# C12주차 — 함수: 단사·전사·전단사·역함수

:::{admonition} 이 주의 길잡이
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**핵심 문장**: 단사와 전사는 식에 붙는 성질이 아니라 정의역$\cdot$공역까지 포함한 함수 전체에 붙는 판정이다. 같은 식이라도 무대를 바꾸면 판정이 바뀌고, 두 판정이 동시에 통과할 때에만 역산이 함수가 된다.

**이 주의 위치**: 2학기 20주 과정의 C12주차. C11주차가 동치관계와 분할을 하나로 묶었고, 이번 주의 함수가 그 분할을 정의역 위에 스스로 만들어 낸다. 1권 40~43주차에서 서식으로 외웠던 네 증명 형식이 여기서 S5주차 구성법과 S6주차 선택법의 특수 사례로 다시 읽히고, 1권 43주차 예제 2.3에서 손으로 하던 정의역 손질이 **무대 조정**이라는 이름을 얻는다. 다음 주 C13주차는 이번 주의 전단사를 무한집합의 크기를 재는 잣대로 쓴다.

**원서 대응**: Chartrand 10장 (Functions). 1일차에 이 장을 통독한 상태로 이 교안에 온다.
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## 이번 주 목표

1. **함수**를 "각 입력에 정확히 하나의 출력"으로 정의하고, 정의역$\cdot$공역$\cdot$치역을 구분해 선언할 수 있다.
1. **단사$\cdot$전사$\cdot$전단사**를 정의하고, 네 서식(단사 증명$\cdot$단사 반증$\cdot$전사 증명$\cdot$전사 반증)의 걸음을 이유와 함께 백지에 쓴다.
1. **합성**과 **역함수**를 다루고, "$f$가 역함수를 가진다 $\iff$ $f$가 전단사이다"를 양방향으로 증명한다.
1. **상**과 **원상**을 다루고, 원상이 정의역에 낳는 분할이 C11주차의 동치관계로 이어지는 길을 설명한다.

본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

:::{admonition} 표기 — § 와 난이도 표시
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§는 "절"이라고 읽는다. §1.3은 이 주차의 1.3 절을, §6은 6절 전체를 가리킨다.

다른 주차를 가리킬 때는 "C11주차 §1.2"처럼 주차를 앞에 적는다.

연습문제는 기본 1~6번, 표준 7~14번, 도전 15~20번이고, 빈칸 사다리는 훈련 1에서

3으로 갈수록 지지대가 줄어든다.
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## 준비 운동 (C11주차 복습)

지난주까지의 도구를 손에 올려 둔다. 셋 다 이번 주 답안에서 그대로 쓴다.

1. C11주차의 핵심 정리를 진술하시오 — 동치관계는 동치류로 분할을 낳고, 거꾸로 분할은 동치관계를 낳는다.
1. S6주차 예제 2.2의 단사 증명 서식을 재현하시오. 첫 문장은 무엇이고 도착점은 무엇인가.
1. S5주차 §1.4의 구성법 세 걸음(연습장에서 후보 찾기 $\to$ 답안에서 제시 $\to$ 자격과 사건의 전수 검증)을 쓰시오.

이어서 진단 문제 하나를 풀어 보자. 풀지 못해도 된다 — 이번 주가 무엇을 메우는지 가늠하기 위한 기록이다.

1. (진단) 명제 "$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$은 전사이다"를 증명하거나 반증하시오.

답을 노트에 적어 둔다. §5의 백지 재현 뒤에 이 기록을 다시 본다.

### 자주 나오는 세 가지 답

방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 자연스러운 출발점이고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다.

- **유형 1 — 역산해서 증인 제시.** "임의의 $y$를 잡자. $x = \sqrt y$로 두면

$f(x) = y$이다. 따라서 전사이다." 절차는 S5주차 구성법 그대로이고, 후보를 찾는 계산도 옳다. 문제는 걸음이 하나 빠졌다는 것이다 — 제시한 $x = \sqrt y$가 정의역 $\mathbb{R}$의 원소인지를 확인하지 않았다. $y = -1$에서 이 답안은 존재하지 않는 수를 증인으로 내놓는다. 빠진 걸음의 이름이 **자격 검증**이고, §1.1이 이 답안을 그대로 해부한다.

- **유형 2 — 결론은 맞으나 형식이 없는 반증.** "$x^2$은 음수가 안 되니까 전사가

아니다"라고 한 줄로 적는다. 판정은 옳다. 다만 "전사가 아니다"는 존재 명제의 부정이므로, 도달 불가능한 $b_0$를 **하나 지목하고** 그 $b_0$에 원상이 없음을 논증하는 두 걸음이 답안에 있어야 한다. 무엇을 적어야 채워지는지가 §1.3의 네 서식 표다.

