# 8주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설 ## 예제 — 판정을 함께 만들기 1~2주차의 예제는 증명을 만들었다. 이번 주의 예제는 **판정**을 만든다 — 절차가 있는지 없는지, 직접 만들며 확인한다. 각 단계에서 확인 상자의 빈칸을 연필로 먼저 채운 뒤 답을 연다. ### 예제 2.1 — 진리값 판정 **문제.** 다음 조건문의 진리값을 구하시오. (a) $1 + 1 = 2 \Rightarrow 2 \mid 4$ (b) $1 + 1 = 3 \Rightarrow 2 \mid 4$ (c) $1 + 1 = 3 \Rightarrow 2 \mid 5$ (d) $1 + 1 = 2 \Rightarrow 2 \mid 5$ **설계 — 판정 전에 정하는 두 가지.** 증명의 번역표(가정 $\to$ 출발점, 목표 $\to$ 도착점)와 같은 요령이다. | | **내용** | **할 일** | |---|---|---| | 출발점 (주어진 것) | 가정과 결론, 두 명제 | 각각의 진리값을 확정한다 | | 도착점 (구할 것) | 조건문의 진리값 | 진리표 4행 중 어느 행인지 지목한다 | :::{container} quotebox **확인 12.** (a)의 출발점을 확정해 보자. 가정 "$1 + 1 = 2$"의 진리값은 $\underline{\quad}$, 결론 "$2 \mid 4$"의 진리값은 $\underline{\quad}$ (근거는 2주차 정의 2.1로). ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 가정은 참(계산으로 확정), 결론도 참 — $4 = 2 \times 2$이고 $2 \in \mathbb{Z}$이므로 $2 \mid 4$ (근거 ①). 출발점이 T, T로 확정됐으므로 도착점은 T$\Rightarrow$T 행 — **참**이다. 두 명제의 내용이 서로 무관해도 상관없다 — 조건문의 진리값은 내용의 연관이 아니라 진리값의 조합만으로 정해진다. ::: :::{container} quotebox **확인 13.** (b)와 (d)를 같은 절차로 판정해 보자. 각각 어느 행이고, 진리값은 무엇인가? ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (b) 가정 "$1+1=3$" 거짓, 결론 참 — F$\Rightarrow$T 행, **참**(공허한 참)이다. (d) 가정 참, 결론 "$2 \mid 5$" 거짓($5 = 2c$인 정수 $c$가 없다) — T$\Rightarrow$F 행, **거짓**이다. 유일한 거짓 행이 (d)에서 나왔다. ::: **완성본.** 네 항목의 판정을 절차와 함께 정리하면 — | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | (a) **T** | 가정 T($1+1=2$), 결론 T($4 = 2 \times 2$) — T$\Rightarrow$T 행 | | (b) **T** | 가정 F($1+1 \neq 3$), 결론 T — F$\Rightarrow$T 행, 공허한 참 | | (c) **T** | 가정 F, 결론 F($5 = 2c$인 정수 없음) — F$\Rightarrow$F 행, 공허한 참 | | (d) **F** | 가정 T, 결론 F — T$\Rightarrow$F, 유일한 거짓 행 | 가정이 거짓인 (b), (c)는 내용과 무관하게 참이다. 판정이 불편하면 §1.2의 표를 다시 채운다. ### 예제 2.2 — 필요·충분 판정 **문제.** $x$는 실수. $P$: "$x > 2$", $Q$: "$x^2 > 4$". $P$는 $Q$이기 위한 무슨 조건인가? 이번에는 설계만 함께 하고, 판정은 완성된 산문으로 본다. 절차는 §1.5의 다리를 건너는 것이다: 진리집합으로 번역 $\to$ 포함 관계를 양방향 확인 $\to$ 조건 용어로 역번역. :::{container} quotebox **확인 14.** 번역표를 채워 보자. $P$의 진리집합 = 구간 $\underline{\quad(1)\quad}$, $Q$의 진리집합 = $\underline{\quad(2)\quad}$ (이차부등식 — 음수 쪽을 잊지 않는다). ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $P = (2, \infty)$ (2) $Q = (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$. $x^2 > 4$는 $|x| > 2$, 곧 "$x > 2$ 또는 $x < -2$"다 — 진리집합이 두 조각이다. 음수 조각을 놓치면 "필요충분"이라는 오판정이 나온다 — 번역 단계의 정확성이 판정 전체를 좌우한다. ::: :::{container} quotebox **확인 15.** 포함을 양방향으로 확인해 보자. $P \subseteq Q$인가: $\underline{\quad}$. $Q \subseteq P$인가: 반례 $x = \underline{\quad}$가 있는가 확인해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $P \subseteq Q$: 성립 — $x > 2$이면 $x^2 > 4$다. $Q \subseteq P$: 실패 — $x = -3$은 $(-3)^2 = 9 > 4$로 $Q$의 원소지만 $P$의 원소가 아니다. 거짓 방향에는 이렇게 **반례 하나를 명시**하는 것까지가 판정이다. ::: **판정 (완성본).** 진리집합은 $P = (2, \infty)$, $Q = (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$. $P \subseteq Q$이므로 진리집합의 다리에 의해 $P \Rightarrow Q$는 참 — $P$는 충분조건이다. $Q \nsubseteq P$(반례 $x = -3 \in Q$이지만 $\notin P$)이므로 $Q \Rightarrow P$는 거짓 — $P$는 필요조건이 아니다. **답: $P$는 $Q$이기 위한 충분조건이지만 필요조건은 아니다.** 판정 절차가 "번역 $\to$ 포함 확인(거짓 방향은 반례) $\to$ 역번역"의 세 걸음이었다. 감이 아니라 절차로 판정한다. ### 예제 2.3 — only if 번역 **문제.** "정수 $n$이 소수(prime)인 것은 only if $n \ge 2$"를 기호로 쓰고 진리값을 판정하시오. 이번에는 번역부터 판정까지 스스로 해 보자. :::{container} quotebox **확인 16.** §1.4의 only if 규칙으로 이 문장을 화살표로 번역하고, 진리값까지 판정해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (아래 산문이 답이다. 