26회 · 테일러 공식#
이 회차
한 문장 |
한 점에서의 도함수들을 모으면 그 점 근처에서 함수를 근사하는 다항식이 얻어진다. |
출처 |
L25 |
파트 |
PART II — 두 번째 무한 · 관통 질문: 자르기(미분)와 쌓기(적분)는 무슨 관계인가 |
짝 실험 |
25회까지는 정확한 값을 구하는 것이 목표였다. 여기서부터 목표가 바뀐다.
정확한 값을 구할 수 없는 경우가 많다. 19회 5절과 22회 3절이 \(e^{-x^2}\)을 들었고, 24회 절차표의 마지막 갈래가 “초등적 원시함수가 없을 수 있다”였다. 그런 경우에는 근삿값이라도 얻어야 한다.
무엇으로 근사할 것인가. 다항식이다. 다항식은 더하기와 곱하기만으로 값을 계산할 수 있고, 12회 정리 38가 연속임을 주었으며, 16회 정리 50가 미분을, 19회가 적분을 준다. 우리가 가장 잘 다루는 함수이다.
16회 5절이 접선을 정의하였다. \(y = f(p)+f'(p)(x-p)\)이며 그 점에서 함숫값과 도함수값이 \(f\)와 같다.
두 개를 맞추었다. 더 맞출 수는 없는가.
1. 무엇을 맞출 것인가#
접선이 \(f\)와 공유하는 것을 세어 본다. \(\ell(x) = f(p)+f'(p)(x-p)\)라 하면
이다. 둘째 등식은 16회 정리 48로 미분한 것이다.
\(\ell\)은 일차함수이고 자유롭게 정할 수 있는 계수가 둘이다. 둘을 맞추는 데 둘을 다 썼다.
이차함수를 쓰면 계수가 셋이므로 하나를 더 맞출 수 있다. 무엇을 맞출 것인가. 이계도함수값이다. 18회 정의 39가 그것을 정의했다.
차수를 올리면 더 올라간다. 물음을 정확히 적으면 이렇다.
\(P(p)=f(p)\), \(P'(p)=f'(p)\), \(\ldots\), 그리고 \(n\)계도함수까지 \(f\)와 값이 같은 \(n\)차 이하의 다항식 \(P\)를 찾는다.
16회는 “가장 잘 근사한다”고 말하지 않았다
16회 정의 32은 접선을 정의했을 뿐이고, 그 회차는 “이것은 정의이지 유도가 아니다”라고 적었다.
접선이 그 점 근처에서 \(f\)를 가장 잘 근사한다는 말은 흔히 쓰이지만, “가장 잘”이 무슨 뜻인지 정하지 않으면 아무 내용이 없다.
이 회차도 그 뜻을 정하지 않는다. 정하는 것은 **”맞춘다”**이며, 그것은 값이 같다는 뜻이다. 얼마나 잘 근사하는지는 4절에서 물음으로만 세우고 답하지 않는다.
2. 계수를 정한다#
두 가지를 먼저 정의해야 한다. 이 책에 아직 없다.
정의 54 (계승)
\(0! = 1\)이라 하고, 자연수 \(n\)에 대하여 \(n! = n \cdot (n-1)!\)이라 정의한다.
4회 정리 9에 의하여 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(n!\)이 정해진다. 12회 정의 26가 \(x^n\)을 정한 것과 같은 형태의 귀납적 정의이다.
\(1!=1\), \(2!=2\), \(3!=6\), \(4!=24\)이다.
정의 55 (n 계도함수)
\(f^{(0)} = f\)라 하고, \(f^{(n-1)}\)이 \(p\)를 포함하는 어떤 열린구간의 모든 점에서 정의되어 있고 \(p\)에서 미분 가능하면 그 도함수값을 \(f^{(n)}(p)\)라 쓰고 \(f\)의 \(p\)에서의 \(n\)계도함수값이라 한다.
\(f^{(1)} = f'\)이고 \(f^{(2)} = f''\)이므로 18회 정의 39가 \(n=2\)인 경우이다. 그 정의를 일반화한 것이다.
이제 1절의 물음에 답한다.