- **유형 3 — 백지.** "전사임을 보인다"의 첫 문장이 무엇인지 몰라 아무것도 적지

못했다. 첫 문장은 창작이 아니라 목표의 겉모양이 정해 주는 것이며(S6주차), §1.3이 네 경우의 첫 문장을 전부 못 박는다.

## 개념 — 판정은 식이 아니라 무대에 붙는다

### 1 구성법만으로 밀어붙이면 어디서 막히는가

준비 운동 4번을 S5주차의 구성법으로 밀어붙여 보자. 결론이 "존재한다"이므로 증인을 만들어 내놓는 것이 옳은 방향이다.

:::{admonition} 시도 — 구성법으로 밀어붙이기
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명제: $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$은 전사이다.

"임의의 $y \in \mathbb{R}$를 잡자. $y = x^2$을 $x$에 대해 풀면 $x = \sqrt y$이다.

$x = \sqrt y$로 두면 $f(x) = (\sqrt y)^2 = y$이다. 따라서 $f$는 전사이다."
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계산은 한 줄도 틀리지 않았다. 그런데 이 명제는 거짓이다 — $y = -1$을 제곱해서 얻는 실수는 없다. 거짓 명제에 매끄러운 증명이 붙었으므로, 결함은 계산이 아니라 답안의 구조에 있다.

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**확인 1.** 위 답안이 검증한 것과 검증하지 않은 것을 각각 한 줄로 적어 보자.

S5주차의 채점표 두 칸 — 자격과 사건 — 으로 나누어 적는다.
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:::{admonition} 답
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사건 "$f(x) = y$"는 검증했다. 근거는 $(\sqrt y)^2 = y$라는 제곱근의 성질이다.

자격 "$x \in \mathbb{R}$", 곧 "$\sqrt y$가 실수이다"는 검증하지 않았다.

그리고 채울 수 없다 — $y = -1$이면 $\sqrt{-1}$은 실수가 아니다.

S5주차 §1.6의 반칙 1(검증 누락)이 정확히 이 자리에서 났고, 그 주차 예제 2.3의

답안이 소수를 만들지 못하고 걸린 것과 같은 종류의 결함이다.
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빠진 걸음을 채우면 명제가 거짓이라는 사실이 드러난다. 여기서 한 걸음 더 간다. 같은 식 $x^2$을 다른 무대에 올려 보자.

:::{admonition} 시도 — 무대를 바꾼 같은 식
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명제: $g : [0, \infty) \to [0, \infty)$, $g(x) = x^2$은 전사이다.

"임의의 $y \in [0,\infty)$를 잡자. $x = \sqrt y$로 두면 $y \ge 0$이므로

$\sqrt y$는 실수이고 $\sqrt y \ge 0$이다 — 자격 통과. 그리고

$g(x) = (\sqrt y)^2 = y$ — 사건 통과. 따라서 $g$는 전사이다."
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이번에는 두 검증이 모두 통과한다. 식은 한 글자도 바꾸지 않았다.

기호 $x \mapsto x^2$은 "엑스를 엑스 제곱으로 보낸다"로 읽고, 무대를 적지 않은 채 대응 규칙만 가리킬 때 쓴다. 화살표의 꼬리가 붙어 있어 $A \to B$의 화살표와 구별된다 — $\to$는 집합에서 집합으로, $\mapsto$는 원소에서 원소로 간다.

:::{container} quotebox
**확인 2.** $f$와 $g$는 대응 규칙이 $x \mapsto x^2$으로 같은데 판정이 갈렸다.

무엇이 달랐는가. 그리고 이 관찰이 "$x^2$은 전사인가"라는 물음 자체에 대해

무엇을 말하는가.
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:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

달라진 것은 정의역과 공역, 곧 **무대**뿐이다. 정의역이 $[0,\infty)$로 줄어

자격 검증이 통과했고, 공역이 $[0,\infty)$로 줄어 검증해야 할 $y$의 범위가

음수를 잃었다.

따라서 "$x^2$은 전사인가"는 답할 수 없는 물음이다 — 무대가 적혀 있지 않기

때문이다. 판정은 식이 아니라 **무대까지 포함한 함수 전체**에 붙는다.

1권 41주차 확인 8의 세 문항에 정의역과 공역이 빠짐없이 적혀 있던 이유가

이것이다.
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:::{admonition} 이 주 전체의 기준
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함수를 선언한다는 것은 세 정보 — 정의역, 공역, 대응 규칙 — 를 함께 적는 일이다.

