# 44주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설 ## 예제 — 계산에서 궁합 정리까지 세 예제에서 지지대를 하나씩 뺀다. 예제 2.1은 설계부터 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 한 뒤 완성본을 보며, 예제 2.3은 설계부터 혼자 한 뒤 산문과 대조한다. ### 예제 2.1 — 상과 원상의 계산 **문제.** $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$에 대해 다음을 구하시오: $f([1, 2])$, $f([-1, 1])$, $f^{-1}([1, 4])$, $f^{-1}(\{-1\})$. **설계 — 계산 전에 정하는 것.** 주어진 것(출발점)과 만들 것(도착점)을 정의 44.1로 번역한다. | | **말** | **수식 번역** | |---|---|---| | 주어진 것 | $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$ | 규칙과 무대. 단사도 전사도 아니다(준비 운동 2번) — 역함수는 쓸 수 없다 | | 만들 것 1, 2 | 상 $f([1,2])$, $f([-1,1])$ | 출발점은 구간의 원소 전부, 도착점은 $\{x^2 : x \in \text{구간}\}$ | | 만들 것 3, 4 | 원상 $f^{-1}([1,4])$, $f^{-1}(\{-1\})$ | 출발점은 조건 $\underline{\quad(?)\quad}$, 도착점은 그 조건의 해집합 | :::{container} quotebox **확인 10.** 번역표의 빈칸을 채워 보자. 원상을 구하는 일은 결국 무엇을 푸는 일인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 조건은 $f(x) \in Y$, 즉 여기서는 $x^2 \in [1, 4]$와 $x^2 \in \{-1\}$이다. 원상을 구하는 일은 **부등식 또는 방정식을 실수 전체에서 푸는 일**이다. 새로운 계산 기술은 없다 — 1부에서 하던 해집합 구하기에 이름이 붙었을 뿐이다. ::: **1단계 — 상 두 개.** 출력을 모으려면 구간 위에서 $x^2$이 어떤 값을 취하는지 본다. :::{container} quotebox **확인 11.** $x$가 $[1, 2]$를 훑을 때 $x^2$의 최솟값과 최댓값은 각각 얼마인가. 그 사이 값이 전부 나오는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $[1, 2]$에서 $x^2$은 증가하므로 최솟값 $1^2 = 1$, 최댓값 $2^2 = 4$다. 그리고 $1 \le c \le 4$인 아무 $c$에 대해 $x = \sqrt{c} \in [1, 2]$가 $f(x) = c$를 만족하므로 사이 값이 전부 나온다(근거 ④ — 음이 아닌 실수의 제곱근은 존재한다, 16주차 §1.2; 여기서 쓰는 것은 $f$의 역함수가 아니라 $[0, \infty)$ 위에서 정의된 별개의 함수다). 따라서 $f([1, 2]) = [1, 4]$이다. 상을 구할 때는 끝값만이 아니라 사이 값이 다 채워지는지까지 확인한다. ::: :::{container} quotebox **확인 12.** $x$가 $[-1, 1]$을 훑을 때는 어떤가. 최솟값이 어디에서 나오는지 주의해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 최솟값은 끝점이 아니라 $x = 0$에서 나온다 — $f(0) = 0$. 최댓값은 양 끝 $f(-1) = f(1) = 1$이다. $0 \le c \le 1$이면 $x = \sqrt{c} \in [0, 1] \subseteq [-1, 1]$이 증인이므로(근거 ④ — 확인 11과 같은 인용이다) 사이 값도 전부 나온다. 따라서 $f([-1, 1]) = [0, 1]$이다. 끝점만 계산해 $[1, 1]$이나 $[-1, 1]$로 적는 경우가 있는데, 상은 구간의 상이 아니라 **출력값의 모임**이므로 내부 점도 후보다. ::: **2단계 — 원상 두 개.** 조건을 풀어 해집합을 구한다. :::{container} quotebox **확인 13.** $1 \le x^2 \le 4$를 절댓값으로 바꾸고, 경우를 나누어 해집합을 구해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $x^2 = |x|^2$이므로 $1 \le x^2 \le 4$는 $1 \le |x| \le 2$와 같은 말이다. $x \ge 0$인 경우 $|x| = x$이므로 $1 \le x \le 2$, $x < 0$인 경우 $|x| = -x$이므로 $1 \le -x \le 2$, 즉 $-2 \le x \le -1$이다. 두 경우를 합치면 $f^{-1}([1, 4]) = [-2, -1] \cup [1, 2]$이다. 음수 가지를 빠뜨리면 절반만 남는다. ::: :::{container} quotebox **확인 14.** $f^{-1}(\{-1\})$은 어떤 조건의 해집합인가. 그 해집합이 비어 있어도 계산이 유효한 이유는 무엇인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 조건은 $x^2 = -1$이고, 실수의 제곱은 음이 아니므로 해가 없다 — $f^{-1}(\{-1\}) = \emptyset$이다. 정의 44.1은 조건을 만족하는 원소를 모으라고만 하고 개수를 요구하지 않으므로(확인 4), 모을 것이 하나도 없으면 결과가 공집합이다. 답을 "없다"나 "정의되지 않는다"로 적으면 안 된다 — $\emptyset$은 멀쩡한 집합이다. ::: **완성본.** 방금 만든 문장들을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 "왜"에 스스로 답해 본다. | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | $f([1,2]) = \{x^2 : 1 \le x \le 2\}$이고, $[1,2]$에서 $x^2$은 $1$부터 $4$까지 값을 빠짐없이 취하므로 $f([1,2]) = [1, 4]$이다. | 상의 정의(근거 ①)로 기호를 풀고, 최솟값$\cdot$최댓값과 사이 값(증인 $\sqrt{c}$, 근거 ④)을 확인해 조립한다 | | $f([-1,1]) = \{x^2 : -1 \le x \le 1\}$이고, 최솟값은 $x = 0$에서 $0$, 최댓값은 $x = \pm1$에서 $1$이므로 $f([-1,1]) = [0, 1]$이다. | 같은 절차. 최솟값이 끝점이 아니라 내부에서 나온다는 점만 다르다 | | $f^{-1}([1,4]) = \{x \in \mathbb{R} : 1 \le x^2 \le 4\}$이고, 이는 $1 \le \lvert x \rvert \le 2$와 같으므로 $f^{-1}([1,4]) = [-2,-1] \cup [1,2]$이다. | 원상의 정의(근거 ①)로 기호를 조건으로 풀고, 절댓값과 경우 나누기(17주차)로 해집합을 구한다 | | $f^{-1}(\{-1\}) = \{x \in \mathbb{R} : x^2 = -1\} = \emptyset$이다. | 같은 절차. 해가 없으면 결과는 공집합이며, 이것으로 계산이 끝난다 | **대입 검산.** $-1.5 \in f^{-1}([1,4])$인지 확인해 보면 $(-1.5)^2 = 2.25 \in [1, 4]$ ✓. $-0.5$는 $(-0.5)^2 = 0.25 \notin [1,4]$이므로 탈락 ✓ — 실제로 $-0.5 \notin [-2,-1] \cup [1,2]$다. 계산한 집합의 안팎에서 한 점씩 골라 조건에 넣어 보는 것이 원상 계산의 검산이다. ### 예제 2.2 — (P2): 반쪽 포함과 등호 반례 **명제.** $f(X_1 \cap X_2) \subseteq f(X_1) \cap f(X_2)$이며, 등호는 일반적으로 성립하지 않는다. 이번에는 설계만 함께 한다. 할 일이 두 개(포함 증명과 반례)이므로 번역표도 두 줄이다. | | **말** | **수식 번역** | |---|---|---| | 목표 1 | 왼쪽이 오른쪽에 포함됨 | 결론이 $\subseteq$이므로 첫 문장은 $\underline{\quad(1)\quad}$ | | 목표 2 | 등호가 일반적으로는 거짓 | 반례 한 벌 — 후보 제시, 양변 계산, 다름 확인의 세 줄 | | 쓸 도구 | 상의 원소 번역 | $y \in f(X_1 \cap X_2)$를 $\underline{\quad(2)\quad}$로 푼다 | :::{container} quotebox **확인 15.** 번역표의 빈칸 (1)(2)를 채워 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) "$y \in f(X_1 \cap X_2)$라 하자" — 27주차 $\subseteq$ 증명의 표준 오프닝이다. 왼쪽 집합의 원소를 아무거나 하나 잡는다. (2) "$f(x) = y$인 $x \in X_1 \cap X_2$가 **존재한다**" — 증인 $x$를 확보한다. 증인을 잡았으면 그 $x$에 이름을 고정해 두고 끝까지 같은 $x$를 쓴다. ::: :::{container} quotebox **확인 16.** 확보한 증인 $x$는 $X_1 \cap X_2$의 원소다. 여기서 오른쪽 집합의 두 조각을 각각 얻으려면 무엇을 쓰는가. 그리고 이 방향이 문제없이 끝나는 이유는 무엇인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 교집합의 정의(5주차)로 $x \in X_1$이고 $x \in X_2$를 얻는다. 그러면 같은 $x$가 $y \in f(X_1)$의 증인이자 $y \in f(X_2)$의 증인이 된다. 이 방향이 문제없는 이유는 증인이 **하나뿐**이기 때문이다 — 하나의 원소가 양쪽 소속을 동시에 증명한다. 반대 방향에서는 증인을 두 개 얻게 되고, 그 둘이 같다는 보장이 없다. ::: **완성본.** | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | $y \in f(X_1 \cap X_2)$라 하자. | 결론이 $\subseteq$이므로 왼쪽 집합의 임의의 원소를 잡는다(27주차 서식) | | 상의 원소 번역에 의해 $f(x) = y$인 $x \in X_1 \cap X_2$가 존재한다. 그런 $x$를 하나 잡자. | 근거 ① 정의 44.1. $\exists$를 만나면 증인을 잡아 이름을 고정한다(26주차) | | 교집합의 정의에 의해 $x \in X_1$이고 $x \in X_2$이다. | 근거 ① 교집합의 정의(5주차). 확보한 정보를 두 조각으로 나눈다 | | $x \in X_1$이고 $f(x) = y$이므로 $y \in f(X_1)$이다. 마찬가지로 $x \in X_2$이고 $f(x) = y$이므로 $y \in f(X_2)$이다. | 상의 원소 번역을 반대 방향으로 쓴다. **같은 증인 하나**가 양쪽을 동시에 책임진다 | | 따라서 $y \in f(X_1) \cap f(X_2)$이고, $f(X_1 \cap X_2) \subseteq f(X_1) \cap f(X_2)$이다. $\blacksquare$ | 교집합의 정의로 합치고 포함을 선언한다 | **등호 반례.** 확인 7에서 이미 계산한 것이 그대로 반례가 된다. $f(x) = x^2$, $X_1 = \{1\}$, $X_2 = \{-1\}$이라 하자. 좌변은 $X_1 \cap X_2 = \emptyset$이고, 확인 7에서 본 대로 $f(\emptyset) = \emptyset$이다. 우변은 $f(X_1) \cap f(X_2) = \{1\} \cap \{1\} = \{1\}$이다. $\emptyset \neq \{1\}$이므로 등호는 성립하지 않는다 ✗. **해부.** 우변의 $1$은 왼쪽 항에서는 증인 $1$로, 오른쪽 항에서는 증인 $-1$로 들어갔다. 서로 다른 두 증인이 우연히 같은 값을 낸 것이다. 역방향 증명을 시도하면 "$f(x_1) = y = f(x_2)$인 $x_1 \in X_1$, $x_2 \in X_2$를 얻었다"까지는 가지만 $x_1 = x_2$를 말할 근거가 없어 거기서 멈춘다. $f$가 단사이면 바로 그 근거가 생겨 증인이 강제로 일치하고 등호가 산다 — 문제 12가 그 증명이다. ### 예제 2.3 — (P4): 원상은 ∩도 보존한다 **명제.** $f^{-1}(Y_1 \cap Y_2) = f^{-1}(Y_1) \cap f^{-1}(Y_2)$. 이번에는 설계부터 혼자 한다. 아래 확인에 스스로 답한 뒤 풀이와 대조한다. :::{container} quotebox **확인 17.** 두 가지를 먼저 정해 보자. ① 결론이 집합 상등이므로 쓸 수 있는 서식이 두 가지 있다(27주차) — 무엇과 무엇인가. ② 이 명제에서는 둘 중 어느 쪽이 유리한가. §1.4의 두 번역 중 어느 것을 쓰게 되는지 보고 판단해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown ① 양방향 포함($\subseteq$와 $\supseteq$를 각각 증명)과 동치 사슬(한 줄로 왕복)이다. ② 동치 사슬이 유리하다. 이 명제에 등장하는 기호는 원상뿐이고, 원상의 원소 번역 "$x \in f^{-1}(Y) \iff f(x) \in Y$"는 $\exists$가 없는 **동치**이므로 왕복이 보장된다. 예제 2.2를 이렇게 한 줄 사슬로 못 쓴 이유는 상의 번역이 동치가 아니어서가 아니라(번역 자체는 $\iff$다), $\exists$가 $\cap$("그리고")을 통과하지 못하기 때문이다 — "$X_1 \cap X_2$에 증인이 있다"는 "$X_1$에 증인이 있고 $X_2$에 증인이 있다"와 같은 말이 아니다. ::: **풀이.** 임의의 $x \in A$에 대해 다음이 성립한다. $$ x \in f^{-1}(Y_1 \cap Y_2) \iff f(x) \in Y_1 \cap Y_2 \iff f(x) \in Y_1 \ \text{그리고}\ f(x) \in Y_2 $$ $$ \iff x \in f^{-1}(Y_1) \ \text{그리고}\ x \in f^{-1}(Y_2) \iff x \in f^{-1}(Y_1) \cap f^{-1}(Y_2) $$ 첫째 동치는 원상의 원소 번역(정의 44.1), 둘째는 교집합의 정의(5주차), 셋째는 원상의 원소 번역을 각 조각에 반대 방향으로 적용한 것, 넷째는 다시 교집합의 정의다. 모든 단계가 동치이므로 두 집합은 서로를 포함하고, 따라서 상등이다. $\blacksquare$ 같은 사슬에서 "그리고"를 "또는"으로, $\cap$을 $\cup$으로 바꾸면 (P3)의 증명이 된다 — 훈련 2에서 그 사슬의 빈칸을 채운다. 상과 원상의 비대칭은 결국 $\exists$의 유무 하나였다. ### 관찰 — 세 예제의 같은 뼈대 소재는 계산$\cdot$포함 증명$\cdot$상등 증명으로 다르지만 걸음은 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자. | **단계** | **예제 2.1** | **예제 2.2** | **예제 2.3** | |---|---|---|---| | ① 기호를 원소 번역으로 푼다 | $f(X) = \{x^2 : x \in X\}$, $f^{-1}(Y) = \{x : x^2 \in Y\}$ | $y \in f(X_1 \cap X_2)$를 증인 존재로 | $\underline{\quad(1)\quad}$ | | ② 얻은 조건을 다룬다 | 최댓값$\cdot$최솟값 확인, 부등식 풀이 | $\underline{\quad(2)\quad}$ | "그리고"를 두 조각으로 분리 | | ③ 도착점 쪽 정의로 되감아 선언한다 | 구간$\cdot$공집합으로 조립 | $y \in f(X_1) \cap f(X_2)$ 선언 | $\underline{\quad(3)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 18.** 대응표의 (1)(2)(3)을 채워 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $x \in f^{-1}(Y_1 \cap Y_2)$를 $f(x) \in Y_1 \cap Y_2$로 (원상의 원소 번역). (2) 증인 $x$를 잡고 교집합의 정의로 $x \in X_1$, $x \in X_2$를 얻는다. (3) 원상의 원소 번역과 교집합의 정의로 되감아 $x \in f^{-1}(Y_1) \cap f^{-1}(Y_2)$를 얻고, 모든 단계가 동치이므로 상등을 선언한다. ::: 방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **상$\cdot$원상 문제의 3단계** ① 기호를 §1.4의 원소 번역으로 푼다 $\to$ ② 얻은 조건을 다룬다(상 쪽이면 증인을 잡고, 원상 쪽이면 조건을 논리 연산으로 정리한다) $\to$ ③ 도착점 쪽 기호의 원소 번역으로 되감아 결론을 선언한다. 상 쪽이 끼면 $\exists$가 "그리고"를 통과하지 못하므로 사슬 대신 양방향 포함으로 쓰고, 원상만 나오면 동치 사슬로 한 번에 쓴다. ::: ## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며 모의시험 전의 마지막 다리다. 훈련 1은 계산, 훈련 2는 동치 사슬 증명, 훈련 3은 포함 증명 — 시험에 나오는 세 종류의 일을 하나씩 예행한다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 §6 해설에 있다. ### 훈련 1 ●○○ — 수식 빈칸 **과제.** $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $h(x) = 2x + 1$이라 하자. $$ h([0, 3]) = \{2x + 1 : 0 \le x \le 3\} = [\underline{\quad(1)\quad},\ \underline{\quad(2)\quad}] $$ $$ h^{-1}(\{7\}) = \{x \in \mathbb{R} : 2x + 1 = 7\} = \{\underline{\quad(3)\quad}\} $$ $$ h^{-1}([1, 9]) = \{x \in \mathbb{R} : 1 \le 2x + 1 \le 9\} = [\underline{\quad(4)\quad},\ \underline{\quad(5)\quad}] $$ $$ h^{-1}(\emptyset) = \underline{\quad(6)\quad} $$ $h$는 전단사이므로 $h^{-1}(\{7\})$의 원소 개수는 $\underline{\quad(7)\quad}$개다. ### 훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께 이번에는 근거 문장도 빈칸이다. **명제.** (P3) $f^{-1}(Y_1 \cup Y_2) = f^{-1}(Y_1) \cup f^{-1}(Y_2)$. **증명.** 임의의 $x \in A$에 대해: $x \in f^{-1}(Y_1 \cup Y_2) \iff \underline{\quad(1)\quad}$ — 근거: $\underline{\quad(2)\quad}$ $\iff f(x) \in Y_1$ 또는 $f(x) \in Y_2$ — 근거: $\underline{\quad(3)\quad}$ $\iff x \in \underline{\quad(4)\quad}$ 또는 $x \in \underline{\quad(5)\quad}$ — 근거: 원상의 원소 번역(반대 방향) $\iff x \in f^{-1}(Y_1) \cup f^{-1}(Y_2)$ — 근거: $\underline{\quad(6)\quad}$ 모든 단계가 $\underline{\quad(7)\quad}$이므로 두 집합은 상등이다. $\blacksquare$ ### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고 **명제.