# 46주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

## 예제 — 극한 법칙 증명을 함께 만들기

예제 2.1은 번역표부터 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 하며, 예제 2.3은 설계부터 스스로 한 뒤 완성된 산문을 본다.

### 예제 2.1 — 합 법칙: ε/2 트릭의 정석

**명제.** $a_n \to A$, $b_n \to B$이면 $a_n + b_n \to A + B$. (정리 46.1)

**설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지.** 받는 것(출발점)과 만들 것(도착점)을 정의 45.1로 번역해 먼저 정한다. 이번에는 받는 것이 두 종류다.

|  | **말** | **수식 번역** |
|---|---|---|
| 가정 ① (받는 것) | 두 수열이 각각 수렴한다 | $a_n \to A$, $b_n \to B$ — 정의 45.1을 원하는 양수에 대해 발동할 수 있다 |
| 가정 ② (받는 것) | 오차 한도가 하나 주어진다 | $\varepsilon > 0$ ($\varepsilon$은 임의) |
| 목표 (만들 것) | $a_n + b_n \to A + B$ | 자연수 $N$을 제시하고, $n > N$인 모든 $n$에서 $\lvert (a_n + b_n) - (A + B) \rvert < \varepsilon$을 보인다 |

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**확인 11.** 이 증명에서 **우리가 만들어 내야 하는 대상**은 무엇이고, 가정 ①과 가정 ②는 성격이 어떻게 다른가.
:::

:::{admonition} 답
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만들어 내야 하는 것은 자연수 $N$ 하나다($\exists N$이므로 제시 책임이 우리에게 있다).

가정 ②의 $\varepsilon$은 받는 것이므로 값을 고를 권한이 없다($\forall \varepsilon$).

가정 ①은 성격이 다르다 — 두 수렴은 **가정 쪽에 놓인 정의**이므로 그 안의

$\forall \varepsilon$은 우리가 값을 골라 쓸 수 있는 자원이다(45주차 확인 17에서 확인한

방향 뒤집힘). 이 비대칭이 $\varepsilon$/2 트릭이 성립하는 이유다 — 받은 $\varepsilon$은 못 바꾸지만,

발동할 때 넣는 값은 우리가 정한다.
:::

**연습장 — 각 항을 얼마로 눌러야 하는지 역산한다.** 목표 식을 삼각부등식으로 쪼개면

$$
|(a_n + b_n) - (A + B)| = |(a_n - A) + (b_n - B)| \le |a_n - A| + |b_n - B|
$$

이므로, 오른쪽 두 항의 상한의 합이 $\varepsilon$ 이하가 되게 하면 된다.

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**확인 12.** 위 사슬의 첫 등호는 무엇을 한 것이며, 두 항을 각각 얼마 이내로 누르기로 정할 것인가. (§1.2의 표를 참고한다.)
:::

:::{admonition} 답
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첫 등호는 괄호를 재배열한 것이다 — $a_n + b_n - A - B$의 항 순서를 바꿔

$(a_n - A) + (b_n - B)$로 묶었다(근거 ③). 이렇게 묶어야 두 수열 각각의 오차가 드러난다.

두 항은 각각 $\frac{\varepsilon}{2}$ 이내로 누른다. 합이 정확히 $\varepsilon$이 되므로

사슬의 끝이 정의의 문자와 일치한다. 여기까지가 연습장이고, 본문에는 결과만 선언한다.
:::

**1단계 — 오차를 받는다.**

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**확인 13.** 첫 문장을 완성해 보자: "$\underline{\qquad}$이 임의로 주어졌다고 하자."
:::

:::{admonition} 답
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"$\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자." $\forall \varepsilon$을 문장으로 옮긴 줄이고,

"임의로"가 값을 고를 권한이 없음을 명시한다. 모든 $\varepsilon$-N 증명의 첫 줄이 같다.
:::

**2단계 — 두 정의를 $\frac{\varepsilon}{2}$로 발동한다.**

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**확인 14.** 둘째 문장을 완성해 보자: "$\frac{\varepsilon}{2} > 0$이므로, $a_n \to A$에 의해 $n > N_1$이면 $\underline{\quad(1)\quad}$인 자연수 $N_1$이 존재하고, $b_n \to B$에 의해 $n > N_2$이면 $\underline{\quad(2)\quad}$인 자연수 $N_2$가 존재한다." 문장 첫머리의 "$\frac{\varepsilon}{2} > 0$이므로"를 빼면 무엇이 빠지는가.
:::

:::{admonition} 답
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(1) $|a_n - A| < \frac{\varepsilon}{2}$  (2) $|b_n - B| < \frac{\varepsilon}{2}$.

첫머리를 빼면 **발동 자격의 확인**이 빠진다. 정의 45.1이 허용하는 것은 양수뿐이므로,

$\frac{\varepsilon}{2}$가 양수라는 한 마디가 있어야 그 자리에 넣을 수 있다(확인 3).

한 줄이지만 이것이 트릭 전체를 떠받치는 근거다.
:::

**3단계 — 두 문턱을 하나로 합친다.**

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**확인 15.** 셋째 문장을 완성해 보자: "$N = \underline{\quad}$으로 잡자. $n > N$이면 두 조건이 동시에 성립한다." 왜 동시에 성립하는지 한 문장으로 적어 보자.
:::

:::{admonition} 답
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$N = \max(N_1, N_2)$. $n > \max(N_1, N_2)$이면 $n$은 두 수 중 큰 쪽보다 크므로 작은 쪽보다도

크고, 따라서 $n > N_1$이면서 $n > N_2$이다(근거 ③, (W6) 추이성). 45주차 문제 11에서 처음

쓴 $\max$ 문턱이며, 이번 주의 모든 증명이 이 한 수 위에 선다.
:::

**4단계 — 문턱 뒤의 임의의 항을 잡고 사슬을 세운다.**

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**확인 16.** 마지막 계산을 완성해 보자: "$n > N$이라 하자. 그러면 $|(a_n + b_n) - (A + B)| = |(a_n - A) + (b_n - B)| \underline{\quad(1)\quad} |a_n - A| + |b_n - B| < \underline{\quad(2)\quad} = \underline{\quad(3)\quad}$이다." (1)의 부등호가 오는 근거는 무엇인가.
:::

:::{admonition} 답
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(1) $\le$  (2) $\frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2}$  (3) $\varepsilon$.

(1)의 근거는 삼각부등식(17주차 문제 12)이다 — $|x + y| \le |x| + |y|$에

$x = a_n - A$, $y = b_n - B$를 대입한 것이다. 그다음 부등호는 2단계에서 받은 두 부등식을

더한 것이고(근거 ③), 마지막 등호에서 예산이 정확히 맞아떨어진다.
:::

**완성본.** 방금 만든 문장들을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 "왜?"에 스스로 답해 본다.

| 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? |
|---|---|
| $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. | $\forall \varepsilon$을 문장으로 옮긴 줄. "임의로"가 값을 고를 권한이 없음을 명시한다. |
| $\frac{\varepsilon}{2} > 0$이므로, $a_n \to A$에 의해 $n > N_1 \Rightarrow \lvert a_n - A \rvert < \frac{\varepsilon}{2}$인 자연수 $N_1$이 존재하고, $b_n \to B$에 의해 $n > N_2 \Rightarrow \lvert b_n - B \rvert < \frac{\varepsilon}{2}$인 자연수 $N_2$가 존재한다. | 두 수렴 정의를 $\frac{\varepsilon}{2}$로 발동해 예산을 반씩 배분한다. 앞머리의 "$\frac{\varepsilon}{2} > 0$이므로"가 발동 자격(근거 ②)이다. |
| $N = \max(N_1, N_2)$로 잡자. | $\exists N$의 제시 책임을 이행한다. 큰 쪽을 넘기면 두 조건이 동시에 성립한다(45주차 문제 11). |
| $n > N$이라 하자. | $\forall n$을 옮긴 줄. 특정 값이 아니라 문턱을 넘는 임의의 $n$이다. |
| 그러면 $\lvert (a_n + b_n) - (A + B) \rvert = \lvert (a_n - A) + (b_n - B) \rvert \le \lvert a_n - A \rvert + \lvert b_n - B \rvert < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$이다. | 재배열(근거 ③) $\to$ 삼각부등식(17주차 문제 12) $\to$ 예산 합산. 사슬의 끝이 정의의 문자와 일치한다. |
| 따라서 정의 45.1에 의해 $a_n + b_n \to A + B$이다. $\blacksquare$ | 정의 충족 선언. 어떤 정의를 만족했는지 이름을 적는다. |

**구체값을 넣어 읽어 보기.** 문자로 쓴 이 여섯 줄이 실제로 작동하는지 눈으로 확인한다. $a_n = \frac{1}{n} \to 0$, $b_n = \frac{n}{n+1} \to 1$로 두고 $\varepsilon = 0.1$을 받았다고 하자.

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**확인 17.** $\frac{\varepsilon}{2} = 0.05$일 때 두 정의가 주는 $N_1$, $N_2$로 무엇을 잡을 수 있고, $N$은 얼마이며, $n = 25$에서 마지막 줄의 사슬은 어떤 부등식이 되는가.
:::

:::{admonition} 답
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$\left|\frac{1}{n} - 0\right| = \frac{1}{n} < 0.05$는 $n > 20$과 같으므로 $N_1 = 20$을 잡을

수 있다. $\left|\frac{n}{n+1} - 1\right| = \frac{1}{n+1} < 0.05$는 $n > 19$와 같으므로

$N_2 = 19$를 잡을 수 있다. $N = \max(20, 19) = 20$이다.

$n = 25 > 20$에서 사슬은 $\left|\left(\frac{1}{25} + \frac{25}{26}\right) - 1\right|

= 0.0015\cdots \le \frac{1}{25} + \frac{1}{26} = 0.0784\cdots < 0.05 + 0.05 = 0.1$이 된다.

모든 줄이 그대로 성립한다. $\varepsilon$을 다른 값으로 바꿔도, 수열을 다른 수렴 수열로

바꿔도 같은 여섯 줄이 작동한다 — 증명의 어느 줄도 수열의 구체적인 식을 쓰지 않았기 때문이다.
:::

### 예제 2.2 — 샌드위치 정리

**명제.** 어떤 문턱 이후 $a_n \le b_n \le c_n$이고 $a_n \to L$, $c_n \to L$이면 $b_n \to L$. (정리 46.3) 이번에는 설계만 함께 하고, 증명은 완성된 산문으로 본다.

