27회 · 테일러 공식의 증명#
이 회차
한 문장 |
나머지항은 평균값 정리의 일반화로 평가된다. |
출처 |
L26 |
파트 |
PART II — 두 번째 무한 · 관통 질문: 자르기(미분)와 쌓기(적분)는 무슨 관계인가 |
짝 실험 |
앞 회차에서 나머지항 \(R_n(x)=f(x)-T_n(x)\)를 정의하고 그 크기에 대해서는 아무것도 말하지 않았다.
26회 4절이 물음만 세우고 답하지 않았고, 5절의 흔한 오해 상자가 “\(n\)을 키우면 언제나 좋아지는가 — 이 회차의 도구로는 알 수 없다”고 적었다.
이번 회차에서 그 크기를 평가한다.
실마리는 \(n=0\)인 경우에 있다. \(T_0(x)=f(p)\)이므로 \(R_0(x)=f(x)-f(p)\)이다. 그런데 18회 정리 59가 \(f(x)-f(p)=f'(c)(x-p)\)인 \(c\)의 존재를 준다.
\(n=0\)일 때 나머지항은 이미 평가되어 있다. 평균값 정리가 그것이었다.
그렇다면 일반적인 \(n\)에 대해서도 같은 형태를 기대할 수 있다. 실제로 그러하며, 이번 회차에서 그것을 증명하고 형태가 다른 또 하나의 평가식도 얻는다.
1. n = 0 인 경우#
26회 정의 56에 \(n=0\)을 넣으면 \(T_0(x) = \dfrac{f^{(0)}(p)}{0!}(x-p)^0 = f(p)\)이다. 정의 54이 \(0!=1\)이라 했고 12회 정의 26가 \((x-p)^0=1\)이라 했다.
따라서 정의 57가 주는 것은
이다.
\(f\)가 \(p\)와 \(x\)를 양 끝으로 하는 닫힌구간에서 연속이고 그 내부에서 미분 가능하면, 18회 정리 59에 의하여
인 \(c\)가 \(p\)와 \(x\) 사이에 있다.
이 형태를 일반화하는 것이 목표이다. (27.1)의 오른쪽에서 \(f'\)을 \(f^{(n+1)}\)로, \((x-p)\)를 \((x-p)^{n+1}\)로 바꾸고 분모에 무언가를 넣으면 될 것 같다.
무엇을 넣어야 하는지는 26회가 이미 알려 주었다. 정리 82가 계수의 분모에 \(k!\)을 두었고, 그것은 \((x-p)^k\)를 \(k\)번 미분할 때 생기는 인수를 되돌리는 것이었다. 같은 사정이 여기서도 일어난다.
2. 라그랑주 형태#
정리 83 (라그랑주 형태의 나머지항)
\(x \ne p\)라 하자. \(f\)가 \(p\)와 \(x\)를 품는 어떤 열린구간에서 \(n-1\)계도함수까지 갖고, \(f^{(n)}\)이 \(p\)와 \(x\)를 양 끝으로 하는 닫힌구간의 각 점에서 존재하며 그 닫힌구간에서 연속이고, 그 내부에서 \(f^{(n+1)}\)을 가지면
인 \(c\)가 \(p\)와 \(x\) 사이에 있다.
가정 두 가지를 따로 짚어 둔다.
\(x \ne p\)를 뺀 것은 증명이 \((x-p)^{n+1}\)로 나누기 때문이다. \(x=p\)이면 26회 정의 57에 의하여 \(R_n(p)=0\)이므로 결론 자체는 자명하게 참이지만, “\(c\)가 \(p\)와 \(x\) 사이에 있다”가 뜻을 잃는다. 28회 정리 86의 증명이 \(0<|x-p|<\delta\)로 같은 일을 한다.
열린구간을 명시한 것은 도함수의 정의 때문이다. 16회 정의 30가 \(p\)를 포함하는 열린구간을 요구하고 26회 정의 55도 그것을 물려받으므로, 닫힌구간의 끝점에서 \(f^{(n-1)}\)의 값을 말하려면 그 둘레에 열린구간이 있어야 한다. 22회 정리 76이 \(J\)를 열린구간으로 요구한 것과 같은 사정이며, 진술이 겉보기보다 강하다는 것을 감추지 않는다.