** $X_1 \subseteq X_2 \subseteq A$이면 $f(X_1) \subseteq f(X_2)$이다. (상의 단조성 — 문제 10의 부품) 지지대는 뼈대 세 칸뿐이다. 각 칸을 문장으로 통째로 채운다. - ① 결론이 $\subseteq$이므로 첫 문장: $\underline{\quad(1)\quad}$ - ② 상의 원소 번역으로 확보되는 것과, 가정 $X_1 \subseteq X_2$를 쓰는 자리: $\underline{\quad(2)\quad}$ - ③ 되감아 결론을 선언하는 문장: $\underline{\quad(3)\quad}$ ## 연습문제 (20문항) 이 20문항은 9부(40~44주차) **총정리 모의시험**을 겸한다. 규칙은 세 줄이다. - 교재와 노트를 덮고 150분 안에 푼다. 시험 중에는 힌트 상자를 열지 않는다. - 다 푼 뒤 §6 해설로 채점한다. 문제 1(정의)에서 하나라도 틀리면 해당 주차의 정의 상자부터 재복습한 뒤 넘어간다. - 채점 후 틀린 문제는 힌트 상자와 해설의 '접근'까지만 읽고 한 번 더 시도한다 — 그래도 안 되면 풀이를 읽는다. :::{admonition} 이번 주의 채점 기준 :class: quotebox 답이 아니라 **근거**가 점수다. 판정 문제는 판정과 이유가 모두 맞아야 정답으로 친다. 증명 문제는 결론이 아니라 각 줄의 근거(정의$\cdot$이미 증명한 명제)를 채점하고, 반례 문제는 후보 제시$\cdot$양변 계산$\cdot$다름 확인의 세 줄이 다 있어야 완결로 친다. 역함수를 다루는 문제(5, 15)에서는 자격(전단사 확인)과 검증(항등식 두 개)이 빠지면 계산이 맞아도 미완이다. 총정리 범위는 40~44주차 전부다. 문항이 어느 주차의 도구를 쓰는지는 이렇다 — 문제 1~3은 40주차, 문제 1$\cdot$4$\cdot$16$\cdot$18은 41주차, 문제 7~9는 42주차, 문제 5$\cdot$15$\cdot$19는 43주차, 문제 1$\cdot$6$\cdot$10~14$\cdot$17$\cdot$18(b)는 이번 주, 문제 20은 종합이다. ::: ### 기본 ●○○ **1.** [정의 백지 테스트] 함수($\exists!$ 조건) / 단사 / 전사 / 상 $f(X)$ / 원상 $f^{-1}(Y)$를 정의하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 정의는 유도가 아니라 암기의 확인이다. 다섯 개 각각에 빠지면 정의가 무너지는 조각이 하나씩 있다 — 자기 채점할 때 그 조각의 유무부터 본다. 원상의 정의에 "역함수"라는 낱말이 들어갔다면 그 자리가 무너진 자리다. ::: **2.** $A = \{1,2,3\}$, $B = \{a,b\}$: 관계 $\{(1,a),(2,b)\}$, $\{(1,a),(1,b),(2,a),(3,b)\}$, $\{(1,b),(2,b),(3,a)\}$ 중 함수를 골라내고, 탈락자의 위반 조건을 지적하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 정의역 $A$의 원소 $1, 2, 3$을 하나씩 심문한다. 각 입력에 대응하는 순서쌍이 **정확히 하나**인지 세면 된다 — 없으면 전체성 위반, 둘 이상이면 유일성 위반이다. 출력이 겹치는 것은 함수 조건과 무관하다. ::: **3.** $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $f(n) = 4n - 3$의 치역을 조건제시법으로 쓰고 양방향 포함으로 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 치역은 정의 44.1의 $f(\mathbb{Z})$다. 후보 집합을 $\{4k - 3 : k \in \mathbb{Z}\}$로 세우고 27주차 양방향 포함을 쓴다. ($\supseteq$) 방향이 증인 제작이다 — 만든 증인이 정의역에 속하는지(근거 ②)까지 확인해야 완결이다. ::: **4.** $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 5 - 2x$가 전단사임을 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 41주차 서식 4종 중 단사 증명과 전사 증명을 각각 쓴다. 두 조건은 서로 독립이므로 한쪽만으로는 전단사가 되지 않는다. 전사 증명의 증인은 $y = 5 - 2x$를 $x$에 대해 푼 식이고, 그 식이 문제 5의 답으로 그대로 이어진다. ::: **5.** 문제 4의 $f$의 역함수를 구하고 두 항등식으로 검증하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 순서는 자격 $\to$ 계산 $\to$ 검증이다. 자격은 문제 4에서 이미 확보했다(43주차 핵심 정리). 검증은 $f^{-1} \circ f = \mathrm{id}$와 $f \circ f^{-1} = \mathrm{id}$ 두 개를 각각 계산해 보이는 것이고, 한쪽만으로는 미완이다. ::: **6.** $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = x^2$에 대해 계산하시오: (a) $g([0, 3])$ (b) $g(\{-2, 2\})$ (c) $g^{-1}(\{9\})$ (d) $g^{-1}([0, 1])$ (e) $g^{-1}(\{-4\})$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (a)(b)는 상 — 출력을 모으고, 집합이 중복을 흡수한다는 점을 잊지 않는다. (c)(d)(e)는 원상 — 조건 $g(x) \in Y$를 실수 전체에서 푼다. 예제 2.1의 확인 13처럼 음수 가지를 반드시 확인하고, 해가 없으면 답은 $\emptyset$이다. ::: ### 표준 ●●○ **7.** $f(x) = 3x + 2$, $g(x) = x^2 - 1$ ($\mathbb{R} \to \mathbb{R}$)일 때 $g \circ f$와 $f \circ g$를 구하고 다름을 입력 하나로 보이시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 42주차 정의 42.1은 괄호 안쪽, 곧 오른쪽 함수부터 실행하라고 한다. 두 합성을 각각 전개한 뒤 "식이 달라 보인다"로 끝내지 말고, 40주차 함수 상등의 셋째 기준을 부정할 입력 하나를 제시한다. ::: **8.** 단사 보존 정리($f, g$ 단사 $\Rightarrow$ $g \circ f$ 단사)를 백지 재현하시오. **9.** "$g \circ f$가 전사이지만 $f$는 전사가 아닌" 반례를 구성하고 검증하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 42주차 역추적 정리는 "$g \circ f$ 전사 $\Rightarrow$ $g$ 전사"만 준다. 돌아오지 않는 나머지 절반을 반례로 확인하는 문항이다. 반례의 완결 조건은 두 검증이다 — 가정 부분이 참임과 결론 부분이 거짓임을 각각 확인한다. 원소가 한두 개인 유한집합으로 조립하는 것이 가장 짧다. ::: :::{admonition} 궁합 정리 증명의 두 서식 — 문제 10~14에서 쓴다 :class: quotebox 상이 등장하는 명제(10~13의 좌변)는 원소 번역에 $\exists$가 끼어 각 방향마다 증인을 새로 지목해야 하므로 **양방향 포함**으로 쓰는 것이 안전하다. 각 방향에서 증인을 잡고, 잡은 증인이 어느 집합에 속하는지 추적한다. 원상만 등장하는 명제(훈련 2, 예제 2.3)는 $\exists$가 없으므로 **동치 사슬**로 한 번에 쓸 수 있다. 어느 서식을 쓸지는 §1.4의 두 번역 중 어느 것을 쓰게 되는지가 정한다 — 이것이 §2 관찰의 3단계 중 ①의 실제 쓰임이다. ::: **10.** (P1) $f(X_1 \cup X_2) = f(X_1) \cup f(X_2)$를 증명하시오. (양방향 — 상의 번역($\exists$)과 "또는"의 케이스) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown ($\subseteq$) 증인 $x \in X_1 \cup X_2$를 잡으면 "또는"이 나오므로 17주차 경우 나누기로 두 갈래를 각각 처리한다. ($\supseteq$)도 "또는"에서 시작하는 경우 나누기이고, 각 경우에서 $X_i \subseteq X_1 \cup X_2$를 써서 증인을 큰 집합으로 옮긴다 (훈련 3의 단조성과 같은 동작이다). ::: **11.** 예제 2.2((P2) 포함 증명 + 등호 반례)를 백지 재현하시오. **12.** $f$가 **단사**이면 (P2)의 등호 $f(X_1 \cap X_2) = f(X_1) \cap f(X_2)$가 성립함을 증명하시오. (힌트: $y \in$ 우변 $\to$ $X_1$의 증인 $x_1$, $X_2$의 증인 $x_2$ — 단사성이 $x_1 = x_2$를 강제) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown ($\subseteq$)는 단사 가정 없이 성립하므로 예제 2.2의 증명을 그대로 쓴다(근거 ④). 새로 할 일은 ($\supseteq$)뿐이다. 증인이 두 개 나오는 자리가 예제 2.2의 해부에서 지목한 바로 그 지점이고, 단사의 정의가 그 두 증인을 같게 만든다. ::: **13.** (P5) $X \subseteq f^{-1}(f(X))$를 증명하고, $f(x) = x^2$, $X = \{1\}$로 등호가 깨지는 반례를 완성하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 증명은 세 줄이면 끝난다 — $x \in X$를 잡고, $x$ 자신이 $f(x) \in f(X)$의 증인임을 확인하고, 원상의 정의로 되감는다. 반례는 확인 8에서 이미 계산했다. 등호가 깨진 이유를 "$X$ 밖의 원소가 같은 출력을 갖는다"로 지목하는 줄까지가 완결이다. ::: **14.