# S6주차 — 선택법: 결론의 "모든"을 만난 순간 :::{admonition} 이 주의 길잡이 :class: keybox **핵심 문장**: 결론이 "모든 …"이면 첫 일은 계산이 아니라 선언이다 — 자격만 갖춘 대상 하나를 임의로 잡는 순간, 전칭 명제가 그 하나에 대한 명제로 교체된다. **이 주의 위치**: 1학기 20주 과정의 S6주차. S5주차가 결론의 $\exists$를 다뤘고 이번 주는 결론의 $\forall$를 다룬다. 1권 10주차에서 읽는 법만 배웠던 $\forall$가, 1권 27주차($\subseteq$ 원소 추적)$\cdot$1권 41주차(단사 서식)$\cdot$1권 45주차($\varepsilon$-N의 첫 줄)에서 서식으로 외웠던 첫 문장들과 함께 여기서 하나의 이름을 얻는다. **원서 대응**: Solow 5장. 양화사 4부작의 둘째 장이며, 주간 루틴 1일차에 원서 5장을 통독한 뒤 이 문서로 온다. ::: ## 이번 주 목표 1. 결론 속의 **전칭 양화사**를 감지한다 — 드러난 것("모든", "임의의", "각각의")과 숨은 것($\subseteq$, 단사, "홀수의 제곱은 홀수다" 같은 무관사 총칭문)까지. 1. **선택법**의 절차 네 걸음을 백지에 쓰고, 각 걸음을 빼면 무엇이 무너지는지 말할 수 있다. 1. **치환 검사**로 "임의로 잡았다"가 왜 전칭 전체를 처리하는지 설명할 수 있다. 1. 선택법의 **반칙 목록** 네 가지 — 특정값 대입, 자격 초과 가정, 문자 재사용, 선잡기 — 를 자기 답안에서 검열할 수 있다. 본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다. ## 준비 운동 (S5주차 복습) 노트에 먼저 적은 뒤 아래를 읽는다. 1. 결론 쪽 $\exists$의 처리("…로 두자")와 가정 쪽 $\exists$의 사용("그런 …를 잡자")의 차이를 쓰시오 (S5주차 문제 13). 1. 존재 진술의 표준형 3요소(대상 / 자격 / 사건)를 쓰시오. 1. 1권 27주차의 $A \subseteq B$ 증명 첫 문장을 재현하시오. 이어서 다음 명제의 증명을 시작해 보자. **"모든 실수 $x$에 대해 $x^2 - 6x + 10 > 0$이다."** 첫 문장을 무엇으로 쓰는가. ### 자주 나오는 세 가지 답 이 자리에서 나오는 답은 대개 다음 세 가지 중 하나다. 셋 다 S1~S5주차를 제대로 익힌 사람에게서 나오는 답이고, 셋 다 이번 주가 메울 정확한 간격이 있다. - **유형 1 — 값을 몇 개 넣어 확인한다.** $x = 0$이면 10, $x = 3$이면 1, $x = 10$이면 50 — 전부 양수이므로 참이라고 적는다. 확인한 세 값에 대해서는 옳고, 명제가 참일 것이라는 정찰로서도 유용하다. 문제는 실수가 **무한히 많다**는 것이다. 확인하지 않은 나머지 전부는 무엇이 보장하는가. (1권 1주차 문제 18의 $n^2 + n + 41$이 39번째까지 성공하고 40번째에서 무너진 것이 이 간격의 표본이다.) - **유형 2 — 판별식이나 그래프로 답한다.** "판별식이 $36 - 40 = -4 < 0$이고 최고차항이 양수이므로 항상 양수"라고 적는다. 결론은 옳고 계산도 옳다. 빠진 것은 **"모든 $x$에 대해"라는 구절을 처리한 문장**이다. 판별식은 이차식이라는 대상에 대해 말할 뿐, 이 증명문 어디에도 $x$가 무대에 올라온 줄이 없다. 그래서 이 답은 "무엇에 대한 증명인가"를 되물으면 대답할 문장을 갖고 있지 않다. - **유형 3 — 변형만 해 놓고 첫 문장을 못 쓴다.** $(x-3)^2 + 1$까지 변형해 놓고 이것을 어떻게 증명문으로 시작해야 할지 몰라 멈춘다. 계산은 이미 완성되어 있다. 빠진 것은 그 계산 앞에 놓일 한 문장뿐이고, 그 한 문장이 이번 주의 주제다. ## 개념 — 선택법 ### 1 전진-후진만으로는 어디서 막히는가 S1~S5주차의 도구만 가지고 위 명제를 밀어붙여 본다. S3주차의 분석표를 그려 본다. :::{admonition} 시도 — 분석표를 그려 보기 :class: quotebox 명제: 모든 실수 $x$에 대해 $x^2 - 6x + 10 > 0$이다. 