12회 · 극한 정리#
이 회차
한 문장 |
극한의 사칙연산과 부호 보존 성질을 정의에서 직접 증명한다. |
출처 |
L10 |
파트 |
PART I — 무한을 담을 그릇 · 관통 질문: 넓이를 어떻게 정의할 것인가 |
짝 실험 |
앞 회차에서 극한을 정의하였다. 11회 정의 18은 \(\epsilon\)을 받아 \(\delta\)를 내놓는 형태였고, 그 형태를 두 함수에서 실제로 밟아 보았다.
그런데 함수마다 그 작업을 처음부터 되풀이할 수는 없다. \(f(x) = 3x^2 + 5x\)의 극한을 구하려고 다시 \(|3x^2+5x - A|\)를 정리하는 것은 8회에서 다항식마다 상합과 하합을 다시 계산하려던 것과 같은 상황이다. 그때 필요했던 것이 적분의 성질이었듯이, 지금 필요한 것은 극한의 성질이다. 이미 아는 극한 몇 개를 재료로 삼아 조립하는 규칙이 있으면 된다. 성질에는 두 종류가 있는데, 하나는 극한에서 극한으로 가는 사칙연산이고 다른 하나는 한 점의 정보를 그 점 근처로 퍼뜨리는 것이다.
이번 회차에서는 극한의 사칙연산, 부호 보존 성질, 그리고 연속함수의 연산을 증명해 보자.
1. 극한의 사칙연산#
증명에 들어가기 전에 정리할 것이 있다. \(f+g\)나 \(fg\)가 무엇인지 정의한 적이 없다. 8회와 9회에서 \(c_1 f + c_2 g\)를 썼지만 그것은 표기였고, \(fg\)는 8회 4절에서 이름만 나왔으며 \(f/g\)는 한 번도 나온 적이 없다.
정의 24 (함수의 연산)
\(f\)와 \(g\)가 같은 집합 \(S\)에서 정의되어 있다고 하자. \(S\)에서 다음과 같이 정의한다.
몫 \(f/g\)는 \(g(x) \ne 0\)인 \(x\)에서만 정의하고 \((f/g)(x) = f(x)/g(x)\)라 둔다.
정의 24의 오른쪽에 있는 것은 모두 실수의 연산이다. 두 함숫값을 실수로 보고 3회 1절의 F1부터 F6까지로 계산한 뒤, 그 결과를 새 함수의 값으로 삼는다. 나눗셈이 \(g(x) \ne 0\)을 요구하는 것도 F6의 단서에서 그대로 온다.
이 정의 위에서 다음을 증명한다.
정리 34 (극한의 사칙연산)
\(\lim_{x\to p} f(x) = A\)이고 \(\lim_{x\to p} g(x) = B\)이면 다음이 성립한다.
또 \(B \ne 0\)이면 다음이 성립한다.
세 증명의 성격이 다르므로 미리 갈라 둔다. 9회에서 상수배와 합의 난이도가 달랐던 것과 같은 자리이다.
합은 오차를 반씩 나누면 끝난다. 두 오차가 각각 \(\epsilon/2\) 아래이면 합이 \(\epsilon\) 아래이다.
곱은 한 인수가 커질 수 있어 먼저 묶어 두어야 한다. \(|f(x)|\)가 얼마나 큰지 모르는 채로는 오차를 통제할 수 없다.
몫은 분모가 \(0\)에서 떨어져 있는 범위를 먼저 확보해야 한다. 그 도구는 아직 없다.
합에서 오차를 반씩 나눈다#
증명. \(\epsilon > 0\)이 주어졌다.
11회 정의 18을 허용 오차 \(\epsilon/2\)에 적용한다. \(f\)의 극한이 \(A\)이므로 \(\delta_1 > 0\)이 있어서 \(0<|x-p|<\delta_1\)에서 \(|f(x)-A| < \epsilon/2\)이고, \(g\)의 극한이 \(B\)이므로 \(\delta_2 > 0\)이 있어서 \(0<|x-p|<\delta_2\)에서 \(|g(x)-B| < \epsilon/2\)이다.
\(\delta = \min\{\delta_1,\delta_2\}\)라 두면 \(0<|x-p|<\delta\)에서 두 부등식이 함께 성립한다.
\(\bigl(f(x)+g(x)\bigr) - (A+B) = \bigl(f(x)-A\bigr) + \bigl(g(x)-B\bigr)\)이므로 5회 정리 18에 의하여
이고, 두 항에 위의 부등식을 넣으면
이다. 따라서 \(\lim_{x\to p}(f+g) = A+B\)이다.