** (P6) $f(f^{-1}(Y)) \subseteq Y$를 증명하고, $f(x) = x^2$, $Y = \{-1\}$… 또는 $Y = [-1, 0)$으로 등호 반례를 제시하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 좌변에 상과 원상이 겹쳐 있으므로 번역을 두 번 한다 — 먼저 상의 번역으로 증인 $x \in f^{-1}(Y)$를 잡고, 그다음 원상의 번역으로 $f(x) \in Y$를 얻는다. 반례에서는 $Y$에 치역 밖 원소를 넣는다. 등호가 깨진 이유는 전사가 아니라는 것이다. ::: ### 도전 ●●● :::{admonition} $\mathbb{Z}_n$ 위의 함수 — 문제 15에서 먼저 통과시킬 검문 :class: quotebox $\mathbb{Z}_n$의 원소는 대표원이 여럿인 방(합동류)이므로, 대표원으로 적은 규칙에는 **잘 정의됨** 검문이 먼저 붙는다(38주차, 40주차 §1.7). 검문의 형식은 정해져 있다 — "$[a] = [a']$이라 하자"로 시작해 "$\varphi([a]) = \varphi([a'])$"로 끝나는 한 문단이다. 이 검문을 통과하기 전에는 단사$\cdot$전사 판정을 시작할 수 없다. ::: **15.** $\varphi : \mathbb{Z}_6 \to \mathbb{Z}_6$, $\varphi([a]) = [5a]$: 잘 정의됨을 확인하고, 전단사인지 값 전수로 판정한 뒤, 전단사라면 역함수를 구하시오. (힌트: $[5] = [-1]$) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 잘 정의됨은 20주차 문제 9(b)를 근거 ④로 인용하면 두 줄이다. 판정은 방이 여섯 개뿐이므로 값을 전부 계산해 목록을 만드는 것이 가장 확실하다 — 중복이 없으면 단사, 여섯 방이 다 나오면 전사다. 역함수는 값 목록의 대칭을 관찰한 뒤 43주차 특징짓기 정리로 확정한다. ::: **16.** 41주차 문제 16의 지그재그 함수 $f : \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$가 전단사임을 백지 재현하시오 (케이스 단사 + 케이스 증인 전사). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 규칙이 홀짝으로 갈리므로 단사 증명도 경우로 나뉜다. 다만 경우를 나누기 전에 "출력의 부호가 입력의 홀짝을 결정한다"를 먼저 확인해야 짝수-홀수 교차 경우가 배제된다. 전사는 $\mathbb{Z}$를 $k \ge 1$과 $k \le 0$으로 나누어 각각 증인을 제작하고, 만든 증인이 자연수인지 확인한다. ::: **17.** $f : A \to B$에 대해 다음이 동치임을 증명하시오: (i) $f$는 단사 (ii) 모든 $b \in B$에 대해 $f^{-1}(\{b\})$는 많아야 한 원소. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 동치 증명이므로 (i) $\Rightarrow$ (ii)와 (ii) $\Rightarrow$ (i)를 각각 쓴다. "많아야 한 원소"는 "원소가 두 개 있다고 하면 사실은 같다"로 번역해 다룬다 (26주차 $\exists!$의 유일성 부분과 같은 어법이다). 양쪽 모두에서 다리 역할을 하는 등식은 $f(a) = b = f(a')$ 하나뿐이다. ::: **18.** (진단) 다음 두 답안의 결함을 각각 지적하시오. (a) "$f(x) = 3x - 2$가 단사임을 보인다: $a = a'$이면 $3a - 2 = 3a' - 2$이므로 단사이다." (b) "$f(x) = x^2$에서 $f^{-1}([1,4]) = [1,2]$이다 — $f^{-1}(y) = \sqrt y$이므로." :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (a)는 답안의 첫 문장과 마지막 문장을 정의 41.1의 조건문과 나란히 놓는다 — 41주차 문제 18에서 같은 꼴을 다뤘다. (b)는 결함이 **두 개**다. 하나는 인용한 대상의 존재 여부, 다른 하나는 기호를 읽는 방식이다. §1.3의 조각 삭제 실험 2가 그 자리다. ::: **19.** 신발–양말 정리 또는 역함수 유일성 중 **하나**를 골라 백지 재현하시오 (결합법칙 사용 지점 표시). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 신발–양말은 후보 $f^{-1} \circ g^{-1}$을 세워 항등식 두 개를 확인한 뒤 43주차 특징짓기 정리와 유일성을 근거 ④로 인용해 확정한다. 유일성 재현은 그 유일성 자체가 증명 대상이므로 근거로 쓸 수 없고, 항등함수의 성질과 가정, 그리고 결합법칙(42주차 문제 7)만으로 $g_1$에서 $g_2$까지 등식 사슬을 만든다. 결합법칙을 쓴 등호에 표시를 남기는 것까지가 요구 사항이다. ::: **20.** (서술) 9부 지도를 그리시오: 함수의 정의($\exists!$) $\to$ 단사$\cdot$전사(원상 개수의 언어) $\to$ 합성(보존$\cdot$역추적) $\to$ 역함수(전단사 $\Longleftrightarrow$ 역관계가 함수) $\to$ 상$\cdot$원상($\exists$의 유무가 가른 궁합) — 각 화살표에 핵심 정리 하나씩 (다섯 문장 이내). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 화살표가 넷이고 마디가 다섯이므로 문장도 다섯이면 충분하다. 각 문장에는 정리 이름 하나와 그 정리가 무엇을 무엇으로 바꿔 놓았는지가 들어가야 한다. 문제 17이 둘째 마디의 정확한 진술이고, 43주차 핵심 정리가 넷째 마디다. ::: ## 백지 재현 — 복습 프로토콜 권장 일정 — 1~2일차: §0~§3 학습 / 3일차: 1차 재현 / 4일차: 모의시험(§4) 150분과 채점 / 5일차: 완전 백지 재현과 오답 재시도. 재현은 두 번으로 나눈다 — 한 번에 완전 백지로 가지 않는다. **1차 시도 (3일차) — 틀 카드 허용.** 정의 44.1, 궁합 정리, '상$\cdot$원상 문제의 3단계' 세 상자만 펴 놓고 예제 2.2와 예제 2.3을 처음부터 끝까지 적는다. 본문은 보지 않는다. **2차 시도 (5일차) — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다. - [ ] 정의 44.1을 조건제시법으로 쓰고, $f^{-1}(Y)$를 읽는 법과 "역함수와 무관"을 반례와 함께 설명했다. - [ ] (P1)~(P6)을 쓰고, 등호인 것 셋과 반쪽인 것 셋을 구분했다. - [ ] 예제 2.2의 포함 증명과 등호 반례를 백지에서 재현했다. - [ ] 예제 2.3의 동치 사슬을 근거까지 붙여 재현했다. - [ ] 상$\cdot$원상 비대칭의 근원($\exists$의 유무)을 한 문장으로 설명했다. - [ ] 모의시험에서 틀린 문제를 전부 다시 풀어 통과했다. **막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다. | **막힌 지점** | **처방** | |---|---| | $f(X)$와 $f^{-1}(Y)$ 중 어디에 무엇을 넣는지 헷갈린다 | §1.3 해부 표 첫 행 — 상은 정의역 쪽을 받아 공역 쪽을 내놓고, 원상은 그 반대다 | | 원상 계산에서 음수 가지를 빠뜨린다 | 예제 2.1 확인 13과 문제 18(b) — 조건을 절댓값으로 옮기고 17주차 경우 나누기로 푼다 | | 증명의 첫 문장이 나오지 않는다 | §2 관찰의 3단계와 훈련 3 — 결론이 $\subseteq$면 원소를 하나 잡고, $=$면 서식 두 가지 중 하나를 고른다 | | 상 쪽 증명에서 증인을 잡지 않고 넘어간다 | §1.4 원소 번역 — 상의 번역에는 $\exists$가 붙는다. 26주차 증인 잡기를 재복습한다 | | (P1)~(P6) 중 어디에 등호가 붙는지 기억나지 않는다 | 확인 7과 확인 8의 실험을 다시 손으로 수행한다 — 반례가 곧 기억 장치다 | | 역함수 문제(5, 15)에서 검증을 빠뜨린다 | 문제 5 해설의 세 단계(자격 $\to$ 계산 $\to$ 검증)를 순서대로 재필사한다 | 하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다. ## 해설 각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 1 (1) $1$ (2) $7$ — $x$가 $0$에서 $3$까지 갈 때 $2x+1$은 $1$에서 $7$까지 증가하고, 일차식이므로 사이 값도 전부 나온다. (3) $3$ — $2x + 1 = 7$에서 $2x = 6$, $x = 3$. (4) $0$ (5) $4$ — $1 \le 2x+1 \le 9$의 각 변에서 1을 빼면 $0 \le 2x \le 8$, 2로 나누면 $0 \le x \le 4$. (6) $\emptyset$ — 조건 "$h(x) \in \emptyset$"을 만족하는 $x$는 없다. (7) $1$ — $h$가 전단사이면 모든 원상 $h^{-1}(\{b\})$의 원소가 정확히 하나다(문제 17과 41주차 문제 19). ※ (1)(2)와 (4)(5)를 비교한다. 상은 정의역 쪽 구간에 규칙을 **적용**해 얻고, 원상은 공역 쪽 구간을 조건으로 놓고 **푼다**. 계산의 방향이 반대다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 2 (1) $f(x) \in Y_1 \cup Y_2$ (2) 원상의 원소 번역 (근거 ①, 정의 44.1) (3) 합집합의 정의 (근거 ①, 5주차) (4) $f^{-1}(Y_1)$ (5) $f^{-1}(Y_2)$ (6) 합집합의 정의 (근거 ①, 5주차) (7) 동치 ※ 예제 2.3과 비교하면 바뀐 것은 $\cap$이 $\cup$으로, "그리고"가 "또는"으로 바뀐 것뿐이다. 