정리 82 (계수 공식)
\(f\)가 \(p\)에서 \(n\)계도함수까지 갖는다고 하자. \(P(x)=\sum_{k=0}^{n}c_k(x-p)^k\)가
를 만족할 필요충분조건은
이다.
증명. \((x-p)^k\)를 \(j\)번 미분한다. 16회 정리 50와 17회 정리 54에 의하여 한 번 미분할 때마다 지수가 하나 내려오고 차수가 하나 줄어드는데, 그것을 \(j\)번 하면
이다. 여기서 \(x=p\)를 넣으면 세 경우로 갈린다.
\(j<k\)이면 \(0\)이다. \((x-p)^{k-j}\)의 지수가 양수이므로 \(x=p\)에서 \(0\)이다.
\(j>k\)이면 \(0\)이다. 미분을 \(k\)번 하고 나면 상수가 되고, 그다음 미분에서 정리 48에 의하여 \(0\)이 된다.
\(j=k\)이면 \(k(k-1)\cdots1 = k!\)이다. 정의 54이 정한 값이다.
따라서 \(P\)를 \(j\)번 미분하고 \(x=p\)를 넣으면 \(k=j\)인 항 하나만 남고 그 값이 \(j!\,c_j\)이다. 정리 48가 합과 상수배를 갈라 주므로 항별로 이 계산이 통한다.
\(P^{(j)}(p) = f^{(j)}(p)\)는 곧 \(j!\,c_j = f^{(j)}(p)\)이고, \(j! \ne 0\)이므로 (26.1)과 같은 말이다.
\(k!\)이 어디서 나왔는지가 요점이다. \((x-p)^k\)를 \(k\)번 미분하면 지수가 \(k, k-1, \ldots, 1\)로 차례로 내려오면서 곱해진다. 그 곱이 \(k!\)이고, 계수의 분모에 있는 \(k!\)은 그것을 되돌리는 것이다.
정의 56 (테일러 다항식)
\(f\)가 \(p\)에서 \(n\)계도함수까지 가질 때
를 \(f\)의 \(p\)에서의 \(n\)차 테일러 다항식(Taylor polynomial)이라 한다. \(p=0\)인 경우를 매클로린 다항식이라 부른다.
\(n=1\)이면 \(T_1(x) = f(p)+f'(p)(x-p)\)이고, 이것이 16회 (16.11)의 접선이다. 접선이 \(n=1\)인 경우이다.
\(f^{(n)}\) 이 있어야 쓸 수 있다
(26.2)에 \(f^{(n)}(p)\)가 들어 있으므로 그 값이 존재해야 \(T_n\)이 정의된다.
16회 예제 11의 \(|x|\)는 \(0\)에서 미분 가능하지 않으므로 \(T_1\)조차 없다. 그리고 \(n\)계도함수가 있다는 것은 \(n-1\)계도함수가 \(p\) 근처에서 정의되어야 한다는 뜻이므로, 정의 55를 거슬러 올라가면 조건이 점점 강해진다.
\(n\)을 키우는 것이 공짜가 아니다.
다항식이면 자기 자신이다#
\(f\) 자체가 \(n\)차 이하의 다항식이면 어떻게 되는가.
\(f(x)=\sum_{k=0}^{n}a_k(x-p)^k\)로 적을 수 있다면 — 25회 정리 79을 \(D=(x-p)\)에 되풀이해 적용하면 그렇게 적힌다 — 정리 82의 계산이 \(a_k = f^{(k)}(p)/k!\)을 주므로 \(T_n = f\)이다.
이 경우가 정의를 자연스럽게 만든다. 근사할 것이 없을 때 근사식이 원래 함수와 같아진다.
3. 예#
세 가지를 계산한다. 각각 \(n\)계도함수를 구하는 방식이 다르다.
지수함수#
21회 정리 73가 \((\exp)' = \exp\)라 했다. 그러면 \(\exp^{(k)} = \exp\)가 모든 \(k\)에서 성립한다. \(k\)에 대한 귀납법이며, 한 번 미분해도 자기 자신이라는 사실을 되풀이하는 것이다.
\(p=0\)에서 \(\exp 0 = 1\)이므로 모든 계수가 \(\frac{1}{k!}\)이고
이다.
