# S10주차 — NOT 다루기: 부정을 안으로 밀어 넣는 기계 :::{admonition} 이 주의 길잡이 :class: keybox **핵심 문장**: 부정은 내용의 문제가 아니라 위치의 문제다 — 표면의 NOT을 본체까지 밀어 넣으면 남는 것은 뒤집힌 부등호 하나이고, 거기서부터는 지금까지의 기법이 그대로 작동한다. **이 주의 위치**: 1학기 20주 과정의 S10주차이자 부정 3부작(S10주차 기계 $\cdot$ S11주차 귀류 $\cdot$ S12주차 대우)의 첫 주. S9주차 종합시험은 "결론이 부정문일 때"를 답할 수 없는 칸으로 남겨 두었고(S9주차 문제 20), 이번 주가 그 칸을 채운다. 1권 11주차에서 규칙표로 세워 둔 부정 만들기가, 여기서 부정형 결론을 만난 증명의 **첫 걸음**이라는 이름과 자리를 얻는다. **원서 대응**: Solow 8장. 주간 루틴 1일차에 원서 8장을 통독한 뒤 이 문서로 온다. ::: ## 이번 주 목표 1. **부정 신호**를 감지한다 — 겉 NOT("않다", "아니다")과 숨은 NOT(무리수, $\notin$, $\neq$, $\nmid$, 발산, "단사가 아니다", "유계가 아니다")을 같은 신호로 읽는다. 1. **NOT 밀어넣기 기계** 6칙(이중부정 $\cdot$ 드모르간 둘 $\cdot$ 조건문 부정 $\cdot$ 양화사 반전 둘)과 적용 규칙을 백지 수준으로 굳히고, **자격은 부정되지 않는다**는 사고를 피한다. 1. 부정형 결론의 **처방 ① 긍정형 재표현** — NOT을 밀어 넣은 결과가 구성$\cdot$선택 게임으로 바뀌는 것 — 을 실전한다. 1. 처방 ②(대우, S12주차)$\cdot$③(귀류, S11주차)의 자리를 예약하고, 그 둘 모두 이번 주 기계를 부품으로 쓴다는 것을 확인한다. 본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다. ## 준비 운동 (S9주차 복습) 노트에 먼저 적은 뒤 아래를 읽는다. 1. 네 칸 표(양화사의 위치 $\times$ $\forall$$\cdot$$\exists$)를 기법 이름$\cdot$첫 문장$\cdot$값을 고르는 쪽까지 재현하시오 (S9주차 1부 항목 9 — 이번 주 내내 사용한다). 1. 1권 11주차의 부정 규칙 총목록 여섯 줄을 쓰시오 — $\neg(P \wedge Q)$, $\neg(P \vee Q)$, $\neg(P \Rightarrow Q)$, $\neg\forall$, $\neg\exists$, $\neg\neg P$. 1. S8주차 문제 14에서 "$a_n \to L$이 아니다"를 전개한 결과를 재현하시오. 이어서 다음 과제를 해 보자. **명제 "$f(x) = x^2$ ($f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$)은 증가함수가 아니다"의 증명에서, 첫 문장을 적어 보자.** ### 자주 나오는 세 가지 답 이 자리에서 나오는 답은 대개 다음 세 가지 중 하나다. 셋 다 S1주차~S9주차를 제대로 익힌 사람에게서 나오는 답이고, 셋 다 이번 주가 메울 정확한 간격이 있다. - **유형 1 — 그래프로 답한다.** "$x < 0$ 구간에서 값이 내려가므로 증가함수가 아니다." 관찰은 정확하다. 빠진 것은 그 관찰을 정의의 문장으로 옮기는 줄이다. 채점자가 검사할 수 있는 것은 그래프가 아니라 정의를 만족하거나 위반하는 **구체적 대상**이므로, "내려간다"를 어떤 두 수에 대한 어떤 부등식으로 적을지가 아직 정해지지 않았다. - **유형 2 — 쌍은 찾았으나 서식이 없다.** "$-1$과 $0$을 보면 된다"라고 적고 멈춘다. 고른 쌍은 정확하고, 실제로 이번 주 예제 2.1의 답안이 그 쌍을 쓴다. 