14회 · 중간값 정리#
이 회차
한 문장 |
연속함수는 두 끝점의 값 사이에 있는 모든 값을 실제로 취한다. |
출처 |
L11 |
파트 |
PART I — 무한을 담을 그릇 · 관통 질문: 넓이를 어떻게 정의할 것인가 |
짝 실험 |
12회 마치며에서 아직 연속함수의 정리다운 정리는 하나도 증명하지 않았다고 적었다. 지금까지 한 일은 연속함수를 조립하는 규칙을 모은 것이었다. 이번 회차에서 그 첫 번째 정리를 증명한다. 중간값 정리(intermediate value theorem)이다.
서술은 다음과 같다. \(f\)가 닫힌구간 \([a,b]\)에서 연속이고 \(f(a)\)와 \(f(b)\)의 부호가 다르면, \(f(c)=0\)인 \(c\)가 \((a,b)\) 안에 존재한다.
이 정리에는 조건이 여럿 붙어 있다. 정의역이 구간이어야 하고, 두 끝점이 정의역에 들어 있어야 하며, 함수가 연속이어야 한다. 그리고 증명이 완비성 공리를 쓴다. 어느 하나라도 빠지면 결론이 성립하지 않는다. 증명을 본 뒤 각 조건이 증명의 어느 지점에서 쓰이는지 확인해 보자.
1. 정리의 서술#
12회까지 연속에 대해 얻은 것은 전부 한 점 근처에 관한 진술이었다. 사칙연산도 부호 보존도 어떤 점 \(p\)의 근방에서 성립하는 사실이며, 그 근방이 얼마나 작아야 하는지는 점마다 다를 수 있었다.
닫힌구간 전체에 관한 진술은 아직 하나도 없다. 이번 회차의 정리가 그 첫 번째이다. 가정은 두 끝점에서의 함숫값뿐인데 결론은 구간 안 어딘가에 점이 있다는 것이므로, 한 점씩 확인해서는 얻을 수 없는 형태이다.
먼저 특수한 형태를 세운다. 함숫값이 \(0\)이 되는 경우이다.
정리 39 (영점 정리)
\(f\)가 닫힌구간 \([a,b]\)에서 연속이고 \(f(a) < 0 < f(b)\)라 하자. 그러면 \(f(c) = 0\)인 \(c\)가 \((a,b)\) 안에 존재한다.
가정 “\([a,b]\)에서 연속”은 11회 정의 22의 뜻이다. 내부의 모든 점에서 연속이고, \(a\)에서 우연속이며, \(b\)에서 좌연속이라는 뜻이다. 끝점에서는 양쪽 근방을 요구하지 않는다. 이 구분이 증명에서 실제로 쓰인다.
증명은 2절에서 한다. 8회에서 적분의 성질을 진술만 하고 증명을 9회로 미룬 것과 같은 형태이다.
부호가 반대인 경우, 즉 \(f(a) > 0 > f(b)\)인 경우는 따로 다루지 않아도 된다. \(-f\)에 적용하면 되기 때문이다. \(-f\)가 \([a,b]\)에서 연속이라는 것은 값이 항상 \(0\)인 상수함수와 \(f\)의 차이므로 아래 보조정리에서 나온다.
차의 연속성#
일반적인 값 \(k\)로 넘어가려면 \(f - k\)가 연속임을 말해야 한다. 그런데 12회 정리 36는 한 점에서의 양쪽 연속에 대한 진술이다. 끝점에서는 한쪽 극한만 있으므로 그대로 인용할 수 없다.
그래서 끝점까지 덮는 형태로 다시 적는다.
보조정리 6 (차의 연속성은 끝점에서도 성립한다)
\(f\)와 \(g\)가 \([a,b]\)에서 연속이면 \(f-g\)도 \([a,b]\)에서 연속이다.
증명. \((a,b)\)의 점 \(p\)에서는 12회 정리 36가 그대로 결론을 준다.
끝점 \(a\)에서 보인다. \(\epsilon > 0\)이 주어졌다.
