# S18주차 — 일반화: 명제를 키우는 기술 :::{admonition} 이 주의 길잡이 :class: keybox **핵심 문장**: 증명을 다 읽었으면 그 증명문에 묻는다 — 이 증명은 특정한 값의 어떤 성질을 실제로 썼는가. 쓰이지 않은 특수성은 명제에서 지울 수 있고, 지운 자리에 문자를 놓는 것이 일반화다. **이 주의 위치**: 1학기 20주 과정의 S18주차. S1주차부터 S17주차까지의 열일곱 주는 전부 "주어진 명제를 어떻게 증명하는가"였고, S17주차의 결정 나무가 그 물음의 답을 하나로 접었다. 이번 주는 물음이 처음으로 바뀐다 — 증명 한 편을 손에 쥔 상태에서 "그 다음에 증명할 명제는 무엇인가"를 정한다. 1권 1주차 확인 13에서 관찰로만 지나갔던 사실과 1권 29~30주차의 반례$\cdot$판별이 여기서 하나의 절차로 묶인다. 다음 주 S19주차의 정의 만들기는 이번 주가 만든 명제를 담을 무대를 짓는 일이다. **원서 대응**: Solow 16장. 주간 루틴 1일차에 원서 16장을 통독한 뒤 이 문서로 온다. ::: ## 이번 주 목표 1. **발동 질문**을 장착한다 — "이 증명에서 특정한 값(또는 대상)의 어떤 성질이 실제로 사용되었는가." 사용되지 않은 특수성이 곧 일반화의 여지다. 1. **세 가지 축** — 상수 $\to$ 변수, 특정 대상 $\to$ 임의 대상, 강한 가설 $\to$ 약한 가설 — 을 백지에 쓰고, 증명문의 어떤 관찰이 어느 축을 지목하는지 말할 수 있다. 1. **일반화의 네 걸음**(정독 $\cdot$ 재진술 $\cdot$ 반례 검문 $\cdot$ 증명 재검사)을 절차로 실행하고, 각 걸음을 빼면 무엇이 무너지는지 사례로 말할 수 있다. 1. 일반화의 산물을 **정리 $\cdot$ 추측 $\cdot$ 거짓 명제**로 라벨한다. 검문을 통과한 것과 증명된 것을 구별하는 것이 이번 주의 기준이다. 본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다. ## 준비 운동 (S17주차 복습) 노트에 먼저 적은 뒤 아래를 읽는다. 1. S17주차 §1의 기법 선택 결정 나무 골격(0~3단계)을 백지에 재현하시오. 1. S9주차$\cdot$S17주차 시험의 통과 여부를 확인하시오. 미통과 항목이 있으면 해당 주차를 복습한 뒤 재도전한다 — 이번 주는 그 위에 선다. 1. 1권 29주차 정의 29.2의 반례 서술 서식 세 줄(제시 $\cdot$ 검증 1(가정 만족) $\cdot$ 검증 2(결론 위배))을 재현하시오. 이번 주에 그대로 쓴다. 이어서 다음 과제를 해 보자. **명제 "$4^2 - 4$는 3의 배수이다"를 증명하고, 그 증명문을 손에 쥔 채 "이보다 넓은 참인 명제"를 하나 적어 보자.** 조건을 하나 붙인다 — **이번 주의 새 이름을 쓰지 말고 S17주차까지의 도구만으로 밀어 보자.** ### 자주 나오는 세 가지 답 이 자리에서 나오는 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 S17주차까지를 제대로 익힌 사람에게서 나오는 답이고, 셋 다 이번 주가 메울 정확한 간격이 있다. - **유형 1 — 증명에서 멈춘다.** "$4^2 - 4 = 4(4-1) = 4 \cdot 3$이므로 3의 배수이다. 증명이 끝났으므로 더 할 일이 없다." 앞부분은 완전히 옳다 — 결정 나무 2단계가 지목한 구성법으로 $k = 4$를 제시했고, 증명문에 빠진 줄이 없다. 간격은 뒷부분에 있다. 완성된 증명문은 명제 하나를 확정하는 데서 그치지 않고 **자기가 무엇을 썼는지에 대한 정보**를 함께 담고 있는데, 그 정보를 아직 읽지 않았다. 그 정보를 읽어 내는 물음이 정의 18.1의 발동 질문이다. - **유형 2 — 숫자를 문자로 바꾸고 그대로 선언한다.** "모든 정수 $n$에 대해 $n^2 - n$은 3의 배수이다." 