후진 기록. B: $x^2 - 6x + 10 > 0$. 핵심 질문: "어떤 실수가 양수임을 어떻게 보이는가?" 답: 제곱과 양수의 합으로 쓴다 (1권 16주차 (W1)). $\to$ B1: $x^2 - 6x + 10$을 $(\ )^2 + (\text{양수})$ 꼴로 쓴다. 전진 기록. A: … ::: 여기서 멈춘다. A 칸에 적을 것이 없다. :::{container} quotebox **확인 1.** A 칸이 비는 이유는 무엇인가. "가정이 없어서"라고 답하기 전에, B라고 적은 문장이 지금 참인지 거짓인지 물을 수 있는 문장인지부터 검사해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown B라고 적은 $x^2 - 6x + 10 > 0$은 **아직 참$\cdot$거짓을 물을 수 없는 문장**이다. $x$가 무엇인지 정해지지 않았기 때문이다 — 1권 7주차의 열린 문장이다. 열린 문장에는 후진도 전진도 걸리지 않는다. 후진의 사슬은 겉으로는 그려지지만 그 사슬의 각 줄이 무엇에 대한 주장인지가 없다(§0 유형 3의 정체가 이것이다). 필요한 것은 계산이 아니라, $x$를 무대에 올리면서 그 $x$가 무엇인지 선언하는 **첫 문장**이다. ::: :::{admonition} 이 주 전체의 기준 :class: quotebox 결론이 "모든 …"이면, 증명의 첫 일은 계산이 아니라 대상 하나를 무대에 올리는 선언이다. 그 선언의 형식과, 하나를 올린 것이 왜 전체를 처리하는가 — 이 둘이 이번 주의 내용이다. ::: ### 2 전칭 진술의 세 요소 — 사례 표를 채워 보기 선언의 형식을 정하려면 전칭 진술이 무엇으로 되어 있는지부터 봐야 한다. S5주차에서 존재 진술을 대상 / 자격 / 사건으로 분해했다. 전칭 진술도 같은 세 요소다. 표의 빈칸을 채운다. | **명제** | **대상** | **자격** | **사건** | |---|---|---|---| | 모든 실수 $x$에 대해 $x^2 - 6x + 10 > 0$ | 실수 $x$ | 없음 (실수인 것이 전부) | $x^2 - 6x + 10 > 0$ | | 모든 양의 실수 $x$에 대해 $x + \frac1x \ge 2$ | 실수 $x$ | $\underline{\quad(1)\quad}$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | | 모든 홀수 $n$에 대해 $8 \mid (n^2 - 1)$ | 정수 $n$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ | $\underline{\quad(4)\quad}$ | | 홀수의 제곱은 홀수이다 | 정수 $n$ | $\underline{\quad(5)\quad}$ | $\underline{\quad(6)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 2.** 빈칸 (1)~(6)을 채워 보자. 그리고 넷째 줄에는 "모든"이라는 낱말이 없는데 왜 전칭 진술로 읽는지 한 마디로 적는다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $x > 0$ (2) $x + \frac1x \ge 2$ (3) $n$은 홀수 (4) $8 \mid (n^2 - 1)$ (5) $n$은 홀수 (6) $n^2$은 홀수. 넷째 줄: 관사 없는 총칭문이기 때문이다. "홀수의 제곱은 홀수이다"는 특정 홀수 하나에 대한 주장이 아니라 홀수 전부에 대한 주장이므로, "모든 홀수 $n$에 대해 $n^2$은 홀수이다"와 같은 문장이다. 한국어와 영어 모두 이 총칭문에는 양화사 낱말이 나타나지 않는다 — 그래서 눈으로 잡아내야 한다. ::: :::{container} quotebox **확인 3.** 낱말 "모든"이 없는데도 전칭인 문장을 세 개 더 찾아 보자. 