셋 중 하나라도 빠지면 단사$\cdot$전사 판정은 시작되지 않는다.
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### 2 무대를 바꿔 가며 판정해 보기

같은 식에 무대만 갈아 끼우며 판정을 적어 보자. 표의 빈칸을 채운다. ($[0,\infty)$는 "0 이상의 실수 전체"를 뜻하고, $2\mathbb{Z}$는 "짝수 전체", 곧 $\{2m : m \in \mathbb{Z}\}$를 뜻한다. 둘 다 이번 주에 무대로만 쓴다.)

| **함수** | **단사** | **전사** |
|---|---|---|
| $f_1 : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f_1(x) = 2x - 3$ | ✓ | ✓ |
| $f_2 : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f_2(x) = x^2$ | $\underline{\quad(1)\quad}$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ |
| $f_3 : [0,\infty) \to \mathbb{R}$, $f_3(x) = x^2$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ | $\underline{\quad(4)\quad}$ |
| $f_4 : \mathbb{R} \to [0,\infty)$, $f_4(x) = x^2$ | $\underline{\quad(5)\quad}$ | $\underline{\quad(6)\quad}$ |
| $f_5 : [0,\infty) \to [0,\infty)$, $f_5(x) = x^2$ | ✓ | ✓ |
| $f_6 : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $f_6(n) = 2n$ | $\underline{\quad(7)\quad}$ | $\underline{\quad(8)\quad}$ |
| $f_7 : \mathbb{Z} \to 2\mathbb{Z}$, $f_7(n) = 2n$ | ✓ | $\underline{\quad(9)\quad}$ |

:::{container} quotebox
**확인 3.** 빈칸 (1)~(9)를 ✓ 또는 ✗로 채우고, ✗인 칸마다 근거가 되는 반례를

하나씩 적어 보자. 그다음 $f_2$부터 $f_5$까지 네 줄을 위에서 아래로 읽으며

무엇이 회복되는지 한 문장으로 요약해 보자.
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:::{admonition} 답
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(1) ✗ — $f_2(-1) = 1 = f_2(1)$인데 $-1 \neq 1$.

(2) ✗ — $y = -1$에 대해 $x^2 = -1$인 실수 $x$가 없다.

(3) ✓ — $x_1, x_2 \ge 0$이고 $x_1^2 = x_2^2$이라 하자. 그러면

$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 0$이고, $x_1 + x_2 = 0$인 경우는 둘 다 0이어서

$x_1 = x_2$가 성립하며, 그렇지 않으면 $x_1 - x_2 = 0$이다. 어느 경우든

$x_1 = x_2$이다(1권 19주차 문제 17이 같은 명제를 대우로 증명해 두었다 — 근거 ④).

(4) ✗ — 공역이 아직 $\mathbb{R}$이므로 $y = -1$이 여전히 덮이지 않는다.

(5) ✗ — 정의역이 그대로이므로 $-1$과 $1$이 여전히 뭉친다.

(6) ✓ — 공역의 모든 $y \ge 0$이 $\sqrt y$의 상이다.

(7) ✓ — $2n_1 = 2n_2$이면 양변을 2로 나누어 $n_1 = n_2$.

(8) ✗ — 홀수 $1$에 대해 $2n = 1$인 정수 $n$이 없다.

(9) ✓ — 임의의 짝수는 $2m$ 꼴이고 그 원상이 $m$이다.

요약: **정의역을 줄이면 단사가 회복되고, 공역을 줄이면 전사가 회복된다.**

식은 네 줄 내내 $x^2$ 그대로였다.
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이 관찰에 이름을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 일을 문장으로 굳혔을 뿐이다.

:::{admonition} 백지 암기 대상
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**무대 조정**

단사가 실패하면 정의역을 줄여 뭉치는 입력을 떼어 놓는다.

전사가 실패하면 공역을 치역까지 줄여 덮이지 않는 출력을 없앤다.

무대를 조정한 결과는 원래 함수와 **다른 함수**이며, 판정은 그 새 함수에 붙는다.
:::

1권 43주차 예제 2.3에서 $x^2$의 정의역과 공역을 $[0,\infty)$로 손질해 $\sqrt x$를 얻던 그 절차가, 여기서 무대 조정이라는 이름과 두 방향을 얻는다.

### 정의 12.1 — 함수 (function) [백지 암기 대상]

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집합 $A$에서 $B$로의 **함수** $f : A \to B$란, $A$의 각 원소 $a$에 $B$의

원소를 **정확히 하나** 대응시키는 것이다. 그 유일한 원소를 $f(a)$로 쓴다.

$A$를 **정의역**(domain), $B$를 **공역**(codomain),

$f(A) = \{f(a) : a \in A\}$를 **치역**(range)이라 한다.
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기호 $f : A \to B$는 "에프는 에이에서 비로 가는 함수"로 읽고, $f(a)$는 "에프 에이" 로 읽는다. 읽는 법까지가 정의다. 관계의 말로 옮기면 $f \subseteq A \times B$이고 조건은 "각 $a$에 대해 $(a,b) \in f$인 $b$가 정확히 하나"다 — C11주차에서 다룬 관계의 특수형이며, 1권 40주차 정의 40.1이 이 형태로 적혀 있다.