화살표의 방향과, 판정에서 인용한 근거를 대조한다.) ::: **풀이.** "P only if Q"는 $P \Rightarrow Q$이므로: ($n$은 소수) $\Rightarrow$ ($n \ge 2$). 소수의 정의(2 이상이고 양의 약수가 1과 자신뿐인 정수)에 의해 소수인 $n$은 이미 $n \ge 2$를 만족한다 — T$\Rightarrow$F가 되는 $n$이 없으므로 참이다. 역방향 ($n \ge 2$) $\Rightarrow$ ($n$은 소수)는 별개의 명제이고 거짓이다 — 반례 $n = 4$. only if 문장은 역방향을 주장하지 않는다. ### 관찰 — 세 판정의 같은 뼈대 세 예제는 묻는 것(진리값 / 조건의 종류 / 번역)이 달라 보이지만 뼈대가 같다. :::{container} quotebox **확인 17.** 각 예제에서 세 걸음에 해당하는 작업을 찾아 보자. ① 번역: 예제 2.1은 부분 명제의 진리값 확정, 예제 2.2는 $\underline{\quad}$으로 번역, 예제 2.3은 $\underline{\quad}$로 번역. ② 판정: 예제 2.1은 진리표의 행 지목, 예제 2.2와 2.3은 $\underline{\quad}$ 확인 (거짓 방향은 반례). ③ 역번역: 판정 결과를 문제가 쓴 언어로 되돌린다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown ① 예제 2.2는 **진리집합**으로, 예제 2.3은 **화살표 기호**로 번역했다. ② 포함 관계(또는 T$\Rightarrow$F인 사례의 유무)를 확인했다. 세 예제 모두 정확히 이 세 걸음이다. ::: 방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **판정의 3단 절차** ① 번역 — 문장을 기호$\cdot$진리값$\cdot$진리집합으로 옮긴다 $\to$ ② 판정 — 진리표의 행 또는 포함 관계로 확인한다 (거짓 판정에는 반례 명시) $\to$ ③ 역번역 — 결과를 문제의 언어로 되돌린다 ::: 증명의 3단계 틀(1주차)이 증명의 기본형이었듯, 이 절차가 판정의 기본형이다. §4의 판정 문제는 전부 이 절차로 푼다. ## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(§6)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다. ### 훈련 1 ●○○ — 규칙의 빈칸 $P \Rightarrow Q$에 대해: (1) 유일하게 거짓이 되는 진리값 조합: $P$는 $\underline{\quad}$, $Q$는 $\underline{\quad}$. (2) "$P$는 $Q$이기 위한 충분조건" = 기호로 $\underline{\quad}$. (3) "$P$는 $Q$이기 위한 필요조건" = 기호로 $\underline{\quad}$. (4) 진리집합 관점: $P \Rightarrow Q$ 참 $\iff$ $P\ \underline{\quad}\ Q$. (5) $P \iff Q$ 참 $\iff$ 진리집합 $P\ \underline{\quad}\ Q$. ### 훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께 판정문의 수식과 근거 낱말이 빈칸이다. **명제.** $x$는 실수. "$x > 1$은 $x > 0$이기 위한 무슨 조건인가." **판정.** 진리집합으로 번역하면 $P = \underline{\quad(1)\quad}$, $Q = \underline{\quad(2)\quad}$ (구간 표기). $P\ \underline{\quad(3)\quad}\ Q$이므로 진리집합의 다리에 의해 $P \Rightarrow Q$는 참이다 — 근거: $\underline{\quad(4)\quad}$가 되는 $x$가 없다. 역방향 $Q \Rightarrow P$는 반례 $x = \underline{\quad(5)\quad}$에서 가정 참, 결론 거짓 — $\underline{\quad(6)\quad}$ 행 — 이 되어 거짓이다. 따라서 $x > 1$은 $x > 0$이기 위한 $\underline{\quad(7)\quad}$조건(이고 필요조건은 아니)이다. ### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고 판정의 3단 절차 각 칸을 통째로 채운다. **명제.** $x$는 실수. "$|x| \le 1$은 $x^2 \le 1$이기 위한 무슨 조건인지" 판정한다. **판정의 뼈대.** - ① 번역 (두 진리집합): $\underline{\quad(1)\quad}$ - ② 판정 (포함 관계, 양방향): $\underline{\quad(2)\quad}$ - ③ 역번역$\cdot$결론: $\underline{\quad(3)\quad}$ (문제 13이 이 훈련의 $|x| \le 1$ 자리에 $x \le 1$이 들어간 짝을 다룬다.) ## 연습문제 (20문항) 해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 해설의 '접근'까지만 읽고 다시 시도한다 $\to$ 그래도 안 되면 풀이를 읽는다. 판정 문제는 3단 절차(번역 $\to$ 판정 $\to$ 역번역)로, 거짓 판정에는 반례를 명시한다. :::{admonition} 이번 주의 채점 기준 :class: quotebox 답이 아니라 **근거**가 점수다. "(b)는 참(맞음)"은 0점이고, "가정이 거짓이므로 F$\Rightarrow$T 행 — 공허한 참"이 만점이다. 조건 판정은 포함(참 방향)과 반례(거짓 방향)가 근거의 전부다. 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다. ::: ### 기본 ●○○ **1.** 진리값을 구하시오. (a) $2 > 1 \Rightarrow 3 > 2$ (b) $2 < 1 \Rightarrow 3 > 2$ (c) $2 > 1 \Rightarrow 3 < 2$ (d) $\pi \in \mathbb{Q} \Rightarrow 1 = 2$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 예제 2.1의 절차 그대로 — 가정과 결론의 진리값을 각각 확정한 뒤, 진리표 4행 중 어느 행인지만 지목한다. (d)에서 $\pi$가 무리수라는 사실은 지금은 증명 없이 인정하고 쓴다(이 과정이 직접 증명하는 무리수는 21주차의 $\sqrt{2}$다). ::: **2.