# S17주차 — 기법 선택 총정리 + 기법 종합 백지시험

:::{admonition} 이 주의 길잡이
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**핵심 문장**: S1주차부터 S16주차까지의 열여섯 주는 하나의 결정 나무로 접힌다 — 명제의 겉모양을 읽고 가지를 따라 내려가면 첫수가 나오며, 이번 주는 그 나무가 백지에서 되살아나는지를 검사한다.

**이 주의 위치**: 1학기 20주 과정의 S17주차. 새 진도가 없는 두 번째 평가 주간이다. S9주차가 S1주차~S8주차에 대해 한 일을 S10주차~S16주차까지 얹어 전 범위에 대해 하고, 1권 23주차의 기법 선택 훈련과 1권 24주차의 종합 평가가 여기서 한 형식으로 합쳐진다. 다음 주부터는 증명을 만드는 일에서 명제를 만드는 일로 넘어가므로, 그 전에 기법 선택 절차를 고정해 둔다.

**원서 대응**: Solow 15장(기법 요약)과 1~14장 전체. 새로 읽을 장은 없다. 시험 전날 각 장의 요약 절만 훑고 오는 것으로 충분하다.
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## 이번 주 목표

1. 전 기법을 **하나의 결정 나무**로 통합한다 — 명제의 겉모양(양화사$\cdot$연결사$\cdot$부정$\cdot$정의 속 구조)에서 기법으로 내려가는 흐름을 한 장으로 만든다.
1. 낯선 명제에서 **구조 판독 $\to$ 기법 지목 $\to$ 첫수 서술**을 즉답 수준으로 만든다.
1. 종합시험 20문항으로 전 기법(후진$\cdot$전진, 정의의 두 면, 양화사 넷, 부정 3부작, 유일성, 귀납, 양자택일, 최대$\cdot$최소)을 점검한다.
1. 오답을 주차별 재학습 지도로 되돌린다.

## 준비 운동 (S16 복습)

1. max$\cdot$min의 부등식 번역표 네 칸을 백지에 쓰시오.
1. S9주차 시험의 백지 복원 10항목을 다시 채우시오 — 이번 주는 그 열 항목 위에 S10주차~S16주차의 기법을 얹는다.

## 개념 — 기법 선택 결정 나무

열여섯 주 동안 기법은 하나씩 도착했고, 도착할 때마다 그 주의 소재가 함께 왔다. 시험장에는 소재가 오지 않는다. 오는 것은 명제 한 줄뿐이고, 그 한 줄에서 첫 문장을 뽑아내는 절차만 있으면 된다. 그 절차를 한 장으로 접은 것이 아래의 결정 나무다.

:::{admonition} 백지 암기 대상
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**기법 선택 결정 나무**

**0단계 — 판 세팅 (항상 한다).** $A$와 $B$로 분해하고, 숨은 가설$\cdot$숨은 양화사$\cdot$정의 속에 접힌 구조를 전부 문면으로 끌어낸다 (S1주차$\cdot$S4주차).

**1단계 — 결론에 부정이 박혀 있는가.** 신호는 무리수, $\notin$, $\neq$, "…가 아니다", "…는 없다", "무한히 많다"이다.

  $\cdot$ 있으면 **NOT 기계 N1~N6으로 전개한다** (S10주차). 전개 결과를 보고 셋 중 하나로 간다.

  $\cdot$ 전개가 긍정형 특성화로 끝나면 그대로 **직접 증명**.

  $\cdot$ 명제가 조건문이고 $\neg B$와 $\neg A$가 둘 다 풀리는 문장이면 **대우** (S12주차).

  $\cdot$ 뒤집을 $A$가 아예 없거나 $\neg A$가 다루기 어려우면 **귀류** (S11주차).

**2단계 — 결론의 최상위 구조는 무엇인가.**

  $\cdot$ **$\exists$ 또는 숨은 $\exists$**(존재, "짝수다", 방정식의 해) $\to$ **구성법** (S5주차).

  $\cdot$ **$\forall$ 또는 숨은 $\forall$**(모든, $\subseteq$, 단사, 총칭문) $\to$ **선택법** (S6주차).

  $\cdot$ **$\lor$**(또는) $\to$ **소거법**, **$\land$**(그리고) $\to$ 조각마다 따로 증명 (둘 다 S15주차).