"정확히 하나"는 S13주차의 언어로 두 책임이다.

| **책임** | **뜻** | **위반하면** |
|---|---|---|
| 전체성 (존재) | 모든 $a \in A$에 값이 있다 | 정의역의 일부에 값이 없다 — 문제 14(b) |
| 유일성 | 한 $a$에 값이 둘 이상 붙지 않는다 | 대응이 다치가 된다 — 문제 14(a) |

:::{container} quotebox
**확인 4.** 다음 두 대응은 각각 어느 책임을 위반하는가.

(가) $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, "$h(x) = \frac 1x$"  (나) $(0,\infty) \to \mathbb{R}$, "$h(x) = \pm \sqrt x$"
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

(가) 전체성 위반. $a = 0$에 대응할 값이 없다. 정의역을 $\mathbb{R} - \{0\}$으로

줄이면(무대 조정) 함수가 된다.

(나) 유일성 위반. $x = 4$에 $2$와 $-2$ 두 값이 붙어 $h(4)$라는 표기 자체가

무엇을 가리키는지 정해지지 않는다.

함수가 아닌 것을 함수라 부르는 답안은 이 두 위반 중 하나를 놓친 것이며,

두 위반이 곧 문제 14의 두 문항이다.
:::

함수의 상등도 정의역$\cdot$공역이 함께 걸린다: $f = g$라는 것은 정의역이 같고 공역이 같으며 모든 $a$에서 $f(a) = g(a)$라는 뜻이다(1권 40주차). §1.2의 $f_2$와 $f_5$가 서로 다른 함수인 근거가 이 문장이다.

### 정의 12.2 — 단사·전사·전단사 (injective, surjective, bijective) [백지 암기 대상]

:::{container} quotebox
$f : A \to B$에 대해,

**단사**(one-to-one, injective): 모든 $a_1, a_2 \in A$에 대해 $f(a_1) = f(a_2)$이면 $a_1 = a_2$이다.

**전사**(onto, surjective): 모든 $b \in B$에 대해 $f(a) = b$인 $a \in A$가 존재한다.

**전단사**(bijective): 단사이면서 전사이다.
:::

단사의 대우 표현은 "$a_1 \neq a_2$이면 $f(a_1) \neq f(a_2)$"이고, 전사의 동치 표현은 "$f(A) = B$" — 치역과 공역이 같다 — 이다. 두 표현은 서로 바꿔 쓸 수 있으며, 어느 쪽으로 적어도 같은 판정이다(1권 41주차 정의 41.1$\cdot$41.2).

말로 옮기면 단사는 "서로 다른 입력을 뭉개지 않는다", 전사는 "공역을 남김없이 쓴다"이다. 이 두 말은 방향을 기억하는 데만 쓰고, 답안에는 정의의 수식 꼴을 적는다.

**정의 해부 — 단사.** 정의 12.2의 단사 조항은 세 조각으로 되어 있고, 조각마다 증명에서 맡는 역할이 다르다(1권 41주차 §1.3이 정의 41.1을 같은 방식으로 해부한다).

| **조각** | **하는 일** | **증명에서의 역할** |
|---|---|---|
| "모든 $a_1, a_2 \in A$에 대해" | 검사 범위의 전칭 선언 | 첫 문장에서 대표원 둘을 문자로 잡게 한다 — 특정 두 값의 확인으로는 끝나지 않는다 |
| "$f(a_1) = f(a_2)$이면" | 가정의 지정 | 출발점이 되는 등식을 준다 — 이 조각이 서식의 첫 문장이 된다 |
| "$a_1 = a_2$이다" | 결론의 지정 | 도착점을 못 박는다 — 계산이 이 꼴에 닿아야 끝난다 |

**정의 해부 — 전사.** 전사 조항도 세 조각이다.

| **조각** | **하는 일** | **증명에서의 역할** |
|---|---|---|
| "모든 $b \in B$에 대해" | 검사 범위의 전칭 선언 | 첫 문장에서 공역의 원소 하나를 임의로 잡게 한다 |
| "$f(a) = b$인" | 증인이 만족해야 할 사건의 지정 | 제시한 증인에 대해 검증할 등식을 준다 |
| "$a \in A$가 존재한다" | 증인의 존재와 자격의 지정 | 물건을 실제로 내놓게 하고, 그것이 정의역의 원소임을 함께 검사하게 한다 |

**조각 삭제 실험 — 전사 정의에서 "$\in A$"를 빼면.** 조각이 "$f(a) = b$인 $a$가 존재한다"로 줄면 증인이 어디에서 온 물건인지가 조건에서 빠진다. 그러면 §1.1의 답안이 그대로 통과한다 — $y = -1$에 대해 $\sqrt{-1}$을 증인으로 내놓아도 "$f(a) = b$"만 형식적으로 맞추면 되기 때문이다. 정의역 소속을 요구하는 이 두 글자가 전사 증명의 자격 검증 줄을 낳는다.