조작의 방향은 정확하다 — 이번 주가 실제로 하는 일이 상수 자리에 문자를 놓는 것이고, 이 답은 그 조작을 이미 손으로 하고 있다. 간격은 두 가지다. 어느 상수를 풀 것인지가 근거 없이 정해졌고, 푼 뒤에 검증이 없다. 실제로 이 명제는 거짓이다 — $n = 2$에서 $2^2 - 2 = 2$이고 2는 3의 배수가 아니다. 검증을 절차로 세우는 것이 §1.4다. - **유형 3 — 어느 숫자를 풀지 정하지 못한다.** "$4$를 풀 수도 있고 $3$을 풀 수도 있고 둘 다 풀 수도 있는데 무엇이 맞는지 모르겠다." 이 답은 다른 둘보다 앞서 있다 — 선택지가 여럿이라는 것을 이미 보았기 때문이다. 간격은 선택의 기준이 어디에 있는지 모른다는 것뿐이다. 기준은 명제에 있지 않고 **증명문 안에** 있고, 그 사실이 §1.6 판정법의 전부다. **이번 주가 새로 주는 것.** 세 유형을 늘어놓으면 이번 주의 몫이 계산이 아니라는 것이 보인다. 계산은 유형 1이 이미 끝냈고, 조작은 유형 2가 이미 했다. 비어 있는 것은 세 가지다 — 증명문에서 무엇을 읽어야 하는지(정의 18.1과 §1.3 걸음 ①), 읽은 것이 어느 축을 지목하는지(§1.6), 그리고 만들어 낸 명제를 무엇으로 부를 자격이 있는지(§1.5). ## 개념 — 일반화 ### 1 S17주차까지의 도구로는 어디서 막히는가 이번 주의 절차를 세우기 전에, 가진 도구로 두 번 막혀 본다. **막힘 (가) — 결정 나무에 넣을 것이 없다.** S17주차의 결정 나무를 준비 운동의 과제에 적용해 보자. :::{admonition} 시도 — 결정 나무를 돌려 본다 :class: quotebox 0단계: A/B 분해. 가정 $A$는 없고 결론 $B$는 "$4^2 - 4$는 3의 배수이다". 숨은 양화사도 숨은 가설도 없다. 1단계: 결론 "3의 배수이다"에는 부정 신호(무리수 $\cdot$ $\neq$ $\cdot$ $\notin$ $\cdot$ "…가 아니다")가 없으므로 그대로 2단계로 내려간다. 2단계: 결론이 숨은 $\exists$("$4^2 - 4 = 3k$인 정수 $k$가 존재한다")이므로 구성법. 3단계: $k = 4$를 제시하고 검증한다. $3 \cdot 4 = 12 = 4^2 - 4$. 나무가 즉시 답을 냈고, 그 답은 이미 손에 있던 증명이다. 그리고 여기서 나무는 더 이상 돌지 않는다. ::: :::{container} quotebox **확인 1.** 결정 나무가 답하지 못한 물음을 한 문장으로 적어 보자. 나무가 다시 돌려면 무엇이 입력으로 들어와야 하는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "이 명제 다음에는 어떤 명제를 증명해야 하는가"에는 답하지 않는다. 결정 나무는 **명제를 입력으로 받아 기법을 출력**하는 장치이므로, 명제 자체가 출력이 되어야 하는 자리에서는 돌 것이 없다. 나무가 다시 돌려면 새 명제 하나가 입력으로 들어와야 하고, 그 명제를 만드는 일이 이번 주의 몫이다. ::: **막힘 (나) — 문자로 바꾸기는 했는데 그 다음이 없다.** 유형 2의 답을 그대로 다시 적고 검사해 보자. :::{admonition} 시도 — 상수를 문자로 바꾸기만 한다 :class: quotebox 원래 명제: "$4^2 - 4$는 3의 배수이다." 바꾼 명제: "모든 정수 $n$에 대해 $n^2 - n$은 3의 배수이다." $n = 4$: $12 = 3 \cdot 4$. 성립한다. $n = 3$: $6 = 3 \cdot 2$. 성립한다. $n = 2$: $2$. 3의 배수가 아니다. ::: :::{container} quotebox **확인 2.** 위 시도가 만들어 낸 것은 정리인가 추측인가 거짓 명제인가. 