\(f\)가 \(a\)에서 우연속이므로 11회 (11.12)를 허용 오차 \(\epsilon/2\)에 적용하면 어떤 \(\delta_1 > 0\)이 있어서 \(a < x < a+\delta_1\)에서 \(|f(x)-f(a)| < \epsilon/2\)이다. \(g\)에 대해서도 같은 방식으로 \(\delta_2 > 0\)을 얻는다.
\(\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}\)라 두면 \(\delta > 0\)이고, \(a < x < a+\delta\)인 \(x\)에서 두 부등식이 함께 성립한다. 5회 정리 18에 의하여
이다. 따라서 \(f-g\)는 \(a\)에서 우연속이다. \(b\)에서는 (11.13)을 같은 방식으로 쓴다.
오차를 반씩 나누는 이 형태는 5회 4절이 예고하고 12회 (12.2)가 쓴 것과 같다. 바뀐 것은 범위가 양쪽에서 한쪽으로 좁아진 것뿐이다.
일반형#
정리 40 (중간값 정리)
\(f\)가 닫힌구간 \([a,b]\)에서 연속이고 \(k\)가 \(f(a) < k < f(b)\)를 만족하는 수라 하자. 그러면 \(f(c) = k\)인 \(c\)가 \((a,b)\) 안에 존재한다. \(f(b) < k < f(a)\)인 경우도 같다.
증명. 값이 항상 \(k\)인 상수함수는 12회 정의 26에서 \(n = 0\)인 다항함수이므로 정리 38에 의하여 모든 점에서 연속이고, 따라서 \([a,b]\)에서 연속이다. 보조정리 6에 의하여
도 \([a,b]\)에서 연속이다.
\(f(a) < k < f(b)\)의 각 변에 \(-k\)를 더한다. 3회 정리 6의 첫 번째 항목에 의하여 부등호의 방향이 유지되므로
이다.
정리 39를 \(g\)에 적용하면 \(g(c) = 0\)인 \(c\)가 \((a,b)\)에 있고, (14.1)에 의하여 이는 \(f(c) = k\)를 뜻한다.
부등호가 반대인 경우에는 \(k - f\)에 같은 논증을 쓴다.
이 환원 논증은 정리 39의 증명을 쓰지 않고 진술만 쓴다. 그러므로 증명이 2절에 있어도 순환이 생기지 않는다.
지금까지 함숫값에 대해 말할 수 있었던 것은 한 점 또는 한 근방에 관한 것이었다. 이제 두 끝점의 값만 알면 그 사이의 모든 값이 실제로 취해진다고 말할 수 있다.
구체적인 값으로 보면, \(f(x) = x^3 - x - 1\)에서 \(f(1) = -1\)이고 \(f(2) = 5\)이다. 이 함수는 12회 정리 38에 의하여 연속이므로, \(-1\)과 \(5\) 사이의 모든 수가 \((1,2)\) 안 어딘가에서 함숫값으로 나타난다. \(0\)도 그중 하나이고 \(3.14\)도 그중 하나이다.
2. 증명#
증명의 재료 두 가지가 이미 다 있다. 5회의 완비성 공리와 12회의 부호 보존이다. 이 절은 그 둘을 잇는다.
아이디어를 먼저 말해 둔다. \(f\)가 \(0\) 이하인 점들을 모두 모으면 그 집합에는 오른쪽 끝이 있다. 그 끝점에서 함숫값이 양수라면 왼쪽으로 조금 물러난 곳이 이미 상계가 되어 끝점이 최소상계라는 데 어긋나고, 음수라면 오른쪽으로 조금 나간 점이 아직 집합에 들어가 끝점이 상계라는 데 어긋난다. 두 가지가 모두 막히면 남는 것은 \(0\)뿐이다.
증명. 집합을 만든다.
라 둔다.
\(f(a) < 0\)이므로 \(a \in S\)이고, 따라서 \(S\)는 공집합이 아니다. 그리고 \(S\)의 모든 원소가 \([a,b]\)에 속하므로 \(x \le b\)이고, 5회 정의 7의 뜻에서 \(b\)는 \(S\)의 상계이다.