차에 대해서는 \(g\) 대신 \(-g\)를 놓으면 된다. \(|-g(x)-(-B)| = |g(x)-B|\)이므로 \(-g\)의 극한이 \(-B\)이고, 위의 결과를 \(f\)와 \(-g\)에 적용한다.
(12.2)에서 \(\epsilon/2\)를 쓴 이유를 짚어 둔다. 두 오차를 합쳐서 \(\epsilon\)이 되게 하려는 것이다. 각각에 \(\epsilon\)을 그대로 적용했다면 합이 \(2\epsilon\)까지 갈 수 있어 원하는 결론이 나오지 않는다.
이 수법은 5회 4절에서 예고한 것이다. 거기서 \(|x-A|\)를 \(|x-y| + |y-A|\)로 쪼개어 각각을 공략한다고 적었고, 8회 (8.6)과 (8.7)에서 하적분과 상적분에 각각 \(\epsilon/2\)를 적용했으며, 9회 (9.12)에서 두 계단함수에 같은 일을 했다. 오차를 쪼개어 나누어 주는 자리마다 같은 형태가 나온다.
가장 단순한 경우를 보면 왜 그런지 분명해진다. \(g\)가 값이 항상 \(c\)인 상수함수이면 \(|g(x)-c| = 0\)이므로 \(\delta_2\)를 고를 필요조차 없다. 나누어 줄 오차가 한쪽에만 필요하기 때문이다.
흔한 오해 — \(\epsilon/2\)를 형식적인 조작으로 여기는 것
\(\epsilon/2\)는 관례가 아니라 결론에서 역산한 값이다. 항이 둘이므로 \(2\)로 나누었고, 세 함수의 합이면 \(\epsilon/3\)을, \(n\)개면 \(\epsilon/n\)을 쓴다.
구체적인 값으로 보면 \(\epsilon = 0.01\)일 때 각 항에 \(0.005\)씩 허용된다. 두 오차가 각각 \(0.005\) 미만이므로 합이 \(0.01\) 미만에 머문다.
나누는 개수는 항의 개수가 정한다. 곱의 증명에서는 \(2\)로 나누되 분모에 다른 것이 더 붙는데, 그때도 결론에서 역산한 값이다.
곱에서는 한 인수를 먼저 묶는다#
곱에서 다루어야 할 양은 \(|f(x)g(x) - AB|\)이다. 이것을 \(|f(x)-A|\)와 \(|g(x)-B|\)로 쪼개려 하면 곧바로 문제가 생긴다. 쪼개고 나면 \(|f(x)|\)가 계수로 남는데, 그 값이 얼마나 큰지 모르기 때문이다.
그래서 \(|f(x)|\)를 먼저 어떤 수 아래로 묶는다. 11회 예제 7에서 \(|x+3|\)을 \(7\) 아래로 묶었던 것과 같은 조작이다.
보조정리 5 (극한이 존재하면 근방에서 유계이다)
\(\lim_{x\to p} f(x) = A\)이면 어떤 \(\delta_0 > 0\)이 있어서 \(0<|x-p|<\delta_0\)인 모든 \(x\)에서 \(|f(x)| < |A| + 1\)이다.
증명. 11회 정의 18을 허용 오차 \(\epsilon = 1\)에 적용한다. 어떤 \(\delta_0 > 0\)이 있어서 \(0<|x-p|<\delta_0\)에서 \(|f(x)-A| < 1\)이다.
\(f(x) = \bigl(f(x) - A\bigr) + A\)이므로 5회 정리 18에 의하여
이다.
\(\epsilon\)을 임의로 두지 않고 \(1\)로 택한 것이 이 보조정리의 요령이다. 극한의 정의는 모든 \(\epsilon\)에 대하여 성립하므로 우리에게 편한 값 하나를 골라 쓸 수 있다. 무엇이든 상관없고 \(1\)이 계산하기 쉬울 뿐이다. 2절에서 같은 수법을 다시 쓴다.
(12.3)이 말하는 것은 6회 정의 10의 유계 조건과 같은 모양이다. 다만 구간 전체가 아니라 \(p\)의 근방에서만 성립한다.
증명. 곱을 증명한다. \(\epsilon > 0\)이 주어졌다.