그리고 "상수를 문자로 바꾼다"는 조작 자체에 잘못이 있는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 거짓 명제다. $n = 2$가 반례이고, 1권 29주차 정의 29.2의 서식으로 적으면 "제시: $n = 2$ / 검증 1(가정 만족): 2는 정수이다 / 검증 2(결론 위배): $2^2 - 2 = 2$이고 $2 = 3k$인 정수 $k$는 없다"가 된다. 조작 자체에는 잘못이 없다. 빠진 것은 조작의 **앞과 뒤**다 — 앞에서 어느 상수를 풀 것인지 정하는 근거가 없었고, 뒤에서 만들어진 명제를 검사하는 걸음이 없었다. 이번 주의 절차는 이 앞뒤를 채우는 것이다. ::: 두 막힘의 원인은 하나다. **증명문을 결과로만 읽고 자료로 읽지 않았다.** 완성된 증명문에는 "이 명제가 참이다"라는 결론 말고도 "이 결론을 얻는 데 무엇이 쓰였는가"라는 자료가 줄마다 적혀 있는데, S17주차까지는 그 자료를 쓸 일이 없었다. ### 2 사례 표를 채워 보기 증명문을 자료로 읽는 일을 실제로 해 보자. 아래 표의 왼쪽 열은 전부 이미 완성된 증명이다. 각 증명이 등장하는 특정 값에 대해 **실제로 쓴 성질**과, 한 줄도 쓰지 않은 **특수성**을 갈라 적는다. | **완성된 증명** | **증명이 실제로 쓴 성질** | **한 줄도 쓰이지 않은 특수성** | |---|---|---| | $6 + 8 = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 2(3+4)$이므로 짝수이다 | 6과 8이 각각 2의 배수라는 것 | 6과 8이 그 값이라는 것 — 값 자체는 마지막 줄에 등장하지 않는다 | | $4^2 - 4 = 4(4-1) = 4 \cdot 3$이므로 3의 배수이다 | $\underline{\quad(1)\quad}$ | 4가 짝수라는 것, 4가 제곱수라는 것 | | 덧셈의 교환법칙에 의해 $2 + 3 = 3 + 2$이다 | 없다 — 덧셈의 교환법칙 한 줄뿐이다 | $\underline{\quad(2)\quad}$ | | $x^2 + y^2 - 2xy = (x-y)^2 \ge 0$이므로 $x^2 + y^2 \ge 2xy$이다 (1권 16주차 예제 2.1) | 제곱이 0 이상이라는 것 — 곧 무대에 $\underline{\quad(3)\quad}$가 있다는 것 | $x, y$가 어떤 특정 값이라는 것 | | $2 = 2 \cdot 1$이고 $4 = 2 \cdot 2$이므로 $2 \cdot 4 = (2 \cdot 1)(2 \cdot 2) = 4(1 \cdot 2)$이고 $1 \cdot 2$는 정수이다 | $\underline{\quad(4)\quad}$ | 2와 4가 그 값이라는 것 | :::{container} quotebox **확인 3.** 빈칸 (1)~(4)를 채우고, 셋째 열이 채워진 줄에서 명제에 대해 무엇을 할 수 있는지 한 문장으로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $4 - 1 = 3$이라는 것 — 곧 4가 3보다 1 큰 수라는 것. (2) 2와 3이 그 값이라는 것, 그리고 정수라는 것까지. 교환법칙은 실수에서도 그대로 성립하므로 "정수"조차 쓰이지 않았다. (3) 순서 관계 $\ge$. 1권 16주차의 (W1)이 그것이다. (4) 2와 4가 각각 2를 인수로 갖는다는 것. 셋째 열의 특수성은 명제에서 **지워도 증명이 그대로 돈다**. 지운 자리에 문자를 놓으면 더 넓은 명제가 되고, 원래 증명문이 그 명제의 증명으로 그대로 쓰인다. 이 표를 채우는 데 **새로운 기호도 새로운 계산도 쓰이지 않았다** — 이미 완성된 증명문을 한 줄씩 다시 읽은 것이 전부다. ::: 셋째 열을 채우는 일이 이번 주의 조작 전체이므로, 그것을 묻는 물음에 이름을 붙인다. ### 정의 18.1 — 일반화 (generalization)와 발동 질문 [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 증명 한 편을 완성한 뒤 그 증명문에 묻는다 — **"이 증명은 특정한 값(또는 대상)의 어떤 성질을 실제로 사용했는가?"