# 42주차 — 합성함수 :::{admonition} 이 주의 길잡이 :class: keybox **핵심 문장**: 합성 $g \circ f$는 오른쪽 $f$부터 실행하고, 단사$\cdot$전사는 합성으로 전달되지만 되돌릴 때는 절반만 돌아온다. **이 주의 위치**: 50주 과정의 42주차. 41주차에서 만든 단사$\cdot$전사가 함수를 이어 붙이는 연산 위에서 어떻게 움직이는지를 정리하고, 43주차(역함수)와 48주차(무한의 크기 비교)가 쓸 부품을 만든다. **원서 대응**: BoP(Book of Proof) 12.3 (Composition), 12.4 (Inverse 예열). 원서 없이 읽을 수 있다. ::: ## 이번 주 목표 1. 합성 $g \circ f$의 정의를 연결 조건까지 포함해 백지에 쓰고, "오른쪽부터 실행한다"를 계산으로 확인할 수 있다. 1. **보존 정리**(단사$\cdot$전사$\cdot$전단사가 합성으로 전달됨)를 증명하고, 41주차에서 증명해 둔 결과를 부품으로 재사용해 새 함수의 성질을 두 줄로 판정할 수 있다. 1. **역추적 정리**($g \circ f$가 단사이면 $f$가 단사, 전사이면 $g$가 전사)를 증명하고, 돌아오지 않는 나머지 절반을 반례로 확인한다. 1. 항등함수 $\mathrm{id}$와 합성의 관계를 정리해 43주차 역함수의 언어를 준비한다. 본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다. ## 준비 운동 (41주차 복습) 1. 단사$\cdot$전사의 정의와 증명 서식 4종을 백지에 쓰시오. 1. $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + 1$, $g(x) = x^2$일 때 $g(f(1))$과 $f(g(1))$을 계산하시오. 1. 41주차 문제 16의 지그재그 함수는 무엇과 무엇 사이의 전단사였는지 쓰시오. :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown **1.** (단사) $f : A \to B$가 단사라는 것은 모든 $a, a' \in A$에 대해 $f(a) = f(a')$이면 $a = a'$이라는 뜻이다(정의 41.1). (전사) 모든 $b \in B$에 대해 $f(a) = b$인 $a \in A$가 존재한다는 뜻이다(정의 41.2). 서식 4종은 단사 증명("$f(a) = f(a')$이라 하자" $\to$ 등식 계산 $\to$ "$a = a'$"), 단사 반증(쌍 제시 + 두 검증), 전사 증명("$b \in B$라 하자" $\to$ 증인 제작 $\to$ 정의역 소속과 대입의 두 검증), 전사 반증(도달 불가능한 $b_0$ 제시 + 불가능성 논증)이다. **2.** $f(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3$이므로 $g(f(1)) = g(3) = 9$이다. $g(1) = 1^2 = 1$이므로 $f(g(1)) = f(1) = 3$이다. 두 값이 다르다. **3.** $\mathbb{N}$과 $\mathbb{Z}$ 사이의 전단사였다. $n$이 짝수면 $\frac{n}{2}$, 홀수면 $-\frac{n-1}{2}$로 보내는 함수이며, 48주차에서 $|\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}|$의 근거가 된다. ::: ### 자주 나오는 세 가지 답 — 2번 문항 방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 부분이 있고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다. - **유형 1 — 순서를 뒤집어 계산한다.** $g(f(1))$을 "$g$를 먼저 하고 $f$를 나중에"로 읽어 $f(g(1)) = 3$을 적는다. 두 값을 계산한 것 자체는 옳고, 실제로 그 값은 $f(g(1))$의 답이다. 어긋난 것은 배정이다 — 괄호 안쪽이 먼저 계산되므로 $g(f(1))$에서 먼저 실행되는 것은 $f$다. 이번 주 §1.4가 이 순서를 기호 규약으로 고정한다. - **유형 2 — 값 하나만 보고 같다고 판정한다.