도함수가 자기 자신인 것이 계수를 가장 단순하게 만든다. 21회 5절이 “지금까지 만난 함수 가운데 이런 것이 없었다”고 적었는데, 그 성질이 여기서 값을 한다.
사인과 코사인#
20회 정리 68가 \(\sin'=\cos\)이고 \(\cos'=-\sin\)이라 했다. 네 번 미분하면 제자리로 돌아온다.
\(p=0\)에서 \(\sin 0=0\)이고 \(\cos 0=1\)이므로 계수가 \(0,\ 1,\ 0,\ -1\)을 되풀이한다. 짝수 차수 항이 모두 사라진다.
\(\cos\)은 반대로 홀수 차수가 사라진다.
\(\sin\)이 홀함수이고 \(\cos\)이 짝함수인 것이 다항식에도 그대로 나타난다. 20회 정리 65의 2가 그 대칭이었다.
1/(1-x)#
\(f(x)=\dfrac{1}{1-x}\)이다. 16회 정리 51로 몇 번 미분해 본다.
규칙이 보인다. \(f^{(k)}(x) = \dfrac{k!}{(1-x)^{k+1}}\)이며, \(k\)에 대한 귀납법으로 확인된다. \(p=0\)에서 \(f^{(k)}(0)=k!\)이므로 계수가 \(\frac{k!}{k!}=1\)이고
이다.
이 다항식은 닫힌 형태로 적힌다. 4회 정리 10를 \(a_k = -x^{k-1}\)에 적용하면 \(a_{k+1}-a_k = x^{k-1}(1-x)\)이므로
이고, \(x \ne 1\)에서 양변을 \(1-x\)로 나누면
이다.
이 예에서는 나머지항을 손으로 적을 수 있다. (26.7)에서
이다. 다른 두 예에서는 이렇게 되지 않는다. 이 경우가 특별한 것이지 일반적인 것이 아니다.
4. 나머지항#
정의 57 (나머지항)
\(f\)가 \(p\)에서 \(n\)계도함수까지 가질 때
를 나머지항(remainder)이라 한다.
이것은 정의일 뿐이며 아무 정보도 담고 있지 않다. \(f\)에서 \(T_n\)을 뺀 것에 이름을 붙였을 뿐이고, (26.8)을 옮겨 쓰면 \(f = T_n + R_n\)이라는 항등식이 된다.
물음은 이것이다.
\(R_n(x)\)는 얼마나 큰가.
이 회차에서 답하지 않는다.
3절의 마지막 예에서만 \(R_n(x)=\frac{x^{n+1}}{1-x}\)을 손으로 얻었는데, 그것은 (26.7)이라는 닫힌 형태가 있었기 때문이다. \(\exp\)나 \(\sin\)에는 그런 형태가 없다.
이 책이 질문만 세우고 넘어간 자리들
같은 일이 앞에서도 있었다.
10회 4절이 “지금 가진 도구로는 각 부분구간의 진동을 통제할 수 없다”고 적고 멈추었다. 답이 온 것은 15회였다.
19회 6절이 “\(1/x\)의 원시함수는 우리가 지금까지 만든 어떤 함수도 아니다. 이 자리는 아직 열려 있다”고 적었다. 답이 온 것은 21회였다.
질문을 정확히 세워 두는 것 자체가 일이다. \(R_n\)에 이름과 정의를 준 것이 다음 회차가 다룰 대상을 확정한 것이다.
5. 근사를 관찰한다#
\(e^{0.1}\)을 (26.3)으로 근사해 본다.
\(e\)의 값부터 어디서 오는지 밝힌다. 21회 정의 48는 \(e\)를 \(\log e = 1\)인 수로 정의했을 뿐 수치를 주지 않았다. 그 회차의 실험 페이지가 \(\log\)를 상합과 하합으로 만들고 \(\log c = 1\)인 \(c\)를 이분법으로 좁혀 \(2.71828179\ldots\)를 얻었으며, 그 절차의 근거가 정리 72의 존재와 순증가에 의한 유일성이었다.
아래 표의 수치도 같은 성격이다. 정의가 값을 주지 않고 절차가 준다.
