# 2주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

## 예제 — 추상 증명을 함께 만들기

1주차의 증명에는 "짝수", "홀수"라는 구체적 개념과 $2$라는 구체적 수가 있었다. 이번 주의 명제에는 문자 $a, b, c$뿐이다. 절차가 달라지는지 직접 만들며 확인한다. 각 단계에서 확인 상자의 빈칸을 연필로 먼저 채운 뒤 답을 연다.

### 예제 2.1 — 첫 추상 증명: 추이성 (transitivity)

**명제.** 정수 $a, b, c$에 대해, $a \mid b$이고 $b \mid c$이면 $a \mid c$이다.

**설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지.** 1주차 예제 2.1과 같은 순서다. 가정이 주는 것(출발점)과 만들어야 할 것(도착점)을 정의로 번역해서 먼저 정한다.

|  | **말** | **수식 번역** |
|---|---|---|
| 가정 (주어진 것) | $a \mid b$, $b \mid c$ | $b = ak$인 정수 $k$, $c = bl$인 정수 $l$이 존재 |
| 목표 (만들 것) | $a \mid c$ | $c = \underline{\quad(?)\quad}$ 꼴을 만든다 |

:::{container} quotebox
**확인 8.** 목표 칸의 빈칸을 채워 보자. "$a \mid c$임을 보인다"를 정의로

번역하면, $c$를 어떤 **꼴**로 만들어야 하는가?
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

$c = a \times (\text{정수})$ 꼴. §1.3의 방향 표대로, 가정 쪽의 "존재한다"에서는

정수 $k, l$을 받아 쓰고, 목표 쪽의 "존재한다"는 그런 정수를 우리가 실제로

만들어 **제시해야** 한다. 출발점(등식 두 개)과 도착점(만들 꼴)이 정해졌다.

그 사이는 계산이다.
:::

**1단계 — 가정을 무대에 올린다.** 1주차와 다른 점 하나: 다룰 대상이 이미 문자 $a, b, c$로 주어져 있으므로 새로 문자를 잡을 일이 없다. 그래도 첫 문장의 임무는 같다 — 가정을 선언하며 시작한다.

:::{container} quotebox
**확인 9.** 첫 문장을 완성해 보자: "$\underline{\quad}$이고 $\underline{\quad}$라 가정하자."
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

"$a \mid b$이고 $b \mid c$라 가정하자." 명제가 "~이면 ~이다" 꼴이므로,

증명은 앞부분(가정)을 참이라 선언하고 뒷부분(결론)을 만들어 가는 구조가 된다.
:::

**2단계 — 정의를 풀어 쓴다.** "$a \mid b$"는 아직 말이다. §1.1에서 본 대로 말로는 계산이 시작되지 않으므로, 정의 2.1로 등식을 받아 온다.

:::{container} quotebox
**확인 10.** 둘째 문장을 완성해 보자:

"정의에 의해 $b = \underline{\quad}$인 정수 $k$가 존재하고,

$c = \underline{\quad}$인 정수 $\underline{\quad}$이 존재한다."

두 정수에 왜 서로 다른 문자를 쓰는가?
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

$b = ak$, $c = bl$인 정수 $l$. 가정이 두 개이므로 존재가 보장되는 정수도

각각이다 — 같은 문자를 쓰면 두 몫이 같다고 몰래 가정한 셈이 된다

(1주차 문제 6, 준비 운동 3번). 서로 다른 대상에는 서로 다른 문자다.
:::

**3단계 — 도착점의 꼴로 계산한다.** 목표 꼴이 "$c = a \times (\text{정수})$"이므로 $c$에서 출발한다. 그런데 $c = bl$에는 $a$가 없다 — 다른 등식 $b = ak$를 대입해 $b$를 소거하면 $a$가 나타난다.

:::{container} quotebox
**확인 11.** 셋째 문장을 완성해 보자:

"그러면 $c = bl = (\,\underline{\quad}\,)l = a(\,\underline{\quad}\,)$이다."
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

$c = bl = (ak)l = a(kl)$. 대입(근거 ③)과 곱셈의 결합법칙으로 $a$를 앞에

세웠다. 가정 두 개를 다리 $b$로 이어 붙이고 그 다리를 소거하는 것 —

이 한 줄이 추이성 증명의 전부다.
:::

**4단계 — 괄호 안이 정수인지 확인하고 결론을 선언한다.** $c = a(kl)$이 정의를 만족하려면 괄호 안이 **정수**여야 한다. 이 확인이 빠지면 §1.3의 붕괴 ($c$ 자리에 2.5가 오는 사태)를 막을 수 없다.

:::{container} quotebox
**확인 12.** 마지막 문장을 완성해 보자:

"$\underline{\qquad}$이므로 $kl$은 정수이다. 따라서 $c = a(kl)$은 정의를

만족하므로 $\underline{\quad}$이다. $\blacksquare$"
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

"정수의 곱은 정수이므로"(근거 ②) $kl$은 정수이다. 따라서 $a \mid c$이다.

$\blacksquare$ — 이 네 문장이 완성된 증명이다.
:::

**완성본.** 방금 만든 문장들을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 "왜?"에 스스로 답해 본다.

| 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? |
|---|---|
| $a \mid b$이고 $b \mid c$라 가정하자. | 가정 선언. 시작 전에 출발점(등식 두 개)과 도착점($c = a \times (\text{정수})$ 꼴)을 구분해 둔다. |
| 정의에 의해 $b = ak$인 정수 $k$가 존재하고, $c = bl$인 정수 $l$이 존재한다. | **처음 할 일은 정의 풀어쓰기**(근거 ①). 가정이 두 개이므로 서로 다른 문자 $k, l$. |
| 그러면 $c = bl = (ak)l = a(kl)$이다. | $c$에서 출발해 $b$를 소거하고 $a$로 표현. 대입과 결합법칙(근거 ③). |
| $kl$은 정수이므로, $a \mid c$이다. $\blacksquare$ | 괄호 안 정수 확인(근거 ②) 후 정의로 마무리. |

**이 네 줄이 "모든" 정수 셋을 처리하는 이유.** 완성본의 $a, b, c$에 $6, 18, 90$을 넣어 읽어 보자.

:::{container} quotebox
**확인 13.** $a = 6$, $b = 18$, $c = 90$일 때 $k$와 $l$은 각각 무엇이고,

셋째 줄 "$c = a(kl)$"은 어떤 등식이 되는가?
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

$18 = 6 \times 3$이므로 $k = 3$, $90 = 18 \times 5$이므로 $l = 5$.