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**확인 18.** 번역표를 채워 보자. 가정은 세 개다 — ① $a_n \to L$ ② $c_n \to L$ ③ 끼임이 성립하는 문턱 $N_3$이 존재한다. 이때 이 증명에서 받는 문턱은 몇 개이고, $N$은 무엇으로 잡아야 하는가.
:::

:::{admonition} 답
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받는 문턱은 세 개다 — ①에서 $N_1$, ②에서 $N_2$, ③에서 $N_3$. 세 조건을 동시에 쓰려면

$N = \max(N_1, N_2, N_3)$으로 잡는다. $\max$는 두 개짜리로 한정되지 않으며, 유한 개의

문턱이면 언제나 가장 큰 것을 잡으면 된다. 세 번째 문턱을 잊고 $\max(N_1, N_2)$로만 잡으면

끼임 부등식 $a_n \le b_n \le c_n$을 쓸 근거가 없어진다.
:::

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**확인 19.** $|a_n - L| < \varepsilon$은 $L - \varepsilon < a_n < L + \varepsilon$과 같다(17주차 문제 11의 보조정리, 엄격 부등호 형태는 18주차 문제 11의 복기에서 확인했다). 이 두 부등식 중 $a_n$ 쪽에서 실제로 쓰는 것은 어느 절반이고, $c_n$ 쪽에서는 어느 절반인가.
:::

:::{admonition} 답
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$a_n$은 아래쪽 벽이므로 왼쪽 절반 $L - \varepsilon < a_n$만 쓴다. $c_n$은 위쪽 벽이므로

오른쪽 절반 $c_n < L + \varepsilon$만 쓴다. 나머지 절반은 있어도 해가 없지만 사슬에는

들어가지 않는다. 이렇게 필요한 절반만 골라 쓰는 것이 부등식 증명의 일반적인 절약이다.
:::

**증명.** $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. $a_n \to L$이므로 자연수 $N_1$이 존재하여 $n > N_1$이면 $|a_n - L| < \varepsilon$이고, 17주차 문제 11의 보조정리에 의해 이는 $L - \varepsilon < a_n < L + \varepsilon$과 같으므로 특히 $L - \varepsilon < a_n$이다. $c_n \to L$이므로 자연수 $N_2$가 존재하여 $n > N_2$이면 $|c_n - L| < \varepsilon$이고, 같은 보조정리에 의해 특히 $c_n < L + \varepsilon$이다. 가정에 의해 $n > N_3$이면 $a_n \le b_n \le c_n$인 자연수 $N_3$이 존재한다. $N = \max(N_1, N_2, N_3)$으로 잡자. $n > N$이라 하자. 그러면 세 조건이 동시에 성립하므로

$$
L - \varepsilon < a_n \le b_n \le c_n < L + \varepsilon
$$

이고, 사슬의 양끝만 남기면 $L - \varepsilon < b_n < L + \varepsilon$, 즉 $|b_n - L| < \varepsilon$이다(17주차 문제 11의 보조정리를 반대 방향으로 쓴 것). 따라서 정의 45.1에 의해 $b_n \to L$이다. $\blacksquare$

**활용 — 진동하는 수열.** $\left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \frac{1}{n}$이므로 모든 $n$에 대해

$$
-\frac{1}{n} \le \frac{(-1)^n}{n} \le \frac{1}{n}
$$

이다. 양끝은 각각 $-\frac{1}{n} \to 0$(45주차 예제 2.1과 정리 46.2, $c = -1$)과 $\frac{1}{n} \to 0$(45주차 예제 2.1)으로 수렴하므로, 정리 46.3에 의해 $\frac{(-1)^n}{n} \to 0$이다. 부호가 계속 뒤집히는데도 수렴한다 — $(-1)^n$(발산, 45주차 예제 2.3)과의 차이는 진폭이 0으로 줄어든다는 것 하나다. $|a_n - L|$을 직접 정리하려 하면 부호 때문에 경우를 나누게 되지만, 위아래로 조이면 부호를 한 번도 다루지 않는다.

### 예제 2.3 — 조화급수의 발산 (오렘, 14세기)

**명제.** $\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i}$은 발산한다. 이번에는 설계부터 스스로 한 뒤 산문을 확인한다.

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**확인 20.** 정의 46.1에 따르면 이 명제는 어떤 수열에 대한 어떤 주장인가. 그 주장을 증명하려면 어떤 서식으로 시작하는 것이 자연스러운가.
:::

:::{admonition} 답
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부분합 수열 $S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}$이 **어떤 실수로도 수렴하지 않는다**는 주장이다.

"어떤 것도 없다"는 부정 명제이므로 귀류법(21주차)으로 시작한다 — $S_n \to L$인 실수 $L$이

존재한다고 가정하고 모순을 만든다. 45주차 예제 2.3에서 $(-1)^n$의 발산을 증명할 때와 같은

서식이며, 가정 쪽에 놓인 정의 45.1의 $\varepsilon$을 우리가 골라 쓸 수 있다는 점도 같다.
:::

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**확인 21.** 부분합을 $2^k$ 지점에서 관찰한다. $S_{2^{k+1}} - S_{2^k} = \frac{1}{2^k + 1} + \cdots + \frac{1}{2^{k+1}}$에서 항의 개수는 $\underline{\quad(1)\quad}$개이고, 각 항은 분모가 최대 $2^{k+1}$이므로 $\underline{\quad(2)\quad}$ 이상이다. 따라서 이 합은 $\underline{\quad(3)\quad}$ 이상이다.
:::

:::{admonition} 답
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(1) $2^{k+1} - 2^k = 2^k$  (2) $\frac{1}{2^{k+1}}$  (3) $2^k \cdot \frac{1}{2^{k+1}} = \frac{1}{2}$.

각 항의 분모가 $2^{k+1}$ 이하이므로 각 항은 $\frac{1}{2^{k+1}}$ 이상이다 — 45주차 문제 10에서

쓴 눌러놓기의 방향을 뒤집은 것으로, 여기서는 아래에서 눌러 둔다. 묶음의 크기가 $k$와 무관하게

$\frac{1}{2}$ 이상이라는 것이 이 증명의 전부다.
:::

**증명.** 부분합 $S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}$을 $2$의 거듭제곱 지점에서 관찰한다. $k \ge 0$인 정수에 대해

$$
S_{2^{k+1}} - S_{2^k} = \frac{1}{2^k + 1} + \frac{1}{2^k + 2} + \cdots + \frac{1}{2^{k+1}} \ \ge\ 2^k \cdot \frac{1}{2^{k+1}} = \frac{1}{2}
$$

이다(항이 $2^k$개이고 각 항의 분모가 $2^{k+1}$ 이하이므로 각 항이 $\frac{1}{2^{k+1}}$ 이상이다). 이제 모든 자연수 $k$에 대해 $S_{2^k} \ge 1 + \frac{k}{2}$임을 귀납법으로 보인다. 기초는 $S_{2^1} = 1 + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2}$이다. 귀납 단계에서 $S_{2^k} \ge 1 + \frac{k}{2}$를 가정하면 위의 부등식에 의해

$$
S_{2^{k+1}} = S_{2^k} + \left(S_{2^{k+1}} - S_{2^k}\right) \ge \left(1 + \frac{k}{2}\right) + \frac{1}{2} = 1 + \frac{k+1}{2}
$$

이므로 성립한다.

모순을 이끌어내기 위해 $S_n \to L$인 실수 $L$이 존재한다고 가정하자. 정의 45.1을 $\varepsilon = 1$에 대해 발동하면 자연수 $N$이 존재하여 $n > N$이면 $|S_n - L| < 1$, 따라서 $S_n < L + 1$이다. 한편 $M = \max(2L,\ N)$으로 두면 $M + 1 > 0$이므로 아르키메데스 성질에 의해 $\frac{1}{k} < \frac{1}{M+1}$인 자연수 $k$가 존재하고, 그러면 $k > M + 1 > M$이므로 $k > 2L$이고 $k > N$이다. $31$주차 문제 16에 의해 $2^k > k > N$이므로 위의 부등식을 $n = 2^k$에 적용할 수 있고, 동시에 귀납 결과를 쓸 수 있다. 그러면

$$
L + 1 > S_{2^k} \ge 1 + \frac{k}{2} > 1 + \frac{2L}{2} = L + 1
$$

이 되어 $L + 1 > L + 1$이라는 모순이 나온다. 따라서 그런 $L$은 존재하지 않고, 부분합 수열은 발산하므로 정의 46.1에 의해 $\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i}$은 발산한다. $\blacksquare$

항 $\frac{1}{i}$은 0으로 수렴하는 얌전한 수열인데 부분합은 어떤 값도 넘어선다. 항의 크기가 아니라 줄어드는 속도가 급수의 운명을 가른다는 §1.8의 관찰이 여기서 부등식으로 확인된다.

### 관찰 — 같은 뼈대

세 예제는 소재가 전혀 다르지만 진행이 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자.

| **걸음** | **예제 2.1** | **예제 2.2** | **예제 2.3** |
|---|---|---|---|
| ① 오차를 어떻게 다루는가 | $\varepsilon$을 받고 $\frac{\varepsilon}{2}$로 배분 | $\varepsilon$을 받아 그대로 두 정의에 | $\underline{\quad(1)\quad}$ |
| ② 여러 문턱의 결합 | $N = \max(N_1, N_2)$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | 문턱 $N$ 하나 + 아르키메데스로 큰 $k$ |
| ③ 사슬을 잇는 도구 | 삼각부등식 | $\underline{\quad(3)\quad}$ | 묶음 부등식과 귀납 결과 |
| ④ 마무리 | 정의 45.1 충족 선언 | 정의 45.1 충족 선언 | 모순 도출 후 발산 선언 |

:::{container} quotebox
**확인 22.** 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 예제 2.3만 ①과 ④의 성격이 다른 이유를 한 문장으로 적어 보자.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

(1) $\varepsilon = 1$을 우리가 고름  (2) $N = \max(N_1, N_2, N_3)$

(3) 끼임 부등식 $a_n \le b_n \le c_n$과 구간 번역(17주차 문제 11).

예제 2.1과 2.2는 정의 45.1을 **증명하는** 쪽이라 $\varepsilon$을 받고 문턱을 만들지만,

예제 2.3은 수렴을 가정으로 놓고 부수는 쪽이라 $\varepsilon$을 골라 쓰고 문턱을 받는다.

45주차 확인 18에서 확인한 방향 뒤집힘이 그대로 재현된다.
:::

방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다.

:::{admonition} 백지 암기 대상
:class: keybox

**여러 수렴을 합치는 세 걸음**

① **배분** — 최종 오차 예산 $\varepsilon$을 항의 개수만큼 나누어, 각 정의를 그 값으로 발동한다.

② **$\max$ 문턱** — 받은 문턱들 중 가장 큰 것을 잡아 조건들을 동시에 성립시킨다.

③ **사슬 마감** — 삼각부등식이나 끼임 부등식으로 오차들을 합쳐, 끝이 $\varepsilon$이 되게 한다.
:::

이 틀은 항이 셋일 때(훈련 2)도, 계수가 붙을 때(정리 46.2)도, 문턱이 셋일 때(예제 2.2)도 그대로 작동한다. 47주차에서 문턱 $N$이 반경 $\delta$로 바뀌면 $\max$가 $\min$으로 바뀌는데, 나머지 두 걸음은 문자 그대로 같다.

## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며

훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 해설(§6)에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다.