원상에는 $\exists$가 없으므로 두 연산 모두에서 사슬이 끝까지 왕복한다 — (P3)과 (P4)가 나란히 등호인 이유가 이 한 줄이다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 3 (1) "$y \in f(X_1)$이라 하자." (2) "상의 원소 번역에 의해 $f(x) = y$인 $x \in X_1$이 존재한다. 그런 $x$를 하나 잡자. 가정 $X_1 \subseteq X_2$에 의해 $x \in X_2$이다." — 가정을 쓰는 자리는 증인을 잡은 **직후**다. 증인을 잡기 전에는 옮길 대상이 없다. (3) "$x \in X_2$이고 $f(x) = y$이므로 상의 원소 번역에 의해 $y \in f(X_2)$이다. 따라서 $f(X_1) \subseteq f(X_2)$이다. $\blacksquare$" ※ 증인 하나를 잡아 더 큰 집합으로 옮기는 이 동작이 문제 10의 ($\supseteq$) 방향에서 그대로 쓰인다. 상이 등장하는 증명의 최소 단위라고 볼 수 있다. ### 문제 1 **접근.** 정의는 유도하는 것이 아니라 암기를 확인하는 것이다. 다섯 개 각각에 빠지면 정의가 무너지는 조각이 하나씩 있으므로, 그 조각의 유무로 자기 채점한다. **풀이.** (함수) $f$가 $A$에서 $B$로의 함수라는 것은 $f \subseteq A \times B$이고 모든 $a \in A$에 대해 $(a, b) \in f$인 $b \in B$가 **정확히 하나** 존재한다는 뜻이다(40주차 정의 40.1). "정확히 하나"를 "적어도 하나"로 적으면 유일성이 사라져 한 입력에 두 출력이 허용된다. (단사) 모든 $a, a' \in A$에 대해 $f(a) = f(a')$이면 $a = a'$이다(41주차 정의 41.1). 화살표를 뒤집어 적으면 모든 함수가 만족하는 문장이 된다(문제 18(a)). (전사) 모든 $b \in B$에 대해 $f(a) = b$인 $a \in A$가 존재한다(41주차 정의 41.2). "$b \in B$"를 "$b \in f(A)$"로 바꾸면 자동으로 참이 되어 내용이 없어진다. (상) $X \subseteq A$에 대해 $f(X) = \{f(x) : x \in X\}$. 조각 "$x \in X$"가 빠지면 어떤 $X$를 넣어도 치역 하나로 고정된다(§1.3 삭제 실험 1). (원상) $Y \subseteq B$에 대해 $f^{-1}(Y) = \{x \in A : f(x) \in Y\}$. "역함수"라는 낱말이 들어가면 정의가 무너진다 — 이 집합은 $f$가 전단사가 아니어도 정의된다. **복기.** 다섯 정의가 9부의 뼈대 전부다. 하나라도 형식이 무너졌으면 답을 베끼지 말고 해당 주차(40$\cdot$41$\cdot$44주차)의 해부 표로 돌아가 조각의 이유와 함께 재암기한다. ### 문제 2 **접근.** 판정 기준은 정의 40.1의 두 조각뿐이다. 정의역 $A = \{1,2,3\}$의 원소를 하나씩 심문하며 대응하는 순서쌍의 개수를 센다 — 0개면 전체성 위반, 2개 이상이면 유일성 위반이다. 출력이 겹치는지는 이 판정과 무관하다. **풀이.** 첫째 $\{(1,a),(2,b)\}$: 입력 $1$에 하나, $2$에 하나, $3$에는 **없다**. 전체성 위반이므로 함수가 아니다. 둘째 $\{(1,a),(1,b),(2,a),(3,b)\}$: 입력 $1$에 $(1,a)$와 $(1,b)$ **두 개**가 있다. 유일성 위반이므로 함수가 아니다(전체성 자체는 만족한다). 셋째 $\{(1,b),(2,b),(3,a)\}$: 입력 $1$에 하나, $2$에 하나, $3$에 하나 — 세 입력 모두 정확히 하나이므로 **함수다**. **검산.** 셋째에서 출력 $b$가 두 번 나오지만 이는 단사가 아니라는 뜻일 뿐 함수 조건과는 무관하다. 실제로 $|A| = 3 > 2 = |B|$이므로 이 무대에서는 단사인 함수가 아예 없다(41주차 비둘기집). ### 문제 3 **접근.** 치역은 정의 44.1의 $f(\mathbb{Z})$다. 후보 집합을 세운 뒤 27주차 양방향 포함으로 상등을 증명한다. ($\subseteq$)는 출력이 그 꼴임을 확인하는 방향이고, ($\supseteq$)는 증인을 제작하는 방향이다. **풀이.** 치역을 $S = \{4k - 3 : k \in \mathbb{Z}\}$라 주장한다. ($\subseteq$) $y \in f(\mathbb{Z})$라 하자. 상의 원소 번역에 의해 $y = f(n) = 4n - 3$인 $n \in \mathbb{Z}$가 존재한다. $k = n$으로 두면 $k \in \mathbb{Z}$이고 $y = 4k - 3$이므로 $y \in S$이다. ($\supseteq$) $y \in S$라 하자. $y = 4k - 3$인 $k \in \mathbb{Z}$가 존재한다. 증인으로 $n = k$를 제작한다. $n = k \in \mathbb{Z}$이므로 정의역에 속하고(근거 ②), $f(n) = 4k - 3 = y$이므로 대입 검증도 통과한다. 따라서 $y \in f(\mathbb{Z})$이다. 양방향이 성립하므로 $f(\mathbb{Z}) = \{4k - 3 : k \in \mathbb{Z}\}$이다. $\blacksquare$ **검산.** $k = 0$이면 $-3 = f(0)$ ✓, $k = 1$이면 $1 = f(1)$ ✓. 한편 $2 \notin S$이다 — $4k - 3 = 2$이면 $4k = 5$이고 $k = \frac54$는 정수가 아니다. 치역이 $\mathbb{Z}$ 전체가 아니므로 $f$는 전사가 아니다. ### 문제 4 **접근.** 단사와 전사는 서로 독립인 두 조건이므로 41주차 서식대로 각각 증명한다. 단사는 등식 계산, 전사는 증인 제작이고, 전사의 증인은 $y = 5 - 2x$를 $x$에 대해 푼 식에서 나온다. **풀이.** (단사) $a, a' \in \mathbb{R}$이고 $f(a) = f(a')$이라 하자. 즉 $5 - 2a = 5 - 2a'$이다. 양변에서 $5$를 빼면 $-2a = -2a'$이고, 양변을 $-2$로 나누면 $a = a'$이다(근거 ③). 따라서 $f$는 단사다. (전사) $y \in \mathbb{R}$라 하자. $x = \dfrac{5 - y}{2}$로 두자. 실수의 뺄셈과 나눗셈 결과는 실수이므로 $x \in \mathbb{R}$이다(근거 ②, 정의역 소속 검증). 그리고 $$ f(x) = 5 - 2 \cdot \frac{5 - y}{2} = 5 - (5 - y) = y $$ 이므로 대입 검증도 통과한다. 따라서 $f$는 전사다. 단사이고 전사이므로 $f$는 전단사다. $\blacksquare$ **복기.** 전사 증명에서 만든 증인식 $\dfrac{5-y}{2}$이 문제 5의 역함수식 그대로다 — 전사 증명과 역함수 계산은 같은 방정식 풀이의 두 쓰임이다(43주차). ### 문제 5 **접근.** 순서는 자격 $\to$ 계산 $\to$ 검증이다. 자격은 문제 4에서 확보한 전단사성이고, 43주차 핵심 정리가 그것으로 역함수의 존재를 보장한다. 계산은 $y = f(x)$를 $x$에 대해 푸는 일이며, 검증은 항등식 두 개다. **풀이.** (자격) 문제 4에서 $f$는 전단사이므로 43주차 핵심 정리에 의해 역함수 $f^{-1} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$가 존재한다. (계산) $y = 5 - 2x$라 하자. 양변에 $2x$를 더하고 $y$를 빼면 $2x = 5 - y$이고, 양변을 $2$로 나누면 $x = \dfrac{5 - y}{2}$이다. 따라서 $f^{-1}(y) = \dfrac{5 - y}{2}$이다. (검증 1) 모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $$ f^{-1}(f(x)) = \frac{5 - (5 - 2x)}{2} = \frac{2x}{2} = x $$ 이므로 $f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_{\mathbb{R}}$이다. (검증 2) 모든 $y \in \mathbb{R}$에 대해 $$ f(f^{-1}(y)) = 5 - 2 \cdot \frac{5 - y}{2} = 5 - (5 - y) = y $$ 이므로 $f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_{\mathbb{R}}$이다. $\blacksquare$ **검산.** $f(1) = 3$이고 $f^{-1}(3) = \dfrac{5-3}{2} = 1$ ✓. 구체적인 값 한 쌍으로 왕복을 확인하는 것이 계산 실수를 잡는 가장 빠른 방법이다. ### 문제 6 **접근.** (a)(b)는 상이므로 출력을 모으고, (c)(d)(e)는 원상이므로 조건 $g(x) \in Y$를 실수 전체에서 푼다. 원상에서는 음수 가지 확인이, 상에서는 중복 흡수와 최솟값 위치가 확인 지점이다. **풀이.** (a) $g([0,3]) = \{x^2 : 0 \le x \le 3\}$. $[0,3]$에서 $x^2$은 증가하므로 최솟값 $0$, 최댓값 $9$이고 사이 값도 전부 나온다 — $g([0,3]) = [0, 9]$. (b) $g(-2) = 4$, $g(2) = 4$이므로 출력을 모으면 $\{4, 4\} = \{4\}$이다 — 집합은 중복을 흡수한다(3주차). $g(\{-2,2\}) = \{4\}$. (c) $x^2 = 9$의 해는 $x = 3$과 $x = -3$이다 — $g^{-1}(\{9\}) = \{3, -3\}$. (d) $0 \le x^2 \le 1$은 $|x| \le 1$과 같고, 이는 $-1 \le x \le 1$이다 — $g^{-1}([0,1]) = [-1, 1]$. (e) $x^2 = -4$인 실수는 없다(제곱은 음이 아니다) — $g^{-1}(\{-4\}) = \emptyset$. **검산.