7회 · 적분의 정의#
이 회차
한 문장 |
계단함수의 적분을 먼저 정의하고, 그것으로 일반 함수의 적분을 정의한다. |
출처 |
L5 |
파트 |
PART I — 무한을 담을 그릇 · 이 파트의 정점 |
짝 실험 |
이번 회차에서 적분을 정의한다. 정의는 두 단계로 이루어진다.
첫 단계에서는 계단함수(step function)의 적분을 정의한다. 계단함수는 구간을 유한개로 나누어 각 조각에서 상수인 함수이다. 이런 함수 아래의 영역은 직사각형을 유한개 붙인 것이므로 넓이가 이미 정해져 있다. 6회의 넓이 공리 다섯 번째 항목이 그것을 보장한다.
둘째 단계에서는 일반 함수를 계단함수로 위아래에서 가둔다. 주어진 함수 \(f\)보다 작은 계단함수들의 적분값을 모으면 그 집합의 최소상계가 있고, \(f\)보다 큰 계단함수들의 적분값을 모으면 그 집합의 최대하계가 있다. 두 값이 같으면 그 값을 \(f\)의 적분으로 정의한다.
이 정의에는 극한이 등장하지 않는다. 등장하는 것은 유한합과 최소상계뿐이다. 정의를 세운 뒤 \(y=x^2\) 아래의 넓이를 직접 계산해 보자.
1. 분할과 계단함수#
정의 10 (분할)
\(a < b\)라 하자. 유한집합 \(P = \{x_0, x_1, \dots, x_n\}\)이
를 만족할 때 \(P\)를 구간 \([a,b]\)의 분할(partition)이라 한다. \(P\)가 만드는 부분구간은 \([x_{k-1},\, x_k]\)이고 그 개수는 \(n\)이다.
분할 \(P'\)이 \(P\)를 포함하면, 즉 \(P \subseteq P'\)이면 \(P'\)을 \(P\)의 세분(refinement)이라 한다.
세분은 분할점을 더 찍은 것이다. 두 분할 \(P_1\)과 \(P_2\)가 주어지면 \(P_1 \cup P_2\)가 둘 모두의 세분이 되며, 이것을 공통 세분이라 한다. 공통 세분은 이 회차와 이후 여러 증명에서 반복해서 쓰인다.
정의 11 (계단함수)
\([a,b]\)에서 정의된 함수 \(s\)가 다음을 만족하면 \(s\)를 계단함수(step function)라 한다.
\([a,b]\)의 분할 \(P = \{x_0, \dots, x_n\}\)이 있어서, 각 \(k = 1, \dots, n\)에 대하여 열린 부분구간 \((x_{k-1},\, x_k)\) 위에서 \(s\)가 상수이다. 그 상수를 \(s_k\)라 쓴다.
정의 11이 열린 부분구간을 말한다는 점에 유의한다. 분할점 \(x_0, \dots, x_n\)에서 \(s\)가 어떤 값을 갖는지는 조건에 들어 있지 않다. 분할점은 유한개이고, 다음 절에서 정의할 적분값에 영향을 주지 않는다.
2. 계단함수의 적분#
정의 12 (계단함수의 적분)
\(s\)가 분할 \(P = \{x_0, \dots, x_n\}\)에 대한 계단함수이고 \((x_{k-1}, x_k)\)에서의 값이 \(s_k\)라 하자. 이때
로 정의한다.
(7.1)의 각 항 \(s_k(x_k - x_{k-1})\)은 밑변이 \(x_k - x_{k-1}\)이고 높이가 \(s_k\)인 직사각형의 넓이이다. 6회 A5가 그 값을 정해 준다. 즉 (7.1)은 새로운 것을 가정하지 않는다.
그런데 (7.1)에는 확인할 것이 하나 있다. 같은 계단함수를 여러 분할로 볼 수 있다. 예를 들어 \([0,1]\)에서 항상 값이 \(2\)인 상수함수는 분할 \(\{0,1\}\)에 대한 계단함수이기도 하고 분할 \(\{0, 0.3, 1\}\)에 대한 계단함수이기도 하다. 두 분할로 (7.1)을 계산했을 때 값이 다르면 정의가 성립하지 않는다.
