1회 · 미적분의 두 문제#
이 회차
한 문장 |
미적분은 넓이를 구하는 문제와 접선을 긋는 문제에서 출발했으며, 두 문제는 2000년 동안 별개였다. |
출처 |
L0 + Strang |
파트 |
PART I — 무한을 담을 그릇 · 관통 질문: 넓이를 어떻게 정의할 것인가 |
짝 실험 |
미적분(calculus)은 두 개의 문제에서 출발한다. 하나는 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 문제이고, 다른 하나는 곡선 위의 한 점에서 접선을 긋는 문제이다.
두 문제는 서로 무관해 보인다. 넓이는 도형 전체에 관한 양이고 접선은 한 점에 관한 양이다. 실제로 두 문제는 오랫동안 별개의 문제로 다루어졌다. 넓이 문제는 기원전 3세기에 아르키메데스(Archimedes)가 상당한 수준까지 해결했고, 접선 문제는 17세기에 와서야 체계적으로 다루어졌다. 두 문제 사이에 관계가 있다는 것이 밝혀진 것은 그보다 뒤의 일이다.
이번 회차에서는 두 문제가 각각 무엇인지, 그리고 아르키메데스가 넓이 문제를 어떤 방법으로 다루었는지 살펴보자.
1. 넓이 문제#
직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 이미 다룰 수 있다. 삼각형의 넓이가 밑변과 높이로 정해지고, 다각형은 대각선을 그어 삼각형으로 나눌 수 있기 때문이다. 나눈 조각의 넓이를 각각 구해 더하면 전체 넓이가 된다.
곡선으로 둘러싸인 도형에는 이 방법이 통하지 않는다. 곡선의 어느 부분을 잘라내도 남은 조각은 여전히 곡선을 포함한다. 유한 번 잘라서 삼각형만 남게 만들 수 없다.
앞으로 다룰 대상을 하나 고정하자. 양수 \(b\)에 대하여, 포물선 \(y = x^2\)과 \(x\)축, 그리고 직선 \(x = b\)로 둘러싸인 영역을 생각한다. 이 영역을 \(\Omega_b\)라 쓰고 그 넓이를 \(A\)라 쓴다.
넓이 문제: \(A\)는 얼마인가.
물음을 하나 더 짚어 둘 필요가 있다. “\(A\)가 얼마인가”를 묻기 전에 “\(A\)란 무엇인가”라는 물음이 있다. 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이가 무엇인지를 우리는 아직 정하지 않았다. 이번 회차에서는 넓이가 이미 정해져 있다고 두고, 그것이 만족한다고 볼 만한 성질 두 가지만 쓴다. 도형 \(P\)가 도형 \(Q\)에 포함되면 \(P\)의 넓이는 \(Q\)의 넓이보다 크지 않다는 것이 하나이고, 직사각형의 넓이가 가로와 세로의 곱이라는 것이 다른 하나이다.
2. 접선 문제#
함수 \(f\)의 그래프 위의 서로 다른 두 점 \((x_1, f(x_1))\)과 \((x_2, f(x_2))\)를 지나는 직선을 할선(secant line)이라 한다. 할선의 기울기는 다음과 같다.
(1.1)은 \(x_1 \ne x_2\)인 한 언제나 하나의 값으로 정해진다. 두 점의 좌표만 알면 되고 새로 정의할 것이 없다.
접선(tangent line)은 한 점에서의 직선이다. 점 \((x_1, f(x_1))\) 하나만 주어졌을 때 그 점에서의 기울기를 정하려면 (1.1)에서 \(x_2\)를 \(x_1\)으로 가져가야 한다. 그런데 \(x_2 = x_1\)을 넣으면 분모가 \(0\)이 되고, 동시에 분자도 \(f(x_1) - f(x_1) = 0\)이 된다. \(0/0\)은 값이 정해지지 않는다.
그러므로 접선의 기울기는 (1.1)에 값을 대입하는 것으로는 얻을 수 없다. 새로운 정의가 필요하다.
접선 문제: 곡선 위의 한 점에서의 기울기를 어떻게 정의할 것인가.
3. 아르키메데스의 구적법(method of exhaustion)#
아르키메데스는 포물선으로 잘린 조각의 넓이를 구했다. 그가 쓴 방법을 구적법(method of exhaustion)이라 한다. 여기서는 그 방법을 1절에서 고정한 영역 \(\Omega_b\)에 적용한다.
안쪽 도형과 바깥쪽 도형#
구간 \([0, b]\)를 \(n\)등분한다. 분할점을
이라 두면 각 부분구간 \([x_{k-1},\, x_k]\)의 폭은 모두 \(b/n\)이다.
