# 16주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설 ## 예제 — 부등식 증명을 함께 만들기 세 예제에서 지지대를 차례로 뺀다. 예제 2.1은 설계표부터 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 하고, 예제 2.3은 설계부터 스스로 한다. 각 단계에서 확인 상자의 빈칸을 연필로 먼저 채운 뒤 답을 연다. ### 예제 2.1 — 차–제곱 전략의 기본형 **명제.** 모든 실수 $x, y$에 대해 $x^2 + y^2 \ge 2xy$이며, 등호는 $x = y$일 때만 성립한다. **설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지.** 15주차의 번역표와 같은 순서다. 가정이 주는 것(출발점)과 만들어야 할 것(도착점)을 정의 16.1로 번역한다. | | **말** | **수식 번역** | |---|---|---| | 가정 (주어진 것) — 출발점 | $x, y$는 실수 | 부호에 대한 정보 없음 — 쓸 수 있는 것은 (W1)뿐 | | 목표 (만들 것) — 도착점 | $x^2 + y^2 \ge 2xy$ | $\underline{\quad(?)\quad}$가 0 이상임을 보인다 | :::{container} quotebox **확인 11.** 목표 칸의 빈칸을 채워 보자. 정의 16.1로 번역하면 어떤 식 하나의 부호를 판정하는 문제가 되는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 차 $(x^2 + y^2) - 2xy$이다. 두 식의 비교가 한 식의 부호 판정으로 바뀌었다. 가정 칸이 비어 있다는 점도 정보다 — $x, y$의 부호를 모르므로 (W4)는 쓸 수 없고, 부호를 묻지 않는 유일한 성질인 (W1)에 기댈 수밖에 없다. 그렇다면 차를 **제곱 꼴로** 만드는 것이 유일한 길이라는 것까지 설계 단계에서 정해진다. ::: **1단계 — 오프닝.** 명제가 "모든 실수 $x, y$에 대해"로 시작하므로, 15주차의 $\forall$ 오프닝을 그대로 쓴다. :::{container} quotebox **확인 12.** 첫 문장을 완성해 보자: "$x, y$를 $\underline{\qquad}$라 하자." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "$x, y$를 임의의 실수라 하자." 임의로 잡은 두 실수에 대해 결론을 보이면 모든 실수 쌍에 대해 보인 것이 된다 — 문자의 일반성이다. "임의의"를 빠뜨려도 뜻은 통하지만, 특정한 두 수를 잡은 것으로 읽힐 여지를 없애는 편이 안전하다. ::: **2단계 — 차를 계산하고 제곱으로 정리한다.** 전략의 ①②를 한 문장에 담는다. :::{container} quotebox **확인 13.** 둘째 문장을 완성해 보자: "차를 계산하면 $x^2 + y^2 - 2xy = \underline{\qquad}$이다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $(x - y)^2$이다. 완전제곱 공식 $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$을 오른쪽에서 왼쪽으로 읽은 것뿐이다. 전개할 줄 알면 인식할 줄도 아는 셈인데 방향이 반대라 손이 늦다 — 항이 세 개이고 양 끝이 제곱이면 가운데 항의 계수부터 확인하는 습관이 이 인식을 빠르게 한다. ::: **3단계 — (W1)로 부호를 선언하고 정의 16.1로 읽는다.** :::{container} quotebox **확인 14.** 셋째 문장을 완성해 보자: "$(x-y)^2 \ge 0$이므로($\underline{\quad(1)\quad}$), $x^2 + y^2 - 2xy \ge 0$이고, 양변에 $2xy$를 더하면($\underline{\quad(2)\quad}$) $x^2 + y^2 \ge 2xy$이다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) (W1) (2) (W2). 마지막 이항이 근거 없이 이루어지지 않는다는 점이 이 줄의 요점이다. 부등식에서 항을 옮기는 것은 양변에 같은 수를 더하는 조작이고, 그것을 허가하는 것이 (W2)이다. 등식에서 이항이 자유로웠던 이유(등식의 성질)와 같은 자리에 (W2)가 들어와 있다. ::: **4단계 — 등호 조건.** 차가 제곱 하나로 정리되어 있으므로 §1.6대로 읽는다. :::{container} quotebox **확인 15.** 마지막 문장을 완성해 보자: "등호는 $(x-y)^2 = \underline{\quad(1)\quad}$일 때, 즉 $\underline{\quad(2)\quad}$일 때만 성립한다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $0$ (2) $x = y$. (W1)의 등호 조건 "제곱이 0인 것은 밑이 0일 때만"을 $x - y$에 적용했다. 등호 조건은 별도의 증명이 아니라 이미 쓴 줄을 한 번 더 읽는 작업이다 — 그래서 차–제곱 전략으로 쓴 증명에는 등호 조건을 빠뜨릴 이유가 없다. ::: **완성본.** 방금 만든 네 문장을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 "왜?"에 스스로 답해 본다. | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | $x, y$를 임의의 실수라 하자. | $\forall$ 오프닝(15주차 서식). 설계표에서 정한 도착점은 "차가 0 이상"이다. | | 차를 계산하면 $x^2 + y^2 - 2xy = (x - y)^2$이다. | 전략 ①②. 두 식의 비교를 한 식으로 압축하고(정의 16.1), 완전제곱으로 인식한다. | | $(x-y)^2 \ge 0$이므로 $x^2 + y^2 - 2xy \ge 0$이고, 양변에 $2xy$를 더하면 $x^2 + y^2 \ge 2xy$이다. | 전략 ③. 부호 선언은 (W1), 이항은 (W2) — 줄 하나에 근거 두 개가 들어 있다. | | 등호는 $(x-y)^2 = 0$일 때, 즉 $x = y$일 때만 성립한다. $\blacksquare$ | (W1)의 등호 조건을 그대로 읽어 낸다. 이 줄이 없으면 정리가 절반이다. | **이 네 줄이 "모든" 실수 쌍을 처리하는 이유.** 완성본의 $x, y$에 구체적인 수를 넣어 읽어 보자. :::{container} quotebox **확인 16.** $x = 5$, $y = 3$일 때 둘째 줄과 셋째 줄은 각각 어떤 등식$\cdot$부등식이 되는가. $x = -2$, $y = -2$일 때는 어떤가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $x = 5, y = 3$: 둘째 줄은 $25 + 9 - 30 = 4 = (5-3)^2$, 셋째 줄은 $4 \ge 0$이고 $34 \ge 30$이다. $x = -2, y = -2$: 둘째 줄은 $4 + 4 - 8 = 0$, 셋째 줄은 $0 \ge 0$이고 $8 \ge 8$ — 등호가 실제로 나왔고 넷째 줄이 예고한 조건 $x = y$가 맞다. 음수를 넣어도 모든 줄이 그대로 작동한다. 부호를 묻지 않는 (W1)만 썼기 때문이다. ::: ### 예제 2.2 — 산술–기하 평균 부등식 (AM–GM) **명제.** $a \ge 0$, $b \ge 0$이면 $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$이며, 등호는 $a = b$일 때만 성립한다. 이번에는 설계만 함께 하고, 증명은 완성된 산문으로 본다. :::{container} quotebox **확인 17.** 번역표를 채워 보자. 가정: $a \ge 0$, $b \ge 0$ $\to$ $\sqrt{a}$와 $\sqrt{b}$가 $\underline{\quad(1)\quad}$로 존재한다. 목표: $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ $\to$ 차 $\underline{\quad(2)\quad}$가 0 이상임을 보인다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) 실수 (2) $\dfrac{a+b}{2} - \sqrt{ab}$. 근거는 §1.2의 인정 사실 상자 "제곱근"이다 — $a \ge 0$이면 $\sqrt a$가 실수로 정확히 하나 존재한다는 그 상자가 가정을 실수 하나로 바꿔 준다. 가정이 소비되는 자리를 설계 단계에서 미리 지목해 둔 것이 이 표의 소득이다. 