\(n\) |
\(T_n(0.1)\) |
\(e^{0.1}\)과의 차 |
|---|---|---|
0 |
\(1\) |
\(0.10517\ldots\) |
1 |
\(1.1\) |
\(0.00517\ldots\) |
2 |
\(1.105\) |
\(0.00017\ldots\) |
3 |
\(1.1051\overline{6}\) |
\(0.0000042\ldots\) |
차수를 하나 올릴 때마다 차가 크게 줄어든다. 줄어드는 비율이 차례로 약 \(20\)배, \(30\)배, \(40\)배이다. 비율 자체가 커지는데, (26.3)의 다음 항이 \(\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\)이고 \(x=0.1\)이 작은 데다 분모의 \((n+1)!\)이 매번 커지기 때문이다.
\(x\)를 키우면 사정이 달라진다. \(e^{2}\)를 같은 다항식으로 근사하면 \(T_3(2) = 1+2+2+\frac{8}{6} = 6.33\ldots\)인데 \(e^2 = 7.389\ldots\)이므로 차가 \(1\)을 넘는다.
두 가지가 관찰된다.
\(n\)을 키우면 근사가 좋아진다.
\(x\)가 \(p\)에서 멀어지면 근사가 나빠진다.
흔한 오해 — 관찰을 정리로 여기는 것
위 두 줄은 표에서 읽은 것이지 증명한 것이 아니다.
특히 첫째 줄은 위험하다. \(n\)을 키우면 언제나 좋아지는가. 이 회차의 도구로는 알 수 없다. 실제로 그렇지 않은 함수가 알려져 있으며, 그것을 다루려면 나머지항의 크기를 평가할 수 있어야 한다.
둘째 줄도 마찬가지이다. “멀어지면 나빠진다”는 얼마나 나빠지는지를 말하지 않는다.
두 관찰을 정리로 바꾸는 것이 다음 회차의 일이다.
\(\sin\)의 테일러 다항식을 그림으로 보면 차수가 높아질수록 원래 곡선과 겹치는 구간이 넓어진다. 실험 페이지가 그 그림을 그린다. 그러나 그림도 관찰이다.
마치며#
이번 회차에서는 테일러 다항식을 정의하였다. 한 점에서 함숫값과 도함수값들을 원래 함수와 맞추는 다항식이며, 계수는 \(\dfrac{f^{(k)}(p)}{k!}\)이다.
그 전에 두 가지를 새로 세웠다. 정의 54의 계승과 정의 55의 \(n\)계도함수이다. 둘 다 이 책에 없었다. 계승은 12회가 \(x^n\)을 정한 것과 같은 귀납적 정의이고, \(n\)계도함수는 18회 정의 39를 일반화한 것이다.
\(k!\)이 계수의 분모에 있는 이유도 확인하였다. \((x-p)^k\)를 \(k\)번 미분하면 지수가 차례로 내려오며 \(k!\)이 생기고, 계수의 \(k!\)이 그것을 되돌린다.
세 함수의 다항식을 구하였다. \(\exp\)는 도함수가 자기 자신이라 계수가 가장 단순했고, \(\sin\)과 \(\cos\)은 네 번 만에 제자리로 돌아와 한 칸씩 건너뛰는 형태가 되었으며, \(\frac{1}{1-x}\)는 4회의 망원합으로 닫힌 형태 (26.7)까지 얻었다.
그리고 구체적인 값에서 근사가 얼마나 좋은지 보았다. 차수를 높이면 좋아지고 기준점에서 멀어지면 나빠지는 것으로 보였다.
그러나 “좋아진다”, “나빠진다”는 관찰일 뿐이다. 나머지항 \(R_n(x)=f(x)-T_n(x)\)를 정의하기는 하였으나 그 크기에 대해서는 아무것도 말하지 않았다.
\(\frac{1}{1-x}\)에서만 \(R_n(x)=\frac{x^{n+1}}{1-x}\)을 손으로 얻었고, 그것은 닫힌 형태가 있었기 때문이다. 일반적으로는 그런 형태가 없다.
다음 회차에서는 나머지항의 크기를 알아보도록 하자.
이어서
같은 회차의 실험: 26회 실험 · 맞춘 만큼만 맞는다