# S16주차 — 최대/최소법: max·min을 양화사로 번역하기 :::{admonition} 이 주의 길잡이 :class: keybox **핵심 문장**: max와 min은 명사가 아니라 접혀 있는 양화사 덩어리다 — 펴면 "$\max S \le c$"는 $\forall$ 명제, "$\max S \ge c$"는 $\exists$ 명제가 되고, 그 순간 S5~S8주차의 기법이 그대로 돌아간다. **이 주의 위치**: 1학기 20주 과정의 S16주차이자 양화사 4부작(S5~S8주차)의 응용 완결편. 1권 16주차 정의 16.2가 최솟값을 두 조각으로 세워 두었고 1권 16주차 문제 18이 "부등식 + 등호 달성"의 2단 답안을 요구했는데, 그 두 조각이 여기서 $\forall$와 $\exists$라는 양화사 이름을 얻어 선택법$\cdot$구성법에 각각 연결된다. S4주차 문제 18이 "두 과녁"으로 예고한 자리에 서식이 붙고, 다음 주 S17주차의 결정 나무는 이번 주의 판정표를 마지막 가지로 받는다. **원서 대응**: Solow 14장. 주간 루틴 1일차에 원서 14장을 통독한 뒤 이 문서로 온다. ::: ## 이번 주 목표 1. max$\cdot$min의 정의를 **두 조각(소속 + 지배)**으로 분해하고, 각 조각이 어느 양화사인지 지목한다. 1. **부등식 번역표** 네 칸을 백지에 쓰고, 그 네 칸이 왜 그렇게 갈리는지를 정의에서 유도한다. 1. "$\max S = c$"의 2부 서식을 절차 해부로 굳히고, 각 걸음을 빼면 무엇이 무너지는지 사례로 말한다. 1. 상계$\cdot$하계$\cdot$상한(sup)을 구분하고, max와 sup의 경계가 **소속 조각의 유무** 하나임을 밝힌다 — 1권 22주차 문제 10(최솟값 부재)과 S11주차 문제 18(최댓값 부재)에서 "없다"고만 적던 집합에 이름을 붙이는 자리이며, 실수의 완비성으로 가는 문턱이다. 본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다. ## 준비 운동 (S15주차 복습) 노트에 먼저 적은 뒤 아래를 읽는다. 1. $\lor$가 가정 쪽에 있을 때와 결론 쪽에 있을 때 각각 어느 도구가 붙는지 쓰시오. 1. S6주차 선택법의 첫 문장과 S5주차 구성법의 마지막 걸음을 각각 한 줄로 쓰시오 — 이번 주에 둘 다 쓴다. 1. 1권 16주차 문제 18에서 "$x > 0$일 때 $x + \frac9x$의 최솟값이 6이다"를 주장하려면 답안에 무엇이 두 가지 들어가야 했는지 쓰시오. 이어서 다음 과제를 해 보자. **명제 "$S = \{x \in \mathbb{R} : x^2 \le 9\}$의 최댓값은 3이다"를 증명해 보자.** 조건을 하나 붙인다 — **이번 주의 새 이름을 쓰지 말고 S15주차까지의 도구만으로 밀어 보자.** ### 자주 나오는 세 가지 답 이 자리에서 나오는 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 S15주차까지를 제대로 익힌 사람에게서 나오는 답이고, 셋 다 이번 주가 메울 정확한 간격이 있다. - **유형 1 — 집합을 먼저 푼다.** "$x^2 \le 9$는 $-3 \le x \le 3$과 같으므로 $S = [-3, 3]$이고, 따라서 최댓값은 3이다." 집합을 구간으로 푼 계산은 옳고, 그 계산이 없으면 이 문제는 시작되지 않는다. 비어 있는 것은 마지막 한 걸음이다 — 구간 $[-3, 3]$의 오른쪽 끝이 3이라는 것과 "3이 $S$의 최댓값이다"라는 **명제**는 다른 문장이고, 뒤의 문장이 요구하는 것이 무엇인지는 아직 적히지 않았다. 그 요구를 조각으로 적어 내는 것이 정의 16.1이다. - **유형 2 — 상계만 증명한다.** "임의의 $x \in S$를 잡자. $x^2 \le 9$이므로 $x \le 3$이다. 따라서 최댓값은 3이다." 앞의 두 문장은 **옳고 완결되어 있다** — S6주차 선택법의 서식 그대로다. 그러나 증명된 것은 "3은 $S$의 모든 원소보다 크거나 같다"까지이고, 이 사실은 4에 대해서도, 100에 대해서도 똑같이 참이다. 