### 훈련 1 ●○○ — 수식 빈칸

**명제.** $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i} = 1$.

**증명.** 부분합은 $S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2^i} = 1 - \frac{1}{2^n}$이다 (31주차 문제 11 $\sum_{i=0}^{n} 2^i = 2^{n+1} - 1$에 $n$ 대신 $n-1$을 넣은 $\sum_{i=0}^{n-1} 2^i = 2^n - 1$의 양변을 $2^n$으로 나눈 것 — 첨자를 뒤집는 단계까지의 자세한 계산은 문제 4의 풀이에 있다). 따라서

$$
|S_n - 1| = \underline{\quad(1)\quad}
$$

이다. $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. 31주차 문제 16에 의해 $n < 2^n$이므로 $\frac{1}{2^n} < \underline{\quad(2)\quad}$이다. 아르키메데스 성질에 의해 $\frac{1}{N} < \underline{\quad(3)\quad}$인 자연수 $N$이 존재한다. 이 $N$을 잡자. $n > N$이라 하자. 그러면

$$
|S_n - 1| = \frac{1}{2^n} < \frac{1}{n} < \frac{1}{N} < \underline{\quad(4)\quad}
$$

이다. 따라서 정의 45.1에 의해 $S_n \to \underline{\quad(5)\quad}$이고, 정의 46.1에 의해 급수의 합은 1이다. $\blacksquare$

### 훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께

이번에는 구조 낱말과 근거 문장도 빈칸이다. 항이 셋으로 늘면 배분도 셋으로 나뉜다.

**명제.** $a_n \to A$, $b_n \to B$, $c_n \to C$이면 $a_n + b_n + c_n \to A + B + C$.

**증명.** $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. $\frac{\varepsilon}{3} > 0$이므로 ($\underline{\quad(1)\quad}$ — 근거 ②), 세 수렴 정의를 각각 $\frac{\varepsilon}{3}$에 대해 발동하면 자연수 $N_1, N_2, N_3$이 존재하여 $n > N_1$이면 $|a_n - A| < \frac{\varepsilon}{3}$, $n > N_2$이면 $\underline{\quad(2)\quad}$, $n > N_3$이면 $|c_n - C| < \frac{\varepsilon}{3}$이다. $N = \underline{\quad(3)\quad}$으로 잡자. $n > N$이면 세 조건이 동시에 성립한다 ($\underline{\quad(4)\quad}$ — 가장 큰 것을 넘으면 나머지도 넘는다). $n > N$이라 하자. 그러면

$$
|(a_n + b_n + c_n) - (A + B + C)| \le |a_n - A| + |b_n - B| + |c_n - C| < \underline{\quad(5)\quad}
$$

이다. 첫 부등호는 $\underline{\quad(6)\quad}$을 두 번 적용해 얻는다. 따라서 정의 45.1에 의해 $a_n + b_n + c_n \to A + B + C$이다. $\blacksquare$

### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고

이번에는 부분합의 닫힌 꼴을 세우는 것부터 시작한다. ($r = \frac{1}{3}$인 등비급수이고, 31주차 문제 18의 합 공식을 쓴다.)

**명제.** $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{3^i} = \frac{1}{2}$.

**증명의 뼈대.** 각 칸을 통째로 채운다.

- 부분합의 닫힌 꼴: $S_n = \underline{\quad(1)\quad}$
- ① 오차 받기: $\underline{\quad(2)\quad}$
- ② 문턱 선언: $\underline{\quad(3)\quad}$
- ③ 항 잡기: $\underline{\quad(4)\quad}$
- ④ 사슬 계산과 마무리: $\underline{\quad(5)\quad}$

(이 훈련이 문제 17의 예행연습이다 — 문제 17은 같은 계산을 임의의 $r$에 대해 한다.)

## 연습문제 (20문항)

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 '접근'까지만 읽고 다시 시도한다 $\to$ 그래도 안 되면 풀이를 읽는다.

:::{admonition} 이번 주의 채점 기준
:class: quotebox

답이 아니라 **근거**가 점수다. "$\frac{2n^2+n}{n^2}$의 극한은 2다(맞음)"는 0점이고,

"$2 + \frac{1}{n}$으로 분해해 상수열의 수렴(45주차 문제 3)과 $\frac{1}{n} \to 0$(45주차

예제 2.1)을 부품으로 놓고 정리 46.1을 인용하면 $2 + 0 = 2$"가 만점이다. 특히 네 곳을 본다 —

① 정의를 $\frac{\varepsilon}{2}$(또는 $\frac{\varepsilon}{\lvert c \rvert}$)로 발동할 때

그 값이 양수임을 밝혔는가 ② 문턱을 $\max$로 합쳤는가 ③ 부등식 사슬의 끝이 $\varepsilon$인가

④ 급수 문제에서 부분합 수열을 명시했는가. 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.
:::

### 기본 ●○○

**1.** [백지] 합 법칙과 $\varepsilon$/2 트릭의 구조(예산 배분 $\to$ max 문턱 $\to$ 삼각부등식), 급수 수렴의 정의를 쓰시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

구조는 §2 관찰의 "세 걸음" 상자, 급수의 정의는 정의 46.1이다. 세 걸음 각각에 대해

"무엇을 하는가"와 "그 줄이 없으면 어느 문장이 근거를 잃는가"를 함께 적으면 완결된다.
:::

**2.** 극한 법칙을 인용해 다음 극한을 구하시오 ($\varepsilon$-N 불필요 — 어느 법칙을 어디에 썼는지만 명시). (a) $\lim \left(\frac1n + \frac{n}{n+1}\right)$  (b) $\lim \frac{3n+2}{n}$ ($= 3 + \frac2n$으로 분해)  (c) $\lim \frac{2n^2 + n}{n^2}$

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

각 식을 이미 극한을 아는 조각들의 합으로 분해하는 것이 전부다. 쓸 수 있는 부품은 세

가지뿐이다 — 상수열(45주차 문제 3), $\frac{1}{n} \to 0$(45주차 예제 2.1),

$\frac{n}{n+1} \to 1$(45주차 문제 9). 계수는 정리 46.2로 떼어 낸다.
:::

**3.** $S_n = 1 - \frac{1}{2^n}$의 처음 네 값을 계산하고, $\sum \frac{1}{2^i}$의 "합이 1"이라는 말이 어떤 극한 명제인지 쓰시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

계산은 §1.6의 표에서 한 번 했다. 뒷부분은 정의 46.1을 그대로 옮겨 적으면 되고,

"무한개를 더한다"는 표현이 답에 남아 있으면 아직 번역이 끝나지 않은 것이다.
:::

**4.** 빈칸 훈련($\sum \frac{1}{2^i} = 1$)을 백지에서 완성하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

네 걸음의 순서를 먼저 적고 그 안을 채운다 — 부분합의 닫힌 꼴 $\to$ $\varepsilon$ 받기 $\to$

아르키메데스로 문턱 $\to$ 사슬. 사슬에서 $\frac{1}{2^n}$을 $\frac{1}{n}$으로 바꿔 놓는 근거가

31주차 문제 16이다.
:::

**5.** 예제 2.1(합 법칙)을 백지에 재현하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

여섯 줄이다. 둘째 줄 앞머리의 "$\frac{\varepsilon}{2} > 0$이므로"와 셋째 줄의 $\max$,

다섯째 줄의 삼각부등식 — 이 세 곳이 빠지기 쉬우니 먼저 적어 두고 나머지를 채운다.
:::

**6.** 샌드위치로 $\lim \frac{(-1)^n}{n} = 0$을 증명하시오 (예제 2.2 활용부 재현).

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

위아래 벽을 먼저 적는다: $-\frac{1}{n} \le \frac{(-1)^n}{n} \le \frac{1}{n}$.

그다음 양끝이 각각 0으로 수렴하는 근거를 인용해야 하는데, 왼쪽 벽의 근거에는 정리 46.2가

한 번 필요하다.
:::

### 표준 ●●○

**7.** 상수배 법칙: $a_n \to A$이면 $c\,a_n \to cA$임을 증명하시오. ($c = 0$인 경우와 $c \neq 0$인 경우 — $c \neq 0$에서 정의를 $\frac{\varepsilon}{|c|}$로 발동, $|c\,a_n - cA| = |c||a_n - A|$)

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

경우를 나누는 이유가 답안에 드러나야 한다 — $\frac{\varepsilon}{|c|}$이 $c = 0$에서

정의되지 않기 때문이다(확인 5). $c = 0$ 쪽은 상수열 하나로 끝나고, $c \neq 0$ 쪽은

$\frac{\varepsilon}{|c|} > 0$임을 밝히는 한 줄에서 시작한다.
:::

**8.** 합 법칙과 상수배를 조립해 차 법칙($a_n - b_n \to A - B$)을 두 줄로 유도하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

새 $\varepsilon$-N 증명을 쓰지 않는다. $a_n - b_n$을 뺄셈이 아니라 **덧셈**으로 다시 읽으면

두 정리를 그대로 인용할 수 있다. 어떤 상수 $c$를 쓰면 되는가.
:::

**9.** $\lim \frac{n^2 + 3n + 1}{n^2} = 1$을 법칙 조립으로 구하고, 각 부품의 출처를 밝히시오.

**10.** 샌드위치 정리(예제 2.2)를 백지에 재현하시오.

**11.** $b_n$이 모든 $n$에 대해 $0 \le b_n \le \frac{5}{n}$을 만족하면 $b_n \to 0$임을 샌드위치로 보이시오. (원형인 $\frac{\cos n}{n}$은 삼각함수를 쓰므로 부등식만 남긴 형태다.)

**12.** 망원(telescoping) 급수: $\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i(i+1)} = 1$임을 증명하시오. (부분합 $= \frac{n}{n+1}$ — 31주차 문제 10, 그리고 45주차 문제 9)

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

급수 문제의 첫 줄은 언제나 부분합 수열을 적는 것이다. 닫힌 꼴은 31주차 문제 10이

귀납법으로 이미 증명해 두었으므로 근거 ④로 인용하면 되고, 그 뒤로는 45주차 문제 9와

완전히 같은 수열의 극한 문제가 남는다.
:::

**13.** 예제 2.3(조화급수 발산)의 핵심 부등식 $S_{2^{k+1}} - S_{2^k} \ge \frac12$을 백지에서 재현하고, $S_{2^k} \ge 1 + \frac k2$의 귀납 단계를 완성하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

두 수만 세면 된다 — 묶음 안의 항의 **개수**와 각 항의 **최소 크기**. 개수는

$2^{k+1} - 2^k$을 계산해 얻고, 최소 크기는 분모가 가장 클 때 나온다. 귀납 단계는

$S_{2^{k+1}}$을 $S_{2^k}$와 묶음의 합으로 쪼개는 한 줄에서 시작한다.
:::

**14.** $0.999\cdots = 1$을 급수의 언어로 판결하시오: $0.999\cdots$의 정의는 $\sum_{i=1}^{\infty} \frac{9}{10^i}$ — 부분합 $S_n = 1 - \frac{1}{10^n}$을 확인하고 극한을 증명하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

부분합 확인은 31주차 문제 18의 등비합 공식에 $r = \frac{1}{10}$을 넣는 계산이다.