** 사용된 성질만이 명제의 가설에 남을 자격이 있다. 사용되지 않은 특수성은 문자로 바꿀 수 있고, 그렇게 명제를 넓히는 일을 **일반화**라 한다. ::: 이 물음은 명제가 아니라 **증명문**에 던진다는 점이 요점이다. 같은 명제라도 증명이 달라지면 발동 질문의 답이 달라지고, 따라서 얻는 일반화도 달라진다 — 예제 2.1에서 둘째 등식을 버리고 첫째 등식만 남긴 증명문이 전혀 다른 일반화를 낳는 것이 그 사례다. **1권에서 이미 한 번 했던 관찰.** 1권 1주차 확인 13은 "증명의 $a$, $b$ 자리에 넣을 수 있는 것은 아무 정수나 전부"라고 답하면서 그 근거를 "증명의 어느 줄도 $a$, $b$가 특정 정수라는 사실을 쓰지 않았기 때문"이라고 적었다. 그 한 줄이 정의 18.1이다. 1권에서는 완성된 증명이 옳다는 것을 확인하는 데 쓰였고, 여기서는 새 명제를 만드는 데 쓰인다 — **같은 관찰의 방향이 뒤집힌 것**이 이번 주의 전부다. S6주차의 임의성 원칙("자격 외의 성질을 쓰지 않았으므로 치환 검사를 통과한다")도 같은 관찰이며, 이번 주는 그것을 "쓰지 않은 성질은 애초에 자격에 넣지 않아도 된다"로 읽는다. ### 정의 18.2 — 세 가지 일반화 축 (axes of generalization) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 발동 질문의 답이 지목하는 방향은 셋이다. **① 상수 $\to$ 변수**: 명제 안의 특정 수를 문자로 바꾼다. **② 특정 대상 $\to$ 임의 대상**: 특정 집합$\cdot$함수$\cdot$도형을 그 성질을 갖는 것 전체로 바꾼다. **③ 강한 가설 $\to$ 약한 가설**: 증명이 쓰지 않은 가설을 지우거나 약한 것으로 바꾼다. ::: | **축** | **무엇을 푸는가** | **예** | |---|---|---| | ① 상수 $\to$ 변수 | 명제에 값으로 박혀 있는 수 | "$2 \cdot 4$는 4의 배수" $\to$ "두 짝수의 곱은 4의 배수" / "3의 배수" $\to$ "$m$의 배수" | | ② 특정 대상 $\to$ 임의 대상 | 이름이 붙은 하나의 대상 | "$\mathbb{R}$에서 성립한다" $\to$ "순서를 가진 무대에서 성립한다" / 특정 삼각형 $\to$ 임의의 삼각형 | | ③ 강한 가설 $\to$ 약한 가설 | 가설 목록에 있으나 증명이 안 쓴 조건 | "미분가능이면" $\to$ "연속이면" / "양의 정수" $\to$ "정수" | 축 ③이 가장 다루기 어렵다. 축 ①과 ②는 "쓰이지 않은 특수성"이 눈에 보이는 자리에 있지만, 축 ③은 가설 목록과 증명문을 **한 줄씩 대조**해야 쓰이지 않은 가설이 드러나기 때문이다. 그리고 가설을 약화하면 결론까지 약해지는 경우가 있어 재검사가 반드시 따라온다(예제 2.2). ### 3 절차 해부 — 일반화의 네 걸음 일반화는 네 걸음으로 실행한다. 걸음마다 하는 일이 다르다. | **걸음** | **하는 일** | **이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가** | |---|---|---| | ① 증명문 정독 — 특정 값이 등장하는 줄을 전부 표시하고 각 줄이 그 값의 어떤 성질을 쓰는지 적는다 | 발동 질문의 답을 목록으로 만든다 | 어느 축으로 갈지 근거 없이 고르게 된다 — §0 유형 3의 막힘이 그대로 남는다 | | ② 재진술 — 쓰이지 않은 특수성 자리에 문자를 놓고 명제를 다시 적는다 | 새 명제를 만든다 | 검증할 대상도 증명할 대상도 없다. 