# S19주차 — 정의 만들기와 공리계: 수학을 짓는 법 :::{admonition} 이 주의 길잡이 :class: keybox **핵심 문장**: 정의와 공리는 읽는 쪽에서는 주어진 것이지만 만드는 쪽에서는 검사해야 할 것이다 — 무순환 $\cdot$ well-defined $\cdot$ 무모순, 이 세 검사를 통과하지 못한 문장은 정의도 공리도 아니다. **이 주의 위치**: 1학기 20주 과정의 S19주차. S1주차부터 S17주차까지는 주어진 정의와 공리 위에서 증명을 만드는 일이었고, S18주차에서 처음으로 명제 자체를 만들었다. 이번 주는 그 명제가 쓸 용어와 출발 명제를 만든다. 1권 6주차 §1.7이 읽을거리로 지나간 러셀의 역설이 여기서 공리 하나의 실패 사례라는 이름을 얻고, 1권 20주차 §1.7의 글쓰기 규칙 6조 위에 만드는 쪽의 책임 네 줄이 얹힌다. **원서 대응**: Solow 17~18장. 주간 루틴 1일차에 원서 17~18장을 통독한 뒤 이 문서로 온다. ::: ## 이번 주 목표 1. **수학 이론의 네 층위**(무정의 용어 $\to$ 공리 $\to$ 정의 $\to$ 정리)를 백지에 쓰고, 각 층을 빼면 무엇이 무너지는지 사례로 말할 수 있다. 1. **좋은 정의의 네 조건**(명확성 $\cdot$ 무순환 $\cdot$ well-defined $\cdot$ 비공허$\cdot$비자명)을 백지에 쓰고, 주어진 "정의" 후보가 어느 조건에서 걸리는지 판정할 수 있다. 1. **well-defined 검사 서식** 세 줄을 실행한다 — 같은 대상의 두 표현을 잡고, 표현이 같다는 등식에서 값이 같다는 등식을 유도하거나, 값이 갈리는 표현 한 쌍을 제시한다. 1. **공리계의 세 덕목**(무모순성 $\cdot$ 독립성 $\cdot$ 완전성)과 각각의 검사법(모형 $\cdot$ 반례 모형)을 알고, 러셀의 역설을 "공리 하나가 무모순성을 깨뜨린 사례"로 다시 읽는다. 본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다. ## 준비 운동 (S18주차 복습) 노트에 먼저 적은 뒤 아래를 읽는다. 1. S18주차 정의 18.2의 세 일반화 축과 S18주차 §1.4의 반례 검문 서식 세 줄을 백지에 재현하시오. 1. 1권 6주차 §1.7의 러셀의 역설을 재현하시오 — $R = \{x : x \notin x\}$에서 어느 쪽을 골라도 모순이 나오는 두 줄까지. 1. 1권 20주차 §1.7의 글쓰기 규칙 6조를 재현하시오. 이번 주에 그 위로 네 줄이 더 얹힌다. 이어서 다음 과제를 해 보자. **아래 두 문장은 각각 정의로 성립하는가. 성립하지 않는다면 무엇이 어긋났는지 적어 보자.** 조건을 하나 붙인다 — **이번 주의 새 이름을 쓰지 말고 S18주차까지의 도구만으로 판정해 보자.** - (가) "정수 $n$이 **넷수**라 함은, $n = 4k$인 정수 $k$가 존재하는 것이다." - (나) "유리수 $\dfrac ab$의 **무게** $w\!\left(\dfrac ab\right)$를 $a + b$로 정한다." ### 자주 나오는 세 가지 답 이 자리에서 나오는 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 S18주차까지를 제대로 익힌 사람에게서 나오는 답이고, 셋 다 이번 주가 메울 정확한 간격이 있다. - **유형 1 — 둘 다 정의로 인정한다.** "(가)는 짝수의 정의에서 2를 4로 바꾼 것이고, (나)는 계산 규칙을 하나 정한 것이므로 둘 다 정의다." (가)에 대해서는 옳다 — 1권 1주차 정의 1.1과 조각의 배치가 같고, 조각 삭제 실험을 걸면 1권 1주차와 똑같이 "정수 $k$"에서 무너지므로(자격을 지우면 임의의 $x$가 $x = 4 \cdot \frac x4$로 넷수가 된다) 그 조각이 제 역할을 하고 있음이 확인된다. 간격은 (나)에 있다. $\frac12$과 $\frac24$는 **같은 유리수**인데 (나)를 그대로 계산하면 $1 + 2 = 3$과 $2 + 4 = 6$으로 답이 갈린다. 같은 대상에 두 값이 붙는 문장을 정의라 부를 수 있는지가 아직 판정되지 않았다. - **유형 2 — 소화 절차를 돌린다.** S4주차 §1.8의 세 걸음(iff 재작성 $\cdot$ 양면 문장화 $\cdot$ 예 2개와 비예 2개)을 두 문장에 각각 실행한다. 절차 실행은 정확하고, 그것이 정의를 만났을 때 할 일의 전부라고 배운 대로 한 것이다. 간격은 절차의 전제에 있다 — 소화 절차는 **이미 정의로 성립하는 문장**을 손에 쥔 상태에서 그것을 증명에 배치하는 절차이지, 문장이 정의로 성립하는지를 묻는 절차가 아니다. 실제로 (나)에 소화 절차를 돌려도 결함이 드러나지 않는다(§1.1에서 실행해 본다). - **유형 3 — (나)가 이상한데 이름을 붙이지 못한다.** "$\frac12$과 $\frac24$에서 답이 다르게 나오는 것이 걸리는데 이것을 무엇이라 불러야 할지 모르겠다." 관찰은 정확하고, 이번 주가 하는 일의 절반이 이미 끝나 있다. 