** 진리값을 구하시오. (a) $1 + 1 = 2 \Rightarrow 2 + 2 = 5$ (b) $1 + 1 = 3 \Rightarrow 2 + 2 = 5$ (c) ($2$는 소수) $\Rightarrow$ ($3$은 소수) (d) ($4$는 소수) $\Rightarrow$ $\pi \in \mathbb{Q}$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 문제 1과 같은 절차다. 소수$\cdot$$\pi$ 같은 수학적 내용에 현혹되지 말고 각 부분 명제의 진리값만 추출한다. ::: **3.** 다음을 $P \Rightarrow Q$ 꼴로 번역하시오 ($P, Q$가 무엇인지 명시). (a) $n$이 6의 배수이면 $n$은 3의 배수이다. (b) $x^2 = 9$ if $x = 3$. (c) $n$은 $n$이 짝수일 때만(only if) 4의 배수이다. (d) 연속함수임은 미분가능하기 위한 필요조건이다. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 각 문장에서 신호어(if / only if / 충분 / 필요)를 먼저 찾는다. if 뒤 = 가정, only if 뒤 = 결론, 충분 = 꼬리, 필요 = 머리 — §1.4의 표를 카드처럼 쓴다. ::: **4.** $P \iff Q$의 진리표를 $(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)$로부터 유도해 작성하시오. (열: $P, Q, P{\Rightarrow}Q, Q{\Rightarrow}P$, 그리고 $\land$) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 7주차의 절차 — 안쪽 열부터 하나씩 추가한다. $Q \Rightarrow P$ 열을 만들 때 가정이 $Q$라는 것에 주의한다: T$\Rightarrow$F 판정의 T가 $Q$ 자리다. ::: **5.** 다음 표현을 각각 화살표 하나($P \Rightarrow Q$ 또는 $Q \Rightarrow P$)로 번역하시오. ($P$: 오늘은 일요일, $Q$: 학교에 안 간다) (a) 일요일이면 학교에 안 간다. (b) 학교에 안 가는 날은 일요일뿐이다(only if). (c) 일요일임은 학교에 안 가기 위한 충분조건이다. (d) 학교에 안 감은 일요일이기 위한 필요조건이다. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (b)가 관건이다 — "안 가는 날($Q$)은 일요일($P$)뿐" = $Q$ only if $P$. only if 뒤가 결론이므로 화살표는 $Q$에서 나간다. 번역 후 네 답 중 같은 것이 몇 개인지 세어 본다. ::: **6.** 빈칸에 "충분/필요/필요충분" 중 알맞은 말을 넣으시오. (a) $P \Rightarrow Q$가 참일 때, $P$는 $Q$이기 위한 $\underline{\quad}$조건. (b) $P \Rightarrow Q$가 참일 때, $Q$는 $P$이기 위한 $\underline{\quad}$조건. (c) $P \iff Q$가 참일 때, $P$는 $Q$이기 위한 $\underline{\quad}$조건. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 암기 문장 하나로 전부 풀린다: 충분은 화살표의 꼬리, 필요는 머리. (c)는 화살표가 양쪽으로 나 있다. ::: ### 표준 ●●○ **7.** $x$는 실수. 각 쌍에 대해 "$P$는 $Q$이기 위한 (충분/필요/필요충분/어느 쪽도 아닌) 조건"을 판정하고 진리집합 포함 관계로 근거를 쓰시오. (a) $P$: $x = 1$, $Q$: $x^2 = 1$ (b) $P$: $x^2 = 1$, $Q$: $x = 1$ (c) $P$: $0 \le x \le 1$, $Q$: $x^2 \le x$ (d) $P$: $x > 0$, $Q$: $x \ge 0$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 예제 2.2의 3단 절차를 네 번 반복한다. (c)는 $x^2 \le x$를 이항$\cdot$인수분해해 진리집합을 구간으로 바꾸는 것이 먼저다. 거짓 방향에는 반드시 반례 하나. ::: **8.** $n$은 정수. "$8 \mid n \Rightarrow 2 \mid n$"이 참임을 진리집합의 포함 관계로 설명하고, 역 "$2 \mid n \Rightarrow 8 \mid n$"의 반례를 드시오. **9.** 다음 명제의 진리값을 판정하시오 ($x$는 실수 전체에서, "모든 $x$에 대해"가 생략된 것으로 본다). (a) $x > 3 \Rightarrow x > 1$ (b) $x > 1 \Rightarrow x > 3$ (c) $|x| < 2 \Rightarrow -2 < x < 2$ (d) $x^2 > 0 \Rightarrow x \neq 0$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown "모든 $x$" 조건문의 참 = T$\Rightarrow$F가 되는 $x$가 하나도 없음 = 진리집합의 포함. 거짓 판정에는 T$\Rightarrow$F를 실제로 일으키는 $x$를 하나 제시한다. ::: **10.** "이번 주말에 날씨가 맑으면 등산을 간다"고 말한 사람이 있다. 다음 중 이 사람이 **거짓말쟁이가 되는** 상황을 모두 고르고 이유를 쓰시오. (a) 맑았고, 등산을 갔다 (b) 맑았는데, 등산을 안 갔다 (c) 비가 왔고, 등산을 갔다 (d) 비가 왔고, 등산을 안 갔다 **11.** $x$는 실수, $n$은 정수. 각각 "$P$는 $Q$이기 위한 무슨 조건"인지 판정하시오 (근거 포함). (a) $P$: $x = 3$, $Q$: $3x = 9$ (b) $P$: 삼각형 $T$는 정삼각형, $Q$: $T$는 이등변삼각형 (c) $P$: $|x| = 2$, $Q$: $x = 2$ (d) $P$: $n$은 12의 배수, $Q$: $n$은 4의 배수이고 6의 배수 ("공배수는 최소공배수의 배수"는 지금은 인정하고 쓴다 — 20주차에서 증명) **12.** 다음 영어 문장을 화살표로 번역하시오. (a) If $n$ is odd, then $n^2$ is odd. (b) A function is continuous only if it is defined everywhere. ($P$: 연속, $Q$: 모든 점에서 정의됨) (c) $x = 2$ is sufficient for $x^2 = 4$. (d) $n > 0$ is necessary for $n \in \mathbb{N}$. **13.** $P(x)$: "$x^2 \le 1$", $Q(x)$: "$x \le 1$" ($x \in \mathbb{R}$). 