**조각 삭제 실험 — 단사 정의에서 전칭을 특정 값으로 바꾸면.** 첫 조각을 "어떤 $a_1, a_2 \in A$에 대해"로 바꾸면 $f_2 : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f_2(x) = x^2$이 단사 판정을 받는다 — $a_1 = 1$, $a_2 = 2$ 한 쌍만 잡으면 $f_2(1) = 1$이고 $f_2(2) = 4$라 가정 "$f_2(a_1) = f_2(a_2)$"가 거짓이고, 가정이 거짓인 조건문은 참이므로(C5주차 정의 1.2의 공허한 증명) 이 한 쌍에서 조건이 성립한다. 실제로는 $-1$과 $1$이 뭉치므로 단사가 아니다. 전칭 조각이 판정을 판정으로 만든다.

:::{container} quotebox
**확인 5.** 다음 각 문장이 단사$\cdot$전사 중 무엇의 부정인지 밝히고, 그 부정을

"…인 …가 존재한다" 꼴로 정확히 적어 보자.

(가) $f$는 단사가 아니다.  (나) $f$는 전사가 아니다.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

(가) 단사의 부정. "$a_1 \neq a_2$이면서 $f(a_1) = f(a_2)$인 $a_1, a_2 \in A$가

존재한다." 전칭 조건문의 부정이므로 존재 명제가 되고, 검증할 것이 **두 개**다 —

두 입력이 실제로 다르다는 것과 두 값이 실제로 같다는 것.

(나) 전사의 부정. "$f(a) = b_0$인 $a \in A$가 하나도 없는 $b_0 \in B$가 존재한다."

여기서도 검증할 것이 두 개다 — $b_0$가 공역에 실제로 속한다는 것과, 원상이

없다는 것.

두 부정 모두 S10주차의 부정 전개를 그대로 적용한 결과이고, 반증 답안이

반쪽으로 채점되는 것은 거의 언제나 두 검증 중 하나를 빠뜨렸을 때다.
:::

### 3 절차 해부 — 네 서식의 걸음마다 하는 일

목표의 겉모양이 첫 문장을 정한다. 네 경우의 첫 문장과 도착점을 못 박는다.

| **목표** | **첫 문장** | **도착점** |
|---|---|---|
| 단사 증명 | "$f(a_1) = f(a_2)$라 하자." | "따라서 $a_1 = a_2$이다." |
| 단사 반증 | "$a_1 = \cdots$, $a_2 = \cdots$로 두자." | $a_1 \neq a_2$ 확인 + $f(a_1) = f(a_2)$ 확인 |
| 전사 증명 | "임의의 $b \in B$를 잡자." | 증인 $a$ 제시 + $a \in A$ 확인 + $f(a) = b$ 확인 |
| 전사 반증 | "$b_0 = \cdots$로 두자." | $b_0 \in B$ 확인 + 원상이 없음을 논증 |

이 표는 1권 41주차의 증명 서식 4종과 같은 것이다. 이번 주에 새로 하는 일은 각 서식이 왜 그 걸음들로 되어 있는지를 걸음마다 해부하는 것이다.

**전사 증명의 해부.** 걸음이 넷이고, 앞의 둘은 S6주차 선택법, 뒤의 둘은 S5주차 구성법에서 그대로 온다.

| **걸음** | **하는 일** | **이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가** |
|---|---|---|
| ① "임의의 $b \in B$를 잡자" | 전칭을 대표원 하나로 교체 | 특정 값 몇 개만 덮어 보이고 전사라 적게 된다 — $f_3$을 $y = 4$ 하나로 통과시키는 답안(실제로는 $y = -1$이 덮이지 않는다) |
| ② 증인 $a$의 제시 | 존재 결론에 물건을 내놓는다 | 존재 명제가 유도로 나온다고 착각한다 — 유도되지 않는다는 것이 S5주차의 첫 문장 |
| ③ 자격 검증 $a \in A$ | 증인이 정의역의 원소임을 확인 | §1.1의 붕괴가 그대로 재연된다 — 존재하지 않는 수를 증인으로 내놓는다 |
| ④ 사건 검증 $f(a) = b$ | 증인이 실제로 $b$로 감을 확인 | 정의역 안의 아무 값이나 증인으로 통과한다 |

**걸음 삭제 실험 — ③을 빼면.** $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$에 대해 ③ 없는 답안을 쓰면 "$x = \sqrt y$, $f(x) = y$"로 끝나고 전사라는 판정이 나온다. 실제로는 $y = -1$에서 증인이 실수가 아니다. 같은 답안을 $g : [0,\infty) \to [0,\infty)$에 쓰면 결론이 참인데, 참인 결론과 거짓인 결론에 **똑같이 생긴 답안**이 붙는다. ③이 두 경우를 갈라 주는 유일한 걸음이다.