\(x \ge 0\)에서 \(x^2\)은 증가한다. 따라서 부분구간 \([x_{k-1},\, x_k]\) 위에서 함숫값의 최솟값은 왼쪽 끝의 값 \(x_{k-1}^2\)이고 최댓값은 오른쪽 끝의 값 \(x_k^2\)이다.
각 부분구간마다 밑변이 그 구간이고 높이가 최솟값인 직사각형을 세운다. 이 직사각형들은 모두 \(\Omega_b\) 안에 들어간다. 이들을 모은 도형의 넓이를 \(s_n\)이라 쓴다. 높이를 최댓값으로 바꾸면 직사각형들이 \(\Omega_b\)를 덮는다. 이 도형의 넓이를 \(S_n\)이라 쓴다. 소문자가 안쪽이고 대문자가 바깥쪽이다.
직사각형의 넓이는 가로와 세로의 곱이므로
이다. 마지막 등호에서 \(b^3/n^3\)을 합 밖으로 빼냈고, \(k = 0\)인 항은 \(0\)이므로 합의 시작을 \(k = 1\)로 바꾸었다.
같은 방식으로 바깥쪽 도형의 넓이는 다음과 같다.
두 넓이를 \(n\)의 식으로 쓴다#
(1.3)과 (1.4)를 계산하려면 제곱수의 합을 알아야 한다. 그 값은
이다. (1.5)를 어떻게 얻는지는 지금 다루지 않고 결과만 쓴다.
(1.5)를 \(m = n-1\)에 적용하여 (1.3)에 넣는다.
(1.5)를 \(m = n\)에 적용하여 (1.4)에 넣는다.
(1.6)과 (1.7)의 분자를 전개하면 \( (n-1)(2n-1) = 2n^2 - 3n + 1\)이고 \((n+1)(2n+1) = 2n^2 + 3n + 1\)이다. 각각 \(6n^2\)으로 나누어 항별로 정리하면 다음을 얻는다.
(1.8)에서 두 가지를 읽는다.
첫째, 두 넓이의 차이가 간단하다. (1.8)의 두 식을 빼면 가운데 항만 두 배로 남고 나머지는 상쇄된다.
둘째, \(b^3/3\)은 언제나 두 값 사이에 있다.
(1.10)의 왼쪽 부등식을 확인하자. (1.8)에서
이다. \(n \ge 1\)이므로 \(3n - 1 \ge 2 > 0\)이고, \(b > 0\)이므로 (1.11)의 값은 양수이다. 따라서 \(s_n < b^3/3\)이다. 오른쪽 부등식은 (1.8)에서 \(S_n - b^3/3 = b^3/(2n) + b^3/(6n^2) > 0\)이므로 곧바로 나온다.
\(b = 1\)일 때 몇 개의 \(n\)에 대해 값을 적으면 다음과 같다.
\(n\) |
\(s_n\) |
\(S_n\) |
\(S_n - s_n\) |
\(b^3/n\) |
|---|---|---|---|---|
4 |
0.21875 |
0.46875 |
0.25 |
0.25 |
10 |
0.285 |
0.385 |
0.1 |
0.1 |
40 |
0.3209375 |
0.3459375 |
0.025 |
0.025 |
세 줄 모두에서 \(s_n < 1/3 < S_n\)이고, 차이는 (1.9)가 말하는 \(1/n\)과 일치한다.
넓이가 \(b^3/3\)임을 보인다#
안쪽 도형은 \(\Omega_b\)에 포함되고 \(\Omega_b\)는 바깥쪽 도형에 포함된다. 1절에서 넓이가 포함 관계를 따른다고 두었으므로
이다. 이제 (1.12)를 만족하는 수가 \(b^3/3\) 하나뿐임을 보인다.
논증에 쓸 사실을 하나 미리 밝혀 둔다. 양수 \(d\)가 무엇이든, \(b^3/n < d\)가 되는 자연수 \(n\)이 있다. 이 사실이 어디서 오는지는 아직 확정하지 않았다. 여기서는 성립한다고 두고 쓴다.
정리 1 (포물선 아래 영역의 넓이)
\(A\)가 모든 자연수 \(n\)에 대하여 (1.12)를 만족하면 \(A = b^3/3\)이다.
증명. \(A \ne b^3/3\)이라고 하자. 그러면 \(A > b^3/3\)이거나 \(A < b^3/3\)이다. 두 경우를 각각 살펴본다.
(가) \(A > b^3/3\)인 경우. \(d = A - b^3/3\)이라 두면 \(d > 0\)이다. 위에서 밝혀 둔 사실에 의하여 \(b^3/n < d\)가 되는 자연수 \(n\)을 하나 고를 수 있다. 그 \(n\)을 고정한다.
