22회 · 부분적분과 치환#
이 회차
한 문장 |
모든 적분 기법은 미분 법칙을 거꾸로 읽은 것이다. |
출처 |
L21 |
파트 |
PART II — 두 번째 무한 · 관통 질문: 자르기(미분)와 쌓기(적분)는 무슨 관계인가 |
짝 실험 |
앞 회차까지 도함수를 아는 함수를 여럿 확보하였다. 다항함수와 유리함수, 거듭제곱근, \(\sin\)과 \(\cos\), \(\log\)와 \(\exp\)이다.
그리고 19회 정리 64에 의하여, 도함수가 피적분함수가 되는 함수를 찾으면 정적분을 계산할 수 있다.
문제는 그 함수를 어떻게 찾는가이다. 미분은 규칙을 따라 계산하면 된다. 16회와 17회가 합·곱·몫·합성의 규칙을 모두 주었으므로, 식이 주어지면 기계적으로 도함수를 얻는다. 그런데 반대 방향에는 그런 규칙이 없다.
그런데 실마리는 있다. 미분 법칙을 거꾸로 읽으면 적분 기법이 된다. 곱의 미분 법칙을 거꾸로 읽으면 부분적분이 되고, 연쇄법칙을 거꾸로 읽으면 치환적분이 된다.
이번 회차에서 두 기법을 유도하고 적용해 보자.
1. 부분적분#
16회 정리 49가 \((fg)' = f'g + fg'\)를 주었다. 이 등식의 양변을 \([a,b]\)에서 적분한다.
정리 75 (부분적분)
\(f\)와 \(g\)가 \([a,b]\)에서 미분 가능하고 \(f'\)과 \(g'\)이 \([a,b]\)에서 연속이면
이다.
증명. 16회 정리 49에 의하여 \([a,b]\)에서 \((fg)' = f'g+fg'\)이다.
오른쪽이 연속이다. \(f\)와 \(g\)는 미분 가능하므로 16회 정리 47에 의하여 연속이고, \(f'\)과 \(g'\)은 가정에서 연속이다. 12회 정리 36에 의하여 곱과 합이 연속이므로 \((fg)'\)이 \([a,b]\)에서 연속이다.
정리 64를 쓴다. \(fg\)는 \([a,b]\)에서 연속이고 \((a,b)\)에서 그 도함수가 \((fg)'\)이므로
이다. \((fg)'\)이 연속이어야 이 한 줄을 쓸 수 있다. 가정에 \(f'\)과 \(g'\)의 연속을 넣은 이유가 이것이다.
왼쪽을 가른다. 두 항이 각각 연속이므로 적분 가능하고, 8회 정리 22에 의하여 적분이 갈라진다. \(\int_a^b f'g\)를 오른쪽으로 옮기면 (22.1)이다.
\(fg\)의 두 끝값을 \(\bigl[fg\bigr]_a^b\)로 줄여 쓴다. 부정적분 형태로는 19회 정의 43의 표기를 써서
이다.
무엇이 일어났는지 보아 둔다. 왼쪽의 적분이 오른쪽의 적분으로 바뀌었을 뿐 적분이 사라지지는 않았다. 이득이 되려면 \(\int f'g\)가 \(\int fg'\)보다 쉬워야 한다. 그래서 \(f\)는 미분하면 단순해지는 것으로, \(g'\)은 적분하기 쉬운 것으로 고른다.
계산 예#
\(\int x\cos x\,dx\). \(f(x)=x\), \(g'(x)=\cos x\)로 둔다. 20회 정리 68에 의하여 \(g(x)=\sin x\)이고 \(f'(x)=1\)이다.
\(f\)를 미분하니 \(1\)이 되어 남은 적분이 쉬워졌다. 반대로 골랐다면 \(f=\cos x\), \(g=x^2/2\)가 되어 더 나빠진다.
정적분으로 확인한다. 20회 정의 45에서 \(\sin\frac{\pi}{2}=1\)이고 \(\cos\frac{\pi}{2}=0\)이므로
이고 그 값은 \(0.5707\ldots\)이다. 실험 페이지가 7회의 상합과 하합으로 같은 값을 좁힌다.
\(\int \log x\,dx\). 여기에는 요령이 하나 있다. 피적분함수가 곱이 아닌데도 부분적분을 쓴다.
\(\log x = 1\cdot\log x\)로 보고 \(f(x)=\log x\), \(g'(x)=1\)로 둔다. 그러면 \(g(x)=x\)이고 21회 정리 70에 의하여 \(f'(x)=1/x\)이다.