정리 19 (적분값은 분할의 선택에 무관하다)
\(s\)가 분할 \(P_1\)에 대한 계단함수이면서 분할 \(P_2\)에 대한 계단함수이면, (7.1)을 \(P_1\)로 계산한 값과 \(P_2\)로 계산한 값이 같다.
증명. 첫 단계 — 세분을 택해도 값이 같다.
\(P = \{x_0, \dots, x_n\}\)이 \(s\)에 대한 분할이고 \(P'\)이 \(P\)의 세분이라 하자. \(P'\)의 분할점 중 \([x_{k-1}, x_k]\) 안에 있는 것을
라 쓴다. 각 열린구간 \((y_{j-1}, y_j)\)는 \((x_{k-1}, x_k)\)에 포함되므로, 그 위에서 \(s\)의 값은 \(s_k\)로 같다. 따라서 \(P'\)로 계산한 합에서 이 부분이 기여하는 값은 다음과 같다.
첫 등호에서 4회 (4.3)의 선형성을 썼다. 오른쪽의 합은 4회 정리 9의 망원합이므로 \(y_m - y_0 = x_k - x_{k-1}\)이다. 따라서 이 부분의 기여는
이고, 이것은 \(P\)로 계산한 합의 \(k\)번째 항과 같다. 모든 \(k\)에 대하여 그러하므로 두 합은 같다.
둘째 단계 — 임의의 두 분할.
\(P_1\)과 \(P_2\)가 모두 \(s\)에 대한 분할이라 하자. \(P' = P_1 \cup P_2\)는 유한집합이고 \(a\)와 \(b\)를 포함하므로 \([a,b]\)의 분할이며, \(P_1\)의 세분이자 \(P_2\)의 세분이다.
첫 단계를 \(P_1\)과 \(P'\)에 적용하면 두 값이 같고, \(P_2\)와 \(P'\)에 적용하면 두 값이 같다. 따라서 \(P_1\)로 계산한 값과 \(P_2\)로 계산한 값이 같다.
정리 19이 있어야 (7.1)이 정의로 성립한다. 이런 확인을 정의가 잘 정의되었는지 보는 절차라 한다. 앞으로 여러 정의에서 같은 절차가 반복되며, 그때마다 공통 세분을 택하는 위 구조가 다시 쓰인다.
계단함수의 적분에 대하여 다음 두 성질이 성립한다. 증명은 공통 세분을 택한 뒤 (7.1)의 각 항을 비교하면 된다.
선형성: \(s\)와 \(t\)가 계단함수이고 \(c_1\), \(c_2\)가 실수이면 \(c_1 s + c_2 t\)도 계단함수이고
\[ \int_a^b \bigl(c_1 s + c_2 t\bigr) = c_1\int_a^b s + c_2\int_a^b t \tag{7.2} \]비교: \(s \le t\)인 계단함수에 대하여
\[ \int_a^b s \le \int_a^b t \tag{7.3} \]
(7.3)은 공통 세분에서 각 항을 비교하면 나온다. 같은 부분구간에서 \(s_k \le t_k\)이고 폭 \(x_k - x_{k-1}\)이 양수이므로, 3회 정리 6의 두 번째 항목에 의하여 \(s_k(x_k-x_{k-1}) \le t_k(x_k-x_{k-1})\)이다. 이것을 모두 더한다.
3. 상적분과 하적분#
이제 일반 함수로 넘어간다. \(f\)가 \([a,b]\)에서 유계라 하자.
\(f\) 이하인 계단함수 \(s\)를 모두 생각하고, 그 적분값을 모은 집합을 \(\underline{A}\)라 쓴다. 마찬가지로 \(f\) 이상인 계단함수 \(t\)의 적분값을 모은 집합을 \(\overline{A}\)라 쓴다.
