8회 · 적분의 성질과 리만 조건#
이 회차
한 문장 |
적분의 기본 성질을 정리하고, 적분 가능성을 판정하는 조건 하나를 얻는다. |
출처 |
L6 |
파트 |
PART I — 무한을 담을 그릇 · 관통 질문: 넓이를 어떻게 정의할 것인가 |
짝 실험 |
앞 회차에서 적분을 정의하였다. 그러나 정의만으로는 계산이 불편하다. \(\int_0^1 (x^2+3x)\,dx\)를 구하려면 상합과 하합을 다시 계산해야 한다.
필요한 것은 두 가지이다. 하나는 적분의 성질이다. 선형성이 성립하면 위의 적분을 두 개로 나누어 이미 아는 값으로 계산할 수 있다. 다른 하나는 적분 가능성의 판정 기준이다. 상적분과 하적분을 각각 구해서 비교하는 대신, 더 다루기 쉬운 조건이 있으면 좋다.
이번 회차에서는 적분의 성질을 진술하고, 리만 조건(Riemann condition)이라 불리는 판정 기준을 얻어 보자.
1. 적분의 성질#
아래 네 성질을 진술한다. 증명은 다음 회차로 미룬다. 성질의 목록을 먼저 확보해 두는 편이 낫기 때문이다. 계단함수에 대해서는 7회 (7.2)와 (7.3)에서 이미 확인하였고, 일반 함수로 넘어가려면 최소상계와 최대하계에 대한 논의가 더 필요하다.
정리 21 (선형성)
\(f\)와 \(g\)가 \([a,b]\)에서 적분 가능하고 \(c_1\), \(c_2\)가 실수이면 \(c_1 f + c_2 g\)도 적분 가능하고
(8.1)이 있으면 적분을 항별로 나눌 수 있다. 7회 (7.8), (7.12), (7.22)와 함께 쓰면 다항식의 적분이 모두 계산된다. 예를 들어
이다.
정리 22 (구간에 대한 가법성)
\(a < b < c\)라 하자. \(f\)가 \([a,c]\)에서 적분 가능할 필요충분조건은 \([a,b]\)와 \([b,c]\)에서 각각 적분 가능한 것이며, 이때
(8.2)가 있으면 구간을 나누어 계산할 수 있다. 구간마다 다른 식으로 주어진 함수를 다룰 때 쓰인다.
정리 23 (비교 정리)
\(f\)와 \(g\)가 \([a,b]\)에서 적분 가능하고 모든 \(x \in [a,b]\)에서 \(f(x) \le g(x)\)이면
(8.3)이 있으면 적분값을 직접 구하지 않고도 크기를 비교할 수 있다.
흔한 오해 — 비교 정리의 부등호 방향
(8.3)은 \(f \le g\)에서 \(\int f \le \int g\)를 얻는다. 부등호의 방향이 유지된다.
방향이 뒤집히는 경우는 적분 구간의 순서를 바꿀 때이다. \(\int_b^a f = -\int_a^b f\)로 정의하면 (8.2)가 구간의 순서와 무관하게 성립하는데, 이 표기를 쓸 때는 (8.3)을 그대로 적용할 수 없다. 이 회차의 모든 진술은 \(a < b\)를 전제한다.
평행이동과 축척. \(\int_a^b f(x)\,dx = \int_{a+c}^{b+c} f(x-c)\,dx\)이고, \(k \ne 0\)에 대하여 \(\int_a^b f(x)\,dx = \frac{1}{k}\int_{ka}^{kb} f(x/k)\,dx\)이다. 두 성질은 6회 A4(합동 불변)에 대응한다.
2. 리만 조건#
적분 가능성을 확인하려면 정의 14에 따라 \(\underline{I}(f)\)와 \(\overline{I}(f)\)를 각각 구해서 비교해야 한다. 두 값은 각각 무한히 많은 계단함수에 대한 최소상계와 최대하계이므로 직접 구하기 어렵다.
다음 정리가 이 문제를 다른 형태로 바꾼다.
정리 24 (리만 조건)
\(f\)가 \([a,b]\)에서 유계라 하자. \(f\)가 \([a,b]\)에서 적분 가능할 필요충분조건은 다음이다.
임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여, \(s \le f \le t\)이고
\[\int_a^b (t-s) < \epsilon\]인 계단함수 \(s\)와 \(t\)가 존재한다.
