20회 · 삼각함수

20회 · 삼각함수#

이 회차

한 문장

익숙한 삼각함수의 정의는 호의 길이에 의존하며, 호의 길이는 아직 정의되지 않았다.

출처

L19

파트

PART II — 두 번째 무한 · 관통 질문: 자르기(미분)와 쌓기(적분)는 무슨 관계인가

짝 실험

20회 실험 · 성질 넷이 하는 일

19회 마치며가 남긴 자리에서 시작한다. 우리가 다룰 수 있는 함수가 아직 너무 적다.

다항함수와 유리함수, 그리고 17회에서 만든 거듭제곱근이 전부이다. 삼각함수도 지수함수도 로그함수도 이 책에는 없다.

이번 회차에서 삼각함수를 세운다. 그런데 익숙한 정의를 그대로 쓸 수 없다.

\(\sin\theta\)는 흔히 단위원 위에서 각 \(\theta\)에 대응하는 점의 \(y\)좌표로 정의된다. 여기서 각 \(\theta\)는 호의 길이로 잰다. 그런데 호의 길이는 무엇인가.

곡선의 길이를 정의하려면 곡선을 잘게 나누어 선분의 길이를 더하고 그 상한을 취해야 한다. 우리는 그 작업을 하지 않았다. 7회에서 넓이에 대해 한 일을 길이에 대해서는 하지 않았다.

이번 회차에서는 순환을 피하는 정의를 세우고, 그 정의에서 익숙한 성질들이 따라 나오는지 확인해 보자.

1. 익숙한 정의의 문제#

무엇이 무엇에 기대는지를 적어 본다.

  to define sin(t)
   |
   v   the angle t must be measured
  to measure an angle
   |
   v   arc length must exist
  to define arc length
   |
   v   approximate the curve by segments, take a supremum
  to show that supremum exists
   |
   v   properties of the curve are needed
  for a circle those properties
   |
   v
  are written with sin and cos

마지막 줄이 첫 줄로 돌아온다. 순환이다.

순환이 반드시 치명적인 것은 아니다. 호의 길이를 삼각함수 없이 다룰 수 있다면 고리가 끊어진다. 실제로 그렇게 할 수 있지만, 그러려면 곡선의 길이를 먼저 정의해야 하고 그것은 이 책이 아직 하지 않은 일이다.

익숙하다는 것과 정의되어 있다는 것은 다르다.

\(\sin\)과 \(\cos\)의 값을 계산할 줄 알고 그래프를 그릴 줄 알아도, 그 함수가 무엇인지 이 책의 재료로 말할 수 없으면 도함수를 구할 수 없다. 16회 정의 30가 요구하는 것은 함수이지 그림이 아니다.

흔한 오해 — 순환을 알아채지 못하는 것

\(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\)의 표준적인 증명은 부채꼴의 넓이를 쓴다. 반지름 \(1\), 중심각 \(x\)인 부채꼴의 넓이가 \(x/2\)라는 것이다.

그런데 그 넓이가 \(x/2\)인 이유는 무엇인가. 중심각을 호의 길이로 쟀기 때문이다. 곧 그 증명은 각의 정의를 이미 쓰고 있다.

이 극한을 로피탈 법칙으로 구하려는 것도 같은 병이다. 로피탈 법칙은 도함수를 쓰고, \(\sin\)의 도함수를 구하는 데 이 극한이 필요하다.

2. 정의의 방법#

방법이 여럿이다. 셋을 적어 둔다.

(가) 성질로 특징짓는다. \(\sin\)과 \(\cos\)이 만족해야 할 성질 몇 개를 적고, 그 성질을 모두 만족하는 함수쌍이 하나뿐임을 확인한다.

(나) 적분으로 역함수를 먼저 만든다. \(\arctan x = \int_0^x \frac{dt}{1+t^2}\)로 두고 역함수를 취한다.

(다) 멱급수로 정의한다. \(\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\)로 둔다.

이 책은 **(가)**를 택한다. 이유를 적어 둔다.

