# S7주차 — 특수화: 가정의 "모든"을 써먹는 순간 :::{admonition} 이 주의 길잡이 :class: keybox **핵심 문장**: 가정 쪽의 "모든"은 의무가 아니라 재료다 — 자격을 검증한 값 하나를 넣으면 그 값에 대한 사실 하나가 나온다. **이 주의 위치**: 1학기 20주 과정의 S7주차. S6주차가 결론의 $\forall$를 다뤘고 이번 주는 가정의 $\forall$를 다룬다. 1권 16주차에서 (W3)을 인용하던 순간, 1권 27주차에서 $A \subseteq B$를 원소 하나에 쓰던 순간, 1권 46주차 확인 3에서 "정의 45.1을 $\frac{\varepsilon}{2}$에 대해 발동할 권리"를 따지던 순간 — 감각으로 하던 그 동작이 여기서 걸음 번호가 붙은 이름을 얻는다. **원서 대응**: Solow 6장. 양화사 4부작의 셋째 장이며, 주간 루틴 1일차에 원서 6장을 통독한 뒤 이 문서로 온다. ::: ## 이번 주 목표 1. 가정 속의 **전칭**을 감지한다 — 드러난 것("모든", "임의의")과 숨은 것($\subseteq$, 함수 항등식, 상계, 수렴, 그리고 인용하는 기성 정리 전부). 1. **특수화**의 세 걸음(값 지정 $\cdot$ 자격 검증 $\cdot$ 사실 수령)을 백지에 쓰고, 각 걸음을 빼면 무엇이 무너지는지 말할 수 있다. 1. 네 칸 표를 완성한다 — 같은 기호 $\forall$가 결론에 있으면 의무이고 가정에 있으면 권리인 이유를 설명할 수 있다. 1. 하나의 전칭 사실을 **여러 번, 다른 값으로** 쓰는 **다중 특수화**를 실행할 수 있다. 본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다. ## 준비 운동 (S6주차 복습) 노트에 먼저 적은 뒤 아래를 읽는다. 1. 선택법의 절차 네 걸음과 반칙 목록 4종을 쓰시오. 1. 네 칸 표에서 이미 채운 세 칸(결론의 $\forall$ $\cdot$ 결론의 $\exists$ $\cdot$ 가정의 $\exists$)의 첫 문장을 각각 쓰시오. 1. S6주차 문제 7의 방식 2는 S3주차 문제 18의 명제에 $a = x$, $b = 1$을 넣는 길이었다. 그 순간에 확인했어야 할 것은 무엇이었는지 쓰시오. 이어서 다음 명제의 증명을 시작해 보자. **"$A \subseteq B$이면 $C \cap A \subseteq C \cap B$이다."** 첫 문장은 S6주차가 이미 준다 — 결론이 포함관계이므로 선택법이고, "$x \in C \cap A$를 임의로 잡자."로 시작한다. 문제는 그다음이다. 가정으로 받은 $A \subseteq B$를 어떤 문장으로 쓰는가. ### 자주 나오는 세 가지 답 이 자리에서 나오는 답은 대개 다음 세 가지 중 하나다. 셋 다 S6주차까지를 제대로 익힌 사람에게서 나오는 답이고, 셋 다 이번 주가 메울 정확한 간격이 있다. - **유형 1 — 가정을 그대로 옮겨 적는다.** "$A \subseteq B$이므로 $x \in B$이다." 결론은 실제로 참이고, 근거가 $A \subseteq B$라는 지목도 옳다. 빠진 것은 그 사이의 한 걸음이다. $A \subseteq B$는 $x$에 대한 문장이 아니라 $A$의 **모든** 원소에 대한 문장이므로, 이것을 $x$ 하나에 대한 문장으로 바꿔 놓는 줄이 따로 있어야 한다. 그리고 그 줄에는 $x$가 $A$에 속한다는 확인이 반드시 들어간다 — 그 확인이 빠지면 $x \in C$만 아는 상태에서도 같은 문장을 적게 된다. - **유형 2 — 가정 쪽에서 다시 임의로 잡는다.** "$y \in A$를 임의로 잡자. 그러면 $y \in B$이다." 선택법의 절차 자체는 정확히 실행되었고, 적은 두 문장에 거짓은 없다. 문제는 이렇게 무대에 올린 $y$가 지금 다루고 있는 $x$와 아무 관계도 맺지 못한다는 것이다. 필요한 것은 새 대상을 잡는 일이 아니라, **이미 무대에 있는 $x$를 가정에 넣는 일**이다. 잡는 동작과 넣는 동작은 방향이 반대다. - **유형 3 — 전개까지만 하고 멈춘다.