관찰만 있고 명제가 없는 상태로 끝난다 | | ③ 반례 검문 — 작은 사례와 경계 사례를 새 명제에 대입한다 | 거짓 명제를 먼저 걸러낸다 | 거짓 명제를 정리로 선언하게 된다 (아래 삭제 실험) | | ④ 증명 재검사 — 원래 증명문을 새 명제 위에서 한 줄씩 다시 읽는다 | 산물이 정리인지 추측인지 판정한다 | 검문만 통과한 명제를 증명된 것으로 부르게 된다 (아래 삭제 실험) | **걸음 삭제 실험 (가) — 반례 검문을 지우면.** 걸음 ③을 지운 답안을 검사해 보자. :::{admonition} 삭제 실험 — 검문 없이 선언한 답안 :class: quotebox "$4^2 - 4 = 4(4-1) = 4 \cdot 3$이므로 3의 배수이다. 이 증명은 4의 어떤 특수성도 쓰지 않았다. 따라서 모든 정수 $n$에 대해 $n^2 - n$은 3의 배수이다." ::: :::{container} quotebox **확인 4.** 위 답안에서 거짓인 문장은 어느 것인가. 그 문장이 거짓이라는 것을 알아채는 가장 짧은 방법은 무엇인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 거짓인 문장은 두 개다. 마지막 문장(명제)이 거짓이고, 그 앞의 "4의 어떤 특수성도 쓰지 않았다"도 거짓이다. 증명의 마지막 등식 $4(4-1) = 4 \cdot 3$은 $4 - 1 = 3$을 썼고, 그것이 정확히 4의 특수성이다 — 걸음 ①의 정독이 부실했다. 가장 짧은 방법은 걸음 ③ 한 줄이다. $n = 2$를 대입하면 $2^2 - 2 = 2$이고 즉시 무너진다. 곧 **걸음 ③은 새 명제만 검사하는 것이 아니라 걸음 ①의 오독까지 잡는다.** 정독이 어려운 만큼 검문이 값싸다는 것이 이 배치의 이유다. ::: **걸음 삭제 실험 (나) — 증명 재검사를 지우면.** 걸음 ④를 지운 답안을 검사해 보자. :::{admonition} 삭제 실험 — 검문 통과를 증명으로 삼은 답안 :class: quotebox "$1^3 + 2^3 = 9 = (1+2)^2$이다. 일반화: 모든 자연수 $n$에 대해 $1^3 + \cdots + n^3 = (1 + \cdots + n)^2$이다. 검문: $n = 1$, $2$, $3$에서 각각 $1 = 1$, $9 = 9$, $36 = 36$. 반례 없음. 따라서 이 등식은 정리이다." ::: :::{container} quotebox **확인 5.** 위 답안의 계산 중 틀린 것이 있는가. 그렇다면 무엇이 잘못되었는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 계산은 한 줄도 틀리지 않았다. 실제로 이 등식은 참이며, S14주차 문제 8에서 귀납으로 증명되었다. 잘못된 것은 **마지막 한 줄의 자격**이다 — 검문 세 개를 통과한 것과 증명된 것은 다르다. 검문은 거짓 명제를 걸러 낼 수 있을 뿐 참을 보증하지 못한다. 이 답안이 위험한 이유는 결론이 우연히 참이라는 데 있다: 같은 형식의 답안을 페르마 수에 적용하면 다섯 사례를 통과하고도 거짓 명제를 정리로 선언하게 된다(문제 18). ::: ### 4 반례 검문의 서식 [백지 암기 대상] 걸음 ③은 다음 세 줄로 실행한다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **반례 검문의 서식** ① **작은 사례 정찰** — $n = 1, 2, 3$처럼 손으로 계산되는 값을 넣는다. ② **경계$\cdot$특수 사례 공격** — $0$, 음수, 등호가 성립하는 자리, $1$, 빈 집합, 정의가 두 갈래로 갈리는 지점을 넣는다. 일반화가 무너지는 자리는 대개 경계에 있다. ③ 하나라도 위반이 나오면 **반례**다. 1권 29주차 정의 29.2의 서식(제시 $\cdot$ 검증 1(가정 만족) $\cdot$ 검증 2(결론 위배))으로 적고, 자격을 좁히거나 결론을 바꿔 명제를 되물린다. ::: **되물림의 예.