증명. \(x\)를 고정하고 \(t\)를 변수로 하는 함수를 하나 만든다. \(p\)와 \(x\) 사이의 \(t\)에 대하여
라 하자. \(t\)가 변수이고 \(x\)가 상수인 것에 유의한다. 26회의 \(T_n\)은 \(x\)가 변수였는데 여기서는 반대이다.
\(t=x\)를 넣으면 합에서 \(k=0\)인 항만 남아 \(F(x) = f(x)-f(x) = 0\)이다. \(t=p\)를 넣으면 합이 \(T_n(x)\)이므로 \(F(p) = f(x)-T_n(x) = R_n(x)\)이다.
\(F\)를 미분한다. 합은 \(n+1\)개의 항으로 유한하다. 16회 정리 48의 합 규칙은 두 함수에 대한 진술이므로 항이 \(n+1\)개이면 그것을 \(n\)번 되풀이해야 하고, 되풀이의 근거는 4회 정리 9이다. 12회 정리 38의 증명이 연속에 대하여 같은 자리를 같은 방식으로 지났다. 그렇게 얻은 항별 도함수를 다시 하나의 합으로 모을 때 4회 (4.3)을 쓴다.
\(k=0\)인 항은 \(f(t)\)이므로 도함수가 \(f'(t)\)이다. \(k \ge 1\)인 항은 곱이므로 16회 정리 49와 17회 정리 54에 의하여
이다. 둘째 항의 부호는 \((x-t)^k\)를 \(t\)로 미분하면 \(-k(x-t)^{k-1}\)이 나오기 때문이고, \(\frac{k}{k!} = \frac{1}{(k-1)!}\)이다.
상쇄가 일어난다. \(F\)의 도함수는 위 값들의 합에 \(-1\)을 곱한 것이다. \(k\)번째 항의 앞부분 \(\frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t)^k\)과 \(k+1\)번째 항의 뒷부분 \(\frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t)^{k}\)이 서로 같으므로, 합을 늘어놓으면 이웃한 것끼리 지워진다.
\(k=0\)의 \(f'(t)\)가 \(k=1\)의 뒷부분과 지워지고, \(k=1\)의 앞부분이 \(k=2\)의 뒷부분과 지워지며, 이렇게 계속된다. 4회 정리 10의 망원합과 같은 모양이다.
지워지지 않고 남는 것은 마지막 항의 앞부분 하나뿐이다.
보조함수를 완성한다. 이제
라 두자. 가정의 \(x \ne p\)가 여기서 쓰인다. \((x-p)^{n+1} \ne 0\)이라야 이 식이 뜻을 갖는다.
\(t=p\)에서 괄호 안이 \(1\)이므로 \(G(p) = F(p)-F(p) = 0\)이고, \(t=x\)에서 괄호 안이 \(0\)이므로 \(G(x) = F(x) = 0\)이다.
\(G\)는 \(p\)와 \(x\) 사이의 닫힌구간에서 연속이고 내부에서 미분 가능하며 두 끝값이 같으므로, 18회 정리 58에 의하여 \(G'(c)=0\)인 \(c\)가 그 사이에 있다.
계산한다. 정리 54에 의하여
이고, \(t=c\)에서 이 값이 \(0\)이므로 (27.4)를 넣으면
이다. \(c\)가 \(p\)와 \(x\) 사이의 내부에 있으므로 \((x-c)^n \ne 0\)이고, 양변을 그것으로 나눈 뒤 정리하면
이다. \(F(p)=R_n(x)\)였으므로 (27.2)이다.
\(n=0\)을 넣으면 평균값 정리가 나온다. (27.2)가 \(R_0(x) = \frac{f'(c)}{1!}(x-p)^1 = f'(c)(x-p)\)가 되고, 그것이 (27.1)이다.