극한은 훈련 1과 문자만 다르다 — $2^n$ 자리에 $10^n$이 들어가고, $10^n > n$의 근거는

$10^n \ge 2^n > n$으로 잇는다.
:::

### 도전 ●●●

:::{admonition} 유한 개의 최댓값 — 문제 15에서 처음 쓴다
:class: quotebox

유한개의 실수 $x_1, \dots, x_N$에는 반드시 최댓값 $\max(x_1, \dots, x_N)$이 존재한다.

$\max(N_1, N_2)$를 쓸 때 이미 두 개짜리로 썼고, 여기서는 개수가 $N$개로 늘 뿐이다.

무한 개에는 이 사실이 성립하지 않는다 — 자연수 전체에는 최댓값이 없다. 그래서 문제 15는

수열을 "앞의 유한 개"와 "문턱 뒤의 무한 개"로 잘라 각각 다른 도구로 처리한다.
:::

**15.** (수렴 $\Rightarrow$ 유계) $a_n \to L$이면 $(a_n)$은 유계임을 — 즉 모든 $n$에 대해 $|a_n| \le M$인 $M$이 존재함을 — 증명하시오. (힌트: $\varepsilon = 1$ 발동 $\to$ $n > N$에서 $|a_n| < |L| + 1$ (삼각); 앞부분 $a_1, \dots, a_N$은 **유한 개**이므로 최댓값 존재 — $M = \max(|a_1|, \dots, |a_N|, |L| + 1)$)

:::{admonition} 베르누이 부등식 — 문제 16에서 다시 쓴다
:class: quotebox

$x \ge -1$인 실수 $x$와 모든 자연수 $n$에 대해 $(1 + x)^n \ge 1 + nx$이다(32주차 문제 11에서

귀납법으로 증명했다). 문제 16은 이 부등식을 $\frac{1}{r^n}$에 적용해 $r^n$을 위에서 누른다 —

32주차의 부등식이 이번 주의 극한을 완성하는 자리다.
:::

**16.** 등비급수: $0 < r < 1$이면 $r^n \to 0$임을 증명하시오. (힌트: $h = \frac1r - 1 > 0$으로 놓으면 $\frac{1}{r^n} = (1+h)^n \ge 1 + nh$ (베르누이, 32주차 문제 11) — 따라서 $0 < r^n \le \frac{1}{1 + nh}$, 샌드위치)

**17.** 문제 16을 이용해 $|r| < 1$일 때 $\sum_{i=0}^{\infty} r^i = \frac{1}{1 - r}$임을 증명하시오. (부분합 = $\frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}$ — 31주차 문제 18)

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

문제 16이 다루는 것은 $0 < r < 1$인 경우뿐이다. $r = 0$과 $-1 < r < 0$을 어떻게 처리할지

먼저 정한다 — 음수 쪽은 $|r^{n+1}| = |r|^{n+1}$을 위아래 벽으로 삼으면 샌드위치가 작동한다.

지수가 $n$이 아니라 $n+1$인 것도 정리 46.2로 넘길 수 있다.
:::

**18.** (진단) 다음 답안의 결함을 지적하시오.

:::{container} quotebox
"합 법칙 증명: $\varepsilon > 0$이 주어졌다. $a_n \to A$이므로 $|a_n - A| < \varepsilon$ ($n > N_1$), $b_n \to B$이므로 $|b_n - B| < \varepsilon$ ($n > N_2$). 그러면 $|(a_n + b_n) - (A+B)| < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon$. $2\varepsilon$이 나왔으니 실패인가, 아니면 괜찮은가?"

(사실 이 논증은 **구제 가능**하다 — "임의의 $\varepsilon$에 대해 $< 2\varepsilon$"이 왜 수렴 정의와 동치인지 논하고, 그럼에도 표준 서식($\varepsilon$/2)이 선호되는 이유를 쓰시오.)
:::

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

판정할 것이 둘이다. 하나는 논리 — "모든 $\varepsilon$에 대해 $< 2\varepsilon$"이라는 문장

전체에서 $\varepsilon$ 자리에 다른 양수를 넣어 보면 무엇이 나오는가. 다른 하나는 서식 —

이 답안에는 §0 유형 2의 간격도 그대로 남아 있다. 두 지적이 성격이 다르다는 점을 밝힌다.
:::

**19.** "$\sum a_i$가 수렴하면 $a_i \to 0$"임을 증명하시오. (힌트: $a_n = S_n - S_{n-1}$ — 두 부분합 수열이 같은 극한 $L$로 수렴, 차 법칙(문제 8)) 그리고 역이 거짓임을 조화급수로 확인하시오 — 필요조건이지 충분조건이 아니다(8주차의 언어).

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

새 $\varepsilon$-N 증명이 필요 없다. $a_n$을 부분합의 차로 다시 쓰면 문제 8이 곧바로 적용된다.

다만 한 줄을 확인해야 한다 — 한 칸 밀린 수열 $(S_{n-1})$도 같은 $L$로 수렴하는가. 그

근거는 문턱을 하나 올리는 것으로 얻어진다.
:::

**20.** (서술) (a) $\varepsilon$/2 트릭을 "오차 예산"의 은유로 설명하고, 세 항이면 예산을 어떻게 나눌지 쓰시오. (b) 조화급수와 $\sum \frac{1}{i^2}$의 운명이 갈린 이유를 "감소 속도"의 관점에서 두 문장 이내로.

## 백지 재현 — 복습 프로토콜

권장 일정 — 1~3일차: §0~§4 학습과 연습문제 / 4일차: 1차 재현 / 5일차: 완전 백지 재현. 재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다.

**1차 시도 (4일차) — 틀 카드 허용.** §2 관찰의 "세 걸음" 상자와 근거 목록(§1.9)만 펴 놓고 예제 2.1을 처음부터 끝까지 적는다. 정의 45.1과 본문은 보지 않는다.

**2차 시도 (5일차) — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다.

- [ ] 정리 46.1을 진술하고 예제 2.1의 여섯 줄을 재현했다.
- [ ] 둘째 줄에 "$\frac{\varepsilon}{2} > 0$이므로"를, 셋째 줄에 $\max$를 적었다.
- [ ] 정리 46.3(샌드위치)을 재현하고, 문턱이 세 개인 이유를 말했다.
- [ ] 정의 46.1(급수와 부분합)을 조각 그대로 썼고, 그 정의로 $\sum \frac{1}{2^i} = 1$을 증명했다.
- [ ] 조화급수의 묶음 부등식 $S_{2^{k+1}} - S_{2^k} \ge \frac{1}{2}$을 항의 개수와 최소 크기부터 세워 재현했다.
- [ ] "항이 0으로 감"이 필요조건일 뿐인 이유를 조화급수와 함께 설명했다(문제 19).
- [ ] 세 급수($\frac{1}{2^i}$, $\frac{1}{i}$, $\frac{1}{i^2}$)의 판정과 그 근거를 각각 한 줄로 적었다.

**막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

| **막힌 지점** | **처방** |
|---|---|
| 왜 $\frac{\varepsilon}{2}$로 발동하는지 모르겠다 | §1.2의 배분 표 — $p + q \le \varepsilon$ 한 줄이 이유의 전부다 |
| $\max$를 어디에 쓰는지 헷갈린다 | §1.3의 조각 삭제 실험 — $\min$으로 잡으면 어느 문장이 무너지는지 확인한다 |
| 사슬이 $2\varepsilon$에서 끝난다 | 예제 2.1의 2단계 — 발동한 값이 $\varepsilon$인지 $\frac{\varepsilon}{2}$인지 되짚는다 |
| 급수 문제의 첫 줄이 안 나온다 | 정의 46.1 — 첫 줄은 언제나 부분합 $S_n$을 적는 것이다 |
| 부분합의 닫힌 꼴이 안 나온다 | 31주차 문제 10$\cdot$11$\cdot$18 — 귀납법으로 이미 증명해 둔 공식을 인용한다 |
| 샌드위치의 벽이 안 보인다 | 예제 2.2 활용부 — 절댓값을 먼저 씌워 크기를 잰 뒤 양쪽에 부호를 붙인다 |
| 발산 증명의 시작이 안 보인다 | 예제 2.3의 확인 20 — 수렴을 가정하고 $\varepsilon$을 골라 모순을 만든다 |
| 어느 정리를 인용할지 모르겠다 | §1.9의 근거 목록 — 이번 주에 늘어난 칸은 ④뿐이다 |

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 필사하고 다음날 재시도한다.

## 해설

각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 1

(1) $\frac{1}{2^n}$  (2) $\frac{1}{n}$  (3) $\varepsilon$  (4) $\varepsilon$  (5) $1$

※ (1)에서 $|S_n - 1| = \left|1 - \frac{1}{2^n} - 1\right| = \left|-\frac{1}{2^n}\right| = \frac{1}{2^n}$이다 — 절댓값 안의 부호를 빼는 데 $|-x| = |x|$(17주차 문제 4)를 쓴다. (2)는 31주차 문제 16의 $n < 2^n$에서 양변의 역수를 취한 것이고, 양수의 역수 비교이므로 부등호가 뒤집힌다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 2

(1) $\varepsilon > 0$이고 $3 > 0$이므로 양수를 양수로 나눈 값은 양수이다 (2) $|b_n - B| < \frac{\varepsilon}{3}$ (3) $\max(N_1, N_2, N_3)$ (4) $\max$ 문턱 (45주차 문제 11) (5) $\frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon$ (6) 삼각부등식 (17주차 문제 12)

※ (6)에서 두 번 적용한다는 것은 $|x + y + z| = |(x + y) + z| \le |x + y| + |z| \le |x| + |y| + |z|$의 두 단계를 말한다. 항이 넷이면 세 번, $m$개면 $m - 1$번이고 배분은 $\frac{\varepsilon}{m}$씩이다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 3

(1) $S_n = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{3^n}\right)$. 31주차 문제 18에서 $r = \frac13$으로 $\sum_{i=0}^{n-1} \left(\frac13\right)^i = \frac{(1/3)^n - 1}{1/3 - 1} = \frac{3}{2}\left(1 - \frac{1}{3^n}\right)$을 얻고, 여기에 $\frac13$을 곱하면 첨자가 1부터 $n$까지인 합 $\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{3^n}\right)$이 된다. (2) $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. (3) 아르키메데스 성질에 의해 $\frac{1}{N} < \varepsilon$인 자연수 $N$이 존재한다. 이 $N$을 잡자. (4) $n > N$이라 하자. (5) $\left|S_n - \frac12\right| = \frac{1}{2 \cdot 3^n} < \frac{1}{3^n} \le \frac{1}{2^n} < \frac{1}{n} < \frac{1}{N} < \varepsilon$이다. 따라서 정의 45.1에 의해 $S_n \to \frac12$이고, 정의 46.1에 의해 급수의 합은 $\frac12$이다. $\blacksquare$

※ $3^n \ge 2^n$은 (W3)과 $n$에 대한 귀납법(31주차)으로 모든 자연수 $n$에서 얻는다 — 기초는 $3^1 \ge 2^1$이고, 귀납 단계는 $3^k \ge 2^k$의 양변에 양수 $3$을 곱해 $3^{k+1} \ge 3 \cdot 2^k \ge 2 \cdot 2^k = 2^{k+1}$을 얻는다(두 부등호 모두 (W3)이다). $2^n > n$은 31주차 문제 16이다. 훈련 1과 문자만 다르고 뼈대는 같다.