** $x \in C$이고 $x \in A$까지 풀어 놓은 뒤 $A \subseteq B$를 어떻게 써야 할지 몰라 멈춘다. 재료는 이미 전부 모여 있다. 빠진 것은 가정을 소비하는 문장 하나뿐이고, 그 한 문장이 이번 주의 주제다. ## 개념 — 특수화 ### 1 선택법만으로는 어디서 막히는가 S6주차까지의 도구만 가지고 위 명제를 밀어붙여 본다. 결론이 포함관계이므로 선택법의 네 걸음을 그대로 연다. :::{admonition} 시도 — 선택법만으로 밀어붙이기 :class: quotebox 명제: $A \subseteq B$이면 $C \cap A \subseteq C \cap B$이다. 걸음 ①. "$x \in C \cap A$를 임의로 잡자." 걸음 ②. 사실 목록: $A \subseteq B$, 그리고 $x \in C \cap A$. 교체된 결론: 이 $x$에 대해 $x \in C \cap B$. 전진. 교집합의 정의에 의해 $x \in C$이고 $x \in A$이다. 후진. 핵심 질문 "어떤 원소가 $C \cap B$에 속함을 어떻게 보이는가?" 답: 그 원소가 $C$에 속하고 $B$에도 속함을 각각 보인다. $x \in C$는 이미 있다. 남은 것은 $x \in B$ 하나다. 사실 목록에 남은 것은 $A \subseteq B$뿐이다. 그런데 이 문장은 … ::: 여기서 멈춘다. 사실 목록의 $A \subseteq B$는 $x$라는 글자를 하나도 담고 있지 않다. 전진 걸음은 "가진 사실에서 따라 나오는 새 사실을 적는" 동작인데, $x$가 등장하지 않는 문장에서 $x$에 대한 문장이 저절로 따라 나오지는 않는다. :::{container} quotebox **확인 1.** 멈춘 자리에서 $x \in B$를 얻으려면, $A \subseteq B$를 어떤 **꼴의 문장**으로 바꿔 놓아야 하는가. "$\dots$이면 $x \in B$이다" 꼴로 한 구절 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "$x \in A$이면 $x \in B$이다" — 곧 **$x$라는 글자가 들어간 조건문**이 필요하다. $A \subseteq B$는 정의를 펴면 $\forall y\,[y \in A \Rightarrow y \in B]$이고, 이 문장은 $y$가 어떤 원소이든 성립한다고 주장한다. 그러므로 $y$ 자리에 $x$를 넣은 문장 "$x \in A$이면 $x \in B$"도 그중 하나로 이미 주장되어 있다. 이 개별 문장을 꺼내 적는 줄이 빠져 있었던 것이다. "$x \in A$이므로 곧바로 $x \in B$"라고 답했다면 결론은 옳다. 다만 그 한 줄 안에 두 가지 일이 겹쳐 있다 — 개별 문장을 꺼내는 일과, $x$가 그 문장을 쓸 자격을 갖췄음을 확인하는 일이다. 이번 주는 그 둘을 갈라 적는다. ::: :::{admonition} 이 주 전체의 기준 :class: quotebox 가정 쪽의 전칭 문장은 그대로는 전진에 쓰이지 않는다. **값을 하나 넣어 그 값에 대한 문장으로 바꿔야** 사실 목록에 들어간다. ::: ### 2 구체 사례 표를 채워 보기 전칭 사실 하나를 놓고, 값을 넣었을 때 무엇이 나오는지 직접 적어 본다. 다음 명제를 (G)라 부르자 — 1권 16주차 예제 2.2에서 증명한 산술–기하 평균 부등식의 양변에 2를 곱한 꼴이다. :::{admonition} 전칭 사실 (G) :class: quotebox 모든 실수 $u, v$에 대해, $u \ge 0$이고 $v \ge 0$이면 $u + v \ge 2\sqrt{uv}$이다. ::: | **넣는 값 $(u, v)$** | **자격 검증** | **나오는 문장** | |---|---|---| | $(4, 9)$ | $4 \ge 0$ ✓, $9 \ge 0$ ✓ | $13 \ge 2\sqrt{36} = 12$ | | $(a, b)$ — 단 $a > 0$, $b > 0$ | $\underline{\quad(1)\quad}$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | | $(x^2, 1)$ — $x$는 실수 | $\underline{\quad(3)\quad}$ | $\underline{\quad(4)\quad}$ | | $(-1, -4)$ | $\underline{\quad(5)\quad}$ | $\underline{\quad(6)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 2.