음수의 제곱근은 실수가 아니므로, $a \ge 0$과 $b \ge 0$이 없으면 목표에 적힌 기호 $\sqrt{ab}$부터 뜻을 잃는다. ::: :::{container} quotebox **확인 18.** 목표의 차에는 분수와 제곱근이 섞여 있어 완전제곱이 바로 보이지 않는다. 그런데 $(\sqrt a - \sqrt b)^2$을 전개하면 무엇이 나오는가. 그 결과가 차와 어떻게 이어지는지 한 문장으로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $(\sqrt a - \sqrt b)^2 = a - 2\sqrt a \sqrt b + b = a + b - 2\sqrt{ab}$이고 (§1.2 인정 사실 "제곱근"의 $(\sqrt a)^2 = a$와 $\sqrt a \sqrt b = \sqrt{ab}$를 썼다), 이것은 목표의 차에 2를 곱한 것과 같다 — 차의 2배가 제곱 하나로 정리된다. 분수를 다루기 싫으면 차 대신 차의 양수 배를 제곱으로 만들고 마지막에 (W3)으로 되돌리면 된다. 제곱근이 있는 식에서는 제곱근 자체를 문자처럼 놓고 완전제곱을 찾는 것이 표준 수순이다. ::: **증명.** $a \ge 0$, $b \ge 0$이라 하자. 그러면 §1.2의 인정 사실 "제곱근"에 의해 $\sqrt{a}$, $\sqrt{b}$가 실수로 존재하므로 (W1)에 의해 $$ 0 \le (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + b = a + b - 2\sqrt{ab} $$ 이다(가운데 등식에서 $(\sqrt a)^2 = a$, 오른쪽 등식에서 $\sqrt a \sqrt b = \sqrt{ab}$를 썼다 — 둘 다 §1.2의 인정 사실 "제곱근"이다). 양변에 $2\sqrt{ab}$를 더하면(W2) $2\sqrt{ab} \le a + b$이고, 양변을 $2 > 0$으로 나누면(W3, 방향 유지) $\sqrt{ab} \le \dfrac{a+b}{2}$이다. 등호는 $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = 0$, 즉 $\sqrt{a} = \sqrt{b}$일 때, 곧 양변을 제곱한 $a = b$일 때만 성립한다. $\blacksquare$ **가정의 소비처.** 고등학교에서 "절대부등식"이라는 이름으로 외운 명제가 (W1) 하나에서 나왔다. 가정 $a, b \ge 0$은 단 한 곳 — $\sqrt a$, $\sqrt b$가 실수로 존재하는 자리 — 에서 소비된다. 가정이 어디서 쓰였는지 짚는 습관은 15주차 문제 11에서 세운 것이고, 이번 주에는 그 자리가 대체로 "제곱근의 존재" 아니면 "분모의 부호"다. ### 예제 2.3 — 조건이 있는 부등식 **명제.** $a > 0$이면 $a + \dfrac{1}{a} \ge 2$이며, 등호는 $a = 1$일 때만 성립한다. 이번에는 설계부터 스스로 한다. 아래 확인에 답한 뒤 증명을 읽는다. :::{container} quotebox **확인 19.** 번역표를 통째로 채워 보자. ① 가정 $a > 0$이 이 증명에서 쓰일 곳을 두 군데 짐작해 보자. ② 목표를 정의 16.1로 번역하면 어떤 식의 부호를 판정하게 되는가. ③ 그 식에는 분수가 있다. 제곱을 찾으려면 먼저 무엇을 해야 하는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown ① 하나는 $\frac{1}{a}$이 뜻을 가지려면 $a \neq 0$이어야 하는 자리, 다른 하나는 통분한 뒤 분모 $a$의 부호를 말해야 하는 자리다. ② 차 $a + \frac{1}{a} - 2$의 부호를 판정한다. ③ 통분한다. 분모를 $a$로 맞추면 분자가 $a^2 - 2a + 1$이 되고, 이것이 완전제곱 $(a-1)^2$이다. 분수가 섞인 차에서는 "통분 $\to$ 분자에서 제곱 찾기 $\to$ 분모의 부호 말하기"가 고정된 수순이다. ::: **증명.** $a > 0$이라 하자. 그러면 $a \neq 0$이므로 $\frac{1}{a}$이 정의되고, 차를 통분하면 $$ a + \frac{1}{a} - 2 = \frac{a^2 - 2a + 1}{a} = \frac{(a-1)^2}{a} $$ 이다. (W1)에 의해 분자 $(a-1)^2 \ge 0$이고 가정에 의해 분모 $a > 0$이므로 (W5)에 의해 $\frac1a > 0$이고, 0 이상인 것과 0 이상인 것의 곱이므로 (W4)에 의해 몫 $\dfrac{(a-1)^2}{a} = (a-1)^2 \cdot \dfrac1a$은 0 이상이다. 따라서 $a + \dfrac{1}{a} - 2 \ge 0$이고, 양변에 2를 더하면(W2) $a + \dfrac{1}{a} \ge 2$이다. 등호는 $(a-1)^2 = 0$, 즉 $a = 1$일 때만 성립한다. $\blacksquare$ **가정을 지우면.** $a > 0$을 빼면 명제 자체가 거짓이 된다. $a = -1$이면 좌변은 $-2$이고 $-2 \ge 2$는 거짓이다. 가정의 소비처를 짚는 작업이 곧 반례를 찾는 작업이기도 하다 — 가정이 소비되는 자리를 무너뜨리면 반례가 나온다. ### 관찰 — 같은 뼈대 세 예제의 증명을 나란히 놓으면 문장의 배치가 같다. 대응표를 채워 확인해 보자. 아래 ①~④는 **답안 뼈대의 네 걸음**이다. §1.5의 차–제곱 전략 ①②③과 번호가 겹치지 않게 읽는다 — 전략의 세 단계는 이 표의 ②③과 마감에 해당한다. | **뼈대의 걸음** | **예제 2.1** | **예제 2.2** | **예제 2.3** | |---|---|---|---| | ① 오프닝 | $x, y$를 임의의 실수라 하자 | $a \ge 0$, $b \ge 0$이라 하자 | $\underline{\quad(1)\quad}$ | | ② 차(또는 차의 양수 배)를 계산$\cdot$정리 | $x^2+y^2-2xy = (x-y)^2$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | $a + \frac1a - 2 = \frac{(a-1)^2}{a}$ | | ③ 부호 선언 | (W1) | (W1) | (W1) + 분모 $a > 0$과 (W5)(W4) | | ④ 등호 조건 | $x = y$ | $a = b$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 20.** 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 세 증명에서 ③ 칸이 전부 (W1)을 포함하는 이유를 한 문장으로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) "$a > 0$이라 하자" (2) 차의 2배 $a + b - 2\sqrt{ab} = (\sqrt a - \sqrt b)^2$ (예제 2.2는 분수를 피하려고 차 대신 차의 2배를 다루고, 마지막에 (W3)으로 되돌린다 — 그래서 ② 칸의 제목이 "차 또는 차의 양수 배"다) (3) $a = 1$. ③ 칸이 전부 (W1)인 이유: 근거 목록에서 "0 이상"을 무조건 내주는 성질은 (W1)뿐이기 때문이다. (W2)(W3)(W6)은 이미 있는 부등식을 옮기거나 잇는 규칙이고 (W4)(W5)는 부호를 미리 알아야 쓸 수 있으므로, 아무 정보 없이 부등식을 **만들어 내는** 것은 (W1)뿐이다. ::: :::{admonition} 이번 주에 확인한 것 :class: quotebox 부등식 증명의 **답안 뼈대**는 네 걸음이다 — 오프닝, 차 계산과 제곱 정리, (W1)로 부호 선언, 등호 조건. 이 중 가운데 두 걸음과 정의 16.1로 읽는 마감이 §1.5의 **차–제곱 전략** 3단계이고, 오프닝과 등호 조건이 그것을 앞뒤에서 감싼다. 소재가 다항식이든 제곱근이든 분수든 걸음의 수와 순서는 바뀌지 않는다. ::: ## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며 필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(§6)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다. ### 훈련 1 ●○○ — 수식 빈칸 **명제.** 모든 실수 $a, b$에 대해 $(a + b)^2 \le 2(a^2 + b^2)$이다. **증명.** $a, b$를 임의의 실수라 하자. 차를 계산하면 $$ 2(a^2 + b^2) - (a+b)^2 = 2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 = \underline{\quad(1)\quad} $$ 이것은 (W1)에 의해 $\underline{\quad(2)\quad}$이므로 $(a+b)^2 \le 2(a^2+b^2)$이다. 