### 문제 1

**접근.** 세 걸음의 이름만 나열하면 절반이다. 각 걸음이 무엇을 해결하는지 — 그 줄이 없으면 어느 문장이 근거를 잃는지 — 를 함께 적어야 구조를 재현한 것이 된다. 급수의 정의는 부분합이라는 낱말이 반드시 들어가야 한다.

**풀이.** **정리 46.1(합 법칙).** $a_n \to A$이고 $b_n \to B$이면 $a_n + b_n \to A + B$이다. **구조 세 걸음.** ① **예산 배분** — 최종 오차 한도 $\varepsilon$을 두 항에 $\frac{\varepsilon}{2}$씩 나누고, 각 수렴 정의를 그 값에 대해 발동한다. 정의 45.1의 첫 조각이 $\forall \varepsilon > 0$이므로 $\frac{\varepsilon}{2} > 0$인 한 발동이 허용되며, 이 배분이 없으면 사슬의 끝이 $2\varepsilon$이 되어 정의의 문자와 어긋난다. ② **$\max$ 문턱** — 두 정의에서 받은 $N_1$, $N_2$에 대해 $N = \max(N_1, N_2)$로 잡는다. 이 줄이 없으면 두 부등식이 서로 다른 구간에서만 성립하므로 같은 $n$에서 함께 쓸 근거가 없다. ③ **삼각부등식** — $|(a_n - A) + (b_n - B)| \le |a_n - A| + |b_n - B|$로 두 오차를 하나로 합치고, 배분한 예산을 더해 $\varepsilon$으로 마감한다. **정의 46.1(급수의 수렴).** 수열 $(a_i)$의 부분합을 $S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i$로 두었을 때, 부분합 수열 $(S_n)$이 $L$로 수렴하면 급수 $\sum_{i=1}^{\infty} a_i$가 $L$로 수렴한다고 하고 $\sum_{i=1}^{\infty} a_i = L$로 쓴다. 부분합 수열이 발산하면 급수도 발산한다.

**복기.** 세 걸음은 서로 독립이 아니다 — ①이 정하는 값이 ③의 마지막 등호에서 회수된다. 그래서 배분을 바꾸면(예: $\frac{\varepsilon}{3}$과 $\frac{2\varepsilon}{3}$) 사슬의 마지막 줄도 함께 바뀐다.

### 문제 2

**접근.** $\varepsilon$-N 증명을 다시 쓰지 않는다. 각 식을 극한을 이미 아는 조각들의 합으로 분해한 뒤, 정리 46.1과 46.2를 인용해 조립하는 것이 전부다. 인용한 정리의 이름과 부품의 출처를 적는 것이 채점 대상이다.

**풀이.** **(a)** $\frac{1}{n} \to 0$이다(45주차 예제 2.1). $\frac{n}{n+1} \to 1$이다(45주차 문제 9). 두 수열이 각각 수렴하므로 정리 46.1(합 법칙)에 의해 $\frac{1}{n} + \frac{n}{n+1} \to 0 + 1 = 1$이다. 따라서 극한은 $1$이다. **(b)** $\frac{3n+2}{n} = \frac{3n}{n} + \frac{2}{n} = 3 + \frac{2}{n}$으로 분해한다(근거 ③). 상수열 $3$은 $3$으로 수렴한다(45주차 문제 3). $\frac{2}{n} = 2 \cdot \frac{1}{n}$이고 $\frac{1}{n} \to 0$이므로 정리 46.2(상수배, $c = 2$)에 의해 $\frac{2}{n} \to 2 \cdot 0 = 0$이다. 정리 46.1에 의해 $3 + \frac{2}{n} \to 3 + 0 = 3$이다. **(c)** $\frac{2n^2 + n}{n^2} = \frac{2n^2}{n^2} + \frac{n}{n^2} = 2 + \frac{1}{n}$이다. 상수열 $2 \to 2$(45주차 문제 3)와 $\frac{1}{n} \to 0$(45주차 예제 2.1)에 정리 46.1을 쓰면 극한은 $2 + 0 = 2$이다.

**복기.** 세 문항 모두 같은 절차다 — 분수를 항별로 쪼갠다 $\to$ 각 조각의 극한을 인용한다 $\to$ 정리로 합친다. 고등학교에서 규칙으로 쓰던 계산이 이제 정리 인용이 되었고, 인용할 정리가 있다는 것이 45주차와 달라진 점이다. (검산: (b)에서 $n = 100$이면 $\frac{302}{100} = 3.02$로 $3$에 가깝다 ✓)

### 문제 3

**접근.** 앞부분은 대입 계산이고, 뒷부분이 이 문제의 본체다. "합이 1"이라는 일상어를 정의 46.1이 정한 문장으로 옮겨 적는 것이며, 답에 "무한개를 더한다"는 표현이 남아 있으면 번역이 끝나지 않은 것이다.

**풀이.** $S_1 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$, $S_2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$, $S_3 = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$, $S_4 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$이다. "$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i} = 1$"은 다음 극한 명제다 — 부분합 수열 $(S_n) = \left(1 - \frac{1}{2^n}\right)$이 $1$로 수렴한다, 즉 $\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n\,(n > N \Rightarrow |S_n - 1| < \varepsilon)$이다. 이 문장에는 무한 번의 덧셈이 한 번도 등장하지 않는다. 등장하는 것은 유한합 $S_n$과, 그 유한합들이 이루는 수열의 극한뿐이다.

**복기.** 급수의 등호는 근사가 아니라 극한값의 지정이다. 이 번역이 되면 문제 14의 $0.999\cdots = 1$ 논쟁도 계산 문제로 축소된다.

### 문제 4

**접근.** 훈련 1의 빈칸을 채우는 것과 백지에서 완성하는 것은 다른 일이다. 백지에서는 순서를 먼저 세운다 — 부분합의 닫힌 꼴 $\to$ $\varepsilon$ 받기 $\to$ 문턱 선언 $\to$ 항 잡기 $\to$ 사슬. 닫힌 꼴은 새로 유도하지 말고 31주차 문제 11을 인용한다.

**풀이.** 부분합은 $S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2^i}$이다. 31주차 문제 11은 모든 정수 $n \ge 0$에 대해 $\sum_{i=0}^{n} 2^i = 2^{n+1} - 1$이라고 진술하므로, $n \ge 1$인 $n$에 대해 $n$ 대신 $n - 1$을 넣으면($n - 1 \ge 0$이므로 대입이 허용된다) $\sum_{i=0}^{n-1} 2^i = 2^n - 1$이다. 양변을 $2^n$으로 나누면 좌변은 $\sum_{i=0}^{n-1} \frac{2^i}{2^n} = \sum_{i=0}^{n-1} 2^{i-n} = \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{2^j} = S_n$이므로 ($j = n - i$로 첨자를 뒤집었다 — $i$가 $0$부터 $n-1$까지면 $j$는 $n$부터 $1$까지다), $S_n = \frac{2^n - 1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2^n}$이다. $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. 아르키메데스 성질에 의해 $\frac{1}{N} < \varepsilon$인 자연수 $N$이 존재한다. 이 $N$을 잡자. $n > N$이라 하자. 31주차 문제 16에 의해 $n < 2^n$이고 두 값이 모두 양수이므로 $\frac{1}{2^n} < \frac{1}{n}$이다. 또 $0 < N < n$이므로 $\frac{1}{n} < \frac{1}{N}$이다. 따라서

$$
|S_n - 1| = \left|-\frac{1}{2^n}\right| = \frac{1}{2^n} < \frac{1}{n} < \frac{1}{N} < \varepsilon
$$

이다. 그러므로 정의 45.1에 의해 $S_n \to 1$이고, 정의 46.1에 의해 $\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i} = 1$이다. $\blacksquare$

**복기.** 급수 증명의 두 층이 여기서 분명해진다 — 아래층은 귀납법(31주차)으로 얻은 닫힌 꼴, 위층은 $\varepsilon$-N(45주차)으로 얻은 극한이다. 두 파트의 결과가 하나의 명제에서 만난다. (검산: $\varepsilon = 0.01$이면 $N = 101$을 잡을 수 있고, $n = 200$에서 $\frac{1}{2^{200}}$은 $0.01$보다 훨씬 작다 ✓)

### 문제 5

**접근.** 여섯 줄의 순서를 먼저 적고 그 안을 채운다. 빠지기 쉬운 세 곳을 미리 표시해 둔다 — 둘째 줄 앞머리의 발동 자격, 셋째 줄의 $\max$, 다섯째 줄의 삼각부등식.

**풀이.** $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. $\varepsilon > 0$이고 $2 > 0$이므로 $\frac{\varepsilon}{2} > 0$이다(근거 ②). $a_n \to A$이므로 정의 45.1을 $\frac{\varepsilon}{2}$에 대해 발동하면 자연수 $N_1$이 존재하여 $n > N_1$이면 $|a_n - A| < \frac{\varepsilon}{2}$이다. 같은 방식으로 $b_n \to B$에서 자연수 $N_2$가 존재하여 $n > N_2$이면 $|b_n - B| < \frac{\varepsilon}{2}$이다. $N = \max(N_1, N_2)$로 잡자. $n > N$이라 하자. 그러면 $n > N_1$이고 $n > N_2$이므로 두 부등식이 동시에 성립한다. 삼각부등식(17주차 문제 12)에 의해

$$
|(a_n + b_n) - (A + B)| = |(a_n - A) + (b_n - B)| \le |a_n - A| + |b_n - B| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon
$$

이다. 따라서 정의 45.1에 의해 $a_n + b_n \to A + B$이다. $\blacksquare$

**복기.** 이 증명은 $a_n$과 $b_n$의 구체적인 식을 한 번도 쓰지 않는다. 쓴 것은 "수렴한다"는 자격뿐이고, 그래서 한 번의 증명이 모든 수렴 수열 쌍을 처리한다. 확인 17의 구체값 대입이 그 일반성을 눈으로 확인한 자리다.

### 문제 6

**접근.** 샌드위치를 쓰려면 벽 두 개와 그 벽의 극한이 필요하다. 벽은 절댓값에서 나온다 — $\left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \frac{1}{n}$이므로 값은 $-\frac{1}{n}$과 $\frac{1}{n}$ 사이에 있다. 왼쪽 벽의 수렴을 말하는 데 정리 46.2가 한 번 필요하다.