\(g'=1\)로 두는 것이 왜 유효한가. (22.2)는 피적분함수가 \(fg'\) 꼴이기만 하면 되고, \(g'=1\)이면 \(fg' = f\)이므로 어떤 함수든 이 꼴로 볼 수 있다. 그리고 그 대가로 \(\int f'g\)가 새로 생기는데, \(\log\)의 경우 \(f'g = \frac1x\cdot x = 1\)이 되어 오히려 쉬워진다.
\(x>0\)에서 미분해 확인하면 \((x\log x - x)' = \log x + x\cdot\frac1x - 1 = \log x\)이다.
\(\int x e^x\,dx\). \(f(x)=x\), \(g'(x)=e^x\)로 둔다. 21회 정리 73에 의하여 \(g(x)=e^x\)이다.
\(x^n e^x\)이면 같은 조작을 \(n\)번 되풀이한다. 한 번 할 때마다 \(x\)의 차수가 하나씩 줄기 때문이다.
2. 치환적분#
17회 정리 54이 \((F\circ g)'(x) = F'(g(x))\,g'(x)\)를 주었다. 이번에는 이것을 적분한다.
정리 76 (치환적분)
\(g\)가 \([a,b]\)에서 미분 가능하고 \(g'\)이 \([a,b]\)에서 연속이라 하자. \(f\)가 \(g\)의 치역을 품는 어떤 열린구간 \(J\)에서 연속이면
이다.
증명. 원시함수를 잡는다. \(f\)가 \(J\)에서 연속이므로, \(J\)의 한 점 \(u_0\)을 잡고 \(F(u) = \int_{u_0}^u f\)라 두자. \(J\)의 각 점 \(u_1\)에 대하여 \(u_0\)과 \(u_1\)을 모두 품는 닫힌 부분구간 \([c,d] \subset J\)를 \(u_1 \in (c,d)\)가 되도록 잡을 수 있고 — \(J\)가 열린구간이므로 그런 \([c,d]\)가 있다 — 19회 따름정리 10를 그 위에서 적용하면 \(F'(u_1)=f(u_1)\)이다. 21회 정리 70의 증명이 \(\log\)에 쓴 것과 글자 그대로 같은 방식이다.
\(J\)가 열린구간이어야 하는 이유가 여기 있다. \(J\)가 닫힌구간이면 그 끝점에서 따름정리 10가 주는 것은 한쪽 도함수값뿐이고, 아래에서 쓸 정리 54은 정의 30의 양쪽 도함수를 요구한다.
합성을 미분한다. \(g\)가 미분 가능하고 \(F\)가 \(g(x)\)에서 미분 가능하므로 정리 54에 의하여
이다.
오른쪽이 연속이다. \(g\)는 연속이고 \(f\)는 연속이므로 12회 정리 37에 의하여 \(f\circ g\)가 연속이며, \(g'\)이 연속이므로 정리 36에 의하여 곱도 연속이다.
정리 64를 두 번 쓴다. 먼저 \(F\circ g\)에 적용하면
이다. 다음으로 \(F\)에 적용하면 \(\int_{g(a)}^{g(b)} f = F(g(b))-F(g(a))\)이다. \(g(b)<g(a)\)이면 19회 정의 41가 양변의 부호를 함께 바꾸므로 등식이 유지되고, \(g(a)=g(b)\)이면 양변이 모두 \(0\)이다.
두 결과가 같으므로 (22.4)이다.
적분 구간이 바뀌는 이유를 적어 둔다. 왼쪽의 \(a\)와 \(b\)는 \(x\)가 움직이는 범위이고, 오른쪽의 \(g(a)\)와 \(g(b)\)는 \(u=g(x)\)가 움직이는 범위이다. 변수를 바꾸었으므로 그 변수의 범위로 바꾸어야 한다.
흔한 오해 — 치환에서 적분 구간을 바꾸지 않는 것
가장 흔한 계산 실수이다. \(u=g(x)\)로 바꾸어 놓고 적분 구간을 \(a\)에서 \(b\)로 그대로 두면 다른 값을 계산하게 된다.
\(\int_0^1 2x(1+x^2)\,dx\)를 \(u=1+x^2\)로 치환해 보자. 옳게 하면 \(\int_1^2 u\,du = \frac{4-1}{2} = \frac32\)이다. 구간을 바꾸지 않으면 \(\int_0^1 u\,du = \frac12\)이 되어 틀린다.
직접 전개해 확인하면 \(\int_0^1 (2x+2x^3)\,dx = 1 + \frac12 = \frac32\)이다.