등호는 $\underline{\quad(3)\quad}$일 때만 성립한다. $\blacksquare$ ### 훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께 이번에는 구조 낱말과 근거 이름도 빈칸이다. **명제.** $a \ge 0$이면 $a^3 + 1 \ge a^2 + a$이다. **증명.** $a \ge 0$이라 $\underline{\quad(1)\quad}$. 차를 계산하면 $$ a^3 + 1 - a^2 - a = a^2(a - 1) - (\underline{\quad(2)\quad}) = (a-1)(a^2 - 1) = \underline{\quad(3)\quad} $$ 이다. $\underline{\quad(4)\quad}$에 의해 $(a-1)^2 \ge 0$이고, 가정 $a \ge 0$의 양변에 1을 더하면(W2) $a + 1 \ge 1$이며 $1 > 0$이므로 (W6)에 의해 $a + 1 > 0$이다. 0 이상인 두 수의 곱이므로 (W4)에 의해 곱은 0 이상이다. 따라서 차가 0 이상이고, 정의 16.1에 의해 $\underline{\quad(5)\quad}$이다. 등호는 $\underline{\quad(6)\quad}$일 때만 성립한다. $\blacksquare$ ### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고 이번에는 답안 뼈대 네 걸음의 각 칸을 통째로 채운다. **명제.** $a > 0$, $b > 0$이면 $\dfrac{a+b}{2} \ge \dfrac{2ab}{a+b}$이다. **증명의 뼈대.** - ① 오프닝: $\underline{\quad(1)\quad}$ - ② 차를 계산$\cdot$정리: $\underline{\quad(2)\quad}$ - ③ 부호 선언: $\underline{\quad(3)\quad}$ - ④ 등호 조건: $\underline{\quad(4)\quad}$ (분수 둘의 차이므로 예제 2.3과 같은 수순이다 — 통분하고, 분자에서 제곱을 찾고, 분모의 부호를 말한다. 이 훈련이 문제 13의 예행연습이다.) ## 연습문제 (20문항) 해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 '접근'까지만 읽고 다시 시도한다 $\to$ 그래도 안 되면 풀이를 읽는다. 모든 부등식 증명에 등호 조건을 붙인다. :::{admonition} 이번 주의 채점 기준 :class: quotebox 답이 아니라 **근거**가 점수다. "$x^2 + y^2 \ge 2xy$는 맞는 부등식"은 0점이고, "차가 $(x-y)^2$이고 (W1)에 의해 0 이상이므로 참, 등호는 $x = y$"가 만점이다. 부등식의 양변에 무엇을 곱하거나 나눈 줄에는 그 수의 **부호**가 적혀 있어야 하고, $\ge$로 끝나는 정리에는 **등호 조건**이 붙어 있어야 한다. 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다. ::: ### 기본 ●○○ **1.** 다음을 완전제곱(+상수) 꼴로 변형하시오. (a) $x^2 - 6x + 10$ (b) $x^2 + 4x + 4$ (c) $2x^2 - 4x + 5$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown §1.5의 변형 하나만 쓴다. (c)는 $x^2$의 계수가 1이 아니므로 앞의 두 항에서 2를 묶어 $2(x^2 - 2x) + 5$로 만든 뒤 괄호 안에 같은 변형을 적용한다. ::: **2.** 부등식 성질 참$\cdot$거짓 판정 (거짓이면 반례): (a) $a < b$이면 $a + c < b + c$ (b) $a < b$이면 $ac < bc$ (c) $a < b$이고 $c < d$이면 $a + c < b + d$ (d) $a < b$이면 $a^2 < b^2$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (W2)(W3)의 문장과 한 글자씩 대조한다. 참인 성질에 붙어 있던 조건이 진술에서 빠져 있으면 그 조건을 어기는 수가 곧 반례다 — (b)에는 $c$의 부호가, (d)에는 $a$의 부호가 빠져 있다. ::: **3.** 모든 실수 $x$에 대해 $x^2 + 1 \ge 2x$임을 차–제곱 전략으로 증명하시오 (등호 조건 포함). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 차 $x^2 - 2x + 1$이 무엇의 제곱인지부터 본다. 예제 2.1에서 $y$에 1을 넣은 것과 같은 식이므로, 완성본 네 줄의 구조를 그대로 옮겨 쓰면 된다. ::: **4.** 모든 실수 $a, b$에 대해 $(a+b)^2 \ge 4ab$임을 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 차 $(a+b)^2 - 4ab$를 전개해 정리한다. $a^2 + 2ab + b^2 - 4ab$에서 가운데 항의 계수가 어떻게 되는지 확인하면 제곱이 보인다. ::: **5.** 모든 실수 $x$에 대해 $x^2 + x + 1 > 0$임을 증명하시오. (힌트: 완전제곱 + 양의 상수. $\ge$가 아니라 $>$인 이유까지) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 문제 1과 같은 변형을 $p = 1$로 한다. 남는 상수가 $\frac34$이다. 등호 없는 $>$를 주장하려면 제곱이 0이 되는 순간에도 무엇이 남는지 적어야 한다. ::: **6.** 예제 2.1을 백지에 재현하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 네 줄이다 — 오프닝, 차 계산과 제곱 인식, (W1)과 (W2), 등호 조건. 다 쓴 뒤 §2의 완성본 표와 대조하되, 오른쪽 "왜?" 열의 근거 이름까지 말할 수 있는지 확인한다. ::: ### 표준 ●●○ **7.** 모든 실수 $a, b$에 대해 $a^2 + b^2 \ge \dfrac{(a+b)^2}{2}$임을 증명하시오 (빈칸 훈련의 재구성). **8.** $t > 0$이면 $t + \dfrac{1}{t} \ge 2$ — 예제 2.3을 백지에 재현하시오. **9.** AM–GM(예제 2.2)을 백지에 재현하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 출발점은 $(\sqrt a - \sqrt b)^2 \ge 0$이다. 전개 $\to$ (W2)로 이항 $\to$ (W3)으로 2로 나누기 $\to$ 등호 조건의 순서. 가정 $a, b \ge 0$이 왜 필요한지 한 구절 적어 두는 것까지가 완결이다. ::: **10.** $x > 1$이면 $x^2 > x$임을 증명하시오. (힌트: 차 $x^2 - x$를 인수분해하고 각 인수의 부호를 (W4)로) **11.** $0 \le a < b$이면 $a^2 < b^2$임을 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 차 $b^2 - a^2$을 인수분해하면 $(b-a)(b+a)$이다. $b + a > 0$을 말하려면 $b > 0$이 필요한데, 그것은 $b > a \ge 0$에서 나온다. ::: **12.** 모든 실수 $x, y, z$에 대해 $x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx$임을 증명하시오. (힌트: 차의 2배 $= (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2$. 등호 조건은?) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 차 자체에는 제곱이 잘 보이지 않지만 차의 2배에는 보인다. 마지막에 (W3)으로 2로 나누어 되돌린다. 등호는 세 제곱이 동시에 0일 때다. ::: **13.** $a > 0$, $b > 0$이면 $(a + b)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right) \ge 4$임을 증명하시오. (힌트: 전개하면 $2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ — 문제 8을 $t = \frac{a}{b}$로 인용) **14.** $0 < a < b$이면 $\dfrac{a}{b} < \dfrac{a+1}{b+1}$임을 증명하시오. (힌트: 차를 통분 — 분자와 분모의 부호를 각각 확인) ### 도전 ●●● :::{admonition} 차의 전개에서 소거를 기대하기 :class: quotebox 아래 세 문제는 차가 한눈에 제곱으로 보이지 않는다. 