# 36주차 — 관계의 정의와 성질

:::{admonition} 이 주의 길잡이
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**핵심 문장**: 관계는 순서쌍들의 집합이다 — "$<$"조차도.

**이 주의 위치**: 50주 과정의 36주차. 8부(관계)의 첫 주다. 6주차의 데카르트 곱이 무대가 되고, 20주차에서 $\equiv$에 대해 확인했던 (C1)~(C3)이 임의의 관계에 붙는 이름을 얻는다.

**원서 대응**: BoP(Book of Proof) 11.1 (Relations), 11.2 (Properties of Relations) — 병행자 참고용이고, 이 교재는 원서 없이 읽을 수 있다.
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## 이번 주 목표

1. 관계의 집합론적 정의($R \subseteq A \times A$)를 백지에 쓰고, 익숙한 기호들이 왜 전부 관계인지 설명할 수 있다.
1. 반사$\cdot$대칭$\cdot$추이 세 성질을 정의하고, 판정(**증명 또는 반증**)을 30주차 모드로 수행한다.
1. 유한 관계를 화살표 그림$\cdot$격자표로 시각화해 성질을 점검한다.
1. "대칭적이고 추이적이면 반사는 공짜"라는 유명한 함정을 해부한다.

본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다.

## 준비 운동 (35주차 복습)

1. $A = \{1, 2\}$일 때 $A \times A$를 나열하시오 (6주차 — 오늘의 무대다).
1. 20주차 (C1)~(C3)의 이름과 내용을 쓰시오.
1. 귀납 오류 박물관 3관(전달의 첫 고리)의 대표 사례는 무엇인지 쓰시오.

### 자주 나오는 세 가지 답 — 2번 문항

방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 부분이 있고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다.

- **유형 1 — 이름만 나열.** "반사, 대칭, 추이"라고 적고 내용 칸을 비운다. 이름 세 개는

정확하다. 빠진 것은 각 이름이 요구하는 **문장**이다. 이번 주의 판정은 이름을 고르는 일이 아니라 그 문장이 참인지 따지는 일이므로, 문장을 쓰지 못하면 판정이 시작되지 않는다.

- **유형 2 — 법 표기 누락.** "$a \equiv a$", "$a \equiv b$이면 $b \equiv a$"까지 적고

$\pmod n$을 빠뜨린다. 세 문장의 뼈대는 옳다. 다만 합동은 법 $n$이 정해져야 참$\cdot$거짓이 결정되는 명제이므로, 법이 빠진 문장은 판정 대상이 되지 못한다 (20주차 §1.3).

- **유형 3 — 등호의 성질로 대체.** "$\equiv$는 등호처럼 행동한다"고만 적는다. 이 관찰이

정확히 이번 주의 출발점이다. 빠진 것은 "등호처럼"이 **세 문장**으로 분해된다는 점이고, 이번 주에는 그 세 문장이 $\equiv$가 아닌 임의의 관계 $R$에 대한 검사 항목이 된다.

## 개념 — 관계와 세 가지 성질

### 1 "$<$를 정의하라"에서 막히는 자리

35주 동안 짝수$\cdot$나누어떨어짐$\cdot$합동을 전부 정의해 왔다. 그런데 가장 먼저 배운 기호 하나는 아직 정의된 적이 없다. "$<$"이다. 지금 가진 도구만으로 정의를 시도해 보자.

:::{admonition} 시도 — 말로 되풀이하기
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요구: $\mathbb{Z}$ 위의 관계 "$<$"를 정의하라.

"$x < y$란 $x$가 $y$보다 작다는 뜻이다. 작다는 것은 수직선에서 왼쪽에 있다는 뜻이고,

왼쪽에 있다는 것은 더 작다는 뜻이므로 … "
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여기서 멈춘다. 같은 말이 되돌아올 뿐 판정 기준이 나오지 않는다. 1주차 §1.1에서 "홀수란 2로 나누어떨어지지 않는 수"로 밀어붙이다 멈춘 자리와 같은 종류의 막힘이다.

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**확인 1.** 1주차부터 지금까지, 정의가 갖춰야 했던 것은 무엇이었는가.

그리고 "$<$"에는 그것을 붙이기 어려운 사정이 하나 더 있다 — 무엇인가.
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:::{admonition} 답
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정의는 **판정 가능한 조건**을 주어야 했다. 짝수는 "$n = 2k$인 정수 $k$의 존재",

$a \mid b$는 "$b = ac$인 정수 $c$의 존재"였다.