곧 이 답안은 3을 **하나로 지목하지 못한다**. 무엇이 더 필요한지는 §1.1의 둘째 막힘에서 정확히 드러난다. - **유형 3 — 첫 문장이 나오지 않는다.** "최댓값"이 명사여서 후진 과정의 핵심 질문("어떻게 하면 어떤 수가 집합의 최댓값이 되는가")에 댈 답 목록이 손에 없다. S4주차의 진단대로 이것은 정의가 없는 상태이지 능력의 문제가 아니고, 이번 주의 정의 16.1이 그 답 목록을 준다. **이번 주가 새로 주는 것.** 세 유형을 늘어놓으면 이번 주의 몫이 계산이 아니라는 것이 보인다. 계산은 유형 1과 유형 2가 이미 끝냈다. 비어 있는 것은 두 가지다 — max$\cdot$min이라는 명사를 **양화사 문장으로 펴는 번역**(§1.3), 그리고 그렇게 펴진 두 조각을 답안 위에 배치하는 **서식**(§1.4)이다. ## 개념 — 최대/최소법 ### 1 max를 만나면 어디서 막히는가 이번 주의 도구를 세우기 전에, max가 놓인 두 자리에서 각각 한 번씩 막혀 본다. **막힘 (가) — 목표에 max가 있을 때.** 준비 운동의 명제를 S3주차의 후진 과정으로 밀어 보자. :::{admonition} 시도 — 핵심 질문에 댈 답이 없다 :class: quotebox 목표 $B$: "$\max S = 3$이다." 핵심 질문: "어떻게 하면 어떤 실수가 어떤 집합의 최댓값임을 보일 수 있는가?" 답 목록: … 비어 있다. ::: 여기서 멈춘다. S5~S8주차의 네 기법은 모두 명제의 겉모양에 있는 양화사를 보고 붙는데, "$\max S = 3$"의 겉모양에는 $\forall$도 $\exists$도 없다. 등호 하나뿐이다. :::{container} quotebox **확인 1.** 위 시도가 멈춘 자리에서, 답 목록을 채우려면 무엇이 있어야 하는가. S4주차의 어느 절차가 그것을 공급하는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown **정의**가 있어야 한다. S4주차가 세운 대로 후진 질문의 표준 답안지는 정의이고, "최댓값"이라는 낱말의 정의를 펴야 목표가 검사 가능한 조건으로 바뀐다. 정의를 펴기 전까지 "$\max S = 3$"은 계산할 수 없는 명사이고, 편 뒤에야 양화사가 드러나 기법이 붙는다. 이번 주의 전체 줄거리가 이 한 줄이다 — **명사를 펴면 양화사가 나온다.** ::: **막힘 (나) — 부등식 안에 max가 있을 때.** 이번에는 목표가 등식이 아니라 부등식이다. 명제 "$\max S \ge 5$이다"와 "$\max S \le 5$이다"를 각각 증명한다고 하자. 두 명제는 부등호만 다르다. :::{container} quotebox **확인 2.** 두 명제에 각각 S6주차 선택법("임의의 $x \in S$를 잡자")을 붙여 보자. 어느 쪽에서 그 첫 문장이 목표에 닿고, 어느 쪽에서 헛도는가. 헛도는 쪽에서 실제로 증명되는 것은 무엇인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "$\max S \le 5$" 쪽에서는 닿는다 — 임의의 원소가 5 이하임을 보이면 최댓값도 원소이므로 5 이하다. "$\max S \ge 5$" 쪽에서는 헛돈다. 임의의 $x \in S$에 대해 $x \ge 5$를 보이려 하면 증명되는 것은 "$S$의 **전원이** 5 이상"이고, 이는 원래 목표보다 훨씬 강한 명제이며 대개 거짓이다($S = [0, 9]$에서 $\max S = 9 \ge 5$는 참이지만 전원이 5 이상은 거짓). 곧 **같은 낱말 max가 붙어 있어도 부등호의 방향에 따라 붙는 기법이 다르다.** 어느 쪽에 무엇이 붙는지를 네 칸으로 정리하는 것이 §1.3이다. ::: 두 막힘의 원인은 하나다. **max$\cdot$min은 그 자체로는 기법을 부르지 않는다.** 기법을 부르는 것은 양화사이고, 양화사는 정의를 편 뒤에야 보인다. ### 2 사례 표를 채워 보기 정의를 세우기 전에, 유한집합에서 손으로 판정해 본다. $S = \{1, 3, 5, 7\}$이라 하자 ($\max S = 7$, $\min S = 1$은 눈으로 보인다). 