례로 넣어 원소를 수집한다. "$1 \in D$인가"는 방정식 $\frac{n}{n+1} = 1$이 자연수 해를 갖는가로 번역된다 — 소속 판정이 방정식 풀기가 되는 훈련 2의 상황이다. **풀이.** $n = 1, 2, 3, 4$에서 $\frac12, \frac23, \frac34, \frac45$가 나온다. 이 수열은 증가한다 — $\frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$이고, $n$이 커질수록 빼는 양 $\frac{1}{n+1}$이 작아지기 때문이다. 따라서 작은 것부터 4개는 $\frac12, \frac23, \frac34, \frac45$다. $1 \in D$ 판정: $\frac{n}{n+1} = 1$이려면 양변에 $n+1$을 곱해 $n = n + 1$, 곧 $0 = 1$이 되어야 하므로 성립하는 자연수 $n$은 없다. 따라서 $1 \notin D$. 관찰: $1 - \frac{n}{n+1} = \frac{1}{n+1}$은 $n$을 키우면 얼마든지 작아진다 — 원소들이 1에 한없이 가까워지지만 1 자신은 원소가 아니다. 이 관찰은 45주차에서 극한 정리($\lim \frac{n}{n+1} = 1$)로 정식화된다. **복기.** "존재"가 든 조건의 소속 판정은 방정식의 해 존재 문제로 번역된다 — 판정이 계산이 되는 순간이다. ### 문제 16 **접근.** 문제 앞 상자의 틀 — 양방향 원소 추적. 왼쪽 집합의 임의의 원소가 오른쪽의 자격(생성 꼴)을 갖추는지, 오른쪽 집합의 임의의 원소가 왼쪽의 자격(무대 + 조건)을 갖추는지를 각각 보인다. 각 방향에서 쓸 근거는 정의 2.1과 정의 3.3의 두 단계 검사뿐이다. **풀이.** (왼쪽 $\to$ 오른쪽) $x$를 왼쪽 집합 $\{x \in \mathbb{Z} : 6 \mid x\}$의 임의의 원소라 하자. 소속의 두 검사에 의해 $x \in \mathbb{Z}$이고 $6 \mid x$다. 정의 2.1에 의해 $x = 6k$인 정수 $k$가 존재한다. 이는 정확히 오른쪽 집합 $\{6k : k \in \mathbb{Z}\}$의 생성 꼴이므로 $x$는 오른쪽 집합의 원소다. (오른쪽 $\to$ 왼쪽) $x$를 오른쪽 집합의 임의의 원소라 하자. 생성 꼴에 의해 $x = 6k$인 정수 $k$가 존재한다. 정수의 곱은 정수이므로(근거 ②) $x \in \mathbb{Z}$ — 무대 검사 통과. 그리고 $x = 6k$는 정의 2.1 그대로 $6 \mid x$를 뜻한다 — 조건 검사 통과. 따라서 $x$는 왼쪽 집합의 원소다. 어느 쪽의 원소든 다른 쪽의 원소이므로, 상등 기준(원소가 완전히 같다)에 의해 두 집합은 같다. $\blacksquare$ **복기.** 이 양방향 원소 추적이 집합 상등 증명의 표준 틀이다 — 27주차에서 정식으로 다룬다. 각 방향의 진행은 1주차의 3단계 틀 그대로였다: 임의의 원소를 문자로 잡고, 소속을 정의로 풀고, 목표 쪽 자격의 꼴을 만들었다. ### 문제 17 **접근.** 요구 조건이 곧 설계도다: $\emptyset$과 $\{\emptyset\}$을 원소로 넣어야 하고, 크기가 2여야 하므로 그 둘만 넣는다. 남는 일은 "그 둘이 정말 서로 다른 대상인가"의 확인이다 — 이것이 빠지면 크기가 2라는 주장에 근거가 없다. **풀이.** $A = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$로 잡는다 (예제 2.3의 $C$와 같은 집합이다). 요구 조건 검사: $\emptyset \in A$ — 목록의 첫 항목과 통째로 일치, 참. $\{\emptyset\} \in A$ — 둘째 항목과 일치, 참. $|A| = 2$인 이유: 목록의 항목은 $\emptyset$과 $\{\emptyset\}$ 둘이고, 확인 12에서 본 대로 $|\emptyset| = 0 \neq 1 = |\{\emptyset\}|$이므로 두 항목은 서로 다른 대상이다. 서로 다른 원소가 정확히 두 개 — 크기 2다. **복기.