# C1주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

## 예제 — 전달을 함께 고치기

세 예제는 지지대를 하나씩 뺀다. 예제 2.1은 설계부터 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 하고, 예제 2.3은 설계부터 스스로 한 뒤 산문으로 확인한다.

### 예제 2.1 — 나쁜 글에서 좋은 글로: 같은 증명, 다른 전달

**과제.** "홀수의 제곱은 홀수이다"의 두 답안을 비교하고, 답안 A를 답안 B로 고쳐 쓴다.

**답안 A (수학은 옳고 전달이 무너진 초안).**

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$n$ 홀수. $n = 2k+1$. $n^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1$. $\therefore$ $n^2$ 홀수. $\forall$ 홀수 ✓.
:::

**설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지.** 1권 1주차 이래 모든 증명 설계가 그랬듯, 가정이 주는 것(출발점)과 만들어야 할 것(도착점)을 먼저 정한다. 이번 주에는 그 두 칸에 수학이 아니라 **전달**이 들어간다.

|  | **말** | **설계로의 번역** |
|---|---|---|
| 가정 (주어진 것) | 답안 A | 다섯 개의 단편이 담은 사실 목록 — 이 목록은 **보존한다** |
| 목표 (만들 것) | 동료가 각 줄의 근거를 복원할 수 있는 산문 | $\underline{\quad(?)\quad}$ 를 전부 통과하는 완결 문장 열 |

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**확인 11.** 목표 칸의 빈칸을 채워 보자. 답안 B가 통과해야 하는 점검 항목은 어느 목록들인가.
:::

:::{admonition} 답
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1권 20주차 글쓰기 6조, 기호 사용 10원칙, 수식 표시법 3규칙. 세 목록을 전부

통과해야 한다. 그리고 출발점 칸이 "보존한다"인 것이 이번 과제의 성격을 정한다 —

답안 A의 수학은 옳으므로, 고칠 대상은 오직 전달이다.
:::

**1단계 — 첫 문장을 낱말로 연다.** 답안 A의 첫 단편 "$n$ 홀수"는 기호로 시작하고 서술어가 없다.

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**확인 12.** 첫 문장을 완성해 보자: "$\underline{\qquad}$ $n$이 $\underline{\quad}$라 하자."
:::

:::{admonition} 답
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"정수 $n$이 홀수라 하자." 앞에 "정수"라는 낱말이 붙어 원칙 1을 만족하고, 동시에

$n$의 자격이 밝혀져 원칙 8도 만족한다. 두 원칙이 한 낱말로 함께 해결된다.
:::

**2단계 — 새로 등장하는 문자의 자격을 밝힌다.** 답안 A의 둘째 단편 "$n = 2k+1$"에서 $k$가 처음 나타난다.

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**확인 13.** 둘째 문장을 완성해 보자: "홀수의 정의에 의해, $\underline{\qquad}$ $k$에 대해 $n = 2k+1$이다."
:::

:::{admonition} 답
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"어떤 정수 $k$에 대해". $k$의 범위를 정수로 고정하는 선언이다(원칙 8). §1.4의

삭제 실험 3에서 본 대로, 이 낱말이 없으면 같은 논법으로 모든 정수가 홀수가 된다.
:::

**3단계 — 계산의 배치를 정한다.** 답안 A의 셋째 단편은 등호 두 개로 이어진 계산이다.

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**확인 14.** 이 계산을 본문에 둘 것인가 표시로 올릴 것인가. 판단의 근거가 되는 규칙 번호까지 적어 보자.
:::

:::{admonition} 답
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표시로 올린다 — 표시법 규칙 1(등호로 이어진 여러 항의 계산). 등호가 둘뿐이라

경계에 가깝지만, 뒤에서 $2k^2 + 2k$를 다시 지목해야 하므로 표시로 떼어 두는

편이 대조가 쉽다. 표시로 올린 뒤에는 규칙 2에 따라 등호를 맞춘다.
:::

**4단계 — 괄호 안이 정수임을 낱말로 확인한다.** 답안 A는 이 확인을 통째로 생략했다. $2(2k^2+2k)+1$이 홀수이려면 괄호 안이 정수여야 하고, 그 근거는 닫힘성(근거 ②)이다.

**5단계 — 결론을 완결 문장으로 닫는다.** 답안 A의 "$\therefore$ $n^2$ 홀수"는 접속 기호와 조각으로 되어 있다(원칙 3, 원칙 6 위반). 마지막의 "$\forall$ 홀수 ✓"도 마찬가지다 — "모든 홀수에 대해 성립한다"는 주장은 첫 문장에서 $n$을 임의의 홀수로 잡은 것으로 이미 확보되었으므로, 다시 적을 필요가 없다.

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**확인 15.** 마지막 문장을 완성해 보자: "$2k^2 + 2k$는 $\underline{\qquad}$이므로, $n^2$은 $\underline{\qquad}$."
:::

:::{admonition} 답
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"$2k^2 + 2k$는 정수의 곱과 합이므로 정수이고, 따라서 $n^2$은 홀수이다.

$\blacksquare$" 근거 ②를 낱말로 적었고, 6조 6항에 따라 종료 표시를 달았다.
:::

**완성본 — 답안 B.** 다섯 걸음을 이어 붙이면 다음 증명이 된다.

**증명.** 정수 $n$이 홀수라 하자. 홀수의 정의에 의해, 어떤 정수 $k$에 대해 $n = 2k + 1$이다. 그러면 다음이 성립한다.

$$
n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1
$$

$2k^2 + 2k$는 정수의 곱과 합이므로 정수이다. 따라서 $n^2$은 홀수이다. $\blacksquare$

손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 "왜"에 스스로 답해 본다.

| 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? |
|---|---|
| **증명.** 정수 $n$이 홀수라 하자. | 낱말로 문장을 열고(원칙 1) $n$의 자격을 밝힌다(원칙 8). "증명."은 6조 6항의 개시 표시다. |
| 홀수의 정의에 의해, 어떤 정수 $k$에 대해 $n = 2k + 1$이다. | 근거를 낱말로 앞세우고(근거 ①), 새 문자 $k$의 범위를 그 자리에서 고정한다(원칙 8). |
| 그러면 다음이 성립한다. (표시된 계산 한 줄) | 등호로 이어진 계산을 표시로 떼어 낸다(규칙 1). 표시 앞에 예고 문장을 두어 본문 문장이 끊기지 않게 한다. |
| $2k^2 + 2k$는 정수의 곱과 합이므로 정수이다. | 닫힘성을 낱말로 적는다(근거 ②, 6조 5항$\cdot$원칙 6). 답안 A가 통째로 생략한 줄이다. |
| 따라서 $n^2$은 홀수이다. $\blacksquare$ | 결론을 완결 문장으로 닫는다(원칙 6). $\blacksquare$가 종료 표시다(6조 6항). |

**두 답안의 대조.** 무엇이 어떻게 달라졌는지 항목별로 정리하면 다음과 같다.

| **항목** | **답안 A의 위반** | **답안 B의 준수** |
|---|---|---|
| 문장 시작 | "$n$ 홀수" — 기호로 시작 (원칙 1) | "정수 $n$이 …" — 낱말로 |
| 완결 문장 | 다섯 개의 조각 — 서술어가 없다 (원칙 6) | 다섯 개의 완결된 서술문 |
| 기호 소개 | $k$의 자격이 없다 (원칙 8) | "어떤 정수 $k$에 대해" |
| 논리 기호 | $\therefore$ 와 $\forall$ 를 산문에 썼다 (원칙 3) | "따라서", "이므로"로 풀었다 |
| 수식 배치 | 계산을 본문에 눌러 넣었다 (규칙 1) | 계산을 표시로 떼어 냈다 |
| 근거 | 닫힘성 확인이 없다 (근거 ②) | "정수의 곱과 합이므로 정수" |

두 답안의 **수학은 같다.** 같은 $n = 2k+1$, 같은 전개, 같은 결론이다. 다른 것은 전달뿐이고, 그 차이는 독자가 감당해야 할 복원 작업의 양으로 나타난다 — 답안 A는 다섯 개의 조각을 문장으로 재구성하는 일을 독자에게 넘기고, 답안 B는 넘기지 않는다.

### 예제 2.2 — 등호 정렬과 줄바꿈

**과제.** 정수 $n$과 정수 $k$가 $n = 2k + 1$을 만족한다고 하자. $n^3 + 3n^2 - n + 4$를 $k$로 전개해, 이 값이 홀수임을 보이는 표시를 작성한다.

이번에는 설계만 함께 하고, 본문은 완성본으로 본다.

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**확인 16.** 설계표를 채워 보자. 출발점: 가정이 주는 등식은 $n = \underline{\quad}$이고, 여기서 $k$의 자격은 $\underline{\quad}$이다. 도착점: 홀수임을 보이려면 마지막 줄이 $\underline{\qquad}$ 꼴이어야 한다. 배치: 전개가 $\underline{\quad}$줄이므로 표시법 규칙 $\underline{\quad}$에 따라 표시로 올린다.
:::

:::{admonition} 답
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$n = 2k+1$이고 $k$는 **정수**다 — 이 자격이 출발점에 없으면 마지막 줄의 괄호

안이 정수라는 결론을 낼 수 없다(원칙 8). / 마지막 줄은 $2 \times (\text{정수}) + 1$

꼴 / 전개가 네 줄이므로 규칙 1에 따라 표시로 올리고, 규칙 2에 따라 등호를 세로로

맞춘다.

설계에서 배치가 함께 정해지는 것이 이번 주의 새로운 점이다 — 1학기까지는

출발점과 도착점만 정하면 됐다.
:::

**완성본.** 정수 $n$이 홀수라 하자. 홀수의 정의에 의해, 어떤 정수 $k$에 대해 $n = 2k + 1$이다. 그러면 다음이 성립한다.

$$
\begin{aligned}\begin{aligned} n^3 + 3n^2 - n + 4 &= (2k+1)^3 + 3(2k+1)^2 - (2k+1) + 4 \\ &= (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) + 3(4k^2 + 4k + 1) - 2k - 1 + 4 \\ &= 8k^3 + 24k^2 + 16k + 7 \\ &= 2(4k^3 + 12k^2 + 8k + 3) + 1 \end{aligned}\end{aligned}
$$

$k$가 정수이므로 $4k^3 + 12k^2 + 8k + 3$은 정수의 곱과 합으로서 정수이고, 따라서 이 값은 홀수이다.

