# 10주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설 ## 예제 — 판정과 번역을 함께 만들기 완성된 풀이를 먼저 보이지 않는다. 구조 해부에서 시작해 한 줄씩 만든다. 각 단계에서 확인 상자의 빈칸을 연필로 먼저 채운 뒤 답을 연다. ### 예제 2.1 — 기호 → 한국어 + 진리값 **문제.** 다음 각 명제를 한국어로 읽고 진리값을 판정하시오. (a) $\forall n \in \mathbb{N},\ 2n \ge n + 1$ (b) $\exists n \in \mathbb{N},\ n^2 = n$ (c) $\forall n \in \mathbb{N},\ n^2 = n$ **설계 — 판정 전에 정하는 두 가지.** 증명 문제에서 하던 대로 번역표부터 채운다. | | **이 문제에서는** | |---|---| | 가정 $\to$ 출발점 | 기호 명제 (a)(b)(c) — 각각을 양화사$\cdot$무대$\cdot$열린 문장으로 해부한다 | | 목표 $\to$ 도착점 | 한국어 번역 + 진리값 — 판정에는 비대칭 표가 요구하는 근거까지 붙인다 | 출발점의 해부가 **구조**이고, 도착점에 무엇이 필요한지가 **전략**(비대칭 표 적용)이다 — 판정 문제의 설계는 이 두 가지를 먼저 정하는 일이다. | | **(a)** | **(b)** | **(c)** | |---|---|---|---| | 양화사 | $\forall$ | $\underline{\quad}$ | $\underline{\quad}$ | | 무대 | $\mathbb{N}$ | $\mathbb{N}$ | $\mathbb{N}$ | | 열린 문장 | $2n \ge n+1$ | $\underline{\quad}$ | $\underline{\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 12.** 표의 빈칸 네 개를 채워 보자. (b)와 (c)의 행을 나란히 놓고 무엇이 같고 무엇이 다른지도 적는다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (b) $\exists$, $n^2 = n$ / (c) $\forall$, $n^2 = n$. 두 명제는 무대도 열린 문장도 같고 양화사만 다르다 — 판정이 끝나면 이 차이가 진리값에 어떻게 반영되는지 확인할 수 있는 설계다. ::: :::{container} quotebox **확인 13.** 비대칭 표를 적용해 전략 행을 채워 보자. 참이라고 짐작된다면 무엇을 제시해야 하고, 거짓이라고 짐작된다면 무엇을 제시해야 하는가. (a): $\underline{\qquad}$ / (b): $\underline{\qquad}$ / (c): $\underline{\qquad}$ ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (a) $\forall$이고 참으로 보인다 $\to$ 문자 $n$의 일반 논증. (b) $\exists$이고 참으로 보인다 $\to$ 증인 하나 + 검증 계산. (c) $\forall$인데 $n = 2$부터 수상하다 $\to$ 반례 하나 + 실패 확인. 전략이 정해졌으니 남은 것은 실행이다. ::: **(a)의 실행 — 일반 논증.** "모든 자연수 $n$에 대해 $2n \ge n + 1$"이다. 특정 $n$을 넣어 보는 것은 전략이 아니라고 확인 11에서 못 박았다 — 문자 $n$인 채로 부등식을 처리한다. :::{container} quotebox **확인 14.** $2n \ge n+1$을 "무엇 $\ge 0$" 꼴로 바꾸면 좌변은 무엇이 되고, 그것이 0 이상인 근거는 무엇인가? ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $2n - (n+1) = n - 1$. 무대가 $\mathbb{N}$이므로 $n \ge 1$, 곧 $n - 1 \ge 0$이다. 무대 조각이 논증의 근거로 쓰였다 — 무대가 $\mathbb{Z}$였다면 $n = 0$이 반례가 되어 거짓이다(§1.3의 무대 실험과 같은 현상). ::: **(b)(c)의 실행 — 증인과 반례.** :::{container} quotebox **확인 15.** (b)의 증인과 (c)의 반례를 각각 하나씩 제시하고 검증 계산을 붙여 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (b) 증인 $n = 1$: $1^2 = 1$ ✓. (c) 반례 $n = 2$: $2^2 = 4 \neq 2$. (b)는 한 명의 통과로 참이 확정되고, (c)는 한 명의 탈락으로 거짓이 확정된다 — 둘 다 "하나로 끝나는 싼 칸"이다. ::: **완성본.** 방금 만든 판정을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 "왜?"에 스스로 답해 본다. | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | (a) "모든 자연수 $n$에 대해 $2n \ge n+1$." 임의의 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $2n - (n+1) = n - 1 \ge 0$ ($n \ge 1$이므로). 따라서 참이다. | $\forall$의 참 칸 — 특정 값 대입이 아니라 문자 $n$의 일반 논증. 부등식의 근거는 무대 $\mathbb{N}$이 보장하는 $n \ge 1$이다. | | (b) "$n^2 = n$인 자연수 $n$이 존재한다." 증인 $n = 1$: $1^2 = 1$ ✓. 따라서 참이다. | $\exists$의 참 칸 — 증인 하나의 제시와 검증 계산까지가 판정이다. | | (c) "모든 자연수 $n$에 대해 $n^2 = n$." 반례 $n = 2$: $2^2 = 4 \neq 2$. 따라서 거짓이다. | $\forall$의 거짓 칸 — 반례 하나의 제시와 실패 확인까지가 판정이다. | (b)와 (c)는 같은 열린 문장 $n^2 = n$을 공유하는데 진리값이 갈렸다 — 바뀐 것은 양화사뿐이다. 열린 문장이 아니라 **양화사가 명제의 진리값을 정한다.** ### 예제 2.2 — 한국어 → 기호 **문제.** 다음 문장을 기호로 번역하시오. (a) "모든 실수의 제곱은 음이 아니다." (b) "제곱해서 2가 되는 유리수는 없다." (c) "임의의 두 유리수 사이에는 유리수가 존재한다." 이번에는 설계만 함께 하고, 번역은 완성본으로 본다. :::{container} quotebox **확인 16.** §1.7의 절차대로 세 문장의 부품을 채워 보자. (a) 무대: $\underline{\quad}$ / 양화사: $\underline{\quad}$ / 열린 문장: $\underline{\quad}$ (b) "없다"는 어느 양화사의 어떤 상태인가: $\underline{\qquad}$ (c) 변수가 몇 개이고, 무엇이 먼저 정해지는가: $\underline{\qquad}$ ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (a) 무대 $\mathbb{R}$, 양화사 $\forall$, 열린 문장 $x^2 \ge 0$. (b) "없다"는 존재의 부정이다 — $\exists$ 문장 전체에 $\neg$를 씌운다. (c) 변수 세 개: 두 유리수 $a, b$가 **먼저** 주어지고, 사이의 유리수 $c$가 **나중에** 그 둘에 의존해 존재한다 — $\forall a, \forall b$ 뒤에 $\exists c$가 서는 순서다. ::: **번역.** (a) $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \ge 0$ (b) $\neg\, \exists x \in \mathbb{Q},\ x^2 = 2$ — 부정 기호를 양화사 안쪽으로 밀어 넣어 $\forall$ 문장으로 바꾸는 법은 11주차에서 배운다(문제 20이 그 예고다). (c) $\forall a \in \mathbb{Q},\ \forall b \in \mathbb{Q},\ (a < b \Rightarrow \exists c \in \mathbb{Q},\ a < c < b)$ — "임의의 두"가 $\forall$ 두 개로, "사이에는 ~가 존재"가 조건문 속의 $\exists$로 번역됐다. 