# C17주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설 ## 예제 — ε 서식과 미분 절차를 함께 만들기 완성된 증명을 먼저 보이지 않는다. 백지에서 시작해 한 줄씩 만든다. 각 단계에서 확인 상자의 빈칸을 연필로 먼저 채운 뒤 답을 연다. ### 예제 2.1 — 수열 극한 ε-N **명제.** $\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n + 1}{n} = 2$. 이 명제는 1권 45주차 예제 2.2와 같은 것이다. 같은 명제를 다시 세우는 이유는 두 가지다 — 정수론$\cdot$기수$\cdot$조합론을 거쳐 온 뒤에도 중첩 양화사 처리가 그대로임을 확인하기 위해서이고, 이번 주 뒤쪽에서 미분 계산이 얹힐 바닥이 이 서식이기 때문이다. **설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지.** 증명을 쓰기 전에 가정이 주는 것(출발점)과 만들어야 할 것(도착점)을 정의로 번역해서 정한다. | | **말** | **수식 번역** | |---|---|---| | 가정 (출발점) | 수열의 식이 주어졌다 | $a_n = \dfrac{2n+1}{n}$, 목표값 $L = 2$ | | 목표 (도착점) | $(a_n)$이 $2$로 수렴한다 | $\underline{\qquad(?)\qquad}$ | :::{container} quotebox **확인 10.** 목표 칸의 빈칸을 채워 보자. 1권 정의 45.1을 이 수열에 적용해 양화사까지 그대로 적는다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n > N:\ \left|\dfrac{2n+1}{n} - 2\right| < \varepsilon$. 양화사가 세 겹이므로 답안도 세 겹으로 열린다 — $\varepsilon$은 받고($\forall$), $N$은 제시하고($\exists$), $n$은 다시 받는다($\forall$). S8주차의 중첩 양화사 처리가 그대로 적용되는 자리다. ::: **연습장 — 역산으로 문턱을 찾는다.** 본문에 적을 것이 아니라 $N$을 발견하기 위한 계산이다(1권 45주차 §1.6의 규율: 역산은 발견이고 증명이 아니다). :::{container} quotebox **확인 11.** 연습장에서 $\left|\frac{2n+1}{n} - 2\right|$를 정리해 보자. 그리고 그것이 $\varepsilon$보다 작아지는 $n$의 조건을 구해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $\left|\dfrac{2n+1}{n} - 2\right| = \left|\dfrac{2n+1-2n}{n}\right| = \left|\dfrac1n\right| = \dfrac1n$ (마지막 등식은 $n \ge 1 > 0$이므로 성립한다). 따라서 $\frac1n < \varepsilon \iff n > \frac1\varepsilon$이고, 문턱은 $\frac1\varepsilon$ 근처에서 잡으면 된다. ::: **1단계 — $\varepsilon$을 받는다.** 첫 문장은 창작이 아니라 정해진 형식이다. :::{container} quotebox **확인 12.** 첫 문장을 완성해 보자: "$\underline{\qquad}$을 임의로 주어진 양수라 하자." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "$\varepsilon$을 임의로 주어진 양수라 하자." 이 문장이 첫 번째 양화사 $\forall \varepsilon > 0$을 처리한다. 여기서 $\varepsilon$에 구체적인 수를 넣으면 그 수에 대해서만 증명한 것이 된다. ::: **2단계 — $N$을 구성하고 존재 근거를 밝힌다.** 연습장에서 얻은 $\frac1\varepsilon$을 자연수로 올린다. :::{container} quotebox **확인 13.** 둘째 문장을 완성해 보자: "$N$을 $\underline{\qquad}$인 자연수라 하자. 그런 $N$이 존재하는 근거는 $\underline{\qquad}$이다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "$N$을 $N > \frac1\varepsilon$인 자연수라 하자." 근거는 **아르키메데스 성질**이다 (1권 45주차 §1.5, 근거 ④). $N = \left\lceil \frac1\varepsilon \right\rceil$처럼 식으로 적어도 되지만, 그때도 그 값이 자연수라는 근거는 같은 성질에서 나온다. "$N = \frac1\varepsilon$으로 두자"라고만 적으면 자연수 보장이 빠진다. ::: **3단계 — $n$을 받는다.** 세 번째 양화사를 처리하는 문장이다. :::{container} quotebox **확인 14.** 셋째 문장을 완성해 보자: "$\underline{\qquad}$인 자연수 $n$을 임의로 잡자." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "$n > N$인 자연수 $n$을 임의로 잡자." 여기서도 특정한 $n$을 고르면 안 된다 — 결론이 "$n > N$인 모든 $n$"에 대한 주장이기 때문이다. ::: **4단계 — 본체 부등식을 잇는다.** 재료는 $n > N > \frac1\varepsilon$ 하나뿐이다. :::{container} quotebox **확인 15.** 마지막 문장을 완성해 보자: "$n > N > \frac1\varepsilon$이므로 $\frac1n < \underline{\quad}$이고, 따라서 $\left|\frac{2n+1}{n} - 2\right| = \underline{\quad} < \underline{\quad}$이다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $\frac1n < \varepsilon$이고, $\left|\frac{2n+1}{n} - 2\right| = \frac1n < \varepsilon$이다. ($n > \frac1\varepsilon$의 양변에 양수끼리의 역수를 취하면 부등호가 뒤집혀 $\frac1n < \varepsilon$이 된다 — 근거 ③.) 세 겹의 양화사를 모두 처리했으므로 1권 정의 45.1에 의해 증명이 끝난다. ::: **완성본.** 방금 만든 문장을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 "왜?"에 스스로 답해 본다. | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | $\varepsilon$을 임의로 주어진 양수라 하자. | 첫 양화사 $\forall \varepsilon > 0$을 처리한다. 특정한 값을 넣으면 전칭이 깨진다. | | $N$을 $N > \frac1\varepsilon$인 자연수라 하자. 그런 자연수의 존재는 아르키메데스 성질이 보장한다. | 둘째 양화사 $\exists N$을 처리한다. 연습장의 역산이 이 식을 만들었고, 존재 근거를 대는 것이 근거 ④의 인용이다. | | $n > N$인 자연수 $n$을 임의로 잡자. | 셋째 양화사 $\forall n > N$을 처리한다. | | 그러면 $n > N > \frac1\varepsilon$이므로 $\frac1n < \varepsilon$이다. | 재료를 목표 부등식이 쓸 수 있는 꼴로 바꾼다(근거 ③). | | 따라서 $\left\lvert \frac{2n+1}{n} - 2 \right\rvert = \left\lvert \frac1n \right\rvert = \frac1n < \varepsilon$이다. 정의 45.1에 의해 $\frac{2n+1}{n} \to 2$이다. $\blacksquare$ | 본체를 계산해 목표 부등식에 도달하고, 정의를 인용해 닫는다. | **연습장은 본문에 들어가지 않는다.** 위 다섯 줄 어디에도 "$\frac1n < \varepsilon$이려면 $n > \frac1\varepsilon$이어야 한다"는 역산이 없다. 역산은 $N$을 발견하는 데 쓰였고, 본문은 발견된 $N$에서 출발해 앞으로만 간다. 이 분리가 1권 45주차의 규율이며, 이번 주 모든 $\varepsilon$ 증명에 그대로 적용된다. ### 예제 2.2 — 연속 ε-δ **명제.** $f(x) = 3x - 1$은 $x = 2$에서 연속이다. 이번에는 설계만 함께 하고, 본문은 완성본으로 본다. **설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지.** 예제 2.1과 같은 자리를 연속의 언어로 채운다. | | **말** | **수식 번역** | |---|---|---| | 가정 (출발점) | 함수의 식과 점이 주어졌다 | $f(x) = 3x - 1$, $a = 2$ | | 목표 (도착점) | $f$가 $2$에서 연속이다 | $\underline{\qquad(?)\qquad}$ | :::{container} quotebox **확인 16.** 번역표를 채워 보자. 먼저 $f(2)$의 값을 구하고, "$f$가 $2$에서 연속"을 §1.6의 $\varepsilon$-$\delta$ 직접형으로 옮겨 적는다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $f(2) = 3 \cdot 2 - 1 = 5$. 목표: $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x:\ |x - 2| < \delta \Rightarrow |f(x) - 5| < \varepsilon$. 예제 2.1과 비교하면 제시하는 것이 문턱 $N$에서 반경 $\delta$로 바뀌었을 뿐, 받고-제시하고-받고-확인하는 순서는 같다. ::: :::{container} quotebox **확인 17.** 연습장에서 $|f(x) - 5|$를 $|x - 2|$로 표현해 보자. 그리고 그것이 $\varepsilon$보다 작아지려면 $|x-2|$가 무엇보다 작아야 하는지 구해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $|f(x) - 5| = |3x - 1 - 5| = |3x - 6| = 3|x - 2|$. $3|x-2| < \varepsilon \iff |x - 2| < \frac\varepsilon3$이므로 $\delta = \frac\varepsilon3$으로 잡으면 된다. 일차함수에서는 $\delta = \frac{\varepsilon}{|\text{기울기}|}$가 늘 통한다 — 기울기가 입력 오차를 출력 오차로 몇 배 키우는지를 나타내는 수이기 때문이다. 곧 출력 오차 $\varepsilon$을 기울기의 절댓값으로 나눈 값이 입력 반경이 된다. ::: | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | $f(2) = 3 \cdot 2 - 1 = 5$이다. | 연속의 세 조건 중 ①($f(2)$가 정의됨)을 확인하고, 비교 대상을 명시한다. | | $\varepsilon$을 임의로 주어진 양수라 하자. | 첫 양화사 $\forall \varepsilon > 0$을 처리한다. | | $\delta = \frac\varepsilon3$으로 두자. $\varepsilon > 0$이므로 $\delta > 0$이다. | 둘째 양화사 $\exists \delta > 0$을 처리한다. 연습장의 역산이 이 값을 만들었고, $\delta > 0$임을 밝히는 것이 정의가 요구하는 자격 확인이다. | | $\lvert x - 2 \rvert < \delta$인 $x$를 임의로 잡자. | 셋째 양화사 $\forall x$를 처리한다. | | 그러면 $\lvert f(x) - 5 \rvert = \lvert 3x - 6 \rvert = 3\lvert x - 2 \rvert < 3\delta = 3 \cdot \frac\varepsilon3 = \varepsilon$이다. | 본체를 계산해 목표 부등식에 도달한다(근거 ③). | | 따라서 $\lim_{x \to 2} f(x) = 5 = f(2)$이고, 1권 정의 47.2에 의해 $f$는 $2$에서 연속이다. $\blacksquare$ | 세 조건 ②③이 함께 확인되었음을 선언하며 정의로 닫는다. | ### 예제 2.3 — 미분계수의 계산과 정리 1.2의 증명 이번에는 설계부터 스스로 해 보자. 