** 두 값을 각각 계산한 뒤 "차이는 있지만 큰 의미는 없다"로 넘어가거나, 하필 두 값이 같아지는 입력을 골라 "순서를 바꿔도 같다"로 적는다. 계산은 정확하다. 빠진 것은 판정의 기준이다 — 두 함수가 같은지 다른지는 40주차 함수 상등의 세 기준으로 정해지고, **다름**을 보이는 데 필요한 것은 값이 갈리는 입력 **하나**다. 실제로 위 $f, g$에서 $x = 0$을 골랐다면 양쪽 다 $1$이 나와 반증이 되지 않는다(예제 2.1 확인 15). - **유형 3 — 규칙식을 만들지 않고 값만 낸다.** $9$와 $3$을 적고 멈춘다. 물음이 값 두 개였으므로 답으로는 충분하다. 다만 이번 주에 다룰 대상은 값이 아니라 **함수** $g \circ f$이고, 함수를 다루려면 정의역$\cdot$공역$\cdot$규칙식이 있어야 한다 (40주차 정의 40.1). 값 계산에서 규칙식 $g(f(x)) = (2x+1)^2$으로 올라서는 것이 §1.2와 예제 2.1의 작업이다. ## 개념 — 이어 붙이기와 성질의 이동 ### 1 41주차의 도구만으로는 다시 쓰지 못하는 것 41주차 문제 16에서 지그재그 함수 $f : \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$가 전단사임을 증명했다. 또 $g : \mathbb{Z} \to E$($E$는 짝수 정수 전체), $g(m) = 2m$이 전단사임은 41주차의 서식 두 개로 각각 세 줄이면 된다. 이제 묻는다 — "$f$를 적용한 뒤 $g$를 적용한다"는 대응은 $\mathbb{N}$에서 $E$로의 전단사인가. :::{admonition} 시도 — 41주차의 서식만으로 밀어붙이기 :class: quotebox 이 대응의 규칙을 손으로 펼치면, $n$이 짝수일 때는 $2 \cdot \frac{n}{2} = n$, $n$이 홀수일 때는 $2 \cdot \left(-\frac{n-1}{2}\right) = -(n-1)$이다. 단사 증명을 하려면 두 입력의 홀짝에 따라 (짝, 짝), (짝, 홀), (홀, 짝), (홀, 홀)의 네 경우를 밟아야 하고, 전사 증명을 하려면 목표값의 부호에 따라 두 경우를 더 밟아야 한다. 여섯 갈래를 다 지나면 결론은 나온다. 그러나 … ::: 여기서 멈춘다. $f$가 전단사임과 $g$가 전단사임은 **이미 증명해 둔 사실**인데, 그 둘을 쓰지 못하고 조각 정의를 처음부터 다시 펼쳤다. 함수를 하나 더 이어 붙이면 경우는 다시 곱해지고, $A, B, C$가 그냥 집합이어서 $f$와 $g$에 규칙식이 없으면 이 계산은 시작조차 되지 않는다. 막힘의 정체는 계산의 길이가 아니라 **부품 재사용의 불가능**이다 — 이미 증명한 명제(근거 ④)를 쓰려면 "이어 붙인 대응"이 먼저 하나의 함수로서 이름과 표기를 가져야 한다. :::{container} quotebox **확인 1.** "$f$ 다음 $g$"라는 대응을 하나의 함수로 다루려면 무엇부터 정해야 하는가. 40주차 정의 40.1이 요구하는 세 정보로 답해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 정의역, 공역, 대응 규칙이다. 정의역은 $f$의 정의역 $A$이고(입력을 받는 쪽이 $f$다), 공역은 $g$의 공역 $C$이며(마지막에 값을 내놓는 쪽이 $g$다), 규칙은 "$x$를 $g(f(x))$로 보낸다"이다. 이 세 정보가 정해지면 대응은 표기를 가질 수 있고, 그때부터 "$f$와 $g$의 성질에서 이 함수의 성질로" 가는 정리를 세울 수 있다. §1.6이 정확히 그 정리다. ::: ### 2 표를 채워 규칙을 찾아내기 구체 사례부터 채워 보자. $f, g : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$를 $f(n) = n + 1$, $g(n) = n^2$으로 두고, 각 입력에 두 함수를 두 가지 순서로 적용한다. | **$n$** | **$f(n)$** | **$g(f(n))$** | **$g(n)$** | **$f(g(n))$** | |---|---|---|---|---| | $0$ | $1$ | $1$ | $0$ | $1$ | | $1$ | $2$ | $4$ | $1$ | $2$ | | $2$ | $\underline{\quad(1)\quad}$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | $4$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ | | $-3$ | $-2$ | $\underline{\quad(4)\quad}$ | $9$ | $\underline{\quad(5)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 2.