셋째 줄은 $90 = 6 \times 15$ ($kl = 15$)가 된다 — 모든 줄이 그대로 성립한다.

$90 \div 6$을 계산해 보지 않았는데도 $6 \mid 90$이 확정됐고, 같은 네 줄이

다른 어떤 세 수 조합에도 그대로 작동한다. 문자 증명 한 번이 무한 개의

사례를 대신한다 — 1주차 확인 13에서 본 일반성이 추상 증명에서도 같다.
:::

### 예제 2.2 — 배수의 합

**명제.** $a \mid b$이고 $a \mid c$이면 $a \mid (b + c)$이다.

이번에는 설계만 함께 하고, 증명은 완성된 산문으로 본다.

:::{container} quotebox
**확인 14.** 번역표를 채워 보자.

가정: $a \mid b$, $a \mid c$ $\to$ $b = \underline{\quad}$, $c = \underline{\quad}$인 정수 $k, l$이 존재.

목표: $a \mid (b + c)$ $\to$ $b + c = \underline{\qquad}$ 꼴을 만든다.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

가정: $b = ak$, $c = al$. 목표: $b + c = a \times (\text{정수})$ 꼴.

이번에는 두 가정의 약수가 같은 $a$다 — 그래도 몫은 각각이므로 문자는

$k$, $l$로 다르게 쓴다.
:::

**증명.** $a \mid b$이고 $a \mid c$라 가정하자. 정의에 의해 $b = ak$, $c = al$인 정수 $k, l$이 존재한다. 그러면

$$
b + c = ak + al = a(k + l)
$$

이고 $k + l$은 정수이므로 $a \mid (b + c)$이다. $\blacksquare$

1주차 훈련 3에서 증명한 "3의 배수와 3의 배수의 합은 3의 배수"가 이 명제의 $a = 3$인 특수한 경우다. 그때는 3 하나에 대해 증명했고, 지금은 모든 약수 $a$에 대해 한 번에 증명했다 — 문자가 하나 늘어난 만큼 결과가 덮는 범위가 넓어졌다.

### 예제 2.3 — 증명 시작 전 루틴: If–Then 분해

앞으로 모든 증명 문제에서, 풀이를 시작하기 전에 다음 표부터 채우는 습관을 들인다. 예제 2.2로 시연하면 —

|  | **내용** | **수식 번역** |
|---|---|---|
| 가정 (If) — 출발점 | $a \mid b$, $a \mid c$ | $b = ak$, $c = al$ ($k, l \in \mathbb{Z}$) |
| 결론 (Then) — 도착점 | $a \mid (b + c)$ | $b + c = a \times (\text{정수})$ 꼴 만들기 |

증명이 막히는 순간의 대부분은 지금 손에 있는 등식이 무엇이고 만들어야 할 꼴이 무엇인지를 잊었을 때다. 이 표가 그 둘을 시야에 고정한다. §4의 증명 문제는 전부 이 분해표를 채우고 시작한다.

:::{container} quotebox
**확인 15.** 명제 "$a \mid b$이고 $a \mid c$이면 $a \mid (b + 3c)$이다"의

If–Then 분해표를 채워 보자.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

가정(If): $b = ak$, $c = al$인 정수 $k, l$이 존재.

결론(Then): $b + 3c = a \times (\text{정수})$ 꼴 만들기.

예제 2.2와 출발점이 같고 도착점의 계수만 다르다 — 분해표를 채우는 순간

무엇을 계산할지가 이미 정해진다.
:::

### 관찰 — 문자만 남아도 뼈대는 같다

1주차에서 세운 직접 증명의 3단계 틀이 추상 증명에서도 작동하는지, 예제 2.2의 산문에서 확인해 보자.

:::{container} quotebox
**확인 16.** 예제 2.2의 산문에서 각 단계에 해당하는 문장(또는 식)을 찾아 보자.

① 가정 선언: $\underline{\qquad}$

② 정의 풀어쓰기: $\underline{\qquad}$

③ 목표 꼴 변형(+정수 확인): $\underline{\qquad}$
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

① "$a \mid b$이고 $a \mid c$라 가정하자."

② "정의에 의해 $b = ak$, $c = al$인 정수 $k, l$이 존재한다."

③ "$b + c = ak + al = a(k+l)$이고, $k+l$은 정수이므로 …"

예제 2.1도 같은 세 걸음이다. 소재가 숫자에서 문자로 바뀌었을 뿐,

절차는 1주차와 한 줄도 다르지 않다.
:::

:::{admonition} 이번 주에 확인한 것
:class: quotebox

직접 증명의 3단계 틀(1주차)은 재료가 전부 문자여도 그대로 작동한다.

새로 추가된 습관은 하나 — 시작 전에 If–Then 분해표를 채운다.
:::

## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며

필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(§6)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다.

### 훈련 1 ●○○ — 수식 빈칸

**명제.** $a \mid b$이면 임의의 정수 $c$에 대해 $a \mid bc$이다.

**증명.** $a \mid b$라 가정하고 $c$를 임의의 정수라 하자. 정의에 의해 $b = \underline{\quad(1)\quad}$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면

$$
bc = (ak)c = a(\underline{\quad(2)\quad})
$$

이고 $\underline{\quad(3)\quad}$는 정수이므로 $a \mid bc$이다. $\blacksquare$

### 훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께

이번에는 구조 낱말과 근거 문장도 빈칸이다.

**명제.** $a \mid b$이고 $a \mid c$이면 $a \mid (b + 2c)$이다.

**증명.** $a \mid b$이고 $a \mid c$라 $\underline{\quad(1)\quad}$하자. 정의에 의해 $b = \underline{\quad(2)\quad}$인 정수 $k$가, $c = \underline{\quad(3)\quad}$인 정수 $l$이 존재한다. 그러면

$$
b + 2c = \underline{\quad(4)\quad} = a(\underline{\quad(5)\quad})
$$

이고, $\underline{\quad(6)\quad}$이므로 $k + 2l$은 정수이다. 따라서 $b + 2c$는 $\underline{\quad(7)\quad}$ 꼴이므로 $a \mid (b + 2c)$이다. $\blacksquare$

### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고

이번에는 3단계 틀의 각 칸을 통째로 채운다.