두 개의 명제를 연달아 다룬다. **명제 (계산).** $f(x) = x^2$은 임의의 $a$에서 미분가능하고 $f'(a) = 2a$이다. **명제 (정리 1.2).** $f$가 $a$에서 미분가능하면 $f$는 $a$에서 연속이다. :::{container} quotebox **확인 18.** 두 명제 각각의 설계를 적어 보자. 계산 쪽은 §1.5의 네 걸음 중 ①에 해당하는 식을, 정리 쪽은 출발점(가정이 주는 것)과 도착점(만들 것)을 각각 한 줄로 쓴다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown **계산.** 걸음 ①의 식은 $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} = \dfrac{(a+h)^2 - a^2}{h}$이다. 이후는 전개 $\to$ 약분 $\to$ 극한의 세 걸음이 남는다. **정리.** 출발점은 "$\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$가 존재하고 그 값이 $f'(a)$"이고, 도착점은 "$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$", 곧 "$\lim_{x \to a}\{f(x) - f(a)\} = 0$"이다. 출발점의 식에는 분모 $x - a$가 있고 도착점의 식에는 없으므로, **분모를 없애는 조작**이 다리가 된다 — 곱하면 사라진다. $x \to a$ 형(§1.4)을 쓰는 이유가 여기에 있다. ::: **증명 (계산).** $a$를 임의의 실수라 하고, $h \ne 0$이라 하자. 그러면 $$ \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} $$ 이고, $h \ne 0$이므로 분자와 분모를 $h$로 나눌 수 있어 $\frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h$이다. 합$\cdot$상수함수$\cdot$항등함수의 극한(§1.7)에 의해 $\lim_{h \to 0}(2a + h) = 2a$이므로 정의 1.1의 극한이 존재하고, 따라서 $f$는 $a$에서 미분가능하며 $f'(a) = 2a$이다. $\blacksquare$ **증명 (정리 1.2).** $f$가 $a$에서 미분가능하다고 하자. 곧 정의 1.1과 §1.4의 치환 $x = a + h$에 의해 $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)$이다. $x \ne a$인 $x$에 대해 $$ f(x) - f(a) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \cdot (x - a) $$ 가 성립한다($x - a \ne 0$이므로 우변의 약분이 정당하다). 우변은 두 함수의 곱이고, $x \to a$에서 첫 인수는 가정에 의해 $f'(a)$로, 둘째 인수는 $0$으로 간다. 곱의 극한 법칙(§1.7)에 의해 $$ \lim_{x \to a}\{f(x) - f(a)\} = f'(a) \cdot 0 = 0 $$ 이다. 따라서 $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$이고, 정의 47.2에 의해 $f$는 $a$에서 연속이다. $\blacksquare$ 두 증명 모두 표 없이 **산문**으로 적었다. 표는 연습 단계의 장치이고, 실전의 증명은 처음부터 끝까지 이런 산문이다. 이번 주의 목표는 이 산문을 백지에서 재현하는 것이다. 정리 1.2의 증명에서 실제로 한 일은 한 줄뿐이다 — 도착점의 식 $f(x) - f(a)$를 출발점의 식이 들어 있는 곱으로 다시 쓴 것이다. $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$를 만들려면 분모가 필요하고, 그 분모를 상쇄하려면 $(x-a)$를 곱해야 하며, 그 인수가 마침 $0$으로 간다. 미분가능이 연속을 함의하는 이유 전체가 이 한 줄에 들어 있다. ### 관찰 — 두 ε 증명의 같은 뼈대 예제 2.1은 수열을, 예제 2.2는 함수를 다뤘지만 뼈대가 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자. | **걸음** | **예제 2.1 ($\varepsilon$-N)** | **예제 2.2 ($\varepsilon$-$\delta$)** | |---|---|---| | ① 상대가 던지는 것을 받는다 | "$\varepsilon$을 임의로 주어진 양수라 하자" | $\underline{\quad(1)\quad}$ | | ② 연습장에서 역산해 제시할 것을 만든다 | $N > \frac1\varepsilon$ (근거: 아르키메데스 성질) | $\underline{\quad(2)\quad}$ | | ③ 검증 범위의 대상을 다시 받는다 | "$n > N$인 자연수 $n$을 임의로 잡자" | $\underline{\quad(3)\quad}$ | | ④ 본체 부등식을 잇고 정의로 닫는다 | $\lvert a_n - 2 \rvert = \frac1n < \varepsilon$ | $\underline{\quad(4)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 19.** 빈칸 (1)~(4)를 채워 보자. 그리고 두 서식에서 **다른 것이 무엇인지** 한 줄로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) "$\varepsilon$을 임의로 주어진 양수라 하자" — 글자 그대로 같다. (2) $\delta = \frac\varepsilon3$ (근거: $\varepsilon > 0$이므로 $\delta > 0$). (3) "$|x - 2| < \delta$인 $x$를 임의로 잡자". (4) $|f(x) - 5| = 3|x-2| < 3\delta = \varepsilon$. 다른 것은 걸음 ②에서 **제시하는 물건**뿐이다 — 수열에서는 문턱 $N$(자연수, 그 뒤의 모든 항을 가둔다), 함수에서는 반경 $\delta$(양수, 그 안의 모든 $x$를 가둔다). 걸음 ①③④는 문자만 바뀐 같은 문장이다. ::: 방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **$\varepsilon$ 서식의 네 걸음** ① 상대가 던지는 오차 $\varepsilon > 0$을 임의로 받는다 $\to$ ② 연습장의 역산으로 제시할 것($N$ 또는 $\delta$)을 만들고 그 존재$\cdot$자격의 근거를 밝힌다 $\to$ ③ 검증 범위 안의 대상($n > N$ 또는 $|x-a|<\delta$인 $x$)을 임의로 받는다 $\to$ ④ 본체 부등식을 계산해 $< \varepsilon$에 도달하고 정의를 인용해 닫는다 ::: 예제 2.3은 이 서식을 직접 쓰지 않는다. 대신 그 서식으로 이미 확립된 극한들을 **법칙으로 조립**한다 — 정의 1.1이 요구하는 것이 "극한의 존재"이고, 극한의 존재는 이 서식으로 검증되거나 이미 증명된 법칙에서 물려받거나 둘 중 하나이기 때문이다. 곧 미분의 계산은 $\varepsilon$ 서식 위에 한 층 얹힌 것이지 그것을 대체하는 것이 아니다. 이 서식이 §4의 $\varepsilon$ 문제(3, 6, 7, 9와 17의 연속 부분, 11, 14, 그리고 훈련 1과 3)의 채점표이고, §1.5의 네 걸음이 미분 문제(2, 8, 12, 15, 16, 19, 그리고 훈련 2)의 채점표다. 나머지 셋은 어느 쪽도 아니다 — 문제 5는 정리 1.2의 증명을 재현하는 문항이므로 채점표가 §6 문제 5의 복기에 적힌 세 항목이고, 문제 9와 17의 미분 불가능 부분과 문제 18은 1권 정의 47.1의 **부정**을 쓰므로 $\varepsilon$ 서식을 뒤집은 서식이 채점표다. ## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며 예제의 필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 §6에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다. ### 훈련 1 ●○○ — 수식과 절차의 빈칸 이차함수의 연속은 일차함수와 달리 $\delta$를 **두 제약의 $\min$**으로 잡아야 한다. 남는 인수 $|x+3|$을 상수로 눌러야 하기 때문이다(1권 47주차 예제 2.2의 $\min$ 트릭). **명제.** $f(x) = x^2$은 $x = 3$에서 연속이다. **증명.** $f(3) = 9$이다. 연습장: $|f(x) - 9| = |x^2 - 9| = |x - 3| \cdot |x + 3|$. 남는 인수 $|x+3|$을 누르기 위해 $x$를 $3$ 근처로 먼저 제한한다 — $|x - 3| < 1$이면 $2 < x < 4$이므로 $|x + 3| < \underline{\quad(1)\quad}$이다. 그러면 $|f(x) - 9| \le \underline{\quad(1)\quad} \cdot |x-3|$이고, 이것이 $\varepsilon$보다 작으려면 $|x - 3| < \underline{\quad(2)\quad}$이면 된다. 본문: $\varepsilon$을 임의로 주어진 양수라 하자. $\delta = \min\{1,\ \underline{\quad(2)\quad}\}$로 두자. 두 수 모두 양수이므로 $\delta > 0$이다. $|x - 3| < \delta$인 $x$를 임의로 잡자. $\delta \le 1$이므로 $|x - 3| < 1$이고 따라서 $|x + 3| < \underline{\quad(1)\quad}$이며, $\delta \le \underline{\quad(2)\quad}$이므로 $|x - 3| < \underline{\quad(2)\quad}$이다. 그러면 $$ |f(x) - 9| = |x - 3| \cdot |x + 3| < \underline{\quad(2)\quad} \cdot \underline{\quad(1)\quad} = \underline{\quad(3)\quad} $$ 이다. 따라서 1권 정의 47.2에 의해 $f$는 $3$에서 연속이다. $\blacksquare$ **관찰.** 이차함수의 연속 증명에서 $\delta$가 $\underline{\quad(4)\quad}$개의 제약을 $\min$으로 묶는 이유는, 하나는 남는 인수를 **가두기** 위한 것이고 다른 하나는 오차를 **맞추기** 위한 것이기 때문이다. $\min$을 쓰는 근거는 $\underline{\quad(5)\quad}$이다. **검산.** $\varepsilon = 0.7$이면 $\delta = \min\{1, 0.1\} = \underline{\quad(6)\quad}$이다. ### 훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께 이번에는 절차의 걸음 이름과 근거 문장도 빈칸이다. **명제.** $f(x) = 4x^2 + 1$은 임의의 $a$에서 미분가능하고 $f'(a) = 8a$이다. **증명.** $a$를 임의의 실수라 하자. 정의 1.1에 따라 $\underline{\quad(1)\quad}$을 세운다. $$ \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{\{4(a+h)^2 + 1\} - (4a^2 + 1)}{h} = \frac{\underline{\quad(2)\quad}}{h} $$ 여기서 분자의 상수항 $+1$과 $4a^2$이 소거되는 것이 §1.5의 걸음 $\underline{\quad(3)\quad}$이고, 남은 두 항에는 $h$가 인수로 들어 있다. $\underline{\quad(4)\quad}$이므로 분자와 분모를 $h$로 나눌 수 있고, 그 결과는 $8a + 4h$이다. $\lim_{h\to0}(8a + 4h) = 8a$인 근거는 $\underline{\quad(5)\quad}$이다. 