# 15주차 — 직접 증명의 틀 :::{admonition} 이 주의 길잡이 :class: keybox **핵심 문장**: 증명은 "P라 가정하자"로 열고, 정의를 펼치고, "따라서 Q이다"로 닫는 한 편의 글이다. **이 주의 위치**: 50주 과정의 15주차. 4부(증명 기법)의 개막 — 1~2주차의 3단계 틀을 공식 서식으로 승격하고, 무대를 소수$\cdot$유리수까지 넓힌다. **원서 대응**: BoP(Book of Proof) 4.1 (Theorems), 4.2 (Definitions), 4.3 (Direct Proof). 원서 없이 읽을 수 있다. ::: ## 이번 주 목표 1. 정리$\cdot$명제$\cdot$보조정리$\cdot$따름정리$\cdot$추측 — 수학 문헌의 용어를 역할로 구분할 수 있다. 1. 소수$\cdot$합성수$\cdot$유리수의 **정의**를 백지에 수식으로 쓰고, 각 조각이 왜 필요한지 설명할 수 있다. 1. 직접 증명의 공식 서식(오프닝 $\to$ 몸통 $\to$ 마감)을 익히고, 존재 명제의 증명이 증인 제작임을 안다(10주차 회수). 1. 증명을 기호 나열이 아닌 **문장**으로 쓰는 규범 세 가지를 익힌다. 본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다. ## 준비 운동 (14주차 복습) 1. $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ 증명의 뼈대(서로소 분할 두 번 + 덧셈 원리)를 말로 재현하시오. 1. "적어도 하나"를 세는 표준 전략을 한 문장으로 쓰시오. 1. 1주차 3단계 틀(① 문자 잡기 ② 정의 풀기 ③ 목표 꼴 변형)을 쓰고, 그 틀로 "$n$이 짝수이면 $n^2$도 짝수이다"를 안 보고 증명하시오. (1주차 문제 9다. 12~14주차 세 주 동안 증명문의 소재는 정수에서 집합$\cdot$개수로 옮겨 가 있었다 — 14주차 예제 2.1이 그 세 주의 대표 증명이다. 정의를 풀어 쓰는 정수 쪽 증명을 손이 아직 기억하는지 확인하는 자리다.) ### 자주 나오는 세 가지 답 — 3번 문항 방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 부분이 있고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다. - **유형 1 — 기호 나열.** "$n = 2a$. $n^2 = 4a^2$. 짝수." 계산은 전부 옳다. 빠진 것은 문장이다 — "그러면", "이므로", "따라서"가 없으면 줄과 줄 사이의 논리 관계를 읽는 사람이 복원할 수 없다. 이번 주의 글쓰기 규범 1이 정확히 이 간격을 메운다. - **유형 2 — 근거 생략.** "짝수의 제곱이니 당연히 짝수다"라고 적고 끝낸다. 결론은 옳다. 빠진 것은 근거의 사슬이다 — 1주차부터의 채점 기준대로 답이 아니라 근거가 점수인데, 세 주 동안 세기 문제를 풀면서 이 습관이 무뎌지기 쉽다. 이번 주에 "증명에서 쓸 수 있는 것"의 목록이 공식 규격으로 명문화된다. - **유형 3 — 첫 문장이 나오지 않음.** 틀은 배웠는데 14주 분량의 도구 속에서 첫 수가 헷갈린다. 자연스러운 상태다 — 이번 주의 서식이 첫 문장부터 마지막 문장까지를 고정 문구로 못 박는다. 외울 것은 짧은 서식 하나다. ## 개념 — 증명의 공식 서식 ### 1 말 정의로 유리수를 다루면 어디서 막히는가 이번 주부터 4부 — 증명 기법 본편 — 가 시작된다. 재료는 1~2주차의 3단계 틀이고, 이번 주에 하는 일은 두 가지다: 틀을 공식 서식으로 승격하는 것, 그리고 무대를 정수 밖으로 넓히는 것. 첫 대상은 유리수다. 유리수는 3주차의 수 집합 목록에서 만났다 — "분수 꼴로 쓸 수 있는 수". 이 말만으로 대표 명제를 밀어붙여 보자. :::{admonition} 시도 — 말 풀이로 밀어붙이기 :class: quotebox 명제: 두 유리수의 합은 유리수이다. "$x$와 $y$를 유리수라 하자. 유리수란 분수로 나타낼 수 있는 수이다. 