**명제.** $a \mid b$이면 $(-a) \mid b$이다.

**증명의 뼈대.**

- ① 가정 선언: $\underline{\quad(1)\quad}$
- ② 정의 풀어쓰기: $\underline{\quad(2)\quad}$
- ③ 목표 꼴 변형과 마무리: $\underline{\quad(3)\quad}$

(목표 꼴은 $b = (-a) \times (\text{정수})$이다. 부호를 어디서 흡수할지가 관건이고, 이 훈련이 문제 8의 예행연습이다.)

## 연습문제 (20문항)

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 '접근'까지만 읽고 다시 시도한다 $\to$ 그래도 안 되면 풀이를 읽는다. 증명 문제는 반드시 If–Then 분해표(예제 2.3)부터 채운다.

:::{admonition} 이번 주의 채점 기준
:class: quotebox

답이 아니라 **근거**가 점수다. "$8 \mid 40$은 참(맞음)"은 0점이고,

"$40 = 8 \times 5$이고 $5 \in \mathbb{Z}$이므로 참"이 만점이다.

난이도와 무관하게, 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.
:::

### 기본 ●○○

**1.** 다음 명제의 참$\cdot$거짓을 판정하고, 참이면 정의에 맞는 정수 $c$를 제시, 거짓이면 이유를 쓰시오. (a) $8 \mid 40$  (b) $9 \mid 30$  (c) $-4 \mid 20$  (d) $1 \mid n$ (임의의 정수 $n$)  (e) $3 \mid 3$

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

각 항목에서 물을 것은 하나 — "$b = a \times (\text{정수})$가 되는가"이다.

$b \div a$는 연습장에서 계산하고, 답안에는 곱 등식과 정수 확인을 적는다.
:::

**2.** 구석 사례 판정 (정의만으로): (a) $7 \mid 0$  (b) $0 \mid 7$  (c) $0 \mid 0$  (d) $-5 \mid 15$  (e) $13 \mid 13$

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

0이 얽히면 직관이 흔들린다 — 그럴수록 기계적으로 정의에 대입한다:

"$b = ac$인 정수 $c$가 존재하는가?" (b)에서 $0 \times c$는 $c$가 무엇이든 얼마인가.
:::

**3.** $2 \mid 6$과 $6 \mid 2$의 참$\cdot$거짓이 왜 다른지 정의를 근거로 설명하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

두 명제를 각각 정의로 번역해 나란히 놓는다. 각각이 요구하는 정수가

무엇인지 비교하면 차이가 드러난다. (확인 4에서 같은 판정을 한 번 했다.)
:::

**4.** "$n$은 3의 배수이다"를 정의 2.1의 형식($\exists$ 포함 문장)으로 번역하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

정의 2.1의 문형 "~인 정수 ~가 존재한다"에 $3$과 $n$을 끼워 넣는다.

배수는 $b$ 자리, 약수는 $a$ 자리다.
:::

**5.** 집합 $\{x \in \mathbb{Z} : x \mid 12\}$의 원소를 모두 나열하시오. (주의: 무대가 $\mathbb{Z}$이다)

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

무대가 $\mathbb{Z}$라는 경고가 힌트다 — 중학교의 "12의 약수" 목록보다 커진다.

$12 = (-3) \times (-4)$를 정의로 판정해 보면 방향이 보인다.
:::

**6.** 다음 표현 중 문법적으로 말이 되는 것을 모두 고르고, 안 되는 것은 이유를 쓰시오. (a) "$3 \mid 12$는 참이다"  (b) "$3 \mid 12 = 4$"  (c) "$12/3 = 4$"  (d) "$12/3$은 참이다"

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

각 표현의 정체(명제인가 수인가)부터 판별한다. 참$\cdot$거짓은 명제에만 붙고,

등호로 다른 수와 이어지는 것은 수뿐이다 (§1.4의 표).
:::

### 표준 ●●○

**7.** $a \mid b$이고 $a \mid c$이면 $a \mid (b - c)$임을 증명하시오.

**8.** $a \mid b$이면 $a \mid (-b)$임을 증명하시오.

**9.** $a \mid b$이면 $a \mid b^2$임을 증명하시오.

**10.** $a \mid b$이고 $c \mid d$이면 $ac \mid bd$임을 증명하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

목표 꼴은 $bd = (ac) \times (\text{정수})$이다. 두 등식을 곱한 뒤,

곱셈의 교환$\cdot$결합법칙으로 $a$와 $c$를 앞에 모은다.
:::

**11.** $a \mid b$이고 $a \mid c$이면 $a \mid (3b + 5c)$임을 증명하시오.

**12.** 모든 정수 $n$에 대해 $5 \mid (10n + 5)$임을 증명하시오.

**13.** 모든 정수 $n$에 대해 $n \mid (n^2 + n)$임을 증명하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

목표 꼴은 $n^2 + n = n \times (\text{정수})$이다. 공통인수로 묶는 인수분해가

곧 목표 꼴을 만드는 도구다.
:::

**14.** 일의 자리가 짝수인 양의 정수는 짝수임을 증명하시오. (힌트: 일의 자리가 $u$인 양의 정수는 $n = 10m + u$ ($m$은 음이 아닌 정수)로 쓸 수 있다.)

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

문제의 힌트대로 $n = 10m + u$로 번역한 뒤, 두 항 각각에서 2를 꺼낼 수

있는지 본다. $10m = 2 \times 5m$이고, $u$에는 가정이 하나 붙어 있다.
:::

### 도전 ●●●

:::{admonition} 반례로 반박하기 — 이번 주의 꼴
:class: quotebox

"모든 정수 $a, b, c$에 대해 ~이다"가 거짓임을 보이려면, 주장이 무너지는

구체적인 $a, b, c$ 한 벌이면 된다 — 1주차 문제 18에서 쓴 반례가 이번에는

수 하나가 아니라 수의 조합이다. 반례 제시의 완결 조건은 두 가지다:

① 가정 부분이 실제로 참임을 등식으로 확인 ② 결론 부분이 실제로 거짓임을

정의로 확인.
:::

**15.** 다음 명제는 거짓이다. 반례를 찾으시오: "$a \mid bc$이면 $a \mid b$ 또는 $a \mid c$이다."

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

$a$를 두 인수로 쪼개 $b$와 $c$에 하나씩 배정한다. $a = 6 = 2 \times 3$이면,

2는 $b$에게 3은 $c$에게 — 그러면 $a$는 곱 $bc$에는 걸리고 어느 한쪽에도

통째로 들어가지 않는다.
:::

**16.** 다음 명제는 거짓이다. 반례를 찾으시오: "$a \mid (b+c)$이면 $a \mid b$이고 $a \mid c$이다."

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

조각은 배수가 아닌데 합은 배수가 되도록 조립한다. $a = 3$이면,

3으로 나눈 나머지가 1인 수와 2인 수를 더해 본다.
:::

**17.** $a \mid (b + c)$이고 $a \mid b$이면 $a \mid c$임을 증명하시오. (힌트: $c$를 이미 아는 두 배수의 차로 표현할 수 있다.)

**18.** 다음 명제는 거짓이다. 반례를 찾으시오: "$b \mid a$이고 $c \mid a$이면 $bc \mid a$이다."

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

$b$와 $c$가 공통 인수를 가지면 곱 $bc$는 $a$를 넘어설 수 있다.