빠진 것은 그 쌍이 왜 반례인지의 검증 두 조각($-1 < 0$이라는 것과 $f(-1) \ge f(0)$이라는 것)과, 그 두 조각이 왜 하필 그 둘인지의 근거다. 근거는 §1.3의 전개가 만들어 준다. - **유형 3 — 첫 문장이 나오지 않는다.** 결론에 $\forall$도 $\exists$도 보이지 않아 네 칸 표를 펼 자리가 없다. 이 멈춤은 정확한 멈춤이다 — 기법을 잊어서가 아니라 기법을 고르는 데 필요한 겉모양이 표면의 NOT에 가려져 있어서 생긴 멈춤이고, §1.1이 그 자리를 다룬다. ## 개념 — 부정의 위치 ### 1 지금까지의 기법만으로는 어디서 막히는가 새 규칙을 세우기 전에, S5주차~S9주차의 도구만으로 준비 운동의 명제를 밀어붙여 본다. :::{admonition} 시도 — 네 칸 표로 조준하기 :class: quotebox 명제: $f(x) = x^2$ ($f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$)은 증가함수가 아니다. "결론 $B$는 '$f$는 증가함수가 아니다'이다. 네 칸 표를 쓰려면 $B$의 겉모양에서 가장 바깥 양화사를 찾아야 한다. 그런데 $B$에는 $\forall$도 $\exists$도 없다. 후진 과정의 핵심 질문을 만들어 보자 — '어떻게 하면 함수가 증가함수가 아님을 보일 수 있는가?' 이 질문의 표준 답안지는 정의인데, '증가함수가 아니다'라는 낱말의 정의는 어디에도 …" ::: 여기서 멈춘다. 다음 줄이 나오지 않는다. :::{container} quotebox **확인 1.** 멈춘 자리에서 정확히 무엇이 없어서 멈추었는가. 없는 것이 기법인지, 아니면 다른 것인지 한 구절로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 없는 것은 기법이 아니라 **겉모양**이다. "겉모양이 기법을 정한다"는 이번 학기의 규칙은 그대로 살아 있는데, 표면의 NOT이 겉모양을 덮고 있어 그 규칙이 발동하지 못한다. 정의 목록에 "증가함수가 아니다"라는 항목이 없는 것도 같은 이유다 — 정의된 것은 "증가함수"이고, NOT은 그 정의 **바깥**에 붙어 있다. 그러므로 할 일은 새 기법을 배우는 것이 아니라 **NOT의 위치를 옮기는 것**이다. 옮기고 나면 겉모양이 드러나고, 그 순간 네 칸 표가 다시 작동한다. ::: ### 2 사례 표 채우기 — 부정 신호 NOT은 "아니다"라는 낱말로만 오지 않는다. 아래 표의 왼쪽 열은 전부 문면에 NOT이 없거나 한 낱말에 숨어 있는 진술이다. 오른쪽 열의 빈칸을 채워 보자. | **겉모습** | **숨은 NOT을 드러낸 꼴** | |---|---| | $x$는 무리수이다 | $\neg$($x$는 유리수이다) — 1권 정의 15.1이 무리수를 그렇게 정의한다 | | $x \notin A$ | $\underline{\quad(1)\quad}$ | | $a \neq b$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | | $a \nmid b$ | $\neg$($a \mid b$) | | $(a_n)$은 $L$로 수렴하지 않는다 | $\underline{\quad(3)\quad}$ | | $f$는 단사가 아니다 | $\underline{\quad(4)\quad}$ | | $S$는 위로 유계가 아니다 | $\underline{\quad(5)\quad}$ | | $n$은 소수가 아니다 | $\neg$($n$은 소수이다) | 기호 $\neg$는 "논리 부정"이라 읽고, 뒤에 오는 문장 전체가 성립하지 않는다는 뜻이다. "$\neg P$"는 소리 내어 "$P$가 아니다"로 읽는다. 