참인 명제다 — 증명은 15주차 문제 17에서 증인 $\frac{a+b}{2}$를 제작하며 완성한다. ### 예제 2.3 — 순서 대결 **문제.** $S = \{1, 2, 3\}$에서 다음의 진리값을 표를 그려 판정하시오. (a) $\forall x \in S,\ \exists y \in S,\ x + y \le 4$ (b) $\exists y \in S,\ \forall x \in S,\ x + y \le 4$ 이번에는 설계부터 스스로 한다. 구조(양화사 순서$\cdot$무대$\cdot$열린 문장)와 전략 (각 양화사에 비대칭 표 적용)을 먼저 적은 뒤, 아래 산문과 대조한다. **풀이.** 두 명제는 열린 문장 $x + y \le 4$와 무대 $S$가 같고 양화사 순서만 다르다. (a)는 $x$마다 통과하는 $y$가 하나라도 있으면 되고, (b)는 하나의 $y$가 모든 $x$를 감당해야 한다. (a) $x$를 하나씩 심사한다. $x = 1$이면 $y = 1$이 통과($1 + 1 = 2 \le 4$), $x = 2$이면 $y = 1$이 통과($3 \le 4$), $x = 3$이면 $y = 1$이 통과($4 \le 4$). 세 후보 전원에 대해 증인이 마련되었으므로 **참**이다. (b) 증인 후보 $y$를 심사한다. $y = 1$을 제시하면, 모든 $x \in S$에 대해 $x + 1 \le 4$인지 전수 확인한다: $1 + 1 = 2 \le 4$ ✓, $2 + 1 = 3 \le 4$ ✓, $3 + 1 = 4 \le 4$ ✓. 전원 통과이므로 $y = 1$은 만능 증인이고, **참**이다. 이번에는 둘 다 참이지만 이유가 다르다 — (a)는 $x$마다 증인을 새로 고를 권리를 썼고(쓸 필요까지는 없었다), (b)는 하나의 증인이 전원을 감당했다. §1.6에서 본 대로 (b)가 참이면 (a)는 자동으로 참이지만 역은 성립하지 않는다 — (a)만 참인 사례를 문제 16에서 직접 설계한다. ### 관찰 — 세 판정의 같은 뼈대 예제 2.1, 2.3의 판정은 소재만 다를 뿐 같은 세 걸음이다. 대응표의 빈칸을 채워 보자. :::{container} quotebox **확인 17.** 예제 2.3(b)의 산문에서 각 단계에 해당하는 대목을 찾아 보자. ① 구조 해부: $\underline{\qquad}$ ② 전략 결정: $\underline{\qquad}$ ③ 실행(제시 + 검증): $\underline{\qquad}$ ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown ① "열린 문장 $x + y \le 4$와 무대 $S$가 같고 양화사 순서만 다르다." ② "(b)는 하나의 $y$가 모든 $x$를 감당해야 한다" — $\exists$ 참 칸: 증인 하나, 단 그 증인의 조건이 $\forall x$이므로 검증은 전수(또는 일반) 논증. ③ "증인 $y = 1$을 제시하면 … 전수 확인한다: ✓✓✓." 예제 2.1의 (a)(b)(c)도 정확히 이 세 걸음이었다. ::: 방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **양화 명제 판정의 3단계 틀** ① 구조를 해부한다(양화사 순서$\cdot$무대$\cdot$열린 문장) $\to$ ② 비대칭 표로 무엇이 필요한지 정한다(일반 논증 / 증인 / 반례 / 전원 논증) $\to$ ③ 그것을 제시하고 검증 계산까지 적는다 ::: 이 틀이 15주차부터의 증명 기법에서 "무슨 증명을 써야 하는가"를 정하는 첫 질문이 된다. ## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며 필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(§6)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다. ### 훈련 1 ●○○ — 기호 빈칸 각 문장의 빈 자리에 $\forall$ 또는 $\exists$를 채운다. (1) "짝수인 정수가 존재한다": $\underline{\quad}\, n \in \mathbb{Z},\ \underline{\quad}\, k \in \mathbb{Z},\ n = 2k$ (2) "1은 모든 자연수의 약수다": $\underline{\quad}\, n \in \mathbb{N},\ 1 \mid n$ (3) "제곱해서 음수가 되는 실수는 없다": $\neg\, \underline{\quad}\, x \in \mathbb{R},\ x^2 < 0$ (4) $\forall$ 명제가 거짓임을 보이는 데 필요한 것: $\underline{\qquad}$ 하나 (5) $\exists$ 명제가 참임을 보이는 데 필요한 것: $\underline{\qquad}$ 하나 ### 훈련 2 ●●○ — 판정과 근거를 함께 이번에는 판정문의 전략 낱말과 근거도 빈칸이다. **명제 A.** $\forall x \in \mathbb{Z},\ \exists y \in \mathbb{Z},\ x + y = 0$ **판정.** $\forall x \exists y$ 꼴이므로, 참을 보이려면 각 $x$마다 $\underline{\quad(1)\quad}$ 을 제작하면 된다. $x$가 주어지면 $y = \underline{\quad(2)\quad}$ 로 잡는다. 검증: $x + (\underline{\quad(2)\quad}) = 0$ ✓. 이 $y$가 무대 $\mathbb{Z}$에 드는 근거: $\underline{\quad(3)\quad}$. 따라서 참이다. **명제 B.** $\exists y \in \mathbb{Z},\ \forall x \in \mathbb{Z},\ x + y = x$ **판정.** $\exists$가 앞이므로 $\underline{\quad(4)\quad}$ 하나를 제시하되, 그 조건이 $\forall x$이므로 검증은 $\underline{\quad(5)\quad}$ 이어야 한다. 증인 $y = \underline{\quad(6)\quad}$: 임의의 $x \in \mathbb{Z}$에 대해 $x + \underline{\quad(6)\quad} = x$ ✓. 따라서 참이다. ### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고 판정 3단계 틀의 각 칸을 통째로 채운다. **명제.** $\exists y \in \mathbb{N},\ \forall x \in \mathbb{N},\ y \le x$ - ① 구조 해부: $\underline{\quad(1)\quad}$ - ② 전략 결정: $\underline{\quad(2)\quad}$ - ③ 실행(제시 + 검증): $\underline{\quad(3)\quad}$ (이 훈련이 문제 15와 18의 예행연습이다 — 증인 하나의 제시 안에 $\forall$의 일반 논증이 들어 있는 구조.) ## 연습문제 (20문항) 해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 '접근'까지만 읽고 다시 시도한다 $\to$ 그래도 안 되면 풀이를 읽는다. 판정 문제는 반드시 3단계 틀(구조 해부 $\to$ 전략 결정 $\to$ 실행)로 시작한다. :::{admonition} 이번 주의 채점 기준 :class: quotebox 답이 아니라 **근거**가 점수다. "참"만 적으면 0점이고, 비대칭 표가 요구하는 것 — 증인$\cdot$반례는 값과 검증 계산까지, 일반 논증은 문자 계산까지 — 를 적어야 만점이다. 난이도와 무관하게, 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다. ::: ### 기본 ●○○ **1.** 기호로 번역하시오. (a) 모든 정수는 유리수이다. (b) 어떤 정수는 음수이다. (c) 7의 배수인 세 자리 자연수가 존재한다. (d) 모든 자연수 $n$에 대해 $n(n+1)$은 짝수이다. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown §1.7의 절차 그대로 — 무대 찾기, 양화사 낱말 찾기, 나머지를 열린 문장으로. (c)의 "세 자리"는 부등식 두 개의 '그리고'이고, (d)의 "짝수이다"는 $2 \mid$ 표기(2주차)로 적으면 짧다. ::: **2.** 진리값을 판정하시오 (참이면 증인 또는 근거, 거짓이면 반례). (a) $\exists x \in \mathbb{Z},\ x^2 = 25$ (b) $\forall x \in \mathbb{Z},\ x^2 > 0$ (c) $\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 + 1 = 0$ (d) $\forall x \in \mathbb{N},\ x + 1 \in \mathbb{N}$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 판정 전에 전략부터 — 각 문항이 비대칭 표의 어느 칸인지 정한다. (c)는 존재의 반박이다: 반례 하나로는 끝나지 않고 전원 논증이 필요하다 (확인 6에서 같은 구조를 다뤘다). ::: **3.** 다음 한국어 문장에서 숨은 양화사를 드러내 기호로 쓰시오. (a) 홀수의 제곱은 홀수다. (b) 소수 중에 짝수가 있다. (c) $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ (항등식) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown "~의 ~는 ~다" 꼴 일반 서술은 $\forall$ + 조건문(§1.5의 첫 행), "~중에 ~가 있다"는 $\exists$ + '그리고'다. (c)의 "항등식"이라는 낱말이 양화사를 정해 준다 — §1.5의 끝 문단. ::: **4.** 다음 기호를 한국어로 번역하고 진리값을 판정하시오. (a) $\exists x \in \mathbb{Q},\ x \notin \mathbb{Z}$ (b) $\forall n \in \mathbb{N},\ n \ge 1$ (c) $\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 = x$ (d) $\forall n \in \mathbb{Z},\ n(n+1)$은 짝수 :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 왼쪽부터 소리 내어 읽는 것이 번역의 전부다. 판정은 비대칭 표대로 — (d)는 1주차에서 이미 증명한 명제다(근거 ④로 인용하면 된다). ::: **5.** 진리값을 판정하시오 (근거 포함). (a) $\forall x \in \mathbb{N},\ x^2 \ge x$ (b) $\exists x \in \mathbb{Z},\ x^2 = -1$ (c) $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 > x$ (d) $\exists n \in \mathbb{N},\ n^2 - n = 6$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (a)는 확인 3에서 판정했다 — 무대 $\mathbb{N}$의 $x \ge 1$이 근거다. (c)는 부등호가 $>$로 강해지고 무대도 $\mathbb{R}$로 바뀌었다: $x = 1$이 이미 반례이고, 0과 1 사이의 실수와 0 자신도 반례가 된다. ::: **6.** 각 명제에 대해, 참이면 증인을, 거짓이면 반례를 지목하시오. (a) $\exists x \in \mathbb{Z},\ x + 3 = 1$ (b) $\forall x \in \mathbb{N},\ x - 1 \in \mathbb{N}$ (c) $\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 = 3$ (d) $\forall n \in \mathbb{Z},\ n^2 \in \mathbb{N}$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 판정만 적고 끝내면 0점이다 — 증인$\cdot$반례의 지목이 요구 사항이다. (b)(d)는 이 책의 규약 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ (1부터 시작)이 급소다. ::: ### 표준 ●●○ **7.** $S = \{2, 4, 6\}$에서 진리값을 판정하시오. (a) $\forall x \in S,\ \exists y \in S,\ x < y$ (b) $\exists x \in S,\ \forall y \in S,\ x \le y$ (c) $\forall x \in S,\ \forall y \in S,\ 2 \mid (x + y)$ (d) $\exists x \in S,\ \exists y \in S,\ x + y = 12$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 유한 무대에서는 원소별 전수 확인이 가장 확실하다 — $\forall$은 전원 통과, $\exists$는 한 명 통과. (c)는 아홉 조합을 다 적는 대신 1주차의 정리 하나로 한 번에 처리할 수도 있다. ::: **8.** 다음 두 명제의 진리값이 다름을 보이시오 (각각 판정 + 근거). (a) $\forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ x + y = 0$ (b) $\exists y \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ x + y = 0$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (a)는 $x$를 받은 뒤 $y$를 제작한다 — $y$가 $x$에 의존해도 된다(순서 규칙). (b)는 하나의 $y$가 모든 $x$를 감당해야 한다 — 서로 다른 $x$ 두 개를 들이밀어 하나의 $y$로는 동시에 만족할 수 없음을 보인다. ::: **9.** 짝수의 정의를 양화사만으로 완전히 쓰시오: "$n$은 짝수" $\iff$ $\underline{\qquad}$. 그리고 "모든 짝수의 제곱은 짝수"를 양화사 2개(중첩)로 쓰시오. **10.** 다음 영어 문장을 기호로 번역하시오 (영어 수학 문장 읽기 훈련). (a) For every real number $x$, there is a real number $y$ for which $y^3 = x$. (b) There exists an integer that divides every integer. (c) Every integer that is a multiple of 4 is even. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown for every = $\forall$, there is/exists = $\exists$ — 어순 그대로 왼쪽부터 배치한다. (c)의 "every ~ that is …"는 $\forall$ + 조건문이다(§1.5 첫 행과 같은 꼴). ::: **11.** $S = \{1, 2, 3\}$에서 진리값을 판정하시오. (a) $\forall x \in S,\ \exists y \in S,\ x \ge y$ (b) $\exists x \in S,\ \forall y \in S,\ x \ge y$ (c) $\forall x \in S,\ \forall y \in S,\ x + y \ge 2$ (d) $\exists x \in S,\ \exists y \in S,\ x + y = 7$ **12.** (11주차 예고) 다음 명제의 부정을 **말로** 쓰시오 (기호 불필요). (a) "모든 학생이 시험에 합격했다." (b) "어떤 학생은 지각했다." (c) "모든 정수 $n$에 대해 $n^2 \ge n$이다." :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown "모든 ~가 P"의 부정은 "P가 아닌 ~가 **하나는 있다**"이다 — "모든 ~가 P 아님"으로 적는 경우가 많은데, 그것은 부정이 아니라 훨씬 강한 별개의 주장이다. 