$b = 4$, $c = 6$이면 $bc = 24$다 — $a$로 무엇을 잡으면 되는가?
:::

**19.** $a \mid b$이면 $a^2 \mid b^2$임을 증명하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

목표 꼴은 $b^2 = a^2 \times (\text{정수})$이다. $b = ak$의 양변을 통째로

제곱하면 $a^2$이 저절로 나온다.
:::

**20.** $a \mid b$이고 $b \mid a$이면 $a = b$ 또는 $a = -b$임을 증명하시오. (힌트: $b = ak$, $a = bl$을 결합하면 $a = a(kl)$. 여기서 $a = 0$인 경우와 아닌 경우를 나눠 보시오.)

:::{admonition} 이 문제가 빌려 쓰는 사실
:class: quotebox

① 정수 $x, y$에 대해 $xy = 0$이면 $x = 0$ 또는 $y = 0$이다 — 지금은 인정하고

쓴다(25주차 문제 13에서 영인수 성질로 재방문).

② 곱이 1인 두 정수는 $k = l = 1$ 또는 $k = l = -1$뿐이다 — 지금은 인정하고

쓴다(22주차에서 "1의 약수는 $\pm 1$뿐"으로 재방문).

경우 나누기는 1주차 문제 16에서 처음 썼다. 채점 기준도 그대로다:

경우들이 전체를 빠짐없이 덮는가, 각 경우가 각각 완결되는가.
:::

## 백지 재현 — 복습 프로토콜

권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다.

**1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용.** 3단계 틀$\cdot$근거 목록(§1.6)$\cdot$If–Then 분해표 양식만 펴 놓고, 예제 2.1(추이성)을 처음부터 끝까지 적는다. 정의와 본문은 보지 않는다.

**2차 시도 (5일차) — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다:

- [ ] $a \mid b$의 정의를 "정수 $c$가 존재한다"까지 조각 그대로 정확히 썼다.
- [ ] $a \mid b$(명제)와 $b/a$(수)의 차이를 한 문장으로 설명했다.
- [ ] 추이성(예제 2.1)과 배수의 합(예제 2.2)을 백지에 처음부터 끝까지 재현했다.
- [ ] 재현한 증명에서 ① 가정 선언 ② 정의 풀기 ③ 목표 꼴 변형의 3단계를 손가락으로 짚을 수 있다.
- [ ] 각 줄의 근거가 ①~④ 중 무엇인지 말할 수 있다.
- [ ] 새 증명 문제를 만나면 If–Then 분해표부터 채운다는 루틴을 기억한다.

**막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

| **막힌 지점** | **처방** |
|---|---|
| 정의가 정확히 기억나지 않는다 | §1.3 해부 표 — 조각의 이유와 함께 다시 외운다 |
| 어디서 시작할지 모르겠다 | 예제 2.3 — 가정과 목표를 If–Then 분해표로 먼저 번역한다 |
| $c = bl$ 다음이 나오지 않는다 | 예제 2.1의 3단계 — 다른 등식을 대입해 다리 $b$를 소거한다 |
| 괄호로 묶은 다음이 나오지 않는다 | 예제 2.1의 4단계 — 정수 확인과 결론 선언 |
| 0이 얽힌 판정이 헷갈린다 | §1.5 — 느낌을 끄고 정의에 대입한다 |

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다.

## 해설

각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 1

(1) $ak$  (2) $kc$  (3) $kc$

※ (2)에서 결합법칙으로 $a$를 앞에 세우는 것이 핵심 변형이다. $c$에는 아무 가정이 없지만 정수이기만 하면 $kc$가 정수(근거 ②)이므로 증명이 닫힌다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 2

(1) 가정  (2) $ak$  (3) $al$  (4) $ak + 2al$  (5) $k + 2l$ (6) 정수의 곱과 합은 정수 (근거 ②)  (7) $a \times (\text{정수})$

※ 계수 2가 붙어도 절차는 예제 2.2와 같다 — 계수는 괄호 안으로 들어갈 뿐이다. 문제 11에서 계수가 3과 5로 바뀐 같은 구조를 만난다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 3

(1) $a \mid b$라 가정하자. (2) 정의에 의해 $b = ak$인 정수 $k$가 존재한다. (3) $b = ak = (-a)(-k)$이고 $-k$는 정수이므로, $b = (-a) \times (\text{정수})$ 꼴이다. 따라서 $(-a) \mid b$이다. $\blacksquare$

※ 부호를 몫 쪽($-k$)에 흡수시키는 것이 관건이다. 문제 8은 같은 기술을 배수 쪽($-b$)에 쓴다.

### 문제 1

**접근.** 각 항목에서 "$b = ac$인 **정수** $c$가 있는가?"만 묻는다. 연습장에서 $b \div a$를 계산해 정수이면 그 몫이 $c$다 — 답안에는 곱 등식으로 적는다.

**풀이.** (a) 참. $40 = 8 \times 5$이고 $5 \in \mathbb{Z}$이므로 $8 \mid 40$. ($c = 5$) (b) 거짓. $30 = 9c$이려면 $c = \frac{30}{9} = \frac{10}{3}$인데 정수가 아니다. 실제로 $9 \times 3 = 27$, $9 \times 4 = 36$으로 9의 배수는 30을 건너뛴다. (c) 참. $20 = (-4) \times (-5)$이고 $-5 \in \mathbb{Z}$이므로 $-4 \mid 20$. ($c = -5$ — 약수가 음수여도 정의는 그대로 작동한다.) (d) 참. $n = 1 \times n$이고 $n \in \mathbb{Z}$이므로 $1 \mid n$. ($c = n$ — 1은 모든 정수의 약수다.) (e) 참. $3 = 3 \times 1$이고 $1 \in \mathbb{Z}$이므로 $3 \mid 3$. ($c = 1$ — 모든 정수는 자기 자신을 나눈다.)