** (b)에서 $|X| = 2$인데 $|g(X)| = 1$이다 — 상은 크기를 줄일 수 있다(확인 5). (c)에서 $3$과 $-3$을 각각 제곱하면 $9$ ✓. (e)에서 답을 "정의되지 않는다"로 적으면 오답이다 — 원상은 조건의 해집합이므로 해가 없으면 $\emptyset$이다. ### 문제 7 **접근.** 42주차 정의 42.1은 합성을 두 단계로 푼다 — 괄호 안쪽, 곧 오른쪽 함수부터 실행한다. 두 함수가 다름을 보이려면 40주차 함수 상등의 셋째 기준을 부정해야 하므로 값이 갈리는 입력을 하나 제시한다. **풀이.** $$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(3x+2) = (3x+2)^2 - 1 = 9x^2 + 12x + 4 - 1 = 9x^2 + 12x + 3 $$ $$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 - 1) = 3(x^2 - 1) + 2 = 3x^2 - 3 + 2 = 3x^2 - 1 $$ $x = 0$을 넣으면 $(g \circ f)(0) = 3$이고 $(f \circ g)(0) = -1$이다. $3 \neq -1$이므로 값이 갈리는 입력이 존재하고, 따라서 $g \circ f \neq f \circ g$이다. $\blacksquare$ **검산.** $x = 1$에서도 확인하면 $(g \circ f)(1) = 9 + 12 + 3 = 24$이고 $(f \circ g)(1) = 3 - 1 = 2$ ✓. **복기.** "규칙식이 달라 보이므로 다른 함수다"로 끝내면 근거가 목록 밖이다 — 식의 생김새는 함수 상등의 세 기준에 들어 있지 않다(40주차 문제 9). 값이 갈리는 입력 하나를 제시하는 줄이 그 자리를 대신한다. ### 문제 8 **접근.** 결론이 "$g \circ f$가 단사"이므로 서식은 정해져 있다 — "$(g \circ f)(a) = (g \circ f)(a')$이라 하자"로 시작해 "$a = a'$"으로 끝난다. 껍질은 바깥부터 벗긴다. 마지막에 적용된 $g$의 단사성을 먼저 쓰고, 그다음 $f$다. **풀이.** $f : A \to B$와 $g : B \to C$가 모두 단사라 하자. $a, a' \in A$이고 $(g \circ f)(a) = (g \circ f)(a')$이라 하자. 정의 42.1에 의해 $g(f(a)) = g(f(a'))$이다. 여기서 $f(a)$와 $f(a')$은 모두 $B$의 원소이고 $g$가 단사이므로, 정의 41.1을 이 두 원소에 적용하면 $f(a) = f(a')$이다. 다시 $a, a' \in A$이고 $f$가 단사이므로 $a = a'$이다. 따라서 $g \circ f$는 단사다. $\blacksquare$ **복기.** 벗기는 순서를 바꿔 $f$의 단사성을 먼저 쓰려고 하면 막힌다 — 그 시점에는 $f(a) = f(a')$이 아직 확보되지 않았기 때문이다. 합성 증명에서 어느 함수의 성질을 먼저 쓸지는 취향이 아니라 확보된 등식이 정한다. ### 문제 9 **접근.** 42주차 역추적 정리가 주는 것은 "$g \circ f$가 전사이면 $g$가 전사"까지다. $f$까지 돌아오지 않는다는 사실은 반례로만 확인된다. 반례의 완결 조건은 두 검증이다 — 가정 부분이 참임과 결론 부분이 거짓임을 각각 보인다. **풀이.** $A = \{1\}$, $B = \{1, 2\}$, $C = \{1\}$이라 하고, $f : A \to B$를 $f(1) = 1$로, $g : B \to C$를 $g(1) = g(2) = 1$로 정의한다. (두 규칙 모두 각 입력에 정확히 하나의 출력을 주므로 함수다.) (검증 1 — 가정) $g \circ f : A \to C$이고 $(g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(1) = 1$이다. $C = \{1\}$의 유일한 원소 $1$이 입력 $1$로 도달되므로 $g \circ f$는 전사다. (검증 2 — 결론의 부정) $f$의 치역은 $f(A) = \{1\}$이고 $2 \in B$는 어떤 입력의 출력도 아니다. 따라서 $f$는 전사가 아니다. 두 검증이 모두 통과했으므로 이 세 집합과 두 함수가 반례다. $\blacksquare$ **복기.** 42주차의 "단사는 앞이 책임, 전사는 뒤가 책임"이 이 반례의 요약이다 — $g \circ f$의 전사성은 나중에 실행되는 $g$까지만 거슬러 올라간다. ### 문제 10 **접근.** 좌변에 상이 있으므로 양방향 포함으로 쓴다. 두 방향 모두에서 "또는"이 나오므로 17주차 경우 나누기가 쓰인다. ($\subseteq$)에서는 증인의 출신이 갈리고, ($\supseteq$)에서는 $y$의 소속이 갈린다. **풀이.** ($\subseteq$) $y \in f(X_1 \cup X_2)$라 하자. 상의 원소 번역에 의해 $f(x) = y$인 $x \in X_1 \cup X_2$가 존재한다. 그런 $x$를 하나 잡자. 합집합의 정의에 의해 $x \in X_1$이거나 $x \in X_2$이다. 경우 1: $x \in X_1$. 이때 $x$가 증인이 되어 $y \in f(X_1)$이고, 따라서 $y \in f(X_1) \cup f(X_2)$이다. 경우 2: $x \in X_2$. 이때 $x$가 증인이 되어 $y \in f(X_2)$이고, 따라서 $y \in f(X_1) \cup f(X_2)$이다. 두 경우가 무대를 덮으므로 어느 경우든 $y \in f(X_1) \cup f(X_2)$이다. ($\supseteq$) $y \in f(X_1) \cup f(X_2)$라 하자. 합집합의 정의에 의해 $y \in f(X_1)$이거나 $y \in f(X_2)$이다. 경우 1: $y \in f(X_1)$. 상의 원소 번역에 의해 $f(x) = y$인 $x \in X_1$이 존재한다. $X_1 \subseteq X_1 \cup X_2$이므로 $x \in X_1 \cup X_2$이고, 같은 $x$가 증인이 되어 $y \in f(X_1 \cup X_2)$이다. 경우 2: $y \in f(X_2)$. 상의 원소 번역에 의해 $f(x) = y$인 $x \in X_2$가 존재한다. $X_2 \subseteq X_1 \cup X_2$이므로 $x \in X_1 \cup X_2$이고, 같은 $x$가 증인이 되어 $y \in f(X_1 \cup X_2)$이다. 어느 경우든 $y \in f(X_1 \cup X_2)$이다. 양방향이 성립하므로 $f(X_1 \cup X_2) = f(X_1) \cup f(X_2)$이다. $\blacksquare$ **복기.** ($\supseteq$)의 두 경우는 훈련 3(상의 단조성)을 두 번 적용한 것과 같다. $\cup$에서 등호가 사는 이유는 증인이 **어느 쪽 출신이든 하나면 충분**하기 때문이다 — $\cap$에서는 증인 하나가 양쪽에 동시에 속해야 해서 요구가 강해진다(예제 2.2). ### 문제 11 **접근.** 예제 2.2의 재현이다. 할 일이 두 개(포함 증명과 등호 반례)라는 것을 먼저 확인하고, 포함 증명에서는 증인을 잡는 문장을, 반례에서는 세 줄 형식을 빠뜨리지 않는다. **풀이.** (포함) $y \in f(X_1 \cap X_2)$라 하자. 상의 원소 번역에 의해 $f(x) = y$인 $x \in X_1 \cap X_2$가 존재한다. 그런 $x$를 하나 잡자. 교집합의 정의에 의해 $x \in X_1$이고 $x \in X_2$이다. $x \in X_1$이고 $f(x) = y$이므로 $y \in f(X_1)$이고, $x \in X_2$이고 $f(x) = y$이므로 $y \in f(X_2)$이다. 따라서 $y \in f(X_1) \cap f(X_2)$이고, $f(X_1 \cap X_2) \subseteq f(X_1) \cap f(X_2)$이다. $\blacksquare$ (등호 반례) $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$, $X_1 = \{1\}$, $X_2 = \{-1\}$이라 하자. 좌변: $X_1 \cap X_2 = \emptyset$이므로 $f(X_1 \cap X_2) = f(\emptyset) = \emptyset$이다(확인 7). 우변: $f(X_1) = \{1\}$이고 $f(X_2) = \{1\}$이므로 $f(X_1) \cap f(X_2) = \{1\}$이다. $1$은 우변에만 속하므로 $\emptyset \neq \{1\}$이고, 등호는 일반적으로 성립하지 않는다. **복기.** 반례에서 우변의 $1$은 왼쪽 항에서는 증인 $1$이, 오른쪽 항에서는 증인 $-1$이 만들어 낸 값이다. 서로 다른 두 증인이 같은 값을 냈다는 이 해부까지 적어야 문제 12로 넘어갈 준비가 된다. ### 문제 12 **접근.** ($\subseteq$)는 단사 가정 없이 성립하므로 문제 11에서 증명한 것을 근거 ④로 쓴다. 새로 할 일은 ($\supseteq$)뿐이다. 우변에서 출발하면 증인이 두 개 나오고, 단사의 정의가 그 둘을 같게 만든다 — 예제 2.2의 해부가 지목한 바로 그 자리다. **풀이.** $f$가 단사라 하자. ($\subseteq$) 이 방향은 단사 가정 없이 성립하며, 문제 11(예제 2.2)에서 증명했다. 즉 $f(X_1 \cap X_2) \subseteq f(X_1) \cap f(X_2)$이다. ($\supseteq$) $y \in f(X_1) \cap f(X_2)$라 하자. 교집합의 정의에 의해 $y \in f(X_1)$이고 $y \in f(X_2)$이다. 상의 원소 번역을 각각 적용하면 $f(x_1) = y$인 $x_1 \in X_1$과 $f(x_2) = y$인 $x_2 \in X_2$가 존재한다. 그런 $x_1, x_2$를 각각 잡자. 그러면 $f(x_1) = y = f(x_2)$이고, $f$가 단사이므로 정의 41.1에 의해 $x_1 = x_2$이다. 이 공통 원소를 $x$라 하면 $x = x_1 \in X_1$이고 $x = x_2 \in X_2$이므로 $x \in X_1 \cap X_2$이다. 