** "모든 자연수 $n$에 대해 $2^n > n^2$"은 $n = 2$에서 $4 > 4$가 거짓이므로 무너진다. 자격을 "$n \ge 5$"로 좁히면 참이 되고(S14주차 문제 11), 좁힌 명제가 이번에는 증명 가능하다. 되물림은 후퇴가 아니라 **자격의 확정**이다. :::{container} quotebox **확인 6.** 검문을 열 사례에서 통과한 명제를 "정리"라 불러도 되는가. 그리고 검문을 한 사례에서 통과하지 못한 명제를 "거짓"이라 불러도 되는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 앞은 안 되고 뒤는 된다. 검문 통과는 반례를 **아직** 찾지 못했다는 뜻일 뿐이므로 산물의 라벨은 "추측"이다. 반면 위반 사례 하나는 전칭 명제의 부정을 확정하므로 "거짓"이라 부를 수 있다 — 1권 29주차의 반증이 그것이고, 반례 하나가 곧 $\neg S$의 완전한 증명이다. 이 비대칭이 검문을 값싸게 만드는 이유이면서 동시에 검문만으로 끝내면 안 되는 이유다. ::: ### 5 일반화의 세 산물 걸음 ③과 ④의 결과에 따라 산물의 이름이 정해진다. | **걸음 ③$\cdot$④의 결과** | **산물** | **그 다음에 할 일** | |---|---|---| | 검문 통과, 원래 증명이 한 줄도 안 고치고 돈다 | 정리 | 새 진술로 다시 적고 근거 목록 ④에 올린다 | | 검문 통과, 몇 줄을 고치면 돈다 | 정리 | 고친 증명을 처음부터 끝까지 다시 적는다 — 고친 줄만 적은 것은 증명이 아니다 | | 검문 통과, 증명은 막힌다 | 추측 | "추측"이라는 라벨을 달아 보관한다. 참일 수도 거짓일 수도 있다 | | 검문에서 반례가 나온다 | 거짓 명제 | 걸음 ①로 돌아가 증명문을 다시 정독한다 $\to$ 자격을 좁히거나 결론을 바꿔 걸음 ②를 다시 한다 | | 되물림에서 결론 자체를 바꿨고, 바뀐 진술이 검문과 재증명을 통과한다 | 다른 축의 정리 | 산물이 원 명제를 특수 경우로 포함하지 않는다는 것을 답안에 명시한다 — 원 명제와 무관한 새 정리다 | | 검문 통과, 검증 1(가정 만족)에서 걸러진 값 중 결론을 만족하는 것이 있다 | 정리(넓힐 자리가 남았다) | 걸음 ②로 돌아가 자격을 그만큼 넓히고 검문을 다시 한다 | 셋째 줄이 이번 주가 1권 29~30주차와 이어지는 자리다. 일반화가 만든 추측은 참$\cdot$거짓이 표시되지 않은 명제이며, 그 앞에 서는 훈련이 1권 30주차였다. ### 6 판정법 — 증명문의 관찰이 축을 정한다 [백지 암기 대상] 걸음 ①의 목록을 놓고 위에서부터 훑는다. | **걸음 ①에서 관찰된 것** | **축** | **첫수** | |---|---|---| | 특정 수가 값으로 쓰이지 않고 자격("정수", "짝수", "2의 배수")으로만 쓰였다 | ① 상수 $\to$ 변수 | 그 수를 문자로 놓고 자격을 가설로 올린다 | | 특정 수가 계산에 값으로 들어간다 ($4 - 1 = 3$처럼) | 축 없음 | 그 수는 풀 수 없다. 다른 수를 다시 검사하거나, 그 계산을 버리고 남는 구조가 보장하는 것으로 결론을 바꾼다 | | 특정 대상의 이름만 쓰이고 그 대상만의 성질은 안 쓰였다 | ② 특정 $\to$ 임의 | 무대를 그 성질을 갖는 대상 전체로 넓힌다 | | 가설 목록에 있으나 증명문의 어느 줄에서도 인용되지 않은 조건이 있다 | ③ 가설 약화 | 그 조건을 지운다 | | 가설이 한 자리에서 부분적으로만 쓰였다 | ③ 가설$\cdot$결론 동시 조정 | 쓰인 만큼만 남기고 결론을 그만큼 낮춘다 | | 가설이 한 자리에서 어떤 결과를 끌어내는 데만 쓰였다 | ③ 가설 약화 | 그 가설을 지우고 끌어낸 결과를 새 가설로 올린다 (결론은 그대로) | 한 줄 요약: **증명이 쓴 것은 가설로 남기고, 쓰지 않은 것은 문자로 푼다.