비어 있는 것은 이름과 검사 서식뿐이다 — 그 이름이 정의 19.3의 well-defined이고, 서식은 같은 절의 세 줄이다. **이번 주가 새로 주는 것.** 세 유형을 늘어놓으면 이번 주의 몫이 새 계산이 아니라는 것이 보인다. 계산은 유형 1이 이미 했고, 절차 실행은 유형 2가 이미 했고, 관찰은 유형 3이 이미 했다. 비어 있는 것은 세 가지다 — 문장이 정의로 성립하는지 묻는 검사 목록(정의 19.2), 그 목록 중 계산이 필요한 한 항목의 서식(정의 19.3), 그리고 정의가 아니라 출발 명제를 만들 때의 검사 목록(정의 19.4). ## 개념 — 만드는 쪽의 검사 목록 ### 1 S18주차까지의 도구로는 어디서 막히는가 이번 주의 목록을 세우기 전에, 가진 도구로 두 번 막혀 본다. **막힘 (가) — 소화 절차가 (나)를 통과시킨다.** S4주차 §1.8의 세 걸음을 준비 운동의 (나)에 그대로 걸어 보자. :::{admonition} 시도 — 소화 절차를 돌려 본다 :class: quotebox ① iff 재작성: "$w\!\left(\frac ab\right) = m$ $\iff$ $m = a + b$." 조건 안에 양화사는 없고 등식 하나뿐이다. 문자 $a, b$는 범위를 훑는 문자가 아니라 유리수를 적은 표현을 지정하는 매개변수다. ② 양면 문장화: 전진면 — "$w\!\left(\frac ab\right)$가 사실 목록에 있으면 나는 등식 $w\!\left(\frac ab\right) = a + b$를 잡을 수 있다." 후진면 — "$w$의 값을 구하려면 분자와 분모를 더하면 된다." ③ 예와 비예: $w\!\left(\frac13\right) = 4$, $w\!\left(\frac25\right) = 7$. 비예는 만들 것이 없다 — 어떤 분수를 넣어도 값이 나온다. ①과 ②는 통과하고, ③은 비예를 하나도 만들 수 없다는 신호를 낸다. 그러나 그 신호가 무엇을 뜻하는지 읽을 목록이 아직 없다. ::: :::{container} quotebox **확인 1.** 위 절차가 (나)의 결함을 잡지 못한 이유는 무엇인가. 절차의 어느 걸음도 묻지 않은 물음을 한 문장으로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 세 걸음 중 어느 것도 **같은 대상이 두 표현을 가질 수 있다는 사실**을 묻지 않는다. ①은 조건의 논리 구조를, ②는 정의를 증명의 어느 자리에 놓을지를, ③은 조건의 경계를 확인한다. 셋 다 표현 하나를 손에 쥔 상태에서 하는 일이다. 묻지 않은 물음은 이것이다 — "$\frac12$과 $\frac24$처럼 **같은 유리수의 서로 다른 두 표현**을 넣으면 값이 같은가." 이 물음이 정의 19.3의 전부다. ::: **막힘 (나) — 반례 검문도 (나)를 잡지 못한다.** S18주차 §1.4의 반례 검문 서식은 작은 사례와 경계 사례를 넣는 절차다. 그것을 걸어 보자. :::{admonition} 시도 — 반례 검문을 돌려 본다 :class: quotebox 작은 사례 정찰: $\frac11$, $\frac12$, $\frac13$에 각각 $2, 3, 4$가 나온다. 경계$\cdot$특수 사례 공격: $\frac01$에 $1$, $\frac{-1}2$에 $1$이 나온다. 위반이 나오려면 무엇이 위반되는지가 먼저 정해져 있어야 하는데, (나)에는 참$\cdot$거짓을 물을 결론이 없다. ::: :::{container} quotebox **확인 2.** 반례 검문이 (나)에서 돌지 않는 이유는 무엇인가. 검문의 입력은 무엇이고 (나)는 무엇인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 반례 검문의 입력은 **명제**이고 (나)는 **정의**다. 검문은 "가정을 만족하면서 결론을 위배하는 대상"을 찾는 절차인데(1권 29주차 정의 29.2의 서식), 정의에는 위배할 결론이 없다. 정의는 참도 거짓도 아니고 **성립하거나 성립하지 않을** 뿐이다. 그래서 명제를 검사하는 도구를 그대로 가져다 쓸 수 없고, 정의를 검사하는 별도의 목록이 필요하다. ::: 두 막힘의 원인은 하나다. **S18주차까지의 도구는 전부 이미 성립하는 정의와 공리를 받아 쓰는 도구다.** S4주차의 소화 절차는 남이 지은 정의를 증명에 배치하고, S17주차의 결정 나무는 남이 세운 명제에 기법을 붙이고, S18주차의 네 걸음은 남이 쓴 증명문에서 새 명제를 뽑는다. 세 도구 모두 "이 문장이 정의로 성립하는가"와 "이 출발 명제들이 서로 충돌하지 않는가"를 이미 해결된 것으로 놓고 시작한다. 이번 주는 그 전제를 검사 대상으로 끌어내린다. ### 2 사례 표를 채워 보기 정의 후보를 여러 개 늘어놓고 각각 무엇이 어긋났는지 적어 보자. 