각 명제가 참인지 판정하고, **그 판정을 위해 실제로 무엇을 했는지**를 오른쪽 열에 적는다. | **명제** | **참$\cdot$거짓** | **판정하려고 실제로 한 일** | |---|---|---| | $\max S \le 7$ | 참 | 네 원소 $1, 3, 5, 7$을 **전부** 검사해 모두 7 이하임을 확인했다 | | $\max S \le 4$ | 거짓 | 전부 검사하다 $5$에서 걸렸다 — 반례 하나로 무너진다 | | $\max S \ge 5$ | 참 | $\underline{\quad(1)\quad}$ | | $\min S \ge 1$ | 참 | $\underline{\quad(2)\quad}$ | | $\min S \le 3$ | 참 | $3 \in S$이고 $3 \le 3$인 원소 **하나**를 제시했다 | :::{container} quotebox **확인 3.** 빈칸 (1)(2)를 채우고, 완성된 다섯 줄이 두 부류로 갈리는 기준을 한 문장으로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $5 \in S$이고 $5 \ge 5$인 원소 하나를 제시했다(7을 제시해도 된다). (2) 네 원소를 전부 검사해 모두 1 이상임을 확인했다. 갈리는 기준: **전원 검사인가, 원소 하나 제시인가.** 첫째$\cdot$둘째$\cdot$넷째 줄은 전원 검사이고 ($\forall$), 셋째$\cdot$다섯째 줄은 하나 제시다($\exists$). 그리고 이 표를 만드는 데 **새로운 기호나 규칙은 하나도 쓰이지 않았다** — 1권 16주차 정의 16.2의 두 조각과 1권 10주차에서 읽는 법을 정한 $\forall$$\cdot$$\exists$가 전부다. ::: 이 관찰에 이름과 형식을 붙인다. 정의부터 세운다. ### 정의 16.1 — 최댓값 (maximum)·최솟값 (minimum) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 실수들의 집합 $S$와 실수 $M$에 대해, **$M$이 $S$의 최댓값이다**($M = \max S$)라는 것은 다음 두 조각이 모두 성립한다는 뜻이다. ① **(소속)** $M \in S$이다. ② **(지배)** 모든 $x \in S$에 대해 $x \le M$이다. **$m$이 $S$의 최솟값이다**($m = \min S$)라는 것은 ① $m \in S$이고 ② 모든 $x \in S$에 대해 $m \le x$라는 뜻이다. ::: $\max S$는 "에스의 최댓값", $\min S$는 "에스의 최솟값"으로 읽는다. 조각 ①은 "그런 원소가 집합 안에 있다"는 **$\exists$ 성격의 요구**이고(값 $M$이 이미 지목되어 있으므로 실제로는 자격 검증이다), 조각 ②는 문면 그대로 **$\forall$ 문장**이다. 이 문서에서 번호만 적은 **정의 16.1**$\cdot$**정의 16.2**는 이번 주(S16주차)가 세우는 정의이고, 1권 16주차에도 같은 번호의 정의가 따로 있으므로 그쪽을 부를 때는 언제나 "1권 16주차 정의 16.1"처럼 권과 주차를 앞에 붙여 구별한다. **정의 해부.** 두 조각이 하는 일이 다르고, 이번 주의 기법 배당도 여기서 갈린다. | **조각** | **하는 일** | **증명에서의 역할** | |---|---|---| | ① $M \in S$ (소속) | 값을 하나로 지목한다 | 증인을 내놓고 자격을 검증하는 한 줄 — S5주차 구성법 | | ② 모든 $x \in S$에 대해 $x \le M$ (지배) | 위에서 막는다 | "임의의 $x \in S$를 잡자"로 여는 $\forall$ 증명 한 덩어리 — S6주차 선택법 | **1권과의 관계.** 정의 16.1의 min 쪽은 1권 16주차 정의 16.2와 요구하는 내용이 같다 — 다만 그 정의는 지배를 조각 ①, 소속을 조각 ②로 번호 매겼고, 이 문서는 S4주차 문제 18의 순서를 따라 소속을 조각 ①로 앞세운다. 