6회 · 함수와 넓이 공리#
이 회차
한 문장 |
넓이를 정의하는 대신, 넓이가 만족해야 할 성질을 공리로 제시한다. |
출처 |
L4 |
파트 |
PART I — 무한을 담을 그릇 · 관통 질문: 넓이를 어떻게 정의할 것인가 |
짝 실험 |
넓이를 어떻게 다룰 것인가에는 두 가지 방향이 있다. 하나는 넓이를 정의하고 그 성질을 증명하는 방향이고, 다른 하나는 넓이가 만족해야 할 성질을 공리로 제시하고 그 공리만으로 논의를 진행하는 방향이다.
이 강의에서는 두 번째 방향을 택한다. 실수를 다룰 때와 같은 방식이다. 실수가 무엇인지 구성하는 대신 실수가 만족하는 공리를 제시했던 것처럼, 넓이가 무엇인지 구성하는 대신 넓이가 만족하는 공리를 제시한다.
이번 회차에서는 먼저 함수(function)를 정확히 정의하고, 그다음 넓이 공리(area axioms)를 서술해 보자.
1. 함수#
2회에서는 함수의 표기만 정리하고 정의는 미뤄 두었다. 여기서 확정한다.
두 대상 \(x\)와 \(y\)를 순서를 지켜 짝지은 것을 순서쌍(ordered pair)이라 하고 \((x, y)\)라 쓴다. 순서쌍의 상등은 \((x,y) = (u,v)\)일 때 \(x = u\)이고 \(y = v\)인 것으로 정한다.
정의 8 (함수)
순서쌍의 집합 \(F\)가 다음 조건을 만족할 때 \(F\)를 함수(function)라 한다.
\(F\)에 속하는 순서쌍의 첫 성분 전체를 \(F\)의 정의역(domain), 둘째 성분 전체를 \(F\)의 치역(range)이라 한다. \((x,y) \in F\)일 때 \(y = F(x)\)라 쓴다.
정의 8의 조건은 “한 입력에 두 값이 대응하지 않는다”는 뜻이다. 이 조건이 있어야 \(F(x)\)라는 표기가 뜻을 갖는다. 조건이 없으면 \(F(x)\)가 무엇을 가리키는지 정해지지 않는다.
이 정의에서 읽어야 할 것은 함수가 식이 아니라 대응이라는 점이다. \(F\)는 순서쌍의 집합이며, 그 집합을 어떤 식으로 쓸 수 있는지는 정의에 들어 있지 않다.
식으로 쓸 수 없는 함수의 예를 하나 든다. 정의역을 \(\R\)로 두고, \(x\)가 유리수이면 값이 \(1\)이고 무리수이면 값이 \(0\)인 대응 \(f\)를 생각하자.
이 함수는 순서쌍의 집합으로 완전히 정해진다. 각 실수 \(x\)에 대하여 \(x\)가 유리수인지 아닌지가 정해져 있고, 따라서 \((x, f(x))\)가 하나씩 정해지기 때문이다. 그러나 이 대응을 사칙연산과 거듭제곱으로 이루어진 하나의 식으로 쓸 수는 없다. 그래도 이것은 함수이다.
흔한 오해 — 함수를 식과 동일시하는 것
“함수를 구하라”는 말을 “식을 구하라”로 읽기 쉽다. 정의 8은 그렇게 말하지 않는다. 함수는 순서쌍의 집합이고, 식은 그 집합을 적는 여러 방법 중 하나일 뿐이다.
위의 예가 그 구분을 보여 준다. 식으로 쓸 수 없지만 함수인 대상이 있다. 이런 대상을 배제하지 않는 것이 이 정의를 쓰는 이유이다.
2. 유계함수와 구간#
\(a < b\)인 실수 \(a\), \(b\)에 대하여 구간(interval)을 다음과 같이 쓴다.