사정 하나는 판정 대상이다. 짝수는 정수 **하나**를 심사했지만, "$<$"가 심사하는 것은

$x$도 $y$도 아닌 **두 수의 짝**이다. 짝을 원소로 삼는 무대는 이미 6주차에 준비되어

있다 — 데카르트 곱 $A \times A$다.
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### 2 통과한 짝을 모아 보기 — 정의를 만들어 보기

무대를 $A = \{1, 2, 3\}$으로 줄이고, $A \times A$의 아홉 개 순서쌍을 하나씩 심사해 보자. 심사 기준은 "$y - x$가 자연수인가"로 잡는다.

| **순서쌍 $(x, y)$** | **$y - x$** | **$y - x \in \mathbb{N}$인가** |
|---|---|---|
| $(1, 2)$ | $1$ | 예 |
| $(1, 3)$ | $\underline{\quad(1)\quad}$ | $\underline{\quad}$ |
| $(2, 1)$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | $\underline{\quad}$ |
| $(3, 3)$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ | $\underline{\quad}$ |

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**확인 2.** 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 아홉 개 중 심사를 통과한 순서쌍만 모아 집합으로

적어 보자. 그 집합은 무엇의 부분집합인가.
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:::{admonition} 답
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(1) $2$, 예  (2) $-1$, 아니오  (3) $0$, 아니오 (0은 자연수가 아니다).

통과한 순서쌍은 $(1,2), (1,3), (2,3)$ 셋이고, 모으면 $\{(1,2), (1,3), (2,3)\}$이다.

이것은 $A \times A$의 **부분집합**이다. "$1 < 2$"라는 문장은 "$(1,2)$가 이 집합에

속한다"와 같은 말이 된다.
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이 관찰에 정식 이름을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 한 심사와 수집을 문장으로 굳혔을 뿐이다.

### 정의 36.1 — 관계 (relation) [백지 암기 대상]

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집합 $A$ 위의 **관계** $R$란 $A \times A$의 부분집합이다: $R \subseteq A \times A$.

$(x, y) \in R$일 때 "$x$는 $y$와 관계있다"고 하고 $x\,R\,y$로 쓴다.

$(x, y) \notin R$이면 $x\,\not R\,y$로 쓴다.
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기호 $x\,R\,y$는 "엑스 알 와이", 곧 "$x$는 $y$와 $R$의 관계에 있다"로 읽는다. $\not R$은 막대에 빗금을 그은 것으로 "관계에 있지 않다"이다. 읽는 법까지가 정의다. 순서쌍 표기 $(x, y) \in R$과 중위 표기 $x\,R\,y$는 완전히 같은 명제의 두 표기이고, 증명에서는 편한 쪽을 쓴다. 정의 36.1을 $<$에 적용하면 다음 한 줄이 나온다.

$$
< \;=\; \{(x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} : y - x \in \mathbb{N}\} \;=\; \{\dots, (1,2), (1,3), (2,3), \dots\}
$$

"$1 < 2$"라는 익숙한 문장은 "$(1,2) \in\ <$"의 관례적 표기였던 것이다. 마찬가지로 $=$, $\le$, $\mid$(2주차), $\equiv \pmod n$(20주차), $\mathcal{P}(S)$ 위의 $\subseteq$(4주차)도 전부 순서쌍들의 집합이다. 그래서 **"관계를 정의한다"는 "어떤 순서쌍을 넣을지 조건을 준다"와 같은 말**이 된다.

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**확인 3.** $\mathbb{Z}$ 위의 관계 $=$를 정의 36.1의 꼴로, 곧 조건제시법의 집합으로

적어 보자.
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:::{admonition} 답
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$= \;=\; \{(x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} : x - y = 0\}$ (또는 $\{(x, x) : x \in \mathbb{Z}\}$).