조각 ②(지배)만 만족하는 수를 **하계**라 부른 것도 거기서 정한 이름이다(1권 쪽 번호로는 조각 ①이다). 1권 16주차 문제 18은 최솟값 주장에 "① 부등식 ② 등호 달성"의 2단을 요구했고, 1권 18주차의 유형별 첫수 표는 그 2단을 "하계/상계 + 등호 달성"으로 적어 두었다. **이번 주가 더하는 것은 조각이 아니라 이름이다** — 조각 ②가 $\forall$ 문장이므로 S6주차 선택법이, 조각 ①이 값 하나를 내놓는 일이므로 S5주차 구성법이 각각 붙는다는 것. S4주차 문제 18이 "두 과녁"이라 부른 것에 여기서 기법이 배당된다. :::{container} quotebox **확인 4.** 정의 16.1에서 조각 ①을 지우면 무엇이 무너지는가. $S = \{1, 3, 5, 7\}$에서 실제로 무너지는 사례를 하나 들어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 조각 ②만 남으면 **상계가 전부 최댓값이 된다.** $S = \{1, 3, 5, 7\}$에서 $8$도, $100$도 모든 원소보다 크거나 같으므로 조각 ②를 만족한다 — "최댓값"이라는 말이 값을 하나로 지목하지 못하게 된다(1권 16주차 정의 16.2가 소속 조각을 지워 보인 붕괴와 같다 — 1권에서는 그 조각이 ②로 매겨져 있다). 거꾸로 조각 ②를 지우면 원소는 전부 최댓값이 된다 — $3 \in S$이므로 3도 최댓값이라는 주장이 통과한다. **두 조각은 각각 다른 붕괴를 막고 있으므로 어느 하나도 뺄 수 없다.** ::: ### 3 부등식 번역표 [백지 암기 대상] max$\cdot$min이 **부등식 안에** 들어 있을 때는 정의를 통째로 펴는 대신 다음 네 줄로 곧장 번역한다. 아래 표는 $\max S$ 또는 $\min S$가 **존재할 때** 유효하다. | **부등식** | **양화사 번역** | **붙는 기법** | |---|---|---| | $\max S \le c$ | $\forall x \in S:\ x \le c$ (곧 "$c$는 $S$의 상계") | 선택법 (S6주차) | | $\max S \ge c$ | $\exists x \in S:\ x \ge c$ | 구성법 (S5주차) | | $\min S \ge c$ | $\forall x \in S:\ x \ge c$ (곧 "$c$는 $S$의 하계") | 선택법 (S6주차) | | $\min S \le c$ | $\exists x \in S:\ x \le c$ | 구성법 (S5주차) | 한 줄 요약: **max를 위에서 누르는 것과 min을 아래서 받치는 것은 전원 검사($\forall$)이고, 그 반대 방향은 원소 하나 찾기($\exists$)다.** 네 줄이 하늘에서 떨어진 것이 아님을 첫째 줄과 둘째 줄에서 확인해 둔다. 재료는 정의 16.1의 두 조각뿐이다. :::{container} quotebox **확인 5.** $\max S$가 존재한다고 하자. "$\max S \le c$"와 "$\forall x \in S: x \le c$"가 서로를 함의함을 각각 한 줄로 보여 보자. 각 줄에서 정의 16.1의 어느 조각을 썼는지 짚는다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown ($\to$) $\max S \le c$라 하자. 임의의 $x \in S$에 대해 조각 ②가 $x \le \max S$를 주고, 추이성 (W6, 1권 16주차)으로 $x \le c$다. 쓴 것은 조각 ②. ($\leftarrow$) 모든 $x \in S$가 $c$ 이하라 하자. 조각 ①이 $\max S \in S$를 주므로, 그 $\forall$ 문장을 $x = \max S$에 특수화하면(S7주차) $\max S \le c$다. 쓴 것은 조각 ①. 양방향 각각에 조각이 하나씩 쓰였다는 것이 요점이다 — **번역표는 정의의 두 조각을 부등호 방향에 따라 나눠 쓴 결과일 뿐, 새로운 사실이 아니다.