쪼갠다. \(f(x)g(x) - AB\)에서 \(f(x)B\)를 더하고 빼면
이다. 마지막 부등호는 5회 정리 18을 쓴 뒤 각 항에 4회 따름정리 2을 적용한 것이고, 그 앞의 등호는 \(-f(x)B + f(x)B\)를 끼워 넣은 것이다.
세 조건을 건다. 보조정리 5가 주는 \(\delta_0\)를 잡는다. 그리고 \(g\)의 극한이 \(B\)이므로 \(\delta_1 > 0\)이 있어서
이고, \(f\)의 극한이 \(A\)이므로 \(\delta_2 > 0\)이 있어서
이다. \(\delta = \min\{\delta_0, \delta_1, \delta_2\}\)라 둔다.
합친다. \(0<|x-p|<\delta\)에서 (12.4)의 두 항을 각각 누른다. 첫 항은 (12.3)에 의하여 \(|f(x)| < |A|+1\)이므로
이고, 둘째 항은 \(|B| \ge 0\)이므로
이다. 첫 번째 부등호에 등호를 허용한 것은 \(B = 0\)이면 양변이 모두 \(0\)이 되기 때문이다. 두 번째 부등호는 \(|B| < |B|+1\)에서 나오며, \(B=0\)일 때에도 왼쪽이 \(0\)이고 오른쪽이 양수이므로 엄격하다.
두 결과를 (12.4)에 넣으면
이다.
분모에 \(|B|\)가 아니라 \(|B|+1\)을 쓴 이유가 있다. \(B = 0\)일 수 있기 때문이다. \(|B|\)로 나누면 그때 정의되지 않는다. \(1\)을 더해 두면 언제나 양수이고, \(|B| < |B|+1\)이므로 눌러야 할 부등식도 그대로 성립한다.
흔한 오해 — 곱의 증명에서 유계성을 건너뛰는 것
(12.4)까지는 (12.1)과 모양이 같아 보인다. 차이는 앞 인수 \(|f(x)|\)이다. 합에서는 계수가 \(1\)이었지만 곱에서는 \(x\)에 따라 변하는 값이다.
이 값이 커질 수 있다는 것을 놓치면 안 된다. \(f(x) = 1/(x-p)\)처럼 \(p\) 근처에서 한없이 커지는 함수를 떠올리면, 아무리 \(|g(x)-B|\)를 작게 만들어도 곱이 작아진다는 보장이 없다.
물론 그런 \(f\)는 \(p\)에서 극한을 갖지 않는다. 그래서 (12.3)이 극한의 존재에서 나온다. 보조정리 5가 하는 일은 “극한이 있으면 근처에서 함숫값이 폭주하지 않는다”를 확인해 주는 것이다.
몫은 분모를 먼저 확보해야 한다#
몫은 \(1/g\)의 극한이 \(1/B\)임을 보인 뒤 곱과 합치면 된다. 다루어야 할 양은 다음과 같다.
분자는 \(\delta\)를 잘 고르면 얼마든지 작게 만들 수 있다. 문제는 분모이다. \(|g(x)|\)가 \(0\)에 가까우면 분수 전체가 커지므로, \(|g(x)|\)를 아래에서 받쳐 줄 양수 하나가 필요하다.
그 도구가 아직 없다. 지금 가진 것은 \(|g(x)-B|\)를 작게 만들 수 있다는 사실뿐이고, 거기서 \(|g(x)|\)의 하한을 끌어내는 논증은 다음 절의 몫이다. 몫의 증명은 2절에서 마친다. 8회에서 적분의 성질을 진술만 하고 증명을 9회로 미룬 것과 같은 형식이다.
2. 부호 보존 성질#
1절의 정리들은 모두 “극한에서 극한으로” 가는 형태였다. 가정도 결론도 극한값에 대한 진술이다.
이 절의 정리는 형태가 다르다. 한 점에서의 정보로부터 그 점 근처 전체에 대한 정보를 얻는다. 가정은 극한값 \(A\)가 양수라는 한 점의 사실이고, 결론은 \(p\)의 어떤 근방에서 함숫값이 모두 양수라는 범위 전체의 사실이다.
정리 35 (부호 보존)
\(\lim_{x\to p} f(x) = A\)이고 \(A > 0\)이면, 어떤 \(\delta > 0\)이 있어서 \(0<|x-p|<\delta\)인 모든 \(x\)에서 \(f(x) > A/2 > 0\)이다.