그러므로 $x$는 분수로 나타낼 수 있고, $y$도 분수로 나타낼 수 있다. 따라서 $x + y$는 … " ::: 여기서 멈춘다. 1주차 §1.1에서 "홀수"로, 2주차 §1.1에서 "나누어떨어진다"로 두 번 만난 그 자리다 — "나타낼 수 있다"는 서술은 아직 **등식**이 아니라서 통분이 시작되지 않는다. :::{container} quotebox **확인 1.** 멈춘 자리에서 통분이 시작되려면 $x$를 어떤 등식으로 적어야 하는가? 그리고 그 등식의 분자$\cdot$분모에는 어떤 **자격**이 붙어야 하는가? ($\frac{3}{\pi}$도 생김새는 분수라는 점을 함께 생각해 보자.) ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "$x = \frac{a}{b}$인 (무엇) $a, b$가 존재한다" 꼴의 등식이 필요하다. 그리고 자격이 없으면 $\frac{3}{\pi}$ 같은 표현도 분수로 통과되어 아무 수나 유리수가 된다 — 분자$\cdot$분모는 **정수**여야 하고, 분모는 **0이 아니어야** 한다. 사실 3주차의 조건제시법 $\mathbb{Q} = \{\frac{a}{b} : a, b \in \mathbb{Z},\ b \neq 0\}$ 안에 이미 다 들어 있다 — 이번 주는 그것을 증명에서 쓰는 문장 꼴로 꺼낸다(§1.2). ::: ### 2 표 채우기 — 유리수의 정의 구체 사례부터 채워 보자. 각 수를 $\frac{(\text{정수})}{(\text{0이 아닌 정수})}$ 꼴로 적는다. | **수** | **$\frac{(\text{정수})}{(\text{0이 아닌 정수})}$ 표현** | |---|---| | $0.75$ | $\frac{3}{4}$ | | $-5$ | $\underline{\quad(1)\quad}$ | | $0$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | | $2.4$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 2.** 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 각 수의 표현이 하나뿐인지도 생각해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $\frac{-5}{1}$ (2) $\frac{0}{1}$ (3) $\frac{12}{5}$. 셋 다 분자는 정수, 분모는 0이 아닌 정수다. 표현은 하나가 아니다 — $0.75 = \frac{3}{4} = \frac{6}{8} = \frac{-3}{-4}$. 그래서 정의는 그런 표현이 **존재한다**는 것만 요구한다 — 하나만 제시하면 자격 심사는 끝난다. 정수 $-5$도 표를 통과한다 — 모든 정수는 유리수다(3주차 §1.4 포함 관계 — 근거는 $n = \frac{n}{1}$). ::: 이 관찰에 정식 이름을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 3주차의 조건제시법을 증명에서 쓰는 문장으로 굳혔을 뿐이다. ### 정의 15.1 — 유리수 (rational number) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 실수 $x$가 **유리수**라는 것은, $x = \dfrac{a}{b}$인 정수 $a, b$ ($b \neq 0$)가 존재한다는 뜻이다. 유리수가 아닌 실수를 **무리수**(irrational number)라 한다. ::: 이 문장은 "엑스는 비 분의 에이. 그런 정수 에이와 비가 존재하고, 비는 0이 아니다"로 읽는다. 읽는 법까지가 정의다. 유리수 전체의 집합이 3주차의 $\mathbb{Q}$다. **정의 해부.