**복기.** 판정의 두 얼굴 — 탐색은 나눗셈으로 해도 되지만, 답안의 근거는 곱 등식 + 정수 확인(근거 ①)이다. §1.6의 확인 7 (다)가 이 구분이었다.

### 문제 2

**접근.** 0이 얽히면 직관이 흔들린다 — 그럴수록 기계적으로 정의에 대입한다: "$b = ac$인 정수 $c$가 존재하는가?"

**풀이.** (a) 참. $0 = 7 \times 0$이고 $0 \in \mathbb{Z}$이므로 $7 \mid 0$. ($c = 0$ — 모든 정수는 0을 나눈다.) (b) 거짓. $7 = 0 \times c$가 필요한데, $c$가 무엇이든 $0 \times c = 0 \neq 7$이다. 어떤 정수 $c$도 등식을 만족하지 못한다. (c) **참.** $0 = 0 \times c$는 $c = 1$로 성립한다 (실은 아무 정수나 된다 — 정의는 존재만 요구하므로 하나면 충분하다). (d) 참. $15 = (-5) \times (-3)$이고 $-3 \in \mathbb{Z}$이므로 $-5 \mid 15$. ($c = -3$) (e) 참. $13 = 13 \times 1$이고 $1 \in \mathbb{Z}$이므로 $13 \mid 13$. ($c = 1$)

**복기.** (c)가 참인 것이 "0으로 나누기 금지"와 충돌한다고 느껴지면 §1.1을 다시 본다 — 금지되는 것은 나눗셈이라는 **수 계산**이고, $\mid$는 나눗셈이 아니라 곱 등식의 존재를 묻는 **명제**다. 나눗셈 정의를 버리고 곱셈 정의를 택한 이유가 여기서 회수된다.

### 문제 3

**접근.** 두 명제를 각각 정의로 번역해 나란히 놓고, 각각이 요구하는 정수가 존재하는지 비교한다.

**풀이.** $2 \mid 6$은 "$6 = 2c$인 정수 $c$의 존재"를 요구한다 — $6 = 2 \times 3$이고 $3 \in \mathbb{Z}$이므로 참이다. $6 \mid 2$는 "$2 = 6c$인 정수 $c$의 존재"를 요구한다 — $c = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$은 정수가 아니므로, 등식을 만족하는 정수는 없고 거짓이다. 정의에서 $a \mid b$의 $a$는 곱해지는 쪽(약수)이므로, 좌우가 바뀌면 요구되는 등식 자체가 달라진다 — 같은 두 수로 만든 별개의 두 명제다.

**복기.** $\mid$는 대칭 기호가 아니다. 막대를 쓸 때마다 "왼쪽이 약수"를 확인하는 습관이 이후 주차의 오독을 막는다.

### 문제 4

**접근.** "배수"라는 말을 정의 2.1의 문형 "~인 정수 ~가 존재한다"에 끼워 넣는다. 배수인 $n$이 $b$ 자리, 약수인 3이 $a$ 자리다.

**풀이.** "$n = 3k$인 정수 $k$가 존재한다." 기호로는 $3 \mid n$. ($\exists$ 기호로 쓰면 "$\exists k \in \mathbb{Z},\ n = 3k$" — 이 기호 표기 자체는 10주차에서 정식으로 다루고, 지금은 말 문장이면 충분하다.)

**복기.** 1주차 훈련 3의 "3의 배수" 정의($n = 3k$)와 정의 2.1의 $3 \mid n$이 같은 내용의 두 표기임을 확인했다 — 정의가 통합된 것이지 새 개념이 늘어난 것이 아니다.

### 문제 5

**접근.** 무대가 $\mathbb{Z}$라는 경고가 힌트다. 중학교의 "12의 약수"는 양수만 세지만, 정의 2.1은 음수도 통과시킨다 ($12 = (-3) \times (-4)$이므로 $-3 \mid 12$).

**풀이.** $x \mid 12$는 "$12 = xc$인 정수 $c$의 존재"다. 후보를 거른다. $x = 0$은 불가 — $0 \times c = 0 \neq 12$. $x \neq 0$이면 $12 = xc$에서 $|x| \cdot |c| = 12$이고 $|c| \geq 1$이므로 $|x| \leq 12$ — 후보는 $\pm 1, \dots, \pm 12$뿐이다. 양수 후보를 확인하면

$$
12 = 1 \times 12 = 2 \times 6 = 3 \times 4 = 4 \times 3 = 6 \times 2 = 12 \times 1
$$

로 $1, 2, 3, 4, 6, 12$가 통과하고, $5, 7, 8, 9, 10, 11$은 탈락한다(예: $12 = 5c$이면 $c = \frac{12}{5} \notin \mathbb{Z}$). 음수는 $12 = d \cdot c$이면 $12 = (-d)(-c)$이므로, $d$가 약수이면 $-d$도 약수다. 따라서

$$
\{x \in \mathbb{Z} : x \mid 12\} = \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12\}
$$

— 모두 12개. 양의 약수 6개에 각각 부호를 씌운 것이다.

**복기.** 같은 낱말("약수")이라도 무대($\mathbb{N}$인가 $\mathbb{Z}$인가)에 따라 답의 목록이 달라진다. 무대 확인이 판정보다 먼저다 — 집합의 언어로 3주차에서 정식화한다.

### 문제 6

**접근.** 각 표현의 정체(명제인가 수인가)를 먼저 판별한다. 명제에는 참$\cdot$거짓을 붙일 수 있고, 수에는 등호로 다른 수를 붙일 수 있다. 교차하면 문법 오류다.

**풀이.** 말이 되는 것: **(a), (c)**. (a)는 명제 $3 \mid 12$에 진리값을 붙였다 — 문법에 맞고, 실제로 $12 = 3 \times 4$이므로 참이다. (b)는 명제 $3 \mid 12$에 수 4를 등호로 붙였으므로 무의미하다 — "참 $= 4$"라고 말한 셈이다. (c)는 수 $12/3$과 수 4를 등호로 이었다 — 문법에 맞는 참인 등식이다. (d)는 수 $12/3$에 진리값을 물었으므로 무의미하다 — "4는 참이다"라고 말한 셈이다.