** ::: 둘째 줄도 같은 방식이다. ($\rightarrow$) $\max S \ge c$이면 $\max S$ 자신이 조각 ①에 의해 $S$의 원소이므로 "$c$ 이상인 원소"의 증인이 된다. ($\leftarrow$) 어떤 $x_0 \in S$가 $x_0 \ge c$이면 조각 ②로 $\max S \ge x_0 \ge c$다. :::{admonition} 표기 — 상계$\cdot$하계 :class: quotebox "$c$가 $S$의 **상계**(upper bound)이다"는 "모든 $x \in S$에 대해 $x \le c$이다"의 줄임이고, "$c$가 $S$의 **하계**(lower bound)이다"는 "모든 $x \in S$에 대해 $c \le x$이다"의 줄임이다 (1권 16주차 정의 16.2에서 하계라는 이름을 이미 정했다). 상계$\cdot$하계는 집합 안에 있어야 한다는 요구가 **없다** — 이 한 가지가 §1.5의 전부를 만든다. ::: :::{container} quotebox **확인 6.** 다음 두 목표에 각각 어느 기법이 붙는가. 첫 문장을 실제로 적어 보자. (가) $S = \{x \in \mathbb{R} : x^2 \le 9\}$에 대해 $\max S \le 3$. (나) 같은 $S$에 대해 $\max S \ge 2$. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (가) 번역표 첫째 줄 — 선택법. 첫 문장: "임의의 $x \in S$를 잡자." (나) 번역표 둘째 줄 — 구성법. 첫 문장: "$x_0 = 3$으로 두자." (증인은 $S$의 원소이면서 2 이상이면 되므로 $2$ 자신이나 $2.5$를 내놓아도 된다. 이어서 자격 검증 두 줄 — $x_0 \in S$인가($3^2 = 9 \le 9$ ✓), $x_0 \ge 2$인가(✓) — 를 붙이면 끝난다.) 두 목표는 같은 집합$\cdot$같은 낱말인데 첫 문장이 완전히 다르다. 첫 문장을 정하는 것은 max가 아니라 **부등호의 방향**이다. ::: ### 4 절차 해부 — "$\max S = c$"의 2부 서식 [백지 암기 대상] 부등식이 아니라 등식으로 주장할 때는 두 조각을 모두 세워야 한다. 답안은 네 걸음으로 적는다. | **걸음** | **하는 일** | **이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가** | |---|---|---| | ① 후보 지목 "$c = 3$임을 보인다" | 증명할 값을 하나로 고정한다 | 아래 두 조각이 무엇에 대한 주장인지 정해지지 않는다 | | ② 소속 "$c \in S$" 검증 | 값이 실제로 달성됨을 보인다 (S5주차 구성법의 자격 검증) | 상계임만 증명되어, 집합 밖의 수도 최댓값으로 통과한다 (아래 삭제 실험) | | ③ 상계 "$\forall x \in S: x \le c$" 증명 | 값이 천장임을 보인다 (S6주차 선택법) | 값이 하나로 지목되지 않는다 — 집합의 아무 원소나 최댓값으로 통과한다 | | ④ 종합 "두 조각이 성립하므로 $\max S = c$" | 정의 16.1을 인용해 이름을 회수한다 | 사실 두 개가 나열된 채 끝나고, 원래 목표가 선언되지 않는다 | min일 때는 걸음 ③의 부등호만 뒤집는다($\forall x \in S: c \le x$). 걸음 ②와 ④는 글자까지 같다. **걸음 삭제 실험 — 소속 검증을 지우면.** 걸음 ②를 지운 답안을 검사해 보자. :::{admonition} 삭제 실험 — 소속을 확인하지 않은 답안 :class: quotebox 명제: $S = \{x \in \mathbb{R} : 0 \le x < 1\}$의 최댓값은 1이다. "임의의 $x \in S$를 잡자. $x < 1$이므로 $x \le 1$이다. 따라서 1은 상계이고, $\max S = 1$이다." ::: :::{container} quotebox **확인 7.** 위 답안의 계산은 옳은가. 그렇다면 무엇이 잘못되었는가. 명제 자체는 참인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 계산은 옳다 — "1이 $S$의 상계"라는 것은 참이고 선택법 서식도 정확하다. 