** 표의 빈칸 (1)~(6)을 채워 보자. 특히 마지막 줄은 둘째 칸과 셋째 칸을 모두 적은 뒤, 그 셋째 칸을 사실 목록에 넣어도 되는지까지 판정해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $a > 0$이므로 $a \ge 0$ ✓, 같은 이유로 $b \ge 0$ ✓. (2) $a + b \ge 2\sqrt{ab}$. (3) $x^2 \ge 0$은 1권 16주차 (W1) ✓, $1 \ge 0$ ✓. (4) $x^2 + 1 \ge 2\sqrt{x^2}$. (5) $-1 \ge 0$이 거짓이므로 **자격 위반**이다. (6) 글자만 옮겨 적으면 $-5 \ge 2\sqrt{4} = 4$가 되지만, 이 문장은 거짓이다. 사실 목록에 넣을 수 없다. 셋째 열을 만드는 데 새로운 수학은 한 줄도 쓰이지 않았다 — (G)의 $u$, $v$ 자리에 첫째 열을 그대로 옮겨 적었을 뿐이다. 새로운 것은 식이 아니라, **그 문장을 사실 목록에 넣어도 되는지를 결정하는 둘째 열**이다. ::: 이 동작에 이름을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 일을 절차로 굳혔을 뿐이다. ### 3 특수화 — 절차와 해부 §1.2에서 표의 셋째 열을 만들며 실제로 한 동작을 세 걸음의 절차로 굳힌다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **특수화 (specialization) — 한 판의 절차** 사실 목록에 $\forall t\,[\,\text{자격}(t) \Rightarrow \text{사건}(t)\,]$ 꼴의 문장이 있을 때: ① **값 지정** — 결론을 보고 넣을 값 $t_0$를 정한다. 지금 무대에 있는 문자와 상수로만 조립한다. ② **자격 검증** — 자격$(t_0)$이 성립함을 증명한다. ③ **사실 수령** — 사건$(t_0)$을 사실 목록에 추가한다. 세 동사로 기억한다: **정한다 $\cdot$ 검증한다 $\cdot$ 받는다.** ::: :::{admonition} 표기 — "…에 적용한다" :class: quotebox "(G)를 $(u, v) = (4, 9)$에 적용하면 $13 \ge 12$이다"는 "모든 $u, v$에 대해 성립한다고 이미 확보한 문장 (G)에서, $u$와 $v$ 자리에 4와 9를 넣은 개별 문장을 꺼낸다"로 읽는다. 답안에는 "적용" 대신 "(G)에서 $u = 4$, $v = 9$로 두면"이라고 적어도 같다. (G)처럼 전칭 사실에 이름표를 붙여 두면, 같은 사실을 여러 번 쓸 때 어느 것을 썼는지 한 글자로 지목할 수 있다 — 다중 특수화(§1.6)에서 곧 필요해진다. ::: **절차 해부.** 세 걸음이 각각 무엇을 하고, 빠지면 무엇이 무너지는가. | **걸음** | **하는 일** | **이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가** | |---|---|---| | ① 값 지정 | 전칭 문장을 개별 문장으로 바꿀 값을 정한다 | 값이 없으면 전칭 문장은 사실 목록에 그대로 남아 전진에 쓰이지 못한다 — §0 유형 3의 멈춤이 그것이다 | | ② 자격 검증 | 정한 값이 그 문장을 쓸 조건을 만족함을 보인다 | 거짓 문장이 사실 목록에 들어간다. 표 넷째 줄의 $-5 \ge 4$가 들어가면 그 뒤의 모든 줄이 보증을 잃는다 | | ③ 사실 수령 | 얻은 개별 문장을 명시적으로 적어 목록에 넣는다 | 적지 않은 사실은 다음 줄의 근거가 되지 못한다. 검사하는 쪽에서는 어느 사실을 썼는지 복원할 수 없다 | **걸음 ② 삭제 실험.