표기 |
집합 |
이름 |
|---|---|---|
\([a, b]\) |
\(\{x : a \le x \le b\}\) |
닫힌구간(closed interval) |
\((a, b)\) |
\(\{x : a < x < b\}\) |
열린구간(open interval) |
\([a, b)\) |
\(\{x : a \le x < b\}\) |
반열린구간 |
\((a, b]\) |
\(\{x : a < x \le b\}\) |
반열린구간 |
닫힌구간은 양 끝점을 포함하고 열린구간은 포함하지 않는다. 이 차이가 뒤에서 정리의 성립 여부를 가른다.
정의 9 (유계함수)
함수 \(f\)가 집합 \(I\)에서 정의되어 있다고 하자. 모든 \(x \in I\)에 대하여
인 실수 \(M\)이 존재하면 \(f\)가 \(I\)에서 유계(bounded)라 한다.
(6.1)에 4회 정리 12를 적용하면 \(-M \le f(x) \le M\)이다. 즉 \(f\)의 함숫값 전체를 모은 집합
이 위로도 아래로도 유계라는 뜻이다.
\(f\)가 \(I\)에서 위로 유계이고 \(I\)가 공집합이 아니면, (6.2)의 집합에 5회 공리 1를 적용할 수 있다. 그 최소상계를 다음과 같이 쓴다.
아래로 유계일 때의 최대하계(greatest lower bound) \(\inf_{x\in I} f(x)\)도 같은 방식으로 정한다. 상계와 최소상계에 대한 5회의 논의에서 부등호의 방향을 모두 뒤집으면 하계와 최대하계에 대한 논의가 된다.
3. 넓이 공리#
넓이를 말할 수 있는 평면 집합들을 모은 집합족을 \(\mathcal{M}\)이라 하고, \(\mathcal{M}\)의 원소를 가측 집합(measurable set)이라 한다. 그리고 각 가측 집합 \(S\)에 실수 \(a(S)\)를 대응시키는 함수 \(a\)가 있다고 한다. \(a(S)\)를 \(S\)의 넓이라 한다.
\(\mathcal{M}\)과 \(a\)가 무엇인지는 정하지 않는다. 대신 이 둘이 다음 여섯 조건을 만족한다고 가정한다.
공리 2 (넓이 공리)
A1 비음성. \(S \in \mathcal{M}\)이면 \(a(S) \ge 0\)이다.
A2 가법성. \(S, T \in \mathcal{M}\)이면 \(S \cup T\), \(S \cap T\), \(S - T\)가 모두 \(\mathcal{M}\)에 속하고
A3 차집합. \(S, T \in \mathcal{M}\)이고 \(S \subseteq T\)이면 \(a(T - S) = a(T) - a(S)\)이다.
A4 합동 불변. \(S \in \mathcal{M}\)이고 \(T\)가 \(S\)와 합동이면 \(T \in \mathcal{M}\)이고 \(a(T) = a(S)\)이다.
A5 직사각형. 밑변의 길이가 \(h\)이고 높이가 \(k\)인 직사각형은 \(\mathcal{M}\)에 속하고 그 넓이는 \(hk\)이다.
A6 사이에 낀 집합. \(S \subseteq Q \subseteq T\)이고 \(S, T \in \mathcal{M}\)이며 \(a(S) = a(T) = b\)이면, \(Q \in \mathcal{M}\)이고 \(a(Q) = b\)이다.
여섯 개 중 A6을 따로 볼 필요가 있다.
A1부터 A5까지는 넓이가 어떤 값을 갖는지에 관한 조건이다. 반면 A6은 어떤 집합이 넓이를 갖는지에 관한 조건이다. \(Q\)가 \(\mathcal{M}\)에 속한다는 것을 가정하지 않고 결론에서 말한다.
A6이 하는 일은 1회에서 본 것과 같다. 1회 3절에서 우리는 안쪽 도형의 넓이 \(s_n\)과 바깥쪽 도형의 넓이 \(S_n\)을 만들고, 둘 사이에 낀 값이 하나뿐임을 보였다. A6은 그 논증을 공리의 형태로 적은 것이다. 안쪽과 바깥쪽의 넓이가 같아지면 사이에 낀 집합의 넓이가 확정된다.