** 조각마다 증명에서 맡는 역할이 다르다. | **조각** | **하는 일** | **증명에서의 역할** | |---|---|---| | "실수 $x$가 유리수라는 것은" | 판정 대상의 선언 | 무대는 실수 전체 — 무리수 후보도 같은 기준으로 심사한다 | | "$x = \frac{a}{b}$인" | **등식** 제공 | 통분$\cdot$사칙 계산이 시작되는 지점 — 1.1의 막힘이 풀리는 자리 | | "정수 $a, b$가" | 분자$\cdot$분모의 자격 제한 | 이 조각이 빠지면 정의가 무너진다 (아래 실험) | | "$b \neq 0$" | 분모 보호 | 값 없는 표현($\frac{a}{0}$)의 침입 차단 — 예제 2.2의 점검 대상 | | "존재한다" | 요구 조건의 명시 | 표현 하나만 제시하면 성립. 가정이면 받아 쓰고, 목표이면 만들어 제시한다 | **조각 삭제 실험.** 셋째 조각 "정수"를 지워 보자. 그러면 임의의 실수 $x$를 $x = \frac{x}{1}$로 쓸 수 있으므로 — 분자 자리에 $\pi$든 $\sqrt{2}$든 허용되므로 — 모든 실수가 유리수가 된다. "유리수"라는 말이 아무것도 구별하지 못하게 된다. 1주차 §1.3에서 "짝수"가, 2주차 §1.3에서 "나눈다"가 무너진 것과 같은 붕괴다. :::{container} quotebox **확인 3.** 이번에는 넷째 조각 "$b \neq 0$"을 지워 보자. 무엇이 잘못되는가? ($x = \frac{5}{0}$이라는 표현이 가리키는 수는 무엇인가.) ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $\frac{5}{0}$은 수가 아니다 — $0 \times c = 5$인 $c$가 없으므로(2주차 문제 2(b)와 같은 계산) 이 표현에는 값이 없다. 값 없는 표현이 들어오면 정의라는 조건 자체가 검사 불가능해진다. $b \neq 0$은 장식이 아니라 정의가 **작동하기 위한** 조건이고, 그래서 유리수가 등장하는 모든 증명에서 "분모가 0이 아님"을 확인하는 문장이 요구된다(예제 2.2, 문제 11). ::: ### 3 소수와 합성수 — 쪼개짐의 정의 두 번째 새 무대는 2 이상의 정수다. 이번 기준은 "가운데 범위의 곱으로 쪼개지는가"다. 각 행에서 $1 < a, b < n$인 분해 $n = a \times b$를 찾아 보자. | **$n$** | **$n = a \times b$ ($1 < a, b < n$인 분해)** | **있는가** | |---|---|---| | $6$ | $2 \times 3$ | 있다 | | $7$ | $\underline{\quad(1)\quad}$ | $\underline{\quad}$ | | $15$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | $\underline{\quad}$ | | $2$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ | $\underline{\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 4.** 빈칸을 채워 보자. 분해가 없는 행은 "없다"가 답이다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) 없다 — 양의 정수 곱으로는 $7 = 1 \times 7$(과 $7 \times 1$)뿐이고, $1$과 $7$은 "$1 < a, b < 7$" 범위 밖이다. (2) $3 \times 5$ — 있다. (3) 없다 — 양의 분해로는 $2 = 1 \times 2$뿐이다. "가운데 범위의 분해가 존재하는가"로 2 이상의 정수가 두 부류로 갈린다. 분해가 있는 쪽에 붙인 이름이 합성수이고, 없는 쪽이 소수다 — 다만 소수는 약수 쪽 말로 정의하는 것이 표준이라 아래 정의 15.2는 약수로 적는다. 