**복기.** 이번 주의 핵심 문장 그대로다: $a \mid b$는 수가 아니라 명제다. 기호를 쓰기 전에 그 기호가 만드는 것이 수인지 문장인지부터 확인한다. (같은 유형의 함정을 4주차에서 $\in$과 $\subseteq$로 다시 만난다.)

### 문제 7

**접근.** If–Then 분해부터(예제 2.3의 루틴). 출발점: $b = ak$, $c = al$ / 도착점: $b - c = a \times (\text{정수})$ 꼴. 예제 2.2에서 부호만 바뀐다.

**풀이.** $a \mid b$이고 $a \mid c$라 가정하자. 정의에 의해 $b = ak$, $c = al$인 정수 $k, l$이 존재한다. 그러면

$$
b - c = ak - al = a(k - l)
$$

이고, 정수의 차는 정수이므로 $k - l \in \mathbb{Z}$이다. 따라서 $b - c$는 $a \times (\text{정수})$ 꼴이므로 $a \mid (b - c)$이다. $\blacksquare$

**복기.** 예제 2.2(합)와 이 문제(차)를 합치면 "배수끼리의 합$\cdot$차는 배수"다. 문제 11에서 계수까지 붙인 완전한 일반화를 만난다.

### 문제 8

**접근.** 목표는 $-b = a \times (\text{정수})$ 꼴. $b = ak$의 양변에 $-1$을 곱하면 끝이다 — 짧다고 의심하지 않는다. 근거가 다 있으면 짧아도 완결이다.

**풀이.** $a \mid b$라 가정하자. 정의에 의해 $b = ak$인 정수 $k$가 존재한다. 양변에 $-1$을 곱하면(근거 ③) $-b = a(-k)$이고, $-k \in \mathbb{Z}$이므로 $-b$는 $a \times (\text{정수})$ 꼴이다. 따라서 $a \mid (-b)$이다. $\blacksquare$

**복기.** 두 줄짜리 증명도 ①(정의 풀기) ③(양변 연산) ②(정수 확인)의 근거가 전부 들어 있으면 완결이다. 증명의 완결성은 길이가 아니라 근거의 사슬로 잰다. 훈련 3(부호를 약수 쪽에서 처리)과 이 문제(배수 쪽에서 처리)는 같은 기술의 두 방향이다.

### 문제 9

**접근.** 목표는 $b^2 = a \times (\text{정수})$ 꼴. $b^2 = b \cdot b$에서 $b$ 하나만 $ak$로 바꿔도 $a$가 앞으로 나온다 — 전부 바꿀 필요가 없다.

**풀이.** $a \mid b$라 가정하자. 정의에 의해 $b = ak$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면

$$
b^2 = b \cdot b = (ak)b = a(kb)
$$

이고, $k$와 $b$가 정수이므로 $kb \in \mathbb{Z}$이다. 따라서 $a \mid b^2$이다. $\blacksquare$

($b^2 = (ak)^2 = a^2k^2 = a(ak^2)$으로 전개해도 좋다. 목표 꼴 $a \times (\text{정수})$만 만들면 어느 길이든 정답이다.)

**복기.** 목표 꼴에 필요한 만큼만 대입한다 — 최소 개입이 계산을 줄인다. 전부 제곱하는 길은 문제 19($a^2 \mid b^2$)에서 필요해진다.

### 문제 10

**접근.** 목표가 $ac \mid bd$이므로 목표 꼴은 "$bd = (ac) \times (\text{정수})$". 두 가정을 각각 풀고 두 등식을 곱한 뒤, 곱셈의 교환$\cdot$결합법칙으로 $ac$를 앞에 모은다.

**풀이.** $a \mid b$이고 $c \mid d$라 가정하자. 정의에 의해 $b = ak$, $d = cl$인 정수 $k, l$이 존재한다. 두 등식을 변끼리 곱하면

$$
bd = (ak)(cl) = (ac)(kl)
$$

이고 (곱셈의 교환$\cdot$결합법칙 — 근거 ③), $kl \in \mathbb{Z}$이므로 $bd$는 $(ac) \times (\text{정수})$ 꼴이다. 따라서 $ac \mid bd$이다. $\blacksquare$

(검산: $2 \mid 6$, $3 \mid 12$에서 $6 \mid 72$가 나와야 한다 — $72 = 6 \times 12$ ✓.)

**복기.** 등식 두 개를 변끼리 곱하는 것도 근거 ③의 한 형태다. 목표 꼴이 $ac$로 시작하므로 곱을 만들 수밖에 없다는 역산 — 도착점이 계산을 정한다.

### 문제 11

**접근.** 예제 2.2($a \mid b + c$)의 계수 붙은 판이다. If–Then 분해: 출발점 $b = ak$, $c = al$ / 도착점 $3b + 5c = a \times (\text{정수})$ 꼴. 훈련 2에서 계수 2로 같은 구조를 지났다.

**풀이 1 (직접 전개).** $a \mid b$이고 $a \mid c$라 가정하자. 정의에 의해 $b = ak$, $c = al$인 정수 $k, l$이 존재한다. 그러면

$$
3b + 5c = 3(ak) + 5(al) = a(3k + 5l)
$$

이고, $3k + 5l$은 정수의 곱과 합이므로 정수다. 따라서 $a \mid (3b + 5c)$이다. $\blacksquare$

**풀이 2 (부품 재사용).** 훈련 1의 결과(배수에 임의의 정수를 곱해도 배수)에 의해, $a \mid b$에서 $a \mid 3b$가, $a \mid c$에서 $a \mid 5c$가 나온다. 예제 2.2(배수의 합)에 의해 $a \mid (3b + 5c)$이다. $\blacksquare$

두 풀이 모두 정답이다. 풀이 2가 §1.6 표의 예고 — 예제 2.2의 결과를 문제 11의 부품으로 쓴다 — 를 실행한 자리다: 정의까지 내려가지 않고, 이미 증명한 명제를 근거 ④로 이어 붙였다.

**복기.** 계수 3, 5 자리에 어떤 정수 $x, y$가 와도 같은 증명이 통한다 — 곧 $a \mid b$, $a \mid c$이면 임의의 정수 $x, y$에 대해 $a \mid (xb + yc)$다 ("배수의 정수 결합은 배수"). 정수론 전체에서 가장 자주 재사용되는 부품 중 하나이고, 이 일반형은 이후 주차에서 근거 ④로 계속 소환된다.

### 문제 12

**접근.** "모든 $n$"이 붙었지만 할 일은 같다 — 임의의 정수 $n$을 잡고, $10n + 5$가 $5 \times (\text{정수})$ 꼴로 묶이는지 본다. 이번에는 풀 가정이 없으므로 정의 풀어쓰기 단계가 비고, 곧바로 목표 꼴 변형이다.