두 번째 표기는 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$를 격자로 그렸을 때 정확히 **대각선**에

놓인 순서쌍 전부다. 등호가 대각선이라는 이 그림이 정의 36.2 바로 뒤의 그림 언어

문단(§1.5)에서 반사성의 그림 언어가 된다.
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### 3 정의 해부 — 조각마다 하는 일

정의 36.1의 한 문장은 세 조각으로 되어 있고, 조각마다 판정에서 맡는 역할이 다르다.

| **조각** | **하는 일** | **판정에서의 역할** |
|---|---|---|
| "집합 $A$ 위의" | 무대의 선언 | 같은 조건이라도 무대가 바뀌면 다른 관계다 (문제 14에서 회수한다) |
| "$A \times A$의" | 원소의 자격 제한 | $R$의 원소는 $A$의 원소가 아니라 $A$의 원소 **두 개로 만든 순서쌍**이다 |
| "부분집합이다" | 소속 조건의 제공 | $x\,R\,y$의 참$\cdot$거짓은 "$(x,y)$가 $R$에 들어 있는가"로 환원된다 |

**조각 삭제 실험.** 둘째 조각에서 "순서"를 지워 보자. 곧 $R$을 순서쌍이 아니라 $\{x, y\}$ 꼴의 짝(두 원소 집합)들의 모임으로 두는 것이다. 그러면 $\{1, 2\} = \{2, 1\}$이므로 $1 < 2$와 $2 < 1$이 **같은 문장**이 된다.

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**확인 4.** 순서를 지우는 순간 정확히 무엇이 무너지는가.

$<$만의 문제인지, $\mid$와 $\subseteq$는 어떤지 함께 생각해 보자.
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:::{admonition} 답
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$1 < 2$가 참이면 $2 < 1$도 참이 되어 버리므로, $<$는 아무 두 수도 **구별하지 못하는**

관계가 된다. $\mid$도 마찬가지다 — $2 \mid 6$과 $6 \mid 2$의 참$\cdot$거짓이 갈리는 것이

2주차 문제 3의 내용이었는데, 순서가 없으면 그 구별이 사라진다. $\subseteq$도 같다.

곧 방향을 가진 모든 관계가 붕괴한다. 6주차가 집합이 아니라 **순서쌍**을 따로 만든

이유가 여기서 회수된다.
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### 4 유한 관계를 눈으로 — 화살표 그림과 격자표

무대가 유한하면 관계를 그림으로 그릴 수 있고, 그림은 판정의 실험 도구가 된다. **화살표 그림**은 $A$의 원소를 점으로 찍고 $x\,R\,y$일 때 $x$에서 $y$로 화살표를 그린 것이며, $x\,R\,x$는 자기 자신으로 돌아오는 고리가 된다. **격자표**는 행에 $x$, 열에 $y$를 놓고 $x\,R\,y$인 칸에 ✓를 넣은 것이다. $A = \{1, 2, 3\}$ 위의 관계 $S = \{(1,1), (1,2), (2,3)\}$을 격자표로 그리면 —

| **$x \backslash y$** | **1** | **2** | **3** |
|---|---|---|---|
| **1** | ✓ | ✓ |  |
| **2** |  |  | ✓ |
| **3** |  |  |  |

:::{container} quotebox
**확인 5.** 위 표에서 $2\,S\,1$은 참인가. 그리고 아홉 칸 중 ✓가 붙은 칸은 몇 개이며,

그것이 정의 36.1의 무엇에 해당하는가.
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:::{admonition} 답
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$2\,S\,1$은 거짓이다 — 2행 1열이 비어 있다. ✓는 세 개이고, 이 세 칸이 곧 $S$의 원소

세 개다. 격자표는 $A \times A$ 전체를 아홉 칸으로 펼쳐 놓고 그중 어느 칸을 $R$에

넣었는지 표시한 그림이므로, "부분집합"이라는 조각을 눈으로 본 것과 같다.
:::

### 5 무엇을 검사할 것인가 — 세 질문의 발견

관계가 집합이라는 것만으로는 아직 할 일이 없다. 20주차에서 $\equiv \pmod n$을 두고 "등호처럼 행동한다"고 말했던 근거가 무엇이었는지 되짚으면 검사 항목이 나온다. $\mathbb{Z}$ 위의 관계 셋을 세 질문으로 심사해 보자.

|  | **① 모든 $x$에서 $x\,R\,x$인가** | **② $x\,R\,y$이면 항상 $y\,R\,x$인가** | **③ $x\,R\,y$, $y\,R\,z$이면 항상 $x\,R\,z$인가** |
|---|---|---|---|
| $=$ | 예 | 예 | 예 |
| $\le$ | 예 | $\underline{\quad(1)\quad}$ | 예 |
| $<$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | 아니오 | $\underline{\quad(3)\quad}$ |

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**확인 6.** 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 아니오라고 답한 칸마다 그 판단의 근거가 되는

구체적인 수를 하나씩 적어 보자. 그리고 세 질문 ①②③이 20주차의 무엇과 같은 문장인지

답해 보자.
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:::{admonition} 답
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(1) 아니오 — $1 \le 2$이지만 $2 \le 1$은 거짓이다. (2) 아니오 — $1 < 1$이 거짓이다.