이때의 수순은 하나다 — **성실히 전개한 뒤 무엇이 지워지는지 본다.** 부등식이 참이라면 지워지고 남는 것이 제곱(들)일 가능성이 높고, 그 남은 것을 인식하는 것이 증명의 전부다. 전개가 길어 보인다는 이유로 짧은 길을 먼저 찾다가 막히는 경우가 많으므로, 먼저 끝까지 전개한다. ::: **15.** (코시–슈바르츠 부등식, 2변수) 모든 실수 $a, b, x, y$에 대해 $$ (a^2 + b^2)(x^2 + y^2) \ge (ax + by)^2 $$ 임을 증명하시오. (힌트: 차를 전개하면 완전제곱 하나가 남는다) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 좌변은 항이 네 개, 우변은 세 개로 전개된다. 겹치는 두 항이 지워지고 남는 세 항의 가운데 계수가 $-2$인지 확인하면 제곱이 보인다. ::: **16.** 모든 실수 $x, y$에 대해 $x^4 + y^4 \ge x^3 y + x y^3$임을 다음 순서로 증명하시오. (a) 보조정리: 모든 실수 $x, y$에 대해 $x^2 + xy + y^2 \ge 0$. (힌트: $\left(x + \frac{y}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}y^2$) (b) 차를 인수분해: $x^4 + y^4 - x^3y - xy^3 = (x - y)^2(x^2 + xy + y^2)$임을 확인. (c) 결합해 결론. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (a)는 $x$에 대한 완전제곱을 만들면 $y$만 남는 항이 제곱이 된다. (b)는 앞의 두 항과 뒤의 두 항을 따로 묶어 공통인수 $(x-y)$를 꺼내고, 남는 $x^3 - y^3$을 다시 인수분해한다. (c)에서 필요한 것은 "0 이상인 것 두 개의 곱은 0 이상", 곧 (W4)의 뒷 절반이다. ::: :::{admonition} 제곱해서 비교하기 — 이 문제가 처음 요구하는 도구 :class: quotebox 제곱근이 든 부등식에서는 차를 정리해도 제곱근이 남아 (W1)을 쓸 수 없다. 그래서 쓰는 것이 **제곱 비교**다: $p \ge 0$, $q \ge 0$일 때 $p^2 \le q^2$이면 $p \le q$이다. 이 원리는 문제 11("$0 \le a < b$이면 $a^2 < b^2$")에 문자를 $a = q$, $b = p$로 대응시킨 뒤 가정과 결론을 각각 부정해 **자리를 바꾼** 것이다 — 문자 대응을 먼저 맞추지 않으면 원하는 형태가 나오지 않는다. 이 뒤집기는 9주차에서 **대우**라는 이름과 원명제와의 동치성까지 확인해 둔 것이고, 증명 기법으로 규격화하는 것은 19주차다. 이번 주에는 문제 11을 이렇게 한 번 뒤집어 쓰는 것까지만 한다. ::: **17.** $a \ge 0$, $b \ge 0$이면 $\sqrt{a + b} \le \sqrt{a} + \sqrt{b}$임을 증명하시오. (힌트: 양변 모두 0 이상이므로, "0 이상인 두 수는 제곱해서 비교해도 된다"— 문제 11의 대우를 이용해 이 원리부터 한 줄로 정당화하라) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 답안은 두 부분이다. ① 위 상자의 원리를 문제 11에서 끌어내는 한 줄 ② 양변의 제곱을 실제로 비교하는 계산. ②에서 $(\sqrt a + \sqrt b)^2$을 전개하면 $\sqrt{a+b}$의 제곱과 무엇이 다른지 바로 보인다. ::: **18.** $x > 0$일 때 $x + \dfrac{9}{x}$의 최솟값이 6임을 증명하시오. 답안에 반드시 포함할 것: ① 모든 $x > 0$에서 $x + \frac{9}{x} \ge 6$ ② 등호를 실제로 달성하는 $x$의 존재. (②가 없으면 "최솟값 6" 주장이 미완성인 이유도 한 문장) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown ①은 예제 2.2에 $a = x$, $b = \frac9x$를 넣거나 차를 통분해 $\frac{(x-3)^2}{x}$을 만들면 나온다. ②는 등호 조건에서 $x$를 실제로 풀고 대입해 확인한다. 정의 16.2의 두 조각과 ①②가 어떻게 대응하는지 보면 마지막 문장이 나온다. ::: **19.** 다음 답안을 진단하시오 — 어떤 위험이 있고, 어떻게 고쳐야 정당한 증명이 되는가? :::{container} quotebox "증명할 것: $a > 0$이면 $a + \frac{1}{a} \ge 2$. 풀이: $a + \frac{1}{a} \ge 2$의 양변에 $a$를 곱하면 $a^2 + 1 \ge 2a$, 이항하면 $(a-1)^2 \ge 0$. 이것은 참이다. 따라서 원래 부등식도 참이다." ::: :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 논증의 방향을 화살표로 그려 본다. 이 답안이 보인 것은 "결론 $\Rightarrow$ 참인 식"인데, §1.7의 무너지는 사례가 같은 방향이었다. 그다음 각 단계가 역방향으로도 성립하는지 하나씩 점검하면 복구 가능성이 갈린다. ::: **20.** (서술) (a) 차–제곱 전략을 세 단계로 요약하시오. (b) 등호 조건을 함께 밝히는 것이 왜 중요한지, 문제 18의 상황을 예로 들어 두 문장 이내로 쓰시오. ## 백지 재현 — 복습 프로토콜 권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다. **1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용.** (W1)~(W6) 목록과 차–제곱 전략 3단계, 번역표 양식만 펴 놓고 예제 2.2(AM–GM)를 처음부터 끝까지 적는다. 정의와 본문은 보지 않는다. **2차 시도 (5일차) — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다: - [ ] 정의 16.1을 "차가 양수" 조각 그대로 정확히 썼다. - [ ] (W1)~(W6)을 백지에 썼다. 특히 (W3)의 방향 반전 조건과 (W4)의 "0 이상" 판본을 빠뜨리지 않았다. - [ ] 차–제곱 전략의 세 단계(§1.5)와 답안 뼈대 네 걸음(§2 관찰)의 관계를 말로 재현했다. - [ ] 예제 2.1과 예제 2.2를 등호 조건까지 백지에 처음부터 끝까지 재현했다. - [ ] 재현한 증명에서 각 줄의 근거가 (W1)~(W6) 중 무엇인지 짚을 수 있다. - [ ] 예제 2.3에서 가정 $a > 0$이 소비되는 두 지점을 짚었다. - [ ] "결론에서 출발"이 왜 위험한지 공허한 참($F \Rightarrow T$)과 연결해 설명했다. - [ ] 정의 16.2의 두 조각으로 "최솟값 주장"이 왜 2단 구성인지 설명했다. **막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다. | **막힌 지점** | **처방** | |---|---| | 부등식 증명을 어디서 시작할지 모르겠다 | §1.1~§1.2 — 비교를 차 하나의 부호 판정으로 바꾼다 | | 차는 계산했는데 그다음이 나오지 않는다 | §1.5 — 완전제곱 변형 하나로 제곱을 만들어 본다 | | 분수가 섞인 차에서 막힌다 | 예제 2.3 — 통분 $\to$ 분자에서 제곱 $\to$ 분모의 부호 | | 제곱근이 섞인 차에서 막힌다 | 예제 2.2와 문제 17 — 제곱근을 문자처럼 두거나 제곱을 비교한다 | | 양변에 무엇을 곱해도 되는지 헷갈린다 | §1.4의 (W3) — 곱하는 수의 부호를 먼저 말한다 | | 몫의 부호를 무슨 근거로 말할지 모르겠다 | §1.4의 (W5) — 몫을 역수의 곱으로 바꿔 (W4)에 넘긴다 | | 등호 조건을 자꾸 빠뜨린다 | §1.6 — 만들어 둔 제곱을 0으로 놓고 읽는 한 줄이다 | | 답안이 결론에서 출발한다 | §1.7 — 연습장의 역산과 답안의 순방향을 분리한다 | 하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다. ## 해설 각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 1 (1) $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ (2) $\ge 0$ (3) $a = b$ ※ 항이 세 개이고 양 끝이 제곱이면 가운데 계수를 확인한다 — $-2ab$이므로 $(a-b)^2$이다. 등호는 $a - b = 0$에서 $a = b$. 