표의 일곱째 줄에 쓰인 낱말 하나만 여기서 정해 둔다. S7주차가 준 것은 **상계**의 정의 "$M$은 $S$의 상계이다 $\equiv \forall x\,[\,x \in S \Rightarrow x \le M\,]$"이고, 그 앞에 $\exists M$을 붙인 꼴에는 아직 이름이 없었다. 그 꼴에 이름을 준다. :::{admonition} 위로 유계 (bounded above) :class: quotebox 집합 $S$가 **위로 유계**라는 것은 $S$의 상계가 존재한다는 뜻이다. 기호로 적으면 $\exists M\ \forall x \in S: x \le M$이다. 상계는 S7주차의 정의 그대로이고, 그 앞의 $\exists M$ 한 겹이 이번 주에 붙는 것이다. ::: :::{container} quotebox **확인 2.** 빈칸 (1)~(5)를 채워 보자. (3)~(5)는 정의를 펴야 나온다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $\neg$($x \in A$) (2) $\neg$($a = b$) (3) $\neg$($a_n \to L$) — 정의 45.1을 펴면 $\neg(\forall \varepsilon > 0\ \exists N\ \forall n > N: |a_n - L| < \varepsilon)$ (4) $\neg$($f$는 단사이다) — 정의 41.1을 펴면 $\neg\big(\forall x_1 \forall x_2\,[f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2]\big)$ (5) $\neg$($S$는 위로 유계이다) — 위 상자의 정의를 펴면 $\neg\big(\exists M\ \forall x \in S: x \le M\big)$이고, 안쪽의 $\forall x \in S: x \le M$은 S7주차의 상계 정의다 (1)(2)는 기호 하나에, (3)(4)(5)는 낱말 하나에 NOT이 접혀 있다. 접힌 NOT을 펴는 것이 전개의 걸음 ①이고, 펴기 전에는 어떤 규칙도 적용할 수 없다. ::: :::{container} quotebox **확인 3.** 위 여덟 줄의 오른쪽 열에 이번 학기에 처음 보는 것이 하나라도 있는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 없다. $\neg$의 뜻은 1권 7주차 정의 7.3, 규칙표는 1권 11주차 §1.3, 정의들은 1권 15$\cdot$41$\cdot$45주차와 S7주차의 것 그대로다. 낱말 하나만 이번 주에 이름을 얻었다 — "위로 유계"는 1학기 어느 주차에도 정의 상자로 나온 적이 없고, S7주차가 준 것은 **상계**다. 그러나 붙은 것은 상계 앞의 $\exists M$ 한 겹이고 그 겹도 이미 아는 양화사이므로, **식 자체에 새로운 것은 없다.** 이번 주가 새로 하는 것은 두 가지다. 하나는 이 여덟 줄을 "부정 신호"라는 **한 이름** 아래 모아 감지 대상으로 삼는 것이고, 다른 하나는 전개된 문장을 **증명으로 잇는** 것이다. 1권 11주차는 부정문을 만드는 데서 멈췄고 — 만들어진 부정문을 어떻게 증명하는지는 그때 다루지 않았다 — S8주차 문제 14도 전개까지만 하고 증명은 이 주에 넘겼다. 그 넘겨받은 자리가 여기다. ::: 이 감지 대상에 이름을 붙인다. 왼쪽 열에 나오는 낱말과 기호를 **부정 신호**라 한다. 