**풀이.** 모든 자연수 $n$에 대해 $(-1)^n$은 $1$ 또는 $-1$이므로 $|(-1)^n| = 1$이다. 몫을 곱으로 다시 읽으면 근거 목록 안의 $|xy| = |x||y|$(17주차 문제 10)로 처리된다.

$$
\left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \left|(-1)^n \cdot \frac{1}{n}\right| = |(-1)^n| \cdot \left|\frac{1}{n}\right| = 1 \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n}
$$

여기서 $\frac{1}{n} > 0$이므로 $\left|\frac{1}{n}\right| = \frac{1}{n}$이다(절댓값의 케이스 정의). 따라서 17주차 문제 11의 보조정리에 의해

$$
-\frac{1}{n} \le \frac{(-1)^n}{n} \le \frac{1}{n}
$$

이다. 오른쪽 벽은 $\frac{1}{n} \to 0$이다(45주차 예제 2.1). 왼쪽 벽은 $-\frac{1}{n} = (-1) \cdot \frac{1}{n}$이므로 정리 46.2(상수배, $c = -1$)에 의해 $-\frac{1}{n} \to (-1) \cdot 0 = 0$이다. 두 벽이 같은 값 $0$으로 수렴하고 끼임이 모든 $n$에서 성립하므로, 정리 46.3(샌드위치)에 의해 $\frac{(-1)^n}{n} \to 0$이다. $\blacksquare$

**복기.** 부호가 진동하는 수열에서 $|a_n - L|$을 직접 정리하려 하면 $n$의 홀짝으로 경우를 나누게 된다. 절댓값으로 크기를 먼저 재고 양쪽에 부호를 붙여 벽을 만들면 경우 나누기가 사라진다 — 이번 주에 얻은 가장 재사용성이 높은 수법이다.

### 문제 7

**접근.** $|c\,a_n - cA| = |c|\,|a_n - A|$이므로, 최종 오차를 $\varepsilon$ 이내로 하려면 $|a_n - A|$를 $\frac{\varepsilon}{|c|}$ 이내로 누르면 된다. 다만 이 식은 $c = 0$에서 정의되지 않으므로 경우를 나눈다. 나누는 이유를 답안에 적는 것이 채점 대상이다.

**풀이.** **경우 1: $c = 0$.** 이때 모든 $n$에 대해 $c\,a_n = 0$이고 $cA = 0$이므로, $(c\,a_n)$은 값이 $0$인 상수열이다. 상수열은 그 값으로 수렴하므로(45주차 문제 3) $c\,a_n \to 0 = cA$이다. ✓ **경우 2: $c \neq 0$.** $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. $c \neq 0$이므로 $|c| > 0$이고(17주차 문제 3과 절댓값의 케이스 정의), 따라서 $\frac{\varepsilon}{|c|} > 0$이다 (근거 ②). $a_n \to A$이므로 정의 45.1을 이 값에 대해 발동하면 자연수 $N$이 존재하여 $n > N$이면 $|a_n - A| < \frac{\varepsilon}{|c|}$이다. 이 $N$을 잡자. $n > N$이라 하자. $|xy| = |x||y|$(17주차 문제 10)에 의해

$$
|c\,a_n - cA| = |c(a_n - A)| = |c|\,|a_n - A| < |c| \cdot \frac{\varepsilon}{|c|} = \varepsilon
$$

이다(양변에 양수 $|c|$를 곱했으므로 부등호가 유지된다 — (W3)). 따라서 정의 45.1에 의해 $c\,a_n \to cA$이다. $\blacksquare$

**복기.** 배분의 두 번째 형태다. 합에서는 예산을 항의 개수로 나누었고, 상수배에서는 계수의 크기로 나눈다. 어느 쪽이든 "사슬의 끝이 정확히 $\varepsilon$이 되도록 발동값을 역산한다"는 같은 절차다. (검산: $c = 3$, $a_n = \frac{1}{n}$, $\varepsilon = 0.6$이면 발동값은 $0.2$이고 $N = 5$로 충분하다. $n = 10$에서 $\left|\frac{3}{10}\right| = 0.3 < 0.6$ ✓)

### 문제 8

**접근.** 새 $\varepsilon$-N 증명을 쓰지 않는다. 뺄셈을 덧셈으로 다시 읽으면 이미 가진 두 정리가 그대로 적용된다 — 15주차에서 익힌 부품 재사용이다.

**풀이.** $c = -1$에 대해 정리 46.2(상수배)를 쓰면, $b_n \to B$이므로 $(-1)b_n = -b_n \to (-1)B = -B$이다. 이제 $a_n \to A$이고 $-b_n \to -B$이므로 정리 46.1 (합 법칙)에 의해

$$
a_n - b_n = a_n + (-b_n) \to A + (-B) = A - B
$$

이다. $\blacksquare$

**복기.** 두 줄로 끝난 이유는 $a_n - b_n$을 새로운 연산으로 보지 않고 $a_n + (-1)b_n$이라는 기존 연산의 조합으로 읽었기 때문이다. 정리를 하나 더 만들 것인가, 있는 정리를 조합할 것인가는 언제나 먼저 검토할 선택지다. 문제 19가 이 결과를 부품으로 쓴다.

### 문제 9

**접근.** 분수를 항별로 쪼개면 극한을 아는 세 조각이 나온다. 정리 46.1은 수열 두 개를 다루므로 세 조각을 합칠 때는 두 번 적용한다. 각 부품의 출처를 명시하는 것이 문제의 요구다.

**풀이.** 먼저 식을 분해한다(근거 ③).

$$
\frac{n^2 + 3n + 1}{n^2} = \frac{n^2}{n^2} + \frac{3n}{n^2} + \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}
$$

부품은 셋이다. ① 상수열 $1$은 $1$로 수렴한다(45주차 문제 3). ② $\frac{3}{n} = 3 \cdot \frac{1}{n}$이고 $\frac{1}{n} \to 0$(45주차 예제 2.1)이므로 정리 46.2($c = 3$)에 의해 $\frac{3}{n} \to 0$이다. ③ $\frac{1}{n^2} \to 0$이다(45주차 빈칸 사다리 훈련 1, 그리고 45주차 문제 4에서 백지 재현했다). 정리 46.1을 먼저 ①과 ②에 적용하면 $1 + \frac{3}{n} \to 1 + 0 = 1$이고, 그 결과와 ③에 다시 적용하면

$$
\frac{n^2 + 3n + 1}{n^2} = \left(1 + \frac{3}{n}\right) + \frac{1}{n^2} \to 1 + 0 = 1
$$

이다. 따라서 극한은 $1$이다. $\blacksquare$

**복기.** 정리 46.1은 항이 두 개인 법칙이므로, 항이 $m$개면 $m-1$번 적용한다. 훈련 2처럼 $\frac{\varepsilon}{3}$ 배분으로 세 항짜리 법칙을 직접 증명해 두면 한 번에 처리할 수도 있다 — 어느 쪽이든 근거가 명시되면 만점이다. (검산: $n = 1000$이면 값은 $1.003001$로 $1$에 가깝다 ✓)

### 문제 10

**접근.** 문턱이 세 개라는 점과, 각 벽에서 필요한 절반만 쓴다는 점이 이 증명의 전부다. $a_n$ 쪽은 왼쪽 절반, $c_n$ 쪽은 오른쪽 절반이다.

**풀이.** $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. $a_n \to L$이므로 자연수 $N_1$이 존재하여 $n > N_1$이면 $|a_n - L| < \varepsilon$이고, 17주차 문제 11의 보조정리에 의해 이는 $L - \varepsilon < a_n < L + \varepsilon$과 같으므로 특히 $L - \varepsilon < a_n$이다. $c_n \to L$이므로 자연수 $N_2$가 존재하여 $n > N_2$이면 $|c_n - L| < \varepsilon$이고, 특히 $c_n < L + \varepsilon$이다. 가정에 의해 자연수 $N_3$이 존재하여 $n > N_3$이면 $a_n \le b_n \le c_n$이다. $N = \max(N_1, N_2, N_3)$으로 잡자. $n > N$이라 하자. 그러면 세 조건이 동시에 성립하므로

$$
L - \varepsilon < a_n \le b_n \le c_n < L + \varepsilon
$$

이다. 사슬의 양끝을 (W6) 추이성으로 이으면 $L - \varepsilon < b_n < L + \varepsilon$이고, 17주차 문제 11의 보조정리를 반대 방향으로 쓰면 $|b_n - L| < \varepsilon$이다. 따라서 정의 45.1에 의해 $b_n \to L$이다. $\blacksquare$

**복기.** 이 증명에는 삼각부등식이 나오지 않는다. 두 오차를 합치는 문제가 아니라 값을 구간에 가두는 문제이기 때문이고, 그래서 도구가 구간 번역(17주차 문제 11)으로 바뀐다. 어떤 부등식 도구를 쓸지는 "합치는가, 가두는가"로 갈린다.

### 문제 11

**접근.** 벽이 이미 문제에 주어져 있다. 남은 일은 두 벽이 각각 $0$으로 수렴한다는 근거를 대는 것이고, 아래쪽 벽은 상수열, 위쪽 벽은 상수배다.

**풀이.** 가정에 의해 모든 $n$에 대해 $0 \le b_n \le \frac{5}{n}$이다. 아래쪽 벽 $a_n = 0$은 값이 $0$인 상수열이므로 $a_n \to 0$이다(45주차 문제 3). 위쪽 벽은 $c_n = \frac{5}{n} = 5 \cdot \frac{1}{n}$이고 $\frac{1}{n} \to 0$이므로(45주차 예제 2.1) 정리 46.2(상수배, $c = 5$)에 의해 $c_n \to 5 \cdot 0 = 0$이다. 두 벽이 같은 값 $0$으로 수렴하고 $a_n \le b_n \le c_n$이 모든 $n$에서 성립하므로, 정리 46.3(샌드위치)에 의해 $b_n \to 0$이다. $\blacksquare$

**복기.** $b_n$의 식을 한 번도 쓰지 않았다는 점이 이 문제의 핵심이다. 부등식만 알면 극한이 결정되므로, 식이 지저분하거나 아예 알려지지 않은 수열에도 샌드위치가 적용된다. 원래 문제였던 $\frac{\cos n}{n}$도 $\left|\frac{\cos n}{n}\right| \le \frac{1}{n}$이라는 부등식 하나만 있으면 같은 방식으로 처리된다. (검산: $b_n = \frac{3}{n+1}$은 조건을 만족하고 실제로 $0$으로 수렴한다 ✓)

### 문제 12

**접근.** 급수 문제의 첫 줄은 부분합을 적는 것이다. 닫힌 꼴은 31주차 문제 10이 귀납법으로 이미 증명해 두었으므로 인용하고, 그 뒤로는 45주차 문제 9와 같은 수열의 극한만 남는다.

**풀이.** 부분합을 $S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)}$로 두자. 31주차 문제 10에 의해 모든 자연수 $n$에 대해

$$
S_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}
$$

이다. 한편 45주차 문제 9에서 $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1$임을 증명했다. 따라서 부분합 수열 $(S_n)$은 $1$로 수렴하고, 정의 46.1에 의해 $\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i(i+1)} = 1$이다. $\blacksquare$

**복기.** 두 주차의 결과가 각각 한 줄씩 인용되어 명제 하나를 완성한다 — 31주차의 귀납법이 닫힌 꼴을, 45주차의 $\varepsilon$-N이 극한을 담당한다. 급수 문제에서 실제로 어려운 곳은 거의 언제나 닫힌 꼴을 찾는 앞쪽이고, 뒤쪽은 이미 아는 수열의 극한으로 환원된다. (검산: $n = 3$이면 $\frac12 + \frac16 + \frac1{12} = \frac{6+2+1}{12} = \frac{9}{12} = \frac34 = \frac{3}{3+1}$ ✓)

### 문제 13

**접근.** 세어야 할 것이 두 개다 — 묶음 안의 항의 개수와 각 항의 최솟값. 개수는 첨자의 차로 나오고, 최솟값은 분모가 가장 클 때 나온다. 귀납 단계는 $S_{2^{k+1}}$을 $S_{2^k}$와 묶음의 합으로 쪼개는 한 줄에서 시작한다.