** "크기가 2"를 말하려면 두 항목이 서로 다르다는 근거까지가 답이다. 목록에 두 개 적었다고 크기가 2인 것이 아니다 — $\{1, 1\}$의 크기는 1이다. ### 문제 18 **접근.** 문제 앞 상자의 동치로 절댓값을 벗기고, 실수에서 $x$의 구간을 구한 뒤, 무대 $\mathbb{Z}$로 거른다 — 문제 8의 2단계 분업 앞에 "절댓값 벗기기"가 한 단계 붙는다. **풀이.** $$ |2x - 1| \le 5 \iff -5 \le 2x - 1 \le 5 \iff -4 \le 2x \le 6 \iff -2 \le x \le 3 $$ 각 단계의 근거: 절댓값 동치(문제 앞 상자) $\to$ 세 변에 1을 더함 $\to$ 세 변을 2로 나눔(2는 양수이므로 부등호 방향 유지). 이 구간의 정수를 나열하면 $\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$. 검산: $x = -2 \to |2(-2) - 1| = |-5| = 5 \le 5$ ✓ (경계 포함), $x = 4 \to |7| = 7 > 5$ 탈락 ✓. **복기.** 경계가 포함되는지($\le$인지 $<$인지)를 검산 대입으로 확정하는 습관 — 나열 문제의 오류 대부분이 경계에서 난다. ### 문제 19 **접근.** 문제 8과 같은 2단계 분업. 단 이번 무대는 $\mathbb{N}$이므로, 실수에서 구한 구간 중 0 이하 쪽이 통째로 잘려 나간다. **풀이.** 인수분해: $x^2 - 2x - 15 = (x-5)(x+3)$. 문제 앞 상자의 사실에 의해 $$ (x+3)(x-5) < 0 \iff -3 < x < 5 $$ 이 구간의 자연수는 $1, 2, 3, 4$다 — 0과 음수는 $\mathbb{N}$이 아니고, $5$는 부등호가 $<$이므로 제외된다. 따라서 $\{1, 2, 3, 4\}$. 검산: $x = 4 \to 16 - 8 - 15 = -7 < 0$ ✓, $x = 5 \to 25 - 10 - 15 = 0$은 $< 0$이 아니므로 탈락 ✓. **복기.** 문제 1(c)(d)와 같은 교훈의 부등식판 — 조건이 같아도 무대가 $\mathbb{Z}$냐 $\mathbb{N}$이냐로 답이 달라진다. ### 문제 20 **접근.** "같은 집합, 다른 표기"를 만드는 흔한 방법 세 가지: ① 생성식의 평행이동(문제 9 유형) ② 조건형 $\leftrightarrow$ 생성형 또는 나열의 번역(예제 2.1 유형) ③ 조건을 동치인 다른 조건으로 교체. 어느 방법이든 "같은 이유"는 상등 기준 — 원소가 완전히 같음 — 으로 한 줄 적는다. **풀이.** (예시 답 — 이유가 맞으면 다른 예도 정답이다.) 예 1 (평행이동): $\{2k : k \in \mathbb{Z}\}$와 $\{2k + 4 : k \in \mathbb{Z}\}$. 이유: $2k + 4 = 2(k+2)$이므로 오른쪽이 만드는 값은 전부 $2 \times (\text{정수})$ 꼴이고, 거꾸로 $2k = 2(k-2) + 4$이므로 왼쪽 값도 오른쪽 꼴이다 — 둘 다 짝수 전체다. 예 2 (조건형 $\leftrightarrow$ 나열): $\{x \in \mathbb{N} : x \mid 6\}$과 $\{1, 2, 3, 6\}$. 이유: 6의 양의 약수를 전부 나열하면 정확히 $1, 2, 3, 6$이므로 두 표기의 원소가 완전히 같다. (그 외: $\{x \in \mathbb{Z} : x^2 \le 1\}$과 $\{-1, 0, 1\}$ 등 — 이유가 맞으면 정답이다.) **복기.** 이번 주 전체의 요약이 이 문제다: 집합의 정체는 표기가 아니라 원소다. 같은 집합이 전혀 다르게 생긴 표기 여럿을 가질 수 있고, 그 사이를 오가는 것이 번역이다. --- **다음 주 예고:** "$A$의 원소가 모두 $B$의 원소"라는 관계를 $A \subseteq B$로 정의한다. $\in$과 $\subseteq$를 혼동시키는 문제가 이어지므로, 이번 주의 한 겹 규칙을 단단히 해 둔다.