두 진리집합을 구간으로 쓰고 포함 관계를 판정한 뒤, "$P$는 $Q$이기 위한 무슨 조건인지" 답하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown $x^2 \le 1$의 진리집합은 훈련 3에서 구했다. $x \le 1$의 진리집합은 왼쪽으로 무한히 뻗는 구간이다 — 크게 음수인 $x$가 어느 집합에 속하는지가 판정을 가른다. ::: **14.** "정수 $n$에 대해, $n$이 짝수 $\iff$ $n^2$이 짝수"는 참이다. 양방향 화살표를 각각 어떻게 증명할 수 있는지 계획만 쓰시오. (힌트: $\to$ 방향은 1주차 문제 9. $\leftarrow$ 방향은 무엇이 필요한가? — 답은 9주차에서 나온다) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown $\iff$는 화살표 두 개의 $\land$다 — 계획도 방향별로 하나씩. $\leftarrow$ 방향은 $n^2 = 2k$에서 $n$을 꺼내려는 순간 막힌다(1주차 문제 11의 예고). 그 방향의 우회로를 1주차의 증명 목록에서 찾아 본다. ::: ### 도전 ●●● :::{admonition} 진리표 비교 — 문제 15$\cdot$16이 쓰는 작업 :class: quotebox 두 복합 명제가 "같다"는 주장은, 구성 명제의 **모든 진리값 조합**에서 두 명제의 진리값이 일치함을 표로 확인하는 것으로 검증한다. 이 관계의 정식 명칭(논리적 동치, $\equiv$)과 체계적 활용은 9주차의 주제다 — 지금은 표 두 열의 대조로 충분하다. ::: **15.** 진리표를 사용해 다음을 확인하시오: $P \Rightarrow Q$와 $\neg P \lor Q$는 모든 조합에서 진리값이 같다. 이 사실이 "조건문은 $\neg, \lor$만으로 조립할 수 있다"는 뜻임을 음미하시오. (9주차 부정 만들기의 열쇠) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 4행 표에 $\neg P$ 열을 먼저 만들고 $Q$와 $\lor$한다. 완성되면 §1.1의 실패한 조립 시도와 비교해 보자 — $\neg$가 합류하면 어떻게 되는가. ::: **16.** $P \Rightarrow (Q \Rightarrow R)$와 $(P \land Q) \Rightarrow R$의 진리표(8행)를 만들어 비교하시오. 같은가? 이 결과를 "가정이 두 개인 정리"의 서술과 연결해 한 문장으로 해석하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 지름길이 있다 — 조건문이 F가 되는 행은 드물다(유일한 거짓 행). 각 명제가 F가 되는 진리값 조합만 찾아 비교하면 나머지 행은 전부 T로 일치한다. ::: **17.** 다음 주장의 오류를 지적하시오: "명제 '$x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$'는 $x = 2$일 때 T$\Rightarrow$T로 참이므로, 참인 명제이다." :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown "모든 $x$" 조건문의 참이 무엇이었는지 복기한다 — 어떤 $x$ 하나에서의 확인으로 충분한가? 가정 $x^2 = 4$를 참으로 만드는 $x$가 2 말고 또 있는지 찾아 본다. ::: **18.** (a) "$\emptyset$의 모든 원소는 홀수이다"의 진리값을 판정하시오. (b) "$\emptyset$의 모든 원소는 짝수이다"는? (c) 두 답이 동시에 성립하는 것이 왜 모순이 아닌지, 조건문의 진리표로 설명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown "모든 $x$에 대해, $x \in \emptyset \Rightarrow \cdots$" 꼴로 다시 쓰는 것이 첫걸음이다. 가정 $x \in \emptyset$의 진리값은 $x$가 무엇이든 정해져 있다. ::: **19.** 다음 두 동치를 판정하시오 (참/거짓 + 근거). (a) "$x \in A \cap B$"와 "($x \in A$) $\land$ ($x \in B$)"는 필요충분 관계이다. (b) "$A \subseteq B$"와 "$A \cup B = B$"는 필요충분 관계이다. (5주차 문제 16의 결과 + 나머지 한 방향) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (a)는 $A \cap B$의 정의가 무엇이었는지 적어 보면 끝난다. (b)는 방향 두 개를 각각: ($\to$)는 5주차 문제 16이 이미 증명했고, ($\leftarrow$)는 항상 참인 포함 $A \subseteq A \cup B$(5주차 문제 10(b))에 상등을 결합한다. ::: **20.** (서술) 수학이 "F $\Rightarrow$ 무엇이든 = T"라는 규칙을 **채택해야만 하는** 이유를 다음 예로 설명하시오: "모든 정수 $x$에 대해, $4 \mid x \Rightarrow 2 \mid x$"는 참이어야 마땅한 명제다. 그런데 $x = 3$을 대입하면 가정도 결론도 거짓이 된다. 만약 F$\Rightarrow$F를 F로 정했다면 무슨 일이 벌어지는가? (세 문장 이내) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown §1.3의 행 변경 실험을 이 사례로 다시 수행한다 — F$\Rightarrow$F = F라는 가상의 규칙 아래에서 $x = 3$이 명제에 무슨 짓을 하는지 추적한다. ::: ## 백지 재현 — 복습 프로토콜 권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다. **1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용.** 판정의 3단 절차(§2 관찰)와 §1.4의 번역 규칙만 펴 놓고, 예제 2.2의 판정을 처음부터 끝까지 적는다. 