** 빈칸 (1)~(5)를 채우고, 셋째 열과 다섯째 열을 $n$에 대한 식으로 각각 적어 보자. 두 열은 언제 같고 언제 다른가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $3$ (2) $9$ (3) $5$ (4) $4$ (5) $10$. 셋째 열은 $g(f(n)) = (n+1)^2$이고 다섯째 열은 $f(g(n)) = n^2 + 1$이다. $n = 0$에서는 둘 다 $1$로 우연히 같지만 $n = 1, 2, -3$에서는 갈린다. 두 값이 **같아지는** 표본 하나로는 두 열이 같다고 판정할 수 없다는 것이 여기서 드러난다 — 같음은 모든 입력을 요구하고, 다름은 값이 갈리는 입력 하나면 된다. 두 열을 만드는 데 새로 쓴 것은 없다 — $f$의 값을 계산하고 그 값을 다시 $g$에 넣었을 뿐이다. ::: 이 절차에 정식 이름과 기호를 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 두 번 계산한 일에 이름을 붙였을 뿐이다. ### 정의 42.1 — 합성 (composition) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox $f : A \to B$, $g : B \to C$일 때, $f$와 $g$의 **합성** $g \circ f : A \to C$는 모든 $x \in A$에 대해 $$ (g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big) $$ 로 정해지는 함수이다. ::: 기호 $g \circ f$는 "$g$ 합성 $f$"로 읽고, 뜻은 "$f$를 먼저 하고 $g$를 나중에 한다"이다. $\circ$는 합성을 나타내는 기호이며 곱셈 점과 다르다. 읽는 법까지가 정의다. $g \circ f$가 실제로 함수라는 것 — 각 $x \in A$에 출력이 정확히 하나 — 은 두 단계 각각의 유일성에서 따라온다. $f$가 함수이므로 $f(x)$가 유일하게 정해지고, $f(x) \in B$는 $g$의 정의역에 속하므로 $g(f(x))$가 다시 유일하게 정해진다 (40주차 정의 40.1의 $\exists!$가 두 번 작동한다). **예.** §1.2의 $f(n) = n+1$, $g(n) = n^2$에 대해 $g \circ f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$는 $(g \circ f)(n) = (n+1)^2$이고, $f \circ g : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$는 $(f \circ g)(n) = n^2 + 1$이다. ### 3 정의 해부 — 조각마다 하는 일 이 정의는 네 조각으로 되어 있고, 조각마다 증명에서 맡는 역할이 다르다. | **조각** | **하는 일** | **증명에서의 역할** | |---|---|---| | "$f : A \to B$, $g : B \to C$일 때" | **연결 조건**의 선언 — $f$의 공역과 $g$의 정의역이 같다 | 합성을 쓰기 전에 반드시 통과해야 하는 검문. 이 검문이 문제 19의 전부다 | | "$g \circ f : A \to C$" | 새 함수의 정의역과 공역 선언 | 정의역은 $f$에서, 공역은 $g$에서 물려받는다 — 합성의 무대를 정한다 | | "$(g \circ f)(x) = g(f(x))$" | 대응 규칙의 제공 | 합성에 관한 모든 계산과 증명이 지나가는 유일한 등식 (§2의 관찰) | | "모든 $x \in A$에 대해" | 규칙의 적용 범위 | 함수 상등(40주차)의 셋째 기준을 검사할 때 이 범위를 쓴다 — 문제 7과 13 | **조각 삭제 실험.