비대칭 표의 "$\forall$ 거짓 = 반례 하나"가 그대로 힌트다. ::: **13.** 다음 두 등식을 양화사를 사용해 서로 다른 명제로 구분해 쓰시오. (a) $3(x + 1) = 3x + 3$ (항등식) (b) $2x = 6$ (방정식 — "해가 존재한다"는 주장으로) **14.** 진리값을 판정하시오 (근거 포함). (a) $\forall x \in \mathbb{R},\ \forall y \in \mathbb{R},\ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ (b) $\exists x \in \mathbb{R},\ \forall y \in \mathbb{R},\ xy = y$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (a) 곱셈공식의 정체는 항등식 — $\forall\forall$ 명제다. (b)의 증인은 "모든 $y$를 그대로 두는 곱셈 상수" — $\exists$가 앞이므로 $y$를 몰라도 통하는 만능 값이어야 한다. ::: ### 도전 ●●● :::{admonition} 존재 입증 속의 일반 논증 — 문제 15부터 쓰는 구조 :class: quotebox 증인의 조건 자체가 $\forall$를 품고 있으면 — "$\exists a,\ \forall b,\ \dots$" — 증인 하나를 고르는 것으로 끝나지 않는다. 그 증인이 조건 전체를 만족함을 보이는 **일반 논증**까지가 입증이다(훈련 3에서 연습했다). 순서: ① 증인 제시 ② 그 증인에 대해 $\forall$ 부분을 문자 논증으로 증명. ::: **15.** 문제 10(b)의 명제는 참이다. 증인을 제시하고, 그 증인이 조건을 만족함을 2주차 정의로 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 증인 후보는 "모든 정수를 나누는 수"다. 2주차 문제 1(d)에서 이미 만났다. 검증은 임의의 $b \in \mathbb{Z}$에 대해 정의 2.1의 등식을 제시하는 것이다. ::: **16.** $\forall x \exists y$는 참이지만 $\exists y \forall x$는 거짓인 상황을 하나 설계하시오. (무대와 열린 문장을 직접 정하고 두 판정을 모두 쓰시오. 예제 2.3, 문제 8을 참고해도 좋으나 새 예를 만들 것.) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 설계 조건은 "$x$마다 다른 $y$로는 되지만 만능 $y$는 없는" 구조다. 순서 관계($>$, $<$)가 이 구조를 만들기 가장 쉽다 — §1.6의 (1)(2)가 그런 예였으니, 무대나 부등호를 바꿔 새 예를 만든다. ::: **17.** 덧셈과 곱셈의 대비. 다음 네 명제의 진리값을 각각 판정하시오 (증인/반례 포함). (a) $\forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ x + y = 0$ (b) $\exists y \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ x + y = 0$ (c) $\forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ xy = 0$ (d) $\exists y \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ xy = 0$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (a)(b)는 문제 8을 재사용한다. (c)(d)의 관건은 곱셈에 "모든 $x$에게 통하는 만능 $y$"가 있는가다 — 덧셈과 같은 문형인데 연산만 바꾸면 진리값이 갈리는지 확인한다. ::: :::{admonition} 유일성 논증 — 문제 18에서 처음 쓰는 틀 :class: quotebox "그런 것이 **하나뿐**"임을 보이는 표준 틀은 이렇다: 조건을 만족하는 것이 둘 있다고 하고($x$와 $x'$), 둘이 같을 수밖에 없음($x = x'$)을 강제한다. 각자의 조건에 상대를 대입하는 것이 상투적인 첫 수다. 정식 훈련은 26주차에서 한다 — 여기서는 이 틀을 처음 겪어 보는 것이 목표다. ::: **18.** 명제 "$\exists x \in \mathbb{R},\ \forall y \in \mathbb{R},\ x + y = y$"가 참임을 증인으로 보이시오. 그리고 그런 $x$가 **두 개 있을 수 있는지** 논증해 보시오. (유일성 — 26주차 예고) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 증인은 "더해도 아무것도 바꾸지 않는 수"다. 유일성: $x$와 $x'$이 둘 다 만능이라 하고, $x$의 조건에 $y = x'$을, $x'$의 조건에 $y = x$를 대입해 두 등식을 나란히 놓는다. ::: :::{admonition} 양화사 세 층 — 문제 19를 읽는 법 :class: quotebox 층이 두 개든 세 개든 규칙은 하나뿐이다: 왼쪽부터, 먼저 나온 변수가 먼저 정해진다(§1.6 순서 규칙). 뜻을 해석하지 말고 구조만 기계적으로 읽는 훈련이다 — 이 문장의 뜻은 45주차에서 완전히 배운다. ::: **19.** (예고편 해독) 45주차에서 배울 수열 극한의 정의이다: $$ \forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \in \mathbb{N},\ (n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon) $$ 아직 뜻을 몰라도 된다. 다음만 답하시오. (a) 가장 먼저 정해지는 변수는? (b) $N$은 $\varepsilon$에 의존해도 되는가? (c) $n$이 정해질 때 이미 정해져 있는 변수들은? (d) 이 명제가 거짓이 되려면 어떤 구조의 반례가 필요한가 — "어떤 $\varepsilon$이 존재해서, 모든 $N$에 대해 …"로 시작하는 문장을 완성해 보시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (a)(c)는 순서 규칙을 왼쪽부터 적용하면 자동이다. (d)는 준비 운동 1번 ($\neg(P \Rightarrow Q) \equiv P \land \neg Q$)과 "$\forall$의 거짓 = 반례의 존재"를 층마다 한 번씩 쓰면 완성된다. ::: **20.** "어떤 실수도 제곱하면 $-1$이 되지 않는다"를 서로 다른 세 가지 방식으로 쓰시오: ① $\neg \exists$로 시작하는 기호 문장 ② $\forall$로 시작하는 기호 문장 ③ 자연스러운 한국어 문장 하나 더. ①과 ②가 같은 주장인 이유를 한 문장으로 쓰시오. (11주차 부정 법칙의 예고) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown "없다" = 존재의 부정 = $\neg\exists$. 같은 상황을 긍정문으로 바꾸면 "모두가 ~ 아니다" = $\forall$ + 부정된 열린 문장이다. 확인 6에서 $\exists$의 거짓 칸을 전원 논증으로 처리한 것이 바로 이 동일성이었다. ::: ## 백지 재현 — 복습 프로토콜 권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다. **1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용.** 비대칭 표(§1.4)와 판정 3단계 틀만 펴 놓고, 예제 2.1의 (a)(b)(c)와 예제 2.3의 (a)(b)를 처음부터 끝까지 적는다. 