** 자격 검증을 생략하면 정확히 무엇이 무너지는지 실제 사례로 확인한다. S6주차 §3 훈련 1에서 증명한 전칭 사실을 (T)라 하자. :::{admonition} 전칭 사실 (T) :class: quotebox 모든 실수 $t$에 대해, $t > 0$이면 $t + \dfrac1t \ge 2$이다. ::: 여기에 걸음 ②를 건너뛰고 $t = -1$을 넣으면 산출 문장은 $-1 + \frac{1}{-1} \ge 2$, 곧 $-2 \ge 2$가 된다. 이것은 거짓이다. 그런데 (T)는 참인 명제이고 글자를 옮겨 적는 동작에도 실수가 없었다. 거짓이 나온 원인은 오직 하나 — $-1$이 자격 $t > 0$을 만족하지 않는데도 넣었다는 것이다. :::{container} quotebox **확인 3.** (T)에 $t = -1$을 넣어 $-2 \ge 2$를 얻은 답안이 있다. 이 답안이 무너뜨린 것은 (T)인가, 아니면 다른 무엇인가. 한 문장으로 판정해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (T)는 그대로 참이다. 무너진 것은 **그 답안의 사실 목록**이다. (T)가 주장하는 것은 "모든 실수에 대해 $t + \frac1t \ge 2$"가 아니라 "자격을 갖춘 $t$에 대해서만"이므로, 자격 밖의 $-1$에 대해서는 (T)가 아무것도 주장하지 않는다. 아무것도 주장하지 않는 자리에서 문장을 하나 꺼내 목록에 넣었으니, 그 목록에는 근거 없는 문장이 하나 섞인 것이다. 그 뒤로 이어지는 줄은 전부 그 문장을 딛고 있으므로 함께 보증을 잃는다. 자격 검증은 형식적 절차가 아니라, 산출 문장의 참$\cdot$거짓을 가르는 관문이다. ::: ### 4 가정 속의 전칭 감지 [백지 암기 대상] 특수화를 쓰려면 먼저 사실 목록에서 전칭 문장을 찾아야 한다. "모든"이라는 낱말이 보이지 않는 자리에 숨어 있는 경우가 대부분이다. | **가정의 모양** | **펼친 전칭 문장** | **넣는 것 $\to$ 나오는 것** | |---|---|---| | $A \subseteq B$ | $\forall y\,[\,y \in A \Rightarrow y \in B\,]$ | $A$에 속함이 확인된 원소 $\to$ 그 원소가 $B$에 속한다는 문장 | | 모든 실수 $x, y$에 대해 $f(x+y) = f(x)+f(y)$ | $\forall x \forall y\,[\,\cdots\,]$ — 전칭이 두 겹 | 실수 두 개 $(x_0, y_0)$ $\to$ 등식 $f(x_0+y_0) = f(x_0)+f(y_0)$ | | "$M$은 $S$의 상계이다" | $\forall x\,[\,x \in S \Rightarrow x \le M\,]$ | $S$에 속함이 확인된 원소 $\to$ 그 원소가 $M$ 이하라는 부등식 | | $a_n \to L$ | $\forall \varepsilon\,[\,\varepsilon > 0 \Rightarrow \exists N \cdots\,]$ | 양수 $\varepsilon$ $\to$ 그 $\varepsilon$에 맞는 문턱 $N$의 존재 | | 기성 정리 — (W1)~(W6), (G), (T), S3주차 문제 18 | 정리의 전칭 변수 전부 | 정리가 요구하는 자격을 갖춘 값 $\to$ 그 값에서의 결론 | 마지막 줄이 이번 주의 핵심이다. **1권 내내 해 온 "정리 인용"의 논리적 정체가 특수화다.** 1권 16주차에서 (W3)을 "양변에 양수를 곱해도 부등호가 유지된다"로 쓸 때마다 우리는 전칭 정리에 그 순간의 구체적 값을 넣고 있었고, "곱하는 것이 양수인가"를 확인하던 습관이 바로 걸음 ②였다. 1권 46주차 확인 3의 "정의 45.1을 $\frac{\varepsilon}{2}$에 대해 발동할 권리는 어디서 나오는가"라는 물음도 같은 걸음을 다른 말로 물은 것이다. 감각으로 하던 동작이 여기서 걸음 번호를 얻는다. :::{container} quotebox **확인 4.** 다음 두 문장 중 특수화가 실행된 것은 어느 쪽인가. 