문제 7이 이 결론을 2로 나눈 꼴로 재사용한다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 2 (1) 가정 (2) $a - 1$ (3) $(a-1)^2(a+1)$ (4) (W1) (5) $a^3 + 1 \ge a^2 + a$ (6) $a = 1$ ※ 두 항씩 묶는 인수분해다. $a^3 - a^2 = a^2(a-1)$이고 $-a + 1 = -(a-1)$이므로 공통인수 $(a-1)$이 나오고, 남는 $a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$을 합치면 $(a-1)^2(a+1)$이다. 제곱과 양수의 곱을 만든 뒤 (W1)과 가정을 각각 인용하는 것이 이 훈련의 새 요소다. 가정 $a \ge 0$에서 $a + 1 > 0$을 얻는 데 (W2)와 (W6)이 한 번씩 쓰이고, 0 이상인 두 수의 곱이 0 이상임은 (W4)의 뒷 절반이다 — 근거 이름 세 개가 한 줄에 들어간다. 문제 10$\cdot$11$\cdot$16(c)이 같은 "인수의 부호를 각각 확인" 유형이다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 3 (1) $a > 0$, $b > 0$이라 하자. (2) 차를 계산하면 $$ \frac{a+b}{2} - \frac{2ab}{a+b} = \frac{(a+b)^2 - 4ab}{2(a+b)} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{2(a+b)} = \frac{(a-b)^2}{2(a+b)} $$ (3) (W1)에 의해 분자 $(a-b)^2 \ge 0$이고, 가정과 (W4)에 의해 $a + b > 0$이며 $2 > 0$과 함께 다시 (W4)를 쓰면 분모 $2(a+b) > 0$이다. (W5)에 의해 $\frac{1}{2(a+b)} > 0$이므로, 0 이상인 것과 양수의 곱인 몫은 (W4)에 의해 0 이상이다. 따라서 정의 16.1에 의해 $\frac{a+b}{2} \ge \frac{2ab}{a+b}$이다. (4) 등호는 $(a-b)^2 = 0$, 즉 $a = b$일 때만 성립한다. $\blacksquare$ ※ 두 분수의 차에서도 수순은 예제 2.3과 같다 — 통분, 분자에서 제곱 찾기, 분모의 부호 말하기. 분자의 $(a+b)^2 - 4ab$는 문제 4의 차와 같은 식이고, 이 명제는 "산술평균 $\ge$ 조화평균"으로 불린다. ### 문제 1 **접근.** §1.5의 변형 $x^2 + px = (x + \frac p2)^2 - \frac{p^2}{4}$ 하나면 된다. $x^2$의 계수가 1이 아닌 (c)는 그 계수를 먼저 묶어 괄호 안을 계수 1로 만든다. **풀이.** (a) $p = -6$이므로 $x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9$이고, 상수 10을 더하면 $(x-3)^2 + 1$. (b) $p = 4$이므로 $x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4$이고, 상수 4를 더하면 $(x+2)^2$ — 남는 상수가 0인 경우다. (c) 앞의 두 항에서 2를 묶으면 $2(x^2 - 2x) + 5$이고, 괄호 안이 $x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$이므로 $2\{(x-1)^2 - 1\} + 5 = 2(x-1)^2 + 3$. (검산: (c)에 $x = 0$을 넣으면 원식은 5, 정리한 식도 $2 + 3 = 5$ ✓.) **복기.** 세 결과의 꼴이 같다 — (제곱의 양수 배) + (상수). 이 꼴이면 부호 판정이 끝난다: 상수가 양수면 식 전체가 항상 양수, 0이면 0 이상이다. ### 문제 2 **접근.** (W2)(W3)의 문장과 한 글자씩 대조한다. 참인 성질에서 조건이 하나 빠져 있으면, 그 조건을 어기는 수가 곧 반례다. **풀이.** (a) 참. (W2)의 $<$ 판본 그대로다. 차로 확인하면 $(b+c) - (a+c) = b - a > 0$ — 양변에 같은 수를 더해도 차가 바뀌지 않으므로, 양수이던 차가 양수로 남는다. (b) 거짓. (W3)의 조건 $c > 0$이 빠져 있다. 반례: $a = 1$, $b = 2$, $c = -1$. 가정 $1 < 2$는 참인데 $ac = -1$, $bc = -2$이므로 $-1 < -2$는 거짓이다. (c) 참. (W2)의 $<$ 판본을 두 번 쓰고 (W6)으로 잇는다. $a < b$의 양변에 $c$를 더하면 $a + c < b + c$이고, $c < d$의 양변에 $b$를 더하면 $b + c < b + d$이다. 두 부등식을 (W6)(추이성)으로 이으면 $a + c < b + d$이다. (d) 거짓. 반례: $a = -2$, $b = 1$. 가정 $-2 < 1$은 참인데 $a^2 = 4 > 1 = b^2$이다. $a \ge 0$을 붙이면 참이 되고, 그것이 문제 11이다. **복기.** (c)의 "두 부등식을 변끼리 더한다"는 (W2) 두 번과 (W6)(추이성)으로 분해된다 — 목록 밖의 새 규칙이 아니라 목록 안의 세 번 인용이다. 추이성 자체는 §1.4에서 정의 16.1과 (W4)로 유도해 두었으므로, 여기서 이름만 불러 쓰면 된다. 이후 주차에서 이 조작이 그대로 인용된다. ### 문제 3 **접근.** 차 $x^2 + 1 - 2x$가 무엇의 제곱인지부터 본다. 항이 세 개, 양 끝이 제곱, 가운데 계수가 $-2$이므로 $(x-1)^2$이다. **풀이.** $x$를 임의의 실수라 하자. 차를 계산하면 $x^2 + 1 - 2x = (x-1)^2$이다. (W1)에 의해 $(x-1)^2 \ge 0$이므로 $x^2 + 1 - 2x \ge 0$이고, 양변에 $2x$를 더하면(W2) $x^2 + 1 \ge 2x$이다. 등호는 $(x-1)^2 = 0$, 즉 $x = 1$일 때만 성립한다. $\blacksquare$ (검산: $x = 3$이면 $10 \ge 6$ ✓. $x = 1$이면 양변 모두 $2$로 등호 ✓.) **복기.** 예제 2.1에서 $y = 1$로 둔 특수한 경우다. 일반 명제를 이미 증명해 두었으므로 대입으로 끝낼 수도 있지만, 여기서는 전략을 손에 익히려고 차부터 다시 계산했다. ### 문제 4 **접근.** 차 $(a+b)^2 - 4ab$를 전개해 정리한다. $ab$ 항의 계수가 $2 - 4 = -2$가 되므로 완전제곱이 남는다. **풀이.** $a, b$를 임의의 실수라 하자. 차를 계산하면 $$ (a+b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 $$ 이다. (W1)에 의해 차가 0 이상이므로 정의 16.1에 의해 $(a+b)^2 \ge 4ab$이고, 등호는 $a = b$일 때만 성립한다. $\blacksquare$ (검산: $a = 5$, $b = 1$이면 $36 \ge 20$ ✓. $a = b = 3$이면 양변 모두 $36$ ✓.) **복기.** 양변을 4로 나누면 $ab \le \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$ — "두 수의 곱은 평균의 제곱을 넘지 못한다"이고, 제곱근을 취할 수 있는 조건($a, b \ge 0$)에서는 예제 2.2와 같은 내용이 된다. 같은 부등식의 다른 얼굴이다. ### 문제 5 **접근.** 완전제곱을 만들면 상수가 남고, 그 상수의 부호가 $>$를 책임진다. 등호 없는 $>$를 주장하므로 "0이 될 길이 막혀 있음"까지 적어야 답안이 닫힌다. **풀이.** $x$를 임의의 실수라 하자. §1.5의 변형($p = 1$)으로 $$ x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} $$ 이다. (W1)에 의해 $\left(x + \frac12\right)^2 \ge 0$이고, 양변에 $\frac34$을 더하면(W2) $x^2 + x + 1 \ge \frac34$이다. $\frac34 > 0$이므로 $x^2 + x + 1 > 0$이다. $\blacksquare$ $\ge$가 아니라 $>$인 이유: 제곱이 0이 되는 순간($x = -\frac12$)에도 $+\frac34$이 그대로 남아 전체가 0에 도달하지 못한다. **복기.** 남는 상수의 부호가 결론의 부등호를 정한다. 문제 1(a)의 $(x-3)^2 + 1$도 같은 이유로 항상 양수이고, 문제 1(b)의 $(x+2)^2$은 상수가 0이므로 $\ge 0$까지만 말할 수 있다. ### 문제 6 **접근.** 네 줄이다 — 오프닝, 차 계산과 제곱 인식, (W1)$\cdot$(W2)로 부호 선언, 등호 조건. 쓰기 전에 도착점("차가 0 이상")을 적어 두면 둘째 줄이 막히지 않는다. **풀이.** $x, y$를 임의의 실수라 하자. 