**풀이.** $n$을 임의의 정수라 하자. 분배법칙으로 묶으면

$$
10n + 5 = 5(2n + 1)
$$

이고, $2n + 1$은 정수의 곱과 합이므로 정수다. 따라서 $10n + 5$는 $5 \times (\text{정수})$ 꼴이므로 $5 \mid (10n + 5)$이다. $n$은 임의였으므로 모든 정수 $n$에 대해 성립한다. $\blacksquare$

(검산: $n = 3$이면 $10 \times 3 + 5 = 35 = 5 \times 7$ ✓.)

**복기.** "모든 $n$에 대해"를 처리하는 방법은 1주차와 같다 — 특정 수 대신 문자를 잡고, 문자에 어떤 정수가 와도 성립하는 변형만 쓴다.

### 문제 13

**접근.** 목표 꼴은 $n^2 + n = n \times (\text{정수})$. 공통인수 $n$으로 묶는 것이 보이는가 — 인수분해가 증명 도구가 되는 순간이다.

**풀이.** $n$을 임의의 정수라 하자. 공통인수로 묶으면

$$
n^2 + n = n(n + 1)
$$

이고, $n + 1$은 정수다(정수의 합은 정수). 따라서 $n^2 + n$은 $n \times (\text{정수})$ 꼴이므로 $n \mid (n^2 + n)$이다. $\blacksquare$

(검산: $n = 4$이면 $16 + 4 = 20 = 4 \times 5$ ✓. $n = 0$이어도 $0 \mid 0$은 문제 2(c)에서 판정한 대로 참이므로 명제가 무너지지 않는다.)

**복기.** 전개가 목표 꼴을 만들 때도 있고(1주차 문제 8), 거꾸로 묶기 (인수분해)가 만들 때도 있다. 어느 쪽인지는 도착점의 꼴이 정한다.

### 문제 14

**접근.** "일의 자리"라는 일상 개념을 수식으로 번역하는 것이 관문이다: $n = 10m + u$. 그다음은 $10m$이 이미 짝수임을 알아채면 $u$만 처리하면 된다. 목표는 1주차의 짝수 정의 — $n = 2 \times (\text{정수})$ 꼴이다.

**풀이.** $n$을 일의 자리가 짝수인 양의 정수라 하자. 일의 자리를 $u$라 하면 $n = 10m + u$인 음이 아닌 정수 $m$이 존재한다. 가정에 의해 $u$가 짝수이므로, 정의 1.1에 의해 $u = 2j$인 정수 $j$가 존재한다. 그러면

$$
n = 10m + 2j = 2(5m + j)
$$

이고, $5m + j$는 정수의 곱과 합이므로 정수다. 따라서 $n$은 짝수의 정의를 만족하므로 짝수이다. $\blacksquare$

(검산: $n = 74$이면 $m = 7$, $u = 4 = 2 \times 2$이고 $74 = 2 \times 37$ ✓.)

**복기.** 학교에서 외운 판정법("일의 자리가 짝수이면 짝수")이 증명 가능한 정리였다. 자릿수 표현 $n = 10m + u$는 이후에도 자주 쓰는 번역 부품이다.

### 문제 15

**접근.** 반례 탐색의 설계: $a$가 $b$와 $c$에 **반씩 걸쳐 있는** 상황을 만든다. $a = 6 = 2 \times 3$으로 쪼개지니, 2는 $b$에게 3은 $c$에게 하나씩 배정한다 — 그러면 $a$는 곱 $bc$에는 걸리지만 어느 한쪽에도 통째로 들어가지 않는다.

**풀이.** 반례: $a = 6$, $b = 4$, $c = 9$. 가정 확인 — $bc = 36$이고 $36 = 6 \times 6$, $6 \in \mathbb{Z}$이므로 $6 \mid 36$은 참이다. 결론 확인 — $4 = 6c'$이려면 $c' = \frac{2}{3} \notin \mathbb{Z}$이므로 $6 \nmid 4$이고, $9 = 6c'$이려면 $c' = \frac{3}{2} \notin \mathbb{Z}$이므로 $6 \nmid 9$이다. 가정이 참인데 결론 "$6 \mid 4$ 또는 $6 \mid 9$"가 거짓이므로, 명제는 거짓이다.

**복기.** 반례 제시는 두 확인(가정 참 / 결론 거짓)까지가 완결이다 — §4의 상자에서 선언한 조건 그대로다. 그럴듯한 명제도 거짓일 수 있다: 참임을 보이려면 증명, 거짓임을 보이려면 반례 하나 — 이 두 모드의 구분은 29주차 (반증)의 주제다. (참고로 $a$가 소수이면 이 명제는 참이 된다 — 33주차 문제 16에서 진술로 만나는 유클리드 보조정리다. 그 문제가 이 반례를 다시 소환하며, 증명 자체는 정수론 과목의 몫으로 남는다. 반례가 성립한 이유는 정확히 $6$이 소수가 아니라서다.)

### 문제 16

**접근.** 조각은 배수가 아닌데 합이 우연히 배수가 되게 조립한다. $a = 3$이면 3으로 나눈 나머지가 1인 수와 2인 수를 더하면 된다.

**풀이.** 반례: $a = 3$, $b = 1$, $c = 2$. 가정 확인 — $b + c = 3$이고 $3 = 3 \times 1$이므로 $3 \mid (1 + 2)$는 참이다. 결론 확인 — $1 = 3c'$이려면 $c' = \frac{1}{3} \notin \mathbb{Z}$이므로 $3 \nmid 1$이고, $2 = 3c'$이려면 $c' = \frac{2}{3} \notin \mathbb{Z}$이므로 $3 \nmid 2$이다. 가정이 참인데 결론 "$3 \mid 1$이고 $3 \mid 2$"가 거짓이므로, 명제는 거짓이다.

**복기.** 이 명제는 예제 2.2를 거꾸로 뒤집은 것이다 — 예제 2.2는 참이지만 그 역은 거짓이다. 명제와 그 역(converse)은 별개의 명제이고, 한쪽의 참이 다른 쪽을 보장하지 않는다 — 9주차에서 정면으로 다룬다.