실행되지 않은 쪽은 무엇이 빠져 있는가. (가) "$M$은 $S$의 상계이고 $7 \in S$이므로, 상계의 정의를 $x = 7$에 적용하면 $7 \le M$이다." (나) "$M$은 $S$의 상계이므로 $7 \le M$이다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (가)가 특수화다. 넣는 값($x = 7$), 자격($7 \in S$), 산출($7 \le M$)이 전부 문장에 적혀 있다. (나)에는 걸음 ②가 빠져 있다. 상계의 정의가 보장하는 것은 **$S$에 속하는** 원소에 대한 부등식뿐이므로, 7이 $S$에 속한다는 확인 없이는 $7 \le M$을 주장할 근거가 없다. 실제로 $S = \{1, 2\}$이고 $M = 3$이면 $M$은 $S$의 상계이지만 $7 \le 3$은 거짓이다. 판정 기준은 하나다: **넣은 값이 자격을 만족한다는 문장이 답안에 실제로 적혀 있는가.** ::: ### 5 네 칸 표의 완성 — 누가 고르는가 S5$\cdot$S6주차와 이번 주를 한 장에 놓으면 네 칸이 모두 채워진다. | **양화사가 있는 곳** | **기법** | **첫 문장** | **값을 고르는 쪽** | **의무인가 권리인가** | |---|---|---|---|---| | 결론의 $\forall$ | **선택법** (S6주차) | "자격을 갖춘 …를 임의로 잡자" | 상대가 고른 셈으로 친다 | 의무 — 어느 값이 와도 이겨야 한다 | | 결론의 $\exists$ | **구성법** (S5주차) | "… 로 두자" | 내가 고른다 | 의무 — 하나는 반드시 제시해야 한다 | | 가정의 $\exists$ | 전진 한 걸음 | "그런 …를 잡자" | 이미 정해져 있고 이름만 받는다 | 권리 — 받아 쓰면 된다 | | 가정의 $\forall$ | **특수화** (이번 주) | "…에 적용하면" | 내가 고른다 | 권리 — 몇 번이든 골라 쓸 수 있다 | :::{container} quotebox **확인 5.** 이 표에서 "내가 고른다"에 해당하는 칸은 둘이다. 그 둘이 표에서 서로 붙어 있지 않은 두 줄(둘째 줄과 넷째 줄)이라는 점을 확인하고, 두 칸에서 값을 고르는 기술이 어떤 점에서 같은지 한 줄로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 둘째 줄(결론의 $\exists$)과 넷째 줄(가정의 $\forall$)이다. 두 칸 모두 **결론을 보고 거꾸로 값을 정한다**. 구성법의 증인은 "무엇을 세우면 결론의 등식이 성립하는가"를 역산해 얻고, 특수화의 넣는 값은 "무엇을 넣으면 결론에 필요한 문장이 나오는가"를 역산해 얻는다. 두 경우 모두 고른 값은 지금 무대에 있는 문자와 상수로만 조립해야 한다. 나머지 두 칸은 반대다. 결론의 $\forall$는 상대가 고른 값을 받는 자리이고, 가정의 $\exists$는 이미 정해진 것에 이름만 붙이는 자리다. 증명이 막히는 이유의 상당 부분은 이 네 칸을 헷갈리는 데서 온다. ::: ### 6 다중 특수화 — 같은 사실을 여러 번 전칭 사실은 한 번 쓰면 없어지는 것이 아니다. 같은 문장에 다른 값을 넣어 여러 개의 개별 사실을 얻을 수 있고, 그렇게 얻은 사실들을 더하거나 곱해 결론을 만든다. - (G)를 $(a, b)$, $(b, c)$, $(c, a)$ 세 쌍에 각각 넣어 세 부등식을 얻은 뒤 곱한다 (예제 2.2). - $f(x+y) = f(x) + f(y)$에 $(0, 0)$을 넣고, 또 $(x, -x)$를 넣는다 (문제 9). - 수렴의 정의에 $\varepsilon$ 대신 $\frac{\varepsilon}{2}$를 넣는다 — 1권 46주차에서 두 수렴을 합칠 때 쓰던 배분이 바로 이 걸음이었다. :::{container} quotebox **확인 6.** 1권 10주차 문제 18에서 "$x + y = y$를 만족하는 $x$가 두 개일 수 있는가"를 논증할 때, $x$의 조건에 $y = x'$을 넣고 $x'$의 조건에 $y = x$를 넣었다. 