(7.4)에서 \(s\)와 \(t\)는 계단함수만을 가리킨다.
두 집합이 공집합이 아니다. \(f\)가 유계이므로 6회 정의 9에 의하여 \(|f(x)| \le M\)인 \(M\)이 있고, 4회 정리 12에 의하여 \(-M \le f(x) \le M\)이다. 값이 항상 \(-M\)인 상수함수는 계단함수이고 \(f\) 이하이므로 \(\underline{A}\)에 원소가 있다. 값이 항상 \(M\)인 상수함수는 \(\overline{A}\)에 원소를 준다.
\(\underline{A}\)가 위로 유계이다. \(s \le f \le M\)이므로 (7.3)에 의하여
이다. (7.5)의 오른쪽은 \(s\)와 무관한 값이므로 \(M(b-a)\)가 \(\underline{A}\)의 상계이다.
\(\underline{A}\)가 공집합이 아니고 위로 유계이므로 5회 공리 1의 조건이 갖추어졌다.
정의 13 (하적분과 상적분)
\(f\)가 \([a,b]\)에서 유계라 하자. (7.4)의 두 집합에 대하여
를 각각 \(f\)의 하적분(lower integral)과 상적분(upper integral)이라 한다.
\(\overline{A}\)가 아래로 유계라는 것은 (7.5)와 같은 방식으로 확인한다. \(-M(b-a)\)가 하계이다.
정리 20 (하적분은 상적분보다 크지 않다)
\(f\)가 \([a,b]\)에서 유계이면 \(\underline{I}(f) \le \overline{I}(f)\)이다.
증명. \(t\)를 \(f\) 이상인 계단함수 하나로 고정한다.
\(s\)가 \(f\) 이하인 임의의 계단함수이면 \(s \le f \le t\)이므로 \(s \le t\)이고, (7.3)에 의하여 \(\int s \le \int t\)이다. 이것이 모든 \(s\)에 대하여 성립하므로 \(\int t\)는 \(\underline{A}\)의 상계이다.
\(\underline{I}(f)\)는 \(\underline{A}\)의 최소상계이므로 정의 7의 조건 2에 의하여
이다. (7.6)이 \(f\) 이상인 모든 계단함수 \(t\)에 대하여 성립하므로, \(\underline{I}(f)\)는 \(\overline{A}\)의 하계이다.
\(\overline{I}(f)\)는 \(\overline{A}\)의 최대하계이므로 하계 중 가장 큰 것이다. 따라서 \(\underline{I}(f) \le \overline{I}(f)\)이다.
4. 적분의 정의#
정의 14 (적분)
\(f\)가 \([a,b]\)에서 유계이고
일 때 \(f\)가 \([a,b]\)에서 적분 가능(integrable)하다고 한다. 이때 그 공통값을 \(f\)의 \([a,b]\) 위의 적분(integral)이라 하고 다음과 같이 쓴다.
정의 14을 다시 읽어 보자. 등장한 것은 유한합 (7.1), 집합 (7.4), 그리고 최소상계와 최대하계뿐이다. “다가간다”는 말도, “무한히 잘게 나눈다”는 말도 쓰이지 않았다.
넓이 공리와의 연결#
\(f \ge 0\)이라 하고, \([a,b]\) 위에서 \(f\) 아래에 있는 영역을 \(Q\)라 하자.
계단함수 \(s \le f \le t\)가 주어지면, \(s\) 아래의 영역 \(S\)와 \(t\) 아래의 영역 \(T\)는 직사각형을 유한개 붙인 것이며
를 만족한다. 6회 A5와 A2에 의하여 \(a(S) = \int s\)이고 \(a(T) = \int t\)이다.
\(f\)가 적분 가능하면 \(\int s\)와 \(\int t\)를 그 공통값에 원하는 만큼 가깝게 잡을 수 있다. 이 상황에서 6회 A6이 \(a(Q)\)를 하나로 확정한다. 1회 3절에서 후보를 하나씩 배제한 논증이 여기에 대응한다.