(다)는 쓸 수 없다. 무한히 많은 항을 더하는 것이 무슨 뜻인지 아직 정하지 않았다.

(나)는 지금 쓸 수 있다. 피적분함수 \(\frac{1}{1+t^2}\)은 12회 정리 38에 의하여 연속이므로 15회 정리 46이 적분 가능성을 주고, 19회 따름정리 10가 그 누적 함수를 미분 가능하게 만들며, 17회 정리 55가 역함수를 미분하게 해 준다. 재료가 모두 갖추어져 있다.

그런데 (나)로 얻는 것은 \(\tan\)의 역함수이고, 거기서 \(\sin\)과 \(\cos\)을 꺼내려면 덧셈정리를 따로 세워야 한다. 그 과정이 길다.

(가)는 무엇을 가정하는지가 한눈에 보인다는 장점이 있다. 성질 네 개를 적어 놓고 시작하므로, 뒤에 나오는 모든 것이 그 넷에서 나왔음을 확인할 수 있다.

(나)는 버려지지 않는다

다음 회차에서 로그함수를 정의할 때 정확히 (나)의 방법을 쓴다. \(\int_1^x \frac{dt}{t}\)를 로그로 정의하고 그 역함수를 지수함수로 삼는다.

19회 6절이 “\(1/x\)의 원시함수는 우리가 지금까지 만든 어떤 함수도 아니다”라고 적고 자리를 비워 두었는데, 그 자리를 채우는 방법이 (나)이다.

3. 삼각함수의 특징짓기#

정의 44 (삼각함수)

실수 전체에서 정의된 두 함수 \(\sin\)과 \(\cos\)이 다음 넷을 만족한다고 하자.

(T1) \(\sin 0 = 0\)이고 \(\cos 0 = 1\)이다.

(T2) 모든 실수 \(x\), \(y\)에 대하여

\[ \cos(y-x) = \cos y \cos x + \sin y \sin x \tag{20.1} \]

(T3) 모든 실수 \(x\), \(y\)에 대하여

\[ \sin(y-x) = \sin y \cos x - \cos y \sin x \tag{20.2} \]

(T4) 어떤 \(c>0\)이 있어서, \(0<x<c\)인 모든 \(x\)에서 \(\cos x \ne 0\)이고

\[ 0 < \sin x < x < \frac{\sin x}{\cos x} \tag{20.3} \]

이러한 함수쌍을 삼각함수라 한다.

네 조건을 하나씩 읽어 둔다.

**(T1)**은 출발점을 정한다.

**(T2)와 (T3)**은 뺄셈에 대한 규칙이다. 익숙한 덧셈정리는 여기서 따라 나온다.

**(T4)**가 이 회차의 일꾼이다. 4절이 이 부등식 하나로 도함수 계산의 전부를 처리한다.

(T4)에 \(\pi\)가 없는 이유

흔히 이 부등식을 “\(0<x<\pi/2\)에서”라고 적는다. 여기서 그렇게 쓰면 순환이다. \(\pi\)는 5절에서 \(\cos\)의 영점으로 정의할 것이고, 그 정의는 4절의 결과에 기댄다.

그래서 (T4)는 그런 \(c\)가 있다고만 말한다. 그 \(c\)가 얼마인지는 쓰지 않으며, 4절에서 실제로 쓰는 것도 “어떤 양수 구간에서 성립한다”는 사실뿐이다.

5절에서 \(\pi\)를 정의한 뒤에 돌아보면 \(c \le \pi/2\)임을 알 수 있지만, 그것을 알기 전에 이미 필요한 것을 다 얻는다.

이 정의가 하지 않는 일

정의 44은 그런 함수쌍이 존재한다고 말하지 않는다. “다음 넷을 만족한다고 하자”로 시작하는 조건부 진술이다.

존재는 별개의 문제이며 이 책은 아직 그것을 증명하지 않는다. 2절의 (나)나 (다)로 실제 함수를 만들면 존재가 확보되는데, 그 작업은 하지 않는다.