증명. 11회 정의 18을 허용 오차 \(\epsilon = A/2\)에 적용한다. \(A > 0\)이므로 \(A/2 > 0\)이고, 따라서 이 값을 \(\epsilon\)으로 쓸 수 있다.
어떤 \(\delta > 0\)이 있어서 \(0<|x-p|<\delta\)에서 \(|f(x)-A| < A/2\)이다. 4회 따름정리 1에 의하여 이것은
와 같은 말이고, 왼쪽만 남기면
이다.
\(\epsilon\)을 임의로 두지 않고 특정한 값으로 택하는 것이 이 증명의 전부이다. 1절 (12.3)에서 \(\epsilon = 1\)을 택한 것과 같은 수법이며, 이번에는 \(A/2\)가 편했을 뿐이다.
왜 \(A/2\)가 편한지는 그림으로 말할 수 있다. \(\epsilon\)이 정하는 허용 띠는 (11.3)에 의하여 \((A-\epsilon,\, A+\epsilon)\)이고, 우리가 원하는 것은 그 띠의 아래 끝이 \(0\)보다 위에 있는 것이다. \(\epsilon = A/2\)로 두면 아래 끝이 \(A/2\)가 되어 \(0\) 위에 놓인다.
구체적인 값으로 확인한다. \(A = 0.6\)이면 \(\epsilon = 0.3\)이고, 띠는 \((0.3,\ 0.9)\)이다. 아래 끝 \(0.3\)이 \(0\)보다 크므로 (12.7)이 \(f(x) > 0.3\)을 준다. \(A\)의 절반을 택하는 것이 유일한 선택은 아니다. \(\epsilon = A/3\)으로 두면 띠가 \((0.4,\ 0.8)\)이 되어 결론이 \(f(x) > 0.4\)로 오히려 강해진다. \(A\)보다 작기만 하면 어느 값이든 된다.
\(A < 0\)인 경우에는 \(\epsilon = |A|/2 = -A/2\)로 둔다. 그러면 띠가 \((A - |A|/2,\ A + |A|/2)\)이고 위 끝이 \(A/2 < 0\)이므로 \(f(x) < A/2 < 0\)을 얻는다. 부등호의 방향이 반대가 되는 것은 \(A\)가 음수여서 \(A/2\)도 음수이기 때문이다.
몫의 증명을 마친다#
\(B \ne 0\)이면 \(|B| > 0\)이므로 위 정리를 \(|g|\)에 쓸 수 있는 형태로 옮길 수 있다.
따름정리 7 (분모는 0에서 떨어져 있다)
\(\lim_{x\to p} g(x) = B\)이고 \(B \ne 0\)이면, 어떤 \(\delta > 0\)이 있어서 \(0<|x-p|<\delta\)인 모든 \(x\)에서 \(|g(x)| > |B|/2\)이다.
증명. 11회 정의 18을 허용 오차 \(\epsilon = |B|/2\)에 적용한다. \(B \ne 0\)이므로 \(|B| > 0\)이고 이 값은 양수이다.
어떤 \(\delta>0\)이 있어서 \(0<|x-p|<\delta\)에서 \(|g(x)-B| < |B|/2\)이다. 5회 따름정리 5에 의하여 \(\bigl||g(x)| - |B|\bigr| \le |g(x)-B|\)이므로, 4회 정리 13를 쓰면 \(|B| - |g(x)| \le |g(x)-B| < |B|/2\)이다. 양변을 옮기면
이다.
5회 4절에서 따름정리 5가 “차의 크기를 아래에서 받쳐 준다”고 적었다. (12.8)이 그 예고를 회수하는 자리이다. 정리 18이 위에서 누르는 데 쓰였다면 여기서는 아래에서 받친다.
이제 (12.6)으로 돌아간다. 따름정리 7가 주는 \(\delta\) 안에서 \(|g(x)| > |B|/2\)이므로 분모가 아래에서 받쳐지고
이다. 분모를 더 작은 값으로 바꾸면 분수가 커지므로 부등호의 방향이 이렇게 된다. 등호를 허용한 것은 \(g(x) = B\)인 점에서 분자가 \(0\)이 되어 양변이 함께 \(0\)이 되기 때문이다. 그런 점이 있어도 결론에는 지장이 없다. 오른쪽을 \(\epsilon\)보다 작게 만들면 왼쪽도 그렇게 되기 때문이다.