**풀이.** **핵심 부등식.** 묶음 $\frac{1}{2^k + 1} + \frac{1}{2^k + 2} + \cdots + \frac{1}{2^{k+1}}$의 항은 첨자가 $2^k + 1$부터 $2^{k+1}$까지이므로 $2^{k+1} - 2^k = 2^k(2 - 1) = 2^k$개다. 각 항의 분모는 $2^{k+1}$ 이하이므로 각 항은 $\frac{1}{2^{k+1}}$ 이상이다(양수의 역수 비교). 따라서

$$
S_{2^{k+1}} - S_{2^k} \ \ge\ 2^k \cdot \frac{1}{2^{k+1}} = \frac{2^k}{2 \cdot 2^k} = \frac{1}{2}
$$

이다. ✓ **귀납.** 명제 $P(k)$: $S_{2^k} \ge 1 + \frac{k}{2}$. **[기초]** $k = 1$일 때 $S_{2^1} = S_2 = 1 + \frac{1}{2}$이므로 $S_2 \ge 1 + \frac{1}{2}$이다. ✓ **[귀납 단계]** $P(k)$가 참이라고 가정하자. 즉 $S_{2^k} \ge 1 + \frac{k}{2}$이다. 그러면 핵심 부등식에 의해

$$
S_{2^{k+1}} = S_{2^k} + \left(S_{2^{k+1}} - S_{2^k}\right) \ \ge\ \left(1 + \frac{k}{2}\right) + \frac{1}{2} = 1 + \frac{k+1}{2}
$$

이므로 $P(k+1)$이 참이다. ✓ 따라서 귀납법에 의해 모든 자연수 $k$에 대해 $S_{2^k} \ge 1 + \frac{k}{2}$이다. $\blacksquare$

**복기.** 부등식을 귀납으로 잇는 형태는 32주차의 부등식 귀납과 같은 꼴이다. 다른 점은 귀납 단계에서 더하는 양이 상수 $\frac{1}{2}$로 고정된다는 것이고, 그 고정이 부분합을 무한히 밀어 올린다. (검산: $k = 2$이면 $S_4 = 1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 = \frac{25}{12} \approx 2.083 \ge 1 + 1 = 2$ ✓)

### 문제 14

**접근.** 두 부분으로 나뉜다. 앞은 부분합의 닫힌 꼴 확인이고 31주차 문제 18의 등비합 공식에 $r = \frac{1}{10}$을 넣는 계산이다. 뒤는 극한이고 훈련 1과 문자만 다르다.

**풀이.** **부분합.** 31주차 문제 18에 의해 $r \neq 1$이면 $\sum_{i=0}^{m} r^i = \frac{r^{m+1} - 1}{r - 1}$이다. $r = \frac{1}{10}$, $m = n - 1$을 넣으면

$$
\sum_{i=0}^{n-1} \left(\frac{1}{10}\right)^i = \frac{(1/10)^n - 1}{1/10 - 1} = \frac{1 - (1/10)^n}{9/10} = \frac{10}{9}\left(1 - \frac{1}{10^n}\right)
$$

이고, 양변에 $\frac{9}{10}$을 곱하면 첨자를 1부터 $n$까지로 옮긴 합이 나온다.

$$
S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{9}{10^i} = \frac{9}{10} \sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{1}{10}\right)^i = 1 - \frac{1}{10^n}
$$

**극한.** $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. 아르키메데스 성질에 의해 $\frac{1}{N} < \varepsilon$인 자연수 $N$이 존재한다. 이 $N$을 잡자. $n > N$이라 하자. $10^n \ge 2^n$은 (W3)과 $n$에 대한 귀납법(31주차)으로 얻는다 — 기초는 $10^1 \ge 2^1$이고, 귀납 단계는 $10^k \ge 2^k$의 양변에 양수 $10$을 곱해 $10^{k+1} \ge 10 \cdot 2^k \ge 2 \cdot 2^k = 2^{k+1}$을 얻는다. 31주차 문제 16에 의해 $2^n > n$이다. 따라서 $10^n > n$이고 양수의 역수 비교로 $\frac{1}{10^n} < \frac{1}{n}$이다. 그러면

$$
|S_n - 1| = \frac{1}{10^n} < \frac{1}{n} < \frac{1}{N} < \varepsilon
$$

이다. 그러므로 정의 45.1에 의해 $S_n \to 1$이고, 정의 46.1에 의해 $0.999\cdots = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{9}{10^i} = 1$이다. $\blacksquare$

**복기.** 판결은 이렇다 — $0.999\cdots$는 "1에 가까워지는 무언가"가 아니다. 이 기호는 정의 46.1에 의해 부분합 수열의 **극한**을 가리키고, 그 극한이 정확히 1이다. 등호는 근사의 표시가 아니라 정리다. $0.999\cdots$와 $1$은 같은 실수의 두 가지 표기이며, 49주차 대각선 논법에서 십진 전개의 비유일성을 다룰 때 이 사실이 다시 쓰인다.

### 문제 15

**접근.** 수열을 두 덩어리로 자른다. 문턱 뒤의 무한한 꼬리는 극한이 통제하고($\varepsilon = 1$로 발동하면 $L$ 주변에 갇힌다), 앞의 유한한 머리는 개수가 유한하므로 최댓값이 존재한다. 두 경계 중 큰 것을 $M$으로 잡으면 끝난다.

**풀이.** $a_n \to L$이므로 정의 45.1을 $\varepsilon = 1$에 대해 발동하면(가정 쪽의 $\forall \varepsilon$이므로 값을 골라 쓸 수 있다) 자연수 $N$이 존재하여 $n > N$이면 $|a_n - L| < 1$이다. 이때 삼각부등식(17주차 문제 12)에 의해

$$
|a_n| = |(a_n - L) + L| \le |a_n - L| + |L| < 1 + |L|
$$

이므로, $n > N$인 모든 $n$에 대해 $|a_n| < |L| + 1$이다. 한편 $a_1, a_2, \dots, a_N$은 유한 개이므로 $M_0 = \max(|a_1|, |a_2|, \dots, |a_N|)$이 존재한다(유한개의 실수에는 최댓값이 있다). $M = \max(M_0,\ |L| + 1)$로 잡자. $n$이 임의의 자연수라 하자. $n \le N$이면 $|a_n| \le M_0 \le M$이고, $n > N$이면 $|a_n| < |L| + 1 \le M$이다. 어느 경우에도 $|a_n| \le M$이므로 $(a_n)$은 유계다. $\blacksquare$

**복기.** "유한 부분은 $\max$로, 무한 꼬리는 극한으로"라는 분업이다. 이 분업은 해석학에서 반복해 등장하며, 무한을 다루는 명제를 유한 문제와 통제된 꼬리로 쪼개는 표준 수법이다. 역은 거짓이다 — $(-1)^n$은 $|a_n| \le 1$로 유계지만 발산한다(45주차 예제 2.3). 이 결과는 확인 6에서 $b_n = n$이 수렴하지 않는 근거로 이미 쓰였다.

### 문제 16

**접근.** $r^n$을 직접 다루는 대신 역수 $\frac{1}{r^n}$을 본다. $\frac{1}{r} > 1$이므로 $\frac{1}{r} = 1 + h$ 꼴로 쓸 수 있고, 베르누이 부등식이 $(1+h)^n$을 아래에서 밀어 올린다. 역수를 되돌리면 $r^n$이 위에서 눌리고, 아래 벽은 $0$이므로 샌드위치가 완성된다.

**풀이.** $0 < r < 1$이므로 $\frac{1}{r} > 1$이고, $h = \frac{1}{r} - 1$로 두면 $h > 0$이며 $\frac{1}{r} = 1 + h$이다. $h > 0 \ge -1$이므로 베르누이 부등식(32주차 문제 11)을 적용할 수 있고, 모든 자연수 $n$에 대해

$$
\frac{1}{r^n} = \left(\frac{1}{r}\right)^n = (1 + h)^n \ \ge\ 1 + nh \ >\ nh
$$

이다. 세 값이 모두 양수이므로 역수를 취하면 부등호가 뒤집혀 $0 < r^n < \frac{1}{nh}$이다. 아래 벽 $a_n = 0$은 상수열이므로 $0$으로 수렴한다(45주차 문제 3). 위 벽은 $\frac{1}{nh} = \frac{1}{h} \cdot \frac{1}{n}$이고 $\frac{1}{n} \to 0$(45주차 예제 2.1)이므로 정리 46.2(상수배, $c = \frac{1}{h}$)에 의해 $\frac{1}{nh} \to \frac{1}{h} \cdot 0 = 0$이다. 두 벽이 같은 값 $0$으로 수렴하므로 정리 46.3(샌드위치)에 의해 $r^n \to 0$이다. $\blacksquare$

**복기.** 32주차에서 귀납법으로 얻은 부등식이 46주차의 극한을 완성한다 — 이 과정에서 가장 긴 릴레이 중 하나다. 수법 자체도 재사용성이 높다: 다루기 어려운 양의 역수를 취해 아래에서 키운 뒤 되돌리면 원래 양이 위에서 눌린다. (검산: $r = 0.5$이면 $h = 1$이고 부등식은 $2^n \ge 1 + n$ — $n = 4$에서 $16 \ge 5$ ✓)

### 문제 17

**접근.** 부분합 공식은 31주차 문제 18이 준다. 남은 것은 $r^{n+1} \to 0$인데, 문제 16이 다루는 것은 $0 < r < 1$뿐이므로 $r = 0$과 음수 구간을 따로 처리한다. 그다음은 정리 46.2와 정리 46.1(또는 문제 8)의 조립이다.