**줄별 검산.** 표시로 올린 덕에 줄마다 독립적으로 검사할 수 있다.

| **걸음** | **검산** | **왜 이 줄이 필요한가** |
|---|---|---|
| $(2k+1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1$ | 이항 전개 ✓ | 둘째 줄의 첫 괄호 |
| $3(2k+1)^2 = 3(4k^2+4k+1) = 12k^2 + 12k + 3$ | ✓ | 둘째 줄의 둘째 항 |
| 계수 합산 $8k^3 + (12+12)k^2 + (6+12-2)k + (1+3-1+4)$ | $8k^3 + 24k^2 + 16k + 7$ ✓ | 셋째 줄 — 정리 |
| $2(4k^3+12k^2+8k+3) = 8k^3+24k^2+16k+6$, 여기에 $+1$ | $= 8k^3+24k^2+16k+7$ ✓ | 넷째 줄 — 홀수의 정의 꼴 |

이 계산을 §1.1의 답안 P처럼 본문 한 줄에 눌러 넣으면 위 네 검산 중 어느 것도 눈으로 수행되지 않는다. 배치가 검사 가능성을 만든다.

### 예제 2.3 — 진단: 흔한 전달 오류 여섯 종

**과제.** 다음 여섯 조각 각각에서 위반한 원칙을 지목하고 고쳐 쓴다.

1. "$\sqrt2$는 무리수이다"를 문장의 첫머리에 기호로 시작해 적은 경우
1. "모든 소수 $> 2$는 홀수"
1. "정수 $n$이 홀수이므로 $n \equiv 1$ 또는 $3 \pmod 4$"
1. "$n = 2k$" ($k$에 대한 언급 없음)
1. "정리: 모든 홀수 $t$는 $2$로 나누어떨어지지 않는다"
1. "$a \equiv b \pmod n$, $c \equiv q \pmod n$"

이번에는 설계부터 스스로 해 보자.

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**확인 17.** 진단의 순서를 세 걸음으로 정해 보자. 여섯 조각을 아무 순서로나 훑는 대신, 무엇을 먼저 확인하고 무엇을 나중에 확인할 것인가.
:::

:::{admonition} 답
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① 수학이 옳은지 먼저 본다 — 여섯 조각 모두 수학적 오류는 없다. 따라서 고칠

대상이 전달로 확정된다. ② 문장 층(원칙 1$\cdot$2$\cdot$4$\cdot$6)을 먼저 잡는다. 문장이

완결되지 않으면 나머지 판정이 불가능하기 때문이다. ③ 기호 선택 층(원칙 3$\cdot$5$\cdot$9$\cdot$10)과

진술 설계 층(원칙 7$\cdot$8)을 본다. 두 층은 문장이 완결된 뒤에야 판정할 수 있다.
:::

**진단과 수정.** 여섯 조각을 순서대로 처리한다.

첫째 조각은 원칙 1 위반이다. 문장이 수식으로 시작하면 앞 문장의 마침표와 붙어 읽히므로, 낱말을 앞에 세워 "수 $\sqrt2$는 무리수이다"로 고친다.

둘째 조각은 원칙 6 위반이다. "$> 2$"가 서술어 자리에 앉아 문장이 조각으로 남았고, §1.4의 삭제 실험 2에서 본 것과 같은 두 갈래 독해가 생긴다. "$2$보다 큰 모든 소수는 홀수이다"로 고친다.

셋째 조각도 원칙 6 위반이다. "또는 $3$"에는 좌변도 법도 붙어 있지 않아 무엇이 $3$과 합동이라는 것인지 문장이 말하지 않는다. "정수 $n$이 홀수이므로 $n \equiv 1 \pmod 4$ 또는 $n \equiv 3 \pmod 4$이다"로 고친다.

넷째 조각은 원칙 8 위반이다. $k$가 어디서 온 문자인지 선언이 없으므로 범위가 열려 있고, 삭제 실험 3의 붕괴가 그대로 재연된다. "어떤 정수 $k$에 대해 $n = 2k$이다"로 고친다.

다섯째 조각은 원칙 7 위반이다. 낱말 "홀수"가 $t$의 자리를 그대로 대신할 수 있어 그 이름이 아무 일도 하지 않으므로 지운다 — "정리: 모든 홀수는 $2$로 나누어떨어지지 않는다". 증명 안에서 홀수 하나를 지목해야 할 때 그 자리에서 이름을 도입한다.

여섯째 조각은 원칙 10 위반이다. 앞 합동식의 $a$와 $b$가 짝을 이루므로 뒤 합동식의 두 문자도 짝을 이루어야 한다. "$a \equiv b \pmod n$, $c \equiv d \pmod n$"으로 고친다.

여섯 조각의 수학은 모두 옳았다. 그럼에도 이런 위반이 쌓이면 독자는 문장마다 복원 작업을 하게 되고, 복원 비용이 어느 선을 넘으면 근거 추적을 중단한다. 전달 오류의 실제 대가는 이 중단이다.

### 관찰 — 같은 뼈대

세 예제는 소재가 다르지만 걸음의 배치가 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자.

| **걸음** | **예제 2.1** | **예제 2.2** | **예제 2.3** |
|---|---|---|---|
| 수학 확인 | 답안 A의 계산은 옳다 | 전개와 계수는 옳다 | $\underline{\quad(1)\quad}$ |
| 위반 지목 | 원칙 1$\cdot$3$\cdot$6$\cdot$8, 규칙 1 | $\underline{\quad(2)\quad}$ | 원칙 1$\cdot$6$\cdot$7$\cdot$8$\cdot$10 |
| 배치 결정 | 계산을 표시로 | 네 줄을 표시로, 등호 정렬 | $\underline{\quad(3)\quad}$ |
| 산문 완성 | 답안 B 다섯 문장 | 표시 앞뒤의 두 문장 | 여섯 개의 수정문 |

:::{container} quotebox
**확인 18.** 빈칸 (1)~(3)을 채워 보자.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

(1) 여섯 조각 모두 수학적 오류가 없다. (2) 초안에 해당하는 문장이 없으므로

배치가 판정 대상이다 — 지목할 기존 문장 대신 규칙 1$\cdot$2를 어떻게 적용할지가

걸린다. 다만 완성본의 첫 문장에서 $k$의 자격을 밝히는 원칙 8은 여기서도 그대로

걸린다. (3) 여섯 조각이 모두 짧은 식이므로 본문에 그대로 둔다(규칙 1의 반대편

판정).
:::

:::{container} quotebox
**확인 19.** 세 예제에서 공통으로 반복된 순서를 세 걸음으로 적어 보자.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

① 수학을 먼저 확인해 고칠 대상을 전달로 확정한다 $\to$ ② 위반을 원칙$\cdot$규칙 번호로

지목한다 $\to$ ③ 배치를 정한 뒤 완결 문장으로 다시 쓴다.

순서가 뒤바뀌면 안 된다. 수학에 오류가 있는 답안은 전달을 고치는 대상이 아니라

다시 증명해야 하는 대상이고(문제 15가 그 경우다), 배치를 정하기 전에 문장을

쓰면 표시로 올려야 할 계산을 본문에 쓴 뒤 다시 옮기게 된다.
:::

방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다.

:::{admonition} 백지 암기 대상
:class: keybox

**전달 교정의 3단 뼈대**

① 수학 확인 — 초안이 담은 사실을 목록으로 적고 오류가 있는지 판정한다(있으면 교정이 아니라 재증명이다) $\to$ ② 위반 지목 — 6조$\cdot$10원칙$\cdot$표시법 3규칙의 번호로 위반 자리를 적는다 $\to$ ③ 배치와 재작성 — 어느 식을 표시로 올릴지 정한 뒤 완결 문장으로 다시 쓴다.
:::

이 뼈대는 C5주차의 증명 평가(제출된 증명을 채점하는 훈련)와 C9주차에서 그대로 쓰인다. 바뀌는 것은 ①에서 판정할 수학의 난도뿐이다.

## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며

베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 §6에 있다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다.

### 훈련 1 ●○○ — 원칙 번호와 수식 빈칸

**초안.** 다음 답안의 전달 오류를 원칙 번호로 지목하고 고친다.

:::{container} quotebox
"$n$ even. so $n=2k$. then $\forall$ such $n$, $n^2 = 4k^2 \Rightarrow n^2$ even."
:::

- "$n$ even"으로 문장을 시작했다 — 원칙 $\underline{\quad(1)\quad}$ 위반.
- $k$의 자격을 밝히지 않았다 — 원칙 $\underline{\quad(2)\quad}$ 위반.
- $\forall$와 $\Rightarrow$를 산문에 썼다 — 원칙 $\underline{\quad(3)\quad}$ 위반.
- 수정본: "정수 $n$이 $\underline{\quad(4)\quad}$라 하자. 그러면 어떤 정수 $k$에 대해

$n = 2k$이다. 따라서 $n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$이고, $2k^2$이 정수이므로 $n^2$은 $\underline{\quad(5)\quad}$이다."

### 훈련 2 ●●○ — 위반과 근거를 함께

이번에는 배치 판정과 근거 문장도 빈칸이다.

**초안.**

:::{container} quotebox
"$m$ 짝수. $m = 2k$. $m^2 + 2m = 4k^2 + 4k = 4(k^2+k)$. $\therefore$ 4의 배수."
:::

- 첫 조각이 기호로 시작하고 서술어가 없다 — 원칙 $\underline{\quad(1)\quad}$ 위반.
- $k$가 선언 없이 등장한다 — 원칙 $\underline{\quad(2)\quad}$ 위반.
- $\therefore$ 를 접속사로 썼다 — 원칙 $\underline{\quad(3)\quad}$ 위반.
- 등호 두 개로 이어진 계산이 본문에 눌려 있다 — 표시법 규칙 $\underline{\quad(4)\quad}$ 위반.
- 수정본의 첫 두 문장: "정수 $m$이 짝수라 하자. 짝수의 정의에 의해, 어떤 정수 $k$에 대해 $m = \underline{\quad(5)\quad}$이다. 그러면 다음이 성립한다."

수정본의 표시는 다음과 같다.

$$
m^2 + 2m = 4k^2 + 4k = 4(\underline{\quad(6)\quad})
$$

이어지는 문장은 이렇게 닫는다 — "위 (6)의 괄호 안은 $\underline{\quad(7)\quad}$이므로 정수이고, 따라서 $m^2 + 2m$은 4의 배수이다. $\blacksquare$"

### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고

이번에는 3단 뼈대의 각 칸을 통째로 채운다.

