# 43주차 — 역함수 :::{admonition} 이 주의 길잡이 :class: keybox **핵심 문장**: 역관계는 언제나 존재한다 — 그것이 함수가 되는 조건이 전단사이고, 전체성은 전사가, 유일성은 단사가 답한다. **이 주의 위치**: 50주 과정의 43주차. 36주차의 역관계와 40~42주차의 함수 도구가 맞물려, 고1의 역함수 계산이 자격 심사와 검증을 갖춘 절차로 재조립된다. **원서 대응**: BoP(Book of Proof) 12.5 (Inverse Functions). 원서 없이 읽을 수 있다. ::: ## 이번 주 목표 1. **핵심 정리**(역관계 $f^{-1}$가 함수 $\iff$ $f$가 전단사)를 진술하고 증명할 수 있다. 1. 역함수의 항등식 특징짓기($g \circ f = \mathrm{id}_A$, $f \circ g = \mathrm{id}_B$)와 유일성을 익힌다. 1. 역함수 계산("$y = f(x)$를 $x$에 대해 풀기")과 검증 절차를 4단계 틀로 수행할 수 있다. 1. 신발–양말 정리 $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$과 정의역 제한으로 역을 만드는 방법($\sqrt{x}$의 탄생)을 다룬다. 본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다. ## 준비 운동 (42주차 복습) 1. 역관계의 정의를 쓰시오: $R^{-1} = \{\underline{\qquad}\}$ (36주차 문제 18). 1. $g \circ f = \mathrm{id}_A$이면 $f$는 $\underline{\quad}$이고 $g$는 $\underline{\quad}$이다 (42주차 문제 17). 1. $f \circ f = \mathrm{id}$인 함수(대합)의 예 둘을 쓰시오 (42주차 문제 14). :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown **1.** $R^{-1} = \{(b, a) : (a, b) \in R\}$. 순서쌍의 좌우를 뒤집어 모은 집합이며, 뒤집기에는 아무 조건이 붙지 않는다. **2.** $f$는 **단사**이고 $g$는 **전사**이다. 암기 문장은 42주차 §1.7의 "단사는 앞이 책임, 전사는 뒤가 책임"이다 — 여기서 앞은 먼저 실행되는 $f$, 뒤는 나중에 실행되는 $g$다. **3.** $f : \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R} - \{0\}$, $f(x) = \frac{1}{x}$ (42주차 문제 14)와 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = -x$. 둘 다 두 번 적용하면 제자리로 온다. ::: ### 자주 나오는 세 가지 답 — 2번 문항 방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 부분이 있고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다. - **유형 1 — 양쪽 모두 전단사로 적는다.** "$g \circ f = \mathrm{id}_A$이고 $\mathrm{id}_A$는 전단사이므로 $f$도 $g$도 전단사"라고 적는다. $\mathrm{id}_A$가 전단사라는 관찰은 옳고(42주차 §1.5), 그것이 논증의 출발점인 것도 맞다. 어긋난 것은 회수량이다 — 42주차의 역추적 정리는 합성의 성질에서 절반만 돌려준다. $g \circ f$가 단사이면 앞의 $f$가 단사이고, 전사이면 뒤의 $g$가 전사다. 나머지 절반은 반례가 있어 돌아오지 않는다. - **유형 2 — 배정을 뒤집는다.** "$f$는 전사, $g$는 단사"로 적는다. 두 성질을 짚어 낸 것은 옳다. 어긋난 것은 어느 쪽에 붙이느냐다. 합성 $g \circ f$는 오른쪽 $f$부터 실행되므로(42주차 §1.4), 입력을 뭉개지 않을 책임은 먼저 실행되는 $f$에 있고 출력을 남김없이 채울 책임은 나중에 실행되는 $g$에 있다. - **유형 3 — 백지.