흔한 오해 — 적분은 “무한히 잘게 나눈 합”이 아니다
정의 14에는 극한이 없다. 무한개의 항을 더하지도 않았다.
한 것은 다음과 같다. 계단함수 하나하나에 대하여 유한합 (7.1)을 계산했다. 그렇게 얻은 값들을 모아 집합 (7.4)를 만들었다. 그 집합의 최소상계를 취했다. 최소상계는 5회 공리 1가 존재를 보장하는 하나의 실수이며, 어떤 과정의 결과가 아니다.
흔한 오해 — 상적분과 하적분이 언제나 같은 것은 아니다
정리 20이 말하는 것은 \(\underline{I}(f) \le \overline{I}(f)\)이지 \(\underline{I}(f) = \overline{I}(f)\)가 아니다.
두 값이 다른 유계함수가 존재한다. 그런 함수에는 적분값이 정해지지 않는다. 정의 14이 “적분 가능”이라는 단서를 붙이는 이유가 이것이다.
흔한 오해 — \(n\)등분만으로 정의되는 것이 아니다
다음 절부터 계산에 \(n\)등분 분할을 쓴다. 그러나 정의 14은 모든 계단함수에 대한 것이다. \(n\)등분은 상계와 하계를 구체적으로 만들어 내기 위한 편의일 뿐이다.
이 구분이 중요한 경우가 있다. \(n\)등분으로 얻은 값이 하적분과 같다고 미리 가정할 수 없다. 5절과 6절에서 이 점을 어떻게 처리하는지 볼 수 있다.
5. 예 — 상수함수와 일차함수#
상수함수. \(f(x) = c\)이면 \(f\) 자신이 계단함수이다. \(s = f\)로 두면 \(s \le f\)이므로 \(c(b-a) \in \underline{A}\)이고, \(t = f\)로 두면 \(c(b-a) \in \overline{A}\)이다.
한편 \(s \le f\)인 임의의 계단함수에 대하여 (7.3)에 의하여 \(\int s \le c(b-a)\)이므로 \(\underline{I}(f) = c(b-a)\)이다. 같은 방식으로 \(\overline{I}(f) = c(b-a)\)이다. 따라서
일차함수. \(f(x) = x\)를 \([0,b]\)에서 적분한다. \(b > 0\)이라 하자.
\([0,b]\)를 \(n\)등분한 분할을 쓴다. 분할점은 \(x_k = kb/n\)이다. \(x \ge 0\)에서 \(f(x) = x\)는 증가하므로, 부분구간 \([x_{k-1}, x_k]\)에서 최솟값은 \(x_{k-1}\)이고 최댓값은 \(x_k\)이다.
각 부분구간에서 최솟값을 값으로 갖는 계단함수를 \(s^{(n)}\), 최댓값을 값으로 갖는 계단함수를 \(t^{(n)}\)이라 하면 \(s^{(n)} \le f \le t^{(n)}\)이다. 두 적분값을 각각 \(L_n\), \(U_n\)이라 쓴다.
4회 정리 10를 (7.9)에 넣는다. \(\sum_{k=0}^{n-1}k = \sum_{k=1}^{n-1}k = \frac{(n-1)n}{2}\)이고 \(\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}\)이다.
(7.10)에서 모든 자연수 \(n\)에 대하여
이다. 다음 절에서 이 형태의 자료로부터 적분값을 확정하는 논증을 적는다. 같은 논증에 의하여
이다.
6. 예 — \(f(x) = x^2\)#
1회에서 인용만 했던 값을 이제 정의에 따라 계산한다.
\([0,b]\)를 \(n\)등분한다. \(x \ge 0\)에서 \(x^2\)이 증가하므로 앞 절과 같은 방식으로 계단함수 \(s^{(n)} \le f \le t^{(n)}\)을 만들고, 그 적분값을 \(L_n\), \(U_n\)이라 쓴다.
4회 정리 11를 (7.13)에 넣는다.
(7.14)의 분자를 전개하고 항별로 정리하면 다음을 얻는다.