증명. 충분조건임을 보인다. 위 조건이 성립한다고 하자. \(\epsilon > 0\)을 하나 잡고, 조건이 주는 계단함수 \(s \le f \le t\)를 택한다.
\(s \le f\)이므로 \(\int s \in \underline{A}\)이고, 정의 7의 조건 1에 의하여 \(\int s \le \underline{I}(f)\)이다. 마찬가지로 \(\overline{I}(f) \le \int t\)이다. 정리 20과 합치면
이다. (8.4)의 양 끝을 빼고 계단함수 적분의 선형성 (7.2)를 쓰면
이다. \(d = \overline{I}(f)-\underline{I}(f)\)라 두면 (8.5)는 모든 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(0 \le d < \epsilon\)임을 말한다. \(d > 0\)이라면 \(\epsilon = d\)로 두었을 때 \(d < d\)가 되어 모순이므로 \(d = 0\)이다. 따라서 \(f\)는 적분 가능하다.
필요조건임을 보인다. \(f\)가 적분 가능하다 하고 그 값을 \(I\)라 하자. \(\epsilon > 0\)이 주어졌다.
\(I = \underline{I}(f) = \sup \underline{A}\)이므로, 5회 정리 13의 조건 3을 허용오차 \(\epsilon/2\)에 적용한다. \(\underline{A}\)의 원소 중 \(I - \epsilon/2\)보다 큰 것이 있다. 즉
인 계단함수 \(s \le f\)가 있다.
\(I = \overline{I}(f) = \inf \overline{A}\)에 대해서도 같은 서술이 성립한다. 5회 정리 13에서 부등호의 방향을 모두 뒤집으면 최대하계에 대한 진술이 되며, 그 조건 3은 “임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\inf \overline{A} + \epsilon\)보다 작은 원소가 \(\overline{A}\)에 있다”이다. 따라서
인 계단함수 \(t \ge f\)가 있다.
(7.2)에 의하여 \(\int(t-s) = \int t - \int s\)이다. (8.7)에서 (8.6)을 빼면
이다. 그리고 \(s \le f \le t\)이다. 조건이 성립한다.
정리 24이 바꾸어 놓은 것을 정리하면 다음과 같다.
해야 하는 일 |
최소상계와 최대하계를 각각 구한다 |
계단함수 한 쌍을 찾는다 |
다루는 대상 |
계단함수 전체 |
찾아낸 두 개 |
결과의 형태 |
두 값이 같다 |
두 값의 차가 \(\epsilon\)보다 작다 |
존재를 보이면 된다는 점이 핵심이다. 최선의 계단함수를 찾을 필요가 없다. 주어진 \(\epsilon\)에 대하여 조건을 만족하는 쌍이 하나 있으면 충분하다.
흔한 오해 — \(\epsilon\)과 계단함수의 순서
정리 24의 조건을 양화사로 쓰면 다음과 같다.
\(\epsilon\)이 먼저 주어지고 계단함수를 그다음에 찾는다. 따라서 찾은 \(s\)와 \(t\)는 \(\epsilon\)에 의존해도 된다. 실제로 \(\epsilon\)이 작아지면 더 촘촘한 분할이 필요하다.
순서를 바꾸어 \(\exists\, s, t\; \forall \epsilon > 0\)으로 읽으면 전혀 다른 명제가 된다. 하나의 계단함수 쌍이 모든 \(\epsilon\)에 대하여 성립해야 하므로 \(\int(t-s) = 0\)을 요구하는 셈이다. 2회 (2.5)와 (2.6)에서 본 것과 같은 구분이다.
흔한 오해 — \(s \le f \le t\) 조건을 빠뜨리는 것
두 계단함수의 차이가 작다는 것만으로는 부족하다. \(s\)와 \(t\)가 \(f\)를 위아래에서 가두어야 한다.
가두지 않으면 (8.4)가 성립하지 않는다. \(\int s \le \underline{I}(f)\)는 \(s \le f\)에서 나오고, \(\overline{I}(f) \le \int t\)는 \(f \le t\)에서 나오기 때문이다.
3. 리만 조건의 변형#
실제 판정에서는 \(n\)등분 분할을 쓴 형태가 편리하다.