\(g\)가 순단조일 필요가 없다는 점도 짚어 둔다. (22.4)의 증명 어디에도 그런 가정이 없다. 정적분에서는 끝값 두 개만 바꾸면 된다.
부정적분으로 쓰면 이렇다.
여기서는 사정이 다르다. 답을 \(x\)의 식으로 되돌려야 하므로 \(u\)를 \(g(x)\)로 다시 바꾸어야 하고, \(u\)의 식으로 남기려면 \(g\)의 역함수가 필요하다.
계산 예#
\(\int \dfrac{2x}{1+x^2}\,dx\). \(g(x)=1+x^2\)으로 두면 \(g'(x)=2x\)이므로 피적분함수가 \(\frac{1}{g(x)}\cdot g'(x)\) 꼴이다. \(f(u)=1/u\)이고 그 원시함수는 21회 정리 70에 의하여 \(\log u\)이다.
\(1+x^2 \ge 1>0\)이므로 절댓값이 필요하지 않다.
\(\int \tan x\,dx\). 먼저 이름을 정한다. 20회는 \(\sin\)과 \(\cos\)만 정의했고 (T4)에서 \(\frac{\sin x}{\cos x}\)를 그대로 적었다.
정의 50 (탄젠트)
\(\cos x \ne 0\)인 \(x\)에 대하여 \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\)라 한다.
\(g(x)=\cos x\)로 두면 \(g'(x)=-\sin x\)이므로
이다. \(f(u)=1/u\)의 원시함수를 \(u\)가 음수일 수도 있는 곳에서 써야 하는데, 21회 따름정리 12가 그것을 준비해 두었다.
\(\cos x \ne 0\)인 한 구간을 정해 놓고 그 위에서
이다. 확인해 두면 따름정리 12와 정리 54에 의하여 \(\bigl(-\log|\cos x|\bigr)' = -\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x) = \tan x\)이다.
\(\log\) 자체는 양수에서만 정의되지만 \(\log|u|\)는 \(0\)이 아닌 곳에서 정의된다. 21회가 그 따름정리를 세워 둔 이유가 여기에 있다.
구간을 정해 놓아야 하는 이유
(22.6)의 \(+C\)는 한 구간 안에서만 상수 하나이다.
19회 (19.7)의 \(+C\)는 따름정리 9에서 나왔고, 21회 보조정리 13도 마찬가지로 구간 하나를 요구한다. 두 정리 모두 두 점 사이에 평균값 정리를 쓰므로, 그 두 점이 같은 구간에 있어야 한다.
\(\cos\)은 \(\frac{\pi}{2}\)에서 \(0\)이 되므로 \(\tan\)의 정의역이 여러 조각으로 끊긴다. 조각마다 \(C\)가 따로 정해질 수 있다. 21회 따름정리 12 뒤에서 “\(\log|x|\)는 두 반직선에서 각각 정의된 것이며 그 둘을 잇는 점은 없다”고 적은 것이 같은 사정이다.
정적분을 계산할 때도 마찬가지이다. \(\int_0^{\pi} \tan x\,dx\)는 \(\frac{\pi}{2}\)가 구간 안에 있으므로 뜻을 갖지 않는다. \(\tan\)이 거기서 정의되지 않고 유계도 아니기 때문이다.
\(\int \sin^3 x\,dx\). 곱도 합성도 아닌 것 같지만, \(\sin^2 x = 1-\cos^2 x\)로 바꾸면 형태가 드러난다. 20회 정리 65의 1을 쓴 것이다.
\(g(x)=\cos x\)로 두면 \(g'(x)=-\sin x\)이므로 위 식이 \(-\bigl(1-g(x)^2\bigr)g'(x)\)이다. \(f(u)=-(1-u^2)\)의 원시함수는 \(-u+\frac{u^3}{3}\)이므로
이다.
3. 두 기법의 선택#
기법의 출처를 알면 언제 쓸지도 정해진다.
피적분함수의 형태 |
어느 미분 법칙에서 왔는가 |
쓸 기법 |
|---|---|---|
곱 \(fg'\), 한쪽이 미분하면 단순해진다 |
16회 정리 49 |
부분적분 |
합성 \(f(g(x))\), 안쪽의 도함수 \(g'(x)\)가 인수로 있다 |
17회 정리 54 |
치환적분 |
두 기법을 별개의 요령으로 외우면 언제 무엇을 쓸지 판단할 근거가 없다. 각각이 어느 규칙을 뒤집은 것인지 알면, 피적분함수의 모양에서 곧바로 고를 수 있다.