어긋난 자리에 이름은 아직 없다 — 현상만 적는다. | **"정의" 후보** | **어긋난 것을 현상으로 적으면** | |---|---| | "정수 $n$이 큰 수라 함은 $n$이 큰 것이다." | 조건에 피정의어가 그대로 들어가 있어 조건을 풀 수 없다 | | "짝수: 홀수가 아닌 정수 / 홀수: 짝수가 아닌 정수." | $\underline{\quad(1)\quad}$ | | "실수 $x$가 초록수라 함은 $x \neq x$인 것이다." | 조건을 만족하는 대상이 하나도 없어 이름이 아무것도 가리키지 않는다 | | "실수 $x$가 빨강수라 함은 $x = x$인 것이다." | $\underline{\quad(2)\quad}$ | | "정수 $n$이 작은 수라 함은 $n < 100$인 것이다." | 조건 자체는 판정 가능하지만 이름과 조건이 어긋난다 — $-10^6$도 $99$도 같은 이름을 받는다 | | "유리수 $\frac ab$의 무게를 $a + b$로 정한다." | $\underline{\quad(3)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 3.** 빈칸 (1)(2)(3)을 채우고, 여섯 줄을 갈라 놓는 물음이 몇 개인지 세어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) 두 이름이 서로를 조건으로 삼아 어느 쪽도 더 원초적인 것으로 내려가지 않는다 — 첫 줄과 같은 일이 두 문장에 걸쳐 일어난 것이다. (2) 모든 실수가 조건을 만족해 이름이 아무것도 구별하지 못한다. (3) 같은 대상($\frac12 = \frac24$)에 서로 다른 값($3$과 $6$)이 붙는다. 물음은 네 개다. 조건 안에 애매어가 있거나 이름이 조건과 어긋나는가(첫째 줄의 "큰"은 애매어이고, 다섯째 줄은 조건은 판정되지만 이름이 조건과 어긋난다), 조건이 피정의어로 되돌아오는가(첫째$\cdot$둘째 줄), 같은 대상의 두 표현에 값이 갈리는가(여섯째 줄), 조건을 만족하는 것이 있고 또 전부는 아닌가(셋째$\cdot$넷째 줄). ::: 이 네 물음에 이름을 붙이는 것이 정의 19.2이고, 이름 붙은 뒤 각각을 지워 보는 것이 §1.4다. 물음 자체에 새로운 것은 없다 — 1권 1주차 §1.3에서 짝수의 정의를 조각으로 갈라 하나씩 지워 본 것, S4주차 §1.8의 걸음 ③에서 예와 비예를 만들어 경계를 더듬은 것이 이미 이 물음들이었다. 지금까지 정의를 읽을 때마다 소리 없이 통과시켜 온 검사에 이름과 순서를 주는 것뿐이다. ### 정의 19.1 — 수학 이론의 네 층위 [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 모든 수학 이론은 아래에서 위로 네 층으로 쌓인다. ① **무정의 용어**(undefined terms): 정의하지 않고 출발하는 원초 개념. 집합론의 "집합"과 "원소", 기하의 "점"과 "선"이 그것이다. ② **공리**(axioms): 증명 없이 참으로 놓는 출발 명제. 무정의 용어들 사이의 관계를 규정한다. ③ **정의**(definitions): 무정의 용어와 공리, 그리고 이미 정의된 용어만을 써서 새 용어를 iff로 도입한 것. ④ **정리**(theorems): 공리와 정의와 논리만으로 증명되는 명제. ::: $T \iff C$의 $\iff$는 "쌍조건문"이라 읽고 "그리고 그때뿐"으로 새긴다(S4주차 §1.3). 정의는 겉으로 "만약 …이면"으로 적혀 있어도 언제나 이 꼴이다. :::{container} quotebox **확인 4.** 1권 1주차 정의 1.1(짝수)을 네 층위 중 어디에 놓아야 하는가. 그리고 그 정의가 쓰는 낱말들은 어느 층에서 왔는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 정의 1.1은 ③층이다. 그 정의가 쓰는 낱말은 "정수", "곱", "존재한다"인데, 곱과 존재는 더 아래층에서 오고 "정수"도 집합론과 산술의 공리로 내려간다. 곧 정의 하나를 아래로 계속 풀면 반드시 ②층의 공리와 ①층의 무정의 용어에 닿는다. S4주차가 "애매하면 정의로 돌아간다"고 했을 때 그 되돌아감이 어디서 끝나는지를 이 표가 정한다 — 바닥은 ①층이고, 거기서는 되돌아갈 곳이 없다. ::: ### 3 층위 해부 — 층마다 하는 일 네 층은 각각 다른 일을 하고, 어느 하나를 빼면 무너지는 것이 다르다. | **층** | **하는 일** | **이 층을 빼면 무엇이 무너지는가** | |---|---|---| | ① 무정의 용어 | 되돌아감의 바닥을 놓는다 | 모든 용어를 정의하려면 무한 후퇴하거나 순환한다 (아래 삭제 실험 가) | | ② 공리 | 증명의 출발 사실을 놓는다 | 증명할 것은 있는데 무엇에서 출발할지가 없다 — 모든 증명이 근거를 요구받으며 무한히 거슬러 올라간다 | | ③ 정의 | 아래층의 것으로 새 이름을 만든다 | 이론이 커지지 못한다. 공리의 낱말만으로 모든 것을 매번 풀어 써야 한다 | | ④ 정리 | 아래 세 층에서 새 사실을 뽑는다 | 이론에 내용이 없다 — 공리에 적힌 것만 아는 상태로 끝난다 | **층 삭제 실험 (가) — ①층을 지우면.** "모든 용어를 정의해야 한다"는 규칙을 세운 이론을 만들어 보자. "점"을 정의하려면 그 정의에 쓰인 낱말들을 다시 정의해야 하고, 그 낱말들에 쓰인 낱말들을 또 정의해야 한다. 