** 첫째 조각의 연결 조건을 지워 보자. $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x - 5$와 $g : [0, \infty) \to \mathbb{R}$, $g(x) = \sqrt{x}$를 잡고 규칙식만 그대로 쓰면 $g(f(x)) = \sqrt{x - 5}$이다. 여기에 $x = 1$을 넣으면 $\sqrt{-4}$가 되어 실수 세계에 값이 없다. 곧 "각 입력에 출력이 정확히 하나"가 깨지고, $g \circ f$는 함수가 아니게 된다. :::{container} quotebox **확인 3.** 위 실험에서 $f$의 공역을 다르게 선언하면 합성을 살릴 수 있는가. 그리고 문제 19의 상황($f(x) = x^2$, $g(x) = \sqrt{x}$)과는 무엇이 다른가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 살릴 수 없다. $f(x) = x - 5$의 치역은 $\mathbb{R}$ 전체이므로 공역을 어떻게 선언해도 $g$의 정의역 $[0, \infty)$ 안에 들어가지 않는다 — 합성을 만들려면 $f$의 **정의역**을 $[5, \infty)$로 좁힌 뒤, 그때의 치역 $[0, \infty)$를 공역으로 다시 선언해야 한다. 곧 $\tilde{f} : [5, \infty) \to [0, \infty)$, $\tilde{f}(x) = x - 5$이다. 정의역만 좁히고 공역을 $\mathbb{R}$로 둔 채로는 연결 조건이 여전히 어긋난다 — 연결 조건은 치역이 아니라 **공역**으로 걸린다. 문제 19는 사정이 다르다. $f(x) = x^2$의 치역은 이미 $[0, \infty)$이므로 공역만 다시 선언하면 연결된다. 두 경우를 가르는 것은 하나다 — $f$의 치역이 $g$의 정의역 안에 들어 있는가. 연결 조건은 형식적 장식이 아니라 값이 존재하는지를 가르는 조건이다. ::: ### 4 읽는 순서 — 오른쪽부터 기호에서는 $g$가 왼쪽에 있지만, 실행은 $x$에 가까운 $f$부터다. 정의의 우변 $g(f(x))$에서 괄호 안쪽이 먼저 계산되기 때문이다. :::{container} quotebox **확인 4.** $f(x) = x^2$, $g(x) = x + 1$ ($\mathbb{R} \to \mathbb{R}$)일 때 $(g \circ f)(3)$과 $(f \circ g)(3)$을 각각 계산해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $(g \circ f)(3) = g(f(3)) = g(9) = 10$이고, $(f \circ g)(3) = f(g(3)) = f(4) = 16$이다. 앞의 계산에서 먼저 실행된 것은 $f$이고, 뒤의 계산에서 먼저 실행된 것은 $g$다. 기호 순서와 실행 순서가 반대라는 점이 이번 주 계산에서 가장 자주 어긋나는 자리이며, 준비 운동의 유형 1이 그 현상이다. ::: ### 5 합성의 대수 — 결합법칙, 교환 불가, 항등함수 :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **합성의 대수** **결합법칙**: 연결이 가능한 $f : A \to B$, $g : B \to C$, $h : C \to D$에 대해 $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$이다. **교환 불가**: 일반적으로 $g \circ f \neq f \circ g$이다 (예제 2.1). **항등함수**: $\mathrm{id}_A : A \to A$를 $\mathrm{id}_A(x) = x$로 정의하면, 모든 $f : A \to B$에 대해 $f \circ \mathrm{id}_A = f$이고 $\mathrm{id}_B \circ f = f$이다. ::: 기호 $\mathrm{id}_A$는 "$A$의 항등함수"로 읽는다. 아래 첨자는 무대를 밝히는 것이므로, 어느 집합 위의 항등함수인지가 문맥에서 분명할 때만 생략한다. :::{container} quotebox **확인 5.