**초안.**

:::{container} quotebox
"thm: $\forall$ 정수 $n$, $n$ odd $\Rightarrow$ $n^2-1$ 4의 배수. pf: $n=2a+1$ $\Rightarrow$ $n^2-1 = 4a^2+4a = 4(a^2+a)$ $\Rightarrow$ done."
:::

- ① 수학 확인: $\underline{\quad(1)\quad}$
- ② 위반 지목: $\underline{\quad(2)\quad}$
- ③ 배치 결정: $\underline{\quad(3)\quad}$
- ④ 완성 산문: $\underline{\quad(4)\quad}$

(이 훈련이 문제 15$\cdot$18의 예행연습이다.)

## 연습문제 (20문항)

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 접근까지만 읽고 다시 시도한다.

:::{admonition} 이번 주의 채점 기준
:class: quotebox

답이 아니라 근거가 점수다. 이번 주의 근거는 **번호**다. "이 문장은 어색하다"는 0점이고, "이 문장은 원칙 6 위반이다 — 관계 기호가 서술어 자리에 있어 문장이 조각으로 남았다"가 만점이다. 교정 문제의 제출물은 두 가지다: ① 위반 목록(원칙 번호와 자리) ② 수정본 전문. 지적만 하고 수정본을 쓰지 않으면 절반만 제출한 것이고, 수정본만 쓰고 번호를 달지 않으면 무엇을 고쳤는지 검사할 수 없다. 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.
:::

### 기본 ●○○

**1.** [백지] 소통의 3목표, 기호 10원칙, 수식 표시법 3규칙(표시 여부 / 등호 정렬 / 줄바꿈 위치)을 쓰시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

10원칙을 한 줄씩 순서대로 떠올리려 하면 중간에서 끊긴다. 세 묶음으로 나눠

묶음 이름부터 세운다: 문장 층(1$\cdot$2$\cdot$4$\cdot$6), 기호 선택 층(3$\cdot$5$\cdot$9$\cdot$10), 진술 설계

층(7$\cdot$8). 묶음이 서면 그 안의 항목은 따라 나온다.
:::

**2.** 다음 문장의 위반 원칙을 지목하고 고치시오. (a) "$2^{31} - 1$은 소수이다"를 기호로 시작하도록 적은 문장. (b) "$n \ge 2$는 정수이면 $n$은 소수 또는 합성수." (c) "$x^2 = 4$이므로 $x = 2$ 또는 $-2$."

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

세 문장 모두 수학은 옳다. 각 문장을 소리 내어 낱말로 읽어 보고, 읽다가 문법이

어긋나는 자리를 짚는다. (a)는 첫 글자, (b)는 서술어 자리, (c)는 "또는" 뒤가

그 자리다.
:::

**3.** 예제 2.1의 답안 A를 답안 B로 고쳐 쓰시오 (전 원칙 준수).

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

답안 A의 다섯 조각을 먼저 사실 목록으로 옮겨 적는다. 그러면 고칠 것이 사실이

아니라 문장임이 눈에 보인다. 조각마다 빠진 것은 서술어, 문자 소개, 배치 셋

중 하나다.
:::

**4.** §3의 빈칸 사다리 훈련 1~3을 백지에서 완성하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

훈련 3이 막히면 §2 관찰의 3단 뼈대를 먼저 적고, 네 칸을 그 뼈대에 대응시킨다.

초안의 수학이 옳은지부터 판정하는 것이 ①이다.
:::

**5.** 예제 2.2의 표시를 백지에서 재현하고 등호 정렬$\cdot$홀수 정의 꼴 마무리를 확인하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

재현이 막히는 자리는 대개 셋째 줄의 계수 정리다. $k^2$의 계수는 $12 + 12$,

$k$의 계수는 $6 + 12 - 2$, 상수항은 $1 + 3 - 1 + 4$로 따로 세어 적는다.
:::

**6.** "언 기호(frozen symbol)"란 무엇인지 설명하고, $m, n$(정수), $A, B$(집합), $f$(함수), $x, y$(실수)의 관례를 어긴 예를 각각 하나씩 만드시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

관례를 어기는 가장 빠른 방법은 문자를 서로 맞바꾸는 것이다. 정수 자리에 $x$를,

실수 자리에 $n$을, 집합 자리에 $f$를 넣어 보고, 그 문장을 처음 읽는 사람이

무엇을 잘못 기대하게 되는지 한 줄로 적는다.
:::

### 표준 ●●○

**7.** 다음 증명의 전달을 전면 개선하시오 (수학은 유지, 원칙 위반을 모두 수정).

:::{container} quotebox
"$a, b$ 유리수. $a = p/q$, $b = r/s$. $a + b = (ps + qr)/(qs)$. $ps+qr, qs$ 정수, $qs \neq 0$. $\Rightarrow a + b$ 유리수. $\blacksquare$"
:::

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

위반 목록을 먼저 만든다. 그리고 원칙 8을 적용할 때 $p, q, r, s$ 넷의 자격을

한꺼번에 선언해야 한다 — 정수라는 것만으로는 부족하고, 분모가 될 두 문자에는

0이 아니라는 조건이 함께 붙는다. 그 조건이 마지막 줄 $qs \neq 0$의 근거다.
:::

**8.** 표시로 올려야 하는 경우와 본문에 두는 것이 나은 경우를 각각 예로 판정하시오: (a) "$x + 1$" (b) "$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}2$의 귀납 단계 계산 4줄" (c) "$a^2 \ge 0$" (d) "이차방정식 근의 공식 유도 6줄". 각각 표시/본문 중 무엇인지 + 이유.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

판정 기준은 둘이다 — 식이 몇 줄에 걸치는가(규칙 1), 그리고 뒤에서 그 식을 다시

인용할 것인가(부칙). 첫 기준으로 (a)(b)(d)가 갈리고, (c)는 둘째 기준이 판정을

뒤집을 수 있는 경계 사례다.
:::

**9.** 원칙 6(단어$\cdot$기호 혼용)의 위반 5개를 만들고 각각 고치시오 (예: "$\ge$"를 서술어로 쓴 경우, "또는 3"처럼 기호 생략 등).

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

위반을 만드는 자리는 네 곳으로 정해져 있다: 관계 기호를 서술어로 쓰는 자리,

등식의 좌변을 생략하는 자리, 논리 접속을 기호로 대신하는 자리, 수량 형용사를

기호로 적는 자리. 네 자리에서 하나씩 만들고 다섯째는 앞의 조합으로 만든다.
:::

**10.** 다음 정리 진술에서 불필요한 기호를 제거하시오 (원칙 7). (a) "정리: 모든 짝수 정수 $n$의 제곱 $n^2$은 4의 배수이다." (b) "정리: 임의의 집합 $A$에 대해 $A \subseteq A$이다." — 각각 기호가 정말 불필요한지 판단(반례: 기호가 진술에 필수인 경우도 있음).

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

판정 기준은 "몇 번 나오는가"가 아니라 "그 이름이 일을 하는가"다. 문자를 지우고

낱말로만 진술해 본 뒤, 읽기가 나아졌는지 나빠졌는지로 판정한다. 나빠지는

사례를 하나 만들어 두면 판정 기준이 선명해진다.
:::

**11.** 줄바꿈 규칙 실습: 긴 식 "$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$"을 본문에서 두 줄로 쪼갤 때 올바른 쪼갬과 틀린 쪼갬을 각각 쓰고, 왜 첫 줄이 "$+$"로 끝나야 하는지 설명하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

틀린 쪼갬을 먼저 적고, 그 첫 줄만 가리고 읽어 본다. 그 자체로 완결된 등식으로

읽히는지가 판정이다. 확인 8에서 한 번 다뤘다.
:::

**12.** 나선형 쓰기(spiral) 실습: "$\sqrt2$가 무리수임"을 증명하는 소논문을 쓴다고 할 때, 처음 계획에서 빠뜨렸다가 나중에 "앞에 넣었어야 했다"고 깨달을 만한 항목(정의$\cdot$보조정리$\cdot$예제) 세 개를 예상하시오 (예: 유리수의 기약분수 표현, "$a^2$ 짝수 $\Rightarrow$ $a$ 짝수" 보조정리).

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

본증명을 머릿속으로 한 번 끝까지 써 보고, 멈칫하는 자리를 표시한다. 멈칫하는

자리마다 "여기서 인용한 것이 앞에 세워져 있는가"를 묻는다. 결론 문장에서

쓰는 용어가 정의되어 있는지도 함께 본다.
:::

**13.** 독자 의식 실습: 같은 명제 "$A \cup B = B \iff A \subseteq B$"를 (a) 이번 학기 동료 학생용 (b) 증명을 처음 배우는 사람용으로 각각 도입 문장을 다르게 쓰시오 — 독자에 따라 무엇을 더 설명해야 하는지.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

두 도입 문장의 차이는 길이가 아니라 **전제할 수 있는 것의 목록**이다. 목록을

먼저 두 줄로 적는다 — 동료가 이미 아는 것, 초학자가 아직 모르는 것. 그 차이가

그대로 (b)에 추가될 문장이 된다.
:::

**14.** 1권 20주차 6조와 Chartrand 10원칙을 대응표로 만드시오 — 어느 원칙이 6조의 어느 조항을 확장/세분화하는가 (예: 6조의 "문자 소개" $\leftrightarrow$ 원칙 8, "기호로 시작 금지" $\leftrightarrow$ 원칙 1).

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

여섯 조항을 왼쪽 열에 두고 오른쪽에 원칙 번호를 붙인다. 대응이 없는 칸이

양쪽에 하나씩 생기는데, 그 두 칸이 이번 주가 실제로 추가한 것이다.
:::

### 도전 ●●●

:::{admonition} 이 문제가 요구하는 판정 — 교정인가 재증명인가
:class: quotebox

§2 관찰의 3단 뼈대는 ①에서 수학이 옳은지 먼저 판정한다. 옳으면 전달 교정이고, 틀렸으면 교정 대상이 아니라 **재증명** 대상이다. 다음 문제의 초안은 뒤쪽이다 — 전달도 무너져 있지만 그 전에 경우 하나가 통째로 빠져 있다. 빠진 경우를 메우는 도구는 S15주차의 경우법이고, 그 채점 기준은 두 가지다: ① 경우들이 전체를 빠짐없이 덮는가 ② 각 경우가 각각 완결되는가.
:::

**15.** (전면 재작성) 다음 "증명"을 소통 관점에서 전면 재작성하시오. 수학적 결함도 있으면 함께 수정.

:::{container} quotebox
"claim: $n^2+n$ even $\forall n$. pf: $n=2k \Rightarrow n^2+n = 4k^2+2k$ even. done."