낱말의 수가 유한하면 언젠가 앞에서 쓴 낱말이 다시 나오므로 순환이 생기고(§1.2 표의 둘째 줄이 바로 그 꼴이다), 순환을 피하려면 낱말이 무한히 필요하다. 어느 쪽이든 정의가 끝나지 않는다. **층 삭제 실험 (나) — ②층을 지우면.** 공리 없이 정의와 논리만 가진 이론을 만들어 보자. "짝수와 짝수의 합은 짝수이다"를 증명하려면 $2a + 2b = 2(a+b)$라는 변형이 필요한데, 그 변형은 분배법칙을 쓴다. 분배법칙을 증명하라고 요구하면 더 아래의 성질이 필요하고, 그 요구는 끝나지 않는다. 어딘가에서 "이것은 증명 없이 놓는다"고 선언해야 증명이 시작된다. :::{container} quotebox **확인 5.** 위 두 실험을 하나의 문장으로 합쳐 보자. 무정의 용어와 공리가 존재하는 이유는 하나인가 둘인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 하나다. 둘 다 **되돌아감이 유한 번에 끝나야 한다**는 요구에서 나온다. 용어 쪽의 되돌아감을 끝내는 것이 무정의 용어이고, 근거 쪽의 되돌아감을 끝내는 것이 공리다. 한 문장으로 적으면 이렇다 — 이론은 유한한 바닥 위에 서야 하고, 바닥은 용어의 바닥과 근거의 바닥 두 종류가 있다. ::: ### 정의 19.2 — 좋은 정의의 네 조건 [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 새 용어를 도입하는 문장이 **정의로 성립한다** 함은, 다음 네 조건을 모두 만족하는 것이다. ① **명확성**: 용어와 조건이 iff로 이어지고, 조건 안에 판정할 수 없는 애매한 낱말이 없으며, 이름이 조건과 어긋나지 않는다. ② **무순환**: 조건에 쓰인 용어들이 피정의어를 직접 또는 간접으로 포함하지 않는다 — 곧 조건이 전부 아래층의 용어로만 되어 있다. ③ **well-defined**: 같은 대상이 여러 표현을 가질 때, 정의가 주는 결과가 표현의 선택에 무관하다. ④ **비공허$\cdot$비자명**: 조건을 만족하는 대상이 존재하고(비공허), 무대의 전부는 아니다(비자명). ::: 각 조건의 위반 사례를 §1.2 표에서 가져와 붙이면 다음과 같다. | **조건** | **위반 사례** | **위반이 일으키는 일** | |---|---|---| | ① 명확성 | "$n$이 작은 수라 함은 $n < 100$인 것이다" | 조건은 판정되지만 이름이 뜻과 어긋나 읽는 사람이 오해한다 | | ② 무순환 | "짝수: 홀수가 아닌 정수 / 홀수: 짝수가 아닌 정수" | 조건을 아래층까지 풀 수 없어 판정이 시작되지 않는다 | | ③ well-defined | "유리수 $\frac ab$의 무게는 $a + b$" | 같은 대상에 두 값이 붙어 등식이 무너진다 | | ④ 비공허$\cdot$비자명 | "$x \neq x$인 실수" / "$x = x$인 실수" | 이름이 아무것도 가리키지 않거나 아무것도 구별하지 못한다 | ④는 **조건으로 대상을 가르는 정의**에만 걸린다. 무대의 모든 원소에 값을 주는 정의(문제 12의 $h$가 그렇다)에는 가를 대상이 없으므로, ④ 대신 "정의가 모든 입력에서 값을 주는가"를 점검한다(문제 15의 다섯째 점검). 어느 쪽인지는 정의가 참$\cdot$거짓을 주는지 값을 주는지로 갈린다. :::{container} quotebox **확인 6.** 네 조건 중 셋은 정의 문장만 보면 판정할 수 있고 하나는 계산을 요구한다. 어느 것이고, 왜 그런가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown ③ well-defined가 계산을 요구한다. ①은 낱말과 이름을 보면 되고, ②는 조건에 쓰인 용어의 목록을 아래층까지 따라가면 되고, ④는 대상 하나와 비대상 하나를 만들면 끝난다. ③만은 **같은 대상의 두 표현을 실제로 잡아 값이 같은지 유도**해야 하고, 그 유도가 정의 19.3의 검사 서식이다. 정의를 지을 때 가장 자주 빠뜨리는 조건이 ③인 이유도 여기 있다 — 나머지 셋은 읽으면 걸리고, ③만은 계산해야 걸린다. ::: ### 4 조건 해부 — 조건 삭제 실험 네 조건 각각을 지워 보고 무엇이 무너지는지 확인한다. 실험은 실제로 무너지는 사례로 한다. | **지운 조건** | **통과하게 되는 문장** | **무너지는 것** | |---|---|---| | ① 명확성 | "$n$이 흥미로운 정수라 함은 $n$이 흥미로운 성질을 갖는 것이다" | 두 사람이 같은 $n$을 놓고 판정이 갈린다. 정의의 목적인 합의가 사라진다 | | ② 무순환 | "짝수: 홀수가 아닌 정수 / 홀수: 짝수가 아닌 정수" | $4$가 짝수인지 물으면 홀수인지를 물어야 하고, 그것은 다시 짝수인지를 묻는다. 