\(\epsilon>0\)이 주어지면 \(|g(x)-B| < \dfrac{|B|^2}{2}\epsilon\)이 되도록 \(\delta\)를 하나 더 고르고, 그것을 따름정리 7의 \(\delta\)와 함께 최솟값으로 묶으면 (12.9)의 오른쪽이 \(\epsilon\)보다 작아진다. 따라서 \(\lim_{x\to p} 1/g(x) = 1/B\)이고, 1절의 곱을 \(f\)와 \(1/g\)에 적용하면 정리 34의 몫이 나온다.
흔한 오해 — 부호 보존을 등호까지 포함하는 형태로 진술하는 것
정리 35은 \(A > 0\)을 요구한다. \(A \ge 0\)으로 약화하면 결론이 무너진다.
\(f(x) = x\)를 \(p = 0\)에서 보자. 극한은 \(0\)이므로 \(A \ge 0\)이다. 그러나 어떤 근방을 잡아도 그 안에 음수인 \(x\)가 있고 거기서 \(f(x) < 0\)이다. \(A \ge 0\)에서는 근방에서 \(f \ge 0\)이라는 결론조차 나오지 않는다.
반대 방향도 성립하지 않는다. \(f(x) = x^2\)을 \(p = 0\)에서 보면 \(x \ne 0\)인 모든 \(x\)에서 \(f(x) > 0\)이지만 극한은 \(A = 0\)이다. 함숫값이 모두 양수여도 극한이 양수라고 말할 수 없다. 이때 얻을 수 있는 것은 \(A \ge 0\)까지이며, 그 결론은 \(A < 0\)이라 가정하면 위 정리가 근방에서 \(f < 0\)을 주어 모순이 된다는 논법으로 나온다.
정리 35이 하는 일은 한 점의 정보를 근방으로 퍼뜨리는 것이다. 극한값이라는 한 개의 수에서 무한히 많은 점에 대한 부등식을 얻는다.
연속함수에서의 형태#
정리 35은 극한값 \(A\)에 대한 진술이라 쓰기에 부족한 데가 세 군데 있다.
첫째, \(A > 0\)인 경우만 다룬다. \(A<0\)인 경우는 부호를 뒤집어 따로 논해야 한다.
둘째, 뚫린 근방이다. 결론이 \(0<|x-p|<\delta\)에서만 성립하므로 \(p\) 자신에서 함숫값이 어떤지는 말하지 않는다.
셋째, 양쪽 근방을 요구한다. \(|x-p|<\delta\)가 \(p\)의 좌우를 모두 포함하므로, 정의역의 끝점에서는 이 형태를 쓸 수 없다.
\(f\)가 \(p\)에서 연속이라고 가정하면 셋을 모두 메울 수 있다. 11회 (11.10)에 의하여 \(A = f(p)\)이므로 \(p\)가 결론에 들어오고, 부호는 \(|f(p)|\)로 다루면 양쪽이 한꺼번에 처리되며, 11회 정의 22이 끝점에서의 연속을 한쪽 극한으로 정의했으므로 그 형태에 맞추어 한쪽 판도 함께 적을 수 있다.
따름정리 8 (연속함수의 부호 보존)
\(f\)가 \(p\)에서 연속이고 \(f(p) \ne 0\)이라 하자. 그러면 어떤 \(\delta > 0\)이 있어서 \(|x-p| < \delta\)인 모든 \(x\)에서 \(f(x)\)와 \(f(p)\)의 부호가 같고 \(|f(x)| > |f(p)|/2\)이다.
\(f\)가 \(p\)에서 우연속이면 같은 결론이 \(p \le x < p+\delta\)에서 성립하고, 좌연속이면 \(p-\delta < x \le p\)에서 성립한다.
증명. 11회 (11.11)을 허용 오차 \(\epsilon = |f(p)|/2\)에 적용한다. \(f(p) \ne 0\)이므로 4회 정의 6에 의하여 \(|f(p)| > 0\)이고, 따라서 이 값을 \(\epsilon\)으로 쓸 수 있다.
어떤 \(\delta>0\)이 있어서 \(|x-p| < \delta\)에서 \(|f(x)-f(p)| < |f(p)|/2\)이다. 4회 따름정리 1로 풀면
이다. 두 경우로 나눈다.
\(f(p) > 0\)이면 (4.12)에 의하여 \(|f(p)| = f(p)\)이므로 왼쪽 끝이 \(f(p) - f(p)/2 = f(p)/2\)이고, 따라서 \(f(x) > f(p)/2 > 0\)이다.