\(A - s_n\)을 두 부분으로 쪼갠다.
첫 번째 괄호는 \(d\)이다. 두 번째 괄호는 (1.10)에 의하여 양수이다. 따라서
이다. 마지막 등호에서 (1.9)를 썼다. 양변에 \(s_n\)을 더하면 \(A > S_n\)이다. 이것은 (1.12)의 오른쪽 부등식에 어긋난다.
(나) \(A < b^3/3\)인 경우. \(d = b^3/3 - A\)라 두면 \(d > 0\)이다. 같은 방식으로 \(b^3/n < d\)가 되는 \(n\)을 고정한다.
첫 번째 괄호는 (1.10)에 의하여 양수이고 두 번째 괄호는 \(d\)이다. 따라서
이다. 양변에서 \(S_n\)을 빼면 \(-A > -s_n\)이다. 양변에 \(-1\)을 곱하면 부등호의 방향이 뒤집혀 \(A < s_n\)이 된다. 이것은 (1.12)의 왼쪽 부등식에 어긋난다.
(가)와 (나)가 모두 모순이므로 \(A \ne b^3/3\)은 성립할 수 없다. 따라서 \(A = b^3/3\)이다.
흔한 오해 — 이 논증에는 극한이 없다
\(n\)을 키우면 \(s_n\)과 \(S_n\)이 \(b^3/3\)에 다가간다고 읽기 쉽다. 그러나 위 증명에 등장한 것은 유한개의 직사각형, 부등식 (1.9)와 (1.10)과 (1.12), 그리고 귀류법뿐이다. \(n\)이 무한히 커지는 상황을 다루지 않았고, “다가간다”는 말도 쓰지 않았다.
증명이 실제로 한 일은 다음과 같다. \(b^3/3\)이 아닌 수를 하나 가져오면 그 수를 배제할 수 있는 \(n\)이 반드시 있다는 것을 보였다. 후보를 하나씩 배제한 것이지, 무언가를 무한히 반복한 것이 아니다.
4. 이 강의가 다루는 순서#
이 강의는 넓이 문제를 먼저 다룬다. 이유는 두 가지이다.
첫째, 3절의 논증에는 극한이 필요하지 않았다. 필요했던 것은 유한한 \(n\)에 대한 부등식과 귀류법, 그리고 “양수 \(d\)가 무엇이든 \(b^3/n < d\)가 되는 \(n\)이 있다”는 사실뿐이다. 우리는 이 구조를 그대로 확장하여 넓이를 정의할 수 있다. 다만 그러려면 마지막 사실이 어디서 오는지를 확정해야 한다.
둘째, 접선 문제에는 극한이 필요하다. 2절에서 본 것처럼 (1.1)은 두 점이 같아지는 순간 값을 잃는다. 이 상황을 다루려면 “\(x_2\)를 \(x_1\)에 가져간다”는 말을 정확한 뜻으로 정의해야 한다. 그 정의는 넓이를 정의하는 것보다 더 많은 준비를 요구한다.
흔한 오해 — 두 문제의 관계를 미리 가정하는 것
넓이와 접선 사이에 관계가 있다는 이야기를 들은 적이 있을 수 있다. 그러나 지금까지 우리가 확인한 범위에서 두 문제는 무관하다. 3절의 논증 어디에도 접선이 등장하지 않았고, 2절의 물음 어디에도 넓이가 등장하지 않았다.
이 강의에서는 두 문제를 각각 따로 정의하고 따로 다룬다. 관계가 있다면 그것은 정의에 넣어 두는 것이 아니라 증명해야 하는 것이다.
마치며#
이번 회차에서는 미적분의 출발점이 된 두 문제를 확인하였다. 넓이 문제와 접선 문제이다. 그리고 아르키메데스가 포물선 조각의 넓이를 구한 방법을 살펴보았다. 안쪽에서 채우는 도형과 바깥쪽에서 덮는 도형을 만들고, 두 넓이의 차이를 원하는 만큼 작게 만든 다음, 참값이 될 수 없는 후보를 하나씩 배제하는 방법이었다.
이 방법에는 극한이 등장하지 않는다. 등장하는 것은 유한개의 직사각형과 부등식뿐이다. 우리는 이 구조를 그대로 확장하여 넓이를 정의할 것이다. 다만 그러려면 먼저 부등식을 다룰 수 있는 수 체계가 무엇인지 확정해야 한다.
다음 회차에서는 증명을 쓰는 방법과 집합의 언어를 정리하도록 하자.
이어서
같은 회차의 실험: 1회 실험 · 아르키메데스의 구적법