이미 배운 정의 중에서 찾으면 된다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $A \subseteq B$ (1권 27주차), "$f$는 단사이다" (1권 41주차), "$a_n \to L$" (1권 45주차)의 바깥 $\forall \varepsilon$. 셋 다 정의 문장 안에 $\forall$가 들어 있고, 겉의 기호나 낱말에는 그것이 보이지 않는다. 이 셋의 증명 첫 문장을 1권에서 각각 서식으로 외웠다는 것이 §1.3의 요점이다. ::: 두 가지에 이름을 붙인다. 세 요소로 편 꼴이 전칭 진술의 **표준형**이고, 낱말 없이 숨어 있는 전칭을 찾는 일이 **전칭 감지**다. 식이나 절차 자체에 새로운 것은 없다 — 표에서 한 일은 1권 10주차의 양화사 읽기 그대로이고, 새로운 것은 그 구조가 증명의 첫 문장을 지정한다는 점뿐이다. ### 3 전칭 감지 — 숨은 ∀까지 §1.2에서 채운 세 요소를 한 줄로 굳히고, 그 줄을 불러내는 신호를 함께 적는다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **전칭 감지** 모든 전칭 진술은 다음 표준형으로 정돈된다. $$ \forall x \in (\text{대상의 범위}) : \quad \text{자격}(x) \Rightarrow \text{사건}(x) $$ 감지 신호는 두 갈래다 — 드러난 낱말("모든", "임의의", "각각의", "…마다")과, 낱말이 없는 자리(무관사 총칭문, 그리고 $\subseteq$$\cdot$단사$\cdot$수렴처럼 정의 안에 $\forall$를 품은 표현). ::: 표준형의 줄은 "모든 대상 $x$에 대하여, $x$가 자격을 갖추면 사건이 일어난다"로 읽는다. 자격이 없으면 조건문 없이 $\forall x : \text{사건}(x)$로 줄여 적는다. 아래 표가 두 갈래의 신호를 편 꼴과 함께 나열한 것이다. | **신호** | **예** | **편 꼴** | |---|---|---| | 드러난 전칭: "모든", "임의의", "각각의", "…마다" | 모든 실수 $x$에 대해 $x^2 - 6x + 10 > 0$ | $\forall x \in \mathbb{R} : x^2 - 6x + 10 > 0$ | | 숨은 전칭 — 무관사 총칭문 | 홀수의 제곱은 홀수이다 | $\forall n \in \mathbb{Z} : n$ 홀수 $\Rightarrow n^2$ 홀수 | | 숨은 전칭 — 정의 속 (포함) | $A \subseteq B$ | $\forall x : x \in A \Rightarrow x \in B$ | | 숨은 전칭 — 정의 속 (단사) | $f$는 단사이다 | $\forall x_1 \forall x_2 : f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$ | | 숨은 전칭 — 정의 속 (수렴) | $a_n \to L$ | $\forall \varepsilon > 0\ \exists N\ \forall n > N : \lvert a_n - L \rvert < \varepsilon$ | :::{container} quotebox **확인 4.** 위 표의 셋째 줄을 보고, 1권 27주차에서 외운 $A \subseteq B$ 증명의 첫 문장이 표준형의 어느 요소를 선언하는 문장인지 짚어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "$x \in A$라 하자"는 **자격**을 선언하는 문장이다. 대상은 $x$, 자격은 $x \in A$, 사건은 $x \in B$이고, 첫 문장이 하는 일은 대상을 무대에 올리면서 그 대상이 자격을 갖췄다고 못 박는 것이다. 1권 27주차에서 이유 없이 서식으로 외웠던 그 첫 문장이, 이번 주에 **선택법의 첫 걸음**이라는 이름을 얻는다. ::: ### 4 선택법 — 절차와 해부 전칭을 증명하는 정공법은 전부 검사가 아니라 대표 하나에 대한 검사다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **선택법 (한 판의 절차)** ① **자격을 갖춘 대상 $x$를 임의로 잡는다.