(전달 오류 + 수학 결함(홀수 케이스 누락 — S15주차 경우법)을 모두 잡아 완전한 답안으로.)
:::

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

먼저 초안이 실제로 다룬 $n$이 어떤 $n$인지 적어 본다. "$n = 2k$"라고 놓은 순간

짝수만 다룬 것이 된다. 홀수 $n$에 대해 같은 계산을 해 보면 답이 나오고, 두

경우를 합치는 문장이 마지막에 필요하다. 경우를 나누지 않는 별해도 있다 —

$n^2 + n$을 인수분해해 보자.
:::

:::{admonition} 이 문제가 쓰는 도구 — 주석 열이 붙은 정렬 표시
:class: quotebox

표시된 계산에서 각 줄의 근거를 오른쪽에 적으면 검사가 훨씬 빨라진다. 정렬 표시에서 등호를 맞추는 열 뒤에 한 열을 더 열고, 그 열에 근거를 낱말로 적는다. 화면에서는 등호가 세로로 맞고 근거가 오른쪽에 나란히 서는 형태가 된다. 근거 칸에는 수식이 아니라 낱말을 쓴다 — 근거를 기호로 적으면 계산과 구별되지 않는다(6조 5항).
:::

**16.** (등호 정렬 대작) $(n+1)^3 - (n+1)$을 전개해 $(n^3 - n) + 3n(n+1)$ 꼴로 정리하는 과정을 등호 정렬 표시로 작성하시오 (S14주차 예제 2.2의 계산을 주석 열이 붙은 정렬 표시로 — 각 등호 줄의 근거를 오른쪽에 주석으로). 최종적으로 이것이 3의 배수 귀납에 쓰임을 한 문장.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

네 줄로 끊는다: 이항 전개 / 정리 / $n^3 - n$ 덩어리 분리 / 인수 묶기. 셋째 줄에서

$n^3 - n$을 통째로 묶어 내는 것이 이 계산의 목적이다 — 그 덩어리가 귀납 가정이

걸리는 자리이기 때문이다.
:::

:::{admonition} 이 문제가 쓰는 구분 — 대상 언어와 메타 언어
:class: quotebox

어떤 글에서 논리 기호가 **다루어지는 대상**일 때가 있고, 그 논리를 **사용해** 다른 것을 논증할 때가 있다. 앞의 경우 그 기호는 글의 소재이므로 본문에 등장해야 하고, 뒤의 경우 그 기호는 도구이므로 낱말로 풀어 쓴다. 전자를 대상 언어, 후자를 메타 언어라 부르는 관점으로 정리하면 원칙 3의 예외가 예외가 아니게 된다. 이 구분의 정식 취급은 C3주차다.
:::

**17.** (원칙의 예외) 원칙 3은 "논리를 논의할 때는 $\Rightarrow, \forall, \exists$를 써도 된다"고 예외를 둔다. C3~C4주차(논리$\cdot$양화사)에서 이 기호들을 본문에 쓰는 것이 정당한 이유와, 그럼에도 **증명의 산문**에서는 여전히 단어로 쓰는 이유를 구분해 설명하시오 (메타 논의 vs 증명 서술의 차이).

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

한 문서 안에 두 경우가 같이 나타나는 상황을 상상하면 구분이 선명해진다.

C3주차의 본문은 "$P \Rightarrow Q$의 대우는 무엇인가"를 논하면서, 그 장의

예제 증명은 "…이면 …이다"로 적는다. 같은 기호가 한쪽에서는 소재이고 다른

쪽에서는 도구다.
:::

**18.** (진단 종합) 다음 한 문단 증명에서 전달 오류를 **모두**(원칙 번호와 함께) 찾고 완전 재작성하시오.

:::{container} quotebox
"Thm: $\sqrt2$ irrational. Pf: suppose $\sqrt2 = a/b$, gcd=1. $\Rightarrow 2 = a^2/b^2 \Rightarrow a^2 = 2b^2 \Rightarrow 2 \mid a^2 \Rightarrow 2 \mid a \Rightarrow a = 2c \Rightarrow 4c^2 = 2b^2 \Rightarrow b^2 = 2c^2 \Rightarrow 2 \mid b$. but gcd(a,b)=1. contradiction. $\blacksquare$"

(기호 시작$\cdot$$\Rightarrow$ 남용$\cdot$문자 미소개$\cdot$i.e. 등 — 그리고 이것이 "옳은 증명의 나쁜 전달"임을 논평.)
:::

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

화살표를 하나씩 세어 보면 여덟 개다. 여덟 개를 전부 접속 낱말로 바꾸되,

바꾸면서 각 화살표가 실제로 어떤 근거로 성립했는지 적는다. 그러면 원 증명이

생략한 근거가 어디에 몇 개 있었는지도 함께 드러난다.
:::

**19.** (창작) 자신이 1학기에 증명한 명제 하나를 골라, Chartrand 10원칙과 수식 표시법을 **완벽히** 준수한 모범 답안으로 다시 쓰시오. 그리고 자신의 1학기 원답안과 비교해 개선된 지점 세 개를 표시하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

명제는 계산이 두 줄 이상 나오는 것으로 고른다. 계산이 한 줄이면 표시법을

적용할 자리가 없어 원칙 절반이 놀게 된다. 개선 지점 세 개는 서로 다른 층에서

하나씩 고르면 자기 답안의 약점 분포가 보인다 — 문장 층, 진술 설계 층, 배치 층.
:::

**20.** (서술) (a) "증명이 옳은 것과 잘 전달되는 것은 다르다"를 예제 2.1(같은 수학, 다른 전달)로 뒷받침하고, 이것이 S1주차의 "회의적 독자" 관점의 실천임을 세 문장 이내로. (b) 왜 수학자들이 완성 글에서 $\Rightarrow, \forall, \exists$를 피하는지(원칙 3), 그럼에도 노트$\cdot$설계에서는 쓰는지(1학기 분석표) — "설계 도구와 전달 매체의 분리"로 두 문장 이내 설명하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

(b)의 두 문장은 각각 한 쪽씩 맡는다. 첫 문장은 설계 기록이 무엇을 담는지

(아직 참이 확인되지 않은 목표까지 담는다 — S3주차 §1.7), 둘째 문장은 제출물이

무엇만 담는지(확보된 참을 확보된 순서대로)를 적으면 된다.
:::

## 백지 재현 — 복습 프로토콜

**이번 주의 5일 루틴.** 원서와 교안을 번갈아 쓰는 순서다.

| **요일** | **할 일** |
|---|---|
| 1일차 | 원서 Chartrand 0장 통독 (모르는 문장은 표시만 하고 통과) |
| 2일차 | 교안 §0~§2 — 개념과 예제. 확인 상자는 연필로 먼저 답한다 |
| 3일차 | 원서 재독 — 1일차에 표시한 문장을 해결하고, 원서 0장의 연습문제 몇 개를 직접 시도 |
| 4일차 | 교안 §3 빈칸 사다리 + §4 연습문제 20문항 |
| 5일차 | 백지 재현 1차(틀 카드)$\cdot$2차(완전 백지) + 체크리스트 |

0장은 학기 내내 주기적으로 다시 읽을 장이다. 이번 주에 한 번 통독한 뒤, 이후 주차에서 답안을 쓰다 막힐 때마다 해당 원칙 항목만 되돌아 읽는 방식으로 쓴다.

**1차 시도 — 틀 카드 허용.** 다음 세 상자만 옮겨 적은 카드를 펴 놓는다: 기호 사용 10원칙, 수식 표시법 3규칙, 전달 교정의 3단 뼈대. 그 상태에서 예제 2.1의 답안 A를 답안 B로 고치는 과정을 처음부터 끝까지 적는다. 예제 본문과 확인 상자는 보지 않는다.

**2차 시도 — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다.

- [ ] 소통의 세 목표, 기호 사용 10원칙, 수식 표시법 3규칙을 백지에 썼다.
- [ ] 전달 교정의 3단 뼈대를 백지에 쓰고, ①에서 판정이 갈리면 무엇이 달라지는지 말했다.
- [ ] 예제 2.1의 답안 B를 다섯 문장으로 재현했다 (표시 배치 포함).
- [ ] 예제 2.2의 정렬 표시를 네 줄로 재현하고 계수 검산을 수행했다.
- [ ] 예제 2.3의 여섯 조각을 원칙 번호로 진단하고 각각 고쳤다.
- [ ] 1권 20주차 6조와 10원칙의 대응(문제 14)을 표로 만들었다.
- [ ] 원서 0장을 완독했고, 1일차에 표시한 문장이 전부 해결되었다.

**막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

| **막힌 지점** | **처방** |
|---|---|
| 원칙 열 개가 중간에서 끊긴다 | §1.4 해부 표 — 각 원칙이 막는 붕괴와 함께 외운다 |
| 어느 식을 표시로 올릴지 판정이 안 된다 | §1.5 규칙 1과 확인 7 — 줄 수와 등호 개수로 판정한다 |
| 위반은 찾는데 수정본이 안 나온다 | 예제 2.1의 1~5단계 — 걸음마다 고칠 것이 하나씩 정해져 있다 |
| 수학이 틀린 초안을 전달만 고치고 만다 | §2 관찰의 3단 뼈대 ① — 판정이 갈리는 자리다 (문제 15) |
| 무엇을 생략해도 되는지 모르겠다 | §1.6 전제 1 — 기준 독자를 같은 과정의 동료로 고정한다 |
| 정렬 표시를 손으로 쓸 때 등호가 어긋난다 | 예제 2.2 완성본 — 등호를 먼저 세로로 찍고 좌우를 채운다 |

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 적고 다음날 재시도한다.

## 해설

각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 1

(1) 1  (2) 8  (3) 3  (4) 짝수  (5) 짝수

※ 셋째 항목에서 $\forall$와 $\Rightarrow$가 함께 걸리는 것에 주의한다. 두 기호는 서로 다른 일을 하지만(하나는 양화사, 하나는 함의), 산문에서 쓰지 않는다는 점에서는 같은 원칙 3의 대상이다. 수정본에서 $\forall$가 사라진 자리는 첫 문장의 "정수 $n$이 짝수라 하자"가 대신한다 — 임의의 $n$을 잡는 문장이 곧 "모든"의 처리이기 때문이다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 2

(1) 1  (2) 8  (3) 3  (4) 1  (5) $2k$  (6) $k^2 + k$  (7) 정수의 곱과 합

※ (4)의 판정이 이 훈련의 새로운 부분이다. 등호 두 개로 이어진 계산이므로 표시법 규칙 1이 걸린다. (7)은 근거 ②(닫힘성)를 낱말로 적는 자리이고, "$k^2 + k \in \mathbb{Z}$"로 기호만 적으면 §1.7 확인 10에서 진단한 미달이 된다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 3

(1) 초안의 계산은 옳다. $n = 2a+1$일 때 $n^2 - 1 = (4a^2 + 4a + 1) - 1 = 4a^2 + 4a = 4(a^2+a)$이고 $a^2 + a$가 정수이므로 결론도 옳다. 따라서 이 초안은 재증명 대상이 아니라 전달 교정 대상이다. (2) 원칙 1(첫 조각 "thm:"과 "pf:" 뒤가 기호로 시작), 원칙 3($\forall$와 $\Rightarrow$를 산문에 씀 — 화살표 세 개), 원칙 6(진술과 결론이 조각으로 남음), 원칙 8($a$의 자격 없음), 6조 6항(개시$\cdot$종료 표시 없음), 표시법 규칙 1(등호 두 개의 계산이 본문에 눌림). (3) $n^2 - 1$의 전개를 표시로 올린다. 정리 진술은 짧으므로 본문에 둔다. (4) 완성 산문은 다음과 같다.