** 42주차 문제 17의 결론이 기억에서 나오지 않아 적지 못한다. 이번 주는 그 결론을 외워 쓰는 자리가 아니라 사용하는 자리다 — 한쪽 항등식이 무엇을 주고 무엇을 주지 못하는지가 §1.5의 주제이고, 주지 못하는 부분의 실물이 문제 17의 반례다. ## 개념 — 역관계가 함수가 되는 조건 ### 1 42주차까지의 도구만으로는 답이 나오지 않는 것 36주차 문제 18에서 관계의 **역관계**를 정의했다: $R^{-1} = \{(b,a) : (a,b) \in R\}$. 함수도 관계, 곧 순서쌍의 집합이므로(40주차 정의 40.1) 어떤 함수든 역관계는 항상 만들어진다. 그렇다면 "함수를 되돌리는 일"은 이미 끝난 것처럼 보인다. 실제로 밀어붙여 보자. :::{admonition} 시도 — 역관계를 곧바로 함수로 쓰기 :class: quotebox $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$의 역관계는 $f^{-1} = \{(y, x) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : x^2 = y\}$이다. 이제 이것을 함수처럼 써 보자. "$f^{-1}(4)$의 값은 …" ::: 여기서 멈춘다. $(4, 2)$도 $(4, -2)$도 $f^{-1}$의 원소이므로 $f^{-1}(4)$가 $2$인지 $-2$인지 정해지지 않고, 하나를 고를 근거가 어디에도 없다. $f^{-1}(-1)$은 사정이 더 나쁘다 — $x^2 = -1$인 실수 $x$가 없으므로 $-1$과 짝지어진 원소가 아예 없다. :::{container} quotebox **확인 1.** 위 두 사태는 각각 함수의 두 조건(40주차 정의 40.1) 중 무엇이 깨진 것인가. 그리고 $f$ 쪽에서는 어떤 성질이 없어서 그렇게 되었는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $f^{-1}(4)$가 정해지지 않는 것은 **유일성**이 깨진 것이고, 원인은 $f$가 단사가 아니라는 데 있다($f(2) = f(-2) = 4$ — 41주차 문제 4). $f^{-1}(-1)$이 없는 것은 **전체성**이 깨진 것이고, 원인은 $f$가 전사가 아니라는 데 있다($-1$은 $f$의 치역 밖이다). 뒤집기 자체는 언제나 된다. 뒤집은 결과가 함수인지는 별개의 물음이며, 이번 주의 물음이 정확히 그것이다. ::: :::{admonition} 이 주 전체의 기준 :class: quotebox 역관계는 조건 없이 항상 존재한다. 물어야 할 것은 그 역관계가 **함수인가**이고, 판정 기준은 40주차의 두 조건 — 전체성과 유일성 — 이다. ::: ### 2 표를 채워 규칙을 찾아내기 유한집합 위의 작은 함수 넷으로 뒤집기를 직접 해 보자. 각 행에서 순서쌍을 뒤집은 뒤, 공역의 각 원소가 뒤집은 집합의 **왼쪽 자리**에 몇 번 나오는지 센다. | **$f$** | **$f$의 순서쌍** | **뒤집은 집합 $f^{-1}$** | **왼쪽 자리에 나오는 횟수** | **$f^{-1}$이 함수인가** | |---|---|---|---|---| | $f_1 : \{1,2\} \to \{a,b\}$ | $\{(1,a),(2,b)\}$ | $\{(a,1),(b,2)\}$ | $a$: 1, $b$: 1 | 예 | | $f_2 : \{1,2,3\} \to \{a,b\}$ | $\{(1,a),(2,b),(3,b)\}$ | $\underline{\quad(1)\quad}$ | $a$: 1, $b$: $\underline{\quad(2)\quad}$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ | | $f_3 : \{1,2\} \to \{a,b,c\}$ | $\{(1,a),(2,b)\}$ | $\{(a,1),(b,2)\}$ | $a$: 1, $b$: 1, $c$: $\underline{\quad(4)\quad}$ | $\underline{\quad(5)\quad}$ | | $f_4 : \{1,2\} \to \{a,b\}$ | $\{(1,a),(2,a)\}$ | $\underline{\quad(6)\quad}$ | $a$: $\underline{\quad(7)\quad}$, $b$: 0 | 아니오 | :::{container} quotebox **확인 2.