부정 신호를 결론에서 보면 §1.5의 세 처방 중 하나를 고르고, 가정에서 보면 그 자리에서 바로 전개해 둔다. ### 3 NOT 밀어넣기 기계 — 6칙 [백지 암기 대상] | **규칙** | **변환** | **읽는 법** | |---|---|---| | N1 (이중부정) | $\neg\neg P \leadsto P$ | 두 번 뒤집으면 제자리 | | N2 (드모르간, $\wedge$) | $\neg(P \wedge Q) \leadsto \neg P \vee \neg Q$ | "둘 다"의 실패는 "한쪽이라도 실패" | | N3 (드모르간, $\vee$) | $\neg(P \vee Q) \leadsto \neg P \wedge \neg Q$ | "하나라도"의 실패는 "둘 다 실패" | | N4 (조건문 부정) | $\neg(P \Rightarrow Q) \leadsto P \wedge \neg Q$ | 약속 위반은 "조건은 됐는데 이행 안 함" | | N5 ($\forall$ 반전) | $\neg\forall x \in S,\ P(x) \leadsto \exists x \in S,\ \neg P(x)$ | "전원 통과"의 실패는 "낙제자 존재" | | N6 ($\exists$ 반전) | $\neg\exists x \in S,\ P(x) \leadsto \forall x \in S,\ \neg P(x)$ | "합격자 존재"의 실패는 "전원 낙제" | 기호 $\leadsto$는 "…로 바뀐다"로 읽는다(1권 11주차 §1.5의 기호 그대로다). 여섯 줄 전부 1권 9주차의 동치 목록과 1권 10주차의 판정 기준에서 이미 증명된 것이고, 이번 주는 이름만 새로 붙여 부른다. :::{admonition} 적용 규칙 :class: quotebox NOT이 본체(등호$\cdot$부등호$\cdot$소속)에 닿을 때까지 **바깥부터 한 겹씩** 민다. 한 걸음에 규칙 하나만 쓴다. 본체에 닿으면 $\neg(a = b)$는 $a \neq b$, $\neg(a < b)$는 $a \ge b$, $\neg(x \in A)$는 $x \notin A$, $\neg(a \mid b)$는 $a \nmid b$로 적는다. $\ge$는 "$<$가 아닌 경우 전부"이지 "반대 방향 부등호"가 아니다. ::: 이 적용을 걸음으로 쪼개면 넷이다. 절차를 해부한다. | **걸음** | **하는 일** | **이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가** | |---|---|---| | ① 정의 노출 | 낱말$\cdot$기호에 접힌 NOT과 양화사를 정의의 문장으로 편다 | 뒤집을 양화사가 문면에 없으므로 N1~N6 중 어느 것도 적용할 수 없다 — §1.1의 멈춤이 그대로 재연된다 | | ② 겹 벗기기 | 가장 바깥 연결사$\cdot$양화사 하나에 규칙 하나를 적용한다 | 두 겹을 한꺼번에 뒤집으면 안쪽에 처리되지 않은 연결사가 남아 진리값이 어긋난다(아래 실험) | | ③ 본체 도달 | 등호$\cdot$부등호$\cdot$소속을 뒤집어 NOT을 없앤다 | $\neg(<)$를 $>$로 적는 사고가 여기서 나온다 — 등호 쪽 증인을 잃는다(아래 실험) | | ④ 게임 판독 | 전개문의 겉모양을 네 칸 표에 넣어 기법을 정한다 | 전개는 옳게 끝났는데 답안의 첫 문장이 정해지지 않는다 — 손에 든 것이 문장뿐이고 지시가 없다 | **걸음 삭제 실험 1 — 걸음 ②의 "한 겹씩"을 지우면.** 증가함수의 정의 $\forall x_1 \forall x_2\,(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2))$를 부정할 때, $\forall$ 두 개를 $\exists$로 바꾸고 후건만 뒤집은 채 **조건문 꼴을 그대로 남긴** 문장을 보자. 부정을 후건에만 통과시키고 조건문을 남기는 것은 1권 10주차 §0의 유형 1과 같은 사고다. $$ \exists x_1 \exists x_2\,\big(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \ge f(x_2)\big) $$ 이 문장에 $x_1 = 1$, $x_2 = 0$을 넣으면 전건 "$1 < 0$"이 거짓이므로 조건문 전체가 참이다. 