**정리.** 정수 $n$이 홀수이면 $n^2 - 1$은 4의 배수이다.

**증명.** 정수 $n$이 홀수라 하자. 홀수의 정의에 의해, 어떤 정수 $a$에 대해 $n = 2a + 1$이다. 그러면 다음이 성립한다.

$$
n^2 - 1 = (2a+1)^2 - 1 = 4a^2 + 4a = 4(a^2 + a)
$$

$a^2 + a$는 정수의 곱과 합이므로 정수이다. 따라서 $n^2 - 1$은 4의 배수이다. $\blacksquare$

※ 정리 진술에서 $\forall$를 지우고 "정수 $n$이 홀수이면"으로 적은 것이 원칙 3의 처리다. 진술에 남은 $n$은 두 번 일하므로 원칙 7의 대상이 아니다.

### 문제 1

**접근.** 세 목록은 길이가 다르므로 외우는 방식도 달라야 한다. 3목표는 한 문장으로 외우고, 3규칙은 "어디에 놓는가 / 무엇을 맞추는가 / 어디서 끊는가"라는 세 물음으로 외운다. 10원칙은 한 줄씩 순서대로 떠올리면 중간에서 끊기므로 세 묶음으로 나눈다.

**풀이.** **세 목표** — 옳게(주장과 근거에 오류가 없다), 명확하게(정해 둔 독자가 각 줄의 근거를 복원할 수 있다), 흥미롭게(왜 이 명제를 다루는지와 핵심 지점이 드러난다).

**10원칙** — 문장 층: 1(문장을 기호로 시작하지 않는다), 2(기호 사이에 낱말을 넣는다), 4(줄임말을 기호 곁에 두지 않는다), 6(낱말과 기호를 문법이 깨지도록 섞지 않는다). 기호 선택 층: 3(산문에 논리 기호를 쓰지 않는다), 5(작은 정수는 낱말로, 지정된 값은 숫자로), 9(언 기호의 관례를 지킨다), 10(짝을 이루는 자리에 짝을 이루는 기호). 진술 설계 층: 7(일하지 않는 기호를 진술에서 뺀다), 8(도입하는 기호의 자격을 그 자리에서 밝힌다).

**표시법 3규칙** — 규칙 1(짧은 식은 본문, 여러 줄 계산은 표시로), 규칙 2(표시된 계산은 등호를 세로로 정렬), 규칙 3(본문에서 식을 쪼갤 때 첫 줄을 연산$\cdot$비교 기호로 끝낸다). 부칙으로 나중에 참조할 식에는 번호를 붙인다.

**복기.** 세 묶음의 이름이 곧 위반 진단의 순서다. 답안을 점검할 때 문장 층부터 보고, 문장이 완결된 뒤에 기호 선택 층을, 마지막에 진술 설계 층을 본다 — 예제 2.3 확인 17에서 세운 그 순서다.

### 문제 2

**접근.** 세 문장 모두 수학은 옳다. 따라서 3단 뼈대 ①의 판정은 "전달 교정"이고, 고칠 자리는 문법이 어긋나는 지점이다. 각 문장을 기호까지 전부 낱말로 소리 내어 읽어 보면 어긋나는 자리가 드러난다.

**풀이.** **(a)** 원칙 1 위반이다. 문장이 수식 $2^{31} - 1$로 시작하면 앞 문장의 마침표와 붙어 읽히고, 새 문장이 시작되었다는 신호가 없다. 수정: "수 $2^{31} - 1$은 소수이다." 앞에 "수"라는 낱말 하나를 세우는 것으로 끝난다.

**(b)** 원칙 6 위반이다. "$n \ge 2$는 정수이면"에서 관계식 $n \ge 2$가 주어 자리에 놓여 "…는 정수이면"의 서술과 충돌하고, 문장이 조각으로 남는다. 수정: "정수 $n$이 $n \ge 2$를 만족하면, $n$은 소수이거나 합성수이다." 또는 기호를 전부 낱말로 옮겨 "1을 초과하는 모든 정수는 소수이거나 합성수이다."

**(c)** 원칙 6 위반이다. "또는 $-2$"에는 좌변이 없어 무엇이 $-2$인지 문장이 말하지 않는다. 수정: "$x^2 = 4$이므로 $x = 2$ 또는 $x = -2$이다."

**검산.** 세 수정본을 기호까지 낱말로 바꿔 소리 내어 읽어 본다. (a)는 "수 이의 삼십일제곱 빼기 일은 소수이다", (b)는 "정수 엔이 엔은 이 이상을 만족하면", (c)는 "엑스는 이 또는 엑스는 마이너스 이이다" — 셋 다 완결된 문장이 된다.

### 문제 3

**접근.** 예제 2.1에서 함께 만든 답안 B를 이번에는 스캐폴드 없이 적는다. 관건은 다섯 걸음의 순서를 기억하는 것이 아니라, 답안 A의 다섯 조각 각각에서 **무엇이 빠졌는지**를 다시 판정하는 것이다. 조각마다 빠진 것은 서술어, 문자 소개, 배치 셋 중 하나다.

**풀이.** 답안 A의 조각별 결손은 이렇다. "$n$ 홀수"에는 서술어와 $n$의 자격이 없고, "$n = 2k+1$"에는 $k$의 자격과 이 등식이 나온 근거가 없고, 계산 조각에는 배치가 없고, "$\therefore$ $n^2$ 홀수"에는 서술어가 없으며 접속이 기호로 되어 있고, "$\forall$ 홀수 ✓"는 첫 문장이 이미 확보한 것을 중복해 적은 군더더기다. 다섯 결손을 메우면 답안 B가 된다.

**증명.** 정수 $n$이 홀수라 하자. 홀수의 정의에 의해, 어떤 정수 $k$에 대해 $n = 2k + 1$이다. 그러면 다음이 성립한다.

$$
n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1
$$

$2k^2 + 2k$는 정수의 곱과 합이므로 정수이다. 따라서 $n^2$은 홀수이다. $\blacksquare$

**복기.** 수정 전후로 계산은 한 글자도 달라지지 않았다. 늘어난 것은 낱말뿐이고, 그 낱말이 하는 일은 독자가 스스로 복원해야 했던 정보를 지면으로 옮긴 것이다. 전달 교정의 성과는 언제나 이 형태로 나타난다.

### 문제 4

**접근.** 세 훈련은 지지대가 다르므로 막히는 자리도 다르다. 훈련 1은 원칙 번호만 대면 되고, 훈련 2는 배치 판정과 근거 문장이 추가되며, 훈련 3은 3단 뼈대 자체를 칸으로 채운다. 훈련 3에서 막히면 ①(수학 확인)부터 다시 한다.

**풀이.** 세 훈련의 완성 산문은 다음과 같다.

**훈련 1의 수정본.** "정수 $n$이 짝수라 하자. 그러면 어떤 정수 $k$에 대해 $n = 2k$이다. 따라서 $n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$이고, $2k^2$이 정수이므로 $n^2$은 짝수이다. $\blacksquare$"

**훈련 2의 수정본.** "정수 $m$이 짝수라 하자. 짝수의 정의에 의해, 어떤 정수 $k$에 대해 $m = 2k$이다. 그러면 $m^2 + 2m = 4k^2 + 4k = 4(k^2 + k)$이고, $k^2 + k$는 정수의 곱과 합이므로 정수이다. 따라서 $m^2 + 2m$은 4의 배수이다. $\blacksquare$" (계산은 표시로 올려 적는다.)

**훈련 3의 수정본.** 위 "빈칸 사다리 — 훈련 3" 항목의 정리$\cdot$증명이 그대로 답이다. 네 칸 중 ①의 판정이 가장 중요하다 — 초안의 수학이 옳으므로 교정이고, 만약 틀렸다면 문제 15처럼 재증명이었다.

**복기.** 세 훈련의 난도 차이는 수학이 아니라 **스스로 만들어야 하는 판단의 개수**에서 온다. 훈련 1은 판단이 세 개(원칙 번호 셋), 훈련 2는 다섯 개(원칙 셋 + 배치 + 근거), 훈련 3은 네 칸 전부다.

### 문제 5

**접근.** 재현이 막히는 자리는 정해져 있다. 첫째 줄의 대입은 기계적이고, 넷째 줄의 묶기는 목표 꼴이 정해 준다. 실제로 막히는 것은 셋째 줄의 계수 정리다. 세 종류의 항을 따로 세어 적는다.

**풀이.** 정수 $n$이 홀수라 하자. 홀수의 정의에 의해, 어떤 정수 $k$에 대해 $n = 2k+1$이다. 그러면 다음이 성립한다.

$$
\begin{aligned}\begin{aligned} n^3 + 3n^2 - n + 4 &= (2k+1)^3 + 3(2k+1)^2 - (2k+1) + 4 \\ &= (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) + 3(4k^2 + 4k + 1) - 2k - 1 + 4 \\ &= 8k^3 + 24k^2 + 16k + 7 \\ &= 2(4k^3 + 12k^2 + 8k + 3) + 1 \end{aligned}\end{aligned}
$$

$k$가 정수이므로 $4k^3 + 12k^2 + 8k + 3$은 정수의 곱과 합으로서 정수이고, 따라서 이 값은 홀수이다.

**검산.** $k^2$의 계수는 $12 + 12 = 24$, $k$의 계수는 $6 + 12 - 2 = 16$, 상수항은 $1 + 3 - 1 + 4 = 7$이다. 마지막 줄은 $2 \times (4k^3 + 12k^2 + 8k + 3) = 8k^3 + 24k^2 + 16k + 6$에 $1$을 더한 것이므로 셋째 줄과 일치한다. 수치 검산으로는 $k = 1$일 때 $n = 3$이고 $27 + 27 - 3 + 4 = 55$이며, 우변은 $2(4 + 12 + 8 + 3) + 1 = 2 \times 27 + 1 = 55$이다.