극한이 존재하므로 $f$는 $a$에서 $\underline{\quad(6)\quad}$하고 $f'(a) = 8a$이다. $\blacksquare$ **따름.** 정리 1.2에 의해 $f$는 모든 점에서 $\underline{\quad(7)\quad}$이다. ### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고 훈련 1은 $a = 3$이라는 구체적인 점에서의 연속이었다. 이번에는 같은 함수를 **임의의 점**에서 다룬다. 상수 $7$이 나올 수 없으므로 가두는 상수 자체를 $a$로 설계해야 한다. **명제.** $f(x) = x^2$은 임의의 실수 $a$에서 연속이다. **증명의 뼈대.** $\varepsilon$ 서식의 네 걸음 칸을 통째로 채운다. - ① 연습장 — $|x^2 - a^2|$을 인수분해하고, $|x - a| < 1$일 때 남는 인수를 $a$로 눌러 보자: $\underline{\quad(1)\quad}$ - ② $\varepsilon$을 받고 $\delta$를 구성한다(그 $\delta$가 양수인 근거까지): $\underline{\quad(2)\quad}$ - ③ 검증 범위의 $x$를 받고 두 제약이 각각 무엇을 주는지 밝힌다: $\underline{\quad(3)\quad}$ - ④ 본체 부등식을 잇고 정의로 닫는다: $\underline{\quad(4)\quad}$ (안내: 삼각부등식 $|x + a| \le |x| + |a|$를 쓰면 $|x - a| < 1$에서 $|x| < |a| + 1$이 나온다. 가두는 상수가 $a$에 의존해도 된다 — $\delta$는 $\varepsilon$과 $a$ 둘 다에 의존할 수 있고, 정의가 금지하는 것은 $x$에 의존하는 것뿐이다. 이 점을 답에 한 줄로 적는다.) ## 연습문제 (20문항) 해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 '접근'까지만 읽고 다시 시도한다 $\to$ 그래도 안 되면 풀이를 읽는다. 극한 문제는 $\varepsilon$ 서식의 네 걸음(§2 관찰)을, 미분 문제는 정의로 계산하는 네 걸음(§1.5)을 답안에 드러나게 쓴다. :::{admonition} 이번 주의 채점 기준 :class: quotebox 답이 아니라 **근거**가 점수다. 이번 주 답안의 채점 항목은 넷이다. ① $\varepsilon$ 답안에서 $N$ 또는 $\delta$가 **$\varepsilon$의 식**으로 제시되고 그 존재$\cdot$자격의 근거가 적혀 있는가. "충분히 큰 $N$"은 제시가 아니다. ② $\varepsilon$ 답안에 **연습장의 역산이 본문에 섞여 있지 않은가**. 본문은 제시된 값에서 출발해 앞으로만 간다. ③ 미분 답안에 **"$h \ne 0$이므로"**가 약분 자리에 적혀 있는가. 이 한 마디가 계산의 자격이다. ④ 미분 답안이 값만 적고 끝나지 않고 **"극한이 존재하므로 미분가능하다"**는 판정으로 닫는가. 난이도와 무관하게, 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다. ::: ### 기본 ●○○ **1.** [백지] $\varepsilon$-N$\cdot$$\varepsilon$-$\delta$ 정의, 연속의 세 조건, 미분가능 정의, "미분 $\Rightarrow$ 연속"을 쓰시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 다섯 항목 각각에 대해 "이것이 없으면 빈 답"인 조각을 먼저 정한다. $\varepsilon$-N과 $\varepsilon$-$\delta$는 양화사 세 개의 순서와 "$0 < |x-a|$"의 유무, 연속은 세 조건 각각, 미분가능은 차분몫과 "극한이 존재한다"는 문구, 정리는 진술과 그 역이 거짓이라는 사실이다. ::: **2.** 미분계수를 정의로 구하시오. (a) $f(x) = 3x + 2$에서 $f'(a)$ (b) $f(x) = x^2$에서 $f'(1)$ (c) $f(x) = x^3$에서 $f'(a)$ :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 세 문항 모두 §1.5의 네 걸음이 그대로다. (c)의 전개에서 필요한 것은 $(a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3$이며, $a^3$이 소거된 뒤 남는 세 항에 $h$가 모두 들어 있는지 확인한다. 값만 적지 말고 판정 문장으로 닫는다. ::: **3.** 예제 2.1($\varepsilon$-N)을 백지 재현하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 다섯 줄이다. $\varepsilon$ 받기 $\to$ $N$ 제시와 존재 근거 $\to$ $n$ 받기 $\to$ 재료 변형 $\to$ 본체 계산과 정의 인용. 둘째 줄에 아르키메데스 성질이, 마지막 줄에 1권 정의 45.1이 실제로 적혀 있는지 스스로 채점한다. ::: **4.** 빈칸 훈련을 백지에서 완성하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 훈련 1은 $\min$ 트릭의 표준형이다. 두 제약이 각각 무엇을 담당하는지 — 하나는 남는 인수를 가두고 하나는 오차를 맞춘다 — 를 말로 먼저 정리하면 훈련 3에서 상수를 스스로 설계할 수 있다. ::: **5.** 예제 2.3(미분 $\Rightarrow$ 연속)을 백지 재현하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 핵심은 한 줄이다 — 도착점의 식 $f(x) - f(a)$를 출발점의 식이 들어 있는 곱으로 다시 쓰는 줄. 그 줄을 먼저 적고 나머지를 앞뒤로 채운다. $x \ne a$라는 단서를 어디에 적어야 하는지도 확인한다. ::: **6.** $\lim_{n\to\infty} \frac1{n^2} = 0$을 $\varepsilon$-N으로 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 연습장에서 $\frac{1}{n^2} < \varepsilon$을 $n$에 대해 풀면 $n > \frac{1}{\sqrt\varepsilon}$이 나온다. 본문에서는 그 값보다 큰 자연수 $N$을 아르키메데스 성질로 잡고, $n > N$에서 $n^2 > N^2$임을 한 줄로 밝힌다. S8주차 문제 8과 같은 수열이다. ::: ### 표준 ●●○ **7.** $f(x) = 5x + 2$가 $x = 1$에서 연속임을 $\varepsilon$-$\delta$로 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 예제 2.2와 기울기만 다르다. $f(1)$을 먼저 계산하고 $|f(x) - f(1)|$을 $|x-1|$의 상수배로 정리하면 $\delta$가 곧바로 나온다. ::: **8.** $f(x) = x^3$의 $a$에서 미분계수가 $3a^2$임을 정의로 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 문제 2의 (c)와 같은 계산이지만, 이번에는 판정 문장까지 갖춘 완전한 증명문으로 적는다. 약분 뒤 남는 식은 $3a^2 + 3ah + h^2$이고, 이 식의 $h \to 0$ 극한을 어떤 법칙으로 계산했는지 한 줄로 밝힌다. ::: **9.** $f(x) = |x|$가 $x = 0$에서 미분 불가함을 보이시오. 그러나 연속임도 확인하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 차분몫이 $\frac{|h|}{h}$로 간단해진다. 절댓값의 정의를 부호별로 풀어 두 경우의 값을 각각 구한 뒤, "두 값이 다르면 극한이 존재하지 않는다"를 1권 정의 47.1의 언어로 논증한다 ($\varepsilon = 1$을 던져 보면 모순이 나온다). 연속 쪽은 $\delta = \varepsilon$ 한 번으로 끝난다. ::: :::{admonition} 문제 10과 18이 쓰는 절차 — 증명 평가 :class: quotebox 제시된 증명을 채점할 때는 C5주차의 다섯 걸음을 순서대로 돌린다: ① 명제 진위 ② 논리 ③ 가정 사용 ④ 양화사와 자격 ⑤ 전달. 판정은 셋 중 하나로 적는다 — **옳음** / **틀림**(어느 줄이 왜) / **불완전**(무엇이 빠졌는가). 결론이 맞다는 이유로 통과시키지 않고, 결론이 틀렸다는 이유로 계산까지 틀렸다고 적지 않는다. ::: **10.** 다음 제시된 증명을 평가하시오. :::{container} quotebox **Result.** $f(x) = x^2$은 $x = 0$에서 미분가능하다. **제시된 증명.** $f'(0) = \lim_{h\to0}\frac{h^2 - 0}h = \lim_{h\to0} h = 0$. 따라서 미분가능하고 $f'(0) = 0$이다. ::: :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 다섯 걸음을 차례로 돌린다. 걸음 ①에서 명제 자체의 진위를 먼저 판정하면 나머지 걸음의 성격이 정해진다 — 참인 명제에 붙은 증명은 옳음이거나 불완전이다. 걸음 ②에서 검사할 것은 약분 한 줄이다. ::: **11.** $\lim_{x\to2}(x^2 + 1) = 5$를 $\varepsilon$-$\delta$로 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown $|x^2 + 1 - 5| = |x - 2| \cdot |x + 2|$로 인수분해된다. 훈련 1과 같은 $\min$ 트릭이며, 가두는 상수만 다르다 — $|x-2| < 1$에서 $|x+2|$가 무엇보다 작은지 계산한다. ::: **12.** $f, g$가 $a$에서 미분가능하면 $f + g$도 미분가능하고 $(f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)$임을 정의로 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown $(f+g)(a+h) = f(a+h) + g(a+h)$를 쓰면 차분몫이 두 차분몫의 합으로 갈라진다. 그 갈라짐이 성립하는 근거(분배)와, 두 극한을 합치는 근거(§1.7의 합 법칙)를 각각 한 줄로 밝힌다. 결론에서 "극한이 존재하므로 미분가능"을 빠뜨리지 않는다. ::: **13.** 연속의 세 조건 판정: $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ ($x \neq 2$)는 $x = 2$에서 연속인가. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown §1.6의 세 조건을 순서대로 하나씩 검사한다. ①이 깨지면 ②와 ③을 검사할 필요가 없지만, ②가 성립하는지는 따로 확인할 값이 있다 — 그 값이 있으면 함수를 고쳐 연속으로 만들 수 있다. ::: **14.** 다음이 $x = 0$에서 연속이 **아님**을 $\varepsilon$-$\delta$ 부정으로 보이시오: $f(x) = 0$ ($x \le 0$), $f(x) = 1$ ($x > 0$). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 먼저 연속 정의의 부정을 층별로 적는다(C4주차 문제 11, S10주차 문제 17): "$\exists \varepsilon > 0,\ \forall \delta > 0,\ \exists x$ …". 그러면 답안의 구조가 정해진다 — $\varepsilon$은 내가 고르고, $\delta$는 상대가 던지며, 그 $\delta$에 맞춰 $x$를 만들어야 한다. 만드는 $x$는 $\delta$의 식이어야 한다. ::: ### 도전 ●●● **15.