정의와 본문은 보지 않는다. **2차 시도 (5일차) — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다: - [ ] $\forall$$\cdot$$\exists$의 정의(정의 10.1)와 읽는 법을 썼다. - [ ] 비대칭 표를 백지에 재현하고, 네 칸 각각에 실례를 하나씩 붙였다 (예: $\forall$ 거짓 칸 — 1주차 문제 18의 반례). - [ ] $\forall x \exists y,\ y > x$와 $\exists y \forall x,\ y > x$의 판정을 순서 규칙으로 설명했다. - [ ] 짝수의 정의를 $\exists$로, "짝수의 제곱은 짝수"를 $\forall$ + 조건문으로 번역했다. - [ ] 문제 16에서 만든 나만의 예로 "$\forall\exists$ 참 $\cdot$ $\exists\forall$ 거짓" 상황을 재현했다. **막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다. | **막힌 지점** | **처방** | |---|---| | 기호를 읽는 것부터 막힌다 | 정의 10.1 — 읽는 법을 소리 내어 연습한다 | | 명제인지 열린 문장인지 헷갈린다 | §1.2의 표 — 머리말(양화사)의 유무를 본다 | | 판정에서 무엇을 제시할지 모르겠다 | §1.4 비대칭 표 — 전략은 양화사가 정한다 | | $\forall\exists$와 $\exists\forall$가 구분되지 않는다 | §1.6 순서 규칙과 예제 2.3 — 누가 먼저 정해지는가 | | 번역에서 무대를 빼먹는다 | §1.7 절차의 1단계 — 무대 찾기가 첫 작업이다 | 하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다. ## 해설 각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 1 (1) $\exists$, $\exists$ (2) $\forall$ (3) $\exists$ (4) 반례 (5) 예(증인) ※ (1)에서 양화사가 두 층인 이유 — "짝수인 정수가 존재한다"의 바깥층은 $n$의 존재이고, "$n$이 짝수"라는 안쪽 조건이 다시 $k$의 존재(정의 1.1)이기 때문이다. 정의를 풀 때마다 $\exists$가 한 층씩 드러난다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 2 (1) 증인 $y$ (2) $-x$ (3) 정수의 부호를 바꾼 수($-x = (-1) \times x$)도 정수 — 근거 ② 닫힘성 (4) 증인 (5) 모든 $x$를 처리하는 일반 논증 (6) $0$ ※ 명제 A에서 증인 $-x$가 $x$에 의존하는 것은 순서 규칙이 허용하는 권리이고, 명제 B에서 증인 $0$이 $x$를 참조하지 않는 것은 순서 규칙이 부과하는 의무다. 같은 "증인 제작"이라도 양화사 순서가 규칙을 바꾼다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 3 (1) 양화사 순서 $\exists y \forall x$, 무대 $\mathbb{N}$(둘 다), 열린 문장 $y \le x$. (2) $\exists$ 명제이므로 참을 보이려면 증인 하나 — 단, 증인의 조건이 $\forall x$이므로 검증은 모든 $x$를 처리하는 일반 논증이어야 한다. (3) 증인 $y = 1$: 임의의 $x \in \mathbb{N}$에 대해 $x \ge 1$ ($\mathbb{N}$의 규약)이므로 $1 \le x$ ✓. 따라서 참이다. ※ 이 명제가 참인 것은 $\mathbb{N}$에 최솟값 1이 있기 때문이다. 무대를 $\mathbb{Z}$로 바꾸면 만능 $y$(모든 정수 이하의 정수)가 없어 거짓이 된다 — 무대가 진리값을 바꾸는 또 하나의 사례다. ### 문제 1 **접근.** §1.7의 절차 3단계 — 무대 찾기, 양화사 낱말 고르기("모든/어떤/존재"), 나머지 주장을 열린 문장으로. 복합 조건은 '그리고'($\land$)로 묶는다. **풀이.** (a) $\forall n \in \mathbb{Z},\ n \in \mathbb{Q}$ — 무대 $\mathbb{Z}$, "모든"이므로 $\forall$, 주장은 유리수 집합에의 소속이다. (b) $\exists n \in \mathbb{Z},\ n < 0$ — "어떤 ~는 ~다"는 존재 주장이다. (c) $\exists n \in \mathbb{N},\ (100 \le n \le 999) \land (7 \mid n)$ — "세 자리"가 부등식 두 개로, "7의 배수"가 $7 \mid n$(정의 2.1)으로 번역된다. 두 조건을 동시에 만족하는 하나의 $n$이 존재한다는 주장이므로 $\land$로 묶는다. (d) $\forall n \in \mathbb{N},\ 2 \mid n(n+1)$ — "짝수이다"를 $2 \mid$ 로 적었다. **복기.** "~중에 ~가 있다"류는 $\exists$ + $\land$, "모든 ~는 ~다"류는 $\forall$(필요하면 + 조건문)이 기본 문형이다. 번역이 막히면 무대부터 다시 찾는다 — 무대 없는 양화사는 판정 불능이다(§1.3 삭제 실험). ### 문제 2 **접근.** 비대칭 표부터 적용한다: $\exists$의 참 = 증인 하나 / $\forall$의 거짓 = 반례 하나 / $\exists$의 거짓과 $\forall$의 참 = 일반 논증. 문항마다 어느 칸인지 정하고 나서 실행한다. **풀이.** (a) 참 — 증인 $x = 5$: $5^2 = 25$ ✓ ($x = -5$도 증인이다 — $\exists$의 입증에는 하나면 충분하므로 아무거나 고른다). (b) 거짓 — 반례 $x = 0$: $0^2 = 0$이고 $0 > 0$은 불성립. 부등호가 $\ge$였다면 모든 정수에서 $x^2 \ge 0$이므로 참이었다 — 등호 하나가 진리값을 갈랐다. (c) 거짓 — 존재의 반박이므로 전원 논증이 필요하다: 모든 실수 $x$에서 $x^2 \ge 0$이므로 $x^2 + 1 \ge 1 > 0$이고, 따라서 $x^2 + 1 = 0$을 만족하는 실수는 하나도 없다. (d) 참 — $\forall$의 참이므로 일반 논증: 임의의 $x \in \mathbb{N}$에 대해 $x + 1$은 정수이고(근거 ② 닫힘성), 이 책의 규약상 $x \ge 1$이므로 $x + 1 \ge 2 \ge 1$이다. 1 이상의 정수는 자연수이므로 $x + 1 \in \mathbb{N}$이다. **복기.** 네 문항이 비대칭 표의 네 칸을 정확히 하나씩 채운다 — (a) $\exists$ 참, (b) $\forall$ 거짓, (c) $\exists$ 거짓, (d) $\forall$ 참. 백지 재현에서 "칸마다 실례 붙이기"의 재료로 쓸 수 있는 문제다. ### 문제 3 **접근.** "~의 ~는 ~다" 꼴 일반 서술은 대개 $\forall$ + 조건문(§1.5), "~중에 ~가 있다"는 $\exists$ + $\land$. 항등식은 $\forall$ 명제다. **풀이.** (a) $\forall n \in \mathbb{Z},\ (n \text{ 홀수} \Rightarrow n^2 \text{ 홀수})$ — "홀수의 제곱은"이 "모든 정수를 무대에 올리고 홀수인 것에 한해"로 풀린다. 1주차 문제 11이 정확히 이 명제의 증명이었다. (b) $\exists n \in \mathbb{N},\ (n \text{ 소수}) \land (n \text{ 짝수})$ — 증인 $n = 2$ (1주차 문제 19에서 확인했다). (c) $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ — "항등식"이란 모든 $x$에서 성립한다는 뜻, 곧 $\forall$ 명제라는 뜻이다. 반면 "방정식을 풀어라"는 등식을 성립시키는 $x$의 목록(진리집합, 8주차)을 구하라는 지시다 — 방정식과 항등식의 구분이 실은 양화사 구분이었던 셈이다. **복기.** 겉모습에 양화사가 안 보이면 "이 문장은 몇 개의 대상에 대한 주장인가"를 묻는다 — 전부이면 $\forall$, 하나 이상이면 $\exists$가 숨어 있다. ### 문제 4 **접근.** 기호를 왼쪽부터 소리 내어 읽으면 번역이 되고("~인 ~가 존재한다 / 모든 ~에 대해"), 판정은 비대칭 표대로 한다. **풀이.** (a) "정수가 아닌 유리수가 존재한다" — 참. 