그리고 $f(x) = y$이므로 상의 원소 번역에 의해 $y \in f(X_1 \cap X_2)$이다. 양방향이 성립하므로 $f(X_1 \cap X_2) = f(X_1) \cap f(X_2)$이다. $\blacksquare$ **복기.** 증명 전체에서 단사성을 쓴 줄은 $x_1 = x_2$ 하나뿐이다. 반례(문제 11)가 무너진 지점과 이 증명이 살아나는 지점이 정확히 같은 줄이라는 것 — 조건이 어디에서 일하는지 확인하는 좋은 사례다. ### 문제 13 **접근.** 포함 증명은 세 걸음이다 — $x \in X$를 잡고, $x$ 자신이 $f(x) \in f(X)$의 증인임을 확인하고, 원상의 정의로 되감는다. 반례는 확인 8에서 계산했고, 등호가 깨진 이유를 지목하는 줄까지가 완결이다. **풀이.** (포함) $x \in X$라 하자. 상의 원소 번역에 의해, $x$ 자신이 $x \in X$이고 $f(x) = f(x)$를 만족하는 증인이므로 $f(x) \in f(X)$이다. 그러면 원상의 원소 번역 "$x \in f^{-1}(Y) \iff f(x) \in Y$"를 $Y = f(X)$에 적용하면 $x \in f^{-1}(f(X))$이다. 따라서 $X$의 임의의 원소가 $f^{-1}(f(X))$의 원소이므로 $X \subseteq f^{-1}(f(X))$이다. $\blacksquare$ (등호 반례) $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$, $X = \{1\}$이라 하자. $f(X) = \{1\}$이고 $f^{-1}(\{1\}) = \{x \in \mathbb{R} : x^2 = 1\} = \{1, -1\}$이다. $-1$은 오른쪽에만 속하므로 $\{1\} \subsetneq \{1, -1\}$이고, 등호는 깨진다. **복기.** 커진 이유는 $X$ 밖의 원소 $-1$이 $X$ 안의 원소 $1$과 같은 출력을 갖기 때문이다. $f$가 단사이면 그런 원소가 아예 없어 모든 $X$에서 등호가 성립하고, 거꾸로 어떤 $X$에서 등호가 깨지면 $f$는 단사가 아니다 — 확인 5에서 관찰한 뭉개짐이 여기서 등호 조건으로 나타난다. ### 문제 14 **접근.** 좌변에 상과 원상이 겹쳐 있으므로 번역을 두 번 한다. 바깥이 상이므로 먼저 증인 $x \in f^{-1}(Y)$를 잡고, 그다음 원상의 번역으로 $f(x) \in Y$를 얻는다. 그런데 그 $f(x)$가 바로 $y$다. **풀이.** (포함) $y \in f(f^{-1}(Y))$라 하자. 상의 원소 번역에 의해 $f(x) = y$인 $x \in f^{-1}(Y)$가 존재한다. 그런 $x$를 하나 잡자. 원상의 원소 번역에 의해 $f(x) \in Y$이다. 그런데 $f(x) = y$이므로 $y \in Y$이다. 따라서 $f(f^{-1}(Y)) \subseteq Y$이다. $\blacksquare$ (등호 반례 1) $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$, $Y = \{-1\}$이라 하자. $f^{-1}(\{-1\}) = \{x : x^2 = -1\} = \emptyset$이고 $f(\emptyset) = \emptyset$이다(확인 7). $-1$은 우변에만 속하므로 $\emptyset \subsetneq \{-1\}$이고, 등호는 깨진다. (등호 반례 2) 같은 $f$에 $Y = [-1, 0)$을 두자. $-1 \le x^2 < 0$인 실수는 없으므로 $f^{-1}(Y) = \emptyset$이고 $f(\emptyset) = \emptyset$이다(확인 7). 한편 $Y$는 비어 있지 않으므로 $\emptyset \subsetneq [-1, 0)$이다. **복기.** 두 반례 모두 $Y$에 치역 밖 원소가 들어 있다는 점이 같다. $Y$의 모든 원소가 도달 가능하려면 $f$가 전사여야 한다 — (P5)의 등호 조건이 단사였던 것과 짝을 이룬다. 어느 쪽이 단사이고 어느 쪽이 전사인지는 "어느 쪽이 커지는가"로 기억한다: 원상을 거쳐 돌아오면 커지고(단사가 막는다), 상을 거쳐 돌아오면 작아진다(전사가 막는다). ### 문제 15 **접근.** 순서는 셋이다. ① 규칙이 대표원으로 적혀 있으므로 잘 정의됨 검문을 먼저 통과시킨다 ② 방이 여섯 개뿐이므로 값을 전수 계산해 목록으로 판정한다 ③ 역함수는 값 목록의 대칭을 관찰한 뒤 43주차 특징짓기 정리로 확정한다. **풀이.** (잘 정의됨) $[a] = [a']$이라 하자. 즉 $a \equiv a' \pmod 6$이다. 20주차 문제 9(b)에 의해 $5a \equiv 5a' \pmod 6$이고, 따라서 $[5a] = [5a']$, 즉 $\varphi([a]) = \varphi([a'])$이다. 대표원을 어느 것으로 잡아도 출력이 같으므로 $\varphi$는 잘 정의된다. (전수 판정) 여섯 방의 값을 모두 계산한다. $$ [0] \mapsto [0],\quad [1] \mapsto [5],\quad [2] \mapsto [10] = [4],\quad [3] \mapsto [15] = [3],\quad [4] \mapsto [20] = [2],\quad [5] \mapsto [25] = [1] $$ 출력 목록 $[0], [5], [4], [3], [2], [1]$에 중복이 없으므로 단사이고, 여섯 방이 모두 등장하므로 전사다. 따라서 $\varphi$는 전단사다. (역함수) 값 목록이 $[1] \leftrightarrow [5]$, $[2] \leftrightarrow [4]$로 짝을 이루고 $[0], [3]$은 제자리다. 식으로 확인하면 모든 $a$에 대해 $$ \varphi(\varphi([a])) = \varphi([5a]) = [25a] = [a] $$ 이다($25 = 4 \cdot 6 + 1$이므로 $25 \equiv 1 \pmod 6$). 즉 $\varphi \circ \varphi = \mathrm{id}_{\mathbb{Z}_6}$이고, 같은 등식이 두 항등식 역할을 동시에 하므로 43주차 특징짓기 정리에 의해 $\varphi^{-1} = \varphi$이다. $\blacksquare$ **복기.** $[5] = [-1]$이므로 $\varphi([a]) = [-a]$ — 부호 뒤집기다. 두 번 하면 제자리인 함수를 대합이라 하고, 42주차 문제 14의 $\frac1x$이 같은 종류다. 대합은 자기 자신이 역함수이므로 역함수 계산이 필요 없다. ### 문제 16 **접근.** 규칙이 홀짝으로 갈리므로 단사 증명도 경우로 나뉜다. 다만 경우를 나누기 전에 "출력의 부호가 입력의 홀짝을 결정한다"를 먼저 확보해야 짝수-홀수 교차 경우가 배제된다. 전사는 $\mathbb{Z}$를 $k \ge 1$과 $k \le 0$으로 나누어 각각 증인을 제작하고, 만든 증인이 자연수인지 확인한다. **풀이.** $f : \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$를 "$n$이 짝수면 $f(n) = \frac{n}{2}$, 홀수면 $f(n) = -\frac{n-1}{2}$"로 정의한다. 값을 몇 개 보면 $f(1) = 0$, $f(2) = 1$, $f(3) = -1$, $f(4) = 2$, $f(5) = -2$, $f(6) = 3$이다. (부호 관찰) $n$이 짝수인 자연수이면 $n \ge 2$이므로 $f(n) = \frac{n}{2} \ge 1 > 0$이다. $n$이 홀수인 자연수이면 $n \ge 1$이므로 $f(n) = -\frac{n-1}{2} \le 0$이다. 따라서 출력이 양수이면 입력은 짝수, 출력이 $0$ 이하이면 입력은 홀수다. (단사) $m, n \in \mathbb{N}$이고 $f(m) = f(n)$이라 하자. 부호 관찰에 의해 $m$과 $n$의 홀짝은 같다. 경우 1: 둘 다 짝수. $\frac{m}{2} = \frac{n}{2}$이므로 양변에 $2$를 곱하면 $m = n$이다. 경우 2: 둘 다 홀수. $-\frac{m-1}{2} = -\frac{n-1}{2}$이므로 양변에 $-2$를 곱하면 $m - 1 = n - 1$이고, 양변에 $1$을 더하면 $m = n$이다. 어느 경우든 $m = n$이므로 $f$는 단사다. (전사) $k \in \mathbb{Z}$라 하자. 경우 1: $k \ge 1$. $n = 2k$로 두면 $n \ge 2$이므로 자연수이고 짝수다. 따라서 $f(n) = \frac{2k}{2} = k$이다. 경우 2: $k \le 0$. $n = 1 - 2k$로 두면 $-2k \ge 0$이므로 $n \ge 1$인 자연수이고, $1 - 2k$는 짝수 $2k$를 $1$에서 뺀 값이므로 홀수다. 따라서 $f(n) = -\frac{(1-2k)-1}{2} = -\frac{-2k}{2} = k$이다. 두 경우가 $\mathbb{Z}$ 전체를 덮으므로 $f$는 전사다. 단사이고 전사이므로 $f$는 전단사다. $\blacksquare$ **검산.** $k = 3$이면 경우 1에서 $n = 6$이고 $f(6) = 3$ ✓. $k = -2$이면 경우 2에서 $n = 1 - (-4) = 5$이고 $f(5) = -2$ ✓. 이 함수가 48주차에서 $|\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}|$의 근거가 된다. ### 문제 17 **접근.** 동치이므로 두 방향을 각각 증명한다. "많아야 한 원소"는 "원소가 두 개 있다고 하면 사실은 같다"로 번역해 다룬다(26주차 $\exists!$의 유일성 부분과 같은 어법). 양쪽 방향에서 다리 역할을 하는 등식은 $f(a) = b = f(a')$ 하나뿐이다. **풀이.** ((i) $\Rightarrow$ (ii)) $f$가 단사라 하자. $b \in B$를 임의로 잡고, $a, a' \in f^{-1}(\{b\})$라 하자. 