** (미분 계산 종합) $f(x) = \frac1x$ ($x \neq 0$)의 $a \neq 0$에서 미분계수가 $-\frac1{a^2}$임을 정의로 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 분자 $\frac{1}{a+h} - \frac1a$를 먼저 하나의 분수로 통분한다. 통분한 뒤 분자에 $-h$가 남으므로 $h$로 나누는 것이 가능해진다. $h$가 충분히 작으면 $a + h \ne 0$임을 밝히는 한 줄도 필요하다 — 어디에 적어야 하는지 생각한다. ::: :::{admonition} 문제 16이 빌려 쓰는 기법 — 항 쪼개기 :class: quotebox 차분몫의 분자 $f(a+h)g(a+h) - f(a)g(a)$에는 재료 $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$와 $\frac{g(a+h)-g(a)}{h}$가 그대로 들어 있지 않다. 두 재료를 동시에 꺼내려면 항 하나를 더하고 빼야 한다 — C6주차가 $ac - bd = c(a-b) + b(c-d)$로 세운 그 기법이다. 무엇을 더하고 뺄지는 "두 재료가 각각 나타나게 하려면"이라는 목적에서 정해진다. ::: **16.** (곱의 미분) $f, g$가 $a$에서 미분가능이면 $(fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)$임을 정의로 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown $f(a+h)g(a)$를 더하고 빼면 분자가 $f(a+h)\{g(a+h)-g(a)\} + g(a)\{f(a+h)-f(a)\}$가 된다. $h$로 나눈 뒤 $h \to 0$을 적용할 때 $f(a+h) \to f(a)$가 필요한데, 그 사실의 근거가 정리 1.2다 — 미분가능하면 연속이므로. ::: :::{admonition} 문제 17이 인정하고 쓰는 사실 :class: quotebox 이 과정은 삼각함수를 정의하지 않았다. 문제 17에서 쓰는 것은 두 가지뿐이며 둘 다 인정하고 쓴다: ① 모든 실수 $t$에 대해 $|\sin t| \le 1$이다. ② $\sin t$는 $t$가 커짐에 따라 값 $1$과 $-1$을 각각 무한히 여러 번 취한다. 두 사실만으로 연속과 미분 불가능이 모두 나온다. 이 두 사실은 이 교재 안에서는 증명되지 않는다 — 삼각함수의 정의 자체가 이 과정 밖에 있으므로 증명도 원서를 넘어선 해석학 과목의 몫이며, 여기서는 인정하고 쓴다. ::: **17.** (연속하나 미분 불가) $f(x) = x \sin\frac1x$ ($x \neq 0$), $f(0) = 0$이 $x = 0$에서 연속이나 미분 불가능함을 논하시오. "연속 $\supsetneq$ 미분가능"의 정교한 예이다. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 연속 쪽은 $\varepsilon$-$\delta$ 한 번으로 끝난다 — $|f(x) - f(0)| = |x||\sin\frac1x| \le |x|$이므로 $\delta = \varepsilon$이다(이것이 조임의 아이디어를 부등식 하나로 쓴 것이다). 미분 쪽은 차분몫을 계산하면 $\sin\frac1h$이 그대로 남는다. 이 식이 하나의 값으로 모이지 않음을 보이려면, 서로 다른 두 값으로 가는 $h$의 열을 각각 만들면 된다. ::: **18.** (진단 종합) 다음 제시된 증명을 평가하시오. :::{container} quotebox **Result.** $f(x) = |x|$는 $x = 0$에서 미분가능하다. **제시된 증명.** $f'(0) = \lim_{h\to0}\frac{|h| - 0}h = \lim_{h\to0}\frac{|h|}h$이다. $h > 0$이면 $1$이고 $h < 0$이면 $-1$이므로, 평균해서 $0$이다. 따라서 미분가능하다. ::: :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 걸음 ①부터 걸린다 — 명제 자체가 참인지 먼저 판정한다(문제 9). 그다음 걸음 ②에서 "평균해서"라는 조작이 정의 47.1의 어느 요구와 충돌하는지 정확히 지목한다. 판정 낱말은 **틀림**이며, 어느 줄이 왜 틀렸는지까지 적어야 답안이 완성된다. ::: **19.** (설계) $f(x) = \sqrt x$가 $x = 4$에서 미분가능하고 $f'(4) = \frac14$임을 정의로 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 차분몫 $\frac{\sqrt{4+h}-2}{h}$의 분자에서 $h$를 꺼낼 수 없다. 분자와 분모에 켤레 $\sqrt{4+h}+2$를 곱하면 분자가 유리화되어 $h$가 나온다. 그 곱셈이 정당하려면 켤레가 $0$이 아니어야 하는데, $\sqrt{4+h} + 2 \ge 2 > 0$이므로 문제없다. S6주차 문제 19가 같은 함수의 연속을 다뤘고, 이 문제는 그 미분판이다. ::: **20.** (서술) (a) 미분가능이 연속보다 강한 조건임을 예제 2.3(미분$\Rightarrow$연속)과 $|x|$(연속하나 미분 불가)로 뒷받침하고, "매끄러움 > 끊김 없음"을 세 문장 이내로 쓰시오. (b) 1권이 "빚"으로 남긴 미분이 어떻게 극한(1권 45~47주차)의 응용으로 청산되는지 두 문장 이내로 설명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (a)는 "강하다"를 정확히 정의하는 것부터 시작한다 — 한쪽이 다른 쪽을 함의하고 역은 성립하지 않을 때 그렇게 말한다. 두 방향 각각의 근거가 어느 결과인지 짚는다. (b)는 정의 1.1을 다시 읽고, 그 문장에서 이번 주에 **새로 만든 부분**이 어디까지인지 표시해 보면 답이 나온다. ::: ## 백지 재현 — 복습 프로토콜 이 과정의 한 주는 다섯 날로 나뉜다. 교안만 보는 주가 아니라 원서와 교안을 번갈아 읽는 주이므로, 백지 재현은 마지막 날에 놓인다. | **요일** | **할 일** | |---|---| | 1일차 | 원서 Chartrand 14장 통독 — 모르는 문장은 표시만 하고 통과한다 | | 2일차 | 교안 §0~§2 — 개념과 예제. 확인 상자를 연필로 먼저 채운다 | | 3일차 | 원서 14장 재독 — 1일차에 표시한 문장을 해결하고, 원서 연습문제 몇 개를 직접 시도한다 | | 4일차 | 교안 §3 빈칸 사다리와 §4 연습문제 20문항 | | 5일차 | 백지 재현 1차(틀 카드)$\cdot$2차(완전 백지) + 체크리스트 | **1차 시도 — 틀 카드 허용.** $\varepsilon$ 서식의 네 걸음(§2 관찰), 미분계수 계산의 네 걸음(§1.5), 연속의 세 조건(§1.6)만 한 장에 적어 펴 놓고, 예제 2.1과 2.3을 처음부터 끝까지 적는다. 정의와 본문은 보지 않는다. **2차 시도 — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다. - [ ] 1권 정의 45.1($\varepsilon$-N)과 47.1($\varepsilon$-$\delta$)을 양화사 순서까지 그대로 썼고, "$0 < |x-a|$"가 하는 일을 한 줄로 말했다. - [ ] 연속의 세 조건을 셋 다 쓰고, 각 조건이 깨지는 사례를 하나씩 댔다. - [ ] 정의 1.1(미분가능성과 미분계수)을 조각 그대로 썼고, 차분몫이 무엇의 기울기인지 말했다. - [ ] 예제 2.1을 재현했고, 아르키메데스 성질을 인용한 줄과 1권 정의 45.1로 닫은 줄을 손가락으로 짚었다. - [ ] 예제 2.2를 재현했고, 연습장의 역산이 본문에 섞이지 않았음을 확인했다. - [ ] 예제 2.3의 두 증명을 모두 재현했고, "$h \ne 0$이므로"와 곱의 극한 법칙을 인용한 자리를 각각 짚었다. - [ ] 정리 1.2를 진술하고 증명했으며, 그 역이 거짓인 이유를 반례와 함께 한 문단 적었다. - [ ] $\min$ 트릭(훈련 1)에서 두 제약이 각각 무엇을 담당하는지 말했다. - [ ] §1.8의 근거 목록을 재현하고, "$h$가 아주 작으면 무시할 수 있다"가 왜 목록 밖인지 말했다. - [ ] 원서 14장을 두 번 읽었고, 1일차에 표시한 문장이 모두 해결되었다. **막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다. | **막힌 지점** | **처방** | |---|---| | $\varepsilon$ 증명의 첫 줄이 나오지 않는다 | §2 관찰의 네 걸음 — 첫 문장은 창작이 아니라 정해진 형식이다 | | $N$이나 $\delta$를 무엇으로 잡을지 모르겠다 | 예제 2.1 확인 11과 예제 2.2 확인 17 — 연습장에서 역산부터 한다 | | 역산이 본문에 섞여 채점에서 걸린다 | 예제 2.1의 마지막 문단 — 본문은 제시된 값에서 출발해 앞으로만 간다 | | $\delta$를 하나로 잡았는데 부등식이 닫히지 않는다 | 훈련 1과 문제 11 — 남는 인수를 가두는 제약이 하나 더 필요하다 | | 차분몫에서 다음 줄이 나오지 않는다 | §1.5의 걸음 ② — 분자를 전개해 상수항을 소거하면 모든 항에 $h$가 남는다 | | 약분해도 되는지 확신이 서지 않는다 | §1.3의 셋째 조각과 §1.5의 걸음 ③ — 정의가 $h \ne 0$을 보장한다 | | 값은 나왔는데 답안이 미완성으로 보인다 | §1.5의 걸음 ④와 확인 6 — 판정 문장이 빠진 경우다 | | 미분 불가능을 어떻게 쓰는지 모르겠다 | 문제 9와 18 — 좌우가 다른 두 값으로 감을 보이고 정의 47.1과 충돌시킨다 | | 무엇을 인용해도 되는지 모르겠다 | §1.7과 §1.8 — 출처를 대면 인용, 못 대면 증명 | 하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다. ## 해설 각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 1 (1) $7$ (2) $\frac\varepsilon7$ (3) $\varepsilon$ (4) 두 (5) 두 제약을 동시에 만족시키기 위해서다 — $\min$을 취하면 $\delta \le 1$이면서 $\delta \le \frac\varepsilon7$이므로 두 부등식이 함께 성립한다 (6) $0.1$ ※ (1)의 유도: $|x - 3| < 1$이면 $2 < x < 4$이므로 $5 < x + 3 < 7$이고, 이 범위에서 $x + 3 > 0$이므로 $|x + 3| = x + 3 < 7$이다. 부등식이 절댓값을 벗을 수 있는 이유가 "$x + 3 > 0$"이라는 한 줄이며, 이 줄을 빠뜨리면 음수 쪽 가능성이 남는다. (6)의 검산: $\varepsilon = 0.7$이면 $\frac{\varepsilon}{7} = 0.1$이고 $\min\{1, 0.1\} = 0.1$이다. 이때 $|x-3| < 0.1$이면 $|x^2 - 9| < 0.1 \times 7 = 0.7 = \varepsilon$이 실제로 성립한다. 경계 사례 한 줄: 연습장의 "$|f(x) - 9| \le 7|x-3|$"에서 부등호가 $\le$인 것은 $x = 3$에서 양변이 모두 $0$이 되기 때문이다. 반면 본문의 마지막 사슬 $|x-3| \cdot |x+3| < \frac\varepsilon7 \cdot 7 = \varepsilon$은 $x = 3$에서도 $0 < \varepsilon$이므로 강부등식 그대로다 — 하나의 부등식을 세우는 자리와 두 강부등식을 곱해 잇는 자리에서 경계의 처리가 다르다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 2 (1) 차분몫 $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ (2) $8ah + 4h^2$ (3) ② (4) $h \ne 0$ (5) 극한의 합 법칙과 상수배 법칙(§1.7) — $\lim_{h\to0} 8a = 8a$이고 $\lim_{h\to0} 4h = 0$이므로 합은 $8a$이다 (6) 미분가능 (7) 연속 ※ (2)의 유도: $4(a+h)^2 + 1 = 4a^2 + 8ah + 4h^2 + 1$이므로 $4a^2 + 1$을 빼면 $8ah + 4h^2$이 남는다. 