### 문제 17

**접근.** If–Then 분해: 출발점 $b + c = ak$, $b = al$ / 도착점 $c = a \times (\text{정수})$ 꼴. 그런데 $c$에 대한 직접 정보가 없다 — 대신 $c = (b + c) - b$로, **이미 배수임을 아는 두 덩어리의 차**로 $c$를 다시 쓸 수 있다. "목표를 아는 재료로 다시 쓰기"는 증명의 단골 발상이다.

**풀이.** $a \mid (b + c)$이고 $a \mid b$라 가정하자. 정의에 의해 $b + c = ak$, $b = al$인 정수 $k, l$이 존재한다. $c$를 아는 재료의 차로 쓰면

$$
c = (b + c) - b = ak - al = a(k - l)
$$

이고, $k - l \in \mathbb{Z}$이므로(정수의 차는 정수) $c$는 $a \times (\text{정수})$ 꼴이다. 따라서 $a \mid c$이다. $\blacksquare$

(검산: $a = 5$, $b = 10$, $c = 25$이면 $5 \mid 35$, $5 \mid 10$이 참이고 $5 \mid 25$도 참 ✓.)

**복기.** 문제 7("배수의 차는 배수")을 알고 있으면 이 증명은 한 줄로 줄어든다: $b + c$와 $b$가 모두 $a$의 배수이므로 그 차 $c$도 배수다(근거 ④). 직전 문제가 부품이 되도록 배치된 것을 알아채는 것도 실력이다 — 1주차 문제 17과 같은 설계다.

### 문제 18

**접근.** $bc$가 $a$보다 커지게 만들면 쉽게 무너진다. $b$와 $c$가 공통 인수를 가지면 곱 $bc$는 $a$를 초과할 수 있다 — $b = 4$, $c = 6$이면 $bc = 24$이므로, 둘 다로 나누어떨어지는 $a = 12$를 잡는다.

**풀이.** 반례: $a = 12$, $b = 4$, $c = 6$. 가정 확인 — $12 = 4 \times 3$이므로 $4 \mid 12$는 참이고, $12 = 6 \times 2$이므로 $6 \mid 12$도 참이다. 결론 확인 — $bc \mid a$는 $24 \mid 12$인데, $12 = 24c'$이려면 $c' = \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$이므로 거짓이다. 가정이 참인데 결론이 거짓이므로, 명제는 거짓이다.

**복기.** 무너진 원인은 $b = 4$와 $c = 6$이 공통 인수 2를 갖는 것이다 — $b$와 $c$가 공통 인수를 갖지 않으면(공약수가 $\pm 1$뿐이면 — 이를 서로소라 부른다) 이 명제는 참이 된다. 같은 조건을 21주차의 기약분수와 36주차 문제 12에서 다시 만난다.

### 문제 19

**접근.** 목표 꼴은 $b^2 = a^2 \times (\text{정수})$. 문제 9와 달리 $a^2$이 필요하므로 이번에는 $b = ak$를 **통째로 제곱**한다 — 그러면 $a^2$이 저절로 나온다.

**풀이.** $a \mid b$라 가정하자. 정의에 의해 $b = ak$인 정수 $k$가 존재한다. 양변을 제곱하면(근거 ③)

$$
b^2 = (ak)^2 = a^2 k^2
$$

이고, $k^2 = k \cdot k$는 정수다(정수의 곱은 정수). 따라서 $b^2$은 $a^2 \times (\text{정수})$ 꼴이므로 $a^2 \mid b^2$이다. $\blacksquare$

(검산: $3 \mid 6$에서 $9 \mid 36$이 나와야 한다 — $36 = 9 \times 4$ ✓.)

**복기.** 역방향 "$a^2 \mid b^2$이면 $a \mid b$"도 참이지만 증명은 차원이 다르게 어렵다 — 소인수분해의 유일성이 필요해서 33주차 이후에나 가능하다. 명제와 역은 진위만 별개인 것이 아니라 난이도도 별개다.

### 문제 20

**접근.** 두 가정을 서로에게 대입해 $a = a(kl)$ 꼴의 "자기 자신 등식"을 만들면 정보가 $kl$ 하나로 압축된다. $a$로 나누고 싶어지는 순간이 경우 나누기의 신호다 — 나눗셈은 $a = 0$에서 정의되지 않으므로, 0인 경우를 따로 처리한다 (1주차 문제 16에서 배운 그 기술).

**풀이.** $a \mid b$이고 $b \mid a$라 가정하자. 정의에 의해 $b = ak$인 정수 $k$가, $a = bl$인 정수 $l$이 존재한다. 둘째 등식에 첫째 등식을 대입하면

$$
a = bl = (ak)l = a(kl)
$$

이고, 이항하면 $a - a(kl) = 0$, 곧 $a(1 - kl) = 0$이다.

**경우 1: $a = 0$.** 첫째 등식에서 $b = ak = 0 \cdot k = 0$이므로 $a = b$ (둘 다 0)이다.

**경우 2: $a \neq 0$.** 곱 $a(1 - kl)$이 0인데 $a \neq 0$이므로, 빌려 쓰는 사실 ①에 의해 $1 - kl = 0$, 곧 $kl = 1$이다. 빌려 쓰는 사실 ②에 의해 $k = l = 1$ 또는 $k = l = -1$이다. $k = 1$이면 $b = ak = a$이고, $k = -1$이면 $b = -a$, 곧 $a = -b$이다.

모든 정수 $a$는 $a = 0$이거나 $a \neq 0$이므로 두 경우가 전체를 빠짐없이 덮고, 어느 경우든 $a = b$ 또는 $a = -b$이다. $\blacksquare$

(검산: $a = 5$, $b = -5$이면 $-5 = 5 \times (-1)$, $5 = (-5) \times (-1)$로 가정이 둘 다 참이고, 결론 $a = -b$가 성립한다 ✓.)

**복기.** 자기 자신 등식으로의 압축, 그리고 "나누고 싶을 때 0을 경계하라"는 신호 — 두 발상 모두 이후 주차에서 반복해 쓴다. 경우 나누기의 채점 기준 (전체를 덮는가, 각 경우가 완결인가)을 마지막 문장이 명시적으로 닫았다.

---

**다음 주 예고:** 지금까지 "정수 $k$가 존재한다" 같은 표현을 계속 써 왔다. 3주차부터는 이런 표현의 무대인 **집합**의 언어를 체계적으로 배운다. $\{x \in \mathbb{Z} : x^2 < 10\}$ 같은 표기를 읽고 쓸 수 있게 되는 것이 목표다 — 문제 5에서 이미 한 번 마주쳤다.