(7.15)에서 두 사실을 읽는다. 1회 3절에서 확인한 것과 같은 계산이다.
1회에서 \(s_n\), \(S_n\)이라 쓴 것이 여기서의 \(L_n\), \(U_n\)이다. 그때는 넓이가 이미 있다고 두고 부등식을 세웠고, 지금은 계단함수의 적분값으로서 정의에서 나온다.
적분값을 확정한다#
이제 (7.16)과 (7.17)로부터 \(f\)가 적분 가능하고 적분값이 \(b^3/3\)임을 보인다.
첫째, \(\underline{I}\)와 \(\overline{I}\)를 가둔다. \(s^{(n)} \le f\)이므로 \(L_n \in \underline{A}\)이고, 따라서 정의 7의 조건 1에 의하여
이다. 마찬가지로 \(U_n \in \overline{A}\)이므로 \(\overline{I}(f) \le U_n\)이다. 정리 20과 합치면 모든 \(n\)에 대하여
이다.
둘째, 두 값이 같음을 보인다. (7.19)의 양 끝을 빼면 (7.17)에 의하여
이고, 이것이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립한다.
\(d = \overline{I}(f) - \underline{I}(f)\)라 두자. \(d > 0\)이라 하면, 5회 따름정리 1을 \(\epsilon = d/b^3\)에 적용하여 \(1/n < d/b^3\)인 \(n\)을 얻는다. 양변에 \(b^3 > 0\)을 곱하면 \(b^3/n < d\)이다. 이것은 그 \(n\)에 대한 (7.20)에 어긋난다. 따라서 \(d = 0\)이고 \(f\)는 적분 가능하다.
셋째, 적분값을 구한다. 적분값을 \(I\)라 쓰면 (7.19)에 의하여 \(L_n \le I \le U_n\)이다. 한편 (7.16)에 의하여 \(L_n < b^3/3 < U_n\)이다. 두 수가 모두 길이 \(b^3/n\)인 구간 \([L_n, U_n]\) 안에 있으므로
이다. (7.21)이 모든 \(n\)에 대하여 성립하므로, 둘째 단계와 같은 논증에 의하여 좌변은 \(0\)이다. 따라서
이다.
\(b = 1\), \(n = 10\)일 때 (7.15)는 \(L_{10} = 0.285\), \(U_{10} = 0.385\)를 준다. 1회에서 계산한 값과 같다.
흔한 오해 — 하합이 적분값과 같아지는 \(n\)이 있는가
없다. (7.15)에서
이고 \(n \ge 1\)이면 이 값은 양수이다. 즉 어떤 \(n\)에 대해서도 \(L_n \ne b^3/3\)이다.
적분값 \(b^3/3\)은 하합들의 최소상계로 정의된 값이지 어떤 하합의 값이 아니다. 5회에서 최소상계가 집합에 속하지 않을 수 있다고 한 것이 여기서 실제로 일어난다.
마치며#
이번 회차에서 적분을 정의하였다. 정의는 두 단계였다. 계단함수의 적분을 직사각형 넓이의 합으로 정의하고, 그 정의가 분할의 선택에 무관함을 확인하였다. 그다음 일반 함수를 계단함수로 위아래에서 가두고, 하적분과 상적분이 같을 때 그 공통값을 적분으로 정의하였다.
이 정의를 써서 \(y=x^2\) 아래의 넓이가 \(b^3/3\)임을 계산하였다. 1회에서 인용만 했던 값이다.
정의는 세웠지만 아직 다룰 수 있는 함수가 많지 않다. 지금까지 적분을 계산한 것은 상수함수, 일차함수, 이차함수뿐이며, 그때마다 상합과 하합을 직접 구했다. 정의로 매번 돌아가지 않고도 적분을 다룰 수 있으려면 성질이 필요하다.
다음 회차에서는 적분의 성질과 적분 가능성의 판정 기준을 알아보도록 하자.
이어서
같은 회차의 실험: 7회 실험 · 적분의 정의