이 동작은 이번 주의 어느 절차 몇 번 실행에 해당하는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 특수화 두 번이다 — 전칭 사실이 둘("모든 $y$에 대해 $x + y = y$", "모든 $y$에 대해 $x' + y = y$")이고, 각각에 값을 한 번씩 넣었다. 자격은 "실수"뿐이므로 검증이 한 줄로 끝나 눈에 띄지 않았을 뿐이다. 넣는 값을 $x'$과 $x$로 고른 이유도 이번 주의 언어로 설명된다. 결론이 $x = x'$ 이므로, 산출 문장에 $x$와 $x'$이 함께 나타나도록 역산해 고른 것이다. 1권에서 "상투적인 첫 수"라고만 적어 둔 동작이 다중 특수화의 첫 경험이었다. ::: ### 7 반칙 목록 — 특수화판 자기 답안을 검열할 때 이 네 줄을 훑는다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **반칙 목록** 자격 미검증 $\cdot$ 결론 등록 $\cdot$ 칸 착각 $\cdot$ 무대 밖 문자 — 이 넷이 특수화를 무효로 만든다. ::: | **반칙** | **예** | **무엇이 무너지는가** | |---|---|---| | **자격 미검증** | (T)를 $t = -1$에 적용해 $-2 \ge 2$를 얻는다 | 거짓 문장이 사실 목록에 들어가고, 그 뒤의 모든 줄이 보증을 잃는다 (§1.3 삭제 실험) | | **결론 등록** | "이 명제는 모든 실수에 대해 성립하므로 $x = 5$에 적용하면 …" | 아직 증명되지 않은 문장을 사실 목록에 넣었다 — 순환이다 (문제 18) | | **칸 착각** | 결론의 $\forall$를 가정의 $\forall$처럼 다루어 "$x = 5$에서 참이므로 모든 $x$에서 참" | 결론 쪽의 $\forall$는 선택법의 의무이지 특수화의 권리가 아니다 (S6주차 반칙 목록의 특정값 대입) | | **무대 밖 문자** | 아직 무대에 올라오지 않은 문자 $N$을 넣는 값으로 쓴다 | 넣은 값이 무엇인지 정해지지 않아 산출 문장이 뜻을 갖지 못한다 (S6주차의 선잡기와 같은 병) | :::{container} quotebox **확인 7.** 다음 답안의 반칙은 넷 중 어느 것인가. "모든 양의 실수 $u, v$에 대해 $u + v \ge 2\sqrt{uv}$이다. 이를 $(u, v) = (x, y)$에 적용하면 모든 실수 $x, y$에 대해 $x + y \ge 2\sqrt{xy}$이다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 자격 미검증이다. 넣은 값 $(x, y)$에 대해 $x > 0$, $y > 0$이 확인되지 않았는데 산출 문장을 "모든 실수 $x, y$"에 대해 주장했다. 반례로 $x = -1$, $y = -4$를 넣으면 $-5 \ge 4$가 되어 산출 문장이 거짓이 된다. 올바른 결론은 "모든 **양의** 실수 $x, y$에 대해"이며, 자격을 그대로 달고 나오는 것이 특수화의 산출 문장이다. ::: ### 8 근거 목록 갱신 | **근거** | **이번 주에 추가되는 것** | **이번 주에는 이렇게 쓴다** | |---|---|---| | ① 정의 | 변화 없음 | $\subseteq$$\cdot$상계$\cdot$수렴을 전칭 문장으로 펴는 걸음에서 계속 쓴다 | | ② 닫힘성 | 변화 없음 | 넣는 값을 조립할 때 그 값이 정수$\cdot$실수임을 한 줄로 확인한다 | | ③ 등식의 성질 | 변화 없음 | 여러 산출 부등식을 더하거나 곱해 결론을 조립할 때 쓴다 | | ④ 이미 증명한 명제 | (G) — 1권 16주차 예제 2.2, (T) — S6주차 §3 훈련 1, S6주차 문제 12($u^2+v^2 \ge 2uv$), 1권 46주차 문제 15(수렴하면 유계) | "(G)를 $(a, b)$에 적용하면"처럼 이름표와 넣는 값을 함께 적는다 | 목록의 칸이 늘지는 않는다. 이번 주가 바꾸는 것은 근거의 개수가 아니라 **근거 ④를 쓰는 형식**이다. 지난주까지 "(W3)에 의해"로 끝내던 한 줄이, 이번 주부터는 "무엇에 적용했고 자격은 무엇이었는가"를 함께 적는 세 걸음짜리 문장이 된다.