** ("실수 $x$를 임의로 잡자.") ② 사실 목록에 "$x$는 자격을 만족한다"를 넣고, 결론을 "이 $x$에서 사건이 일어난다"로 교체한다. ③ 교체된 판을 이긴다 — S2$\cdot$S3주차의 후진과 전진, 필요하면 다른 기법. ④ $x$가 임의였음을 근거로 전칭 결론을 선언한다. ::: 걸음 ②가 실제로 무엇을 하는지는 표로 보는 편이 빠르다. 명제 "모든 양의 실수 $x$에 대해 $x + \frac1x \ge 2$"에서 걸음 ①을 실행하면 판이 이렇게 바뀐다. | | **걸음 ① 이전** | **걸음 ① 이후** | |---|---|---| | 사실 목록 | 비어 있음 | $x$는 실수이고 $x > 0$ | | 결론 | 모든 양의 실수 $x$에 대해 $x + \frac1x \ge 2$ | $x + \frac1x \ge 2$ (무대에 오른 그 $x$ 하나에 대해) | | 문장의 종류 | 전칭 명제 | 참$\cdot$거짓을 물을 수 있는 닫힌 문장 | **절차 해부.** 네 걸음이 각각 다른 일을 한다. | **걸음** | **하는 일** | **이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가** | |---|---|---| | ① 임의로 잡는다 | 열린 문장을 닫는다 — 이후 모든 줄이 이 $x$에 대한 문장이 된다 | 계산은 있는데 무엇에 대한 계산인지가 없는 글이 된다 (§0 유형 3) | | ② 자격을 목록에 넣고 결론을 교체한다 | 전진의 출발 재료를 만든다 | 전진 칸이 비어 A에서 출발할 수 없다 (§1.1의 막힘) | | ③ 교체된 판을 이긴다 | 사건을 실제로 확보한다 | 선언만 있고 아무것도 보이지 않은 글이 된다 | | ④ 임의성을 근거로 선언한다 | 대표 하나의 결과를 전체로 옮긴다 | 글은 여전히 옳지만, 대표 하나의 사실에서 전칭으로 넘어가는 자리가 지면에서 사라져 자기 답안이 반칙을 저질렀는지 점검할 지점이 없어진다 — 무너지는 것은 증명이 아니라 검열이다 | 넷째 줄은 앞의 세 줄과 기준이 다르다는 데 주의한다. ①~③ 중 하나를 지우면 증명 자체가 무너지지만, ④만 지운 글은 ①~③이 지켜져 있는 한 여전히 옳은 증명이다 — 전칭 결론을 허가하는 것은 마지막 선언 문장이 아니라 논증의 형식이기 때문이다. 그래서 압축된 증명은 ④를 자주 생략한다(§5의 3일차 요령이 그 자리를 찾는 일이다). 실제로 지웠을 때 결론이 무너지는 것은 ④의 문장이 아니라 ①의 낱말 "임의로"이고, 아래의 실험이 그것이다. **걸음 삭제 실험 — ①의 "임의로"를 뺀 경우.** 명제 "모든 실수 $x$에 대해 $x^2 \ge x$이다"를 다뤄 본다. "임의로"를 빼고 값을 하나 정해 잡으면 이런 글이 된다. :::{container} quotebox 실수 $x = 2$를 잡자. 그러면 $x^2 = 4$이고 $x = 2$이므로 $x^2 \ge x$이다. 따라서 모든 실수 $x$에 대해 $x^2 \ge x$이다. ::: 이 결론은 **거짓**이다. $x = \frac12$이면 $x^2 = \frac14 < \frac12$이다. 무너진 자리는 마지막 줄이다. 확보된 것은 "$x = 2$에서 사건이 일어난다"뿐인데 선언은 "모든 $x$에서"라고 적혀 있고, 걸음 ④의 근거인 임의성이 없으므로 그 선언은 근거를 잃는다. :::{container} quotebox **확인 5.** 위 실험에서 "임의로"라는 낱말이 실제로 하는 일은 무엇인가. 그리고 이 실험이 §0의 어느 유형과 같은 오류인지 짚어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "임의로"는 이후의 모든 줄에서 **자격 밖의 정보를 쓰지 않겠다는 제한**을 건다. $x = 2$라고 적는 순간 그 제한이 깨지고, "$x^2 = 4$"라는 줄은 $x$가 2라는 자격 밖의 정보를 쓴 줄이 된다. 그런 줄이 하나라도 있으면 걸음 ④를 쓸 수 없다. §0의 유형 1(값 몇 개 확인)과 같은 오류다. 