유일성도 여기서 증명하지 않는다. 네 조건을 만족하는 함수쌍이 둘 있으면 서로 같다는 것이 알려져 있고, 그 증명은 두 쌍의 차를 만들어 도함수가 \(0\)임을 보이는 방식이다 — 18회 따름정리 9가 쓰이는 자리이다. 여기서는 사실만 적어 둔다.

이 회차가 얻는 것은 조건부이다. 그런 함수쌍이 있다면 그 도함수는 이것이고 \(\pi\)는 이렇게 정해진다는 형태이다.

넷에서 곧바로 나오는 것#

성질 넷을 적어 놓았으니 거기서 무엇이 나오는지부터 확인한다. 익숙한 항등식들이 따라 나오지 않는다면 (T1)~(T4)를 잘못 고른 것이다.

특히 확인할 것이 셋이다. 피타고라스 항등식은 3절 이후 거의 모든 계산에 쓰인다. 짝·홀 대칭은 4절에서 \(x>0\)에서 얻은 결론을 \(x<0\)으로 옮기는 데 쓰인다. 그리고 덧셈정리는 5절에서 도함수를 구할 때 분자를 쪼개는 도구가 된다.

셋 다 (T2)와 (T3)에 값을 대입하는 것만으로 나온다. 새 재료가 필요하지 않다.

정리 65 (기본 항등식)

정의 44의 넷에서 다음이 따라 나온다.

  1. 모든 \(x\)에서 \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)이다.

  2. \(\cos(-x) = \cos x\)이고 \(\sin(-x) = -\sin x\)이다.

  3. 모든 \(x\), \(y\)에서 덧셈정리가 성립한다.

증명. 1. (20.1)에 \(y=x\)를 넣으면 왼쪽이 \(\cos 0 = 1\)이고 오른쪽이 \(\cos^2 x + \sin^2 x\)이다.

2. (20.1)에 \(y=0\)을 넣으면 (T1)에 의하여

\[ \cos(-x) = \cos 0 \cos x + \sin 0 \sin x = \cos x \]

이다. (20.2)에 \(y=0\)을 넣으면 \(\sin(-x) = \sin 0 \cos x - \cos 0 \sin x = -\sin x\)이다.

3. (20.1)의 \(x\) 자리에 \(-x\)를 넣고 2를 쓰면

\[ \cos(y+x) = \cos y \cos x - \sin y \sin x \tag{20.4} \]

이고, (20.2)에 같은 것을 하면

\[ \sin(y+x) = \sin y \cos x + \cos y \sin x \tag{20.5} \]

이다.

1에서 곧바로 나오는 것이 하나 더 있다. \(\sin^2 x \ge 0\)이므로 \(\cos^2 x \le 1\)이고, 따라서 모든 \(x\)에서 \(|\cos x| \le 1\)이다. 같은 이유로 \(|\sin x| \le 1\)이다. 두 함수는 유계이다.

4. 압축정리와 sin x / x#

(T4)를 쓰려면 도구가 하나 필요하다. 부등식으로 극한을 가두는 정리이다.

12회가 극한의 사칙연산을 모았지만 부등식에 관한 것은 정리 35 하나뿐이었고, 그것은 극한값의 부호에서 함숫값의 부호를 얻는 방향이었다. 반대 방향, 곧 함숫값이 두 함수 사이에 끼어 있으면 극한도 끼어 있다는 진술은 이 책에 아직 없다.

정리 66 (압축정리)

\(p\)의 어떤 근방에서 (\(p\) 자신은 빼고) \(g(x) \le f(x) \le h(x)\)이고

\[ \lim_{x\to p} g(x) = \lim_{x\to p} h(x) = A \]

이면 \(\lim_{x\to p} f(x) = A\)이다.

한쪽 형태도 같다. 어떤 \(\delta_0>0\)에 대하여 \(p<x<p+\delta_0\)에서 \(g \le f \le h\)이고 두 함수의 우극한이 모두 \(A\)이면 \(f\)의 우극한도 \(A\)이다. 좌극한도 같다.

증명. \(\epsilon>0\)이 주어졌다.