판정이 끝나지 않는다 | | ③ well-defined | "유리수 $\frac ab$의 무게는 $a + b$" | $\frac12 = \frac24$인데 무게가 $3$과 $6$으로 갈린다. $3 = 6$을 유도할 수 있게 되므로 이론 전체가 무너진다 | | ④ 비공허 | "$x \neq x$인 실수를 초록수라 한다" | "모든 초록수는 $7$보다 크다"와 "모든 초록수는 $7$보다 작다"가 동시에 참이 된다(공허 참). 이름을 쓴 정리가 아무것도 말하지 않는다 | | ④ 비자명 | "$x = x$인 실수를 빨강수라 한다" | "빨강수"와 "실수"가 같은 뜻이 되어 새 이름이 아무 정보도 더하지 않는다 | ③의 붕괴는 다른 셋보다 무겁다. $\frac12 = \frac24$이므로 무게가 정의라면 $w\!\left(\frac12\right) = w\!\left(\frac24\right)$여야 하는데 좌변은 $3$이고 우변은 $6$이므로 $3 = 6$이 유도된다. 여기서 $3 = 6$ 하나만 잘못되는 것이 아니다 — 양변에서 $3$을 빼면 $0 = 3$이고, 양변에 임의의 실수 $x$를 곱해 $0 = 3x$를 얻으면 모든 실수가 $0$이 된다. 정의 하나의 결함이 산술 전체를 무너뜨린다. :::{container} quotebox **확인 7.** 1권 1주차 §1.3에서 짝수의 정의에서 "정수"라는 조각을 지웠을 때 무너진 것은 네 조건 중 무엇이었는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown ④의 비자명이다. "정수"를 지우면 임의의 $x$를 $x = 2 \times \frac x2$로 쓸 수 있어 모든 수가 짝수가 되고, "짝수"라는 이름이 아무것도 구별하지 못하게 된다. 1권 1주차는 그것을 "정의가 무너진다"고만 적었고, 여기서 그 붕괴가 네 조건 중 몇 번째인지 이름을 얻는다. 조각 삭제 실험은 이번 주에도 그대로 쓰이는 도구이며, 다만 무너지는 것을 목록의 항목으로 지목할 수 있게 된 것이 달라진 점이다. ::: ### 정의 19.3 — well-defined [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 대상 $r$에 값을 주는 정의가 **well-defined**라 함은, 같은 대상의 어느 두 표현 $r_1$, $r_2$에 대해서도 $r_1 = r_2$이면 정의가 주는 값이 같다는 것이다. 조건을 만족하지 못하면 **ill-defined**라 하고, 그 문장은 정의로 성립하지 않는다. ::: "well-defined"는 "웰 디파인드"로 읽고 한국어로는 "잘 정의됨"으로 적는다. 이번 주 답안에서는 어느 쪽으로 적어도 같다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **well-defined 검사 서식** ① **두 표현 잡기** — 같은 대상의 서로 다른 두 표현을 각각 문자로 잡는다. 유리수면 $\frac ab$와 $\frac{a'}{b'}$, 잉여류면 $[a]$와 $[a']$이다. ② **같음을 등식으로** — "두 표현이 같은 대상이다"를 계산 가능한 등식으로 옮긴다. 유리수면 $ab' = a'b$, 법 $n$의 잉여류면 $n \mid (a - a')$이다. ③ **값의 같음을 유도하거나 갈리는 쌍을 제시** — ②의 등식에서 정의가 주는 두 값이 같음을 유도하면 well-defined이고, 값이 갈리는 표현 한 쌍을 실제로 제시하면 ill-defined다. ::: 세 걸음은 각각 다른 일을 하고, 어느 하나를 빼면 무너지는 것이 다르다. | **걸음** | **하는 일** | **이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가** | |---|---|---| | ① 두 표현 잡기 | 갈릴 수 있는 자리를 문자로 고정한다 | 표현이 하나뿐이라 착각해 검사 자체를 건너뛴다 | | ② 같음을 등식으로 | "같은 대상"을 계산 가능한 등식으로 옮긴다 | 대입할 등식이 없어 ③의 유도가 시작되지 않는다 | | ③ 값의 같음 유도 또는 갈리는 쌍 제시 | 통과$\cdot$불통과를 확정한다 | "아마 같을 것이다"에서 끝나 판정이 남지 않는다 | 걸음 ②가 이 서식의 핵심이다. "같은 대상"이라는 말은 그대로는 계산에 들어가지 않으므로 등식으로 번역해야 하고, 그 번역은 대상이 무엇이냐에 따라 다르다. 번역표를 만들어 두면 이후 어떤 대상에서도 같은 서식이 돈다. | **대상** | **표현** | **"두 표현이 같다"의 등식** | |---|---|---| | 유리수 | $\frac ab$ ($b \neq 0$) | $ab' = a'b$ | | 법 $n$의 잉여류 | $[a]$ | $n \mid (a - a')$ | | 집합 | 원소의 나열 | $A \subseteq B$이고 $B \subseteq A$ (외연성) | **걸음 삭제 실험 — 걸음 ②를 빼면.** 준비 운동 (나)의 무게 $w$에 걸음 ①과 ③만 걸어 보자. ①에서 $\frac12$과 $\frac24$를 잡고 곧바로 ③으로 넘어가면 손에 남는 것은 값 $3$과 $6$, 그리고 $3 \neq 6$뿐이다. 