** 빈칸 (1)~(7)을 채우고, 1행만 "예"인 이유를 각 행에서 무너진 조건의 이름으로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $\{(a,1),(b,2),(b,3)\}$ (2) 2 (3) 아니오 (4) 0 (5) 아니오 (6) $\{(a,1),(a,2)\}$ (7) 2. 2행은 $b$가 왼쪽에 두 번 나와 **유일성**이 깨지고, 3행은 $c$가 한 번도 나오지 않아 **전체성**이 깨지며, 4행은 둘 다 깨진다. 1행만 공역의 모든 원소가 정확히 한 번씩 나온다. 그리고 $f_2$는 단사가 아니고($f_2(2) = f_2(3) = b$), $f_3$은 전사가 아니다($c$에 도달하지 못한다). 무너진 조건과 $f$의 없는 성질이 정확히 짝을 이룬다 — 유일성은 단사와, 전체성은 전사와 짝이다. 이 관찰이 이번 주 핵심 정리의 전부다. ::: 이 관찰에 정식 이름과 기호를 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 뒤집기와 판정을 문장으로 굳혔을 뿐이다. ### 정의 43.1 — 역함수 (inverse function) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 함수 $f : A \to B$에 대해, 역관계 $f^{-1} = \{(b, a) \in B \times A : (a,b) \in f\}$가 $B$에서 $A$로의 **함수일 때**, $f$를 **가역**(invertible)이라 하고 그 함수 $f^{-1} : B \to A$를 $f$의 **역함수**(inverse function)라 한다. ::: 기호 $f^{-1}$은 "에프 인버스"로 읽는다. 지수 $-1$과 생김새가 같지만 값의 역수 $\frac{1}{f}$와는 전혀 다른 것이며, 이 혼동이 문제 18에서 해부하는 결함이다. $f$가 가역일 때에만 $f^{-1}(b)$라는 **값 표기**를 쓸 수 있다는 점도 정의에 들어 있다. 읽는 법과 쓸 수 있는 조건까지가 정의다. ### 3 정의 해부 — 조각마다 하는 일 이 한 문장은 네 조각으로 되어 있고, 조각마다 판정에서 맡는 역할이 다르다. | **조각** | **하는 일** | **판정에서의 역할** | |---|---|---| | "함수 $f : A \to B$에 대해" | 무대의 선언 | 정의역$\cdot$공역이 정해져야 뒤집을 대상이 확정된다 — 규칙식만으로는 판정할 수 없다 | | "$f^{-1} = \{(b,a) : (a,b) \in f\}$" | 순서쌍 뒤집기 | 후보를 만드는 조작. 조건이 없으므로 어떤 $f$에서든 만들어진다 | | "가 $B$에서 $A$로의 함수일 때" | **자격 심사** | 40주차의 두 조건으로 후보를 심사한다 — 정의의 하중이 전부 여기 실린다 | | "그 함수를 $f$의 역함수라 한다" | 명명 | 심사를 통과한 뒤에만 기호 $f^{-1}(b)$가 값을 가리킨다 | **조각 삭제 실험.** 셋째 조각(자격 심사)을 지워 보자. 그러면 모든 함수가 역함수를 갖게 된다. $f(x) = x^2$에서도 $f^{-1}$을 함수라 부르게 되는데, 그 순간 $f^{-1}(4)$는 $2$와 $-2$ 중 무엇도 가리키지 못하고 $f^{-1}(-1)$은 가리킬 것이 없다. :::{container} quotebox **확인 3.** 자격 심사 조각을 지우는 순간 정확히 무엇이 무너지는가. ($f(x) = x^2$만의 문제인지 함께 생각해 보자.) ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown **기호가 값을 가리키지 못한다.