\(S\)가 공집합이 아니고 위로 유계이므로 5회 공리 1에 의하여 최소상계가 존재한다. 그 값을 \(c = \sup S\)라 하자.
\(c\)가 정의역 안에 있다.
이다. 왼쪽은 \(a \in S\)이고 \(c\)가 상계이므로 정의 7의 조건 1에서 나오고, 오른쪽은 \(b\)가 상계이고 \(c\)가 최소상계이므로 조건 2에서 나온다.
(14.4)에 의하여 \(c \in [a,b]\)이므로 \(f(c)\)가 정의된다. 끝점이 정의역에 들어 있다는 조건이 여기서 쓰인다.
3회 O2(삼분법)에 의하여 \(f(c) > 0\), \(f(c) < 0\), \(f(c) = 0\) 중 정확히 하나가 성립한다. 앞의 두 경우를 배제한다. 5회 정리 15도 삼분법을 같은 방식으로 썼다.
경우 1 — \(f(c) > 0\)이라 하자.
\(f(a) < 0\)이므로 \(f(c) \ne f(a)\)이고 따라서 \(c \ne a\)이다. (14.4)와 함께 보면 \(a < c\)이다.
\(c\)에서 \(f\)는 좌연속이다. \(c\)가 \((a,b)\)의 점이면 11회에서 확인한 대로 양쪽 연속에서 좌연속이 따라 나오고, \(c = b\)이면 11회 정의 22이 좌연속을 직접 준다. \(c = b\)일 가능성을 아직 배제하지 않았으므로 이 구분이 필요하다.
\(f(c) \ne 0\)이므로 12회 따름정리 8의 좌연속 형태를 적용할 수 있다. 어떤 \(\delta > 0\)이 있어서 \(c - \delta < x \le c\)인 모든 \(x\)에서 \(f(x)\)와 \(f(c)\)의 부호가 같고 \(|f(x)| > |f(c)|/2\)이다.
\(\delta' = \min\{\delta,\ c-a\}\)라 두면 두 양수의 최솟값이므로 \(\delta' > 0\)이고 \(c - \delta' \ge a\)이다. 그러면 \(c-\delta' < x \le c\)인 모든 \(x\)가 \([a,b]\) 안에 있고, 거기서
이다.
(14.5)에 의하여 그 범위의 어떤 점도 (14.3)의 조건 \(f(x) \le 0\)을 만족하지 않는다. 따라서 \(S\)의 모든 원소는 \(x \le c - \delta'\)이고, \(c - \delta'\)이 \(S\)의 상계이다.
그런데 \(\delta' > 0\)이므로 \(c - \delta' < c\)이다. \(c\)보다 작은 상계가 있으므로 정의 7의 조건 2에 어긋난다. 모순이다.
경우 2 — \(f(c) < 0\)이라 하자.
\(f(b) > 0\)이므로 \(c \ne b\)이고, (14.4)와 함께 보면 \(c < b\)이다.
\(c\)에서 \(f\)는 우연속이다. \(c\)가 \((a,b)\)의 점이면 양쪽 연속에서 나오고, \(c = a\)이면 정의 22이 우연속을 직접 준다. \(c = a\)일 가능성을 아직 배제하지 않았다.
따름정리 8의 우연속 형태를 적용하면 어떤 \(\delta > 0\)이 있어서 \(c \le x < c+\delta\)에서 \(f(x)\)와 \(f(c)\)의 부호가 같다. \(\delta' = \min\{\delta,\ b-c\}\)라 두면 \(\delta' > 0\)이고
이다.
이제 \(c < y < c + \delta'\)인 \(y\)를 하나 고른다. 그런 \(y\)가 있다는 것은 10회 보조정리 4가 준다. 두 실수 사이에는 언제나 다른 실수가 있기 때문이다.
\(y > c \ge a\)이고 \(y < c+\delta' \le b\)이므로 3회 정리 6의 네 번째 항목에 의하여 \(y \in [a,b]\)이다. 그리고 (14.6)에 의하여 \(f(y) < 0\)이므로 (14.3)에 의하여 \(y \in S\)이다.