곧 정리 83는 새 정리가 아니라 정리 59의 일반화이다. 증명이 롤의 정리로 돌아간 것도 우연이 아니다. 18회가 평균값 정리를 롤의 정리에서 얻었고, 여기서도 같은 자리로 돌아간다.
흔한 오해 — c 에 대한 세 가지 착각
\(c\)를 구할 수 있다고 생각하면 안 된다. 정리 83는 존재만 말한다. 증명이 정리 58을 거치고 그것은 15회 정리 44를 거치는데, 그 정리는 완비성 공리로 최소상계를 잡을 뿐 값을 알려 주지 않는다. 14회 2절 이래 같은 이야기가 되풀이된다.
\(c\)가 \(n\)에 무관하다고 생각하면 안 된다. \(n\)을 바꾸면 보조함수가 바뀌고 롤의 정리가 주는 점도 바뀐다.
\(c\)가 \(x\)에 무관하다고 생각해도 안 된다. (27.3)에서 \(x\)를 고정하고 \(F\)를 만들었으므로 \(x\)마다 다른 \(F\)이고 다른 \(c\)이다.
3. 적분형#
라그랑주 형태는 \(c\)의 존재만 말한다. 4절이 보이겠지만 그것만으로도 오차를 가둘 수 있다. 그런데 가두는 것과 아는 것은 다르다.
\(c\)를 모르므로 (27.2)의 오른쪽을 계산할 수 없다. 할 수 있는 것은 \(f^{(n+1)}\)의 상계로 위에서 누르는 것뿐이고, 그러면 실제 값보다 큰 수를 얻는다.
조건을 하나 더 주면 명시적인 식을 얻는다. \(f^{(n+1)}\)이 연속이면 나머지항이 적분으로 적히며, 그 적분은 원리적으로 계산할 수 있는 양이다.
증명의 뿌리도 달라진다. 2절은 롤의 정리로 갔는데 여기서는 기본정리로 간다. 19회에서 만난 두 계보가 나머지항 앞에서 다시 갈린다.
정리 84 (적분형 나머지항)
\(f^{(n+1)}\)이 \(p\)와 \(x\)를 품는 어떤 열린구간에서 존재하고 \(p\)와 \(x\)를 양 끝으로 하는 닫힌구간에서 연속이면
이다.
열린구간을 요구하는 까닭은 정리 83와 같다. 22회 정리 75가 닫힌구간에서의 미분 가능을 요구하는데, 16회 정의 30의 도함수는 양쪽 것이므로 끝점에서도 그 둘레의 열린구간이 있어야 한다.
\(\int_p^x\)의 뜻도 정해 둔다. \(x<p\)이면 이 기호는 19회 정의 41의 약속으로 읽는다. 증명의 마지막 문단이 그 경우를 따로 다룬다.
증명. 먼저 \(p<x\)라 하고 \(n\)에 대한 귀납법을 쓴다.
\(n=0\)인 경우. \(R_0(x) = f(x)-f(p)\)이고, \(f'\)이 연속이므로 19회 정리 64에 의하여
이다. (27.5)에 \(n=0\)을 넣으면 \(0!=1\)이고 \((x-t)^0=1\)이므로 같은 식이다. 기본정리가 \(n=0\)인 경우이다.
\(n\)에서 \(n+1\)로 간다. \(n+1\)단계의 가정은 \(f^{(n+2)}\)의 연속이다.
귀납가정을 쓸 자격부터 확인한다. \(n\)단계 명제가 요구하는 것은 \(f^{(n+1)}\)의 연속인데 지금 가정은 \(f^{(n+2)}\)의 연속이다. \(f^{(n+2)}\)가 존재하므로 \(f^{(n+1)}\)이 미분 가능하고, 16회 정리 47가 그 연속을 준다. 곧 중간 단계의 연속 조건은 가정이 아니라 따름이며, 연속 가정이 실제로 소비되는 곳은 가장 높은 도함수 하나뿐이다. \(f', f'', \ldots, f^{(n+1)}\)의 연속을 따로 가정할 필요가 없다.