상수항 $+1$이 소거되는 것이 이 계산의 절반이고, 남은 두 항에서 $h$를 인수로 꺼낼 수 있는 것이 나머지 절반이다. 검산: $a = 1$이면 $f'(1) = 8$이며, $h = 0.01$에서 차분몫은 $8 + 4(0.01) = 8.04$로 $8$에 가깝다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 3 (1) $|x^2 - a^2| = |x - a| \cdot |x + a|$이다. $|x - a| < 1$이면 삼각부등식에 의해 $|x| = |(x - a) + a| \le |x - a| + |a| < 1 + |a|$이고, 다시 삼각부등식으로 $|x + a| \le |x| + |a| < 2|a| + 1$이다. 따라서 $|x^2 - a^2| \le (2|a|+1)|x-a|$이고, 이것이 $\varepsilon$보다 작으려면 $|x - a| < \frac{\varepsilon}{2|a|+1}$이면 된다. (2) $\varepsilon$을 임의로 주어진 양수라 하자. $\delta = \min\left\{1,\ \frac{\varepsilon}{2|a|+1}\right\}$로 두자. $2|a| + 1 \ge 1 > 0$이므로 $\frac{\varepsilon}{2|a|+1} > 0$이고, 두 수 모두 양수이므로 $\delta > 0$이다. ($\delta$가 $\varepsilon$뿐 아니라 $a$에도 의존하지만, 1권 정의 47.2가 금지하는 것은 $x$에 대한 의존뿐이므로 문제되지 않는다.) (3) $|x - a| < \delta$인 $x$를 임의로 잡자. $\delta \le 1$이므로 $|x - a| < 1$이고, (1)에 의해 $|x + a| < 2|a| + 1$이다. 또 $\delta \le \frac{\varepsilon}{2|a|+1}$이므로 $|x - a| < \frac{\varepsilon}{2|a|+1}$이다. 두 제약이 각각 가두기와 오차 맞추기를 담당한다. (4) 그러면 $|f(x) - f(a)| = |x - a| \cdot |x + a| < \frac{\varepsilon}{2|a|+1} \cdot (2|a|+1) = \varepsilon$이다. 따라서 정의 47.2에 의해 $f$는 $a$에서 연속이다. $\blacksquare$ ※ 훈련 1과 다른 것은 가두는 상수뿐이다. $a = 3$이면 $2|a| + 1 = 7$이므로 훈련 1의 $7$이 이 일반형의 특수한 경우임을 알 수 있다. 구체적인 점에서 통한 설계가 일반화되는지 확인하는 것이 이 훈련의 목적이다. ### 문제 1 **접근.** 백지 문항은 채점표를 먼저 정하고 시작한다. 다섯 항목 각각에서 "이것이 없으면 빈 답"인 조각을 정해 두면, 쓰다가 막혀도 어디가 비었는지 알 수 있다. $\varepsilon$-N과 $\varepsilon$-$\delta$는 양화사 세 개와 그 **순서**가, 연속은 세 조건이 각각 따로, 미분가능은 차분몫과 "존재한다"는 문구가, 정리는 진술과 역의 반례가 핵심이다. **풀이.** (모범 답안) **$\varepsilon$-N.** 수열 $(a_n)$이 $L$로 수렴한다는 것은 $\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n > N:\ |a_n - L| < \varepsilon$이라는 뜻이다. 양화사의 순서가 뜻을 결정한다 — $N$은 $\varepsilon$을 보고 정하므로 $\varepsilon$에 의존해도 되고, $n$은 $N$이 정해진 뒤에 임의로 주어진다. **$\varepsilon$-$\delta$.** $\lim_{x \to a} f(x) = L$이라는 것은 $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x:\ 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$이라는 뜻이다. "$0 < |x - a|$"는 $x = a$를 판정 범위에서 배제하며, 이 조각이 있기 때문에 $f(a)$가 정의되지 않아도 극한을 말할 수 있다. **연속의 세 조건.** $f$가 $a$에서 연속이라는 것은 $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$이고, 이는 ① $f(a)$가 정의됨 ② 극한이 존재함 ③ 둘이 같음의 셋을 모두 요구한다. 직접형은 $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x:\ |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(a)| < \varepsilon$이며, $x = a$에서 자동 성립하므로 "$0 <$"가 필요 없다. **미분가능.** $f$가 $a$에서 미분가능하다는 것은 $\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$가 존재한다는 뜻이고, 그 값을 $f'(a)$로 쓴다. 동치형은 $\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$이다. **미분 $\Rightarrow$ 연속.** $f$가 $a$에서 미분가능하면 $a$에서 연속이다. 역은 거짓이며, 반례는 $f(x) = |x|$, $a = 0$이다. **복기.** 다섯 항목은 독립된 암기 항목이 아니라 하나의 사슬이다 — $\varepsilon$-N이 $\varepsilon$-$\delta$로 옮겨 가고, $\varepsilon$-$\delta$가 연속을 정의하고, 연속의 재료인 극한이 미분가능을 정의하며, 마지막 정리가 그 둘을 잇는다. 사슬로 외우면 하나를 잊어도 이웃에서 복구된다. ### 문제 2 **접근.** 세 문항 모두 §1.5의 네 걸음이다. 차분몫을 세우고, 전개해 상수항을 소거하고, "$h \ne 0$이므로" 약분하고, 남은 식에 극한을 적용한다. 값만 적으면 채점 항목 ④가 비므로 판정 문장으로 닫는다. **풀이.** **(a)** $f(x) = 3x + 2$, 임의의 실수 $a$에 대해 $h \ne 0$이면 $$ \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{\{3(a+h)+2\} - (3a+2)}{h} = \frac{3a + 3h + 2 - 3a - 2}{h} = \frac{3h}{h} = 3 $$ 이다($h \ne 0$이므로 약분이 정당하다). 상수함수의 극한이므로 $\lim_{h\to0} 3 = 3$이고, 극한이 존재하므로 $f$는 $a$에서 미분가능하며 $f'(a) = 3$이다. **(b)** $f(x) = x^2$, $a = 1$. $h \ne 0$이면 $$ \frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = 2 + h $$ 이다. $\lim_{h\to0}(2+h) = 2$이므로 $f$는 $1$에서 미분가능하고 $f'(1) = 2$이다. **(c)** $f(x) = x^3$, 임의의 실수 $a$. $(a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3$이므로 $h \ne 0$이면 $$ \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{3a^2h + 3ah^2 + h^3}{h} = 3a^2 + 3ah + h^2 $$ 이다. 극한의 합$\cdot$곱$\cdot$상수배 법칙(§1.7)에 의해 $\lim_{h\to0}(3a^2 + 3ah + h^2) = 3a^2$이므로 ($h^2 = h \cdot h$에 곱 법칙을 쓰면 $0$이다), $f$는 $a$에서 미분가능하고 $f'(a) = 3a^2$이다. **검산.** (b)는 예제 2.3의 $f'(a) = 2a$에 $a = 1$을 넣은 값과 같고, (c)는 $a = 1$에서 $3$이 되어 $x^3$의 그래프가 $x=1$ 근처에서 $x^2$보다 가파르다는 관찰과 어긋나지 않는다. **복기.** 세 문항의 차이는 걸음 ②의 전개 계산량뿐이다. 다항식에서는 상수항이 늘 소거되고 남은 항이 모두 $h$를 인수로 갖는데, 이는 우연이 아니라 분자가 $f(a+h) - f(a)$라는 **차**이기 때문이다. ### 문제 3 **접근.** 백지 재현 문항은 "무엇을 적었는가"가 아니라 "어느 줄이 어느 양화사를 처리하는가"를 스스로 짚을 수 있는지를 검사한다. 다섯 줄을 적은 뒤 각 줄 옆에 ① $\forall\varepsilon$ ② $\exists N$ ③ $\forall n$ ④ 본체 ⑤ 정의 인용을 써 넣는다. **풀이.** $\varepsilon$을 임의로 주어진 양수라 하자. 아르키메데스 성질에 의해 $N > \frac1\varepsilon$인 자연수 $N$이 존재하므로 그런 $N$을 하나 잡자. $n > N$인 자연수 $n$을 임의로 잡자. 그러면 $n > N > \frac1\varepsilon > 0$이므로 양변의 역수를 취해 $\frac1n < \varepsilon$이다. 따라서 $$ \left\lvert \frac{2n+1}{n} - 2 \right\rvert = \left\lvert \frac{2n + 1 - 2n}{n} \right\rvert = \left\lvert \frac1n \right\rvert = \frac1n < \varepsilon $$ 이다. $\varepsilon$이 임의였으므로 1권 정의 45.1에 의해 $\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n} = 2$이다. $\blacksquare$ **복기.** 자기 채점 항목은 세 가지다 — ① $N$의 존재 근거를 댔는가 ② 역산이 본문에 섞이지 않았는가 ③ 마지막에 정의를 인용해 닫았는가. 재현이 막히는 자리는 대개 ①이며, "$N = \frac1\varepsilon$으로 두자"라고 적고 넘어가면 자연수 보장이 사라진다. ### 문제 4 **접근.** 훈련 1~3의 답은 §6 앞부분에 있다. 백지에서 완성한다는 것은 답을 외워 쓰는 것이 아니라, 각 훈련의 **설계 결정**을 스스로 다시 내리는 것이다 — 훈련 1은 가두는 상수를 $7$로 정한 이유, 훈련 2는 어느 걸음에서 무엇이 소거되는지, 훈련 3은 가두는 상수를 $a$의 식으로 설계하는 방법이다. **풀이.** 훈련 1의 답은 (1) $7$ (2) $\frac\varepsilon7$ (3) $\varepsilon$ (4) 두 (5) 두 제약을 동시에 만족시키기 위해 (6) $0.1$이다. 훈련 2의 답은 (1) 차분몫 (2) $8ah + 4h^2$ (3) ② (4) $h \ne 0$ (5) 극한의 합$\cdot$상수배 법칙 (6) 미분가능 (7) 연속이다. 훈련 3의 답은 위 "빈칸 사다리 — 훈련 3" 항목에 네 칸 모두 적혀 있다. **복기.** 세 훈련은 지지대만 다를 뿐 같은 기술을 세 번 쓴다. 훈련 1에서 $\min$의 두 제약을 말로 정리해 두면 훈련 3에서 상수를 스스로 설계할 수 있고, 훈련 2에서 걸음 이름을 채워 두면 문제 8$\cdot$15$\cdot$19의 답안 구조가 저절로 나온다. ### 문제 5 **접근.** 정리 1.2의 증명에서 실제로 만드는 것은 한 줄이다 — 도착점의 식 $f(x) - f(a)$를 출발점의 식 $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$가 들어 있는 곱으로 다시 쓰는 줄. 그 줄을 먼저 적고 앞뒤를 채우면 재현이 막히지 않는다. **풀이.** $f$가 $a$에서 미분가능하다고 하자. 곧 $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$가 존재하고 그 값이 $f'(a)$이다. $x \ne a$인 $x$에 대해 $x - a \ne 0$이므로 $$ f(x) - f(a) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \cdot (x - a) $$ 가 성립한다. $x \to a$에서 첫 인수의 극한은 가정에 의해 $f'(a)$이고 둘째 인수의 극한은 $0$이므로, 곱의 극한 법칙(§1.7)에 의해 $\lim_{x\to a}\{f(x) - f(a)\} = f'(a) \cdot 0 = 0$이다. 