본문과 진리표는 보지 않는다. **2차 시도 (5일차) — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다: - [ ] $P \Rightarrow Q$의 진리표를 그리고, 거짓이 되는 유일한 행을 짚었다. - [ ] 공허한 참이 왜 필요한지 일상 사례(§1.2의 약속 문장) 또는 "$4 \mid x \Rightarrow 2 \mid x$"로 설명했다. - [ ] "only if / 충분 / 필요"를 화살표로 번역하는 규칙을 썼다 (충분 = 꼬리, 필요 = 머리). - [ ] 진리집합의 다리 — "모든 $x$: $P(x) \Rightarrow Q(x)$ 참 $\iff P \subseteq Q$" — 를 쓰고 유도(확인 9의 네 줄)를 재현했다. - [ ] $P \iff Q$의 정의(화살표 두 개의 $\land$)와 진리표를 썼다. - [ ] 예제 2.2의 판정(번역 $\to$ 포함 확인 $\to$ 역번역)을 반례까지 포함해 재현했다. **막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다. | **막힌 지점** | **처방** | |---|---| | F 행의 진리값이 헷갈린다 | §1.2 — 두 표(약속$\cdot$$x>3$)를 다시 채우며 F 행이 강제되는 과정을 재현한다 | | only if 방향이 뒤집힌다 | §1.4 — "Q 없이 P 없다"의 해부와 확인 6의 대입 검산 | | 충분$\cdot$필요가 뒤바뀐다 | §1.4 암기 문장 + 훈련 1의 (2)(3) | | 진리집합 번역이 막힌다 | §1.5의 표 채우기 + 예제 2.2의 확인 14 | | 거짓 방향에서 반례를 잊는다 | 예제 2.2의 확인 15 — 거짓 판정은 반례 하나 명시까지가 판정이다 | 하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다. ## 해설 각 해설은 **접근**과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 1 (1) 참, 거짓 (2) $P \Rightarrow Q$ (3) $Q \Rightarrow P$ (4) $\subseteq$ (5) $=$ ※ (2)와 (3)의 차이가 이번 주의 절반이다 — 충분은 꼬리, 필요는 머리. ### 빈칸 사다리 — 훈련 2 (1) $(1, \infty)$ (2) $(0, \infty)$ (3) $\subseteq$ (4) T$\Rightarrow$F (5) $\frac{1}{2}$ (0과 1 사이의 아무 실수나 된다) (6) T$\Rightarrow$F (7) 충분 ※ (5)의 반례는 "$Q$에는 속하고 $P$에는 속하지 않는" 수 — 두 집합의 차 $(0, 1]$에서 아무거나 고르면 된다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 3 (1) $P = \{x : |x| \le 1\} = [-1, 1]$, $Q = \{x : x^2 \le 1\} = [-1, 1]$. (2) $P \subseteq Q$이고 $Q \subseteq P$ — 두 진리집합이 같은 구간이므로 양방향 포함이 모두 성립한다 ($|x| \le 1$과 $x^2 \le 1$은 양변 제곱$\cdot$제곱근의 동치 변형으로 서로 오간다). (3) 진리집합이 상등이므로 양방향 화살표가 모두 참 — $|x| \le 1$은 $x^2 \le 1$이기 위한 **필요충분**조건이다. ※ 문제 13은 훈련 3의 $|x| \le 1$ 자리를 "$x \le 1$"로 바꾸고 $x^2 \le 1$을 $P$ 자리로 옮긴 명제다 — 절댓값이 사라지는 순간 왼쪽 경계가 풀려 결과가 달라진다. ### 문제 1 **접근.** 예제 2.1의 절차: 가정과 결론의 진리값을 각각 확정한 뒤 진리표 4행 중 어디인지만 찾는다. 가정이 F이면 결론과 무관하게 자동 T다. **풀이.** (a) 가정 $2 > 1$은 참, 결론 $3 > 2$도 참 — T$\Rightarrow$T 행이므로 **참**. (b) 가정 $2 < 1$은 거짓 — 결론을 볼 것도 없이 **참** (결론이 참이므로 F$\Rightarrow$T 행, 공허한 참). (c) 가정 참, 결론 $3 < 2$ 거짓 — T$\Rightarrow$F, 유일한 거짓 행이므로 **거짓**. (d) 가정 $\pi \in \mathbb{Q}$는 거짓 — $\pi$가 무리수라는 사실은 지금은 증명 없이 인정하고 쓴다(이 과정이 직접 증명하는 무리수는 21주차의 $\sqrt{2}$다). F$\Rightarrow$F 행, **참**. 결론이 $1 = 2$처럼 터무니없는 거짓이어도 판정은 흔들리지 않는다 — 조건문의 진리값은 행만 본다. ### 문제 2 **접근.** 문제 1과 동일한 절차다. 소수$\cdot$$\pi$ 같은 수학적 내용에 현혹되지 말고 각 부분 명제의 진리값만 추출한다 — 가정과 결론 사이에 내용상 연관이 없어도 조건문의 진리값은 정의대로 정해진다. **풀이.** (a) 가정 $1+1=2$ 참, 결론 $2+2=5$ 거짓 — T$\Rightarrow$F 행, **거짓**. (b) 가정 $1+1=3$ 거짓 — F$\Rightarrow$F 행, **참** (공허한 참). (c) 가정 "2는 소수" 참, 결론 "3은 소수" 참 — T$\Rightarrow$T 행, **참**. 2와 3 사이에 아무 논리적 연관이 없어도 판정은 참이다. (d) 가정 "4는 소수"는 거짓($4 = 2 \times 2$로 약수 2를 가진다) — F$\Rightarrow$F 행, **참**. **복기.** (c)의 판정에 저항감이 남는다면 그 정체는 "$\Rightarrow$가 인과를 주장한다"는 오해다 — 정의 8.1은 인과가 아니라 진리값 조합만 본다. ### 문제 3 **접근.** 각 문장에서 신호어(if / only if / 충분 / 필요)를 찾고 §1.4의 규칙을 적용한다: if 뒤 = 가정, only if 뒤 = 결론, 충분 = 화살표의 꼬리, 필요 = 머리. **풀이.** (a) $P$: $6 \mid n$, $Q$: $3 \mid n$ — "$P$이면 $Q$" 그대로 $P \Rightarrow Q$. (b) $P$: $x = 3$, $Q$: $x^2 = 9$ — if 뒤($x = 3$)가 가정이므로 $P \Rightarrow Q$. 문장에서 결론이 앞에 나와 있어도 규칙은 같다. (c) $P$: $4 \mid n$, $Q$: $2 \mid n$ — only if 뒤(짝수)가 결론이므로 $P \Rightarrow Q$. §1.4의 예문과 같은 명제다. (d) $P$: 미분가능, $Q$: 연속 — 필요조건(연속)이 화살표의 머리이므로 (미분가능) $\Rightarrow$ (연속), 곧 $P \Rightarrow Q$. **복기.** 네 항목 전부 결론이 "더 넓은 쪽"이다 — 참인 화살표는 언제나 넓거나 같은 진리집합을 향해 나간다(이 네 항목에서는 전부 진짜로 더 넓다). 번역이 의심될 때 쓸 수 있는 감시 장치다. ### 문제 4 **접근.** 7주차의 진리표 절차 — 안쪽 열부터 하나씩 추가한다. $Q \Rightarrow P$ 열은 가정이 $Q$이므로, $Q$가 T이고 $P$가 F인 행에서 거짓이 된다. **풀이.** | **$P$** | **$Q$** | **$P \Rightarrow Q$** | **$Q \Rightarrow P$** | **$\land$** | |---|---|---|---|---| | T | T | T | T | T | | T | F | F | T | F | | F | T | T | F | F | | F | F | T | T | T | 셋째 열은 TF에서, 넷째 열은 FT에서 — 서로 다른 행에서 거짓이 된다. $\land$는 둘 다 참인 행에서만 참이므로 마지막 열은 TT와 FF에서만 T다. 