(3) 예 — $x < y$이고 $y < z$이면 $y - x$와 $z - y$가 자연수이고 자연수의 합은

자연수이므로 $(y-x) + (z-y) = z - x \in \mathbb{N}$, 곧 $x < z$다 (증명은 문제 7).

이미 채워져 있는 $<$의 대칭 칸도 근거가 필요하다 — $1 < 2$이지만 $2 < 1$은 거짓이다.

"반례가 없다"는 것은 $\forall$ 명제의 근거가 되지 못한다(§1.9).

세 질문은 20주차의 (C1) 반사, (C2) 대칭, (C3) 추이를 $\equiv$ 대신 임의의 관계 $R$에

대해 물은 것이다. 20주차에서는 $\equiv$ 하나에 대한 정리 세 개였고, 이번 주에는 모든

관계에 던질 수 있는 **검사 항목 세 개**가 된다.
:::

세 질문에 이름을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 20주차에서 $\equiv$에 대해 증명했던 세 문장의 $\equiv$를 $R$로 바꿔 적었을 뿐이다.

### 정의 36.2 — 세 가지 성질 [백지 암기 대상]

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$A$ 위의 관계 $R$에 대해:

**반사적**(reflexive): 모든 $x \in A$에 대해 $x\,R\,x$.

**대칭적**(symmetric): 모든 $x, y \in A$에 대해, $x\,R\,y$이면 $y\,R\,x$.

**추이적**(transitive): 모든 $x, y, z \in A$에 대해, $x\,R\,y$이고 $y\,R\,z$이면 $x\,R\,z$.
:::

그림 언어로 옮기면 이렇다. 반사는 모든 점에 자기 고리가 있다는 것이고, 격자표로는 **대각선 칸이 전부 ✓**라는 것이다. 대칭은 화살표가 항상 왕복한다는 것이고, 격자표로는 표가 **대각선에 대해 대칭**이라는 것이다. 추이는 두 칸짜리 길이 있으면 지름길도 있다는 것이다.

### 6 정의 36.2 해부 — 조각마다 하는 일

세 문장은 조각을 공유한다. 셋을 한 표로 해부하면 —

| **조각** | **하는 일** | **판정에서의 역할** |
|---|---|---|
| "모든 ~에 대해" (세 성질 공통) | 무대 전체에 대한 요구 | 하나라도 실패하면 불성립 — 반증은 **반례 하나**로 끝난다 |
| "$x\,R\,x$" (반사) | 요구되는 결론 | 성립 증명은 임의의 $x$를 잡아 이 문장을 유도하는 일이다 |
| "$x\,R\,y$이면" (대칭) | 조건부 | 짝이 없는 원소에는 아무것도 요구하지 않는다 — 문제 15의 함정이 여기서 자란다 |
| "$x\,R\,y$이고 $y\,R\,z$이면" (추이) | 가정 두 개 | 사슬이 실제로 있을 때만 지름길을 요구한다 |

**조각 삭제 실험 A — 반사에서 "모든"을 지우면.** "모든 $x$"를 "어떤 $x$"로 바꾸면 $A = \{1, 2\}$ 위의 $R = \{(1,1)\}$이 반사적이 되고, $\mathbb{N}$ 위의 서로소 관계(문제 12)도 $x = 1$ 하나 때문에 반사적이 된다.

**조각 삭제 실험 B — 대칭에서 조건부를 지우면.** "$x\,R\,y$이면"을 지우고 "모든 $x, y$에 대해 $y\,R\,x$"로 바꾸면, $A \times A$ 전체를 담은 관계 하나만 대칭적이 되고 $=$조차 대칭적이 아니게 된다 ($1 \ne 2$인데 $2 = 1$을 요구하게 되므로).