11회 정의 18을 \(g\)에 적용하면 \(0<|x-p|<\delta_1\)에서 \(|g(x)-A|<\epsilon\)인 \(\delta_1>0\)이 있고, \(h\)에 적용하면 같은 형태의 \(\delta_2>0\)이 있다. 가정의 부등식이 성립하는 근방의 반지름을 \(\delta_3\)이라 하자.

\(\delta = \min\{\delta_1,\delta_2,\delta_3\}\)으로 둔다. \(0<|x-p|<\delta\)이면 4회 따름정리 1로 두 부등식을 풀어

\[ A-\epsilon \;<\; g(x) \;\le\; f(x) \;\le\; h(x) \;<\; A+\epsilon \]

이다. 3회 정리 6의 네 번째 항목으로 양 끝을 이으면 \(A-\epsilon < f(x) < A+\epsilon\)이고, 따름정리 1로 되돌리면 \(|f(x)-A|<\epsilon\)이다.

\(\epsilon\)이 임의였으므로 정의 18에 의하여 극한이 \(A\)이다.

한쪽 형태는 위 논증에서 11회 (11.1) 대신 (11.12)를 쓰고 \(x\)의 범위를 한쪽으로 제한하면 글자 그대로 같다.

증명이 짧은 것은 우연이 아니다. 극한의 정의가 이미 부등식으로 되어 있으므로, 부등식을 잇는 것 말고 할 일이 없다.

sin x / x 의 극한#

이제 (T4)를 쓴다. \(0<x<c\)라 하자.

먼저 \(\cos x>0\)이다. (20.3)의 마지막 부등식에서 \(\frac{\sin x}{\cos x} > x > 0\)인데, \(\sin x>0\)이므로 \(\cos x<0\)이면 왼쪽이 음수가 되어 어긋난다. (T4)가 \(\cos x \ne 0\)을 요구했으므로 3회 O2에 의하여 \(\cos x>0\)이다.

부등식을 다듬는다. (20.3)의 \(\sin x < x\)에서, 양변을 양수 \(x\)로 나누면 3회 정리 6의 두 번째 항목에 의하여

\[ \frac{\sin x}{x} < 1 \]

이다. 그리고 \(x < \frac{\sin x}{\cos x}\)의 양변에 양수 \(\cos x\)를 곱하면 \(x\cos x < \sin x\)이고, 다시 양수 \(x\)로 나누면

\[ \cos x < \frac{\sin x}{x} \]

이다. 둘을 합치면 \(0<x<c\)에서

\[ \cos x \;<\; \frac{\sin x}{x} \;<\; 1 \tag{20.6} \]

이다.

역수를 취하지 않았다

이 부등식을 얻는 흔한 방법은 (20.3)을 \(\sin x\)로 나누어 \(1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}\)를 얻고 역수를 취하는 것이다.

그러려면 “\(0<a<b\)이면 \(1/b<1/a\)”라는 사실이 필요한데, 이 책은 그것을 상자로 세운 적이 없다. 3회 정리 6에도 없다.

그래서 위에서는 곱하기와 나누기만 썼다. 양수를 곱하는 것과 나누는 것은 정리 6의 두 번째 항목이 이미 준다. 없는 정리를 부르지 않으려고 경로를 바꾼 것이다.

\(\cos x \to 1\)을 보인다. (20.3)에서 \(0<\sin x<x\)이므로, 상수함수 \(0\)과 항등함수는 \(x\to0+\)에서 모두 \(0\)으로 가고 정리 66에 의하여 \(\lim_{x\to0+}\sin x = 0\)이다.

정리 65의 1에서 \((1-\cos x)(1+\cos x) = 1-\cos^2 x = \sin^2 x\)이고, \(\cos x>0\)이므로 \(1+\cos x>1\)이다. 그리고 \(\cos x \le 1\)이므로 \(1-\cos x \ge 0\)이다. 따라서

\[ 0 \;\le\; 1-\cos x = \frac{\sin^2 x}{1+\cos x} \;\le\; \sin^2 x \;<\; x^2 \tag{20.7} \]

이다. 양 끝이 \(x\to0+\)에서 \(0\)으로 가므로 정리 66에 의하여 \(\lim_{x\to0+}(1-\cos x)=0\)이고, 곧 \(\lim_{x\to0+}\cos x = 1\)이다.