유형 1은 값을 여러 개 넣었고 이 실험은 하나만 넣었을 뿐, 확보한 것이 유한 개라는 점은 같다. ::: :::{container} quotebox **확인 6.** 걸음 ②에서 사실 목록에 들어가는 것은 정확히 무엇인가. 명제 "모든 양의 실수 $x$에 대해 $x + \frac1x \ge 2$"의 경우로 답해 보자. 목록에 들어가지 **않는** 것도 하나 들어 본다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 들어가는 것은 자격뿐이다: "$x$는 실수이고 $x > 0$이다." 들어가지 않는 것은 사건 $x + \frac1x \ge 2$이다 — 그것은 지금 보여야 할 결론이므로 목록에 넣으면 결론을 가정한 것이 된다 (S3주차 §1.3의 목록 입장 규정). 마찬가지로 $x \ge 1$이나 $x$가 정수라는 것도 들어가지 않는다. 자격에 없기 때문이다. ::: ### 5 왜 대표 하나로 충분한가 — 치환 검사 선택법이 정당한 이유는 완성된 증명문이 다음 검사를 통과하기 때문이다. :::{admonition} 치환 검사 :class: quotebox 완성된 증명문에서 문자 $x$를, 자격을 만족하는 아무 구체적 값 $x_0$으로 전부 바꿔 읽는다. 모든 줄이 그대로 참이면, 바꿔 읽은 그 글은 $x_0$에 대한 완전한 증명이다. ::: 걸음 ①~③을 지킨 증명문은 $x$에 대해 자격 외의 어떤 성질도 쓰지 않았으므로, 어떤 $x_0$을 넣어도 각 줄의 근거가 그대로 유효하다. 따라서 한 편의 증명문이 자격을 만족하는 모든 값에 대한 증명을 동시에 확보한다. 걸음 ④의 "임의였으므로"는 이 검사를 통과했다는 선언이다. 거꾸로, 자격 밖의 성질을 한 줄이라도 썼다면 그 줄에서 치환이 깨진다. §1.4의 실험이 그 사례다 — "$x^2 = 4$"라는 줄은 $x_0 = 5$를 넣는 순간 거짓이 된다. :::{container} quotebox **확인 7.** 다음 증명문에 치환 검사를 걸어 보자. 자격은 "실수"이고, $x_0 = -1$을 넣어 읽는다. 통과하는가. "실수 $x$를 임의로 잡자. $x^2 - 6x + 10 = (x-3)^2 + 1$이고 $(x-3)^2 \ge 0$이므로 $(x-3)^2 + 1 \ge 1 > 0$이다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 통과한다. $x_0 = -1$을 넣으면 "$(-1)^2 - 6(-1) + 10 = (-1-3)^2 + 1$", 곧 $1 + 6 + 10 = 16 + 1 = 17$이고 $17 \ge 1 > 0$ — 모든 줄이 참이다. $x_0 = 100$이나 $x_0 = \sqrt2$를 넣어도 같다. 증명문의 어느 줄도 $x$가 특정 값이라는 정보를 쓰지 않았고, 쓴 것은 "$x$는 실수"라는 자격과 (W1)뿐이기 때문이다. ::: ### 6 반칙 목록 치환 검사를 깨뜨리는 답안의 유형은 네 가지로 정리된다. 자기 답안을 검열할 때 이 네 줄을 훑는다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **반칙 목록** 특정값 대입 $\cdot$ 자격 초과 가정 $\cdot$ 문자 재사용 $\cdot$ 선잡기 — 이 넷이 치환 검사를 깨뜨린다. ::: | **반칙** | **예** | **무엇이 무너지는가** | |---|---|---| | **특정값 대입** | "$x = 1$일 때 참, $x = 2$일 때 참, 그러므로 모든 $x$에서 참" | 확보된 것이 유한 개뿐이라 걸음 ④의 근거가 없다 (§1.4 삭제 실험) | | **자격 초과 가정** | "임의의 실수 $x$를 잡자. $x > 0$이므로 …" | 자격에 없는 성질을 목록에 넣었으므로 음수 $x_0$에서 치환이 깨진다 | | **문자 재사용** | 이미 쓰이고 있는 문자 $k$를 다시 "임의의 $k$를 잡자"로 쓴다 | 서로 다른 두 대상이 표기에 의해 같은 것으로 강제된다 (1권 1주차의 문자 분리와 같은 오류) | | **선잡기** | 사건 쪽에 나오는 존재 대상을 먼저 정한 뒤에 $x$를 잡는다 | 뒤에 정해질 것이 앞의 것에 의존할 수 없게 되어 명제가 다른 명제로 바뀐다 (S8주차의 주제) | :::{container} quotebox **확인 8.