증인 $x = \frac{1}{2}$: 유리수이고($\frac{1}{2} = 1 \div 2$ 꼴의 분수) 정수가 아니다. (b) "모든 자연수는 1 이상이다" — 참. 이 책의 규약 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$에서 1이 최솟값이므로 임의의 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $n \ge 1$이다. (c) "제곱하면 자기 자신이 되는 실수가 존재한다" — 참. 증인 $x = 0$: $0^2 = 0$ ✓ ($x = 1$도 증인이다). (d) "모든 정수 $n$에 대해 $n(n+1)$은 짝수이다" — 참. 연속한 두 정수의 곱이 짝수임은 1주차 문제 16에서 경우 나누기로 증명했다 — 이미 증명한 명제를 근거 ④로 인용하면 판정이 끝난다. **복기.** (d)처럼 $\forall$의 참 칸이라고 해서 매번 논증을 새로 쓰는 것은 아니다 — 이미 증명된 명제의 인용(근거 ④)도 일반 논증의 자격을 갖는다. ### 문제 5 **접근.** (a)(c)는 부등식 문항 — 일반 논증이 되는지 먼저 시도하고, 안 되면 반례를 찾는다. (b)는 존재의 반박(전원 논증), (d)는 작은 $n$부터 대입해 증인을 찾는다. **풀이.** (a) 참 — 임의의 $x \in \mathbb{N}$에 대해 $x \ge 1 > 0$이므로 양변에 양수 $x$를 곱해도 부등호가 유지되어 $x \cdot x \ge x \cdot 1$, 곧 $x^2 \ge x$이다 (확인 3의 (가)와 같은 논증). (b) 거짓 — 존재의 반박이므로 전원 논증: 모든 정수 $x$에서 $x^2 \ge 0 > -1$이므로 $x^2 = -1$인 정수는 없다. (c) 거짓 — 반례 $x = 0$: $0^2 = 0$이고 $0 > 0$은 불성립 ($x = \frac{1}{2}$도 반례다: $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$). (a)와 (c)는 부등호($\ge$ 대 $>$)와 무대가 모두 다르다 — $x^2 > x$는 무대가 $\mathbb{N}$이어도 $x = 1$이 반례($1 > 1$ 불성립)라 이미 거짓이고, 무대가 $\mathbb{R}$로 넓어지면 $x = 0$, $x = \frac{1}{2}$ 같은 반례가 추가로 들어온다. (d) 참 — 증인 $n = 3$: $3^2 - 3 = 9 - 3 = 6$ ✓. **복기.** 무대만으로 진리값이 바뀌는 사례는 확인 3이 보여 줬다 — 같은 열린 문장 $x^2 \ge x$가 $\mathbb{N}$에서는 참, $\mathbb{R}$에서는 거짓. (c)는 그와 달리 부등호까지 바뀐 별개의 명제다. 어느 쪽이든 판정을 시작하기 전에 무대와 열린 문장부터 확인하는 습관 — §1.7 절차의 1단계가 1단계인 이유다. ### 문제 6 **접근.** 증인/반례를 "지목"하는 것이 요구 사항이다 — 판정만 하고 끝내지 않는다. (b)(d)는 $\mathbb{N}$이 1부터 시작한다는 규약이 급소다. **풀이.** (a) 참 — 증인 $x = -2$: $-2 + 3 = 1$ ✓. (b) 거짓 — 반례 $x = 1$: $1 - 1 = 0$인데 $0 \notin \mathbb{N}$ (이 책의 규약에서 $\mathbb{N}$은 1부터다). 나머지 $x \ge 2$에서는 성립하지만, 반례 하나로 $\forall$은 무너진다. (c) 참 — 증인 $x = \sqrt{3}$: $(\sqrt{3})^2 = 3$ ✓. 무대가 $\mathbb{R}$이므로 무리수 증인도 허용된다. (제곱해서 3이 되는 양의 실수가 존재한다는 사실은 지금은 증명 없이 인정하고 쓴다 — 실수의 완비성이 필요한 정리로, 이 과정에서는 증명하지 않는다.) (d) 거짓 — 반례 $n = 0$: $0^2 = 0 \notin \mathbb{N}$. $n \neq 0$이면 $n^2 \ge 1$이라 성립하지만, 역시 반례 하나로 충분하다. **복기.** (b)(d)의 반례는 둘 다 "경계의 원소"(1과 0)에서 나왔다. 반례 탐색은 무대의 끝, 0, 음수, 경계값부터 확인하는 것이 효율적이다 — 1주차 문제 19의 반례 2(가장 작은 소수)도 같은 자리에서 나왔다. ### 문제 7 **접근.** 유한 무대에서는 원소별 전수 확인이 가장 확실하다. $\forall$은 전원 통과, $\exists$는 한 명 통과. 중첩이면 바깥 양화사부터 한 층씩 처리한다. **풀이.** (a) 거짓 — 반례 $x = 6$: $6 < y$인 $y \in S$가 필요한데 후보 $2, 4, 6$이 전부 $6$ 이하이므로 증인이 없다. ($x = 2, 4$에서는 증인이 있지만, $\forall x$의 반례는 하나면 충분하다.) (b) 참 — 증인 $x = 2$: 모든 $y \in S$에 대해 $2 \le 2$ ✓, $2 \le 4$ ✓, $2 \le 6$ ✓. 증인의 조건이 $\forall y$이므로 세 검증 전부가 제시의 일부다. (c) 참 — $S$의 원소는 전부 짝수이고, 짝수와 짝수의 합은 짝수(1주차 예제 2.1, 근거 ④)이므로 임의의 $x, y \in S$에 대해 $2 \mid (x+y)$이다. 아홉 조합을 전수 확인해도 되지만, 증명된 정리 하나가 아홉 검사를 대신한다. (d) 참 — 증인 $(x, y) = (6, 6)$: $6 + 6 = 12$ ✓. $x$와 $y$가 같아도 된다 — 서로 다르라는 조건은 어디에도 없다. **복기.** (d)의 함정 — "두 원소"라는 인상 때문에 $x \neq y$를 스스로 추가하는 경우가 많다. 문장에 적힌 조건만이 조건이다. (c)의 처리 — 유한 무대라도 일반 논증이 통하면 그쪽이 짧다. ### 문제 8 **접근.** (a)는 $x$를 받아 $y$를 제작한다($y$가 $x$에 의존 가능 — 순서 규칙). (b)는 $y$ 하나가 모든 $x$를 감당해야 한다 — 서로 다른 $x$ 두 개를 들이밀어 하나의 $y$로는 동시 만족이 불가능함을 보인다. **풀이.** (a) 참 — 임의의 $x \in \mathbb{R}$이 주어지면 $y = -x$를 고른다. 검증: $x + (-x) = 0$ ✓. $y$가 $x$에 의존하는 것은 $\exists y$가 $\forall x$ 뒤에 있으므로 허용된다. (b) 거짓 — 어떤 $y$가 모든 $x$에 대해 $x + y = 0$을 만족한다고 하자. $x = 0$을 들이밀면 $0 + y = 0$에서 $y = 0$이어야 하고, $x = 1$을 들이밀면 $1 + y = 0$에서 $y = -1$이어야 한다. $y$는 하나의 값인데 $0$과 $-1$을 동시에 가질 수 없으므로, 그런 $y$는 존재하지 않는다. **복기.** (b)의 수법 — 만능 후보에게 서로 다른 요구 두 개를 던져 충돌시키는 것 — 은 $\exists\forall$ 반박의 표준 수법이다. 문제 18의 유일성 논증("각자의 조건에 상대를 대입")이 같은 발상의 발전형이다. ### 문제 9 **접근.** 1주차 정의 1.1의 "존재한다"를 $\exists$ 기호로 승격시킨다. 중첩 문장은 "모든 짝수" = $\forall n$ + (짝수라는 가정 $\Rightarrow$) 구조다 — §1.5의 "숨은 조건문" 꼴. **풀이.** "$n$은 짝수" $\iff \exists k \in \mathbb{Z},\ n = 2k$. "모든 짝수의 제곱은 짝수": $$ \forall n \in \mathbb{Z},\ \left[ (\exists k \in \mathbb{Z},\ n = 2k) \Rightarrow (\exists m \in \mathbb{Z},\ n^2 = 2m) \right] $$ 1주차 문제 9의 증명이 정확히 이 구조를 따라갔다 — 가정의 $\exists$에서 $k$를 **받아서** $n = 2k$를 쓰고, 목표의 $\exists$를 위해 $m = 2k^2$을 **제작해 제시**했다($n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$). **복기.