두 표현이 같은 경계를 긋는다는 것은 아직 확인하지 않은 사실이고, 문제 4 해설에서 확인한다. ::: ### 정의 15.2 — 소수 (prime) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox $n \ge 2$인 정수 $n$이 **소수**라는 것은, $n$의 양의 약수가 $1$과 $n$뿐이라는 뜻이다. ::: ### 정의 15.3 — 합성수 (composite) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox $n \ge 2$인 정수 $n$이 **합성수**라는 것은, $n = ab$인 정수 $a, b$ ($1 < a, b < n$)가 존재한다는 뜻이다. ::: 이 두 정의는 계산의 재료라기보다 **판정 기준**으로 쓰인다. 해부 표의 셋째 열도 그에 맞춘다. | **조각** | **하는 일** | **판정에서의 역할** | |---|---|---| | "$n \ge 2$인 정수" | 무대 제한 | $1$, $0$, 음수는 심사 대상 자체가 아니다 — 문제 4에서 판정 | | "양의 약수가" (15.2) | 후보 제한 | 이 낱말이 빠지면 소수가 전멸한다 (아래 실험) | | "$1$과 $n$뿐" (15.2) | 판정 기준 | 그 외의 양의 약수가 하나라도 나오면 소수 탈락 | | "$1 < a, b < n$" (15.3) | 분해의 자격 | $1 \times n$ 같은 하나마나 한 분해를 차단한다 | **조각 삭제 실험 두 개.** - 15.2에서 "양의"를 지우면: 모든 정수 $n$은 약수 $-1$과 $-n$도 가지므로 ($n = (-1) \times (-n)$이고 $-n \in \mathbb{Z}$ — 정의 2.1의 꼴 그대로다. 음수 약수가 정의를 통과한다는 것은 2주차 문제 1(c)에서 확인했다) "약수가 $1$과 $n$뿐"인 수가 하나도 없다 — 소수가 전멸한다. - 15.3에서 "$1 < a, b < n$"을 지우면: $7 = 1 \times 7$이 분해로 인정되어 $7$이 — 모든 수가 — 합성수가 된다. 소수와 합성수의 경계가 사라진다. :::{container} quotebox **확인 5.** $n = 1$은 소수인가, 합성수인가. 정의로 판정해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 둘 다 아니다. 두 정의 모두 첫 조각에서 "$n \ge 2$"를 요구하므로 $1$은 심사 대상이 아니다. "1도 소수 같다"는 느낌은 정의 앞에서 힘이 없다 — 애매하면 정의로 돌아간다(1주차 §1.5). 이 판정은 문제 4에서 다시 요구된다. ::: ### 4 정의 재정비 — 4부 내내 쓸 목록 4부의 증명에 등장할 정의를 한 자리에 모은다. 익숙한 것도 **토씨까지** 다시 확인한다. 이번에는 10주차에서 배운 기호 $\exists$로 압축해 적는다 — "$\exists k \in \mathbb{Z},\ n = 2k$"는 "$n = 2k$인 정수 $k$가 존재한다"의 기호 표기일 뿐, 내용은 1주차의 그 정의다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **정의 목록 — 전부** - $n$은 **짝수** $\iff$ $\exists k \in \mathbb{Z},\ n = 2k$ (정의 1.1) - $n$은 **홀수** $\iff$ $\exists k \in \mathbb{Z},\ n = 2k+1$ (정의 1.2) - $a \mid b$ $\iff$ $\exists c \in \mathbb{Z},\ b = ac$ (정의 2.1) - $n \ge 2$가 **소수** $\iff$ $n$의 양의 약수가 $1$과 $n$뿐이다 (정의 15.2) - $n \ge 2$가 **합성수** $\iff$ $\exists a, b \in \mathbb{Z}\ (1 < a, b < n),\ n = ab$ (정의 15.3) - $x$는 **유리수** $\iff$ $\exists a, b \in \mathbb{Z}\ (b \neq 0),\ x = \frac{a}{b}$; 유리수가 아닌 실수는 **무리수** (정의 15.1) ::: 목록의 $\iff$는 8주차의 필요충분 기호다. 정의는 전부 $\iff$다 — 정의된 용어와 조건이 완전히 같은 말이어서, 증명에서 양방향으로 자유롭게 오간다(8주차 문제 19에서 판정한 관계다). :::{container} quotebox **확인 6.