** 다음 두 문장 중 반칙은 어느 쪽인가. 반칙이 아닌 쪽은 왜 합법인가. (가) "임의의 홀수 $n$을 잡자. 그러면 $n = 2k + 1$인 정수 $k$가 존재한다." (나) "임의의 정수 $n$을 잡자. 그러면 $n = 2k$인 정수 $k$가 존재한다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (나)가 자격 초과다. 자격은 "정수"뿐인데 짝수라는 성질을 얹었다 — $n_0 = 3$을 넣으면 치환이 깨진다. (가)는 합법이다. "$n = 2k+1$인 정수 $k$가 존재한다"는 자격("홀수")에서 정의(근거 ①)로 따라 나온 문장이기 때문이다. 구분 기준은 하나다: **그 문장이 자격에서 따라 나오는가.** 따라 나오면 목록에 들어갈 자격이 있고, 아니면 반칙이다. ::: ### 7 네 칸 표 — 양화사가 어디 있느냐가 기법을 정한다 S5주차와 이번 주, 그리고 다음 두 주를 한 장에 놓으면 다음과 같다. | **양화사가 있는 곳** | **기법** | **첫 문장** | **값을 고르는 쪽** | |---|---|---|---| | 결론의 $\forall$ | **선택법** (이번 주) | "자격을 갖춘 …를 임의로 잡자" | 상대가 고른 셈으로 친다 | | 결론의 $\exists$ | **구성법** (S5주차) | "… 로 두자" | 내가 고른다 | | 가정의 $\exists$ | 전진 한 걸음 | "그런 …를 잡자" | 이미 정해져 있고 이름만 받는다 | | 가정의 $\forall$ | **특수화** (S7주차) | "…에 적용하면" | 내가 고른다 | 같은 기호 $\forall$라도 결론에 있으면 의무이고 가정에 있으면 재료다. 이 표에서 칸을 착각하는 것이 §1.6의 반칙 중 상당수의 정체다 — 결론의 $\forall$를 결론의 $\exists$처럼 다뤄 값을 하나 정해 버리면 곧바로 특정값 대입이 된다. :::{container} quotebox **확인 9.** 명제 "모든 실수 $x$에 대해, $x > 0$이면 $xy = 1$인 실수 $y$가 존재한다"에는 전칭과 존재가 하나씩 있다. 각각 표의 어느 칸이고, 증명의 첫 두 문장은 어떤 꼴이 되는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 바깥의 $\forall x$는 **결론의 $\forall$** — 선택법. 안쪽의 "존재한다"는 **결론의 $\exists$** — 구성법. 첫 두 문장은 "실수 $x$를 임의로 잡고, $x > 0$이라 하자."와 "$y = \frac1x$로 두자."의 꼴이 된다. 순서가 정해져 있다는 점에 주의한다. $x$를 잡기 전에 증인을 정할 수는 없다 — 증인 $\frac1x$가 $x$의 식이고, 무대에 $x$가 없으면 그 식을 적을 자리조차 없기 때문이다. 순서를 뒤집는 것이 반칙 목록의 선잡기다. ::: ### 8 근거 목록 갱신 | **근거** | **이번 주에 추가되는 것** | **이번 주에는 이렇게 쓴다** | |---|---|---| | ① 정의 | 변화 없음 | 자격을 등식으로 푸는 걸음(홀수 $\to$ $2k+1$)에서 계속 쓴다 | | ② 닫힘성 | 변화 없음 | "정수의 곱은 정수이므로"를 별도 설명 없이 쓴다 | | ③ 등식의 성질 | 변화 없음 | 교체된 판 안에서 전진 걸음의 대부분이 여기서 나온다 | | ④ 이미 증명한 명제 | 1권 16주차 (W1)~(W6), 1권 9주차의 드모르간 법칙, S3주차 문제 18($a^2 + ab + b^2 \ge 0$), S5주차 문제 3(a)($n^2 + n$은 짝수) | "(W1)에 의해", "S3주차 문제 18에 의해"로 한 줄에 끝낸다 | 목록의 칸이 늘지는 않는다. 이번 주가 늘리는 것은 근거가 아니라 **첫 문장의 형식**이다.