두 값이 갈렸다는 사실이 결함이 되려면 "$\frac12$과 $\frac24$가 같은 대상"이라는 말이 근거 목록의 무엇인가와 이어져야 하는데, 그 말은 아직 등식이 아니라 문장이므로 이을 자리가 없다. 곧 "두 값이 다른 것이 왜 문제인가"에 답할 수 없다. 걸음 ②의 $1 \cdot 4 = 2 \cdot 2$가 들어와야 $\frac12 = \frac24$가 근거 ③이 다루는 등식이 되고, 그때 비로소 $w\!\left(\frac12\right) = w\!\left(\frac24\right)$여야 한다는 요구가 생겨 $3 = 6$이 유도된다. :::{container} quotebox **확인 8.** 준비 운동 (나)의 무게 $w$에 검사 서식 세 걸음을 걸어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown ① $\frac12$과 $\frac24$를 잡는다. ② $1 \cdot 4 = 4$이고 $2 \cdot 2 = 4$이므로 $ab' = a'b$가 성립한다 — 같은 대상이다. ③ 정의가 주는 값은 $1 + 2 = 3$과 $2 + 4 = 6$이고 $3 \neq 6$이다. 값이 갈리는 표현 한 쌍을 제시했으므로 ill-defined다. 준비 운동에서 이름 없이 관찰한 것이 여기서 세 줄의 서식으로 적힌다. ::: :::{container} quotebox **확인 9.** 1권 1주차 정의 1.1("$n = 2k$인 정수 $k$가 존재한다")에는 well-defined 검사가 필요한가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 필요 없다. 그 정의는 $n$에 **값을 주지 않고** "짝수인가 아닌가"라는 참$\cdot$거짓만 준다. 정수도 표현은 여럿이다 — $6$은 $2 \cdot 3$으로도 $4 + 2$로도 $\frac{12}2$로도 적힌다. 그런데도 검사가 필요 없는 것은 표현의 개수 때문이 아니라, 이 정의가 **대표원을 골라 값을 계산하지 않고 대상 자체에 참$\cdot$거짓을 주기** 때문이다. $6$을 어떻게 적든 짝수인지 아닌지는 그대로이므로, 표현 선택이 개입할 자리가 없다. 일반적으로 **성질을 정하는 정의는 검사가 자동으로 통과하고, 대표원을 골라 값이나 연산을 계산하는 정의만이 검사를 요구한다.** 이 갈림이 예제 2.1과 예제 2.2를 나누는 기준이다. ::: **1권에서 감각으로 하던 것이 여기서 이름을 얻는다.** 1권 20주차 §1.5의 (C4) 합 보존과 (C5) 곱 보존 — "$a \equiv b$이고 $c \equiv d$이면 $a + c \equiv b + d$" — 을 증명한 계산이 정확히 well-defined 검사였다. 그때는 합동의 한 성질로 증명했을 뿐이지만, C11주차에서 $\mathbb{Z}_n$의 덧셈을 $[a] + [b] = [a+b]$로 **정의**하는 순간 그 계산이 정의의 성립 조건이 된다. 문제 11과 문제 17이 그 예습이다. ### 정의 19.4 — 공리계의 세 덕목 [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 공리들의 묶음을 **공리계**라 한다. 공리계를 세울 때 검사하는 것은 다음 셋이다. ① **무모순성**(consistency): 공리들에서 $P$와 $\neg P$가 함께 유도되지 않는다. 검사법은 **모형 제시** — 공리를 전부 만족하는 실제 대상을 하나 내놓으면 된다. ② **독립성**(independence): 각 공리가 나머지 공리들에서 유도되지 않는다. 검사법은 **반례 모형** — 그 공리만 거짓이고 나머지는 참인 대상을 공리마다 하나씩 내놓는다. ③ **완전성**(completeness): 그 언어로 적을 수 있는 모든 명제가 증명되거나 반증된다. 충분히 강한 이론에서는 요구하지 않는다. ::: ### 5 덕목 해부 — 검사법이 왜 그 꼴인가 세 덕목은 중요도가 같지 않고, 검사법의 모양도 다르다. | **덕목** | **검사에 필요한 것** | **이 검사를 빼면 무엇이 무너지는가** | |---|---|---| | ① 무모순성 | 모형 **하나** | 모순이 유도되면 그 공리계에서는 모든 명제가 증명된다 — 이론이 아무것도 배제하지 못한다 | | ② 독립성 | 공리 **개수만큼**의 반례 모형 | 유도 가능한 명제가 공리 목록에 섞여 있어도 알 수 없다. 이론은 여전히 작동하지만 목록이 최소가 아니다 | | ③ 완전성 | 이론 전체에 대한 논증 | 대개 요구하지 않는다 — 재귀적으로 공리화 가능하고(공리 목록을 기계적으로 판정할 수 있고) 산술을 담을 만큼 강한 무모순 이론은 완전할 수 없다(괴델 제1불완전성 — 범위 밖이므로 인정하고 쓴다) | **무모순성이 최우선인 이유.** 모순된 공리계에서 $P$와 $\neg P$가 함께 유도된다고 하자. 임의의 명제 $Q$에 대해, $P$가 참이므로 "$P$ 또는 $Q$"가 참이고($\lor$ 첨가), "$P$ 또는 $Q$"와 $\neg P$가 함께 있으므로 $Q$가 나온다(선언 삼단논법). $Q$는 무엇이든 될 수 있으므로 그 이론은 모든 명제를 증명한다. 