정리 67 (기본 극한)

\[ \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = 1, \qquad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x} = 0 \tag{20.8} \]

이다.

증명. \(q(x) = \frac{\sin x}{x}\), \(r(x) = \frac{1-\cos x}{x}\)라 쓴다. 둘 다 \(x \ne 0\)에서 정의된다.

첫째 극한, 오른쪽. (20.6)의 양 끝이 \(x\to0+\)에서 모두 \(1\)로 가므로 정리 66의 한쪽 형태가 다음을 준다. 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 어떤 \(\delta>0\)이 있어서

\[ 0<x<\delta \;\Longrightarrow\; |q(x)-1|<\epsilon \]

이다.

대칭으로 왼쪽을 얻는다. 정리 65의 2에 의하여

\[ q(-x) = \frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{-\sin x}{-x} = q(x) \]

이므로 \(q\)는 짝함수이다. \(-\delta<x<0\)이면 \(0<-x<\delta\)이므로 위 결론이 \(-x\)에 적용되어 \(|q(-x)-1|<\epsilon\)이고, \(q(x)=q(-x)\)이므로 \(|q(x)-1|<\epsilon\)이다.

두 경우를 합치면 \(0<|x|<\delta\)인 모든 \(x\)에서 \(|q(x)-1|<\epsilon\)이다. 이것이 11회 (11.1)이 요구하는 것 그대로이므로 \(\lim_{x\to0} q(x) = 1\)이다.

둘째 극한. (20.7)을 양수 \(x\)로 나누면 \(0 \le r(x) < x\)이고, 정리 66의 한쪽 형태가 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(0<x<\delta\)에서 \(|r(x)|<\epsilon\)인 \(\delta\)를 준다.

\(\cos\)이 짝함수이므로 \(r(-x) = \frac{1-\cos x}{-x} = -r(x)\)이고, 곧 \(|r(-x)|=|r(x)|\)이다. 위와 같은 방식으로 \(-\delta<x<0\)에서도 \(|r(x)|<\epsilon\)이므로 \(0<|x|<\delta\) 전체에서 성립하고, 정의 18에 의하여 극한이 \(0\)이다.

한쪽 극한 둘에서 곧바로 극한으로 가지 않았다

11회 4절은 양쪽 극한이 있으면 한쪽 극한도 있다는 방향만 증명했고, 그 역은 두 값이 다르면 거짓이라고만 적었다. 두 값이 같을 때 역이 성립한다는 진술은 이 책에 없다.

그래서 위 증명은 우극한을 얻은 뒤 “좌극한도 같으니 극한이 있다”로 넘어가지 않았다. 대신 우극한이 준 \(\delta\)를 그대로 왼쪽에 옮겨 \(0<|x|<\delta\) 전체에서의 부등식을 직접 만들었다.

\(q\)가 짝함수이고 \(r\)이 홀함수라는 사실이 그 옮기기를 가능하게 한다. 대칭이 있으면 한쪽에서 얻은 \(\delta\)가 반대쪽에서 그대로 통한다.

\(x=0.1\)에서 값을 확인해 둔다. \(\sin(0.1)\)은 \(0.0998334\ldots\)이고 \(\frac{\sin(0.1)}{0.1} = 0.998334\ldots\)이다. \(\frac{1-\cos(0.1)}{0.1} = 0.0499583\ldots\)이다. 하나는 \(1\)에, 다른 하나는 \(0\)에 가깝다.

5. 도함수#

두 극한이 도함수 계산의 전부이다.

정리 68 (삼각함수의 도함수)

모든 실수 \(p\)에서 \(\sin\)과 \(\cos\)은 미분 가능하고

\[ \sin'(p) = \cos p, \qquad \cos'(p) = -\sin p \tag{20.9} \]

이다.

증명. 16회 보조정리 8에 의하여 (16.3)의 형태로 계산해도 된다.