** 결합법칙 $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$를 증명하려면 무엇을 확인해야 하는가. 40주차 함수 상등의 세 기준으로 답해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown ① 정의역이 같은가 — 양쪽 다 $A$다. ② 공역이 같은가 — 양쪽 다 $D$다. ③ 모든 $x \in A$에서 값이 같은가 — 정의 42.1을 두 번씩 펼치면 양쪽 모두 $h(g(f(x)))$가 된다. 문제 7이 이 세 확인을 답안으로 적는 자리이고, 이 법칙 덕분에 세 함수 이상의 합성을 괄호 없이 $h \circ g \circ f$로 쓸 수 있다. ::: :::{container} quotebox **확인 6.** $\mathrm{id}_A$가 전단사임을 41주차의 서식 두 개로 각각 한 줄씩 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (단사) $\mathrm{id}_A(a) = \mathrm{id}_A(a')$이라 하자. 좌변은 $a$이고 우변은 $a'$이므로 $a = a'$이다. (전사) $b \in A$라 하자. 증인으로 $b$ 자신을 잡으면 $b \in A$이고 $\mathrm{id}_A(b) = b$이므로 두 검증이 끝난다. 따라서 $\mathrm{id}_A$는 전단사다. 문제 17이 이 사실을 부품으로 쓴다. ::: 항등함수는 합성이라는 연산에서 곱셈의 $1$에 해당하는 자리를 차지한다. 43주차의 역함수는 "합성해서 $\mathrm{id}$가 되는 짝"으로 정의되므로, 이 성질이 다음 주 정의의 배경이 된다. ### 6 보존 정리 — 성질은 합성으로 전달된다 :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **보존 정리** $f : A \to B$, $g : B \to C$에 대해 다음이 성립한다. (i) $f$와 $g$가 모두 단사이면 $g \circ f$도 단사이다. (ii) $f$와 $g$가 모두 전사이면 $g \circ f$도 전사이다. (iii) (따름) $f$와 $g$가 모두 전단사이면 $g \circ f$도 전단사이다. ::: (i)의 증명은 예제 2.2에서 함께 만들고, (ii)는 문제 8에서 쓴다. :::{container} quotebox **확인 7.** (iii)이 (i)과 (ii)에서 어떻게 따라오는가. 그리고 이것으로 §1.1의 막힘이 어떻게 풀리는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 전단사는 단사이면서 전사라는 뜻이다(정의 41.3). $f$와 $g$가 전단사이면 둘 다 단사이므로 (i)에 의해 $g \circ f$가 단사이고, 둘 다 전사이므로 (ii)에 의해 $g \circ f$가 전사다. 두 조건을 합치면 전단사다. §1.1의 물음은 이제 두 줄로 끝난다 — 지그재그가 전단사임(41주차 문제 16)과 $g(m) = 2m$이 전단사임을 인용하고 (iii)을 적용하면 된다. 경우 나누기 여섯 갈래가 사라진 자리에 근거 ④의 인용이 들어섰다. 문제 15가 그 답안이다. ::: (iii)은 48주차에서 "$|A| = |B|$이고 $|B| = |C|$이면 $|A| = |C|$", 곧 크기 같음의 추이성이 된다. ### 7 역추적 정리 — 절반만 돌아온다 보존 정리는 $f$와 $g$의 성질에서 $g \circ f$의 성질로 내려간다. 거꾸로 $g \circ f$의 성질에서 $f$와 $g$의 성질로 올라갈 수도 있는지 묻는 것이 자연스럽다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **역추적 정리** $f : A \to B$, $g : B \to C$에 대해 다음이 성립한다. (iv) $g \circ f$가 단사이면 $f$는 단사이다. ($g$는 단사가 아닐 수 있다.) (v) $g \circ f$가 전사이면 $g$는 전사이다. ($f$는 전사가 아닐 수 있다.) ::: (iv)가 성립하는 이유는 이렇다. $f$가 두 입력을 같은 값으로 보내면 그 값에 $g$를 적용해도 결과는 여전히 같다 — 한 번 합쳐진 두 입력은 뒤 단계에서 다시 갈라지지 않는다. 