  $\cdot$ **정확히 하나 / 유일** $\to$ 존재(구성) + 유일(얼굴 1 또는 얼굴 2) (S13주차).

  $\cdot$ **max$\cdot$min이 든 부등식** $\to$ 번역표로 $\forall$ 또는 $\exists$로 환원 (S16주차).

  $\cdot$ **자연수 전체에 대한 $\forall$이고 직전 항에 의존** $\to$ **귀납법** (S14주차).

  $\cdot$ **겹 양화사**($\forall\exists$, $\forall\varepsilon\exists N$) $\to$ 바깥부터 한 겹씩 (S8주차).

**3단계 — 본체.** 과녁 쪽에서 **후진**(핵심 질문과 방향 검사, S2주차), 사실 목록 쪽에서 **전진**(조준, S3주차), 그리고 만남. 막히면 **정의의 두 면**으로 귀환하고 (S4주차), 사실 목록의 $\forall$는 **특수화**로 (S7주차), 사실 목록의 $\lor$는 **경우법**으로 소비한다 (S15주차).
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네 걸음은 각각 하나의 일을 맡고, 하나라도 빠지면 그 자리에서 절차가 멈춘다.

| **걸음** | **하는 일** | **이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가** |
|---|---|---|
| 0단계 — 판 세팅 | $A$와 $B$로 분해하고 숨은 가설$\cdot$숨은 양화사$\cdot$정의 속 구조를 문면으로 끌어낸다 | 숨은 양화사가 문면에 없어 2단계가 읽을 겉모양이 없다 — "$A \cap B \subseteq A$"는 $\subseteq$를 풀기 전에는 $\forall$로 보이지 않아 선택법에 닿지 못한다 |
| 1단계 — 부정 판독 | 결론의 부정 신호를 감지해 NOT 기계로 전개한다 | 부정이 박힌 결론은 최상위 구조가 가려진 채 남는다 — "단사가 아니다"를 전개하지 않으면 그것이 $\exists$라는 사실이 드러나지 않아 구성법이 지목되지 않는다 |
| 2단계 — 구조 판독 | 전개된 결론의 최상위 구조에서 잎 하나를 지목한다 | 첫 문장의 동사가 정해지지 않는다 — 답안이 "…를 증명한다" 한 줄에서 멈춘다 |
| 3단계 — 본체 | 후진$\cdot$전진으로 잎과 사실 목록을 잇고, 막히면 정의의 두 면으로 귀환한다 | 첫수만 있고 본체가 빈 답안이 된다 — "임의로 잡자" 다음 줄에 결론이 곧바로 나온다 |

셋째 열이 걸음 삭제 실험이며, 1단계 행의 실험은 아래 확인 4에서 한 번 더 풀어 쓴다.

나무의 각 잎은 이미 배운 기법이다. 잎마다 신호와 첫 문장을 한 줄로 붙여 두면 1부의 정답지가 된다.

| **잎(기법)** | **나무 위의 신호** | **답안의 첫 문장** | **주차** |
|---|---|---|---|
| 구성법 | 결론의 $\exists$ | "…로 두자" 뒤에 자격$\cdot$사건 전수 검증 | S5주차 |
| 선택법 | 결론의 $\forall$ | "자격을 갖춘 …를 임의로 잡자" | S6주차 |
| 특수화 | 가정의 $\forall$ | "…에 적용하자" 뒤에 자격 검증과 수령 | S7주차 |
| 이름 받기 | 가정의 $\exists$ | "그런 …를 잡자" | S5주차~S8주차 |
| 중첩 처리 | 겹 양화사 | 바깥 겹부터 열고, 연 순서의 역순으로 닫는다 | S8주차 |
| NOT 전개 | 결론의 부정형 | 규칙 번호 [N1]~[N6]을 줄마다 단다 | S10주차 |
| 귀류 | 뒤집을 $A$가 없다 | "결론을 부정하여 …라 가정하자" | S11주차 |
| 대우 | 합성식의 성질에서 재료의 성질로 | "대우를 증명한다. 대우는 …이다" | S12주차 |
| 유일성 | "정확히 하나" | 얼굴 1은 "둘을 잡자", 얼굴 2는 "둘이 다르다고 하자" | S13주차 |
| 귀납법 | 자연수 $\forall$ + 직전 의존 | "$n$에 대한 귀납법으로 증명한다" | S14주차 |
| 경우법 | 가정의 $\lor$ | "케이스로 나눈다" 뒤에 전수성 확인 | S15주차 |
| 소거법 | 결론의 $\lor$ | "한쪽이 거짓이라 하자" | S15주차 |
| 최대$\cdot$최소 | max$\cdot$min이 든 부등식 | 번역표로 $\forall$ 또는 $\exists$로 바꾼 뒤 그 칸의 기법 | S16주차 |