\(\int x\cos x\,dx\)는 곱이고 \(x\)가 미분하면 \(1\)이 되므로 부분적분이다. \(\int \frac{2x}{1+x^2}\,dx\)는 \(\frac1u\)에 \(u=1+x^2\)을 넣은 합성이고 \(g'=2x\)가 인수로 있으므로 치환이다.
둘 다 아닌 경우가 많다
위 표는 어느 것을 먼저 시도할지를 말할 뿐 성공을 보장하지 않는다.
\(\int e^{-x^2}\,dx\)는 곱으로 보아도 합성으로 보아도 풀리지 않는다. 합성이기는 하지만 안쪽 \(-x^2\)의 도함수 \(-2x\)가 인수로 없기 때문이다.
19회 5절의 상자가 적었듯 이 함수의 원시함수는 존재하지만 우리가 이름을 가진 함수들의 유한한 조합으로 적을 수 없다. 두 기법이 못 하는 것이 아니라 애초에 그런 식이 없다.
4. 반복 적용#
부분적분을 두 번 쓰면 원래 적분이 다시 나오는 경우가 있다.
\(I = \int e^x\sin x\,dx\)라 두자.
첫 번째. \(f=\sin x\), \(g'=e^x\)로 두면
두 번째. 남은 적분에 다시 \(f=\cos x\), \(g'=e^x\)로 둔다. \((\cos)' = -\sin\)이므로
합친다. 앞의 식에 넣으면
이고, \(I\)에 대한 방정식이 되었다. 양변에 \(I\)를 더하고 \(2\)로 나누면
이다.
적분을 미지수로 놓고 방정식을 푼 것이다. 두 번째 적용에서 부호가 맞아떨어져 \(I\)가 오른쪽에 나타났기 때문에 가능했다. 두 번 모두 \(g'=e^x\)로 고른 것이 그 이유이다.
\(+C\)가 마지막에 붙는 것에 유의한다. 방정식을 푸는 도중에는 원시함수 하나를 다루었고, 상수는 18회 따름정리 9가 허용하는 자유도이다.
흔한 오해 — 적분을 곱으로 가르는 것
\(\int fg = \int f \int g\)는 거짓이다.
8회 정리 22는 합과 상수배만 준다. 곱에 대한 규칙은 없고, 그래서 이 회차의 두 기법이 필요하다.
\(\int_0^1 x\cdot x\,dx = \frac13\)인데 \(\int_0^1 x\,dx \cdot \int_0^1 x\,dx = \frac12\cdot\frac12 = \frac14\)이다. 두 값이 다르다.
곱의 미분 법칙이 \((fg)'=f'g'\)이 아닌 것과 같은 사정이다. 16회 4절이 그것을 지적했다.
마치며#
이번 회차에서는 두 개의 적분 기법을 얻었다. 부분적분은 곱의 미분 법칙을 거꾸로 읽은 것이고, 치환적분은 연쇄법칙을 거꾸로 읽은 것이다.
두 기법 모두 19회 정리 64를 통해 미분 법칙에서 나왔다. 유도의 뼈대가 같다. 미분 법칙의 양변을 적분하고, 왼쪽에 기본정리를 적용하고, 8회 정리 22로 항을 옮긴다.
가정에 \(f'\)과 \(g'\)의 연속이 들어간 이유도 거기 있다. 정리 64가 피적분함수의 연속을 요구하기 때문이다.
그리고 어느 기법을 언제 쓸지에 대한 기준도 정리하였다. 곱의 형태이면 부분적분을, 합성의 형태이고 안쪽 함수의 도함수가 인수로 있으면 치환을 고려한다.
21회가 세워 둔 것 둘이 여기서 쓰였다. 정리 70가 \(\int \frac{2x}{1+x^2}\)을 주었고, 따름정리 12가 \(\int\tan x\)를 주었다. 뒤에 필요해질 것을 미리 세워 둔 것이 값을 했다.
그러나 두 기법으로 다루지 못하는 형태가 있다.
둘 다 곱이 아니고, 합성이기는 하지만 안쪽 함수의 도함수가 인수로 없다. 이런 함수의 원시함수를 찾으려면 아직 다루지 않은 함수가 필요하다.
둘째 것은 낯익다. 20회 2절이 삼각함수를 정의하는 방법 (나)로 \(\arctan x = \int_0^x \frac{dt}{1+t^2}\)를 적어 두고 쓰지 않았다. 그 적분이 여기서 다시 나왔다.
다음 회차에서는 역삼각함수와 삼각치환을 알아보도록 하자.
이어서
같은 회차의 실험: 22회 실험 · 규칙을 거꾸로 읽는다