곧 $f$가 단사가 아니면 $g \circ f$도 단사가 아니고, 그 대우가 (iv)다. (v)는 더 짧다. $g \circ f$의 출력은 전부 $g$의 출력이므로, $g \circ f$가 $C$를 남김없이 덮으면 $g$도 $C$를 남김없이 덮는다. 돌아오지 않는 나머지 절반의 사정도 기계적으로 설명된다. $g$가 두 원소를 같은 값으로 보내더라도 그 두 원소가 $f$의 치역 **밖**에 있으면 합성은 그 사건을 겪지 않고, $f$가 $B$의 어떤 원소에 도달하지 못하더라도 $g$가 다른 입력으로 같은 값을 이미 내놓고 있으면 합성의 전사성은 유지된다. :::{container} quotebox **확인 8.** (iv)의 괄호 "$g$는 단사가 아닐 수 있다"를 확정하려면 무엇을 제시해야 하는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $g \circ f$는 단사인데 $g$는 단사가 아닌 구체적인 $f, g$ 한 벌, 곧 반례를 제시하면 된다. 반례의 완결 조건은 두 검증이다 — 가정 부분($g \circ f$가 단사)이 참임과 결론 부분($g$가 단사)이 거짓임을 각각 확인한다. 예제 2.3 후반부가 그 반례이고, 문제 10이 (v) 쪽의 같은 작업이다. ::: 암기 문장은 **"단사는 앞이 책임, 전사는 뒤가 책임"**이다. 여기서 앞은 먼저 실행되는 $f$, 뒤는 나중에 실행되는 $g$를 가리킨다. 문제 20(a)가 이 문장을 두 반례로 뒷받침하는 자리다. ### 8 근거 목록 갱신 — 칸은 그대로 네 개 칸의 개수는 늘지 않는다. ① 칸에 정의 42.1과 항등함수가 추가되고, ④ 칸에 이번 주의 두 정리가 들어온다. | **근거** | **내용** | **이번 주에는 이렇게 쓴다** | |---|---|---| | ① 정의 | 1~41주차의 정의 전부 + **정의 42.1(합성)**, 항등함수 $\mathrm{id}_A$ | "$(g \circ f)(x)$"와 "$g(f(x))$" 사이를 양방향으로 번역한다 | | ② 닫힘성 | 정수$\cdot$실수의 합$\cdot$차$\cdot$곱은 각각 정수$\cdot$실수 | 문제 11의 $\mathbb{Z}_4$ 계산에서 쓴다 — 대표원 $3(a+1)$이 다시 정수다 | | ③ 등식의 성질 | 대입 / 전개 / 묶기 / 양변 연산 | 예제 2.1의 전개, 문제 2와 문제 6의 계산 전체 | | ④ 이미 증명한 명제 | 40주차 정의 40.1과 함수 상등의 세 기준, 40주차 문제 9, 41주차 정의 41.1~41.3과 서식 4종, 41주차 문제 3$\cdot$8$\cdot$13$\cdot$16, 41주차 예제 2.3, 20주차 문제 9(a)(b) + **이번 주의 보존 정리$\cdot$역추적 정리와 예제$\cdot$문제** | 문제 15를 (i)(ii) 인용 두 줄로 끝낸다. 문제 12는 41주차 문제 13(증가함수)을 이 칸에서 꺼내 쓴다 | 목록 밖의 것은 이번 주에도 근거가 되지 않는다. :::{container} quotebox **확인 9.** 다음 세 문장은 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가. (가) "$(g \circ f)(a) = g(f(a))$이므로" (나) "$g(f(a)) = g(f(a'))$이고 $g$가 단사이므로 $f(a) = f(a')$이다" (다) "$g \circ f$의 그래프가 한 번씩만 만나므로 단사이다" ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (가) 허용 — 근거 ① 정의 42.1이다. 합성 기호를 두 단계 계산으로 푸는 문장이다. (나) 허용 — 근거 ① 정의 41.1을 $b = f(a)$, $b' = f(a')$에 적용한 것이다. 다만 앞 줄에 $g(f(a)) = g(f(a'))$가 실제로 확보되어 있어야 한다. (다) 불허 — 그림은 목록에 없다(41주차 §1.9와 같다). 같은 내용을 정의 41.1의 등식 계산으로 바꿔 적어야 근거가 된다. 내용이 아니라 꼴이 근거의 자격을 정한다. ::: 정의는 외운다 — [백지 암기 대상] 표시가 그 대상이다. 정의 42.1은 연결 조건까지 포함해 외운다. 조각을 잊어도 §1.3의 삭제 실험에서 재구성할 수 있다.