곧 이 문장은 **어떤 $f$에 대해서도 참**이고, 증가함수인 $f(x) = x$에 대해서도 참이다. 원문도 참, "부정"도 참 — 원문과 부정은 언제나 진리값이 반대여야 한다는 부정의 자격 (1권 11주차 §1.3)이 무너졌다. 조건문을 남겨 둔 채 양화사만 뒤집으면 안 되는 이유가 이것이다. **걸음 삭제 실험 2 — 걸음 ③에서 $\neg(<)$를 $>$로 적으면.** 전개문이 $$ \exists x_1 \exists x_2\,\big(x_1 < x_2 \wedge f(x_1) > f(x_2)\big) $$ 가 된다. 상수함수 $f(x) = 0$을 넣어 보자. 이 $f$는 증가함수가 아니므로 올바른 부정은 참이어야 하는데, 어떤 쌍에서도 $f(x_1) > f(x_2)$가 성립하지 않으므로 위 문장은 거짓이다. 여기서도 진리값이 반대가 아니다. 등호가 붙은 $\ge$를 $>$로 좁히는 순간 등호로만 위반하는 사례가 증인 자격을 잃는다. :::{container} quotebox **확인 4.** 명제 "$S$는 위로 유계이다"는 $\exists M\ \forall x \in S: x \le M$이다. 이것의 부정을 걸음 ②③에 따라 두 줄로 전개해 보자. 각 줄에 규칙 번호를 단다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 첫 줄 — 가장 바깥은 $\exists M$이므로 N6: $\forall M\ \neg\big(\forall x \in S: x \le M\big)$. 둘째 줄 — 남은 바깥은 $\forall x$이므로 N5: $\forall M\ \exists x \in S:\ \neg(x \le M)$. 걸음 ③ — 본체 도달: $\forall M\ \exists x \in S:\ x > M$. 읽으면 "어떤 문턱 $M$을 제시해도 그것을 넘는 원소가 $S$ 안에 있다"이다. 이 전개가 문제 3(a)와 문제 9의 출발점이다. ::: :::{container} quotebox **확인 5.** 위 전개에서 걸음 ④를 수행해 보자. 전개문의 가장 바깥 겹은 네 칸 표의 어느 칸이고, 답안의 첫 문장은 무엇인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 가장 바깥은 $\forall M$이고 이것은 **결론의 $\forall$**이므로 선택법(S6주차)이다. 첫 문장은 "실수 $M$을 임의로 잡자."이다. 그다음 겹 $\exists x$는 결론의 $\exists$이므로 구성법(S5주차) — 둘째 문장은 "$x = \dots$으로 두자."가 되고, 증인은 $M$의 식이어도 된다(S8주차의 의존성의 문법). 전개가 끝나는 순간 답안의 문장 개수까지 정해진다. ::: ### 4 자격은 부정되지 않는다 전개에서 가장 자주 무너지는 자리다. 명제 "모든 **양수** $x$에 대해 $P(x)$"의 부정은 "어떤 **양수** $x$에 대해 $\neg P(x)$"이지, "어떤 $x$는 양수가 아니거나 $\neg P(x)$"가 아니다. 양화사에 붙은 자격("양수", "$\in S$", "$n > N$")은 심사가 벌어지는 범위의 선언이지 주장의 내용이 아니므로, 주장을 뒤집어도 범위는 그대로 남는다. N4가 그 이유를 계산으로 보여 준다. 자격이 붙은 전칭은 조건문으로 풀어 쓸 수 있다: $$ \forall x\,[\,x > 0 \Rightarrow P(x)\,] $$ 여기에 N5를 적용하면 $\exists x\ \neg[\,x > 0 \Rightarrow P(x)\,]$이고, 이어서 N4를 적용하면 $$ \exists x\,[\,x > 0 \wedge \neg P(x)\,] $$ 이다. 자격 "$x > 0$"이 $\wedge$의 한쪽으로 **살아남는다**. 