**복기.** 등호 정렬의 실제 효용이 이 검산에서 드러난다. 네 줄이 세로로 놓여 있어 계수 하나를 검사할 때 그 줄만 보면 되고, §1.1의 답안 P처럼 한 줄에 눌려 있으면 같은 검사에 훨씬 긴 시간이 든다.

### 문제 6

**접근.** 정의를 먼저 정확히 적고, 위반 예는 문자를 서로 맞바꾸는 방식으로 만든다. 중요한 것은 예를 만드는 것이 아니라 각 예에서 **독자가 무엇을 잘못 기대하게 되는지**를 적는 것이다. 그것이 언 기호가 하는 일의 증거다.

**풀이.** 언 기호란 관례로 특정 종류의 대상에 고정된 문자를 뜻한다. 문자를 보는 순간 독자가 그 종류를 기대하게 되므로, 관례를 어기면 독자는 문장을 두 번 읽는다.

$m, n$(정수)의 위반: "실수 $n$에 대해 $n^2 \ge 0$이다." 독자는 $n$을 보고 정수 범위의 주장으로 읽었다가 "실수"에서 되돌아온다. 정수 관례가 실수 주장을 가린다.

$A, B$(집합)의 위반: "$A$를 실수라 하고 $A \in B$라 하자." 대문자 $A$가 집합이라는 기대를 어겨, 독자는 $A \in B$를 "집합 $A$가 집합족 $B$의 원소"로 잘못 읽는다.

$f$(함수)의 위반: "어떤 정수 $f$에 대해 $f = 2g + 1$이다." $f$와 $g$는 함수 관례가 붙은 문자라, 독자는 등식을 함수의 합성이나 함숫값 관계로 읽으려 한다.

$x, y$(실수)의 위반: "집합 $x$와 $y$에 대해 $x \cup y = y$이다." 소문자 $x, y$는 실수 관례이므로 독자는 $\cup$가 나올 때까지 두 대상을 수로 붙들고 있다.

**복기.** 네 예의 공통점은 수학적 오류가 하나도 없다는 것이다. 언 기호는 참$\cdot$거짓의 문제가 아니라 **독해 속도**의 문제이고, 그래서 원칙 9는 전달 층의 규칙이다.

### 문제 7

**접근.** 3단 뼈대 ①부터 한다. 초안의 수학은 옳다 — 두 유리수를 분수로 놓고 통분해 더한 것이고, 결론도 참이다. 다만 초안은 $qs \neq 0$을 적어 놓고도 그 근거인 $q \neq 0$, $s \neq 0$을 유리수의 정의에서 옮겨 적지 않았다 — 그래서 적혀 있는 $qs \neq 0$이 근거 없는 단언으로 남는다. 이것은 수학적 결함이 아니라 원칙 8의 결손이다(정의에 이미 들어 있는 조건을 문자 소개 자리에 옮겨 적지 않았을 뿐이다). ②로 넘어가면 위반은 원칙 1, 3, 6, 8과 표시법 규칙 1이다.

**풀이.**

**정리.** 두 유리수의 합은 유리수이다.

**증명.** $a$와 $b$를 유리수라 하자. 유리수의 정의에 의해, 정수 $p, q, r, s$가 존재하여 $q \neq 0$, $s \neq 0$이고 $a = \dfrac{p}{q}$, $b = \dfrac{r}{s}$이다. 그러면 다음이 성립한다.

$$
a + b = \frac{p}{q} + \frac{r}{s} = \frac{ps + qr}{qs}
$$

$ps + qr$과 $qs$는 정수의 곱과 합이므로 정수이고, $q \neq 0$이고 $s \neq 0$이므로 $qs \neq 0$이다. 따라서 $a + b$는 유리수의 정의를 만족하므로 유리수이다. $\blacksquare$

**위반 목록.** 원칙 1 — "$a, b$ 유리수"가 기호로 시작한다. 원칙 6 — 다섯 조각 전부 서술어가 없다. 원칙 8 — $p, q, r, s$의 자격이 없고 $q, s$의 0 아님 조건이 없다. 원칙 3 — $\Rightarrow$를 접속사로 썼다. 규칙 1 — 통분 계산이 본문에 눌려 있다. 6조 6항 — 개시 표시가 없다.

**검산.** $a = \frac12$, $b = \frac23$이면 $\frac{1 \cdot 3 + 2 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac76$이고, $\frac12 + \frac23 = \frac36 + \frac46 = \frac76$으로 일치한다.

### 문제 8

**접근.** 판정 기준은 두 가지다 — 식이 몇 줄에 걸치는가(규칙 1), 그리고 나중에 그 식을 다시 인용할 것인가(부칙). 첫 기준으로 대부분이 갈리고, 짧은데도 표시로 올려야 하는 경우는 둘째 기준이 만든다.

**풀이.** **(a) 본문.** $x + 1$은 한 항이라 줄이 끊길 여지가 없고, 표시로 올리면 문장의 흐름만 끊어진다. 짧은 식을 표시로 올리는 것도 규칙 1의 위반이다.

**(b) 표시.** 네 줄이 등호로 이어지므로 규칙 1의 대상이고, 규칙 2에 따라 등호를 세로로 맞춘다. 귀납 단계는 각 줄이 "직전 줄과 같다"는 주장의 연속이므로 정렬의 효용이 가장 큰 자리다.

**(c) 본문.** $a^2 \ge 0$은 한 관계식이다. 다만 이 부등식을 뒤에서 여러 번 인용할 글이라면 부칙에 따라 표시로 올려 번호를 붙이는 판단도 가능하다 — 판정 기준이 길이에서 인용 여부로 바뀌는 경계 사례다.

**(d) 표시.** 여섯 줄 유도이므로 규칙 1과 2의 대상이고, 근의 공식은 뒤에서 거의 반드시 인용되므로 부칙에 따라 번호까지 붙인다.

**복기.** 정리하면 판정 순서는 이렇다 — 여러 줄인가(예: 표시) $\to$ 아니면 뒤에서 인용하는가(예: 표시하고 번호) $\to$ 둘 다 아니면 본문. 세 물음으로 모든 경우가 갈린다.

### 문제 9

**접근.** 위반을 무작정 지어내면 비슷한 것만 다섯 개가 나온다. 원칙 6이 깨지는 자리를 먼저 유형으로 정리한다: 관계 기호를 서술어로 쓰는 자리, 등식의 좌변을 생략하는 자리, 논리 접속을 기호로 대신하는 자리, 수량을 기호로 적는 자리.

**풀이.** 다섯 쌍은 다음과 같다.

첫째. "모든 정수 $> 5$는 …" $\to$ "5를 초과하는 모든 정수는 …". 관계 기호가 명사구를 수식하는 자리에 그대로 놓여 문장이 조각으로 남았다.

둘째. "$x = 1$ 또는 $2$" $\to$ "$x = 1$ 또는 $x = 2$". 둘째 값의 좌변이 생략되어 무엇이 2인지 문장이 말하지 않는다.

셋째. "함수가 미분가능 $\Rightarrow$ 연속" $\to$ "함수가 미분가능하면 연속이다". 논리 접속을 기호로 대신해 서술어가 사라졌다(원칙 3도 함께 걸린다).

넷째. "$n$은 $\ge 0$이다" $\to$ "$n$은 음이 아니다" 또는 "$n \ge 0$이다". 관계 기호가 서술어 자리에 반쯤 들어가 어중간한 형태가 되었다.

다섯째. "집합 $A \cap B \neq \emptyset$인 경우" $\to$ "$A \cap B$가 공집합이 아닌 경우". "집합"이라는 낱말이 걸리는 대상이 $A$인지 $A \cap B$인지 정해지지 않았다.

**복기.** 다섯 수정 모두 낱말을 늘렸다. 원칙 6의 교정은 거의 항상 기호를 낱말로 푸는 방향으로 진행되고, 반대 방향(낱말을 기호로 줄이는 방향)의 교정은 원칙 5가 지정한 좁은 경우뿐이다.

### 문제 10

**접근.** 원칙 7의 판정 기준은 등장 횟수가 아니라 "그 이름이 일을 하는가"다. 판정 방법은 하나다 — 문자를 지우고 낱말로만 진술해 본 뒤, 읽기가 나아졌는지 나빠졌는지 본다. 나빠지는 사례를 하나 만들어 두면 기준이 선명해진다.

**풀이.** **(a)** 기호를 지울 수 있다. "모든 짝수 정수의 제곱은 4의 배수이다." $n$이 두 번 등장하지만 두 번 모두 같은 대상의 같은 자리를 가리키고, 그 자리는 "제곱"이라는 낱말로 대신 지목된다. 지운 편이 읽기 좋다.

**(b)** 기호를 지울 수 있다. "모든 집합은 자기 자신의 부분집합이다." 여기서도 $A$의 두 번째 등장이 "자기 자신"이라는 낱말로 대체된다. 다만 이 진술을 증명할 때는 "$A$를 집합이라 하자"로 이름을 도입해야 한다 — 원칙 7의 후반부가 그 절차다.

**반례 — 기호가 필수인 경우.** "정수 $a$가 정수 $b$를 나누고 $b$가 정수 $c$를 나누면 $a$는 $c$를 나눈다." 여기서 세 문자를 지우면 "첫째 수가 둘째 수를 나누고 둘째가 셋째를 나누면 첫째가 셋째를 나눈다"가 되어 읽기가 나빠진다. 세 대상이 서로 얽힌 관계를 지목해야 하므로 이름이 일을 하고 있다.

**복기.** 원칙 7의 대상은 기호 일반이 아니라 **등장 횟수와 무관하게 낱말로 대체해도 읽기가 나빠지지 않는 이름**이다. §1.3의 "모든 합성수 $m$은 소수인 약수를 갖는다"의 $m$이 전형이고, (a)의 $n$과 (b)의 $A$도 두 번씩 등장하지만 "제곱"과 "자기 자신"이라는 낱말이 그 자리를 대신하므로 같은 판정을 받는다. 반면 위 반례의 $a, b, c$는 낱말로 바꾸면 읽기가 나빠지므로 남긴다.

### 문제 11

**접근.** 규칙 3의 이유는 "규칙이니까"가 아니라 오독을 막기 위해서다. 틀린 쪼갬을 먼저 적고 첫 줄만 가리고 읽어 보면, 그 줄이 그 자체로 완결된 등식처럼 읽히는지 아닌지가 바로 드러난다.

**풀이.** 올바른 쪼갬은 첫 줄을 "$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b +$"로 끝내고 둘째 줄을 "$6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$"로 잇는 것이다. 첫 줄 끝의 $+$ 기호가 "아직 남았다"는 신호를 준다.