정의 8.2의 진리표("진리값이 같을 때만 참")가 유도됐다. **검산.** TT 행과 FF 행에서 T, 나머지에서 F — §1.6의 표와 일치한다 ✓. ### 문제 5 **접근.** 신호어 규칙을 문장마다 적용한다. (b)만 문장 구조가 뒤집혀 있다 — "안 가는 날($Q$)은 일요일($P$)뿐"은 "$Q$ only if $P$"다. **풀이.** (a) "일요일이면 안 간다" — if 구조 그대로 $P \Rightarrow Q$. (b) "$Q$인 것은 오직 $P$일 때뿐" = $Q$ only if $P$ — only if 뒤가 결론이므로 $Q \Rightarrow P$. 안 감으로부터 일요일임이 따라 나온다는, (a)와 별개의 주장이다. (c) 충분조건 = 꼬리 — $P \Rightarrow Q$. (d) $Q$가 필요조건 = $Q$가 머리 — $P \Rightarrow Q$. ※ (a), (c), (d)는 같은 명제의 세 가지 문형이고 (b)만 역방향이다. 넷 중 하나만 다른 것을 골라내는 감각이 §1.4 표의 목적지다. ### 문제 6 **접근.** 암기 문장 "충분 = 꼬리, 필요 = 머리"를 기계적으로 적용한다. (c)는 정의 8.2에 의해 화살표가 양방향으로 나 있는 경우다. **풀이.** (a) **충분** — $P$가 화살표의 꼬리다. $P$를 확인하면 $Q$가 따라 나온다. (b) **필요** — $Q$가 화살표의 머리다. $Q$가 거짓이면 T$\Rightarrow$F 금지에 의해 $P$도 참일 수 없다. (c) **필요충분** — 화살표가 양방향이므로 $P$는 꼬리(충분)이자 머리(필요)다. ### 문제 7 **접근.** 예제 2.2의 3단 절차를 네 번. (c)는 부등식 $x^2 \le x$를 진리집합(구간)으로 바꾸는 번역이 판정의 전부다. **풀이.** (a) $P = \{1\}$, $Q = \{-1, 1\}$ ($x^2 = 1$의 해 두 개). $P \subseteq Q$이므로 $P \Rightarrow Q$ 참. 역포함은 실패 — 반례 $x = -1 \in Q$이지만 $\notin P$. $\to$ **충분조건 (필요는 아님)**. (b) (a)와 진리집합이 뒤바뀐 상황: $P = \{-1, 1\} \supseteq \{1\} = Q$. $Q \Rightarrow P$ 참(포함 $Q \subseteq P$), $P \Rightarrow Q$ 거짓(반례 $x = -1$). $\to$ **필요조건 (충분은 아님)**. (c) $x^2 \le x \iff x(x-1) \le 0 \iff 0 \le x \le 1$ (고1 이차부등식 — 두 근 0, 1 사이). 두 진리집합이 모두 $[0, 1]$로 일치 $\to$ **필요충분조건**. (d) $P = (0, \infty)$, $Q = [0, \infty)$. $P \subseteq Q$ 성립(참 방향), 역은 반례 $x = 0 \in Q$이지만 $\notin P$. $\to$ **충분조건 (필요는 아님)**. **복기.** 경계점 하나($x = 0$, $x = -1$)가 판정을 가른다 — 반례는 두 집합의 차집합에서 나오고, 차집합은 대개 경계에 몰려 있다. 반례 탐색은 경계부터 본다. ### 문제 8 **접근.** 두 진리집합의 포함을 원소 추적으로 확인한다 — 4주차 문제 12에서 연습한 "$x \in E$라 하자 $\to$ …"의 작업이다. 반례는 "짝수인데 8의 배수가 아닌" 수 중 가장 작은 것부터 찾는다. **풀이.** 진리집합은 $P = \{8k : k \in \mathbb{Z}\}$, $Q = \{2k : k \in \mathbb{Z}\}$. 포함을 원소 추적으로 확인한다: $n \in P$라 하자. 정의에 의해 $n = 8k$인 정수 $k$가 존재하고, $n = 8k = 2(4k)$에서 $4k$는 정수이므로 $n \in Q$이다. 따라서 $P \subseteq Q$이고, 진리집합의 다리에 의해 "$8 \mid n \Rightarrow 2 \mid n$"은 참이다. 역의 반례: $n = 2$. 가정 확인 — $2 = 2 \times 1$이므로 $2 \mid 2$ 참. 결론 확인 — $2 = 8c$인 정수 $c$가 없으므로($c = \frac{1}{4}$) $8 \nmid 2$. T$\Rightarrow$F가 발생하므로 역은 거짓이다. $\blacksquare$ **복기.** 반례 제시의 완결 조건(2주차 §4의 '반례로 반박하기' 상자) 그대로 — 가정이 참임을 등식으로, 결론이 거짓임을 정의로 각각 확인한다. "2는 8의 배수가 아니니까"만으로는 절반이다. ### 문제 9 **접근.** "모든 $x$" 조건문의 참 = T$\Rightarrow$F인 $x$가 없음 = 진리집합의 포함. 참 판정은 포함으로, 거짓 판정은 T$\Rightarrow$F를 일으키는 $x$ 하나로 근거를 댄다. **풀이.** (a) **참** — 진리집합 $(3, \infty) \subseteq (1, \infty)$: $x > 3$이면 $3 > 1$과 합쳐 $x > 1$이다. (b) **거짓** — 반례 $x = 2$: 가정 $2 > 1$ 참, 결론 $2 > 3$ 거짓으로 T$\Rightarrow$F가 발생한다. (a)가 참이라고 그 역까지 참인 것은 아니다 — 역은 별개의 명제다(9주차의 주제). (c) **참** — $|x| < 2$의 진리집합이 정확히 $(-2, 2)$이고 결론의 진리집합도 $(-2, 2)$다. 진리집합이 상등이므로 사실은 필요충분이다. (d) **참** — $x^2 > 0$인데 $x = 0$이면 $0^2 = 0 > 0$이 되어 모순이므로, 가정이 참인 $x$는 전부 $x \neq 0$이다. 진리집합은 둘 다 $\mathbb{R} - \{0\}$ — 이것도 필요충분이다. ### 문제 10 **접근.** 거짓말이 되는 상황 = 유일한 거짓 행 T$\Rightarrow$F에 해당하는 상황만 찾는다. §1.2에서 채운 약속 표와 같은 구조다 — 같은 판정을 상자 없이 스스로 한다. **풀이.** **(b)만.** (a) 가정 참(맑음), 결론 참(감) — T$\Rightarrow$T, 약속 이행. (b) 가정 참(맑음), 결론 거짓(안 감) — T$\Rightarrow$F, 약속이 깨지는 유일한 상황. (c) 가정 거짓(비) — 약속이 비 오는 날에 요구하는 것이 없으므로, 등산을 갔어도 위반이 아니다 (F$\Rightarrow$T). (d) 가정 거짓, 결론 거짓 — 역시 위반이 아니다 (F$\Rightarrow$F). 비 오는 날의 행동은 무엇이든 약속과 무관하다. **복기.