다만 A6은 \(a(S)\)와 \(a(T)\)가 정확히 같을 때만 쓸 수 있다. 두 값이 다르면 아무것도 말해 주지 않는다.
흔한 오해 — 모든 집합에 넓이가 있는 것은 아니다
공리는 \(\mathcal{M}\)에 속하는 집합에 대해서만 넓이를 말한다. 평면의 임의의 부분집합에 넓이가 있다고 가정하지 않았다.
A2, A4, A5, A6은 어떤 집합이 \(\mathcal{M}\)에 속하는지를 부분적으로 알려 준다. 직사각형이 속하고, 가측 집합의 합집합과 교집합과 차집합이 속하고, 가측 집합과 합동인 것이 속하고, 넓이가 같은 두 가측 집합 사이에 낀 것이 속한다. 이 규칙으로 만들어지지 않는 집합에 대해서는 공리가 침묵한다.
4. 공리에서 따라 나오는 것#
정리 18 (포함하면 넓이도 크지 않다)
\(S, T \in \mathcal{M}\)이고 \(S \subseteq T\)이면 \(a(S) \le a(T)\)이다.
증명. \(S \subseteq T\)이므로 A3에 의하여
이다. \(T - S\)는 A2에 의하여 \(\mathcal{M}\)에 속하므로, A1에 의하여 \(a(T-S) \ge 0\)이다.
(6.5)의 왼쪽이 \(0\) 이상이므로 오른쪽도 \(0\) 이상이다.
양변에 \(a(S)\)를 더하면 3회 정리 6의 첫 번째 항목에 의하여 \(a(T) \ge a(S)\)이다.
선분의 넓이는 \(0\)이다. A5에서 높이를 \(k = 0\)으로 두면 직사각형은 선분이 되고, 그 넓이는 \(h \cdot 0 = 0\)이다. 곱셈에 관한 이 계산은 3회 정리 3이다.
삼각형의 넓이. 밑변이 \(h\)이고 높이가 \(k\)인 직각삼각형 \(T_1\)의 넓이를 구한다. \(T_1\)을 빗변을 축으로 뒤집어 얻은 삼각형을 \(T_2\)라 하면, \(T_2\)는 \(T_1\)과 합동이므로 A4에 의하여
이다. 두 삼각형을 빗변에서 붙이면 밑변 \(h\), 높이 \(k\)인 직사각형이 된다. 즉 \(T_1 \cup T_2\)가 그 직사각형이고, \(T_1 \cap T_2\)는 빗변이라는 선분이므로 넓이가 \(0\)이다.
A2의 (6.4)를 적용하고 A5로 왼쪽 값을 계산한다.
(6.7)에 (6.6)을 넣으면 \(hk = 2\,a(T_1)\)이고, 양변을 \(2\)로 나누면
이다. 일반적인 삼각형은 높이를 따라 두 직각삼각형으로 나누어 같은 방식으로 얻는다.
이것으로 1회 1절에서 “직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 이미 다룰 수 있다”고 한 것의 근거가 마련되었다. 다각형은 삼각형으로 나눌 수 있고, 삼각형의 넓이는 공리에서 나온다.
마치며#
이번 회차에서는 함수를 순서쌍의 집합으로 정의하고, 넓이 공리를 서술하였다. 넓이를 구성하는 대신 넓이가 만족하는 성질을 가정하는 방식이며, 실수를 다룰 때와 같은 방식이다.
여섯 개의 공리 중 마지막 공리에 주목할 필요가 있다. 어떤 집합이 넓이가 같은 두 집합 사이에 끼어 있으면 그 집합의 넓이도 같다는 진술이다. 1회에서 본 논증이 이 공리에 대응한다.
이제 재료가 모두 갖추어졌다. 실수의 공리가 있고, 최소상계가 있고, 넓이 공리가 있다.
다음 회차에서는 적분(integral)을 정의하도록 하자.
이어서
같은 회차의 실험: 6회 실험 · 넓이 공리