** $\iff$의 두 방향은 증명에서 각각 언제 쓰는가. "홀수"를 예로, ($\Rightarrow$) 방향이 쓰이는 상황과 ($\Leftarrow$) 방향이 쓰이는 상황을 하나씩 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown ($\Rightarrow$) 가정에 "홀수"가 있을 때 — "$n$이 홀수이므로 $n = 2k+1$인 정수 $k$가 존재한다"로 등식을 받아 온다. ($\Leftarrow$) 목표가 "홀수"일 때 — "$2(\text{정수})+1$ 꼴을 만들었으므로 홀수이다"로 결론을 닫는다. 1주차 §1.3의 방향 표("받아서 쓴다 / 만들어 제시한다")가 곧 $\iff$의 두 방향이었던 것이다. ::: ### 5 수학 문헌의 용어 — 명제의 다섯 역할 증명된 결과들을 문헌에서는 역할에 따라 다르게 부른다. | **용어** | **뜻** | |---|---| | **정리** (theorem) | 참임이 증명된 중요한 명제 | | **명제** (proposition) | 참임이 증명된, 정리보다 가벼운 결과 | | **보조정리** (lemma) | 더 큰 정리를 증명하기 위한 디딤돌 결과 | | **따름정리** (corollary) | 정리에서 짧게 따라 나오는 결과 | | **추측** (conjecture) | 참이라 믿어지지만 아직 증명되지 않은 명제 | 구분선은 두 개다. 증명이 있는가(다섯 중 추측만 없다), 그리고 다른 결과와의 관계가 무엇인가(디딤돌인가, 본체인가, 부산물인가). 전부 "명제"라는 점은 같고 **역할**이 다를 뿐이다. :::{container} quotebox **확인 7.** 1주차 문제 17("$n$이 홀수이면 $n^2 - 1$은 8의 배수")은 문제 15와 16을 부품으로 썼다. 이 관계에서 문제 15$\cdot$16이 맡은 역할은 무엇인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 보조정리다. 문제 15$\cdot$16 자체도 증명된 명제이지만, 문제 17의 증명에 디딤돌로 쓰이는 순간 그 역할의 이름이 보조정리가 된다. 역할은 명제에 새겨진 성질이 아니라 **관계 속에서 정해진다** — 같은 결과가 어느 증명에서는 보조정리이고 다른 자리에서는 그 자체로 정리다. ::: ### 6 직접 증명의 서식 — 3단계 틀의 승격 1주차부터 쓰던 3단계 틀을 공식 서식으로 승격한다. 승격의 근거부터 확인한다 — 조건문 "$P$이면 $Q$이다"를 증명하는데 왜 "$P$라 가정하자"로 시작해도 되는가. :::{container} quotebox **확인 8.** 8주차의 진리표에서, $P \Rightarrow Q$가 참임을 보이기 위해 실제로 처리해야 할 행은 네 행 중 어느 행인가. $P$가 거짓인 두 행은 왜 걱정하지 않아도 되는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $P$가 참인 행 — 그때 $Q$가 거짓이 되는 일이 없음을 보이면 된다. $P$가 거짓인 두 행은 조건문이 자동으로 참이다(8주차 공허한 참). 그래서 증명은 "$P$라 가정하자"로 $P$가 참인 세계에 들어가, 그 안에서 $Q$를 만들면 끝난다 — 8주차에서 예고한 "증명 서식으로의 승격"이 정확히 이 문장이다. ::: :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **직접 증명의 서식** **명제.** $P$이면 $Q$이다. **증명.** $P$라 가정하자. $\quad\vdots$ (정의 풀기 $\to$ 대수 변형 $\to$ 필요하면 이미 증명한 명제 인용) 따라서 $Q$이다. $\blacksquare$ ::: 서식의 각 부분에 이름을 붙인다 — **오프닝**("$P$라 가정하자"), **몸통**(정의$\cdot$변형$\cdot$인용), **마감**("따라서 $Q$이다. $\blacksquare$"). - $\forall$이 붙은 명제("모든 정수 $n$에 대해 …")의 오프닝은 "$n$을 임의의 정수라 하자"다. 