\(f\)가 \([a,b]\)에서 유계라 하고, \([a,b]\)를 \(n\)등분한 분할을 생각하자. 각 부분구간에서 \(f\)의 최댓값과 최솟값이 존재한다고 가정하면, 그 값을 높이로 하는 계단함수의 적분을 각각 \(U_n\), \(L_n\)이라 쓴다. 7회 6절에서 쓴 것과 같은 표기이다.
정의에 의하여 \(L_n\)은 \(f\) 이하인 어떤 계단함수의 적분이고 \(U_n\)은 \(f\) 이상인 어떤 계단함수의 적분이다. 따라서 정리 24의 조건을 다음 형태로 확인할 수 있다.
임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(U_n - L_n < \epsilon\)인 자연수 \(n\)이 존재하면 \(f\)는 적분 가능하다.
7회 6절의 \(f(x)=x^2\)이 이 형태의 예이다. (7.17)에서 \(U_n - L_n = b^3/n\)이었고, 5회 따름정리 1에 의하여 이 값을 임의의 \(\epsilon\)보다 작게 만드는 \(n\)이 존재한다.
구체적인 값으로 확인하면, \(b=1\)일 때 \(U_n - L_n = 1/n\)이므로 \(n = 100\)에서 \(U_n - L_n = 0.01\)이다. \(\epsilon = 0.02\)가 주어지면 \(n = 100\)으로 충분하다.
이 형태는 충분조건만 준다는 점에 유의한다. \(n\)등분으로 차이를 작게 만들지 못하는 적분 가능 함수가 있을 수 있으므로, 이 조건이 성립하지 않는다고 해서 적분 불가능이라고 말할 수 없다. 판정에 실패하면 정리 24의 원래 형태로 돌아가 일반적인 계단함수를 찾아야 한다.
4. 적분 가능한 함수의 성질#
정리 25 (절댓값의 적분)
\(f\)가 \([a,b]\)에서 적분 가능하면 \(|f|\)도 적분 가능하고
증명. \(|f|\)가 적분 가능하다. \(\epsilon > 0\)이 주어졌다. 정리 24에 의하여 \(s \le f \le t\)이고 \(\int(t-s) < \epsilon\)인 계단함수가 있다.
이 \(s\)와 \(t\)의 공통 세분을 잡고, 각 부분구간에서 \(|f|\)의 상계와 하계를 만든다. 어떤 부분구간에서 \(f\)의 값이 \([\,s_k,\, t_k\,]\) 안에 있으면, 5회 따름정리 2에 의하여 그 구간에서 \(|f|\)의 값들이 서로 \(t_k - s_k\)보다 더 떨어질 수 없다. 따라서 그 구간에서 \(|f|\)를 위아래로 가두면서 높이의 차가 \(t_k - s_k\) 이하인 계단함수를 만들 수 있다.
이렇게 만든 계단함수 쌍 \(s'\), \(t'\)은 \(s' \le |f| \le t'\)을 만족하고
이다. 정리 24에 의하여 \(|f|\)는 적분 가능하다.
부등식을 보인다. 4회 정리 12에 의하여 모든 \(x\)에서
이다. 세 함수가 모두 적분 가능하므로 정리 23를 두 번 적용하면
이다. 여기서 왼쪽 부등식에는 정리 21를 \(c_1 = -1\)로 적용하였다. 다시 4회 정리 12를 반대 방향으로 적용하면 (8.8)을 얻는다.
곱. \(f\)와 \(g\)가 \([a,b]\)에서 적분 가능하면 \(fg\)도 적분 가능하다. 이 사실은 진술만 하고 증명하지 않는다. 증명의 구조는 정리 25와 같으며, 각 부분구간에서 곱의 진동을 \(f\)와 \(g\)의 진동으로 억제하는 계산이 추가된다.
마치며#
이번 회차에서는 적분의 성질을 진술하고 리만 조건을 얻었다. 리만 조건은 적분 가능성을 판정하는 기준이며, 상적분과 하적분을 각각 계산하는 대신 함수를 위아래에서 가두는 계단함수 쌍을 하나 찾으면 된다는 형태이다.
성질의 증명은 미루어 두었다. 선형성과 가법성은 계단함수에 대해서는 곧바로 확인되지만, 일반 함수로 넘어가려면 최소상계와 최대하계에 대한 논의가 필요하다.
다음 회차에서는 미루어 둔 증명을 진행하도록 하자.
이어서
같은 회차의 실험: 8회 실험 · 리만 조건