**걸음 삭제 실험 — 단사 반증에서 두 입력의 다름 확인을 빼면.** $f(x) = x^2$에 대해 "$f(1) = 1 = f(1)$이므로 단사가 아니다"라고 적을 수 있게 된다. 같은 입력 두 개는 어떤 함수에서도 같은 값을 주므로, 이 답안은 모든 함수를 단사가 아니라고 판정한다. 두 입력이 실제로 다르다는 확인이 판정을 판정으로 만든다.

:::{container} quotebox
**확인 6.** 다음 세 목표 각각에 어느 서식을 쓰는가. 첫 문장까지 적어 보자.

(가) $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $f(n) = n + 4$는 전사이다.

(나) $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \lvert x \rvert$는 단사가 아니다.

(다) $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $f(n) = 2n$은 전사가 아니다.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

(가) 전사 증명. "임의의 $m \in \mathbb{Z}$를 잡자." 이어 증인 $n = m - 4$를

제시하고, $n$이 정수임(자격)과 $f(n) = m$임(사건)을 확인한다.

(나) 단사 반증. "$a_1 = 1$, $a_2 = -1$로 두자." 이어 $1 \neq -1$과

$f(1) = 1 = f(-1)$을 확인한다.

(다) 전사 반증. "$b_0 = 1$로 두자." 이어 $1 \in \mathbb{Z}$임과, $2n = 1$인

정수 $n$이 없음을 논증한다.

세 문항 모두 정의역과 공역이 적혀 있고, §1.1이 보인 대로 그것이 없으면

서식을 고를 수조차 없다.
:::

:::{container} quotebox
**확인 7.** 전사 증명의 걸음 ②에서 증인을 만드는 계산은 대개 "$b = f(a)$를

$a$에 대해 푸는" 역산이다. 이 역산과 역함수는 어떤 관계인가. 지금 답할 수 있는

만큼만 적어 보자.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

역산으로 얻은 식이 곧 역함수의 후보다. 다만 후보가 함수가 되려면 각 $b$에

대해 값이 정확히 하나여야 하고, 존재는 전사가, 유일은 단사가 책임진다.

그래서 전사 증명 하나만으로는 역함수가 나오지 않는다. §1.5가 이 관계를

정리로 만든다.
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### 4 합성 — 두 함수를 이어 붙이기

### 정의 12.3 — 합성 (composition) [백지 암기 대상]

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$f : A \to B$, $g : B \to C$일 때, 합성 $g \circ f : A \to C$는 모든 $a \in A$에

대해 $(g \circ f)(a) = g\big(f(a)\big)$로 정해지는 함수이다.
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기호 $g \circ f$는 "지 합성 에프"로 읽고, 뜻은 "$f$를 먼저 하고 $g$를 나중에 한다"이다. 쓰는 순서와 실행 순서가 반대라는 점이 이 기호의 유일한 함정이며, 문제 16의 순서 뒤집힘도 여기서 나온다. 읽는 법까지가 정의다.

또 하나의 기호를 둔다. **항등함수** $\mathrm{id}_A : A \to A$는 모든 $a \in A$에 대해 $\mathrm{id}_A(a) = a$로 정해지는 함수이며 "에이 위의 항등함수"로 읽는다.

두 성질을 둔다. (i)의 증명은 이 주의 문제 8에서 직접 만들고, (ii)는 1권 42주차 보존 정리 (ii)를 근거 ④로 인용해 쓴다 — 그 증명은 1권 42주차 문제 8에 있다.

- (i) 단사 보존: $f$와 $g$가 단사이면 $g \circ f$도 단사이다 (1권 42주차 보존 정리 (i)$\cdot$예제 2.2).
- (ii) 전사 보존: $f$와 $g$가 전사이면 $g \circ f$도 전사이다 (1권 42주차 보존 정리 (ii)).

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**확인 8.** $f : A \to B$, $g : B \to C$에 대해 $g \circ f$가 단사라고 하자.

$f$와 $g$ 중 반드시 단사인 것은 어느 쪽인가. 그리고 나머지 한쪽이 단사가

**아닐 수 있다**는 것을 확정하려면 무엇을 제시해야 하는가.
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:::{admonition} 답
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$f$다. $f(a_1) = f(a_2)$이면 양변에 $g$를 적용해

$(g\circ f)(a_1) = (g \circ f)(a_2)$를 얻고, $g \circ f$가 단사이므로

$a_1 = a_2$이다.

$g$ 쪽을 확정하려면 이유의 설명이 아니라 **반례 한 벌**을 제시해야 한다.