그러면 귀납가정에서
이다. 오른쪽에 22회 정리 75를 적용한다. \(u(t)=f^{(n+1)}(t)\)이고 \(v'(t) = (x-t)^n\)으로 두면 \(v(t) = -\frac{(x-t)^{n+1}}{n+1}\)이다.
\(u' = f^{(n+2)}\)가 연속이고 \(v'\)은 다항함수이므로 정리 75의 요구가 갖추어지고, 따라서
이다. 첫 항에서 \(t=x\)이면 \((x-t)^{n+1}=0\)이므로 사라지고, \(t=p\)이면 \(f^{(n+1)}(p)\frac{(x-p)^{n+1}}{n+1}\)이 남는다.
\(n!\)로 나누면 첫 항이 \(\frac{f^{(n+1)}(p)}{(n+1)!}(x-p)^{n+1}\)이고, 그것은 26회 정의 56에서 \(T_{n+1}\)이 \(T_n\)보다 하나 더 갖는 항이다. 따라서
이고, \(R_{n+1}(x) = R_n(x) - \bigl(T_{n+1}(x)-T_n(x)\bigr)\)이므로 그것이 (27.5)의 \(n+1\)인 경우이다.
4회 정리 9에 의하여 \(p<x\)인 모든 \(n\)에서 성립한다.
\(x<p\)인 경우. 위 논증을 닫힌구간 \([x,p]\)에서 그대로 한다. 바탕단계에서 정리 64가 주는 것은 \(\int_x^p f'(t)\,dt = f(p)-f(x)\)이고, 19회 (19.1)이 \(\int_p^x = -\int_x^p\)를 약속하므로 양변에 \(-1\)을 곱하면 \(\int_p^x f'(t)\,dt = f(x)-f(p) = R_0(x)\)로 같은 식이 된다.
귀납 단계도 마찬가지이다. 정리 75를 \([x,p]\)에서 적용한 뒤 얻은 등식의 양변에 (19.1)을 한 번씩 쓰면, 끝값 항과 적분 항의 부호가 함께 뒤집히므로 등식이 그대로 보존된다. 곧 (27.5)는 \(p\)와 \(x\)의 순서에 무관하다.
두 형태를 견주어 둔다.
요구하는 것 |
\(n+1\)계도함수의 존재 |
\(n+1\)계도함수의 연속 |
주는 것 |
\(c\)가 있다 |
명시적인 적분식 |
\(c\)의 위치 |
모른다 |
해당 없음 |
뿌리 |
같은 양을 두 가지로 적었다. 그리고 두 뿌리가 19회에서 만난 두 계보이다. 24회 3절의 계보도에서 왼쪽 가지와 오른쪽 가지가 각각 하나씩 여기에 닿는다.
4. 오차의 평가#
(27.2)에서 \(c\)를 모르지만 \(f^{(n+1)}\)의 상계를 알면 오차를 가둘 수 있다.
따름정리 13 (오차 상계)
\(p\)와 \(x\) 사이의 모든 \(t\)에서 \(|f^{(n+1)}(t)| \le M\)이면
이다.
증명. \(x=p\)이면 26회 정의 57에 의하여 양변이 모두 \(0\)이므로 볼 것이 없다. 아래에서 \(x \ne p\)라 한다.
정리 83가 주는 \(c\)가 \(p\)와 \(x\) 사이에 있으므로 가정에 의하여 \(|f^{(n+1)}(c)| \le M\)이다.
(27.2)의 양변에 절댓값을 취하고 4회 따름정리 2로 곱을 가른다. 그 따름정리는 인수가 둘일 때의 진술이므로 \(n+1\)개의 인수에 쓰려면 되풀이해야 하고, 되풀이의 근거는 정리 9이다. 그러면 \(\bigl|(x-p)^{n+1}\bigr| = |x-p|^{n+1}\)이므로
이다. \(x \ne p\)이므로 \(\dfrac{|x-p|^{n+1}}{(n+1)!} > 0\)이다. \(|f^{(n+1)}(c)| < M\)이면 3회 정리 6의 두 번째 항목이 양변에 그 양수를 곱하게 해 주고, \(|f^{(n+1)}(c)| = M\)이면 등식이 그대로 유지된다. 두 경우를 합치면 (27.6)이다.