차를 계산하면 $x^2 + y^2 - 2xy = (x-y)^2$이다. (W1)에 의해 $(x-y)^2 \ge 0$이므로 $x^2 + y^2 - 2xy \ge 0$이고, 양변에 $2xy$를 더하면(W2) $x^2 + y^2 \ge 2xy$이다. 등호는 $(x-y)^2 = 0$, 즉 $x = y$일 때만 성립한다. $\blacksquare$ **복기.** 자가 채점의 기준은 둘이다. ① 등호 조건 줄을 썼는가 ② 부호 선언 줄에서 (W1)과 (W2)를 각각 인용했는가. 결과만 맞고 근거 이름이 비어 있으면, 부등식을 만들어 낸 근거가 답안에 없는 상태다. ### 문제 7 **접근.** 훈련 1의 결론을 2로 나누면 된다. 나누는 수의 부호를 말하고 (W3)을 인용하는 것이 요점이다. 차를 직접 계산해도 같은 결과에 도달한다. **풀이.** $a, b$를 임의의 실수라 하자. 훈련 1(근거 ④)에 의해 $(a+b)^2 \le 2(a^2+b^2)$이다. 양변을 $2 > 0$으로 나누면 (W3)에 의해 방향이 유지되어 $\dfrac{(a+b)^2}{2} \le a^2 + b^2$이다. 등호는 훈련 1의 등호 조건을 그대로 상속해 $a = b$일 때만 성립한다. $\blacksquare$ (직접 계산해도 된다: 차 $a^2 + b^2 - \frac{(a+b)^2}{2} = \frac{(a-b)^2}{2} \ge 0$.) **복기.** 이미 증명한 명제를 부품으로 쓰면(근거 ④) 증명이 세 줄로 줄어든다. 부품 인용에서 빠뜨리기 쉬운 것은 인용한 명제의 이름과, 등호 조건도 함께 상속된다는 사실이다. ### 문제 8 **접근.** 예제 2.3에서 문자만 $t$로 바뀐 명제다. 가정 $t > 0$의 소비처 두 곳 (분수가 뜻을 갖는 자리, 분모의 부호를 말하는 자리)을 답안에 명시한다. **풀이.** $t > 0$이라 하자. 그러면 $t \neq 0$이므로 $\frac1t$이 정의되고, 차를 통분하면 $$ t + \frac{1}{t} - 2 = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = \frac{(t-1)^2}{t} $$ 이다. (W1)에 의해 분자 $(t-1)^2 \ge 0$이고 가정에 의해 분모 $t > 0$이므로 (W5)에 의해 $\frac1t > 0$이며, 0 이상인 것과 양수의 곱이므로 (W4)에 의해 몫 $(t-1)^2 \cdot \frac1t$은 0 이상이다. 따라서 $t + \frac1t - 2 \ge 0$이고, 양변에 2를 더하면(W2) $t + \frac1t \ge 2$이다. 등호는 $t = 1$일 때만 성립한다. $\blacksquare$ (검산: $t = 3$이면 $\frac{10}{3} > 2$ ✓. $t = 1$이면 $2$로 등호 ✓.) **복기.** 이 결과는 문제 13에서 $t = \frac ab$로 인용된다. 부품이 될 명제는 문자를 중립적인 이름으로 두고 증명해 두는 편이 인용하기 쉽다 — $a$로 증명해 두었다면 $a = \frac ab$로 대입하는 순간 문자가 충돌한다. ### 문제 9 **접근.** 출발점은 $(\sqrt a - \sqrt b)^2 \ge 0$이다. 가정 $a, b \ge 0$이 이 출발점을 쓸 자격을 주는 유일한 근거이므로, 그 자리를 답안에 적는다. **풀이.** $a \ge 0$, $b \ge 0$이라 하자. 그러면 §1.2의 인정 사실 "제곱근"에 의해 $\sqrt a$, $\sqrt b$가 실수로 존재하므로 (W1)을 적용할 수 있고 $$ 0 \le (\sqrt a - \sqrt b)^2 = a - 2\sqrt a \sqrt b + b = a + b - 2\sqrt{ab} $$ 이다(두 등식에서 §1.2의 인정 사실 "제곱근"의 $(\sqrt a)^2 = a$와 $\sqrt a \sqrt b = \sqrt{ab}$를 각각 썼다). 양변에 $2\sqrt{ab}$를 더하면(W2) $2\sqrt{ab} \le a + b$이고, 양변을 $2 > 0$으로 나누면(W3) $\sqrt{ab} \le \dfrac{a+b}{2}$이다. 등호는 $\sqrt a = \sqrt b$일 때, 곧 양변을 제곱한 $a = b$일 때만 성립한다. $\blacksquare$ (검산: $a = 9$, $b = 1$이면 $5 \ge 3$ ✓. $a = b = 4$면 양변 모두 $4$ ✓.) **복기.** 가정이 소비되는 자리를 자가 채점 항목으로 삼는다. "$\sqrt a$가 실수이므로"라는 구절이 없으면 (W1)을 쓸 자격이 답안에 적혀 있지 않은 셈이다. 문제 18이 이 명제를 부품으로 쓴다. ### 문제 10 **접근.** 차 $x^2 - x = x(x-1)$은 제곱이 아니라 인수 둘의 곱이므로 (W1)이 아니라 (W4)를 쓴다 — 각 인수의 부호를 가정에서 따로 끌어내는 것이 이 유형의 요령이다. **풀이.** $x > 1$이라 하자. 차를 계산하면 $x^2 - x = x(x-1)$이다. 가정에서 $x - 1 > 0$이고, 또 $1 > 0$과 $x > 1$을 (W6)(추이성)으로 이으면 $x > 0$이다. 양수 둘의 곱이므로 (W4)에 의해 $x(x-1) > 0$이고, 따라서 $x^2 - x > 0$, 즉 $x^2 > x$이다. $\blacksquare$ (검산: $x = 2$이면 $4 > 2$ ✓. $x = 1.5$이면 $2.25 > 1.5$ ✓.) **복기.** 결론에 등호가 없는 것은 가정이 $x > 1$로 강하기 때문이다. 가정을 $x \ge 1$로 약하게 하면 결론도 $x^2 \ge x$가 되고 $x = 1$에서 등호가 생긴다 — 가정의 부등호가 결론의 부등호를 그대로 결정한다. ### 문제 11 **접근.** 차 $b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)$로 인수분해하고 각 인수의 부호를 가정에서 끌어낸다. $b + a > 0$을 말하려면 $b > 0$이 필요한데, 그것은 $b > a \ge 0$에서 나온다. **풀이.** $0 \le a < b$라 하자. 차를 계산하면 $b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)$이다. 가정에서 $a < b$이므로 $b - a > 0$이다. 또 $0 \le a$와 $a < b$를 (W6)(추이성)으로 이으면 $b > 0$이다. 한편 $a \ge 0$의 양변에 $b$를 더하면(W2) $a + b \ge b$이고, 이것과 $b > 0$을 다시 (W6)으로 이으면 $b + a > 0$이다. 양수 둘의 곱이므로 (W4)에 의해 $(b-a)(b+a) > 0$이고, 따라서 $a^2 < b^2$이다. $\blacksquare$ (검산: $a = 0$, $b = 3$이면 $0 < 9$ ✓. $a = 2$, $b = 5$이면 $4 < 25$ ✓.) **복기.** 문제 2(d)에서 거짓이던 명제가 $a \ge 0$을 붙이자 참이 되었다. 거짓 명제를 참으로 만드는 조건을 찾는 것도 증명의 성과다. 이 명제를 뒤집은 "0 이상인 두 수는 제곱해서 비교해도 된다"가 문제 17의 도구가 된다. ### 문제 12 **접근.** 차 자체에는 제곱이 잘 보이지 않지만 차의 **2배**에는 보인다. 계수 $-2$를 만들어야 완전제곱이 되기 때문이다. 예제 2.2에서 분수를 피하려고 2배를 다룬 것과 같은 조작이고, 마지막에 (W3)으로 되돌린다. **풀이.** $x, y, z$를 임의의 실수라 하자. 차의 2배를 계산하면 $$ 2(x^2+y^2+z^2) - 2(xy+yz+zx) = (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 $$ 이다. (우변을 전개하면 $(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2) = 2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx$로 좌변과 같다 ✓.) (W1)에 의해 세 제곱이 각각 0 이상이고, (W4)의 뒷 절반을 두 번 쓰면 0 이상인 것들의 합도 0 이상이므로, 차의 2배가 0 이상이다. 양변을 $2 > 0$으로 나누면(W3) 차가 0 이상이고, 따라서 $x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx$이다. 등호는 세 제곱이 동시에 0일 때, 즉 $x = y$이고 $y = z$일 때, 곧 $x = y = z$일 때만 성립한다. $\blacksquare$ (검산: $x=1, y=2, z=3$이면 $14 \ge 11$ ✓. $x=y=z=4$면 양변 모두 $48$ ✓.) **복기.** 제곱이 여러 개일 때 등호 조건은 "전부 0"이므로 등식이 연립으로 나온다. 그 연립을 풀어 $x = y = z$ 같은 한 문장으로 정리하는 것까지가 답안이다. ### 문제 13 **접근.