$A = \{1\}$, $B = \{1, 2\}$, $C = \{1\}$로 두고 $f(1) = 1$,

$g(1) = g(2) = 1$로 정한다. 검증 ① $g \circ f$는 단사다 — 정의역 $A$의 원소가

하나뿐이라 $(g\circ f)(a_1) = (g \circ f)(a_2)$인 $a_1, a_2$는 둘 다 $1$이고,

따라서 $a_1 = a_2$이다. 검증 ② $g$는 단사가 아니다 — $1 \neq 2$이면서

$g(1) = 1 = g(2)$이다. 두 검증이 모두 있어야 반례가 반례로 선다(확인 5).

반례가 성립하는 까닭은 $g$가 $f$의 치역 밖에서 무엇을 하든 $g \circ f$는 영향을

받지 않기 때문이다 — 이 반례에서 $f$의 치역은 $\{1\}$이고 $g$의 두 값이 뭉치는

사건은 치역 밖의 점 $2$에서 일어난다. 보존은 한 방향으로만 돌아온다.
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### 5 역함수 — 전단사가 자격인 이유

### 정의 12.4 — 역함수 (inverse function) [백지 암기 대상]

:::{container} quotebox
$f : A \to B$에 대해, $g \circ f = \mathrm{id}_A$이고 $f \circ g = \mathrm{id}_B$인

함수 $g : B \to A$가 존재할 때 $f$가 **역함수를 가진다**고 하고, 그 $g$를

$f^{-1}$로 쓴다.
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기호 $f^{-1}$은 "에프 인버스"로 읽는다. 지수 $-1$과 생김새가 같지만 값의 역수 $\frac 1f$와는 전혀 다른 것이다(1권 43주차 정의 43.1).

역함수는 있으면 하나뿐이다. $g_1$과 $g_2$가 둘 다 정의 12.4의 조건을 만족하면

$$
g_1 = g_1 \circ \mathrm{id}_B = g_1 \circ (f \circ g_2) = (g_1 \circ f) \circ g_2 = \mathrm{id}_A \circ g_2 = g_2
$$

이므로 같다. (가운데 등호는 합성의 결합법칙이다 — 1권 42주차 확인 5와 문제 7이 함수 상등의 세 기준으로 이것을 확인해 두었으므로 근거 ④로 인용한다.) 그래서 $f^{-1}$이라는 표기가 무엇을 가리키는지 정해진다. 이 유일성은 문제 16에서 그대로 쓴다.

:::{admonition} 백지 암기 대상
:class: keybox

**핵심 정리 12.1**

$f : A \to B$가 역함수를 가진다 $\iff$ $f$가 전단사이다.
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증명은 문제 15에서 양방향으로 완성한다. 지금은 왜 하필 전단사인지를 본다. $f^{-1}(b)$를 "$f(a) = b$인 $a$"로 정하고 싶다. 이 정의가 함수가 되려면 정의 12.1의 두 책임을 통과해야 한다.

| **책임** | **필요한 것** | **담당** |
|---|---|---|
| 전체성 | 모든 $b \in B$에 그런 $a$가 **존재** | 전사 |
| 유일성 | 그런 $a$가 **하나뿐** | 단사 |

곧 "정확히 하나"(S13주차)를 존재와 유일로 쪼갠 것이 그대로 전사와 단사다. 전단사가 역함수의 자격이라는 말의 내용은 이 표 한 장이다.

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**확인 9.** 전사가 아닌 함수에서 $f^{-1}$을 억지로 정의하면 무엇이 무너지는가.

단사가 아닌 함수에서는 무엇이 무너지는가. $f_2 : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$,

$f_2(x) = x^2$으로 각각 확인해 보자.
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:::{admonition} 답
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전사가 아니면 전체성이 무너진다 — $f_2^{-1}(-1)$에 붙일 값이 없다.

단사가 아니면 유일성이 무너진다 — $f_2^{-1}(4)$에 $2$와 $-2$가 함께 붙어

표기가 무엇을 가리키는지 정해지지 않는다.

두 붕괴는 확인 4의 두 위반과 정확히 같은 것이다. 역함수의 자격 심사는

함수의 자격 심사를 되돌린 방향으로 다시 하는 일이다.
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:::{container} quotebox
**확인 10.** $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 3x + 1$에 대해 역산으로

후보 $g(y) = \frac{y-1}3$을 얻었다. 이 후보가 역함수임을 확정하려면 무엇을

더 확인해야 하는가.
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:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

양방향 합성이 항등함수임을 둘 다 확인해야 한다 — $(g \circ f)(x) = x$와

$(f \circ g)(y) = y$. 한쪽만 확인하면 정의 12.4의 절반만 채운 것이다.