따라서 $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$이고, 정의 47.2에 의해 $f$는 $a$에서 연속이다. $\blacksquare$ **복기.** 자기 채점 항목은 셋이다 — ① "$x \ne a$"라는 단서를 곱으로 쓰는 줄 앞에 적었는가 ② 두 인수의 극한을 각각 밝혔는가 ③ 곱의 극한 법칙을 이름으로 인용했는가. ②를 빠뜨리면 "우변이 $0$으로 간다"가 근거 없는 단언이 된다. ### 문제 6 **접근.** $\varepsilon$ 서식의 네 걸음이다. 연습장에서 $\frac{1}{n^2} < \varepsilon$을 $n$에 대해 풀면 $n > \frac{1}{\sqrt\varepsilon}$이 나오고, 본문에서는 그 값보다 큰 자연수를 아르키메데스 성질로 잡는다. 본체에서는 $n > N$에서 $n^2 > N^2$으로 넘어가는 한 줄이 필요하다 — 양수끼리는 제곱해도 부등호가 유지된다. **풀이.** 연습장: $\left|\frac{1}{n^2} - 0\right| = \frac{1}{n^2}$이고, $\frac{1}{n^2} < \varepsilon \iff n^2 > \frac1\varepsilon \iff n > \frac{1}{\sqrt\varepsilon}$이다. 본문: $\varepsilon$을 임의로 주어진 양수라 하자. 아르키메데스 성질에 의해 $N > \frac{1}{\sqrt\varepsilon}$인 자연수 $N$을 잡을 수 있다. $n > N$인 자연수 $n$을 임의로 잡자. 그러면 $n > N > \frac{1}{\sqrt\varepsilon} > 0$이고, 양수끼리 제곱하면 부등호가 유지되므로 $n^2 > \frac1\varepsilon$이다. 따라서 $$ \left\lvert \frac{1}{n^2} - 0 \right\rvert = \frac{1}{n^2} < \varepsilon $$ 이다. $\varepsilon$이 임의였으므로 1권 정의 45.1에 의해 $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2} = 0$이다. $\blacksquare$ **검산.** $\varepsilon = 0.01$이면 $\frac{1}{\sqrt\varepsilon} = 10$이므로 $N = 11$을 잡을 수 있고, $n = 11$에서 $\frac{1}{121} \approx 0.0083 < 0.01$이 실제로 성립한다. **복기.** $\frac1n \to 0$의 증명과 다른 곳은 연습장의 역산 한 줄뿐이다. 부등식을 $n$에 대해 풀 때 제곱근이 나오면 그것이 곧 문턱의 식이 되고, 본문에서는 그 역과정 (제곱)을 한 줄로 되짚는다. 역산과 본문이 서로 역방향이라는 구조가 여기서 잘 보인다. ### 문제 7 **접근.** 예제 2.2와 기울기만 다르다. 먼저 $f(1)$을 계산해 비교 대상을 정하고, $|f(x) - f(1)|$을 $|x - 1|$의 상수배로 정리하면 $\delta$가 곧바로 나온다. **풀이.** $f(1) = 5 \cdot 1 + 2 = 7$이다. 연습장: $|f(x) - 7| = |5x + 2 - 7| = |5x - 5| = 5|x - 1|$이고, $5|x-1| < \varepsilon \iff |x - 1| < \frac\varepsilon5$이다. 본문: $\varepsilon$을 임의로 주어진 양수라 하자. $\delta = \frac\varepsilon5$로 두자. $\varepsilon > 0$이므로 $\delta > 0$이다. $|x - 1| < \delta$인 $x$를 임의로 잡자. 그러면 $$ |f(x) - f(1)| = |5x - 5| = 5|x - 1| < 5\delta = 5 \cdot \frac\varepsilon5 = \varepsilon $$ 이다. 따라서 $\lim_{x\to1} f(x) = 7 = f(1)$이고, 1권 정의 47.2에 의해 $f$는 $1$에서 연속이다. $\blacksquare$ **검산.** $\varepsilon = 0.5$이면 $\delta = 0.1$이고, $x = 1.09$에서 $f(x) = 7.45$이므로 $|f(x) - 7| = 0.45 < 0.5$가 성립한다. **복기.** 일차함수 $f(x) = mx + b$ ($m \ne 0$)의 연속은 언제나 $\delta = \frac{\varepsilon}{|m|}$ 한 줄로 끝난다. 기울기가 입력 오차를 출력 오차로 몇 배 키우는지를 나타내는 수이기 때문이며, $|m|$이 클수록 같은 출력 오차에 더 좁은 입력 반경이 필요하다. ### 문제 8 **접근.** 문제 2의 (c)와 같은 계산이지만 이번에는 완전한 증명문으로 적는다. 채점 항목 ③(약분 근거)과 ④(판정 문장)가 답안에 실제로 있는지 확인하며 쓴다. **풀이.** $a$를 임의의 실수라 하고 $h \ne 0$이라 하자. $(a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3$이므로 분자는 $$ f(a+h) - f(a) = (a+h)^3 - a^3 = 3a^2h + 3ah^2 + h^3 $$ 이고, 세 항 모두 $h$를 인수로 갖는다. $h \ne 0$이므로 분자와 분모를 $h$로 나눌 수 있어 $$ \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = 3a^2 + 3ah + h^2 $$ 이다. 극한의 합$\cdot$곱$\cdot$상수배 법칙(§1.7)에 의해 $\lim_{h\to0}(3a^2 + 3ah + h^2) = 3a^2 + 0 + 0 = 3a^2$이다. 셋째 항에는 곱 법칙이 쓰인다 — $h^2 = h \cdot h$이고 $\lim_{h\to0} h = 0$이므로 $\lim_{h\to0} h^2 = 0$이다. 둘째 항은 상수배 법칙, 첫째 항은 상수함수의 극한이다. 극한이 존재하므로 $f$는 $a$에서 미분가능하고 $f'(a) = 3a^2$이다. $\blacksquare$ **검산.** $a = 2$이면 $f'(2) = 12$이고, $h = 0.01$에서 차분몫은 $12 + 6(0.01) + 0.0001 = 12.0601$로 $12$에 가깝다. **복기.** $x^2$에서 $2a$, $x^3$에서 $3a^2$이 나오는 규칙성이 보이지만, 규칙성을 관찰한 것과 증명한 것은 다르다. $x^n$의 일반형도 이항정리(C16주차 정리 1.3)로 분자를 전개하면 같은 방식으로 나온다. 여기에 문제 12의 합 법칙을 항의 개수만큼 되풀이하면 C16주차 문제 13이 "인정하고 쓴다"로 미뤄 둔 다항식의 항별 미분에 닿는다 — 그 되풀이(수학적 귀납법)까지가 이 주차 밖의 한 걸음이므로, 이번 주가 갚은 것은 $n = 2, 3$의 계산과 두 함수에 대한 합 법칙까지다. ### 문제 9 **접근.** 두 가지를 따로 증명한다. 미분 불가능은 정의 1.1의 극한이 존재하지 않음을, 연속은 1권 정의 47.2가 성립함을 보이면 된다. 차분몫은 $f(0) = 0$이므로 $\frac{|h|}{h}$로 간단해지고, 절댓값을 부호별로 푸는 것이 첫 걸음이다. **풀이.** **미분 불가능.** $h \ne 0$일 때 차분몫은 $\frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \frac{|h| - 0}{h} = \frac{|h|}{h}$이다. 절댓값의 정의에 의해 $h > 0$이면 $|h| = h$이므로 값은 $\frac hh = 1$이고, $h < 0$이면 $|h| = -h$이므로 값은 $\frac{-h}{h} = -1$이다. 이 극한이 존재한다고 가정하고 그 값을 $L$이라 하자. 정의 47.1에서 $\varepsilon = 1$을 잡으면, $0 < |h| < \delta$인 모든 $h$에 대해 $\left|\frac{|h|}{h} - L\right| < 1$이 되는 $\delta > 0$이 존재해야 한다. 그런데 $h_1 = \frac\delta2 > 0$과 $h_2 = -\frac\delta2 < 0$은 둘 다 $0 < |h| < \delta$를 만족하고 차분몫의 값은 각각 $1$과 $-1$이다. 따라서 $|1 - L| < 1$이고 $|-1 - L| < 1$이어야 하는데, 삼각부등식에 의해 $$ 2 = |1 - (-1)| = |(1 - L) + (L - (-1))| \le |1 - L| + |L + 1| < 1 + 1 = 2 $$ 가 되어 $2 < 2$라는 모순이 나온다. 그러므로 그런 $L$은 존재하지 않고, 극한이 존재하지 않으므로 $f$는 $0$에서 미분 불가능하다. $\blacksquare$ **연속.** $f(0) = |0| = 0$이다. $\varepsilon$을 임의로 주어진 양수라 하고 $\delta = \varepsilon$으로 두자. $|x - 0| < \delta$인 $x$를 임의로 잡으면 $$ |f(x) - f(0)| = \big| |x| - 0 \big| = |x| < \delta = \varepsilon $$ 이다. 따라서 정의 47.2에 의해 $f$는 $0$에서 연속이다. $\blacksquare$ **복기.** "좌우에서 다른 값으로 간다"를 그대로 적으면 답안이 아니라 관찰이다. 증명이 되려면 그 관찰을 정의 47.1과 충돌시켜야 하고, 충돌의 도구가 $\varepsilon = 1$과 삼각부등식이다. 값의 간격이 $2$이므로 $\varepsilon$은 $1$ 이하 아무 수나 되며, $1$을 고른 것은 계산이 가장 짧기 때문이다. 이 문제가 1권 9주차 문제 10과 47주차 문제 19가 "인정하고 쓴다"로 미뤄 둔 사실의 청산이다. ### 문제 10 **접근.** C5주차의 다섯 걸음을 순서대로 돌린다. 걸음 ①에서 명제 자체의 진위를 먼저 판정하면 나머지 걸음의 성격이 정해진다 — 참인 명제에 붙은 증명은 옳음이거나 불완전이며, 틀림이 되려면 논리에 결함이 있어야 한다. **풀이.** **걸음 ① 명제 진위.** 참이다. 예제 2.3에서 $f(x) = x^2$이 모든 $a$에서 미분가능하고 $f'(a) = 2a$임을 증명했으므로, $a = 0$에서 미분가능하고 $f'(0) = 0$이다. **걸음 ② 논리.** 세 줄을 검사한다. 차분몫을 $\frac{h^2 - 0}{h}$로 세운 것은 $f(0) = 0$이므로 옳다. $\frac{h^2}{h} = h$로 약분한 것도 옳다 — 다만 그 정당성이 "$h \ne 0$"에서 나온다는 사실이 답안에 적혀 있지 않다. $\lim_{h\to0} h = 0$도 옳다. **걸음 ③ 가정 사용.** 이 명제에는 소비할 가정이 없고 함수의 식만 주어졌으므로 해당 없음이다. **걸음 ④ 양화사와 자격.** $a = 0$이라는 한 점에 대한 주장이므로 전칭을 사례로 대신한 문제가 없다. **걸음 ⑤ 전달.** 문장이 완결되어 있고 마지막에 판정("미분가능하고 $f'(0) = 0$")이 적혀 있다. **판정.** **옳음.** 계산과 결론 모두 정확하다. 다만 약분 자리에 "$h \ne 0$이므로" 한 마디를 넣으면 완성도가 높아진다 — 채점 기준 ③이 요구하는 문구이며, 이 한 마디가 빠진 답안은 문제 18처럼 $\frac{|h|}{h}$를 다루는 상황에서 같은 실수로 이어질 수 있다. **복기.** 결론이 맞다는 이유로 통과시키는 것과 다섯 걸음을 실제로 돌린 뒤 통과시키는 것은 다르다. 이 답안은 걸음 ②에서 근거 하나가 비었을 뿐이므로 판정은 옳음이고, 비판은 보완 제안으로 적는다. ### 문제 11 **접근.** $|x^2 + 1 - 5| = |x^2 - 4| = |x - 2||x + 2|$로 인수분해된다. 남는 인수 $|x+2|$를 상수로 눌러야 하므로 훈련 1과 같은 $\min$ 트릭이며, 가두는 상수만 계산하면 된다. **풀이.** 연습장: $|x - 2| < 1$이면 $1 < x < 3$이므로 $3 < x + 2 < 5$이고, 이 범위에서 $x + 2 > 0$이므로 $|x + 2| < 5$이다. 그러면 $|x^2 - 4| \le 5|x - 2|$이고, 이것이 $\varepsilon$보다 작으려면 $|x - 2| < \frac\varepsilon5$이면 된다. 