뒤집힌 것은 $P$뿐이다. :::{container} quotebox **확인 6.** 명제 "모든 양수 $x$에 대해 $x + \frac1x \ge 2$"는 참이다($x > 0$일 때 $x + \frac1x - 2 = \frac{(x-1)^2}{x} \ge 0$ — (W1)과 (W5), 1권 16주차). 자격까지 부정한 문장 "어떤 $x$는 양수가 아니거나 $x + \frac1x < 2$이다"는 참인가 거짓인가. 그리고 그 답이 왜 판정인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown **참이다.** $x = -1$을 넣으면 "$-1$은 양수가 아니다"가 성립하므로 $\vee$의 한쪽이 참이고 문장 전체가 참이 된다. 그런데 원명제도 참이다. 원문과 "부정"이 동시에 참이므로 진리값이 반대가 아니고, 따라서 그 문장은 원명제의 부정이 아니다. 목격자는 $x = -1$ — 원명제의 무대에 애초에 들어오지 않는 대상이다. 자격을 부정하면 원명제와 무관한 세계의 대상이 증인 자리에 들어온다. 올바른 부정은 "어떤 **양수** $x$에 대해 $x + \frac1x < 2$이다"이고, 이 문장은 거짓이다 — 원명제가 참이므로 그래야 한다. ::: ### 5 부정형 결론의 3처방 [백지 암기 대상] :::{admonition} 부정형 결론의 3처방 :class: quotebox 결론 $B$가 부정형일 때 고를 수 있는 길은 셋이다. **① 긍정형 재표현** — NOT을 기계로 본체까지 밀거나, 배타성과 전수성이 증명된 특성화로 갈아탄다("짝수가 아니다"를 "홀수이다"로). 밀어 넣은 결과는 대개 구성$\cdot$선택 게임이 된다. 이번 주의 주력이다. **② 대우로 게임 교체** (S12주차) — $B$의 NOT을 가정 자리로 보내 결론을 긍정형으로 되살린다. **③ 귀류로 게임 교체** (S11주차) — $\neg B$를 가정으로 받는다. 받는 순간 N1로 NOT이 벗겨져 다룰 수 있는 긍정문이 손에 들어온다. 셋 중 무엇을 고르든 첫 동작은 같다 — **NOT을 정확히 전개하는 것**이다. 전개가 틀리면 세 처방 모두 틀린 명제를 향한다. ::: :::{container} quotebox **확인 7.** 다음 세 결론에 어느 처방이 가장 먼저 후보가 되는가. (가) "$f$는 단사가 아니다" (나) "$\sqrt2$는 무리수이다" (다) "$n^2$이 짝수이면 $n$은 홀수가 아니다" ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (가) ① — 정의를 펴서 전개하면 $\exists \exists [\wedge]$가 되어 증인 쌍 하나를 제시하는 구성 게임이 된다(훈련 1). (나) ③ — "무리수"는 $\neg$(유리수)라는 부정형 정의이고, 밀어 넣어 봐야 "$\frac ab$ 표현이 존재하지 않는다"라는 또 다른 부정형이 나온다. $\neg B$("유리수이다")를 가정으로 받으면 곧바로 등식이 손에 들어온다 — 1권 21주차가 그 길이었다. (다) ② — 결론 "홀수가 아니다"의 NOT을 가정 자리로 보내면 "$n$이 홀수이면 $n^2$은 짝수가 아니다"가 되어 양쪽이 다 긍정형이 된다. 1권 19주차의 대우가 이 처방이다. 세 문항 모두 판단의 기준은 하나다 — **어느 길이 등식이나 양화사를 가장 빨리 손에 쥐어 주는가**. ::: ### 6 반례의 문법 — N4와 N5의 합작 "명제 $\forall x\,[P(x) \Rightarrow Q(x)]$는 거짓이다"를 보이는 것은 그 명제의 부정을 증명하는 것과 같은 일이다. 부정을 전개하면 N5와 N4가 차례로 작동해 $$ \exists x\,[\,P(x) \wedge \neg Q(x)\,] $$ 가 되고, 이것은 결론의 $\exists$이므로 구성법이 지정된다 — $P$를 만족하면서(검증 1) $Q$를 위반하는(검증 2) 증인 하나를 제시하고 검증하면 끝난다. :::{container} quotebox **확인 8.