\(f(p) < 0\)이면 \(|f(p)| = -f(p)\)이므로 오른쪽 끝이 \(f(p) + (-f(p))/2 = f(p)/2\)이고, 따라서 \(f(x) < f(p)/2 < 0\)이다.
어느 쪽이든 \(f(x)\)와 \(f(p)\)의 부호가 같고 \(|f(x)| > |f(p)|/2\)이다. \(x = p\)에서는 \(f(p)\) 자신이므로 결론이 그대로 성립한다.
한쪽 형태. 같은 \(\epsilon = |f(p)|/2\)를 11회 (11.12)에 적용하면 \(p < x < p+\delta\)에서 같은 부등식을 얻고, \(x=p\)를 더하면 \(p \le x < p+\delta\)가 된다. 좌연속에서는 (11.13)을 쓴다. 나머지 줄은 글자 그대로 같다.
세 가지가 모두 달라졌다. \(p\) 자신이 결론에 들어오고, 부호가 음수인 경우가 함께 처리되며, 한쪽 형태를 세워 두었으므로 정의역의 끝점에서도 쓸 수 있다. 셋이 동시에 필요해지는 자리가 뒤에 있다.
3. 연속함수의 연산#
1절은 극한에 대한 진술이었다. 연속은 11회 (11.10)에 의하여 극한값이 함숫값과 같다는 조건이므로, 1절의 결과를 그대로 옮기면 된다.
옮김이 자동인 이유는 이렇다. \(f\)와 \(g\)가 \(p\)에서 연속이면 \(\lim_{x\to p} f(x) = f(p)\)이고 \(\lim_{x\to p} g(x) = g(p)\)이다. 여기에 정리 34를 \(A = f(p)\), \(B = g(p)\)로 적용하면 극한값이 나오는데, 그 값이 마침 합함수의 함숫값과 같다.
정리 36 (연속함수의 사칙연산)
\(f\)와 \(g\)가 \(p\)에서 연속이면 \(f+g\), \(f-g\), \(fg\)도 \(p\)에서 연속이다. \(g(p) \ne 0\)이면 \(f/g\)도 \(p\)에서 연속이다.
증명. 합에 대하여 보인다. 정리 34에 \(A = f(p)\), \(B = g(p)\)를 넣으면
이고, 마지막 등호는 정의 24이다. 이것이 11회 정의 20의 조건이다.
차와 곱도 같다. 몫에서는 \(g(p) \ne 0\)이라는 조건이 정리 34의 \(B \ne 0\)에 대응하며, 이 조건이 있어야 \(f/g\)가 \(p\)에서 정의된다.
합성함수#
사칙연산으로 만들 수 없는 결합이 하나 더 있다. 한 함수의 출력을 다른 함수의 입력으로 넣는 것이며, 지금까지 다룬 적이 없다.
정의 24의 네 연산은 모두 같은 자리에서 두 함숫값을 받아 실수로 계산한 것이었다. \(x\)를 \(f\)에도 넣고 \(g\)에도 넣은 뒤 두 결과를 더하거나 곱했다. 합성은 그렇지 않다. \(x\)를 \(f\)에만 넣고, 그 결과를 다시 \(g\)에 넣는다. 두 함수가 나란히 놓이는 것이 아니라 줄지어 놓인다.
그래서 정의역을 따지는 방식도 달라진다. 사칙연산에서는 두 함수의 정의역이 겹치는 곳을 보면 되었지만, 합성에서는 \(f\)의 출력이 \(g\)의 정의역에 드는지를 보아야 한다. 6회 정의 9이 정의역을 함수의 일부로 삼았으므로 이 확인을 건너뛸 수 없다.
정의 25 (합성함수)
\(f\)의 치역이 \(g\)의 정의역에 포함될 때
를 \(f\)와 \(g\)의 합성함수(composite function)라 한다. 정의역은 \(f(x)\)가 \(g\)의 정의역에 드는 \(x\) 전체이다.
정리 37 (합성함수의 연속성)
\(f\)가 \(p\)에서 연속이고 \(g\)가 \(f(p)\)에서 연속이면 \(g \circ f\)는 \(p\)에서 연속이다.
증명. \(\epsilon > 0\)이 주어졌다. \(\epsilon\)과 \(\delta\)를 두 번, 바깥에서 안으로 적용한다.