특정 값이 아닌 문자로 잡아야 모든 경우가 한 번에 처리된다(1주차 예제 2.1에서 대입으로 확인한 일반성). - 몸통에서 쓸 수 있는 것은 **정의, 가정, 대수 법칙, 이미 증명한 정리** — 이 네 가지뿐이다. 근거 목록 ①~④와 같은 목록이다(§1.9에서 대조한다). 3단계 틀과의 대응은 다음과 같다. | **1주차 3단계 틀** | **서식** | |---|---| | ① 문자 잡기$\cdot$가정 선언 | 오프닝 — "$P$라 가정하자" / "임의의 ~라 하자" | | ② 정의 풀어쓰기 | 몸통의 첫 수 | | ③ 목표 꼴 변형 + 정수 확인 | 몸통의 나머지 + 마감 "따라서 $Q$이다" | 새로 배우는 절차는 없다 — 달라진 것은 여닫는 문장이 고정 문구로 굳었다는 것, 그리고 몸통의 허용 목록이 명문화되었다는 것이다. :::{container} quotebox **확인 9.** 다음 두 명제의 오프닝(첫 문장)만 적어 보자. (가) "$x, y$가 유리수이면 $x + y$는 유리수이다." (나) "모든 정수 $n$에 대해 $2 \mid n(n+1)$이다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (가) "$x, y$를 유리수라 하자." ("~라 가정하자"와 같은 말이다.) (나) "$n$을 임의의 정수라 하자." 조건문은 가정을 선언하며, $\forall$ 명제는 임의의 대표를 무대에 올리며 시작한다. 문제 5가 이 연습의 확장이다. ::: ### 7 존재 명제의 증명 — 증인 제작 결론이 "$\exists x,\ P(x)$" 꼴이면 서식이 달라진다. 10주차 비대칭 표의 그 칸이다 — $\exists$의 참에 필요한 것은 증인 하나와 검증이다. :::{admonition} 존재 명제의 서식 :class: quotebox **명제.** $P(x)$인 $x$가 존재한다. **증명.** $x = (\text{증인})$을 제시한다. (검증: 이 $x$가 $P$의 조건 전부를 만족함을 확인한다) 따라서 그런 $x$가 존재한다. $\blacksquare$ ::: 증인은 상수일 수도 있고(문제 5(d)), 가정의 재료로 **만들어질** 수도 있다(예제 2.3, 문제 14, 문제 17). 어느 쪽이든 **검증이 본체**다 — 증인만 던지고 조건 확인을 생략하면 심사 없는 주장일 뿐이다. 조건이 여러 개면 전부 점검한다(문제 17: 유리수인가, 그리고 사이에 있는가). :::{container} quotebox **확인 10.** "$n^2 = n$인 정수 $n$이 존재한다"를 서식대로 짧게 증명해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "증인으로 $n = 0$을 제시한다. $0 \in \mathbb{Z}$이고 $0^2 = 0$이므로 조건을 만족한다. 따라서 그런 정수가 존재한다. $\blacksquare$" ($n = 1$도 증인이다. 존재 증명에는 증인 하나면 충분하고, 어느 증인을 골라도 된다.) 이 명제가 문제 5(d)의 소재다. ::: ### 8 증명 글쓰기 규범 — 실패 답안 해부 서식과 별도로, 증명이라는 글의 문법이 있다. 규칙을 나열하기 전에 실패 사례부터 해부한다. 다음은 계산 방향이 옳은데도 증명이 되지 못한 답안이다. :::{admonition} 답안 A :class: quotebox 명제: $x$가 홀수이면 $x^2$은 홀수이다. 증명: $x^2$이 홀수라 하자. $x^2 = 2k+1$. $x = 2m+1$. $(2m+1)^2 = 4m^2+4m+1$ 홀수. 맞다. $\blacksquare$ ::: :::{container} quotebox **확인 11.** 첫 문장 "$x^2$이 홀수라 하자"는 서식의 오프닝 "$P$라 가정하자"와 어떻게 다른가. 이 명제의 $P$와 $Q$를 적고 비교해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $P$는 "$x$가 홀수", $Q$는 "$x^2$이 홀수"다. 