**풀이.** $|r| < 1$이므로 $r \neq 1$이고, 31주차 문제 18에 의해 모든 정수 $n \ge 0$에 대해

$$
S_n = \sum_{i=0}^{n} r^i = \frac{r^{n+1} - 1}{r - 1} = \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}
$$

이다. 이제 $r^{n+1} \to 0$임을 세 경우로 보인다. **경우 1: $r = 0$.** 모든 $n \ge 0$에 대해 $r^{n+1} = 0$이므로 상수열이고 $0$으로 수렴한다 (45주차 문제 3). **경우 2: $0 < r < 1$.** 문제 16에 의해 $r^n \to 0$이고, $r^{n+1} = r \cdot r^n$이므로 정리 46.2(상수배, $c = r$)에 의해 $r^{n+1} \to r \cdot 0 = 0$이다. **경우 3: $-1 < r < 0$.** 이때 $0 < |r| < 1$이므로 경우 2에 의해 $|r|^{n+1} \to 0$이다. $|r^m| = |r|^m$은 $|xy| = |x||y|$(17주차 문제 10)와 $m$에 대한 귀납법(31주차)으로 모든 자연수 $m$에서 얻으므로($|r^{k+1}| = |r^k \cdot r| = |r^k|\,|r| = |r|^k |r| = |r|^{k+1}$), $|r^{n+1}| = |r|^{n+1}$이다. 따라서 17주차 문제 11의 보조정리에 의해 $-|r|^{n+1} \le r^{n+1} \le |r|^{n+1}$이다. 위 벽은 $0$으로 수렴하고, 아래 벽도 정리 46.2 ($c = -1$)에 의해 $0$으로 수렴하므로, 정리 46.3(샌드위치)에 의해 $r^{n+1} \to 0$이다. 세 경우 모두 $r^{n+1} \to 0$이다. 마지막으로 조립한다. 상수열 $1 \to 1$(45주차 문제 3)과 $r^{n+1} \to 0$에 차 법칙(문제 8)을 쓰면 $1 - r^{n+1} \to 1 - 0 = 1$이고, $1 - r \neq 0$이므로 정리 46.2 ($c = \frac{1}{1-r}$)에 의해

$$
S_n = \frac{1}{1-r}\left(1 - r^{n+1}\right) \to \frac{1}{1-r} \cdot 1 = \frac{1}{1-r}
$$

이다. 따라서 정의 46.1에 의해 $\sum_{i=0}^{\infty} r^i = \frac{1}{1-r}$이다. $\blacksquare$

**복기.** 훈련 1($r = \frac12$, 첨자 시작만 다름)과 문제 14($r = \frac{1}{10}$), 훈련 3 ($r = \frac13$)이 모두 이 정리의 특수형이었다. 개별 사례를 먼저 손으로 처리한 뒤 일반형을 증명하는 순서였고, 일반형이 나온 뒤에는 특수형을 다시 계산할 필요가 없다. (검산: $r = \frac12$이면 $\frac{1}{1 - 1/2} = 2$이고, $\sum_{i=0}^{\infty} 2^{-i} = 1 + \sum_{i=1}^{\infty} 2^{-i} = 1 + 1 = 2$로 훈련 1과 일치한다 ✓)

### 문제 18

**접근.** 지적할 것이 두 가지이고 성격이 다르다. 하나는 논리 판정 — "$\forall \varepsilon$에 대해 $< 2\varepsilon$"이 정의와 동치인지 $\varepsilon$ 자리에 다른 값을 넣어 확인한다. 다른 하나는 서식 결함 — 이 답안은 $\max$ 문턱을 적지 않았다.

**풀이.** **① 결론 부분은 구제 가능하다.** 답안이 실제로 증명한 것은 "모든 $\varepsilon > 0$에 대해, 충분히 큰 $n$에서 $|(a_n + b_n) - (A + B)| < 2\varepsilon$"이라는 문장이다. 이 문장은 $\varepsilon$에 대한 전칭 문장이므로 $\varepsilon$ 자리에 아무 양수나 넣을 수 있다. 임의의 $\varepsilon' > 0$이 주어졌을 때 $\varepsilon = \frac{\varepsilon'}{2} > 0$을 넣으면 $< 2 \cdot \frac{\varepsilon'}{2} = \varepsilon'$을 얻는다. 즉 "모든 $\varepsilon'$에 대해 $< \varepsilon'$"이 따라 나오므로, 두 문장은 **동치**이다. 따라서 사슬의 끝이 $2\varepsilon$이라는 사실 자체는 결함이 아니다 — ②의 누락만 메우면 이 답안은 그대로 수렴 증명이 된다. "$2\varepsilon$이 나왔으니 실패"라는 판정은 오답이다 — $2\varepsilon$도 $\varepsilon$과 함께 임의로 작아지기 때문이다. **② 그럼에도 남는 결함이 하나 있다.** 답안은 $n > N_1$과 $n > N_2$에서 각각 성립하는 두 부등식을 같은 $n$에서 함께 썼는데, 그런 $n$이 존재한다는 말($N = \max(N_1, N_2)$)이 없다. 이것은 동치성으로 구제되지 않는 진짜 누락이며, §0 유형 2의 간격 그대로다. **③ 표준 서식이 선호되는 이유.** 처음부터 $\frac{\varepsilon}{2}$로 발동하면 사슬의 끝이 정의의 문자 그대로 "$< \varepsilon$"으로 떨어져, 읽는 쪽에 치환 논증이라는 한 겹을 요구하지 않는다. 명료성의 문제이지 논리의 문제가 아니다.

**복기.** 답안을 판정할 때는 "논리가 무너졌는가"와 "서식이 빠졌는가"를 분리해서 본다. 이 답안은 앞은 무사하고 뒤가 빠졌다. 무너진 것과 빠진 것을 구분해 지적하는 것이 진단의 기술이다.

### 문제 19

**접근.** 새 $\varepsilon$-N 증명이 필요 없다. $a_n$을 부분합의 차로 다시 쓰면 문제 8이 곧바로 적용된다. 확인할 것은 한 칸 밀린 수열도 같은 극한으로 수렴하는가 하나뿐이고, 그 근거는 문턱을 하나 올리는 것이다.

**풀이.** $\sum_{i=1}^{\infty} a_i$가 수렴한다고 하자. 정의 46.1에 의해 부분합 수열 $S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i$가 어떤 실수 $L$로 수렴한다. **밀린 수열도 $L$로 수렴한다.** $T_n = S_{n-1}$($n \ge 2$)로 두자. $\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자. $S_n \to L$이므로 자연수 $N$이 존재하여 $n > N$이면 $|S_n - L| < \varepsilon$이다. $N' = N + 1$로 잡자. $n > N'$이면 $n - 1 > N$이므로 $|T_n - L| = |S_{n-1} - L| < \varepsilon$이다. 따라서 $T_n \to L$이다. **차 법칙.** $n \ge 2$에 대해 $a_n = S_n - S_{n-1} = S_n - T_n$이다. 문제 8(차 법칙)에 의해

$$
a_n = S_n - T_n \to L - L = 0
$$

이므로 $a_n \to 0$이다. (수열의 처음 유한 개 항은 극한에 영향을 주지 않는다 — 정의 45.1이 보는 것은 문턱 뒤뿐이므로, $n \ge 2$에서만 정의된 식으로 논해도 결론은 같다.) $\blacksquare$ **역은 거짓이다.** 조화급수에서 $a_i = \frac{1}{i}$이고 $\frac{1}{i} \to 0$이지만 (45주차 예제 2.1), $\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i}$은 발산한다(예제 2.3). 따라서 "항이 0으로 감"에서 "급수가 수렴함"으로 가는 화살표는 거짓이고 조화급수가 그 반례다.

**복기.** 8주차의 낱말로 정리하면, $a_i \to 0$은 급수 수렴의 **필요조건**이지 충분조건이 아니다. 실전에서는 대우로 쓴다 — 항이 0으로 가지 않으면 급수는 반드시 발산한다. 예를 들어 $\sum (-1)^i$은 항이 0으로 가지 않으므로 발산이 즉시 판정된다.

### 문제 20

**접근.** (a)는 §1.2의 배분 조건 $p + q \le \varepsilon$을 말로 옮기고, 항이 셋일 때로 확장한다. (b)는 예제 2.3의 묶음과 32주차 문제 10의 천장을 나란히 놓는다. 두 문항 모두 "왜 그렇게 나누는가", "왜 운명이 갈리는가"라는 이유가 답의 본체다.

**풀이.** (예시 답안) **(a)** 최종 오차 한도 $\varepsilon$은 쓸 수 있는 총량이고, 오차가 발생하는 곳이 두 군데(두 수열)이면 각각에 얼마씩 배정할지 미리 정해 두면 된다. 배정한 값의 합이 $\varepsilon$ 이하이면 삼각부등식으로 합친 결과가 $\varepsilon$을 넘지 않는다. $\frac{\varepsilon}{2}$씩 나누는 것은 대칭이고 합이 정확히 $\varepsilon$이라 계산이 가장 짧기 때문에 표준이 되었을 뿐, 배분은 유일하지 않다. 항이 셋이면 각 정의를 $\frac{\varepsilon}{3}$으로 발동하고 문턱을 $\max(N_1, N_2, N_3)$으로 잡으면 합이 $\varepsilon$이 된다(훈련 2). 합이 $\varepsilon$ 이하이기만 하면 $\frac{\varepsilon}{2}, \frac{\varepsilon}{4}, \frac{\varepsilon}{4}$처럼 불균등하게 나누어도 증명은 완성된다. **(b)** $\frac{1}{i}$은 값이 절반으로 줄어드는 데 항의 개수가 두 배 필요할 만큼 느리게 감소해서, 첨자를 $2^k$에서 $2^{k+1}$로 옮길 때마다 묶음이 $\frac{1}{2}$ 이상을 보태고 그 보탬이 무한히 쌓인다. 반면 $\frac{1}{i^2}$은 충분히 빨리 감소해 부분합이 $2 - \frac{1}{n}$ 이하라는 천장 아래 갇히고(32주차 문제 10), 증가하면서 위로 유계이므로 수렴한다 — 항의 크기가 아니라 감소 속도가 급수의 운명을 가른다.

**복기.** 두 문항이 이번 주의 두 축을 요약한다. (a)는 유한한 예산을 나누는 기술이고, (b)는 무한합의 수렴을 부분합의 유계성으로 판정하는 관점이다. 두 축 모두 무한을 직접 다루지 않고 유한한 양의 비교로 바꾼다는 점에서 같다.

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**다음 주 예고.** 수열($n \to \infty$)에서 함수($x \to a$)로 무대를 옮긴다. 문턱 $N$이 반경 $\delta$로 바뀌어 "입력을 $a$에 $\delta$만큼 가까이 하면 출력이 $L$에 $\varepsilon$만큼 가까워진다"는 $\varepsilon$-$\delta$ 정의가 되고, 그 정의로 연속을 정의한다. 이번 주의 세 걸음은 그대로 살아남되 $\max$가 $\min$으로 바뀐다 — 문턱은 둘 다 넘겨야 하지만 반경은 둘 다 안쪽이어야 하기 때문이다(47주차 문제 13이 이번 주 예제 2.1의 번역이다). $x^2$의 극한 증명에서는 반경을 두 번 조이는 min 트릭이 나오고, 절댓값 함수 $|x|$의 연속성도 그때 증명한다.