\(\sin\)부터. 덧셈정리 (20.5)에 의하여

\[ \sin(p+h) - \sin p = \sin p \cos h + \cos p \sin h - \sin p = \sin p\,(\cos h - 1) + \cos p \sin h \]

이다. \(h \ne 0\)으로 나누면

\[ \frac{\sin(p+h)-\sin p}{h} = -\sin p \cdot \frac{1-\cos h}{h} + \cos p \cdot \frac{\sin h}{h} \]

이다. \(h\to0\)에서 정리 67가 두 분수의 극한을 각각 \(0\)과 \(1\)로 주고, 12회 정리 34가 합과 상수배를 처리하므로 극한이 \(-\sin p \cdot 0 + \cos p \cdot 1 = \cos p\)이다.

\(\cos\)도 같다. (20.4)에 의하여

\[ \frac{\cos(p+h)-\cos p}{h} = -\cos p \cdot \frac{1-\cos h}{h} - \sin p \cdot \frac{\sin h}{h} \]

이고, 극한이 \(-\sin p\)이다.

덧셈정리가 쓰인 자리가 분자를 쪼개는 곳이다. 16회 정리 49에서 분자에 같은 것을 더하고 뺐던 것과 같은 종류의 조작이며, 여기서는 덧셈정리가 그 일을 대신한다.

16회 정리 47에 의하여 \(\sin\)과 \(\cos\)은 모든 점에서 연속이다. 정의에서 연속성을 따로 요구하지 않았는데 미분 가능성에서 나왔다.

6. π의 정의#

\(\pi\)를 아직 쓰지 않았다. 여기서 정의한다.

먼저 \(\cos\)이 어딘가에서 \(0\)이 되어야 한다.

보조정리 12 (cos 은 양의 어딘가에서 0 이하가 된다)

\(\cos x \le 0\)인 \(x>0\)이 존재한다.

증명. 귀류법을 쓴다. 모든 \(x>0\)에서 \(\cos x>0\)이라 하자.

정리 68에 의하여 \(\sin' = \cos > 0\)이므로, 18회 정리 60의 1에 의하여 \(\sin\)은 임의의 \([0,X]\)에서 순증가한다. \(\sin 0 = 0\)이므로 모든 \(x>0\)에서 \(\sin x>0\)이고, 특히 \(\sin 1>0\)이다.

\(X>1\)이라 하자. \([1,X]\)에서 \(\sin\)이 증가하므로 \(\sin t \ge \sin 1\)이다. \(\cos' = -\sin\)이고 \(\cos\)이 연속이므로 19회 정리 64를 \(-\sin\)에 적용하면

\[ \cos X - \cos 1 = \int_1^X (-\sin t)\,dt \]

이다. \(-\sin t \le -\sin 1\)이므로 9회 따름정리 6에 의하여 오른쪽이 \(-\sin 1 \cdot (X-1)\) 이하이고, 따라서

\[ \cos X \;\le\; \cos 1 - \sin 1 \cdot (X-1) \]

이다.

\(\sin 1>0\)이므로 5회 정리 17로 \(X-1 > \frac{\cos 1 + 1}{\sin 1}\)인 \(X\)를 잡으면 오른쪽이 \(-1\)보다 작다. 그러면 \(\cos X < -1\)인데, 3절에서 \(|\cos| \le 1\)임을 보았으므로 어긋난다.

19회의 정리가 실제로 쓰인 첫 자리이다. \(\cos\)의 도함수를 안다는 사실에서 \(\cos\)의 값에 대한 결론을 얻었고, 그 통로가 정리 64이다.

정리 69 (cos 의 첫 영점)

\(\cos c_0 = 0\)이면서 \([0,c_0)\)의 모든 점에서 \(\cos>0\)인 \(c_0>0\)이 정확히 하나 있다.

그리고 그 \(c_0\)에 대하여 다음이 성립한다. \(\sin\)은 \([0,c_0]\)에서 순증가하고 \((0,c_0]\)에서 \(\sin>0\)이며, \(\cos\)은 \([0,c_0]\)에서 순감소한다.