이 확인이 예제 2.3에서 하는 일이고, 계산 자체는 두 줄이면 끝난다.
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### 6 상과 원상 — 기호가 겹쳐도 다른 것

### 정의 12.5 — 상과 원상 (image, preimage) [백지 암기 대상]

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$f : A \to B$이고 $S \subseteq A$, $T \subseteq B$라 하자.

$$
f(S) = \{f(a) : a \in S\} \subseteq B \qquad (S \text{의 } \textbf{상})
$$

$$
f^{-1}(T) = \{a \in A : f(a) \in T\} \subseteq A \qquad (T \text{의 } \textbf{원상})
$$
:::

읽는 법 — $f(S)$는 "에스의 상", $f^{-1}(T)$는 "티의 원상"으로 읽고, **원상을 "에프 인버스"로 읽지 않는다**. 기호 $f^{-1}$이 붙어 있어도 역함수를 가리키는 것이 아니기 때문이다(1권 44주차 정의 44.1). 원상은 $f$가 전단사가 아니어도 언제나 정의되며, 값이 아니라 **집합**이다.

두 연산은 대칭이 아니다. 원상은 교집합을 보존해 $f^{-1}(T_1 \cap T_2) = f^{-1}(T_1) \cap f^{-1}(T_2)$가 성립하지만(문제 11), 상은 $f(S_1 \cap S_2) \subseteq f(S_1) \cap f(S_2)$까지만 성립하고 등호는 단사일 때 보장된다.

**섬유와 분할.** 한 점의 원상 $f^{-1}(\{b\})$를 $b$의 **섬유**(fiber)라 한다. $b$가 치역을 훑을 때 섬유들은 정의역 $A$를 겹치지 않게 덮는다 — 각 $a$는 자기 값 $f(a)$의 섬유에 정확히 한 번 들어가기 때문이다. 곧 함수는 정의역에 **분할**을 낳는다(문제 13에서 확인한다).

C11주차의 핵심 정리를 여기에 대면, 이 분할이 낳는 동치관계는 "$a_1 \sim a_2 \iff f(a_1) = f(a_2)$", 곧 "출력이 같다"이다. 동치관계와 분할이 같은 것의 두 얼굴이라는 지난주의 결론이, 이번 주에는 **모든 함수가 자기 정의역 위에 동치관계를 하나 만든다**는 문장으로 돌아온다.

:::{container} quotebox
**확인 11.** $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $f(n) = n^2$의 섬유

$f^{-1}(\{4\})$, $f^{-1}(\{0\})$, $f^{-1}(\{3\})$을 각각 구해 보자.

셋 중 분할의 조건을 위협하는 것이 있는가.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

$f^{-1}(\{4\}) = \{2, -2\}$, $f^{-1}(\{0\}) = \{0\}$, $f^{-1}(\{3\}) = \emptyset$.

셋째가 공집합이지만 분할은 위협받지 않는다 — 분할의 조각으로 세는 것은

**치역의 원소**에 대한 섬유뿐이고, $3$은 치역 밖이라 애초에 조각이 아니다.

공역 전체가 아니라 치역을 훑어야 한다는 조건이 여기서 일한다.
:::

### 7 이번 주에 쓸 수 있는 근거 — 목록 갱신

이번 주에도 근거의 칸은 네 개다. ①과 ④의 내용물이 넓어질 뿐이다.

| **근거** | **내용** | **이번 주에 쓰는 자리** |
|---|---|---|
| ① 정의 | 정의 12.1~12.5 (함수$\cdot$단사$\cdot$전사$\cdot$전단사$\cdot$합성$\cdot$역함수$\cdot$상$\cdot$원상) | 판정의 첫 문장과 마지막 문장 |
| ② 닫힘성 | 정수$\cdot$유리수$\cdot$실수의 사칙연산 결과가 같은 무대에 남는가 | 증인의 자격 검증 |
| ③ 등식의 성질 | 양변 연산$\cdot$전개$\cdot$묶기$\cdot$교차곱 | 단사 증명의 몸통, 역산 |
| ④ 이미 증명한 명제 | 1권 40~43주차의 결과(상$\cdot$원상은 1권 44주차 정의 44.1을 개별 인용), 1권 19주차 문제 17, S13주차의 유일성과 문제 19, C11주차의 핵심 정리, 그리고 이 주의 핵심 정리 12.1 | 역함수 존재의 인용, 섬유 분할의 마무리 |

:::{container} quotebox
**확인 12.** 다음 세 근거 문장은 각각 몇 번 근거인가.

(가) "$\frac{y+3}2$은 실수이므로"  (나) "$f$가 전단사이므로 역함수가 존재한다"

(다) "$2x_1 - 3 = 2x_2 - 3$의 양변에 3을 더하면"
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

(가) ② 닫힘성. 실수의 합과 0이 아닌 수로의 나눗셈은 실수다. 전사 증명의

자격 검증 줄이 대부분 이 근거다.

(나) ④ 이미 증명한 명제 — 핵심 정리 12.1의 인용이다. 단, 인용되는 것은

정리이지 "$f$가 전단사이다"라는 **앞 문장**이 아니다. 그 앞 문장은 반드시

별도로 논증되어 있어야 한다.

(다) ③ 등식의 성질.
:::