그런데 \(y > c\)이다. \(c\)가 \(S\)의 상계라는 데 어긋난다. 모순이다.
경우 3. 두 경우가 모두 모순이므로 삼분법에 의하여 \(f(c) = 0\)이다.
마지막으로 \(c\)의 위치를 확인한다. \(f(a) < 0\)이고 \(f(b) > 0\)인데 \(f(c) = 0\)이므로 \(c \ne a\)이고 \(c \ne b\)이다. (14.4)와 합치면 \(a < c < b\)이므로 \(c \in (a,b)\)이다.
증명에서 중점 \(\bigl(c + (c+\delta')\bigr)/2\)를 쓰지 않고 보조정리 4를 인용한 이유가 있다. 중점을 쓰려면 \(2 > 0\)과 \(2\)로 나누는 부등식 조작이 필요한데, 그 근거를 따로 세워야 한다. 보조정리 4는 이미 확보되어 있고 여기서 필요한 것은 두 실수 사이에 점이 있다는 사실뿐이다.
구체적인 값으로 따라가 보기#
\(f(x) = x^3 - x - 1\)을 \([1,2]\)에서 본다. \(f(1) = -1 < 0\)이고 \(f(2) = 5 > 0\)이다.
(14.3)의 집합은 \(S = \{x \in [1,2] : x^3 - x - 1 \le 0\}\)이다. \(1.3\)이 여기에 속하는지 보면 \(f(1.3) = 2.197 - 1.3 - 1 = -0.103 < 0\)이므로 속한다. \(1.4\)는 어떤가. \(f(1.4) = 2.744 - 1.4 - 1 = 0.344 > 0\)이므로 속하지 않는다.
따라서 \(1.3 \le c \le 1.4\)이다. 그런데 이 두 계산이 한 일은 \(c\)의 위치를 좁힌 것뿐이다. \(c\)가 존재한다는 것을 준 것은 완비성 공리이지 함숫값 계산이 아니다.
흔한 오해 — 근이 하나뿐이라고 생각하는 것
정리 39는 \(f(c) = 0\)인 \(c\)가 존재한다고만 말한다. 몇 개인지는 말하지 않는다.
\(f(x) = x^3 - 4x\)를 \([-3,3]\)에서 보자. 12회 정리 38에 의하여 연속이고 \(f(-3) = -27+12 = -15 < 0\)이며 \(f(3) = 27-12 = 15 > 0\)이다. 그런데 \(x^3-4x = x(x-2)(x+2)\)이므로 \(0\)을 취하는 점이 \(-2\), \(0\), \(2\)로 셋이다.
정리의 결론은 “존재한다”이지 “하나 있다”가 아니다.
흔한 오해 — 역이 성립한다고 생각하는 것
중간값 정리는 연속에서 중간값 성질로 간다. 반대 방향은 성립하지 않는다. 두 끝점 사이의 모든 값을 취하면서도 연속이 아닌 함수가 있다.
그런 함수를 여기서 만들지는 않는다. 예를 세우려면 이 회차에 없는 도구가 필요하다. 지금 확인해 둘 것은 두 성질이 같은 것이 아니라는 사실뿐이다.
흔한 오해 — 증명이 근을 찾아 준다고 생각하는 것
증명은 \(c\)를 \(\sup S\)로 정의했을 뿐이고, 그 값이 얼마인지 계산하는 방법은 어디에도 나오지 않는다. 공리 1가 최소상계의 존재를 보장할 뿐 그 값을 주지 않기 때문이다.
위에서 얻은 \(1.3 \le c \le 1.4\)는 정리가 준 것이 아니라 함숫값을 두 번 계산해서 얻은 것이다. 이런 계산을 반복하면 범위를 좁힐 수 있지만, 그것은 정리와 별개의 작업이다.
3. 조건의 필요성#
증명이 쓴 것을 세어 보면 넷이다. 완비성 공리, 정의역이 구간이라는 사실, 끝점이 정의역에 들어 있다는 사실, 그리고 연속이다.