** 1주차 §1.3에서 "존재한다는 방향에 따라 다르게 작동한다"고 했던 표가 이 기호 구조의 정확한 서술이었다 — 가정 쪽 $\exists$는 받고, 목표 쪽 $\exists$는 만들어 제시한다. 15주차에서 이 구분이 증명 서식으로 굳는다. ### 문제 10 **접근.** for every = $\forall$, there is/exists = $\exists$. 영어도 어순 그대로 왼쪽부터 배치하면 된다. (c)의 "every ~ that is …"는 $\forall$ + 조건문이다. **풀이.** (a) $\forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ y^3 = x$ — $x$가 먼저, $y$가 나중(의존 허용). 참인 명제다 — 모든 실수가 실수 세제곱근을 갖는다는 사실은 지금은 증명 없이 인정하고 쓴다(실수의 완비성이 필요한 정리로, 이 과정에서는 증명하지 않는다). (b) $\exists a \in \mathbb{Z},\ \forall b \in \mathbb{Z},\ a \mid b$ — "that divides every integer"가 증인의 조건 $\forall b$로 들어간다. 문제 15에서 이 명제의 참을 증명한다. (c) $\forall n \in \mathbb{Z},\ (4 \mid n \Rightarrow 2 \mid n)$ — "every integer that is a multiple of 4"가 $\forall n$ + 가정 $4 \mid n$으로 풀린다. **복기.** 영어 수학 문장의 "that ~", "for which ~"는 대부분 조건문 또는 안쪽 양화사의 신호다. 관계대명사가 나오면 "어느 변수에 대한 조건인가"부터 확인한다. ### 문제 11 **접근.** 문제 7과 같은 유한 무대 훈련이다 — 부등호 방향이 바뀌었으니 판정도 처음부터 새로 한다. 전수 확인이 기본이고, 단조성(합이 커지는 방향)을 쓰면 검사가 줄어든다. **풀이.** (a) 참 — $x = 1$이면 $y = 1$ ($1 \ge 1$ ✓), $x = 2$이면 $y = 1$ ($2 \ge 1$ ✓), $x = 3$이면 $y = 1$ ($3 \ge 1$ ✓). 전원에 대해 증인이 있다. (실은 $y = 1$이 모든 $x$에 통하므로 $\exists y \in S,\ \forall x \in S,\ x \ge y$도 참이다 — §1.6의 함의 관계. 다만 문항 (b)는 $\exists x \forall y$로 변수 역할이 뒤바뀐 별개 명제여서, 최댓값 $x = 3$이라는 다른 증인이 필요하다.) (b) 참 — 증인 $x = 3$: 모든 $y \in S$에 대해 $3 \ge 1$ ✓, $3 \ge 2$ ✓, $3 \ge 3$ ✓. 유한 무대에 최댓값이 있으면 그것이 만능 증인이다. (c) 참 — 합 $x + y$는 $x, y$가 클수록 커지므로 최소 조합 $x = y = 1$에서 $1 + 1 = 2 \ge 2$ ✓이면 나머지 여덟 조합은 자동으로 통과한다. (아홉 조합 전수 확인도 물론 정답이다.) (d) 거짓 — $\exists\exists$의 반박이므로 모든 조합의 실패를 보인다: 최대 조합이 $3 + 3 = 6 < 7$이므로 어떤 조합도 7에 닿지 못한다. **복기.** (c)(d)는 "최소 조합 / 최대 조합 하나로 전체를 대변"하는 논증이다 — 전수 확인의 지름길이지만, 지름길이 통하는 근거(단조성)를 한 줄 적어야 완결이다. ### 문제 12 **접근.** "모든 ~가 P"의 부정 = "P가 아닌 ~가 하나는 있다". "어떤 ~는 P"의 부정 = "모든 ~가 P 아님". $\forall \leftrightarrow \exists$ 뒤집기를 기호 없이 말로 체험하는 문제다 — 11주차에서 이것이 기계적 법칙으로 승격된다. **풀이.** (a) "시험에 불합격한 학생이 적어도 한 명 있다." — "모든 학생이 불합격했다"로 적는 경우가 많은데, 그것은 부정이 아니라 훨씬 강한 별개의 주장이다. 부정은 원명제를 무너뜨리는 최소 조건이고, $\forall$을 무너뜨리는 데는 한 명이면 충분하다(비대칭 표). (b) "지각한 학생이 없다" — 곧 "모든 학생이 지각하지 않았다". $\exists$의 부정이 $\forall$ + 부정으로 뒤집혔다. (c) "$n^2 < n$인 정수 $n$이 존재한다." — 참고로 이 부정은 거짓이다(원명제가 참이므로). 부정을 만드는 작업과 진리값을 판정하는 작업은 별개다. **복기.** (a)의 오답 "모든 학생이 불합격"은 부정과 반대를 혼동한 것이다 — 부정은 원명제가 성립하지 않는 경우 전부를 덮는 최소 주장이고, "반대"는 그중 한 극단일 뿐이다. ### 문제 13 **접근.** 항등식 = 모든 $x$에서 성립한다는 $\forall$ 주장 / 방정식(을 명제로 만들면) = 성립시키는 $x$가 존재한다는 $\exists$ 주장 (§1.5 끝 문단). **풀이.** (a) $\forall x \in \mathbb{R},\ 3(x+1) = 3x + 3$ — 참이다. 분배법칙(근거 ③)이 모든 실수에서 성립하기 때문이다. (b) $\exists x \in \mathbb{R},\ 2x = 6$ — 참이다. 증인 $x = 3$: $2 \times 3 = 6$ ✓. 같은 "등식"이라는 겉모습이라도 양화사가 다르면 완전히 다른 주장이다 — (a)는 모든 후보의 통과를, (b)는 한 후보의 통과를 주장한다. **복기.** 중학교 이래 "항등식과 방정식의 구별"이라 배운 것의 정체가 양화사 구별이었다. 기호는 새 개념을 만드는 것이 아니라 이미 쓰던 구별을 정확하게 만든다 — "식 자체에 새로운 것은 없다"의 또 한 사례다. ### 문제 14 **접근.** (a) 곱셈공식의 정체는 항등식 = $\forall\forall$ 명제 — 참이면 문자 전개로 보인다. (b)는 "모든 $y$를 그대로 두는 곱셈 상수" 찾기 — $\exists$가 앞이므로 $y$를 몰라도 통하는 만능 값이어야 한다. **풀이.** (a) 참 — 임의의 실수 $x, y$에 대해 분배법칙을 두 번 쓰면 $$ (x+y)^2 = (x+y)(x+y) = x(x+y) + y(x+y) = x^2 + xy + yx + y^2 = x^2 + 2xy + y^2 $$ 이다. 특정 값 대입이 아니라 문자 그대로의 전개이므로 모든 조합을 한 번에 처리한다 — 곱셈공식은 $\forall\forall$ 명제였다. (b) 참 — 증인 $x = 1$: 임의의 $y \in \mathbb{R}$에 대해 $1 \cdot y = y$ ✓. $\exists$가 앞에 있으므로 $x$는 $y$를 참조할 수 없는 만능 값이어야 하는데, 곱셈에는 그런 값(항등원 1)이 존재한다. 훈련 2의 명제 B(덧셈의 0)와 정확히 평행한 구조다. **복기.** (b)의 증인 검증은 "모든 $y$" 부분 때문에 일반 논증이다 — 존재 입증 속의 일반 논증(문제 15 앞 상자)의 예행이 여기서도 한 번 이루어졌다. ### 문제 15 **접근.** 증인 후보는 "모든 정수를 나누는 수" — 1이다(2주차 문제 1(d)에서 $1 \mid n$을 판정했다). 증인을 제시한 뒤에는 그 증인이 조건 전체($\forall b$)를 만족함을 일반 논증으로 보여야 한다 — $\exists$의 입증에 $\forall$의 증명이 포함되는 첫 정식 사례다. **풀이.** 증인: $a = 1$. 임의의 $b \in \mathbb{Z}$에 대해 $b = 1 \cdot b$이고 $b \in \mathbb{Z}$이므로, 정의 2.1에 의해 $1 \mid b$이다. $b$가 임의였으므로 $\forall b \in \mathbb{Z},\ 1 \mid b$가 성립하고, 따라서 $\exists a \in \mathbb{Z},\ \forall b \in \mathbb{Z},\ a \mid b$는 참이다. $\blacksquare$ $a = -1$도 증인이다: 임의의 $b$에 대해 $b = (-1)(-b)$이고 $-b \in \mathbb{Z}$ (근거 ②)이므로 $-1 \mid b$. $\exists$의 입증에는 하나면 충분하므로 어느 쪽을 골라도 된다. **복기.