무엇이든 증명하는 이론은 아무것도 주장하지 않는 이론과 같다. 여기 쓴 두 추론 — $P$에서 "$P$ 또는 $Q$"를 얻는 $\lor$ 첨가와, "$P$ 또는 $Q$"와 $\neg P$에서 $Q$를 얻는 선언 삼단논법 — 은 §1.8의 근거 목록 ④에 이번 주에 인정하고 쓰는 논리 규칙으로 올린다. 결론의 $\lor$를 다루는 S15주차의 소거법과는 방향이 반대다. 소거법은 결론이 "$P$ 또는 $Q$"일 때 $\neg P$를 가정해 $Q$를 유도하는 증명 전략이고, 여기서 쓰는 것은 **가정**으로 주어진 "$P$ 또는 $Q$"와 $\neg P$에서 $Q$를 뽑는 추론이다. :::{container} quotebox **확인 10.** 무모순성 검사에 모형이 **하나**면 충분한 이유는 무엇인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 모형은 공리를 전부 만족하는 실제 대상이다. 만약 공리계에서 $P$와 $\neg P$가 함께 유도된다면 그 모형 안에서도 $P$와 $\neg P$가 함께 성립해야 하는데, 실제 대상에서 그런 일은 일어나지 않는다. 곧 모형 하나의 존재가 모순 유도의 불가능을 보증한다. 반면 독립성은 "각 공리가 나머지에서 유도되지 않음"이라는 별개의 주장이 공리마다 하나씩 있으므로, 모형도 공리마다 하나씩 필요하다. ::: **덕목 삭제 실험 — 독립성을 지우면.** 공리 A1(비반사), A2(추이), A3(삼분)을 그대로 늘어놓은 공리계를 보자(예제 2.3에서 다시 다룬다). A3에 $y = x$를 넣으면 "$x \prec x$, $x = x$, $x \prec x$ 중 정확히 하나가 성립한다"가 되는데, $x = x$가 참이므로 나머지는 거짓이어야 하고 곧 $x \not\prec x$다. 이것이 A1이므로 **A1은 A3에서 한 줄로 유도된다.** 독립성을 검사하지 않으면 이 사실이 드러나지 않는다. 이론은 여전히 무모순이고 정리도 그대로다. 무너지는 것은 이론이 아니라 목록의 쓸모다 — 공리 목록을 읽는 사람은 A1이 별도의 요구라고 읽게 되고, 새 모형을 만들 때 A1을 따로 검증하려 애쓰게 된다. 가상의 사례가 아니라 실물이므로 처리도 따라온다 — 예제 2.3에서 이 공리계를 최소로 고치는 두 방법을 본다. :::{container} quotebox **확인 11.** 어떤 답안이 "$S = \{a, b\}$에 관계를 하나도 두지 않으면 A1과 A2는 참이고 A3은 거짓이다"라고 적었다. 이 답안은 세 덕목 중 무엇을 검사한 것인가. 그리고 A2가 참이라는 주장의 근거는 무엇인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown A3의 **독립성**을 검사한 것이다. A3만 거짓이고 나머지는 참인 모형을 제시했으므로 A3은 A1과 A2에서 유도되지 않는다. A2가 참인 근거는 공허 참이다 — A2는 "$x \prec y$이고 $y \prec z$이면 $x \prec z$"인데 전건을 만족하는 $x, y, z$가 하나도 없으므로 함의가 자동으로 참이 된다(1권 8주차의 진리표). A1은 공허 참이 아니다 — A1은 "모든 $x$에 대해 $x \not\prec x$"라는 전건 없는 전칭 문장이므로, 어느 $x$에서도 $x \prec x$가 성립하지 않는다는 사실로 결론이 직접 참이 된다. 조건문이 아닌 전칭 문장에는 공허 참이 붙지 않는다. 관계가 하나도 없는 모형이 독립성 검사에서 자주 쓰이는 이유가 이 공허 참이다. ::: ### 6 러셀의 역설 — 공리 하나가 무모순성을 깨뜨린 사례 1권 6주차 §1.7이 읽을거리로 지나간 것을 이번 주의 목록으로 다시 읽는다. :::{admonition} 소박한 집합론의 공리 하나 :class: quotebox 무제한 내포: 임의의 성질 $P$에 대해 $\{x : P(x)\}$는 집합이다. ::: 이 공리는 편리하다. 조건만 적으면 집합이 생기므로, 1권 3~6주차에서 집합을 다룰 때 쓴 표기가 전부 이 공리 위에 서 있다. 그런데 $P(x)$를 "$x \notin x$"로 잡고 $R = \{x : x \notin x\}$를 만들면, $R \in R$이라 해도 $R \notin R$이 나오고 $R \notin R$이라 해도 $R \in R$이 나온다. 두 갈래 모두 모순이므로 이 공리를 가진 공리계는 무모순이 아니다. :::{container} quotebox **확인 12.** 러셀의 역설이 드러낸 것은 정의 19.2의 결함인가 정의 19.4의 결함인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 정의 19.4의 결함, 곧 **무모순성**의 실패다. $R$의 정의 자체는 네 조건을 어기지 않는다 — 조건 "$x \notin x$"에 애매어가 없고, 피정의어로 되돌아오지 않고, 값이 아니라 소속을 정하므로 well-defined 검사도 자동 통과한다. 무너진 것은 그 정의를 허용한 **공리**다. 곧 정의 하나하나를 아무리 잘 검사해도, 그 정의들을 만들 권한을 주는 공리가 모순을 낳으면 이론이 무너진다. 