흔한 오해 — M 을 한 점의 값으로 잡는 것
\(M\)은 \(p\)와 \(x\) 사이 전체에서의 상계여야 한다. \(|f^{(n+1)}(p)|\) 하나로 잡으면 안 된다.
정리 83가 주는 \(c\)가 어디인지 모르기 때문이다. 그 구간의 어느 점일 수도 있으므로 전부를 덮는 수를 잡아야 한다.
26회의 관찰을 보장으로 바꾼다#
26회 5절이 \(e^{0.1}\)을 근사하며 차수별 오차를 표에서 읽었다. 이제 미리 계산할 수 있다.
\(f = \exp\)이면 21회 정리 73에 의하여 \(f^{(n+1)} = \exp\)이다. \([0, 0.1]\)에서 \(\exp\)는 순증가하므로 — 도함수가 자기 자신이고 양수이므로 18회 정리 60이 준다 — 그 구간의 최댓값이 \(e^{0.1}\)이다.
\(e^{0.1} < 1.2\)임을 먼저 확인한다. 수치를 빌려 오지 않고 정리로 얻는다. 26회 5절이 \(e\)의 값이 정의가 아니라 절차에서 온다고 밝혔으므로, 여기서 상계를 잡는 근거까지 절차에 기대면 보장이 아니라 관찰이 하나 더 늘 뿐이다.
21회 정의 46가 \(\log 1.2 = \int_1^{1.2}\frac{dt}{t}\)이다.
\([1,1.2]\)의 모든 \(t\)에서 \(0 < t \le 1.2\)이다. 여기서 역수를 취하면 부등호가 뒤집힌다. 두 수가 모두 양수이므로
이고, 따라서 그 구간에서 \(\frac1t \ge \frac56\)이다. 값이 항상 \(\frac56\)인 상수함수는 계단함수이므로 7회 5절에 의하여 \(\int_1^{1.2}\frac56\,dt = \frac56 \times 0.2 = \frac16\)이다. 21회 2절이 \(1/t\)의 적분 가능성을 확인해 두었고 \(1<1.2\)이므로 8회 정리 24를 쓸 수 있어
이다. 21회 정의 47가 \(\log(\exp 0.1) = 0.1\)을 주고 \(\log\)가 \((0,\infty)\)에서 순증가하므로(21회 3절), \(e^{0.1} \ge 1.2\)라면 \(0.1 = \log(e^{0.1}) \ge \log 1.2 > 0.1\)이 되어 모순이다.
따라서 \(e^{0.1} < 1.2\)이고 \(M = 1.2\)로 잡을 수 있다.
(27.6)에 넣으면
이다. 차수별로 계산한다.
\(n\) |
상계 \(\dfrac{1.2\times(0.1)^{n+1}}{(n+1)!}\) |
실제 오차 |
|---|---|---|
0 |
\(1.2\times10^{-1}\) |
\(1.1\times10^{-1}\) |
1 |
\(6.0\times10^{-3}\) |
\(5.2\times10^{-3}\) |
2 |
\(2.0\times10^{-4}\) |
\(1.7\times10^{-4}\) |
3 |
\(5.0\times10^{-6}\) |
\(4.3\times10^{-6}\) |
4 |
\(1.0\times10^{-7}\) |
\(8.5\times10^{-8}\) |
오른쪽 열의 출처를 밝혀 둔다. \(n=0\)부터 \(n=3\)까지 네 줄이 26회 5절의 표이고, \(n=4\)는 그 표를 한 줄 더 늘려 얻은 값이다. \(n=3\)의 \(4.3\times10^{-6}\)은 26회가 \(0.0000042\ldots\)로 잘라 적은 것과 같은 수이며, 여기서는 반올림했다.
상계가 실제 오차보다 조금 크고, 자릿수가 같다. 26회는 값을 계산한 뒤에야 오차를 알았고, 여기서는 계산하기 전에 안다.