** §1.2의 표가 문제로 재등장했다 — 개념에서 해부한 사례를 스스로 재구성하는 이중 노출이다. 일상에서도 수학에서도 "거짓 행은 하나"라는 기준은 같다. ### 문제 11 **접근.** 전부 3단 절차로 판정한다. (d)는 양방향을 각각 — 12의 배수이면 4와 6의 공배수인가? 그 역은? (5주차 문제 9의 "2와 3의 공배수 = 6의 배수" 감각의 연장이다.) **풀이.** (a) $x = 3 \iff 3x = 9$ — 양변을 3으로 곱하거나 나누는 동치 변형으로 서로 오가므로 진리집합이 $\{3\}$으로 상등 $\to$ **필요충분조건**. (b) 정삼각형은 세 변이 같으므로 특히 두 변이 같다 — 이등변이다. $P \Rightarrow Q$ 참. 역은 거짓 — 반례: 변의 길이가 $2, 2, 3$인 이등변삼각형은 정삼각형이 아니다. $\to$ **충분조건 (필요는 아님)**. (c) $P$의 진리집합 $\{-2, 2\}$, $Q$의 진리집합 $\{2\}$. $Q \subseteq P$이므로 $Q \Rightarrow P$ 참(필요조건 성립), $P \Rightarrow Q$는 반례 $x = -2$(가정 $|-2| = 2$ 참, 결론 $-2 = 2$ 거짓)로 거짓. $\to$ **필요조건 (충분은 아님)**. (d) ($\to$) $n = 12k = 4(3k) = 6(2k)$이므로 4의 배수이고 6의 배수 — 참. ($\leftarrow$) 4와 6의 공배수이면 최소공배수 12의 배수이므로 참 ("공배수는 최소공배수의 배수"는 지금은 인정하고 쓴다 — 20주차에서 증명). 양방향 성립 $\to$ **필요충분조건**. **복기.** (b)의 반례는 수가 아니라 도형이다 — 반례는 "가정은 만족하고 결론은 어기는 대상"이면 무엇이든 된다. 반례 = 숫자라는 고정 관념을 여기서 끊어 둔다. ### 문제 12 **접근.** 영어 신호어를 §1.4의 표로 처리한다: if 뒤 = 가정, only if 뒤 = 결론, sufficient = 꼬리, necessary = 머리. 우리말 번역과 동시에 화살표 방향을 정한다. **풀이.** (a) if 뒤가 가정 — ($n$ 홀수) $\Rightarrow$ ($n^2$ 홀수). 1주차 문제 11에서 증명한 그 명제다. (b) only if 뒤가 결론 — (연속) $\Rightarrow$ (모든 점에서 정의됨). "정의된 곳에서만 연속일 수 있다"는 뜻이다. (c) sufficient가 붙은 쪽이 꼬리 — ($x = 2$) $\Rightarrow$ ($x^2 = 4$). (d) necessary가 붙은 쪽($n > 0$)이 머리 — ($n \in \mathbb{N}$) $\Rightarrow$ ($n > 0$). "자연수라면 반드시 양수"라는 주장이다. **복기.** 신호어 넷의 처리 규칙은 언어가 바뀌어도 같다 — 대학 교재의 정리 서술 대부분이 이 네 문형 중 하나로 온다. ### 문제 13 **접근.** 훈련 3에서 $x^2 \le 1$의 진리집합을 구했다 — $[-1, 1]$. 크게 음수인 $x$(이를테면 $-5$)가 어느 집합에 속하는지 확인하면 포함의 방향이 보인다. **풀이.** 진리집합: $P = \{x : x^2 \le 1\} = [-1, 1]$, $Q = \{x : x \le 1\} = (-\infty, 1]$. $P \subseteq Q$ 성립 — $-1 \le x \le 1$이면 특히 $x \le 1$이다. 역포함은 실패 — 반례 $x = -5$: 가정 $-5 \le 1$은 참이지만 $(-5)^2 = 25 > 1$이므로 $-5 \notin P$, 곧 결론이 거짓이다. 따라서 $P \Rightarrow Q$만 참 — **$P$는 $Q$이기 위한 충분조건 (필요는 아님)**이다. **복기.** 훈련 3(필요충분)과 이 문제의 차이는 절댓값 하나다 — $x \le 1$은 음수 방향이 뚫려 있어 진리집합이 왼쪽으로 샌다. 문장 한 조각이 진리집합의 모양을, 진리집합의 모양이 판정을 바꾼다. ### 문제 14 **접근.** 정의 8.2에 의해 $\iff$는 화살표 두 개의 $\land$다 — 계획도 방향마다 하나씩. 각 방향에 대해 "이미 증명돼 있는가 / 직접 증명이 되는가 / 막히면 어떤 우회로가 있는가"를 1주차의 증명 목록과 대조한다. **풀이.** (계획 예시) ($\to$) $n$ 짝수 $\Rightarrow$ $n^2$ 짝수: **1주차 문제 9에서 직접 증명 완료** ($n = 2a$ 대입, $n^2 = 2(2a^2)$). 근거 ④로 인용만 하면 된다. ($\leftarrow$) $n^2$ 짝수 $\Rightarrow$ $n$ 짝수: 직접 증명을 시도하면 $n^2 = 2k$에서 $n$을 꺼낼 방법이 없어 3단계 틀이 막힌다(1주차 문제 11의 예고에서 만난 막힘). 우회로: 이 명제 대신 "$n$ 홀수 $\Rightarrow$ $n^2$ 홀수"를 증명하는 것 — 이것은 **1주차 문제 11에서 이미 증명했다**. 이 우회(대우)가 원명제와 진리값이 같다는 보증은 9주차에서 진리표로 확정하고, 증명법으로의 정식 채용은 19주차에서 한다. 이처럼 **iff 증명 = 두 개의 조건문 증명**이고, 방향마다 다른 기법을 쓸 수 있다 (25주차에서 서식으로 승격한다). ### 문제 15 **접근.** 4행 진리표에 $\neg P$ 열을 만들고 $Q$와 $\lor$한 뒤, $P \Rightarrow Q$ 열과 대조한다. 완성되면 §1.1의 실패한 조립 시도가 어떻게 회수되는지 본다. **풀이.** | **$P$** | **$Q$** | **$P \Rightarrow Q$** | **$\neg P$** | **$\neg P \lor Q$** | |---|---|---|---|---| | T | T | T | F | T | | T | F | F | F | F | | F | T | T | T | T | | F | F | T | T | T | 3열과 5열이 네 행 전부에서 일치한다 — **$P \Rightarrow Q$와 $\neg P \lor Q$는 같은 명제의 두 표기다.** 뜻으로 읽으면 "P이면 Q" = "P가 아니거나, Q다" — 가정이 거짓이거나(공허한 참 두 행) 결론이 참이면 조건문은 참이다. **복기.** §1.1에서 실패한 조립이 $\neg$의 합류로 성공했다 — 화살표는 새 원소가 아니라 $\neg, \lor$ 조합에 붙인 이름이었다. 이 등식 덕분에 조건문의 부정을 논리 계산으로 처리할 수 있게 된다(9주차에서 $\neg(P \Rightarrow Q) \equiv P \land \neg Q$가 나온다). ### 문제 16 **접근.** 지름길 — 조건문은 유일한 거짓 행만 찾으면 나머지는 전부 T다. 좌변이 F가 되는 조합과 우변이 F가 되는 조합을 각각 구해 비교한다. **풀이.