증명. 보조정리 12가 주는 점을 \(X\)라 하자. \(\cos 0 = 1>0\)이고 \(\cos X \le 0\)이다.

집합을 잡는다. 14회 2절 이래 여러 번 쓴 뼈대를 다시 쓴다.

\[ S = \{\, x \in [0,X] \;:\; [0,x]\text{ 의 모든 점에서 }\cos>0 \,\} \]

\(0 \in S\)이고 \(X\)가 상계이므로 5회 공리 1에 의하여 \(c_0 = \sup S\)가 존재하며 \(0 \le c_0 \le X\)이다.

\(S\)가 왼쪽으로 닫혀 있음을 먼저 적어 둔다. \(x_0 \in S\)이고 \(0 \le x < x_0\)이면 \([0,x] \subset [0,x_0]\)이므로 \(x \in S\)이다.

\(\cos c_0 > 0\)일 수 없다. 그렇다고 하자. 12회 따름정리 8가 \(\delta>0\)을 주어 \(|x-c_0|<\delta\)인 \(x \in [0,X]\)에서 \(\cos x>0\)이다.

\(c_0 = X\)이면 \(\cos X>0\)인데 \(\cos X \le 0\)이므로 어긋난다. 그러므로 \(c_0<X\)이고, 10회 보조정리 4로 \(c_0 < y < \min\{X,\ c_0+\delta\}\)인 \(y\)를 잡는다.

5회 정리 14의 조건 3으로 \(x_0 \in S\)이면서 \(x_0 > c_0-\delta\)인 \(x_0\)을 잡자. \([0,y]\)의 점은 \([0,x_0]\)에 있거나 \(x_0 < t \le y\)를 만족한다. 앞쪽에서는 \(x_0 \in S\)이므로 \(\cos>0\)이고, 뒤쪽에서는 \(|t-c_0|<\delta\)이므로 역시 \(\cos>0\)이다. 따라서 \(y \in S\)인데 \(y>c_0\)이므로 \(c_0\)이 상계라는 데 어긋난다.

\(\cos c_0 < 0\)일 수 없다. 그렇다고 하면 따름정리 8가 \(\delta>0\)을 주어 \(|x-c_0|<\delta\)인 \(x \in [0,X]\)에서 \(\cos x<0\)이다. 정리 14의 조건 3으로 \(x_0 \in S\)이면서 \(x_0 > c_0-\delta\)인 \(x_0\)을 잡으면 \(x_0\)에서 \(\cos>0\)이면서 \(\cos<0\)이어서 어긋난다.

3회 O2(삼분법)에 의하여 \(\cos c_0 = 0\)이다.

\(\cos 0 = 1 \ne 0\)이므로 \(c_0>0\)이다. 그리고 \([0,c_0)\)의 각 점은 \(S\)의 어떤 원소 이하이므로 그 점에서 \(\cos>0\)이다.

단조성과 부호. \([0,c_0)\)에서 \(\cos>0\)이므로 정리 68와 정리 60의 1에 의하여 \(\sin\)은 \([0,c_0]\)에서 순증가하고, \(\sin 0 = 0\)이므로 \((0,c_0]\)에서 \(\sin>0\)이다. 다시 \(\cos' = -\sin<0\)이므로 정리 60의 2에 의하여 \(\cos\)은 \([0,c_0]\)에서 순감소한다.

하나뿐이다. 17회 정의 33의 순감소는 서로 다른 두 점의 값이 다름을 뜻하므로 \([0,c_0]\) 안에 \(\cos\)의 영점이 둘일 수 없다.

정의 45 (원주율)

정리 69의 \(c_0\)에 대하여 \(\pi = 2c_0\)이라 정의한다.

곧 \(\pi/2\)가 \(\cos\)의 첫 양의 영점이다. \(\pi\)가 원의 둘레에서가 아니라 \(\cos\)의 영점에서 나왔다.