** 전개해서 나온 $\frac ab + \frac ba$가 문제 8의 $t + \frac1t$와 같은 꼴이다. 부품을 인용하려면 $t = \frac ab$로 두고 $t > 0$임을 먼저 확인해야 한다 — 인용할 명제의 가정을 확인하는 것이 인용의 조건이다. **풀이.** $a > 0$, $b > 0$이라 하자. 좌변을 전개하면 $$ (a+b)\left(\frac1a + \frac1b\right) = \frac aa + \frac ab + \frac ba + \frac bb = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} $$ 이다. $t = \dfrac ab$로 두면 $b > 0$에서 (W5)에 의해 $\dfrac1b > 0$이고 $a > 0$과 함께 (W4)를 쓰면 $t = a \cdot \dfrac1b > 0$이다. 또 $\dfrac ba = \dfrac1t$이다. 문제 8(근거 ④)에 의해 $t + \dfrac1t \ge 2$이므로 $\dfrac ab + \dfrac ba \ge 2$이고, 양변에 2를 더하면(W2) 좌변 전체가 4 이상이다. 등호는 문제 8의 등호 조건 $t = 1$, 즉 $a = b$일 때만 성립한다. $\blacksquare$ (검산: $a = 1$, $b = 4$이면 $5 \times \frac54 = 6.25 \ge 4$ ✓. $a = b = 2$면 $4$로 등호 ✓.) **복기.** 인용의 세 걸음 — 부품의 가정 확인, 문자 대응, 결론과 등호 조건을 함께 가져오기. 훈련 3과 사실상 같은 내용이므로 직접 통분해 $\frac{(a-b)^2}{ab} \ge 0$을 보이는 길도 있다. ### 문제 14 **접근.** 큰 쪽에서 작은 쪽을 빼야 양수가 나오므로 차는 $\frac{a+1}{b+1} - \frac ab$로 잡는다. 통분한 분자를 전개하면 항이 대부분 지워진다. **풀이.** $0 < a < b$라 하자. $0 < a$와 $a < b$를 (W6)(추이성)으로 이으면 $b > 0$이고, 양변에 1을 더하면(W2) $b + 1 > 1 > 0$이므로 다시 (W6)으로 $b + 1 > 0$이다. 따라서 두 분모가 모두 0이 아니다. 차를 통분하면 $$ \frac{a+1}{b+1} - \frac{a}{b} = \frac{b(a+1) - a(b+1)}{b(b+1)} = \frac{ab + b - ab - a}{b(b+1)} = \frac{b - a}{b(b+1)} $$ 이다. 가정에서 분자 $b - a > 0$이고, $b > 0$과 $b+1 > 0$에서 (W4)에 의해 분모 $b(b+1) > 0$이다. (W5)에 의해 $\frac{1}{b(b+1)} > 0$이고, 양수 둘의 곱이므로 (W4)에 의해 몫 $(b-a) \cdot \frac{1}{b(b+1)}$이 양수다. 따라서 차가 양수이고, 정의 16.1에 의해 $\dfrac ab < \dfrac{a+1}{b+1}$이다. $\blacksquare$ (검산: $a = 1$, $b = 2$이면 $0.5 < 0.667$ ✓.) **복기.** 분자$\cdot$분모에 1씩 더하면 값이 1 쪽으로 움직인다는 관찰의 증명이다. 3주차 문제 15의 수들이 작은 것부터 나열되는 이유가 이 명제다 — 관찰로 알던 사실이 부등식 증명으로 확정되는 사례다. ### 문제 15 **접근.** 차가 한눈에 제곱으로 보이지 않으므로 성실히 전개한다. 겹치는 두 항이 지워지고 세 항이 남는데, 그 가운데 계수가 $-2$인지 확인하면 제곱이 보인다. **풀이.** $a, b, x, y$를 임의의 실수라 하자. 각 변을 전개하면 $(a^2+b^2)(x^2+y^2) = a^2x^2 + a^2y^2 + b^2x^2 + b^2y^2$이고 $(ax+by)^2 = a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2$이므로, 차에서 $a^2x^2$과 $b^2y^2$이 지워지고 $$ (a^2+b^2)(x^2+y^2) - (ax+by)^2 = a^2y^2 - 2abxy + b^2x^2 = (ay - bx)^2 $$ 이 남는다. (W1)에 의해 차가 0 이상이므로 정의 16.1에 의해 $(a^2+b^2)(x^2+y^2) \ge (ax+by)^2$이고, 등호는 $ay = bx$일 때만 성립한다. $\blacksquare$ (검산: $a=1, b=2, x=3, y=4$이면 $5 \times 25 = 125$, $(3+8)^2 = 121$이고 차는 $(4-6)^2 = 4 = 125 - 121$ ✓.) **복기.** 전개 $\to$ 소거 $\to$ 남은 것 인식이 도전 문제의 표준 수순이다. 등호 조건 $ay = bx$는 두 쌍 $(a,b)$와 $(x,y)$가 비례한다는 뜻이고, 이 명제는 코시–슈바르츠 부등식의 2변수 사례다. ### 문제 16 **접근.** (a)는 $x$에 대한 완전제곱을 만들면 $y$만 남는 항이 다시 제곱이 된다. (b)는 두 항씩 묶어 공통인수를 꺼내고, 꺼낸 인수분해는 전개해서 검산한다. (c)는 "0 이상인 것 두 개의 곱은 0 이상"((W4)의 뒷 절반)으로 (a)(b)를 잇는다. 부항마다 근거가 다르므로 각각 따로 적는다. **풀이.** (a) $x, y$를 임의의 실수라 하자. $x$에 대한 완전제곱을 만들면 $$ x^2 + xy + y^2 = \left(x + \frac{y}{2}\right)^2 - \frac{y^2}{4} + y^2 = \left(x + \frac{y}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}y^2 $$ 이다. (W1)에 의해 $\left(x+\frac y2\right)^2 \ge 0$이고 $y^2 \ge 0$이며, $\frac34 > 0$이므로 (W3)에 의해 $\frac34 y^2 \ge 0$이다. 0 이상인 것 둘의 합이므로 (W4)의 뒷 절반에 의해 그 합도 0 이상이다. 따라서 $x^2 + xy + y^2 \ge 0$이다. $\blacksquare$ (b) 앞의 두 항과 뒤의 두 항을 각각 묶으면 $x^4 + y^4 - x^3y - xy^3 = x^3(x - y) - y^3(x - y) = (x-y)(x^3 - y^3)$이고, $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$이므로 (확인: $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 + x^2y + xy^2 - x^2y - xy^2 - y^3 = x^3 - y^3$ ✓) $$ (x-y)(x^3-y^3) = (x-y) \cdot (x-y)(x^2+xy+y^2) = (x-y)^2(x^2+xy+y^2) $$ 이다. 등식이 확인되었다. ✓ (c) $x, y$를 임의의 실수라 하자. (b)에 의해 차는 $(x-y)^2(x^2+xy+y^2)$이다. (W1)에 의해 $(x-y)^2 \ge 0$이고 (a)에 의해 $x^2+xy+y^2 \ge 0$이므로, 0 이상인 두 수의 곱이라 (W4)의 뒷 절반에 의해 차도 0 이상이다. 따라서 $x^4 + y^4 \ge x^3y + xy^3$이다. 등호는 차가 0일 때이고, 곱이 0이 되는 것은 §1.2의 인정 사실 "곱이 0이 되는 경우"에 의해 두 인수 중 적어도 하나가 0일 때다. 즉 $(x-y)^2 = 0$이거나 $x^2+xy+y^2 = 0$일 때다. 뒤의 경우, (a)의 정리에서 그 값은 $\left(x + \frac y2\right)^2 + \frac34 y^2$이고 두 항이 모두 0 이상이다. 만약 한쪽 $u$가 양수라면, 다른 항 $v \ge 0$의 양변에 $u$를 더해(W2) $u + v \ge u$이고 $u > 0$이므로 (W6)에 의해 $u + v > 0$이 되어 합이 0일 수 없다. 따라서 두 항이 모두 0이어야 하므로 $x + \frac y2 = 0$이고 $y = 0$, 즉 $x = y = 0$이다. 이것도 $x = y$에 포함되므로, 결국 등호는 $x = y$일 때만 성립한다. $\blacksquare$ (검산: $x = 2$, $y = 1$이면 $17 \ge 10$ ✓.) **복기.** (a)는 "한 문자에 대한 완전제곱"이라는 기술이다. 두 문자가 섞인 식은 한 문자를 주인공으로 정하고 나머지를 상수처럼 취급해 정리하면 제곱이 드러난다. (a)의 결과는 이후 주차에서 세제곱 관련 논증의 부품으로 다시 쓰인다. ### 문제 17 **접근.** 차를 정리해도 제곱근이 남아 (W1)을 쓸 수 없다. 그래서 제곱을 비교한다. 다만 제곱 비교는 양변이 0 이상일 때만 허가되므로, 그 허가를 문제 11에서 끌어오는 한 줄을 먼저 쓴다. **풀이.** 먼저 원리를 확인한다. 