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**확인 7.** 실험 A에서 "모든"을 "어떤"으로 바꾸면, §1.5의 표에는 어떤 일이 벌어지는가.
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:::{admonition} 답
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§1.5의 표는 한 칸도 바뀌지 않는다. 실험 A가 건드리는 것은 ① 열뿐인데, ①을

"어떤 $x$에 대해 $x\,R\,x$"로 읽어도 $=$와 $\le$는 이미 "예"였고, $<$는 $x < x$인 $x$가

하나도 없으므로 여전히 "아니오"다. 실험 A의 붕괴가 드러나는 곳은 표가 아니라

$A = \{1,2\}$ 위의 $R = \{(1,1)\}$이나 서로소 관계(문제 12) 같은 개별 관계다.

표 자체가 관계들을 **구별하지 못하게** 되려면 대칭$\cdot$추이의 "모든"까지 함께 "어떤"으로

바꿔야 한다. 그때는 $\le$의 대칭 칸이 $x = y = 1$ 한 벌로 "예"가 되고, $<$의 대칭 칸도

$x = y = 1$에서 가정 $1 < 1$이 거짓이라 조건문이 공허하게 참이 되어 "예"가 되므로,

아홉 칸 중 $<$의 반사 칸 하나만 "아니오"로 남는다. 정의의 조각 하나하나가 이런 붕괴를

막는 조건이다. 실험 A는 문제 12에서, 실험 B는 문제 15에서 각각 실제 문제로 다시 만난다.
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### 7 판정은 증명 또는 반증이다

세 성질은 각각 $\forall$(또는 $\forall$ + 조건문) 꼴의 명제이므로, 판정은 30주차의 "증명 또는 반증" 모드 그 자체다.

|  | **성립 증명** | **불성립 증명** |
|---|---|---|
| 반사 | 임의의 $x$를 잡아 $x\,R\,x$를 유도 ($\forall$ 증명) | 무대에 속하면서 $x_0 \not R x_0$인 **반례 하나** |
| 대칭 | "$x\,R\,y$라 가정하자 $\to$ $y\,R\,x$" (조건문 증명) | $x_0\,R\,y_0$인데 $y_0 \not R x_0$인 반례 |
| 추이 | "$x\,R\,y$, $y\,R\,z$라 가정하자 $\to$ $x\,R\,z$" | 사슬은 있는데 지름길이 없는 반례 |

불성립 쪽은 29주차의 **반례 완전 서식** 그대로다. 세 조각으로 되어 있다. ① 반례를 구체적으로 제시한다 ② 가정 부분이 실제로 참임을 확인한다 ③ 결론 부분이 실제로 거짓임을 확인한다. 다만 반사는 조건문이 아니라 조건 없는 $\forall$ 문장이라 확인할 '가정 부분'이 없다 — 이 자리에서 ②는 "$x_0$이 무대 $A$에 속한다"는 확인으로 축약된다. 29주차의 검증 1이 그것이고, 짧다고 생략하지 않는다.

:::{container} quotebox
**확인 8.** 어떤 답안이 "$\mid$는 대칭이 아니다. 반례: $2$와 $4$"라고만 적었다.

완전 서식의 세 조각 중 무엇이 빠져 있는가.
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:::{admonition} 답
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②와 ③이 빠졌다. $2 \mid 4$가 참임을 확인하는 줄($4 = 2 \times 2$이고 $2 \in \mathbb{Z}$)과

$4 \mid 2$가 거짓임을(곧 $4 \nmid 2$임을) 확인하는 줄($2 = 4c$인 정수 $c$가 없다)이

있어야 반례가 반례로 작동한다. 수 두 개를 적은 것만으로는 어느 방향이 참이고 어느

방향이 거짓인지 답안에 나타나지 않는다.
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### 8 성적표 — 익숙한 관계들의 판정

이번 주 내내 검증할 표다. 지금은 아는 만큼만 채우고, §2와 §4에서 각 칸의 근거를 하나씩 회수한다.

| **관계** | **반사** | **대칭** | **추이** |
|---|---|---|---|
| $=$ (on $\mathbb{Z}$) | ✓ | ✓ | ✓ |
| $\le$ (on $\mathbb{Z}$) | ✓ | ✗ | ✓ |
| $<$ (on $\mathbb{Z}$) | ✗ | ✗ | ✓ |
| $\mid$ (on $\mathbb{N}$) | ✓ | $\underline{\quad(1)\quad}$ | ✓ |
| $\equiv \pmod n$ (on $\mathbb{Z}$) | ✓ | ✓ | $\underline{\quad(2)\quad}$ |
| $\subseteq$ (on $\mathcal{P}(S)$, $S \ne \emptyset$) | ✓ | ✗ | $\underline{\quad(3)\quad}$ |

:::{container} quotebox
**확인 9.** 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 세 칸의 근거가 각각 몇 주차의 무엇인지 적어 보자.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

(1) ✗ — 반례 $2 \mid 4$이지만 $4 \nmid 2$ (예제 2.1에서 완전 서식으로 쓴다).