먼저 바깥이다. \(g\)가 \(q = f(p)\)에서 연속이므로 11회 (11.11)에 의하여 어떤 \(\eta > 0\)이 있어서
이다. 여기서 \(\eta\)는 \(\epsilon\)을 보고 고른 값이다.
이제 안쪽이다. \(f\)가 \(p\)에서 연속이므로, 방금 얻은 \(\eta\)를 허용 오차로 삼아 적용하면 어떤 \(\delta > 0\)이 있어서
이다.
두 함의를 잇는다. \(|x-p| < \delta\)이면 \(|f(x) - q| < \eta\)이고, \(y = f(x)\)로 두면 첫 번째 함의에 의하여 \(|g(f(x)) - g(q)| < \epsilon\)이다. \(g(q) = g(f(p)) = (g\circ f)(p)\)이므로 이것이 \(g \circ f\)의 연속 조건이다.
순서를 확인해 둔다. \(\epsilon\)이 먼저 주어지고, \(\eta\)를 그다음에 고르고, \(\delta\)를 마지막에 고른다. \(\eta\)는 \(\epsilon\)에 의존하고 \(\delta\)는 \(\eta\)에 의존하므로, 결국 \(\delta\)가 \(\epsilon\)에 의존한다.
흔한 오해 — 합성을 극한의 형태로 진술하는 것
정리 37은 연속의 형태로만 진술하였다. 극한의 형태로 옮기면 거짓이 된다.
\(\lim_{x\to p} f(x) = B\)이고 \(\lim_{y\to B} g(y) = L\)이라 해서 \(\lim_{x\to p} g(f(x)) = L\)이 되지는 않는다. 11회 (11.1)의 안쪽 조건이 \(0 < |y-B|\)를 요구하는데, \(f(x) = B\)가 되는 \(x\)가 있으면 그 \(x\)에서 조건이 적용되지 않기 때문이다.
반례를 든다. \(f\)를 값이 항상 \(0\)인 상수함수라 하고, \(g\)를 \(y \ne 0\)에서 \(g(y) = 0\)이고 \(g(0) = 1\)인 함수라 하자. \(p = 0\)으로 둔다. 그러면 \(\lim_{x\to 0} f(x) = 0\)이고 \(\lim_{y\to 0} g(y) = 0\)이므로 \(L = 0\)이다. 그런데 모든 \(x\)에서 \(f(x) = 0\)이므로 \(g(f(x)) = g(0) = 1\)이고, 따라서 \(\lim_{x\to 0} g(f(x)) = 1\)이다.
\(g\)가 \(0\)에서 연속이었다면 \(g(0) = 0\)이어서 이 어긋남이 생기지 않는다. 연속이라는 조건이 \(y = B\)인 경우를 함께 처리해 준다.
4. 다항함수와 유리함수#
8회에서 “다항식의 적분이 모두 계산된다”고 적었다. 그런데 다항함수가 무엇인지 정의한 적이 없고, 거듭제곱 \(x^n\)도 정의한 적이 없다. \(x^2\)과 \(x^3\)은 곱으로 쓸 수 있었지만 일반적인 \(n\)에 대해서는 정해 둔 것이 없다.
정의 26 (다항함수와 유리함수)
자연수 \(n\)에 대하여 \(x^1 = x\)이고 \(x^{n+1} = x^n \cdot x\)라 정의한다. 4회 정리 9에 의하여 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(x^n\)이 정해진다. 또 \(x^0 = 1\)이라 둔다.
실수 \(c_0, \dots, c_n\)에 대하여
로 정의된 함수를 다항함수(polynomial function)라 한다.
\(P\)와 \(Q\)가 다항함수일 때
를 유리함수(rational function)라 하고, 정의역은 \(Q(x) \ne 0\)인 \(x\) 전체이다.
거듭제곱을 귀납적으로 정의한 것은 4회 (4.2)에서 시그마를 정의한 것과 같은 형식이다. 점 세 개를 쓰지 않으려면 \(n=1\)에서 값을 정하고 \(n\)에서 \(n+1\)로 가는 규칙을 정해야 한다.
정리 38 (다항함수와 유리함수의 연속성)
다항함수는 모든 점에서 연속이다. 유리함수는 분모가 \(0\)이 아닌 모든 점에서 연속이다.
증명. 네 단계로 쌓아 올린다.
첫째, 상수함수는 모든 점에서 연속이다. 값이 항상 \(c\)이면 \(|f(x)-f(p)| = 0\)이므로 어떤 \(\epsilon>0\)에 대해서도 \(\delta\)를 아무것이나 잡으면 11회 (11.11)이 성립한다.