** 좌변 $P \Rightarrow (Q \Rightarrow R)$이 F이려면: $P$가 T이고 $Q \Rightarrow R$이 F — 후자는 $Q$가 T, $R$이 F일 때다. 즉 좌변이 F인 조합은 ($P$, $Q$, $R$) = (T, T, F) **하나뿐**이다. 우변 $(P \land Q) \Rightarrow R$이 F이려면: $P \land Q$가 T(둘 다 T)이고 $R$이 F — 역시 (T, T, F) 하나뿐이다. 두 명제는 같은 한 행에서만 F이고 나머지 7행에서 모두 T — 여덟 행 전부 일치한다. 해석: **"P이면, (Q이면 R)"이라는 정리는 "P와 Q를 둘 다 가정하면 R"과 같은 정리다.** 증명이 "P와 Q를 가정하자"로 한꺼번에 시작해도 되는 근거다(15주차 증명 서식의 재료). **검산.** (T, T, F) 한 행을 실제로 계산하면: 좌변 = T$\Rightarrow$(T$\Rightarrow$F) = T$\Rightarrow$F = F, 우변 = (T$\land$T)$\Rightarrow$F = T$\Rightarrow$F = F ✓. ### 문제 17 **접근.** "모든 $x$" 조건문의 참 = **모든** $x$에서 T$\Rightarrow$F가 없음. 한 $x$에서의 T$\Rightarrow$T 확인은 그 $x$에 대한 확인일 뿐이다. 가정 $x^2 = 4$를 참으로 만드는 $x$를 전부 나열해 본다. **풀이.** 가정 $x^2 = 4$의 진리집합은 $\{-2, 2\}$ — $x = 2$ 말고 $x = -2$도 가정을 참으로 만든다. $x = -2$에서 가정은 참인데 결론 $-2 = 2$는 거짓 — T$\Rightarrow$F가 발생하므로 명제는 **거짓**이다. 주장의 오류는 한 $x$($x = 2$) 에서의 성립 확인을 "모든 $x$"에 대한 증명으로 승격한 것 — 1주차 준비 운동에서 해부한 "예시 확인은 증명이 아니다"와 같은 오류가 판정 문제에서 재발한 것이다. 진리집합으로 보면 $\{-2, 2\} \nsubseteq \{2\}$ — 포함이 실패하는 지점($-2$)이 곧 반례다. ### 문제 18 **접근.** "$\emptyset$의 모든 원소는 ~이다"를 조건문 "모든 $x$에 대해, $x \in \emptyset \Rightarrow \cdots$"로 다시 쓴다. 가정의 진리값이 $x$와 무관하게 정해져 있다는 것이 판정의 전부다. **풀이.** (a) **참.** 임의의 $x$에 대해 가정 $x \in \emptyset$은 거짓이므로, 조건문 "$x \in \emptyset \Rightarrow x$는 홀수"는 모든 $x$에서 F 행 — 공허하게 참이다. T$\Rightarrow$F가 되는 $x$가 존재할 수 없으므로 전체 명제는 참이다. (b) **참.** 같은 논리다 — 결론을 "짝수"로 바꿔도 가정이 항상 거짓이라는 사실은 변하지 않고, F$\Rightarrow$(무엇이든) = T이다. (c) 두 문장 모두 가정이 항상 거짓이므로 어떤 결론을 붙여도 참이다. 두 문장이 충돌하려면 홀수이면서 짝수인 **원소가 있어야** 하는데, 원소가 없으므로 충돌할 자리 자체가 없다. 4주차에서 "어길 원소가 없어서 참"이라고 설명한 $\emptyset \subseteq A$의 정체가 바로 이 구조 — 조건문의 공허한 참 — 였다. ### 문제 19 **접근.** (a)는 계산 문제가 아니다 — $A \cap B$의 정의가 무엇이었는지 적으면 끝난다. (b)는 두 방향을 각각: ($\to$)는 5주차 문제 16이 이미 증명했고, ($\leftarrow$)는 항상 참인 포함 $A \subseteq A \cup B$(5주차 문제 10(b))에 가정의 상등을 결합한다. **풀이.** (a) **참 — 필요충분이다.** 5주차 정의 5.1에서 $A \cap B$를 정의한 문장이 정확히 "$x \in A \cap B \iff (x \in A) \land (x \in B)$"였다 — 정의란 말과 조건을 쌍조건문으로 잇는 선언이므로, 모든 정의는 그 자체로 필요충분 관계다. ("정의 = iff" 관례의 정식 논의는 25주차에서 한다.) (b) **참 — 필요충분이다.** 두 방향을 각각 확인한다. ($\to$) $A \subseteq B$라 가정하자. 5주차 문제 16에 의해 $A \cup B = B$이다 (근거 ④ — 이미 증명한 명제의 인용). ($\leftarrow$) $A \cup B = B$라 가정하자. $A \subseteq A \cup B$는 임의의 집합에서 항상 참이므로(5주차 문제 10(b)), 상등을 대입하면 $A \subseteq A \cup B = B$, 곧 $A \subseteq B$이다. 양방향이 모두 성립하므로 필요충분 관계다. $\blacksquare$ **복기.** (b)의 두 방향은 재료가 다르다 — 기존 정리 인용과, 항상 참인 포함에 상등 대입. 방향마다 다른 기법을 쓴다는 문제 14의 계획이 집합에서 실행된 첫 사례다(완전한 서식은 25주차 문제 10에서). ### 문제 20 **접근.** §1.3의 행 변경 실험을 서술로 완성한다. F$\Rightarrow$F = F라는 가상의 규칙 아래에서 명제가 어떻게 되는지 $x = 3$으로 추적한 뒤, 그 결말을 받아들일 수 없는 이유를 적는다. **풀이.** (예시 답안) "모든 정수 $x$에 대해 $4 \mid x \Rightarrow 2 \mid x$"는 4의 배수가 모두 짝수이므로 당연히 참이어야 한다. 그런데 F$\Rightarrow$F를 F로 정하면 $x = 3$(가정 거짓, 결론 거짓)에서 조건문이 거짓이 되어 "모든 정수 $x$에 대해"가 무너진다. 즉 가정에 해당하지 않는 $x$들이 명제를 훼방하지 못하게 하려면 F$\Rightarrow$F(같은 이유로 F$\Rightarrow$T도 — 예컨대 $x = 2$)를 T로 정할 수밖에 없다. **복기.** 공허한 참은 관대함이 아니라 **설계**다 — 참$\cdot$거짓이 가정의 진리집합 안에서만 결정되게 하는 장치이고, 그 대가로 조건문 증명은 가정이 참인 경우만 다루면 된다(확인 5). 이번 주의 핵심 문장 — 거짓은 단 한 행 — 이 이 설계의 요약이다. --- **다음 주 예고:** $P \Rightarrow Q$를 뒤집고($Q \Rightarrow P$: 역), 부정을 붙여($\neg Q \Rightarrow \neg P$: 대우) 어느 것이 원래와 진리값이 같은지 진리표로 판결한다. 대우가 원명제와 같다는 판결이 문제 14의 ($\leftarrow$) 방향이 쓴 우회로의 보증서이고, 19주차 대우 증명법의 이론적 근거가 된다. 문제 15의 $P \Rightarrow Q \equiv \neg P \lor Q$가 부정 계산의 출발점이다.