오프닝에 놓을 것은 $P$인데 답안 A는 $Q$ — 증명해야 할 결론 — 를 가정했다. 결론을 손에 쥐고 출발했으므로 이후의 어떤 계산도 결론을 새로 세우지 못한다 — 순환이다. 치명상은 이 한 문장이고, 나머지 문장들에도 결함이 있다. 아래 규범으로 하나씩 잡는다. ::: :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **증명 글쓰기 규범** 1. **문장으로 쓴다.** 수식은 문장의 일부다. 논리 연결("그러면", "이므로", "따라서")이 없으면 어느 줄이 어느 줄의 근거인지 읽는 사람이 복원할 수 없다. 2. **모든 문자는 등장할 때 소개한다.** "~인 정수 $k$가 존재한다", "$m$을 임의의 정수라 하자" 없이 문자를 쓰면, 그 문자가 임의인지$\cdot$존재가 보장된 것인지$\cdot$특정 값인지 정해지지 않은 채 계산이 진행된다. 3. **결론을 가정하지 않는다.** 오프닝에 놓을 수 있는 것은 가정 $P$뿐이다. 보이려는 $Q$에서 출발한 논증은 순환이 되어 결론의 참을 전혀 보태지 못한다. ::: 답안 A는 셋을 전부 위반했다: 첫 문장이 규범 3을(확인 11), $k$와 $m$이 소개 없이 등장해 규범 2를, "맞다"로 끝나는 기호 나열이 규범 1을. 이 답안의 정식 채점은 문제 18에서 한다 — 올바른 증명으로 고쳐 쓰는 것까지가 그 문제다. ### 9 근거 목록 갱신 — 서식의 몸통과 같은 목록 1주차 §1.6에서 세 칸으로 시작해 2주차 §1.6에서 네 칸이 된 근거 목록이, 이번 주 서식의 "몸통에서 쓸 수 있는 것"과 같은 목록임을 확인한다. 칸은 그대로 네 개다. | **근거** | **내용** | **이번 주의 갱신** | |---|---|---| | ① 정의 | 1.1, 1.2, 2.1에 **15.1(유리수), 15.2(소수), 15.3(합성수)** 추가 | "유리수" $\leftrightarrow$ "$\frac{a}{b}$ 꼴 존재" 사이를 번역한다 | | ② 닫힘성 | 정수의 합$\cdot$차$\cdot$곱은 정수 | 그대로 — 분자$\cdot$분모의 정수 확인에 쓰인다 | | ③ 등식$\cdot$대수의 성질 | 대입$\cdot$전개$\cdot$묶기$\cdot$양변 연산, 그리고 **통분** | 통분이 예제 2.2에서 증명의 몸통이 된다 | | ④ 이미 증명한 명제 | 1~14주차의 결과 전부 | **보조정리 인용**이라는 정식 이름을 얻는다(§1.5) — 문제 12, 15, 17이 연습 자리다 | 서식의 "정의, 가정, 대수 법칙, 이미 증명한 정리"와 이 표는 같은 허용 범위의 두 정리 방식이다 — 가정은 오프닝에서 확보되고, ①이 정의, ③이 대수 법칙, ④가 이미 증명한 정리에 대응한다. ②(닫힘성)는 이 과정에서 증명하지 않고 인정하고 쓰는 기성 사실로, ④와 같은 "이미 확보된 명제" 계열이다. 목록 밖의 것("그림을 보면 명백", "직관적으로 당연")은 이번 주에도 근거가 되지 않는다 — 왜 안 되는지는 문제 20에서 언어로 정리한다. :::{container} quotebox **확인 12.** 어떤 증명에 다음 세 문장이 나왔다. 각각 허용되는가? 허용된다면 몇 번 근거인가. (가) "통분하면 $x + y = \frac{ad + bc}{bd}$이다" (나) "1주차 문제 16에 의해 $a(a+1)$은 짝수이다" (다) "수직선을 그려 보면 명백하므로" ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (가) 허용 — 근거 ③. 통분은 두 등식을 결합하는 대수 변형이다. (나) 허용 — 근거 ④, 보조정리 인용. 이렇게 출처(어느 주차의 어느 문제$\cdot$예제인지)를 밝히며 인용하는 것이 검증 가능성을 지킨다. (다) 불허 — 목록 밖이다. 그림은 탐색의 도구이지 근거가 아니다. 그림이 보여 주는 내용을 ①~④의 사슬로 다시 만들어 적어야 근거가 된다. :::