** 정의역$\cdot$공역을 바꿔 만든 어떤 함수에서도 같은 사태가 벌어질 수 있으므로 $f(x) = x^2$만의 문제가 아니다. 예를 들어 $g : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $g(n) = 2n$에서 $g^{-1}(3)$은 가리킬 것이 없다. "$f^{-1}(b)$"라고 적을 수 있으려면 $b$마다 짝이 **정확히 하나**여야 하고, 그 요구를 명문화한 것이 셋째 조각이다. 1주차 §1.3에서 "정수"를 지웠을 때 짝수라는 말이 아무것도 구별하지 못하게 된 것과 같은 종류의 붕괴다. ::: ### 4 핵심 정리 — 자격 심사의 정체 §1.2의 표에서 읽어 낸 짝맞춤을 정리로 세운다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **핵심 정리** $f : A \to B$에 대해, 역관계 $f^{-1}$가 $B$에서 $A$로의 함수 $\iff$ $f$가 전단사이다. 대응: $f^{-1}$의 **전체성** $\iff$ $f$의 **전사성**, $\quad$ $f^{-1}$의 **유일성** $\iff$ $f$의 **단사성**. ::: 41주차 문제 19가 이 정리의 준비였다. 그 문제는 원상의 개수로 세 성질을 정리했다 — 전사는 "적어도 하나", 단사는 "많아야 하나", 전단사는 "정확히 하나". :::{container} quotebox **확인 4.** $f^{-1}$가 함수이려면 각 $b \in B$의 원상이 몇 개여야 하는가. 그 개수를 41주차 문제 19의 표에서 찾으면 어떤 성질에 해당하는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown **정확히 하나**다. 전체성이 "적어도 하나"를, 유일성이 "많아야 하나"를 요구하고, 두 요구를 합치면 $\exists!$(26주차)가 된다. 41주차 문제 19의 표에서 "정확히 하나"에 해당하는 성질은 **전단사**다. 곧 핵심 정리는 새 발견이 아니라, 41주차의 개수 표와 40주차의 함수 조건을 같은 등식 위에서 나란히 읽은 결과다. 증명은 예제 2.2에서 만든다. ::: ### 5 특징짓기 정리 — 항등식 두 개와 유일성 핵심 정리는 역함수가 **존재하는지**를 판정한다. 손에 후보 하나가 있을 때 그것이 **진짜 역함수인지**를 판정하는 기준은 따로 있다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **특징짓기 정리** $f : A \to B$에 대해 다음이 성립한다. (i) $f$가 전단사이면 $f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_A$이고 $f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_B$이다. (ii) 거꾸로, $g \circ f = \mathrm{id}_A$이고 $f \circ g = \mathrm{id}_B$인 $g : B \to A$가 존재하면 $f$는 전단사이고 $g = f^{-1}$이다. (iii) (유일성) 그런 $g$는 유일하다. ::: (i)은 정의에서 곧바로 나온다. $f(a) = b$이면 $(a,b) \in f$이므로 $(b,a) \in f^{-1}$, 곧 $f^{-1}(b) = a$이고, 따라서 $f^{-1}(f(a)) = a$다. 반대쪽도 같은 읽기다. (ii)의 앞부분("$f$가 전단사")의 근거는 42주차 문제 17을 두 항등식에 각각 적용하는 것이고, 뒷부분("$g = f^{-1}$")은 (i)에 의해 $f^{-1}$도 같은 두 항등식을 만족하므로 (iii)의 유일성으로 따라온다. (iii)은 문제 13에서 증명한다. :::{container} quotebox **확인 5.** (ii)에서 항등식 하나만 있으면 무엇까지 얻는가. $g \circ f = \mathrm{id}_A$만 가진 경우로 답해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 42주차 문제 17에 의해 **$f$는 단사, $g$는 전사**까지만 얻는다. $f$의 전사성은 나오지 않는다. 