정의에서 곧바로 나오는 것을 적어 둔다. \(\cos(\pi/2)=0\)이므로 정리 65의 1에서 \(\sin^2(\pi/2)=1\)이고, 위 증명에서 \(\sin(\pi/2)>0\)이므로 \(\sin(\pi/2)=1\)이다.

덧셈정리 (20.4)와 (20.5)에 \(y=\pi/2\)를 넣으면

\[ \cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right) = -\sin x, \qquad \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right) = \cos x \]

이고, 이것을 네 번 되풀이하면 \(\sin(x+2\pi)=\sin x\)와 \(\cos(x+2\pi)=\cos x\)이다. 주기성이 정의에서 따라 나왔다.

7. 적분 계산#

19회 정리 64를 쓴다. 도함수를 알면 적분은 곧바로 나온다.

정리 68가 \(\cos' = -\sin\)이라 했으므로 \((-\cos)' = \sin\)이고, \(\sin' = \cos\)이다. 정의 43의 뜻으로

\[ \int \sin x\,dx = -\cos x + C, \qquad \int \cos x\,dx = \sin x + C \tag{20.10} \]

이다.

\(\sin\)과 \(\cos\)이 5절에서 확인한 대로 연속이므로 정리 64의 가정이 갖추어졌고, 정적분도 곧바로 나온다.

\[ \int_0^{\pi/2} \cos x\,dx = \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1 \tag{20.11} \]

이 절이 짧은 이유가 19회에 있다. 7회의 방식으로 이 값을 구하려면 \(\cos\)의 상합과 하합을 계산해야 하는데, 그러려면 \(\cos\)의 값을 유한합으로 다룰 방법이 있어야 한다. 정리 64는 그 일을 전부 건너뛰고 원시함수 하나만 요구한다.

마치며#

이번 회차에서 삼각함수를 정의하였다. 익숙한 정의는 호의 길이에 기대고 호의 길이는 아직 정의되지 않았으므로, 만족해야 할 성질 넷을 적고 거기서 나머지를 끌어내는 방법을 택하였다.

얻은 것이 조건부라는 점을 다시 적어 둔다. 그런 함수쌍이 존재한다는 것은 증명하지 않았고 유일하다는 것도 사실만 적었다. 이 회차가 보인 것은 “그런 쌍이 있다면 그 도함수는 이것이고 \(\pi\)는 이렇게 정해진다”이다.

도구 하나를 새로 세웠다. 정리 66는 함숫값이 두 함수 사이에 끼어 있으면 극한도 끼어 있다는 진술이며, 12회가 세운 극한 정리들 가운데 빠져 있던 것이다. 증명은 정의 18에서 곧바로 나왔다.

\(\pi\)를 \(\cos\)의 첫 양의 영점의 두 배로 정의하였다. 그 영점이 존재한다는 것은 정리 64로 \(\cos\)이 언젠가 음수가 됨을 보이고, 14회 이래 다섯 번 쓴 최소상계 논증으로 첫 영점을 잡아서 얻었다. 원의 둘레는 한 번도 나오지 않았다.

그리고 19회의 정리가 두 번 쓰였다. 보조정리 12에서 도함수의 정보를 함숫값의 정보로 바꾸는 데 쓰였고, 7절에서 적분을 계산하는 데 쓰였다. 두 연산이 서로의 역이라는 사실이 도구가 되기 시작한다.

남은 것이 있다. 19회 6절이 \(1/x\)의 원시함수가 우리가 만든 함수 중에 없다고 적었고, 이번 회차의 삼각함수도 그 자리를 채우지 못한다.

그리고 2절에서 방법 (나)를 적어 두고 쓰지 않았다. \(\int_0^x \frac{dt}{1+t^2}\)로 역함수를 만드는 방법이었다.

두 가지가 한자리에서 만난다. \(\int_1^x \frac{dt}{t}\)를 함수로 보면 그것이 \(1/x\)의 원시함수이고, 동시에 (나)의 방법이 적용되는 대상이다.

다음 회차에서는 로그함수와 지수함수를 알아보도록 하자.

이어서

같은 회차의 실험: 20회 실험 · 성질 넷이 하는 일