검사가 두 층에서 각각 필요한 이유가 여기 있다. ::: **해결.** 무제한 내포를 약화해 **분출 공리**로 바꾼다 — 임의의 성질로 집합을 만드는 것이 아니라, **이미 있는 집합 $A$에서** $\{x \in A : P(x)\}$만 만들 수 있게 한다. 그러면 $R_A = \{x \in A : x \notin x\}$에 러셀의 논법을 걸어도 나오는 것은 모순이 아니라 "$R_A \notin A$"라는 참인 결론이다(문제 14에서 직접 유도한다). 공리를 약화하는 대가로 만들 수 있는 집합이 줄고, 그 대가로 무모순성을 회복한다. 현대 집합론(ZF)이 택한 길이다. ### 7 만드는 쪽의 네 책임 [백지 암기 대상] 1권 20주차 §1.7의 글쓰기 규칙 6조는 증명을 발표할 때의 규칙이다. 정의와 공리를 발표할 때는 그 위에 네 줄이 더 얹힌다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **만드는 쪽의 네 책임** ① **무정의 용어를 명시한다** — 이 정의$\cdot$공리계가 정의 없이 전제하는 용어가 무엇인지 먼저 적는다. ② **네 조건을 점검한다** — 정의 19.2의 ①~④를 순서대로 통과시키고, ③은 검사 서식 세 줄을 실제로 적는다. ③ **무모순성의 근거를 댄다** — 공리계를 세웠으면 모형 하나를 제시한다. ④ **층위를 지킨다** — 새 용어는 아래층의 용어로만 정의하고, 새 공리는 나머지에서 유도되지 않음을 확인한다. ::: :::{container} quotebox **확인 13.** 어떤 답안이 "정수 $n$이 반짝수라 함은 $n$이 짝수의 절반인 것이다"라고 적고 예로 $3$과 $7$을 들었다. 네 책임 중 무엇이 지켜지지 않았는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown ②가 지켜지지 않았다. 조건 "짝수의 절반"은 아래층 용어로 풀면 "$n = \frac m2$인 짝수 $m$이 존재한다"인데, 임의의 정수 $n$에 대해 $m = 2n$을 잡으면 조건이 늘 성립한다. 곧 모든 정수가 반짝수이므로 ④ 비자명을 어긴다. 예로 든 $3$과 $7$은 조건을 만족하기는 하지만, 비예를 만들어 보지 않았기 때문에 붕괴가 드러나지 않았다 — S4주차 §1.8 걸음 ③이 예 두 개와 **비예 두 개**를 함께 요구한 이유다. ①과 ④는 어기지 않았고 ③은 공리계가 아니므로 해당하지 않는다. ::: ### 8 근거 목록 갱신 근거의 칸은 이번 주에도 네 개다. 이번 주가 채우는 것은 ①과 ④다. | **근거** | **이번 주에 추가$\cdot$갱신되는 것** | **이번 주에는 이렇게 쓴다** | |---|---|---| | ① 정의 | **S19주차 정의 19.1**(네 층위) $\cdot$ **19.2**(좋은 정의의 네 조건) $\cdot$ **19.3**(well-defined와 검사 서식) $\cdot$ **19.4**(공리계의 세 덕목) | 정의 후보를 판정할 때 네 조건 중 몇 번에 걸리는지까지 지목하고, ③이면 검사 서식 세 줄을 적는다 | | ② 닫힘성 | 변화 없음 | well-defined 유도 안에서 "$ab' - a'b$는 정수이므로"를 별도 설명 없이 쓴다 | | ③ 등식$\cdot$부등식의 성질 | 변화 없음 | 교차곱 조작과 인수분해에 쓴다. 1권 16주차 (W1)~(W6)도 그대로 유효하다 | | ④ 이미 증명한 명제$\cdot$채택한 사실 | 부품: 러셀의 논법(1권 6주차 §1.7), 합동의 (C1)~(C5)(1권 20주차 §1.5), 반사$\cdot$대칭$\cdot$추이의 정의(1권 36주차), 최댓값의 유일성(S13주차), 항등원의 유일성(S13주차 문제 9), 수렴 수열의 꼬리가 유계임(S7주차 문제 11), 유한하고 비어 있지 않은 실수 집합에 최댓값이 존재함(S16주차가 최댓값을 정의했으나 이 명제를 정리로 세우지는 않았으므로 인정하고 쓴다), 구면 기하의 존재(S18주차 문제 9(b))와 쌍곡 기하의 존재(이 교재의 범위 밖 — 인정하고 쓴다), 괴델의 제1불완전성 정리와 제2불완전성 정리(범위 밖 — 인정하고 쓴다. 문제 18이 쓰는 것은 제2불완전성이다), 논리 규칙 둘: $P$에서 "$P$ 또는 $Q$"를 얻는 $\lor$ 첨가와 "$P$ 또는 $Q$"$\cdot$$\neg P$에서 $Q$를 얻는 선언 삼단논법(§1.5에서 쓴다) | "1권 20주차 §1.5 (C4)에 의해"처럼 출처를 대고 한 줄로 끝낸다 | 목록 밖의 것은 이번 주에도 근거가 되지 않는다. 특히 **"관례상 그렇게 쓴다"는 근거가 아니다** — 관례를 쓰려면 그 관례를 정의로 명시하는 것이 ①의 몫이고, 명시하지 않은 관례에 기댄 계산은 well-defined 검사에서 갈린다(문제 9). 정의 19.1~19.4와 정의 19.3 뒤의 검사 서식은 외운다 — [백지 암기 대상] 표시가 그 대상이다. 통째로 외우기보다 "읽는 쪽에서 주어진 것이 만드는 쪽에서는 검사 대상이다"라는 한 문장에서 나머지를 재구성하는 쪽이 재현률이 높다.