문제 11에 문자를 $a = q$, $b = p$로 대응시키면 그 명제는 "$0 \le q < p$이면 $q^2 < p^2$"이다. 이 조건문의 대우는 "$q^2 < p^2$가 아니면 $0 \le q < p$가 아니다"이다. 삼분법(§1.2)에 의해 "$q^2 < p^2$가 아니다"는 "$p^2 \le q^2$"와 같은 말이고, $p \ge 0$, $q \ge 0$을 이미 고정해 두면 "$0 \le q < p$가 아니다"는 "$p \le q$"와 같은 말이다. 즉 $p \ge 0$, $q \ge 0$ 아래에서 "$p^2 \le q^2$이면 $p \le q$"를 얻는다. (문제 11의 가정과 결론을 각각 부정해 **자리를 바꾼** 것으로, 9주차에서 대우라는 이름과 원명제와의 동치성까지 확인해 둔 조작이다 — 증명 기법으로 규격화하는 것은 19주차다. 문자 대응 $a = q$, $b = p$를 먼저 맞추어야 원하는 형태가 나온다.) 이제 $a \ge 0$, $b \ge 0$이라 하자. §1.2의 인정 사실 "제곱근"에 의해 $\sqrt{a+b}$, $\sqrt a$, $\sqrt b$가 모두 실수로 존재하고 0 이상이며, $\sqrt a + \sqrt b$도 (W4)에 의해 0 이상이다. 두 수의 제곱을 비교하면 $$ (\sqrt a + \sqrt b)^2 - (\sqrt{a+b})^2 = (a + 2\sqrt a \sqrt b + b) - (a+b) = 2\sqrt{ab} $$ 이다(전개에서 $(\sqrt a)^2 = a$, $(\sqrt b)^2 = b$, $\sqrt a \sqrt b = \sqrt{ab}$, $(\sqrt{a+b})^2 = a + b$를 썼다 — 전부 §1.2의 인정 사실 "제곱근"이다). (W4)에 의해 $ab \ge 0$이므로 같은 상자에 의해 $\sqrt{ab} \ge 0$이고, 양변에 $2 > 0$을 곱하면(W3) $2\sqrt{ab} \ge 0$이다. 즉 $(\sqrt{a+b})^2 \le (\sqrt a + \sqrt b)^2$이다. 두 수가 모두 0 이상이므로 위 원리에 의해 $\sqrt{a+b} \le \sqrt a + \sqrt b$이고, 등호는 $2\sqrt{ab} = 0$, 곧 $ab = 0$일 때이고, §1.2의 인정 사실 "곱이 0이 되는 경우"에 의해 이는 $a = 0$ 또는 $b = 0$일 때만이다. $\blacksquare$ (검산: $a = b = 2$이면 $2 \le 2\sqrt2 \approx 2.83$ ✓. $a = 4$, $b = 0$이면 양변 모두 $2$ ✓.) **복기.** 제곱근이 든 부등식의 표준 수순 — ① 양변이 0 이상임을 확인 ② 제곱끼리 비교 ③ 제곱 비교 원리로 되돌리기. ①을 건너뛰면 원리를 쓸 자격이 없으므로, 그 한 줄이 답안의 필수 부품이다. ### 문제 18 **접근.** 정의 16.2의 두 조각이 그대로 답안의 두 부분이다. ①은 하계 — 예제 2.2에 $a = x$, $b = \frac9x$를 넣거나 차를 통분해 얻는다. ②는 달성 — 등호 조건에서 $x$를 실제로 풀고 대입해 확인한다. **풀이.** ① $x > 0$이라 하자. (W5)에 의해 $\frac1x > 0$이고 $9 > 0$이므로 (W4)에 의해 $\frac9x = 9 \cdot \frac1x > 0$이다. 따라서 $x$와 $\frac9x$는 모두 0 이상이고, 예제 2.2(AM–GM)에 의해 $\dfrac{x + \frac9x}{2} \ge \sqrt{x \cdot \frac9x} = \sqrt9 = 3$이다. 양변에 $2 > 0$을 곱하면(W3) $x + \dfrac9x \ge 6$이다. (통분으로 해도 된다: $x + \frac9x - 6 = \frac{x^2 - 6x + 9}{x} = \frac{(x-3)^2}{x}$이고, 분자는 (W1)로 0 이상, 분모는 가정으로 양수이므로 (W5)(W4)에 의해 몫이 0 이상이다.) ② 등호는 AM–GM의 등호 조건에 의해 $x = \frac9x$일 때, 즉 $x^2 = 9$일 때이고, $x > 0$이므로 $x = 3$이다. 실제로 $3 + \frac93 = 6$이므로 값 6이 달성된다. ①과 ②에 의해 6은 $x + \frac9x$가 만드는 값들의 하계이면서 그 값들 중 하나이므로, 정의 16.2에 의해 최솟값은 6이다. $\blacksquare$ ②가 필수인 이유: ①만으로는 "6 이상"이라는 하계만 확보된다. 5도, 0도 하계이지만 최솟값은 아니다 — 실제로 달성되는 하계만이 최솟값이다. **복기.** 최솟값$\cdot$최댓값 주장은 언제나 2단 구성이다 — 부등식 하나(하계)와 등호 달성 하나. 부등식만 쓴 답안은 정의 16.2의 조각 ①만 확인한 답안이고, §1.6의 조각 삭제 실험이 그 상태에서 무엇이 무너지는지 보여 준다. ### 문제 19 **접근.** 논증의 방향을 화살표로 그려 본다. 이 답안이 보인 것은 "결론 $\Rightarrow$ 참인 식" 이고, §1.7의 무너지는 사례가 같은 방향이었다. 그다음 각 단계가 역방향으로도 성립하는지 점검하면 복구 가능성이 갈린다. **풀이.** **위험.** 증명할 명제에서 **출발**해 참인 식에 **도달**했다 — 논증의 방향이 거꾸로다. 8주차 진리표대로 $F \Rightarrow T$도 참이므로, "결론에서 참인 식이 나온다"는 사실은 결론의 참을 보증하지 않는다. §1.7의 사례가 그 증거다: "$-1 = 1$의 양변을 제곱하면 $1 = 1$, 참이다"라는 같은 형식의 논증이 거짓 명제를 증명해 버린다. 15주차 규범 3 위반이기도 하다. **복구 가능성.** 이 답안의 경우 각 단계가 실제로 동치 변형이다. $a > 0$이므로 양변에 $a$를 곱하는 것은 (W3)에 의해 방향이 유지되고 다시 $a$로 나누면 되돌아오므로 $\iff$이고, 이항도 (W2)에 의해 $\iff$이다. 따라서 $$ a + \frac1a \ge 2 \iff a^2 + 1 \ge 2a \iff (a-1)^2 \ge 0 \quad (a > 0) $$ 이라고 **각 화살표가 양방향임을 명시**하고 참인 쪽에서 거슬러 올라오면 정당한 증명이 된다. **권장 수정.** 처음부터 순방향으로 쓴다. "$a > 0$이라 하자. (W1)에 의해 $(a-1)^2 \ge 0$이므로 $a^2 - 2a + 1 \ge 0$이고, 양변에 $2a$를 더하면(W2) $a^2 + 1 \ge 2a$이다. 양변을 $a > 0$으로 나누면(W3, 방향 유지) $a + \frac1a \ge 2$이다. 등호는 $a = 1$일 때만." — 예제 2.3의 차–제곱 서술도 같은 결과를 순방향으로 준다. **복기.** 거꾸로 가는 탐색은 연습장에서 답을 발견하는 데 쓰고, 답안은 순방향으로 다시 쓴다. 발견의 논리와 서술의 논리는 다르다는 이 분리는 이후 주차에서도 반복 적용된다. ### 문제 20 **접근.** 이번 주 전체의 요약이다. (a)는 §1.5의 상자를, (b)는 §1.6과 정의 16.2를 근거로 삼는다. 서술 문제라도 근거의 이름을 넣어 적는다. **풀이.** (예시 답안) (a) ① 차 $A - B$(또는 그 양수 배)를 계산한다. ② 그것을 제곱(들의 합, 또는 제곱의 양수 배$\cdot$양수 분모 몫)으로 정리한다. ③ (W1)$\cdot$(W4)$\cdot$(W5)로 차가 0 이상임을 선언하고(양수 배를 다루었다면 (W3)으로 되돌리고), 정의 16.1로 $A \ge B$를 읽는다. 덧붙여, 정리해 둔 제곱을 0으로 놓으면 등호 조건이 함께 나온다. 이 세 단계를 오프닝과 등호 조건이 앞뒤에서 감싸면 §2 관찰의 답안 뼈대 네 걸음이 된다. (b) 부등식 $x + \frac9x \ge 6$ 자체는 6이 하계라는 정보만 주고 6이 실제로 달성되는지는 말하지 않는다 — 5도 하계이지만 최솟값은 아니다. 등호 조건에서 $x = 3$을 얻고 대입해 값 6을 확인해야 정의 16.2의 조각 ②가 채워지고, "최솟값이 정확히 6"이라는 주장이 완성된다. **복기.** 서술 문제의 채점 기준도 근거다. "차를 제곱으로 만든다"까지만 적고 왜 그것으로 부호가 정해지는지((W1)) 적지 않으면, 절차는 외웠으나 근거는 비어 있는 답안이 된다. --- **다음 주 예고:** 정보가 부족해 한 길로 갈 수 없을 때 상황 자체를 쪼개는 기술 — 경우 나누기(proof by cases)를 공식 도구로 만든다. 이번 주에도 (W1)을 유도하며 삼분법으로 세 경우를 나눈 적이 있고, 1주차 문제 16에서도 한 번 썼다. 17주차는 그 조작에 채점 기준(빠짐없이 덮는가, 각 경우가 완결인가)을 붙여 규격화한다. 절댓값의 정의가 경우로 되어 있어 훈련장이 되고, "모든 정수는 $3k$, $3k+1$, $3k+2$ 중 하나"라는 분할이 19주차와 21주차의 재료가 된다.