그것을 주는 것이 반대쪽 항등식 $f \circ g = \mathrm{id}_B$이며, 같은 정리를 $f \circ g$에 적용하면 $g$는 단사, $f$는 전사가 된다. 두 항등식을 합쳐야 $f$가 단사이고 전사, 곧 전단사가 된다 — 특징짓기 정리가 조건을 두 개 요구하는 이유다. 한쪽만으로 부족하다는 것을 실제 반례로 확인하는 자리가 문제 17이다. 전단사임이 확정되면 (i)에 의해 $f^{-1}$도 같은 두 항등식을 만족하므로, 유일성 (iii)이 $g = f^{-1}$을 준다 — (ii)의 뒷부분은 이 한 줄로 마감된다. ::: ### 6 계산 절차 — 고1의 재건축 :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **역함수 계산 절차** ① **자격 심사**: $f$가 전단사임을 확인한다. 아니면 역함수는 없다. ② **후보 제작**: $y = f(x)$를 $x$에 대해 푼다 — $x = (\,y\text{의 식}\,)$. ③ **선언**: $f^{-1}(y) = (\,\text{그 식}\,)$으로 둔다. ④ **검증**: $f^{-1}(f(x)) = x$와 $f(f^{-1}(y)) = y$를 **둘 다** 확인한다. ::: 고1에서 배운 것은 ②③(그리고 변수 이름 바꾸기)뿐이었다. ①은 그 계산을 할 자격이 있는지를 묻는 단계이고, ④는 "풀었다"와 "역함수다" 사이의 간격을 메우는 단계다. ②의 "풀기"가 사실 무엇이었는지가 이 절의 핵심이다. :::{container} quotebox **확인 6.** ②의 "$y = f(x)$를 $x$에 대해 푼다"는 41주차의 어느 작업과 같은 계산인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown **전사 증명의 증인 제작**이다. 41주차 정의 41.2의 서식은 임의의 $y$에 대해 $f(x) = y$인 $x$를 만들어 제시하라고 요구하는데, 그 $x$를 만드는 방법이 바로 방정식을 $x$에 대해 푸는 것이다. 40주차 문제 17에서 $y = \frac{x+1}{x-2}$을 풀어 얻은 $x = \frac{2y+1}{y-1}$이 41주차 예제 2.2의 전사 증인이 되었고, 이번 주 문제 8에서 그 식이 그대로 역함수식이 된다. 더 정확히는, 그 풀기가 해의 **존재**(전사)와 **유일**(단사)을 동시에 확인하는 작업이다. 그래서 ①과 ②는 같은 계산의 두 얼굴이고, ①에서 만든 증인을 ②에서 다시 만들 필요가 없다. ::: ### 7 신발–양말 정리 — 되돌리는 순서 :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **신발–양말 정리** $f : A \to B$, $g : B \to C$가 전단사이면 $g \circ f$도 전단사이고 $$ (g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1} $$ 이다 — 오른쪽에서 순서가 뒤집힌다. ::: 이름은 되돌리는 순서에서 왔다. 나중에 한 일을 먼저 되돌린다는 것이며, 문제 20(b)가 이 순서를 사례로 설명하는 자리다. 증명은 문제 15에서 한다. :::{container} quotebox **확인 7.** 순서를 뒤집지 않은 $g^{-1} \circ f^{-1}$은 왜 후보가 될 수 없는가. 합성의 연결 조건(42주차 정의 42.1)으로 판정해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $f^{-1} : B \to A$이고 $g^{-1} : C \to B$이다. $g^{-1} \circ f^{-1}$은 오른쪽 $f^{-1}$부터 실행하므로 입력을 $B$에서 받는데, $(g \circ f)^{-1}$은 $C$에서 입력을 받아야 한다. 