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**확인 1.** 명제 "$\sqrt3$은 무리수이다"는 1단계에서 어느 갈래로 내려가는가. 대우가 아니라 귀류가 되는 이유를 한 문장으로 적어 보자.
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:::{admonition} 답
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"무리수"가 부정형 낱말이므로 1단계에 걸리고, NOT 기계로 풀면 "$\sqrt3 = a/b$인

정수 $a$와 0이 아닌 정수 $b$는 존재하지 않는다"가 된다. 이 명제는 조건문이 아니라

무조건 명제이므로 뒤집을 $A$가 없고, 따라서 대우문을 만들 자리가 없다. 남는 처방은

귀류뿐이다 — S12주차 판정법의 셋째 줄이 그대로 이 자리다.
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**확인 2.** 결론이 "$x = 0$ 또는 $y = 0$"인 명제와, 가정이 "$x = 0$ 또는 $y = 0$"인 명제는 2단계에서 서로 다른 잎으로 간다. 각각 어느 잎인가.
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:::{admonition} 답
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결론의 $\lor$는 소거법이다 — 한쪽을 거짓이라 가정하고 다른 쪽을 얻는다. 가정의 $\lor$는

경우법이다 — 케이스로 나누고 각 케이스에서 같은 결론에 닿은 뒤 전수성을 확인한다.

같은 기호가 놓인 자리만으로 도구가 갈린다는 것이 S15주차의 요지이고, 결정 나무가

결론 쪽과 가정 쪽을 따로 묻는 이유이기도 하다.
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**확인 3.** "모든 $\varepsilon > 0$에 대해 $\frac1{2^n} < \varepsilon$인 자연수 $n$이 존재한다"에서 첫 문장 두 개는 무엇인가. 순서를 바꾸면 무엇이 달라지는가.
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:::{admonition} 답
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바깥이 $\forall \varepsilon$이므로 첫 문장은 선택법의 "$\varepsilon > 0$을 임의로

잡자"이고, 남은 겹이 $\exists n$이므로 둘째 문장은 구성법의 "$n = \cdots$으로

두자"이다. 증인 $n$이 $\varepsilon$의 식이어도 되는 것은 $\varepsilon$이 먼저

확정되었기 때문이다(맞춤 증인). 순서를 바꾸어 $\exists n \forall \varepsilon$으로

읽으면 하나의 $n$이 모든 $\varepsilon$을 감당해야 하는 만능 증인 요구가 되어

명제 자체가 달라지고, 실제로 거짓이 된다.
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**확인 4.** 결정 나무에서 2단계가 1단계보다 뒤에 오는 이유는 무엇인가.
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:::{admonition} 답
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부정이 박힌 결론은 최상위 구조가 아직 보이지 않기 때문이다. "$L$로 수렴하지

않는다"는 겉으로는 $\forall$도 $\exists$도 아니지만, NOT 기계로 전개하면 $\exists \varepsilon

\forall N \exists n$이라는 세 겹이 드러난다. 극한값을 고정하지 않은 "수렴하지

않는다"는 바깥에 $\forall L$이 하나 더 붙어 네 겹이 된다(S10주차 문제 14).

어느 쪽이든 전개하지 않은 채 2단계로 가면 지목할 겉모양이 없어 나무가 멈춘다.

1단계는 2단계가 읽을 수 있는 꼴을 만드는 걸음이다.
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**핵심 관찰.** 이 절에 새 기법은 없다. 결정 나무는 S1주차~S16주차를 "언제 쓰는가"로 재배열한 색인이며, 각 잎은 이미 이름을 가진 기법이다. 시험이 보는 것은 잎의 내용이 아니라 잎까지 내려가는 길을 참조 없이 걸을 수 있는지다.