** 서식이 두 층이다 — ① 증인 제시(하나 고르기) ② 증인 검증(그 증인에 대한 $\forall$ 일반 논증). 이 2단 서식이 15주차 존재 증명의 표준 틀이 된다. 검산: $b = 0, 7, -12$를 넣어 보면 $1 \times 0 = 0$, $1 \times 7 = 7$, $1 \times (-12) = -12$ — 모든 줄이 그대로 작동한다. ### 문제 16 **접근.** 설계 조건은 "$x$마다 다른 $y$로는 되지만 만능 $y$는 없는" 구조다. 순서 관계($>$, $<$)가 이 구조를 만들기 가장 쉽다 — 아무리 큰 후보를 제시해도 그보다 큰(또는 같은) 원소가 무대에 남아 있으면 만능이 될 수 없다. **풀이.** (예시 답) 무대 $\mathbb{N}$, 열린 문장 "$y > x$". - $\forall x \in \mathbb{N},\ \exists y \in \mathbb{N},\ y > x$: **참** — 임의의 $x$에 대해 증인 $y = x + 1$을 제작하면 $x + 1 > x$ ✓이고 $x + 1 \in \mathbb{N}$ (근거 ②). - $\exists y \in \mathbb{N},\ \forall x \in \mathbb{N},\ y > x$: **거짓** — 어떤 $y$를 제시해도 $x = y$가 반례다: $y > y$는 불성립. 두 판정이 모두 서식대로 적혀야 완결이다 — ① $\forall\exists$ 참의 근거 ($x$마다 증인 제작) ② $\exists\forall$ 거짓의 근거(어느 $y$든 무너뜨리는 $x$). **복기.** 구조만 맞으면 무엇이든 정답이다 — "모든 사람에게 부모가 있다 / 모든 사람의 부모인 한 사람이 있다", "모든 자물쇠에 그것을 여는 열쇠가 있다 / 모든 자물쇠를 여는 열쇠 하나가 있다" 같은 일상 예도 같은 뼈대다. 스스로 예를 만들어 본 경험이 §1.6의 순서 규칙을 기억에 고정한다. ### 문제 17 **접근.** (a)(b)는 문제 8을 재사용한다(근거 ④ — 이미 판정한 명제의 인용). (c)(d)는 같은 문형에서 연산만 곱셈으로 바꾼 것 — 곱셈에 "만능 $y$"가 있는지가 관건이다. **풀이.** (a) 참 — 임의의 $x$에 대해 증인 $y = -x$: $x + (-x) = 0$ ✓ (문제 8(a)). (b) 거짓 — 문제 8(b)에서 보였다: $x = 0$은 $y = 0$을, $x = 1$은 $y = -1$을 요구하므로 하나의 $y$가 동시에 만족할 수 없다. (c) 참 — 임의의 $x$에 대해 증인 $y = 0$: $x \cdot 0 = 0$ ✓. ($x$를 참조할 필요조차 없는 증인이다.) (d) **참** — 증인 $y = 0$: 임의의 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $x \cdot 0 = 0$ ✓. 하나의 $y$가 모든 $x$를 감당한다. 대비: 덧셈에서는 $\exists y \forall x$가 거짓인데 곱셈에서는 참이다 — 0이라는 "모든 $x$에게 통하는 하나"가 곱셈에는 있고 덧셈에는 없기 때문이다. $\exists\forall$의 진리값은 그런 만능 원소의 존재 여부가 정한다. **복기.** 같은 문형($\exists y \forall x$)이라도 열린 문장이 바뀌면 판정을 처음부터 다시 해야 한다 — 문형은 전략(증인 또는 반박)을 정할 뿐, 진리값은 정하지 않는다. ### 문제 18 **접근.** 증인은 "더해도 아무것도 바꾸지 않는 수" — 덧셈의 항등원 0이다. 유일성은 문제 앞 상자의 틀대로 — 조건을 만족하는 것이 둘 있다고 하고($x$, $x'$), 각자의 만능성을 서로에게 적용해 $x = x'$을 강제한다. **풀이.** 증인: $x = 0$ — 임의의 $y \in \mathbb{R}$에 대해 $0 + y = y$ ✓. 따라서 명제는 참이다. 유일성: $x$와 $x'$이 둘 다 조건을 만족한다고 하자. 곧 "모든 $y$에 대해 $x + y = y$"와 "모든 $y$에 대해 $x' + y = y$"가 둘 다 성립한다. $x$의 조건에 $y = x'$을 대입하면 $x + x' = x'$이고, $x'$의 조건에 $y = x$를 대입하면 $x' + x = x$이다. 덧셈의 교환법칙으로 두 좌변이 같으므로 ($x + x' = x' + x$), 두 우변도 같다: $x' = x$. 즉 그런 $x$는 하나뿐이다. **복기.** "둘을 가정하고 같음을 강제"가 유일성 증명의 표준 틀이고, 만능 조건끼리는 "서로에게 대입"이 상투적인 첫 수다 — 각자의 $\forall y$가 상대를 $y$ 자리에 받아 주기 때문에 가능한 수다. 26주차 유일성 증명에서 이 틀이 정식 서식으로 굳는다. ### 문제 19 **접근.** 뜻 해석은 접어 두고 순서 규칙("왼쪽부터, 먼저 나온 것이 먼저 정해진다")만 기계적으로 적용한다. (d)는 준비 운동 1번의 조건문 부정과 $\forall\leftrightarrow\exists$ 뒤집기를 층마다 한 번씩 쓴다. **풀이.** (a) $\varepsilon$ — 가장 왼쪽의 변수다. (b) 된다 — $\exists N$이 $\forall \varepsilon$ **뒤에** 있으므로 $N$은 이미 정해진 $\varepsilon$을 참조할 수 있다. $\varepsilon$마다 다른 $N$을 골라도 된다는 뜻이고, 실제 극한 증명은 "주어진 $\varepsilon$으로 $N$을 제작"하는 작업이 된다(45주차). (c) $\varepsilon$과 $N$ — $n$은 셋째 층이므로 앞의 두 변수가 이미 정해져 있다. (d) "어떤 $\varepsilon > 0$이 존재해서, 모든 $N$에 대해, $n > N$인데 $|a_n - L| \ge \varepsilon$인 자연수 $n$이 존재한다." — 층마다 $\forall \leftrightarrow \exists$가 뒤집히고, 맨 안쪽 조건문은 준비 운동 1번의 규칙대로 "인데"($P \land \neg Q$) 꼴이 됐다. **복기.** 층이 세 개가 되어도 새 규칙은 하나도 없다 — 순서 규칙과 부정 규칙을 층수만큼 반복할 뿐이다. (d)의 절차를 기계로 만드는 것이 11주차의 주제이고, 이 문장의 뜻은 45주차에서 완전히 회수된다. ### 문제 20 **접근.** "없다" = 존재의 부정 = $\neg\exists$. 같은 상황을 긍정문으로 바꾸면 "모두가 ~ 아니다" = $\forall$ + 부정된 열린 문장. 두 표현이 같은 주장임을 말로 설명하는 것까지가 문제다. **풀이.** ① $\neg\, \exists x \in \mathbb{R},\ x^2 = -1$ ② $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \neq -1$ ③ (예) "모든 실수는 제곱하면 $-1$이 아니다." / "실수의 제곱은 결코 $-1$이 되지 않는다." 이유: "조건을 만족하는 것이 하나도 없다"와 "모든 것이 조건을 만족하지 않는다"는 같은 상황의 두 표현이기 때문이다 — 확인 6에서 $\exists$의 거짓 칸을 "모든 후보의 실패 논증"으로 처리한 것이 정확히 이 동일성이었다. 기호로는 $\neg\exists x,\ P(x) \equiv \forall x,\ \neg P(x)$이고, 11주차에서 공식 법칙으로 승격되어 근거 ④ 목록에 등록된다. **복기.** 비대칭 표의 네 칸 중 비싼 두 칸($\forall$ 참, $\exists$ 거짓)은 사실 부정으로 서로 연결되어 있다 — $\exists$의 거짓을 보이는 일은 부정 $\forall$ 명제의 참을 보이는 일이다. 표의 대각선이 부정 법칙 하나로 묶이는 셈이고, 이 정리가 11주차의 출발점이다. --- **다음 주 예고:** 양화사가 겹겹인 명제의 부정을 기계적으로 만드는 법 ($\forall \leftrightarrow \exists$ 뒤집기 + 드모르간 + 조건문의 "인데")과 추론 규칙을 배우고, 2부(논리)를 총정리 시험으로 마감한다. 그 뒤 15주차부터 본격적인 증명 기법에 들어간다 — 무슨 증명을 쓸지는 이번 주에 세운 대로 문장의 양화사 구조가 결정한다.