틀린 쪼갬은 첫 줄을 "$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b$"로 끝내고 둘째 줄을 "$+\, 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$"로 시작하는 것이다. 첫 줄이 그 자체로 완결된 등식으로 읽히므로, 독자는 "$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b$"라는 **거짓 등식**을 한 번 읽고 다음 줄에서 정정해야 한다. 잘못된 정보를 한 번 준 뒤 회수하는 셈이다.

**복기.** 이 문제 자체가 표시법의 논거이기도 하다. 식을 표시로 올리면 줄을 쪼갤 일이 없어 규칙 3의 판단이 아예 필요 없어진다. 규칙 3은 표시로 올리기 애매한 중간 길이의 식에만 걸리는 규칙이다.

### 문제 12

**접근.** 나선형 쓰기의 실습은 "무엇을 빠뜨릴까"를 상상하는 것이 아니라, 본증명을 머릿속으로 끝까지 써 보고 **멈칫하는 자리**를 표시하는 것이다. 멈칫하는 자리마다 "여기서 인용한 것이 앞에 세워져 있는가"를 묻는다.

**풀이.** 세 항목은 다음과 같다.

첫째, **유리수의 기약분수 표현.** 귀류법으로 $\sqrt2 = \frac ab$라 놓을 때 "서로소인 $a, b$"를 잡아야 마지막의 모순이 성립한다. 모든 유리수를 서로소 분자$\cdot$분모로 쓸 수 있다는 사실이 앞에 없으면 그 정규화가 근거 없이 등장한다.

둘째, **보조정리 "$a^2$이 짝수이면 $a$가 짝수".** 본증명의 중간에서 두 번 인용된다. 이 보조정리 없이 그 줄을 쓰면 "$a^2$이 짝수이므로 $a$도 짝수"가 근거 없는 단언이 된다. 이 보조정리 자체가 대우 증명을 요구하므로 분량도 작지 않다.

셋째, **무리수의 정의.** 결론 문장이 "따라서 $\sqrt2$는 무리수이다"인데, 무리수가 "유리수가 아닌 실수"로 정의되어 있지 않으면 귀류의 결론이 명제의 결론과 연결되지 않는다.

**복기.** 세 항목의 공통점은 전부 **본증명을 쓰다가** 필요해진다는 것이다. 계획 단계에서는 보이지 않고 집필 중에 드러나므로, 앞으로 돌아가 삽입한 뒤 처음부터 다시 읽는 절차가 필요하다. 삽입 후 재독에서 첫째 항목이 둘째 항목의 진술 방식에 영향을 주는 것도 확인된다.

### 문제 13

**접근.** 두 도입 문장의 차이는 길이가 아니라 **전제할 수 있는 것의 목록**이다. 목록을 먼저 두 줄로 적고, 그 차이만큼을 (b)에 추가한다.

**풀이.** 전제 목록은 이렇다. 동료 학생은 집합의 상등을 양방향 포함으로 보인다는 것, 부분집합의 정의, 합집합의 정의, 그리고 동치 명제는 양방향을 각각 보인다는 것을 이미 안다. 초학자는 이 중 어느 것도 확정적으로 알지 못한다.

**(a) 동료 학생용 도입.** "집합 $A$, $B$에 대해 $A \cup B = B$와 $A \subseteq B$가 동치임을 보인다. 두 방향을 차례로 증명한다." 전제된 것을 다시 설명하지 않는다.

**(b) 초학자용 도입.** "집합 $A$, $B$에 대해 $A \cup B = B$와 $A \subseteq B$가 동치임을 보인다. 두 집합이 같다는 것은 서로를 포함한다는 뜻이고, $A \subseteq B$란 $A$의 모든 원소가 $B$에 속한다는 뜻이다. 또 두 명제가 동치임을 보이려면 각 방향을 따로 증명해야 한다. 이제 한 방향씩 본다." 정의 둘과 증명 전략 하나를 명시했다.

**복기.** 독자를 정하지 않으면 (b)를 써야 할 자리에 (a)를 쓰게 되고, 명확성이 무너지는 자리가 정확히 거기다. §1.6에서 기준 독자를 "같은 과정을 밟는 동료"로 고정한 이유가 이것이다 — 기준이 있어야 무엇을 생략할지 판정된다.

### 문제 14

**접근.** 여섯 조항을 왼쪽에 두고 대응하는 원칙 번호를 오른쪽에 붙인다. 대응이 비는 칸이 양쪽에 하나씩 생기는데, 그 두 칸이 이번 주가 실제로 추가한 것과 유지한 것이다.

**풀이.**

| **1권 20주차 6조** | **Chartrand 10원칙** | **무엇이 세분되었는가** |
|---|---|---|
| 1조 문장을 수식 기호로 시작하지 않는다 | 원칙 1 | 같은 규칙. 원칙 2가 "기호 사이에도 낱말"로 범위를 넓힌다 |
| 2조 모든 기호는 소개한 뒤 사용한다 | 원칙 8 | 같은 규칙. 원칙 9$\cdot$10이 "어떤 문자를 고를 것인가"를 새로 추가한다 |
| 3조 등호는 같은 대상 사이에만 쓴다 | 원칙 6 | 낱말$\cdot$기호 혼용 금지의 한 사례로 흡수된다 |
| 4조 $\Rightarrow$를 접속사로 남용하지 않는다 | 원칙 3 | 대상이 $\forall, \exists, \ni$까지 넓어지고, 논리 논의라는 예외가 붙는다 |
| 5조 기호보다 말이 명확하면 말로 쓴다 | 원칙 4$\cdot$5$\cdot$7 | 세 자리로 나뉜다 — 줄임말, 수량 표기, 진술의 군더더기 이름. 다만 "근거를 낱말로 적으라"는 5조의 일반 취지는 10원칙에 대응 항목이 없어 6조로 남는다 |
| 6조 증명의 시작과 끝을 표시한다 | 대응 없음 | 10원칙에 대응 항목이 없다. 6조가 그대로 유지된다 |

빈 칸이 하나 더 있다. **수식 표시법 3규칙**은 6조 어느 조항에도 대응하지 않는다. 6조가 문장 층의 규범인 데 비해 표시법은 배치 층의 규범이고, 이 층이 이번 주에 새로 열렸다.

**복기.** 대응표를 만들면 6조가 폐기된 것이 아니라 **아래로 흡수되고 위로 확장된** 것임이 보인다. 흡수는 3조가 원칙 6의 사례가 된 것이고, 확장은 문자 선택 층과 배치 층이 새로 붙은 것이다.

### 문제 15

**접근.** 3단 뼈대 ①에서 판정이 갈린다. 초안이 실제로 다룬 $n$이 어떤 $n$인지 적어 보면, "$n = 2k$"라고 놓은 순간 짝수만 다룬 것이 된다. 결론은 참인데 증명이 절반이므로 이것은 전달 교정이 아니라 **재증명** 대상이다.

**풀이.** 초안의 결함은 두 층이다. 수학 층에서는 $n$이 홀수인 경우가 통째로 빠졌고, 전달 층에서는 원칙 1(기호로 시작), 원칙 3($\forall$와 $\Rightarrow$), 원칙 6(조각), 원칙 8($k$ 미소개), 6조 6항(개시$\cdot$종료 표시 없음)이 걸린다. 둘 다 고친 답안은 다음과 같다.

**정리.** 모든 정수 $n$에 대해 $n^2 + n$은 짝수이다.

**증명.** 정수 $n$이 주어졌다고 하자. 모든 정수는 짝수이거나 홀수이므로 두 경우로 나눈다.

경우 1: $n$이 짝수인 경우. 짝수의 정의에 의해, 어떤 정수 $k$에 대해 $n = 2k$이다. 그러면 $n^2 + n = 4k^2 + 2k = 2(2k^2 + k)$이고, $2k^2 + k$는 정수이므로 $n^2 + n$은 짝수이다.

경우 2: $n$이 홀수인 경우. 홀수의 정의에 의해, 어떤 정수 $k$에 대해 $n = 2k+1$이다. 그러면 다음이 성립한다.

$$
n^2 + n = (2k+1)^2 + (2k+1) = 4k^2 + 4k + 1 + 2k + 1 = 4k^2 + 6k + 2 = 2(2k^2 + 3k + 1)
$$

$2k^2 + 3k + 1$은 정수이므로 $n^2 + n$은 짝수이다.

두 경우가 모든 정수를 덮고 각 경우에서 결론이 나왔으므로, 모든 정수 $n$에 대해 $n^2 + n$은 짝수이다. $\blacksquare$

**별해 (경우를 나누지 않는 길).** $n^2 + n = n(n+1)$은 연속한 두 정수의 곱이다. 연속한 두 정수 중 하나는 짝수이므로 그 곱도 짝수이다. 이 길은 짧지만 "연속한 두 정수 중 하나는 짝수"라는 사실 자체가 경우법으로 증명되는 것이므로, 경우 나누기가 사라진 것이 아니라 보조 사실 안으로 옮겨 간 것이다.

**검산.** $n = 3$이면 $9 + 3 = 12$로 짝수이고, 경우 2의 식에서 $k = 1$일 때 $2(2 + 3 + 1) = 12$로 일치한다.

**복기.** 이 문제가 가르치는 것은 3단 뼈대 ①의 무게다. ①을 건너뛰고 전달만 고치면 "읽기 좋은 틀린 증명"이 나온다. 전달 교정은 수학이 옳다는 판정 뒤에만 시작된다.

### 문제 16

**접근.** 네 줄로 끊는다: 이항 전개, 동류항 정리, $n^3 - n$ 덩어리 분리, 인수 묶기. 셋째 줄에서 $n^3 - n$을 통째로 묶어 내는 것이 이 계산의 목적이다 — 그 덩어리가 귀납 가정이 걸리는 자리이기 때문이다. 근거는 오른쪽 열에 낱말로 적는다.

**풀이.**

$$
\begin{aligned}\begin{aligned} (n+1)^3 - (n+1) &= (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - (n + 1) && \text{(이항 전개)} \\ &= n^3 + 3n^2 + 2n && \text{(동류항 정리)} \\ &= (n^3 - n) + (3n^2 + 3n) && \text{($n^3 - n$ 덩어리 분리)} \\ &= (n^3 - n) + 3n(n+1) && \text{(공통 인수 묶기)} \end{aligned}\end{aligned}
$$

귀납 가정에 의해 $n^3 - n$이 3의 배수이고 $3n(n+1)$도 3의 배수이므로, 두 3의 배수의 합인 $(n+1)^3 - (n+1)$도 3의 배수이다.