잘못된 것은 **걸음 ②가 없다는 것**이고, 실제로 $1 \notin S$이므로($x < 1$이 배제한다) 그 걸음은 채워질 수도 없다. 그리고 **명제 자체가 거짓이다** — 이 집합에는 최댓값이 없다 (S11주차 문제 18이 $(0,1)$판을 증명했고, 1권 22주차 문제 10은 최솟값판을 증명했다). 여기서 서식의 성질 하나가 드러난다. **걸음 ②의 점검은 답안의 흠만 잡는 것이 아니라 명제 자체가 거짓인 자리까지 지목한다** — 채울 수 없는 걸음 ②가 곧 반례의 산지다. 이 답안이 실제로 증명한 것에는 따로 이름이 있고, 그 이름이 §1.5의 상한이다. ::: ### 5 max가 없을 때 — 상한 (supremum) 삭제 실험의 답안이 증명한 것은 "1은 상계"까지였다. 그런데 $S = \{x : 0 \le x < 1\}$의 상계 중에서 1은 특별하다 — $1$보다 작은 어떤 수도 상계가 되지 못한다. 이 성질에 이름을 준다. ### 정의 16.2 — 상한 (supremum) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 실수 $c$가 집합 $S$의 **상한**($c = \sup S$)이라는 것은 다음 두 조각이 모두 성립한다는 뜻이다. ① **(상계)** 모든 $x \in S$에 대해 $x \le c$이다. ② **(최소성)** $c' < c$인 임의의 $c'$은 상계가 아니다 — 곧 $x > c'$인 $x \in S$가 존재한다. 부등호를 모두 뒤집으면 **하한**($\inf S$, infimum, 최대하계)의 정의가 된다. ::: $\sup S$는 "에스의 상한" 또는 "에스의 최소상계"로, $\inf S$는 "에스의 하한"으로 읽는다. 조각 ①은 $\forall$ 문장이라 선택법이 붙고, 조각 ②는 "임의의 $c'$에 대해 … 존재한다"는 $\forall$$\exists$ 겹구조라 S8주차의 바깥부터 벗기기가 그대로 붙는다 — 바깥의 $\forall$는 선택법("$c' < c$인 $c'$을 임의로 잡자"), 안쪽의 $\exists$는 구성법(그 $c'$을 넘는 원소를 실제로 만들어 제시)이다. **정의 해부.** 조각마다 막고 있는 붕괴가 다르다. | **조각** | **하는 일** | **증명에서의 역할** | |---|---|---| | ① 모든 $x \in S$에 대해 $x \le c$ (상계) | 위에서 막는다 | "임의의 $x \in S$를 잡자"로 여는 $\forall$ 증명 한 덩어리 — S6주차 선택법 | | ② $c' < c$인 임의의 $c'$은 상계가 아니다 (최소성) | 상계 여럿 중 가장 작은 것 하나로 좁힌다 | 바깥 $\forall$는 선택법으로, 안쪽 $\exists$는 구성법으로 벗기는 두 겹 — S8주차 | **조각 삭제 실험.** $S = \{x \in \mathbb{R} : 0 \le x < 1\}$에서 각 조각을 지워 본다. 조각 ②(최소성)를 지우면 **상계가 전부 상한이 된다** — $2$도 $100$도 모든 원소보다 크거나 같아 조각 ①을 통과하므로, "상한"이라는 말이 값을 하나로 지목하지 못한다. 거꾸로 조각 ①(상계)을 지우면 **집합보다 작은 수까지 통과한다** — $c = -5$에 대해 $c' < -5$인 어떤 $c'$도 $0 \in S$ 때문에 상계가 아니므로 조각 ②만은 성립한다. 두 조각은 각각 다른 붕괴를 막고 있으므로 어느 하나도 뺄 수 없다. :::{container} quotebox **확인 8.** $S = \{x \in \mathbb{R} : 0 \le x < 1\}$에서 $\sup S = 1$의 조각 ②를 세우려 한다. $c' = 0.9$가 상계가 아님을 보이는 증인 하나를 제시하고, 그 증인이 만족해야 할 조건 두 가지를 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 증인 예: $x = 0.95$. 