본문: $\varepsilon$을 임의로 주어진 양수라 하자. $\delta = \min\left\{1, \frac\varepsilon5\right\}$로 두자. 두 수 모두 양수이므로 $\delta > 0$이다. $0 < |x - 2| < \delta$인 $x$를 임의로 잡자. $\delta \le 1$이므로 $|x - 2| < 1$이고 따라서 $|x + 2| < 5$이며, $\delta \le \frac\varepsilon5$이므로 $|x - 2| < \frac\varepsilon5$이다. 그러면 $$ |(x^2 + 1) - 5| = |x - 2| \cdot |x + 2| < \frac\varepsilon5 \cdot 5 = \varepsilon $$ 이다. 따라서 1권 정의 47.1에 의해 $\lim_{x\to2}(x^2+1) = 5$이다. $\blacksquare$ **검산.** $\varepsilon = 0.5$이면 $\delta = 0.1$이고, $x = 2.09$에서 $x^2 + 1 = 5.3681$이므로 오차는 $0.3681 < 0.5$이다. **복기.** 훈련 1($a = 3$, 상수 $7$), 이 문제($a = 2$, 상수 $5$), 훈련 3(일반 $a$, 상수 $2|a|+1$)이 같은 설계의 세 사례다. 가두는 상수는 늘 "$|x - a| < 1$일 때 남는 인수가 넘지 못하는 값"으로 계산되며, 그 계산이 답안의 연습장 부분이다. ### 문제 12 **접근.** 정의로 증명하라고 했으므로 차분몫에서 출발한다. $(f+g)(a+h) = f(a+h) + g(a+h)$를 쓰면 분자가 두 차로 갈라지고, $h$로 나누면 두 차분몫의 합이 된다. 두 극한이 각각 존재하므로 합 법칙을 쓸 수 있다. **풀이.** $f$와 $g$가 $a$에서 미분가능하다고 하자. 곧 $\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a)$이고 $\lim_{h\to0}\frac{g(a+h)-g(a)}{h} = g'(a)$이다. $h \ne 0$이라 하자. 합함수의 정의에 의해 $(f+g)(a+h) = f(a+h) + g(a+h)$이고 $(f+g)(a) = f(a) + g(a)$이므로 $$ \frac{(f+g)(a+h) - (f+g)(a)}{h} = \frac{\{f(a+h) - f(a)\} + \{g(a+h) - g(a)\}}{h} = \frac{f(a+h)-f(a)}{h} + \frac{g(a+h)-g(a)}{h} $$ 이다(마지막 등식은 분수의 분배, 근거 ③). 우변의 두 항은 $h \to 0$에서 각각 $f'(a)$와 $g'(a)$로 수렴하므로, 극한의 합 법칙(§1.7)에 의해 좌변의 극한도 존재하고 그 값은 $f'(a) + g'(a)$이다. 극한이 존재하므로 $f + g$는 $a$에서 미분가능하고 $(f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)$이다. $\blacksquare$ **검산.** $f(x) = x^2$, $g(x) = 3x + 2$이면 $f'(a) = 2a$(예제 2.3), $g'(a) = 3$(문제 2의 (a))이므로 $(f+g)'(a) = 2a + 3$이다. 직접 계산해도 $\frac{\{(a+h)^2 + 3(a+h) + 2\} - (a^2 + 3a + 2)}{h} = 2a + h + 3 \to 2a + 3$으로 일치한다. **복기.** 이 증명이 하는 일은 "정의를 쓰고, 갈라놓고, 이미 아는 법칙으로 합친다"의 세 걸음이다. 미분의 나머지 법칙(곱은 문제 16)도 같은 골격이며, 다른 것은 갈라놓는 방법뿐이다 — 합은 그냥 갈라지고, 곱은 항을 더하고 빼야 갈라진다. ### 문제 13 **접근.** §1.6의 세 조건을 순서대로 검사한다. ①이 깨지면 그 자체로 불연속이지만, ②가 성립하는지는 따로 볼 값이 있다 — 극한이 존재하면 함수를 고쳐 연속으로 만들 수 있고, 그 구분이 이 문제의 요점이다. **풀이.** **조건 ① 검사.** $f$의 정의역은 $x \ne 2$인 실수 전체이므로 $f(2)$가 정의되어 있지 않다. 조건 ①이 깨졌고, 따라서 $f$는 $x = 2$에서 **연속이 아니다**. **조건 ② 검사.** $x \ne 2$에서 $$ f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x - 2} = x + 2 $$ 이다($x \ne 2$이므로 약분이 정당하다). 극한은 $x = 2$를 배제한 범위만 보므로 ($0 < |x - 2|$), $\lim_{x\to2} f(x) = \lim_{x\to2}(x+2) = 4$이며 극한은 **존재한다**. (이 극한 자체를 $\varepsilon$-$\delta$로 쓰면 $\delta = \varepsilon$ 한 줄로 끝난다.) **결론.** $f$는 $2$에서 연속이 아니지만, 그 이유는 극한이 없어서가 아니라 함숫값이 없어서다. 새 함수 $\tilde f$를 $x \ne 2$에서 $\tilde f(x) = f(x)$, $\tilde f(2) = 4$로 정의하면 세 조건이 모두 성립하므로 $\tilde f$는 $2$에서 연속이다. 이런 불연속을 **제거 가능 불연속**(removable discontinuity)이라 한다. $\blacksquare$ **복기.** 세 조건을 분해해 두는 실익이 여기서 드러난다. "연속이 아니다"라는 결론은 같아도, ①이 깨진 경우는 값 하나를 채워 고칠 수 있고 문제 14처럼 ②가 깨진 경우는 어떤 값을 채워도 고칠 수 없다. 답안에는 어느 조건이 깨졌는지를 반드시 적는다. ### 문제 14 **접근.** 먼저 연속 정의의 부정을 층별로 적는다. 원명제가 $\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\ \forall x\,[|x| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(0)| < \varepsilon]$이므로, 부정은 $\exists \varepsilon > 0\ \forall \delta > 0\ \exists x\,[|x| < \delta \wedge |f(x) - f(0)| \ge \varepsilon]$이다 (C4주차 문제 11, S10주차 문제 17). 그러면 답안의 구조가 정해진다 — $\varepsilon$은 내가 고르고, $\delta$는 상대가 던지며, 그에 맞춰 $x$를 만든다. **풀이.** $f(0) = 0$이다($0 \le 0$이므로 첫째 식이 적용된다). $\varepsilon = \frac12$로 두자. $\delta$를 임의로 주어진 양수라 하자. $x = \frac\delta2$로 두면 $x > 0$이므로 $f(x) = 1$이고, 또 $$ |x - 0| = \frac\delta2 < \delta $$ 이다. 그런데 $$ |f(x) - f(0)| = |1 - 0| = 1 \ge \frac12 = \varepsilon $$ 이다. 곧 이 $\delta$에 대해 조건을 위반하는 $x$가 존재한다. $\delta$가 임의였으므로 어떤 $\delta > 0$도 $\varepsilon = \frac12$에 대응하지 못하며, 따라서 $f$는 $0$에서 연속이 아니다. $\blacksquare$ **복기.** 부정 증명의 채점 항목은 셋이다 — ① $\varepsilon$을 **구체적인 수**로 골랐는가 ② $\delta$를 임의로 받았는가(특정한 값으로 고정하면 증명이 아니다) ③ $x$를 $\delta$의 **식**으로 만들었는가. ③이 핵심이다. $x = 0.001$처럼 고정된 수를 쓰면 그보다 작은 $\delta$ 앞에서 무너진다. $\frac\delta2$는 어떤 $\delta$가 와도 "$\delta$보다 작은 양수"라는 두 조건을 동시에 만족하므로 안전하다. 문제 13과 비교하면, 이 함수는 좌우 극한이 $0$과 $1$로 달라 극한 자체가 없으므로 $f(0)$을 어떤 값으로 고쳐도 연속이 되지 않는다. ### 문제 15 **접근.** 차분몫의 분자 $\frac{1}{a+h} - \frac1a$에서 $h$를 꺼낼 수 없으므로 먼저 통분한다. 통분하면 분자에 $-h$가 나타나 $h$로 나누는 것이 가능해진다. $a + h$가 분모에 있으므로 $a + h \ne 0$을 밝히는 줄도 필요하다. **풀이.** $a \ne 0$이라 하자. $|h| < |a|$이고 $h \ne 0$인 $h$만 생각한다 (극한은 $h$가 $0$에 충분히 가까운 범위만 보므로 이렇게 제한해도 된다). 이때 $|a + h| \ge |a| - |h| > 0$이므로 $a + h \ne 0$이고, $\frac{1}{a+h}$가 정의된다. 그러면 $$ \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{\dfrac{1}{a+h} - \dfrac1a}{h} = \frac{\dfrac{a - (a+h)}{a(a+h)}}{h} = \frac{-h}{h \cdot a(a+h)} $$ 이고, $h \ne 0$이므로 분자와 분모를 $h$로 나눌 수 있어 $$ \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{-1}{a(a+h)} $$ 이다. $h \to 0$에서 분모 $a(a+h)$는 $a^2$으로 가고(합$\cdot$곱$\cdot$상수함수$\cdot$항등함수의 극한, §1.7) $a^2 \ne 0$이므로, 몫의 극한 법칙(§1.7)을 써서 $\lim_{h\to0}\frac{-1}{a(a+h)} = -\frac{1}{a^2}$을 얻는다. 극한이 존재하므로 $f$는 $a$에서 미분가능하고 $f'(a) = -\frac{1}{a^2}$이다. $\blacksquare$ **검산.** $a = 2$이면 $f'(2) = -\frac14$이고, $h = 0.01$에서 차분몫은 $\frac{-1}{2 \times 2.01} = -0.2488\ldots$로 $-0.25$에 가깝다. **복기.** 부호가 음수인 것은 우연이 아니다 — $\frac1x$는 $x$가 커질수록 값이 작아지므로 어느 점에서나 감소하고, 미분계수가 음수인 것이 그 감소를 수로 적은 것이다. 이 계산의 기술은 하나뿐이다: **분자가 분수이면 먼저 통분한다.** 통분한 뒤에야 $h$가 인수로 드러난다. ### 문제 16 **접근.** 차분몫의 분자 $f(a+h)g(a+h) - f(a)g(a)$에는 두 재료 $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$와 $\frac{g(a+h)-g(a)}{h}$가 그대로 들어 있지 않다. 두 재료를 동시에 꺼내려면 항 하나를 더하고 빼야 한다 — C6주차의 항 쪼개기다. 무엇을 더하고 뺄지는 "두 차가 각각 나타나게 하려면"이라는 목적이 정한다. **풀이.** $f$와 $g$가 $a$에서 미분가능하다고 하자. $h \ne 0$이라 하자. 분자에 $f(a+h)g(a)$를 더하고 빼면 $$ f(a+h)g(a+h) - f(a)g(a) = f(a+h)\{g(a+h) - g(a)\} + g(a)\{f(a+h) - f(a)\} $$ 이다(우변을 전개하면 $f(a+h)g(a)$가 소거되어 좌변이 나온다). 양변을 $h$로 나누면 ($h \ne 0$이므로 정당하다) $$ \frac{(fg)(a+h) - (fg)(a)}{h} = f(a+h) \cdot \frac{g(a+h)-g(a)}{h} + g(a) \cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$ 이다. 이제 $h \to 0$에서 우변의 각 인수를 본다. $f$가 $a$에서 미분가능하므로 정리 1.2에 의해 $a$에서 연속이고, 곧 $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$이다. §1.4의 치환 $x = a + h$로 옮기면 $\lim_{h\to0} f(a+h) = f(a)$이다. 또 가정에 의해 $\frac{g(a+h)-g(a)}{h} \to g'(a)$이고 $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \to f'(a)$이며, $g(a)$는 상수다. 