(2) ✓ — 20주차 (C3), 그 주 문제 7에서 증명했다.

(3) ✓ — 4주차의 "$X \subseteq Y$이고 $Y \subseteq Z$이면 $X \subseteq Z$" (문제 11에서 인용한다).

$\subseteq$ 행에 $S \ne \emptyset$이라는 단서가 붙은 이유는 대칭 칸에 있다. 반례를 만들려면

서로 다른 두 부분집합이 필요한데, $S = \emptyset$이면 $\mathcal{P}(S) = \{\emptyset\}$이라

무대의 원소가 하나뿐이고 $\subseteq$는 $\{(\emptyset, \emptyset)\}$이 되어 대칭 칸이 ✓로

뒤집힌다. 무대가 성질을 바꾸는 사례이고, 문제 14에서 정면으로 다룬다.

세 성질을 모두 가진 관계($=$, $\equiv$)가 다음 주의 주인공이다. 20주차에서

"(C1)~(C3): $\equiv$는 등호처럼 행동한다"고 적었던 것이 정확히 이 표의 예고였다.
:::

### 9 근거 목록 갱신 — 칸은 그대로 네 개

칸의 개수는 늘지 않는다. ① 칸에 정의가 두 개 추가되고, ④ 칸이 30주 치의 정리들을 한꺼번에 받는다.

| **근거** | **내용** | **이번 주에는 이렇게 쓴다** |
|---|---|---|
| ① 정의 | 기존 정의 전부 + **정의 36.1, 36.2** | "$x\,R\,y$" $\leftrightarrow$ "$(x,y) \in R$" $\leftrightarrow$ 소속 조건 사이를 번역한다 |
| ② 닫힘성 | 정수의 합$\cdot$차$\cdot$곱은 정수, 자연수의 합은 자연수 | "$k + l$은 정수이므로"를 별도 설명 없이 쓴다. $<$의 추이(문제 7)는 뒤쪽 문장으로 닫는다 |
| ③ 등식$\cdot$부등식의 성질 | 대입 / 전개 / 묶기 / 양변 연산 (16주차, 29주차 §1.6) | $y + 2x = 3(x+y) - (x+2y)$ 같은 항등식 변형, "음이 아닌 두 수의 합은 음이 아니다"(문제 4), "같은 부호인 두 수의 곱은 양수"(문제 14) |
| ④ 이미 증명한 명제 | 2주차 예제 2.1($\mid$의 추이)$\cdot$예제 2.2(배수의 합)$\cdot$문제 7(배수의 차), 4주차 $\subseteq$의 성질과 $\vert \mathcal{P}(X)\vert  = 2^{\vert X\vert }$, 6주차 $\vert A \times B\vert  = \vert A\vert  \cdot \vert B\vert $, 10주차 한정기호 순서, 12주차 곱셈 원리, 17주차 문제 4(절댓값)와 부호에 따른 경우 나누기, 20주차 (C1)~(C3), 25주차 문제 9$\cdot$12$\cdot$17 | "$\mid$의 추이성은 2주차 예제 2.1이다"로 인용을 끝낸다 |

목록 밖의 것은 이번 주에도 근거가 되지 않는다. 특히 "화살표 그림을 보니 그렇다"는 목록에 없다 — 그림은 후보를 찾는 도구이고, 답안의 근거는 정의 36.2에 대입한 문장이어야 한다.

:::{container} quotebox
**확인 10.** 어떤 답안에 다음 두 문장이 나왔다. 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가.

(가) "$a \mid b$이고 $b \mid c$이므로 2주차 예제 2.1에 의해 $a \mid c$이다"

(나) "표를 보면 대각선이 다 차 있으므로 반사적이다"
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:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

(가) 허용 — 근거 ④. 30주 전에 증명한 정리를 이름으로 인용한다.

(나) 불허 — 그림은 근거 목록 밖이다. 같은 내용을 "$A$의 각 원소 $x$에 대해

$(x,x) \in R$임을 세 개 모두 확인했다"로 적으면 근거 ①이 되어 허용된다. 내용이 아니라

**꼴**이 근거의 자격을 정한다.
:::