둘째, \(f(x) = x\)는 모든 점에서 연속이다. \(|f(x)-f(p)| = |x-p|\)이므로 \(\delta = \epsilon\)으로 두면 된다.
셋째, \(x^n\)은 모든 점에서 연속이다. \(n\)에 대한 귀납법을 쓴다. \(n=1\)은 둘째 단계이다. \(x^n\)이 연속이라 가정하면 \(x^{n+1} = x^n \cdot x\)이고, 정리 36의 곱에 의하여 두 연속함수의 곱이 연속이다. 4회 정리 9에 의하여 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립한다.
넷째, (12.10)이 연속이다. 각 항 \(c_k x^k\)는 상수함수와 \(x^k\)의 곱이므로 연속이고, 항이 유한개이므로 정리 36의 합을 반복 적용하면 된다. 반복의 근거도 정리 9이다.
유리함수. \(Q(p) \ne 0\)인 점 \(p\)에서 정리 36의 몫을 적용하면 (12.11)이 \(p\)에서 연속이다.
이 정리가 있으면 함수 하나하나를 \(\epsilon\)과 \(\delta\)로 검사하지 않아도 된다. 10회 4절에서 \(f(x) = x^2 - x\)를 조각적 단조의 예로 들었다. 조각이 둘로 확정되므로 10회 정리 32가 적분 가능성을 이미 보장하였다. 이제 (12.10)의 꼴이라는 이유만으로 \([0,1]\)의 모든 점에서 연속임도 얻는다. 조각의 개수를 세지 않아도 된다는 것이 달라진 점이다. 다만 연속이라는 사실에서 적분 가능성으로 건너갈 다리는 아직 없다. 10회 4절이 남긴 문제는 그대로 남아 있다.
정의역의 경계도 확인해 둔다.
는 \(x \ne 3\)에서 \(x+3\)과 값이 같으므로 \(\lim_{x\to 3} r(x) = 6\)이다. 그러나 \(x = 3\)은 정의역에 들어 있지 않으므로 정리 38가 그 점을 말하지 않는다. 11회 3절에서 본 대로 극한이 있다는 것과 연속이라는 것은 다른 말이며, 여기서는 함숫값 자체가 없어 셋째 조건은커녕 첫째 조건도 만족하지 않는다.
12회의 정리들이 하는 일은 새 함수를 하나씩 검사하지 않게 해 주는 것이다. 상수함수와 \(x\) 두 개만 손으로 확인하면 나머지는 조립으로 나온다.
마치며#
이번 회차에서는 극한의 사칙연산과 부호 보존 성질을 증명하였다. 증명에 쓰인 것은 11회의 정의와 5회의 삼각부등식, 그리고 4회의 절댓값 부등식뿐이다. 새 공리는 하나도 쓰지 않았다.
두 가지 수법이 반복되었다. 하나는 오차를 쪼개어 나누어 주는 것으로, 합에서 \(\epsilon/2\)씩 나누고 곱에서 분모에 \(2(|A|+1)\)을 넣은 것이 그것이다. 다른 하나는 \(\epsilon\)을 임의로 두지 않고 편한 값으로 택하는 것으로, 보조정리 5에서 \(\epsilon=1\)을, 정리 35에서 \(\epsilon=A/2\)를 택했다. 정의가 모든 \(\epsilon\)에 대하여 성립하므로 하나를 골라 쓸 수 있다는 것이 두 번째 수법의 근거이다.
부호 보존은 연속함수에 대해서도 다시 적었으며, 끝점에서 쓸 수 있는 한쪽 형태를 함께 두었다.
그다음 연속함수의 연산으로 옮기고 다항함수와 유리함수의 연속성을 얻었다. 이것으로 다룰 수 있는 연속함수가 많아졌다. 그러나 아직 연속함수의 정리다운 정리는 하나도 증명하지 않았다. 지금까지 한 일은 연속함수를 조립하는 규칙을 모은 것이고, 연속이라는 조건에서 무엇이 따라 나오는지는 묻지 않았다. 10회 4절이 남긴 문제 — 각 부분구간의 진동을 통제하는 일 — 도 그대로이다.
다음 회차에서는 지금까지의 내용을 정리하고 넘어가도록 하자.
이어서
같은 회차의 실험: 12회 실험 · 부호 보존