** 1권 29주차의 반례 서술 서식은 "반례 제시 + 가정 성립 확인 + 결론 위배 확인"의 세 조각이었다. 이 세 조각은 위 전개식의 어느 부분에서 나오는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "반례 제시"는 $\exists x$의 처리(구성법의 증인 제시), "가정 성립 확인"은 $\wedge$의 왼쪽 $P(x)$의 검증, "결론 위배 확인"은 오른쪽 $\neg Q(x)$의 검증이다. 세 조각이 전개식의 세 부분과 하나씩 대응한다. 1권 29주차에서는 이 서식을 규칙으로 받아 외웠다. 여기서 그 서식은 **유도된 것**이 된다 — 반증은 별개의 기법이 아니라 "부정 전개 + 구성법"이다. 1권에서 서식으로 하던 일이 이번 주에 이름과 유도를 얻는 자리가 정확히 여기다. ::: ### 7 근거 목록 갱신 | **근거** | **이번 주에 추가되는 것** | **이번 주에는 이렇게 쓴다** | |---|---|---| | ① 정의 | 변화 없음 | 전개의 걸음 ①이 전부 여기서 나온다. 낱말을 정의의 양화사 문장으로 펴는 줄마다 "정의에 의해"를 단다 | | ② 닫힘성$\cdot$기본 성질 | 변화 없음 | 증인의 자격 검증에서 (W1) $x^2 \ge 0$, (W2) 양변에 같은 수 더하기, (W4) 양수의 합$\cdot$곱, (W5) 양수로 나눈 몫, (W6) 추이성(1권 16주차)을 그대로 쓴다 | | ③ 등식의 성질 | 변화 없음 | 본체에 닿은 뒤의 계산은 대부분 여기다 | | ④ 이미 증명한 명제 — 기존에 가진 것 | 부정 규칙 총목록(1권 11주차 §1.3), 홀짝의 전수성(1권 33주차 예제 2.2의 따름정리)과 배타성(1권 22주차 문제 5), 유리수의 차의 닫힘(1권 15주차 문제 9), $\sqrt2$의 무리수성(1권 21주차), $x \le \lvert x \rvert$(1권 17주차 문제 5), 연속 정수 곱의 짝수성(1권 1주차 문제 16), 천장의 성질(S5주차 문제 14) | "1권 22주차 문제 5에 의해"처럼 한 줄로 인용하고, 인용한 명제의 가정이 충족됨을 확인한다 | | ④ 이미 증명한 명제 — 이번 주에 이름을 얻는 것 | N1~N6 여섯 규칙과 부정의 자격(원문과 부정은 진리값이 반대) | 전개의 각 줄 옆에 "[N4]"처럼 규칙 번호를 단다. 번호가 없으면 그 줄이 어디서 나왔는지 확정되지 않는다 | 근거의 번호가 늘지는 않는다. 이번 주가 늘리는 것은 근거의 종류가 아니라 **결론이 부정형일 때의 처방 선택**이다. :::{container} quotebox **확인 9.** 어떤 답안에 "$f$가 단사가 아니므로 $f(x_1) = f(x_2)$이고 $x_1 \neq x_2$인 실수 $x_1, x_2$가 존재한다"는 문장이 나왔다. 이 한 문장에는 이번 주의 걸음이 몇 개 들어 있는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 셋이다. ① 걸음 ① 정의 노출 — "단사"를 $\forall x_1 \forall x_2[f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2]$로 편 것. ② 걸음 ② 겹 벗기기 — N5를 두 번, 이어 N4를 적용한 것. ③ 걸음 ③ 본체 도달 — $\neg(x_1 = x_2)$를 $x_1 \neq x_2$로 적은 것. 압축된 한 문장이지만 세 걸음이 실제로 수행되어야 나온다. 답안에서 이 문장을 한 줄로 써도 되지만, 규칙 번호를 묻는 문항에서는 세 걸음을 모두 드러내야 한다. :::