** 둘째 줄이 §0 유형 2의 답을 막는 자리다. "$4^2 - 4$는 3의 배수" 증명에서 4는 $4 - 1 = 3$이라는 계산에 값으로 들어가므로 풀 수 없는 상수였고, 그것을 확인하지 않은 채 문자로 놓았기 때문에 거짓 명제가 나왔다. ### 7 근거 목록 갱신 근거의 칸은 이번 주에도 네 개다. 이번 주가 채우는 것은 ①과 ④다. | **근거** | **이번 주에 추가$\cdot$갱신되는 것** | **이번 주에는 이렇게 쓴다** | |---|---|---| | ① 정의 | **S18주차 정의 18.1**(발동 질문) $\cdot$ **정의 18.2**(세 축) | 증명문을 읽어 성질 목록을 만들고, 목록이 지목하는 축을 §1.6 표의 몇째 줄인지까지 밝힌다 | | ② 닫힘성 | 변화 없음 | 일반화한 명제의 재증명 안에서 "$a + b$는 정수이므로"를 별도 설명 없이 쓴다 | | ③ 등식$\cdot$부등식의 성질 | 변화 없음 | 1권 16주차 (W1)~(W6). 축 ②의 무대를 논할 때 어느 성질이 무대에 있어야 하는지 지목하는 데 쓴다 | | ④ 이미 증명한 명제$\cdot$채택한 사실 | **1권 29주차 정의 29.2**(반례 서식) — 걸음 ③의 서식. 부품: 연속 두 정수의 곱은 짝수(1권 1주차 문제 16), $a \mid b$이고 $b \mid a$이면 $a = b$ 또는 $a = -b$(1권 2주차 문제 20), $x^2 + y^2 \ge 2xy$(1권 16주차 예제 2.1), 세제곱 합 공식(S14주차 문제 8), $n \ge 5$에서 $2^n > n^2$(S14주차 문제 11), 가법함수의 배수 성질의 특수 경우 — $f(2x) = 2f(x)$ $\cdot$ $f(3x) = 3f(x)$ $\cdot$ $f(x/2) = f(x)/2$(S7주차 문제 15), $f(1) = 3$일 때 정수에서 $f(n) = 3n$(S13주차 문제 17), 평균값 정리와 최대$\cdot$최소 정리(이 교재의 범위 밖 — 미적분학의 결과로 인정하고 사용한다), 피타고라스 정리$\cdot$코사인 법칙$\cdot$평행선 공준과 구면 기하의 사실(이 교재의 범위 밖 — 기하의 결과로 인정하고 사용한다) | "1권 1주차 문제 16에 의해"처럼 출처를 대고 한 줄로 끝낸다 | 목록 밖의 것은 이번 주에도 근거가 되지 않는다. 특히 **"작은 사례 여러 개에서 성립하므로"는 근거가 아니다** — 그것은 걸음 ③의 검문 결과일 뿐이고, 산물의 라벨을 "추측"으로 정하는 데만 쓰인다. :::{container} quotebox **확인 7.** 어떤 답안에 다음 두 문장이 나왔다. 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가. (가) "$n = 1, 2, 3, 4, 5$에서 확인했으므로 모든 자연수에서 성립한다." (나) "$n(n-1)$은 연속한 두 정수의 곱이므로 짝수이다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (가) 불허. 걸음 ③의 결과를 걸음 ④의 결론으로 쓴 것이며, 이것이 §1.3 삭제 실험 (나)에서 본 격상이다. 허용되는 형태는 "다섯 사례에서 반례가 나오지 않았으므로 이 명제를 추측으로 둔다"까지다. (나) 허용 — 근거 ④. 1권 1주차 문제 16이 출처이고, 한 줄로 인용하면 된다. 다만 $n(n-1)$이 실제로 연속한 두 정수의 곱이라는 것(하나는 $n-1$, 다른 하나는 $n$)은 답안에 적어야 한다. 인용은 대상이 그 정리의 가설을 만족할 때만 선다. ::: 정의 18.1$\cdot$18.2와 §1.4의 서식, §1.6의 판정법 표는 외운다 — [백지 암기 대상] 표시가 그 대상이다. 통째로 외우기보다 "증명이 쓴 것은 남기고 쓰지 않은 것은 푼다"라는 한 문장에서 나머지를 재구성하는 쪽이 재현률이 높다.