**검산.** 둘째 줄은 $n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n - 1 = n^3 + 3n^2 + 2n$으로 맞고, 셋째 줄은 $(n^3 - n) + 3n^2 + 3n = n^3 + 3n^2 + 2n$으로 둘째 줄과 일치한다. 수치로는 $n = 2$일 때 좌변이 $27 - 3 = 24$이고, 우변이 $(8 - 2) + 3 \cdot 2 \cdot 3 = 6 + 18 = 24$이다.

**복기.** 주석 열의 값어치는 셋째 줄에서 드러난다. 셋째 줄은 계산이 아니라 **재그룹** 이라, 무엇을 위해 그렇게 묶었는지가 식만으로는 보이지 않는다. 근거 열이 그 의도를 지면에 남긴다 — S3주차 §1.6에서 "압축된 증명이 지우는 것"으로 꼽은 항목 중 하나를 미리 복원해 두는 셈이다.

### 문제 17

**접근.** 같은 문서 안에 두 경우가 함께 나타나는 상황을 상상하면 구분이 선명해진다. C3주차의 본문은 "$P \Rightarrow Q$의 대우는 무엇인가"를 논하면서, 같은 장의 예제 증명은 "…이면 …이다"로 적는다. 같은 기호가 한쪽에서는 소재이고 다른 쪽에서는 도구다.

**풀이.** C3~C4주차에서 논리 기호를 본문에 쓰는 것이 정당한 이유는, 그 장에서 기호 자체가 **다루어지는 대상**이기 때문이다. "$P \Rightarrow Q$와 $\neg Q \Rightarrow \neg P$가 동치이다"라는 주장에서 $\Rightarrow$는 논증의 도구가 아니라 논증의 소재이고, 소재를 낱말로 풀어 쓰면 어느 것이 논의되는 형식인지 지목할 수 없게 된다. 원칙 3이 이 경우를 예외로 둔 이유가 이것이다.

그럼에도 증명의 산문에서 낱말을 쓰는 이유는 다르다. 그 자리에서 논리는 **사용되는 도구**이고, 독자가 확인해야 할 것은 논리의 형식이 아니라 각 줄이 어떤 근거로 다음 줄을 낳는가이다. 화살표는 그 근거를 담지 못한다 — "$A \Rightarrow B$"는 두 문장의 관계만 적을 뿐 왜 그 관계가 성립하는지 적지 않으므로, 낱말로 "정의에 의해", "닫힘성에 의해"를 적어야 근거가 지면에 남는다.

**복기.** 두 경우를 가르는 물음은 하나다 — 이 기호가 지금 **말해지고 있는 것**인가, **말하는 데 쓰이는 것**인가. 앞이면 본문에 쓰고, 뒤이면 낱말로 푼다. 이 구분은 C3주차에서 정식으로 다뤄지고, 그때까지는 이 물음 하나만 들고 다니면 된다.

### 문제 18

**접근.** 화살표를 하나씩 세어 보면 여덟 개다. 여덟 개를 전부 접속 낱말로 바꾸되, 바꾸면서 각 화살표가 실제로 어떤 근거로 성립했는지 적는다. 그러면 원 증명이 생략한 근거가 어디에 몇 개 있었는지도 함께 드러난다.

**풀이.** 위반 목록은 다음과 같다. 원칙 1 — "Thm:"과 "Pf:" 뒤가 기호로 시작하고, "suppose $\sqrt2 = a/b$"도 마찬가지다. 원칙 3 — $\Rightarrow$가 여덟 번 접속사로 쓰였다. 원칙 6 — 진술과 각 걸음이 전부 조각이고 서술어가 없다. 원칙 8 — $a$, $b$, $c$의 자격(정수라는 것)이 밝혀지지 않았고, "gcd=1"이 무엇의 최대공약수인지 적혀 있지 않다. 원칙 2 — "$2 \mid a^2$"처럼 기호와 기호가 낱말 없이 연달아 붙어, 나눔 관계인지 다른 관계인지 문맥 없이는 판정되지 않는다. 6조 6항 — 개시 표시가 없다. 재작성은 다음과 같다.

**정리.** $\sqrt2$는 무리수이다.

**증명.** 귀류법으로, $\sqrt2$가 유리수라 가정하자. 그러면 서로소인 양의 정수 $a$와 $b$가 존재하여 $\sqrt2 = \dfrac{a}{b}$이다. 양변을 제곱하면 $2 = \dfrac{a^2}{b^2}$이고, 양변에 $b^2$을 곱하면 다음을 얻는다.

$$
a^2 = 2b^2
$$

따라서 $a^2$은 짝수이고, 정수의 제곱이 짝수이면 그 정수도 짝수이므로 $a$는 짝수이다. 짝수의 정의에 의해, 어떤 정수 $c$에 대해 $a = 2c$이다. 이를 위 식에 대입하면 $4c^2 = 2b^2$이고, 양변을 2로 나누면 $b^2 = 2c^2$이다. 따라서 $b^2$도 짝수이고, 같은 근거로 $b$도 짝수이다. 그러면 $a$와 $b$가 공약수 2를 가지므로 서로소라는 가정에 모순이다. 따라서 $\sqrt2$는 무리수이다. $\blacksquare$

**논평.** 원 증명의 **논리는 완전히 옳다.** 여덟 개의 화살표는 모두 성립하는 함의이고, 결론도 참이다. 무너진 것은 전달뿐이다 — 화살표 나열은 각 걸음이 어떤 근거로 성립하는지를 지면에서 지우고, 그 복원을 독자에게 넘긴다. 재작성본에서 늘어난 것은 정확히 그 근거들이다("정수의 제곱이 짝수이면 그 정수도 짝수", "짝수의 정의에 의해", "양변을 2로 나누면"). "옳은 증명의 나쁜 전달"의 표본이다.

### 문제 19

**접근.** 명제는 계산이 두 줄 이상 나오는 것으로 고른다. 계산이 한 줄이면 표시법을 적용할 자리가 없어 원칙 절반이 놀게 된다. 개선 지점 세 개는 서로 다른 층에서 하나씩 고르면 자기 답안의 약점 분포가 보인다 — 문장 층, 진술 설계 층, 배치 층.

**풀이.** 자기 답안을 대상으로 하는 문제이므로 채점은 다음 절차로 한다. ① 원답안을 그대로 옮겨 적는다(기억으로 고쳐 적으면 비교가 무의미해진다). ② 10원칙과 표시법 3규칙을 차례로 대조하며 위반에 번호를 단다. ③ 번호가 달린 자리만 고쳐 새 답안을 쓴다. ④ 두 답안을 나란히 놓고 달라진 자리 세 개를 층별로 표시한다.

시연으로, 1권 1주차의 "홀수와 홀수의 합은 짝수"를 예로 든다. 흔한 원답안은 "$m, n$ 홀수. $m = 2a+1$, $n = 2b+1$. $m+n = 2a+2b+2 = 2(a+b+1)$. 짝수." 형태다. 층별 개선은 이렇게 나온다. 문장 층 — 네 조각을 완결 문장으로 바꾸고 첫 문장을 낱말로 연다(원칙 1$\cdot$6). 진술 설계 층 — $a$, $b$의 자격을 "어떤 정수"로 밝힌다 (원칙 8). 배치 층 — 등호 두 개의 계산을 표시로 올린다(규칙 1). 고친 답안은 "정수 $m$과 $n$을 홀수라 하자. 홀수의 정의에 의해, 어떤 정수 $a$, $b$에 대해 $m = 2a+1$이고 $n = 2b+1$이다. 그러면 $m + n = 2a + 2b + 2 = 2(a+b+1)$이고, $a+b+1$은 정수이므로 $m+n$은 짝수이다. $\blacksquare$"가 된다.

**복기.** 세 층에서 하나씩 나온다는 것은 우연이 아니다. 학습자마다 약한 층이 다르고, 층별로 세어 보면 자기 답안이 어느 층에서 반복적으로 무너지는지 드러난다. 그 층의 원칙만 카드로 만들어 답안 옆에 두는 것이 가장 빠른 교정 방법이다.

### 문제 20

**접근.** (a)는 예제 2.1의 두 답안이 담은 수학이 같다는 사실 하나로 논증이 끝난다. (b)는 두 문장이 각각 한 쪽씩 맡는다 — 설계 기록이 무엇을 담는지, 제출물이 무엇만 담는지.

**풀이.** **(a)** 예제 2.1의 답안 A와 답안 B는 같은 $n = 2k+1$, 같은 전개, 같은 결론을 담고 있으므로 수학적으로 구별되지 않는다. 그럼에도 A는 다섯 조각을 문장으로 재구성하는 일을 독자에게 넘기고 B는 넘기지 않으며, 넘겨진 쪽에서는 근거 추적이 중단될 수 있다. S1주차에서 증명의 상대를 회의적인 독자로 놓은 관점이 종이 위에서는 "독자가 각 줄의 근거를 스스로 복원할 수 있게 쓰기"로 실현되고, 답안 A는 그 관점의 시험을 통과하지 못한다.

**(b)** 설계 기록은 아직 참임이 확인되지 않은 목표까지 담으므로, 화살표와 양화사 기호로 압축해 적는 것이 오히려 효율적이다(S3주차 §1.7의 분석표). 제출물은 확보된 참만 확보된 순서대로 담으므로 그 압축을 풀어 각 걸음의 근거를 낱말로 적어야 하고, 그래서 같은 사람이 같은 증명을 두 가지 문법으로 쓰게 된다.

**복기.** 두 물음은 같은 원리의 앞뒤다. 설계와 제출을 나누는 이유도, 완성 글에서 논리 기호를 푸는 이유도, 읽는 사람이 다르기 때문이다 — 설계 기록의 독자는 자기 자신이고 제출물의 독자는 회의적인 타인이다.

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**다음 주 예고 (C2주차):** Chartrand 1장 — 집합을 두 번째 언어로 다시 만난다. 1권 3~6주차의 집합을 Chartrand의 기호와 용어로 재조직하고(원소$\cdot$부분집합$\cdot$멱집합$\cdot$연산$\cdot$ 데카르트 곱$\cdot$인덱스 집합족), 이 책만의 강조점인 집합 만들기 표기법과 서로소 집합족을 얻는다. 겹치지만 다른 언어로 다시 세우는 첫 복습이고, 이번 주에 정한 전달 규칙이 그 재조직의 서식이 된다. 원서 1장을 통독하고 온다.