조건은 두 가지다 — ㄱ. $x \in S$일 것($0 \le 0.95 < 1$ ✓), ㄴ. $x > c'$일 것($0.95 > 0.9$ ✓). S5주차의 자격 검증 목록이 그대로 적용된다. 임의의 $c'$에 대해 통하는 증인이 필요하므로 실전에서는 $\frac{c' + 1}{2}$처럼 $c'$을 재료로 만든 식을 쓴다. 단 $c'$이 충분히 작으면 이 식이 집합 밖으로 나가므로($c' = -3$이면 $\frac{c'+1}{2} = -1$이고 이는 $S$의 원소가 아니다) 자격 검증 ㄱ에서 경우를 나눠야 한다(문제 14). 두 수 사이의 평균은 S8주차$\cdot$S11주차에서 반복해 쓴 표준 증인이다. ::: **max와 sup의 관계.** 두 정의는 조각 ①이 서로 자리를 바꿔 앉아 있다. max는 "상계 + **소속**", sup은 "상계 + **최소성**"이다. 둘의 관계는 한 줄로 정리된다. :::{admonition} 보조 명제 16.A — max가 존재하면 $\max S = \sup S$이다. :class: quotebox $M = \max S$라 하자. 조각 ②(지배)에 의해 $M$은 상계다. 임의의 $c' < M$을 잡으면 $M \in S$(조각 ①)이고 $M > c'$이므로 $M$ 자신이 "$c'$을 넘는 $S$의 원소"의 증인이다 — 곧 $c'$은 상계가 아니다. 정의 16.2의 두 조각이 충족되므로 $M = \sup S$다. $\blacksquare$ ::: :::{container} quotebox **확인 9.** 보조 명제 16.A의 대우를 쓰면 어떤 판정에 쓸 수 있는가. $S = \{x : 0 \le x < 1\}$에 최댓값이 없음을 그 대우로 한 줄로 보여 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 대우로 읽으면 "$\sup S$가 $S$의 원소가 아니면 최댓값은 존재하지 않는다"가 된다 (max가 존재한다면 16.A로 $\max S = \sup S$이므로 $\sup S \in S$여야 하기 때문이다). $S = \{x : 0 \le x < 1\}$에서는 $\sup S = 1$이고 $1 \notin S$이므로 최댓값이 없다. **"최댓값이 없다"를 후보 $M$마다 따로 무너뜨리던 S4주차 문제 18(b)$\cdot$S11주차 문제 18의 작업이, 상한을 손에 넣은 뒤에는 한 줄로 줄어든다.** 문제 9$\cdot$15가 이 줄을 쓴다. ::: 상한이 언제나 존재하는지는 이번 주가 답하지 않는다. "위로 유계이고 공집합이 아닌 실수 부분집합은 반드시 상한을 가진다"는 **실수의 완비성 공리**이고, 증명하는 사실이 아니라 실수 체계에 얹는 약속이다 — 이번 주에는 문제 18에서 인정하고 쓰고, 이 과정에서는 끝까지 인정하고 쓰는 것으로 마무리한다. 완비성을 공리로 세워 그 귀결들을 정리로 증명하는 것은 해석학 교재의 첫 장이 하는 일이고(1권 50주차가 같은 안내를 남겼다), 2권에서는 C20주차의 다음 세계 조망이 그 자리를 한 줄로 가리킨다. 자연수 쪽에는 이에 대응하는 사실이 이미 있다 — 최소원리(1권 33주차)다. 두 사실의 대조가 문제 16이다. ### 6 판정법 — 명제의 겉모양에서 기법으로 [백지 암기 대상] 명제를 읽고 첫 문장을 정하는 물음표 목록이다. 위에서부터 훑는다. | **명제의 겉모양** | **펴면 무엇이 나오는가** | **첫 문장** | |---|---|---| | $\max S = c$ (또는 $\min S = c$) | 두 조각의 $\land$ — 소속과 지배 | 2부 서식 네 걸음(§1.4). 걸음 ②부터 쓰면 대개 짧다 | | $\max S \le c$ $\cdot$ $\min S \ge c$ | $\forall$ 문장 (상계$\cdot$하계) | "임의의 $x \in S$를 잡자" (선택법) | | $\max S \ge c$ $\cdot$ $\min S \le c$ | $\exists$ 문장 | "$x_0 = \ldots$으로 두자" + 자격 검증 두 줄 (구성법) | | $\max S$가 존재하지 않는다 | 후보마다 두 조각 중 하나가 무너진다는 $\forall$ 문장 | $\sup S$를 먼저 구하고 보조 명제 16.A의 대우 한 줄 (집합이 공집합이 아니고 위로 유계일 때. 