소수점 다섯째 자리까지 맞추려면 오차가 \(5\times10^{-6}\)보다 작아야 한다.
\(n=3\)으로는 말할 수 없다. 상계가 정확히 \(5.0\times10^{-6}\)인데 (27.6)이 주는 것은 \(\le\)이므로 \(|R_3(0.1)| \le 5\times10^{-6}\)까지밖에 얻지 못한다. 4회 5절이 “잃어버린 엄격함을 되찾을 방법은 없다”고 적은 자리가 이것이다.
\(n=4\)이면 상계가 \(1.0\times10^{-7}\)이고, 3회 정리 6의 네 번째 항목으로 \(|R_4(0.1)| \le 1.0\times10^{-7} < 5\times10^{-6}\)이다. \(b = 5\times10^{-6} > 0\)이므로 4회 따름정리 1가
을 준다. \(n=4\)면 확실하다.
이것이 26회와 27회의 차이이다. 26회는 “차수를 높이면 좋아지는 것으로 보였다”고 적었고, 27회는 “\(n=4\)면 다섯째 자리까지 맞는다”고 말한다.
5. 근사의 한계#
(27.6)을 다시 읽는다.
두 요인이 경쟁한다.
분모의 \((n+1)!\)은 \(n\)과 함께 아주 빨리 커지므로 오차를 줄이는 쪽으로 작용한다. 분자의 \(|x-p|^{n+1}\)은 \(|x-p|<1\)이면 줄어들고 \(|x-p|>1\)이면 커진다.
그리고 \(M\)이 \(n\)에 의존한다. (27.6)의 \(M\)은 \(f^{(n+1)}\)의 상계이므로 \(n\)이 바뀌면 다른 함수의 상계이다. \(\exp\)에서는 모든 도함수가 같아 \(M\)이 변하지 않았지만, 일반적으로는 그렇지 않다.
\(M\)이 \(n\)과 함께 \((n+1)!\)보다 빨리 커지면 상계가 오히려 커진다. 그런 함수가 있다.
이 절에서 결론을 내지 않는다. (27.6)은 상계일 뿐이므로 상계가 커진다고 실제 오차가 커지는 것도 아니다. 두 요인 가운데 어느 쪽이 이기는지는 함수마다 다르고, 그것을 제대로 다루려면 \(n\)을 끝없이 키울 때 무슨 일이 일어나는지를 물어야 한다.
우리는 아직 그 물음을 세울 언어가 없다. 무한히 많은 항을 더한다는 말이 무슨 뜻인지 정하지 않았기 때문이다.
마치며#
이번 회차에서 26회가 남긴 물음에 답하였다.
나머지항을 두 가지로 평가하였다. 라그랑주 형태는 \(c\)의 존재를 말하고 \(n+1\)계도함수만 있으면 된다. 적분형은 명시적인 식을 주지만 그 도함수의 연속을 요구한다.
두 증명의 뿌리가 다르다. 앞의 것은 18회 정리 58로 돌아가고 뒤의 것은 19회 정리 64로 돌아간다. 24회 계보도의 두 가지가 각각 하나씩 여기에 닿는다.
\(n=0\)을 넣으면 둘 다 이미 아는 것이 된다. 라그랑주 형태는 평균값 정리가 되고 적분형은 기본정리가 된다. 새 정리가 아니라 일반화이다.
그리고 26회의 관찰을 보장으로 바꾸었다. \(e^{0.1}\)을 소수점 다섯째 자리까지 맞추려면 \(n=4\)면 된다는 것을, 값을 계산하기 전에 안다.
그러나 5절이 새 미결을 남겼다. \(n\)을 키우면 상계의 분모가 커지지만 분자의 \(M\)도 커질 수 있다. 어느 쪽이 이기는지는 함수마다 다르고, 그 물음을 세우려면 \(n\)을 끝없이 키울 때를 다룰 언어가 필요하다.
다음 회차에서는 로피탈 법칙과 무한 극한을 알아보도록 하자.
이어서
같은 회차의 실험: 27회 실험 · 계산하기 전에 안다