게다가 $f^{-1}$의 출력은 $A$이고 $g^{-1}$의 입력은 $C$라 이어 붙지도 않는다 — 연결 조건이 맞지 않아 이 합성은 아예 만들어지지 않는다 ($A = C$인 특수한 경우를 빼면). 순서 뒤집힘은 취향이 아니라 연결 조건이 강제한 결과다. ::: ### 8 근거 목록 갱신 — 칸은 그대로 네 개 칸의 개수는 늘지 않는다. ① 칸에 정의 43.1이 추가되고, ④ 칸에 이번 주의 세 정리가 들어온다. | **근거** | **내용** | **이번 주에는 이렇게 쓴다** | |---|---|---| | ① 정의 | 1~42주차의 정의 전부 + **정의 43.1(역함수)** | "$f^{-1}(b) = a$"와 "$f(a) = b$" 사이를 양방향으로 번역한다 | | ② 닫힘성 | 정수$\cdot$실수의 합$\cdot$차$\cdot$곱은 각각 정수$\cdot$실수 | 문제 9의 증인 $m - 7$이 다시 정수임을, 문제 10$\cdot$19의 대표원 계산을 뒷받침한다 | | ③ 등식의 성질 | 대입 / 전개 / 묶기 / 양변 연산 | 예제 2.1의 풀기, 문제 8의 분수 정리, 문제 19의 양변에 $[5]$ 곱하기 | | ④ 이미 증명한 명제 | 36주차 문제 18(역관계), 40주차 정의 40.1$\cdot$문제 9$\cdot$문제 17$\cdot$문제 19(그래프), 41주차 정의 41.1~41.3과 서식 4종$\cdot$문제 4$\cdot$8$\cdot$9$\cdot$12$\cdot$19$\cdot$예제 2.2, 42주차 문제 7(결합법칙)$\cdot$13($\mathrm{id}$ 흡수)$\cdot$14(대합)$\cdot$17(역추적)$\cdot$보존 정리, 19주차 문제 17, 9주차의 논리 동치(동치 교체), 38$\cdot$39주차의 곱셈 역원, 16주차 §1.2 인정 사실(제곱근의 존재와 유일), 10주차 문제 10(a)(세제곱근의 존재 — 인정하고 쓰는 사실) + **이번 주의 핵심 정리$\cdot$특징짓기 정리$\cdot$신발–양말 정리** | 문제 8은 41주차 예제 2.2를 인용해 ①을 한 줄로 끝낸다. 문제 15는 문제 13의 유일성으로 마감한다. 인정하고 쓰는 두 사실은 §2 첫머리의 "이 주가 빌려 쓰는 사실" 상자에 따로 묶어 두었다 | 목록 밖의 것은 이번 주에도 근거가 되지 않는다. 특히 그래프의 모양("$y = x$에 대칭으로 보이니까")은 목록에 없다 — 같은 내용을 순서쌍의 등식으로 옮겨 적어야 근거 ①이 된다(문제 12가 그 번역을 요구한다). :::{container} quotebox **확인 8.** 다음 세 문장은 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가. (가) "$g(f(x)) = x$인 $g : B \to A$가 있으므로 $g$는 $f$의 역함수이다" (나) "$f$의 그래프가 $y = x$에 대칭이므로 역함수가 있다" (다) "$g_1 = g_1 \circ \mathrm{id}_B$이므로" ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (가) 불허 — 항등식이 한쪽뿐이다. 특징짓기 정리 (ii)는 양쪽을 요구하고, 한쪽만으로 무너지는 실물이 문제 17이다. 후보를 $f^{-1}$이 아니라 $g$라는 이름으로 물어야 하는 이유도 여기 있다 — "$f^{-1}(f(x))$"라고 적는 순간 정의 43.1에 의해 $f$의 가역성이 이미 전제되어, 물으려던 것이 답에 미리 들어가 버린다. (나) 불허 — 그림은 목록에 없다(41주차 §1.9, 42주차 §1.8과 같다). 게다가 순환이다: 역함수가 있어야 그 그래프를 그릴 수 있다. (다) 허용 — 근거 ④, 42주차 문제 13($f \circ \mathrm{id} = f$, $\mathrm{id} \circ f = f$)이다. 문제 13의 다섯 등호 중 첫째와 마지막이 이 근거다. ::: 정의는 외운다 — [백지 암기 대상] 표시가 그 대상이다. 정의 43.1은 자격 심사 조각까지 포함해 외운다. 조각을 잊어도 §1.3의 삭제 실험에서 재구성할 수 있다.