위로 유계가 아니면 상한이 없으므로 후보마다 직접 무너뜨린다 — 문제 19) | | $\sup S = c$ | 상계($\forall$) $\land$ 최소성($\forall$$\exists$) | 두 조각을 나눠 적고, 최소성은 바깥 $\forall$부터 벗긴다 (S8주차) | | 가정에 "$M$은 상계이다"가 있다 | $\forall$ 문장이 **가정 쪽**에 있다 | 관심 있는 원소에 특수화한다 (S7주차, 문제 11) | 마지막 줄이 이번 주에 특히 자주 쓰인다. 상계$\cdot$하계는 결론에 있으면 선택법으로 **만들어야 할 것**이지만, 가정에 있으면 이미 손에 든 재료다 — 관심 있는 원소에 특수화해 개별 부등식을 꺼내 **써먹을 것**이다. 위치가 처리법을 정한다는 S6~S7주차의 원리가 그대로 반복된다. ### 7 근거 목록 갱신 근거의 칸은 이번 주에도 네 개다. 이번 주가 채우는 것은 ①과 ④다. | **근거** | **이번 주에 추가$\cdot$갱신되는 것** | **이번 주에는 이렇게 쓴다** | |---|---|---| | ① 정의 | **S16주차 정의 16.1**(최댓값$\cdot$최솟값) $\cdot$ **정의 16.2**(상한$\cdot$하한) | 이름과 두 조각 사이를 양방향으로 번역한다. 집합 자체를 푸는 데는 기존 정의(1권 16주차 정의 16.1의 대소 관계, 1권 3주차의 조건제시법)를 쓴다 | | ② 닫힘성 | 변화 없음 | "$n + 1$은 자연수이므로"를 별도 설명 없이 쓴다. 1권 16주차 (W4)(W5)도 이 칸이다 — 양수의 합$\cdot$곱이 양수, **양수의 역수가 양수** | | ③ 등식$\cdot$부등식의 성질 | 변화 없음 | 1권 16주차 (W2)(W3)(W6). 이번 주에는 추이성 (W6)과 양수 곱 (W3)이 거의 매 줄에 나온다 | | ④ 이미 증명한 명제$\cdot$채택한 사실 | **번역표 네 줄**(§1.3에서 유도) $\cdot$ **보조 명제 16.A**(max = sup). 부품: $0 \le a < b \Rightarrow a^2 < b^2$(1권 16주차 문제 11), 아르키메데스 성질(S5주차 문제 14), 최소원리(1권 33주차), 영인수 성질(S15주차 예제 2.2), 1권 16주차 (W1)(제곱은 0 이상)과 삼분법(1권 16주차 §1.2의 인정 사실), 완비성 공리(문제 18에서 인정하고 사용 — 이 과정에서는 끝까지 인정하고 쓴다) | "1권 16주차 문제 11에 의해"처럼 출처를 대고 한 줄로 끝낸다 | 목록 밖의 것은 이번 주에도 근거가 되지 않는다. 특히 "그래프를 그려 보면 3이 가장 크므로"는 목록에 없다 — 그림은 후보를 찾는 데는 쓰되, 답안에서는 두 조각으로 다시 적어야 근거가 선다. :::{container} quotebox **확인 10.** 어떤 답안에 다음 두 문장이 나왔다. 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가. (가) "$M$이 상계이고 $7 \in S$이므로 $7 \le M$이다." (나) "$c$는 $S$의 상계이므로 $c = \max S$이다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (가) 허용 — 근거 ①(§1.3 표기 상자가 정한 상계의 정의를 편 $\forall$ 문장을 S7주차의 특수화로 소비한 것이다. 문제 11을 푼 뒤에는 그 결과를 근거 ④로 인용할 수 있다). 자격 검증은 "$7 \in S$"이고 문장 안에 이미 적혀 있다. (나) 불허 — 조각 ①(소속)이 비어 있다. $c \in S$가 함께 확인되어야 정의 16.1이 발동한다. 이 문장이 통과되면 §1.4 삭제 실험의 붕괴가 그대로 재연된다. 반대로 "$c$가 상계이고 $c \in S$이므로 $c = \max S$"는 허용되고, 이것이 문제 8에서 정리로 승격되어 이후 답안의 마지막 줄을 한 줄로 줄여 준다. :::