곱의 극한 법칙과 합 법칙(§1.7)에 의해 우변의 극한이 존재하고 그 값은 $f(a)g'(a) + g(a)f'(a)$이다. 극한이 존재하므로 $fg$는 $a$에서 미분가능하고 $(fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)$이다. $\blacksquare$ **검산.** $f(x) = x$, $g(x) = x^2$이면 $f'(a) = 1$, $g'(a) = 2a$이므로 공식은 $1 \cdot a^2 + a \cdot 2a = 3a^2$을 준다. $fg(x) = x^3$의 미분계수는 문제 8에서 $3a^2$이었으므로 일치한다. **복기.** 이 증명에서 정리 1.2가 쓰이는 자리를 놓치기 쉽다. $\lim_{h\to0} f(a+h) = f(a)$는 저절로 성립하는 것이 아니라 $f$의 **연속**이며, 그 연속은 미분가능에서 나온다. 곧 정리 1.2가 없으면 곱의 미분 법칙을 증명할 수 없다 — 이번 주에 세운 정리가 곧바로 부품으로 재취업하는 사례다. 항 쪼개기의 선택은 하나가 아니다. $f(a)g(a+h)$를 더하고 빼면 $g(a+h)\{f(a+h)-f(a)\} + f(a)\{g(a+h)-g(a)\}$가 나오고 결론은 같다. ### 문제 17 **접근.** 두 가지를 따로 다룬다. 연속은 $|f(x)| \le |x|$라는 부등식 하나로 끝나고, 미분 불가능은 차분몫이 $\sin\frac1h$으로 남아 하나의 값으로 모이지 않음을 보인다. 쓰는 사실은 문제에 딸린 상자의 두 가지뿐이다. **풀이.** **연속.** $f(0) = 0$이다. $\varepsilon$을 임의로 주어진 양수라 하고 $\delta = \varepsilon$으로 두자. $|x - 0| < \delta$인 $x$를 임의로 잡자. $x = 0$이면 $|f(x) - f(0)| = 0 < \varepsilon$이다. $x \ne 0$이면 $|\sin\frac1x| \le 1$이므로 $$ |f(x) - f(0)| = \left| x \sin\frac1x \right| = |x| \cdot \left| \sin\frac1x \right| \le |x| < \delta = \varepsilon $$ 이다. 따라서 1권 정의 47.2에 의해 $f$는 $0$에서 연속이다. $\blacksquare$ **미분 불가능.** $h \ne 0$일 때 차분몫은 $$ \frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{h\sin\frac1h - 0}{h} = \sin\frac1h $$ 이다($h \ne 0$이므로 약분이 정당하다). 이 극한이 존재한다고 가정하고 그 값을 $L$이라 하자. 1권 정의 47.1에서 $\varepsilon = 1$을 잡으면 $0 < |h| < \delta$인 모든 $h$에 대해 $\left|\sin\frac1h - L\right| < 1$이 되는 $\delta > 0$이 존재해야 한다. 그런데 인정하고 쓰는 사실 ②에 의해, $\frac1h$가 아무리 커지는 범위에서도 $\sin\frac1h = 1$이 되는 $h$와 $\sin\frac1h = -1$이 되는 $h$가 각각 존재한다. 곧 $0 < |h| < \delta$ 안에 차분몫의 값이 $1$인 $h_1$과 $-1$인 $h_2$가 있다. 그러면 $|1 - L| < 1$이고 $|-1 - L| < 1$이어야 하는데, 삼각부등식에 의해 $2 = |1 - (-1)| \le |1 - L| + |L + 1| < 2$가 되어 모순이다. 따라서 극한이 존재하지 않고 $f$는 $0$에서 미분 불가능하다. $\blacksquare$ **복기.** $|x|$와 이 함수는 "연속하나 미분 불가"의 두 종류를 보여 준다. $|x|$는 좌우에서 각각 하나의 값으로 가되 두 값이 다른 **뾰족점**이고, 이 함수는 어느 한쪽에서도 값이 정해지지 않는 **진동**이다. 증명의 마지막 모순은 두 경우가 똑같지만(문제 9와 대조해 보면 같은 세 줄이다), 그 모순을 만드는 두 $h$를 어디서 구했는지가 다르다 — 하나는 부호에서, 하나는 진동에서 나온다. 연속 증명에서 $\delta = \varepsilon$이 통하는 이유는 $|\sin\frac1x| \le 1$이 $|f(x)|$를 $|x|$로 눌러 주기 때문이며, 이것이 조임의 아이디어를 부등식 한 줄로 쓴 것이다(수열판은 1권 정리 46.3). ### 문제 18 **접근.** C5주차의 다섯 걸음을 돌린다. 걸음 ①에서 명제 자체가 거짓임이 이미 문제 9에서 증명되었으므로, 이 답안은 반드시 어딘가 틀렸다. 어느 줄이 왜 틀렸는지 지목하는 것이 이 문항의 과제다. **풀이.** **걸음 ① 명제 진위.** **거짓**이다. 문제 9에서 $f(x) = |x|$가 $x = 0$에서 미분 불가능함을 증명했다. 거짓 명제에 붙은 증명은 반드시 틀렸으므로, 남은 일은 결함의 위치를 찾는 것이다. **걸음 ② 논리.** 첫 두 줄은 옳다 — 차분몫이 $\frac{|h|}{h}$이고, $h > 0$에서 $1$, $h < 0$에서 $-1$이라는 계산은 정확하다. 결함은 셋째 줄 "평균해서 $0$이다"에 있다. 극한의 정의(정의 47.1)는 $0 < |h| < \delta$인 **모든** $h$에서 차분몫이 한 수 $L$의 $\varepsilon$ 이내에 있을 것을 요구한다. 좌우에서 얻은 두 값의 평균을 취하는 조작은 그 정의 어디에도 없으며, 정의가 요구하는 것은 두 값의 대표가 아니라 **모든 값의 근접**이다. 실제로 $L = 0$을 넣어 보면 $\varepsilon = \frac12$에 대해 $|1 - 0| = 1 \ge \frac12$이므로 조건이 곧바로 깨진다. **걸음 ③ 가정 사용.** 소비할 가정이 없는 명제이므로 해당 없음이다. **걸음 ④ 양화사와 자격.** 결함이 여기에도 걸린다. 답안은 $h > 0$인 경우와 $h < 0$인 경우를 각각 본 뒤 하나의 값을 만들어 냈는데, 정의의 $\forall h$는 경우별 값을 합성하라는 뜻이 아니라 모든 $h$가 같은 $L$ 근처에 있어야 한다는 뜻이다. **걸음 ⑤ 전달.** 마지막 줄 "따라서 미분가능하다"에서 $f'(0)$의 값을 명시하지 않았다. 다만 이는 부차적인 결함이다. **판정.** **틀림.** 결함이 있는 줄은 "평균해서 $0$이다"이며, 이유는 좌우에서 다른 값으로 가면 극한이 존재하지 않기 때문이다 — 평균은 극한의 정의에 없는 조작이다. 올바른 결론은 문제 9의 것, 곧 $f$는 $0$에서 미분 불가능이다. **복기.** 이 답안이 그럴듯한 이유는 계산이 한 줄도 틀리지 않았기 때문이다. 오류는 계산이 아니라 **정의에 없는 조작을 끼워 넣은 자리**에 있다. 증명 평가에서 걸음 ②가 검사하는 것이 정확히 이것이며, "각 줄이 정의에서 따라오는가"라는 질문에 "평균"은 답할 근거가 없다. ### 문제 19 **접근.** 차분몫 $\frac{\sqrt{4+h}-2}{h}$의 분자에서 $h$를 꺼낼 수 없다. 제곱근의 차는 켤레를 곱해 유리화하면 제곱의 차가 되어 $h$가 드러난다. 켤레가 $0$이 아님을 확인하는 줄이 그 곱셈의 자격이다. **풀이.** $h \ne 0$이고 $h > -4$라 하자(그래야 $\sqrt{4+h}$가 정의된다). $\sqrt{4+h} \ge 0$이므로 $\sqrt{4+h} + 2 \ge 2 > 0$이고, 따라서 분자와 분모에 $\sqrt{4+h}+2$를 곱해도 된다. 그러면 $$ \frac{\sqrt{4+h}-2}{h} = \frac{(\sqrt{4+h}-2)(\sqrt{4+h}+2)}{h(\sqrt{4+h}+2)} = \frac{(4+h) - 4}{h(\sqrt{4+h}+2)} = \frac{h}{h(\sqrt{4+h}+2)} $$ 이고, $h \ne 0$이므로 분자와 분모를 $h$로 나눌 수 있어 $$ \frac{f(4+h) - f(4)}{h} = \frac{1}{\sqrt{4+h}+2} $$ 이다. $\sqrt{\phantom{x}}$가 $4$에서 연속이므로(S6주차 문제 19가 그 $\varepsilon$-$\delta$를 세웠다) $\lim_{h\to0}\sqrt{4+h} = 2$이고, 따라서 분모는 $4$로 간다. $4 \ne 0$이므로 몫의 극한 법칙(§1.7)에 의해 $$ \lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{4+h}+2} = \frac14 $$ 이다. 극한이 존재하므로 $f$는 $4$에서 미분가능하고 $f'(4) = \frac14$이다. $\blacksquare$ **검산.** $h = 0.01$이면 $\sqrt{4.01} = 2.00250\ldots$이므로 차분몫은 $\frac{1}{\sqrt{4.01}+2} = 0.2498\ldots$로 $0.25$에 가깝다. **복기.** 이 문제의 기술은 하나다: **분자에 제곱근의 차가 있으면 켤레를 곱한다.** 문제 15의 "분자가 분수이면 통분한다"와 같은 자리의 기술이며, 둘 다 목적이 같다 — 분자에서 $h$를 인수로 드러내어 걸음 ③의 약분을 가능하게 하는 것. S6주차 문제 19가 같은 함수의 연속을 다뤘고, 이 문제가 그 미분판이다. ### 문제 20 **접근.** (a)는 "강하다"를 정확히 정의하는 것부터 시작한다 — 한쪽이 다른 쪽을 함의하고 그 역은 성립하지 않을 때 그렇게 말한다. 두 방향 각각의 근거가 어느 결과인지 짚는 것이 답의 뼈대다. (b)는 정의 1.1을 다시 읽고, 그 문장에서 이번 주에 새로 만든 부분이 어디까지인지 표시해 보면 답이 나온다. **풀이.** (예시 답안) **(a)** 예제 2.3에서 미분가능이 연속을 함의함을 증명했다 — $x \ne a$에서 $f(x) - f(a) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)$로 쓰면 우변의 극한이 $f'(a) \cdot 0 = 0$이므로 $f(x) \to f(a)$이다. 반대로 문제 9에서 $f(x) = |x|$가 $0$에서 연속이면서 미분 불가능함을 증명했으므로 역은 거짓이고, 따라서 미분가능은 연속의 진부분 조건이다 (연속 $\supsetneq$ 미분가능). 연속은 "값이 끊기지 않는다"만 요구하지만 미분가능은 그 위에 "차분몫이 하나의 값으로 모인다", 곧 접선이 하나로 정해진다는 것까지 요구하므로, 매끄러움이 끊김 없음보다 강한 요구다. **(b)** 미분계수는 할선의 기울기 $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$에 $h \to 0$의 극한을 씌운 값으로 정의되므로, 1권 45~47주차에서 세운 극한의 직접 응용이다 — 정의 1.1에서 이번 주가 새로 만든 것은 차분몫이라는 대상 식과 그 이름뿐이고, 판정 규칙은 1권 정의 47.1의 $\varepsilon$-$\delta$ 그대로다. 그래서 극한을 엄밀하게 만든 순간 미분은 그 위에 한 줄로 정의되며, 1권 9주차 문제 10과 47주차 문제 19가 "인정하고 쓴다"$\cdot$"대학 과목으로 이월"로 미뤄 둔 항목이 여기서 증명되는 명제가 된다. **복기.** 채점 항목은 네 가지다 — ① (a)에서 "강하다"의 뜻을 함의와 역으로 정의했는가 ② (a)의 두 방향 각각에 이번 주의 구체적인 결과를 근거로 댔는가 ③ (b)에서 정의 1.1의 어느 부분이 새것이고 어느 부분이 물려받은 것인지 구분했는가 ④ (b)에서 갚은 항목을 1권의 자리로 지목했는가. 네 항목 모두 결론이 아니라 근거를 묻는다. --- **다음 주 예고 (C18):** Chartrand 15.1~15.3 — 군론 I. 이번 주까지는 수와 함수를 다뤘고, 다음 주부터는 **연산 자체**를 대상으로 삼는다. 집합 하나와 이항연산 하나에 결합법칙$\cdot$항등원$\cdot$역원의 세 공리만 얹으면 정수의 덧셈, C11주차의 $\mathbb{Z}_n$, 대칭 변환, 순열이 하나의 구조로 묶인다. S13주차의 유일성 증명 서식이 항등원과 역원의 유일성에서 곧바로 재취업하고, S19주차의 공리계 이야기가 실물로 등장한다. 원서 15.1~15.3을 통독하고 온다.