원상의 원소 번역에 의해 $f(a) \in \{b\}$이고 $f(a') \in \{b\}$이므로 $f(a) = b$이고 $f(a') = b$, 즉 $f(a) = f(a')$이다. $f$가 단사이므로 $a = a'$이다. $f^{-1}(\{b\})$의 임의의 두 원소가 항상 같으므로 이 집합의 원소는 많아야 하나다. ((ii) $\Rightarrow$ (i)) 모든 $b \in B$에 대해 $f^{-1}(\{b\})$가 많아야 한 원소라 하자. $a, a' \in A$이고 $f(a) = f(a')$이라 하자. $b = f(a)$로 두면 $b \in B$이고, $f(a) = b$이므로 원상의 원소 번역에 의해 $a \in f^{-1}(\{b\})$이며, $f(a') = f(a) = b$이므로 같은 이유로 $a' \in f^{-1}(\{b\})$이다. 가정에 의해 이 집합의 원소는 많아야 하나이므로 $a = a'$이다. 따라서 $f$는 단사다. $\blacksquare$ **복기.** 41주차 문제 19의 "많아야 하나"라는 문장이 여기서 정식 동치로 승격했다. 같은 언어로 전사는 "모든 $b$에 대해 $f^{-1}(\{b\}) \neq \emptyset$"(적어도 하나), 전단사는 "모든 $b$에 대해 $f^{-1}(\{b\})$가 정확히 한 원소"다. 셋째 문장이 곧 43주차 핵심 정리를 원상의 언어로 다시 읽은 것이다. ### 문제 18 **접근.** (a)는 답안의 첫 문장과 마지막 문장을 정의 41.1의 조건문과 나란히 놓으면 화살표 방향이 드러난다. (b)는 결함이 두 개다 — 인용한 대상이 존재하는지와, 기호 $f^{-1}$을 어떻게 읽었는지를 따로 심문한다. **풀이.** (a) 답안이 실제로 증명한 문장은 "$a = a'$이면 $f(a) = f(a')$"이다. 이것은 함수라면 무엇이든 만족하는 유일성 조건(40주차 정의 40.1)이지 단사가 아니다. 단사의 정의(41주차 정의 41.1)는 화살표가 반대다 — "$f(a) = f(a')$이면 $a = a'$". 올바른 답안은 "$3a - 2 = 3a' - 2$이라 하자"로 시작해, 양변에 $2$를 더해 $3a = 3a'$을 얻고, 양변을 $3$으로 나누어 $a = a'$을 얻은 뒤 단사를 선언한다. (b) 결함 두 개. ① 존재하지 않는 대상의 인용. $f(x) = x^2$ ($\mathbb{R} \to \mathbb{R}$)은 $f(1) = f(-1)$이고 $1 \neq -1$이므로 단사가 아니고, 따라서 전단사가 아니며, 43주차 핵심 정리에 의해 **역함수가 없다**. "$f^{-1}(y) = \sqrt{y}$"는 없는 함수를 불러낸 것이다. 정의역을 $[0, \infty)$로 제한한 함수라면 $\sqrt{\ }$가 역함수가 되지만(43주차 예제 2.3), 그 제한된 함수는 원래 $f$가 아니다. ② 기호 오독. $f^{-1}([1,4])$는 역함수의 값이 아니라 원상, 즉 $\{x \in \mathbb{R} : x^2 \in [1,4]\}$다(정의 44.1). $1 \le x^2 \le 4$는 $1 \le |x| \le 2$와 같으므로 음수 가지까지 포함해 $f^{-1}([1,4]) = [-2,-1] \cup [1,2]$이다. $[1,2]$는 절반만 수집한 답이다. **복기.** (b)의 두 결함은 뿌리가 하나다 — $f^{-1}$을 함수 기호로 읽었다는 것. 정의 44.1에서 $f^{-1}$은 집합을 받아 집합을 내놓는 이름표일 뿐이고, 역함수의 존재를 요구하지 않는다(§1.3 조각 삭제 실험 2). ### 문제 19 **접근.** 신발–양말은 후보를 세워 항등식 두 개를 확인한 뒤 43주차 특징짓기 정리와 유일성을 근거 ④로 인용해 확정하는 길이다. 유일성 재현은 그 유일성 자체가 증명 대상이므로 근거로 쓸 수 없고, 항등함수의 성질과 가정만으로 $g_1$에서 출발해 $g_2$로 도착하는 등식 사슬을 만드는 길이다. 두 길 모두 결합법칙이 결정적으로 쓰이므로 그 자리에 표시를 남긴다. **풀이 (선택 1 — 역함수 유일성).** $f : A \to B$에 대해 $g_1, g_2 : B \to A$가 모두 $g_i \circ f = \mathrm{id}_A$와 $f \circ g_i = \mathrm{id}_B$를 만족한다고 하자. 그러면 $$ g_1 = g_1 \circ \mathrm{id}_B = g_1 \circ (f \circ g_2) \overset{(\ast)}{=} (g_1 \circ f) \circ g_2 = \mathrm{id}_A \circ g_2 = g_2 $$ 이다. 첫 등호는 항등함수의 성질, 둘째는 $g_2$의 가정, $(\ast)$는 **합성의 결합법칙**(42주차 문제 7), 넷째는 $g_1$의 가정, 다섯째는 다시 항등함수의 성질이다. 따라서 그런 $g$는 유일하다. $\blacksquare$ **풀이 (선택 2 — 신발–양말 정리).** $f : A \to B$, $g : B \to C$가 전단사라 하자. 42주차 보존 정리에 의해 $g \circ f$도 전단사이므로 $(g \circ f)^{-1}$가 존재한다. 후보로 $h = f^{-1} \circ g^{-1} : C \to A$를 두고 항등식 두 개를 확인한다. $$ h \circ (g \circ f) = (f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f) \overset{(\ast)}{=} f^{-1} \circ (g^{-1} \circ g) \circ f = f^{-1} \circ \mathrm{id}_B \circ f = f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_A $$ $$ (g \circ f) \circ h = (g \circ f) \circ (f^{-1} \circ g^{-1}) \overset{(\ast)}{=} g \circ (f \circ f^{-1}) \circ g^{-1} = g \circ \mathrm{id}_B \circ g^{-1} = g \circ g^{-1} = \mathrm{id}_C $$ $(\ast)$로 표시한 두 등호가 결합법칙을 쓴 자리다. 43주차 특징짓기 정리와 유일성에 의해 $h = (g \circ f)^{-1}$이고, 따라서 $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$이다. $\blacksquare$ **복기.** 두 증명 모두 "역함수를 직접 계산하지 않고 항등식으로 확정한다"는 같은 전략을 쓴다. 규칙식이 없는 추상 함수에서는 이것이 유일한 길이며, 결합법칙이 없으면 괄호를 옮길 수 없어 두 증명 다 첫 줄에서 멈춘다. ### 문제 20 **접근.** 마디가 다섯이고 화살표가 넷이므로 문장도 다섯이면 충분하다. 각 문장에는 정리 이름 하나와, 그 정리가 무엇을 무엇으로 바꿔 놓았는지가 들어가야 한다. 문장을 나열하기 전에 마디 다섯 개를 먼저 적어 두고 그 사이를 메우는 순서가 안전하다. **풀이 (예시 답안).** 함수는 관계에 "모든 입력에 정확히 하나의 출력"($\exists!$)이라는 조건을 얹은 대상이다(40주차 정의 40.1) — 이 조건이 규칙이라는 막연한 말을 순서쌍의 집합으로 바꿔 놓았다. 그 $\exists!$를 원상의 개수로 풀면 세 성질이 갈라져 나온다 — 전사는 "적어도 하나", 단사는 "많아야 하나", 전단사는 "정확히 하나"이며, 단사 쪽 동치가 이번 주 문제 17이다. 합성은 이 성질들을 앞에서 뒤로 전달하고(보존 정리), 뒤에서 앞으로는 절반만 돌려준다(역추적 정리 — 단사는 앞이, 전사는 뒤가 책임진다). 역관계가 함수가 되는 조건이 정확히 전단사이며(43주차 핵심 정리 — 전체성은 전사가, 유일성은 단사가 답한다), 그때의 역함수는 항등식 두 개로 특징지어지고 유일하다. 마지막으로 상과 원상은 집합 연산과의 궁합에서 갈리는데, 원상은 $\cup$과 $\cap$을 모두 보존하고 상은 $\cap$에서 반쪽 포함만 성립한다 — 원인은 상의 원소 번역에만 $\exists$(증인)가 끼어 있다는 비대칭 하나다((P1)~(P6)). **복기.** 다섯 문장을 관통하는 낱말이 "원상의 개수"다. 함수의 $\exists!$도, 단사$\cdot$전사$\cdot$전단사도, 역함수의 존재 조건도 전부 $f^{-1}(\{b\})$의 원소 개수 이야기로 다시 적을 수 있다. 9부를 한 문장으로 줄이면 그것이다. ### 채점 가이드와 9부 수료 - **수료 기준**: 문제 1(정의 5종) 만점 + 증명 문항(8, 10~14, 17) 중 다섯 개 이상 무결 + 역함수 문항(5, 15)에서 자격$\cdot$계산$\cdot$검증 완비 + 진단(18)의 두 결함 모두 정확. - 원상 계산(6, 18(b))에서 가지 누락이 반복되면 $\to$ 예제 2.1의 확인 13과 17주차(경우 나누기)를 재복습한다. - 상$\cdot$원상 궁합(10~14)이 혼동되면 $\to$ 확인 7$\cdot$8의 실험을 손으로 다시 돌리고 예제 2.2의 해부를 재독한다. - 정의 문항(1, 2)에서 어느 조각이 깨졌는지 지목하지 못하면 $\to$ 40$\cdot$41$\cdot$44주차의 정의 해부 표로 돌아간다. - 추상 증명(17, 19)의 첫 문장이 나오지 않으면 $\to$ §2 관찰의 3단계와 훈련 3을 재필사한다. **9부까지의 지도.** 집합과 논리(1~2부) 위에 증명 기법(4~7부)을 세우고, 관계(8부)와 함수(9부)로 **구조**를 얻었다. 남은 두 파트는 이 구조로 실수의 세계를 정밀하게 측정하는 일이다 — 극한(10부)과 무한(11부). --- **다음 주 예고:** 45주차에서 $\varepsilon$-$N$ 정의를 다룬다. 10주차 문제 19에서 해독만 해 두었던 수열 극한의 정의를 완전히 손에 넣고, $\lim \frac1n = 0$을 서식대로 증명하며, $(-1)^n$이 수렴하지 않음을 증명한다. 수열이 정의역 $\mathbb{N}$의 함수라는 40주차의 관점, 절댓값 부등식(18주차), 경우 나누기(17주차)가 그 정의 하나에 모인다.