각각을 빼면 증명의 어느 단계가 무너지는지 확인한다. 반례마다 무너지는 자리를 지목한다.
연속이 아니면#
\([-1,1]\)에서 다음 함수를 본다.
\(f(-1) = -1 < 0 < 1 = f(1)\)이다. 그런데 이 함수의 값은 \(-1\)과 \(1\)뿐이므로 \(0\)을 취하지 않는다.
증명을 따라가면 어디서 막히는지 보인다. (14.3)의 집합은 \(S = [-1, 0)\)이고 최소상계는 \(c = 0\)이며, \(f(0) = 1 > 0\)이므로 경우 1로 들어간다. 그런데 그 경우의 핵심 단계인 따름정리 8를 \(c=0\)에 적용할 수 없다. \(f\)가 \(0\)에서 좌연속이 아니기 때문이다. 실제로 \(0\)보다 조금 작은 \(x\)에서 \(f(x) = -1 < 0\)이므로, 좌쪽 근방에서 부호가 보존된다는 결론 자체가 거짓이다.
무너지는 자리는 부호 보존을 적용하는 단계이다.
완비성이 없으면#
정의역을 \(\Q \cap [1,2]\)로 두고 \(f(x) = x^2 - 2\)를 본다. \(f(1) = -1 < 0\)이고 \(f(2) = 2 > 0\)이며, 이 함수는 유리수 위에서도 \(\epsilon\)과 \(\delta\)의 조건을 만족한다.
그런데 3회 정리 8에 의하여 \(f(c) = 0\)인 유리수 \(c\)는 없다.
증명을 따라가면 (14.3)의 \(S = \{x \in \Q\cap[1,2] : x^2 \le 2\}\)는 공집합이 아니고 위로 유계이다. 그런데 5회 정리 16에 의하여 \(\Q\) 안에 이 집합의 최소상계가 없다. 무너지는 자리는 \(c = \sup S\)를 잡는 단계이다.
이 반례가 말하는 것이 중요하다. 중간값 정리는 연속성만의 정리가 아니라 실수의 완비성에 관한 정리이다. 같은 함수, 같은 부등식, 같은 연속성을 가지고도 수 체계가 다르면 결론이 달라진다.
정의역이 구간이 아니면#
\(D = [-2,-1] \cup [1,2]\)에서 \(f(x) = x\)를 본다. 12회 정리 38에 의하여 연속이고 \(f(-2) = -2 < 0 < 2 = f(2)\)이다. 그런데 \(D\) 안에 \(0\)이 없으므로 \(f\)는 \(D\)에서 \(0\)을 취하지 않는다.
증명을 따라가면 \(S = [-2,-1]\)이고 \(c = \sup S = -1\)이며 \(f(c) = -1 < 0\)이므로 경우 2로 들어간다. 그 경우는 \(c < y < c+\delta'\)인 \(y\)를 골라 \(y \in S\)임을 보이는데, 여기서 그런 \(y\)가 정의역 안에 없다. \(-1\)과 \(1\) 사이에는 \(D\)의 점이 하나도 없기 때문이다.
무너지는 자리는 고른 \(y\)가 정의역에 든다고 말하는 단계이다.
닫혀 있다는 조건은 다르다#
위 셋과 달리 닫혀 있다는 조건만 빼서는 반례가 나오지 않는다.
정의역이 \((0,1]\)처럼 한쪽이 열려 있어도, 가정 “\(f(u)\)와 \(f(v)\)의 부호가 다르다”가 이미 두 점 \(u\), \(v\)가 정의역 안에 있기를 요구한다. 그러면 \([u,v]\)가 정의역에 포함되므로 그 부분구간에 정리를 그대로 적용할 수 있다.
닫힘이 하는 일은 결론을 만드는 것이 아니라 가정을 진술할 수 있게 하는 것이다. 증명 안에서는 \(f(c)\)가 정의된다고 말하는 단계에서 쓰인다. 6회에서 닫힌구간이 양 끝점을 포함하고 열린구간은 포함하지 않으며 그 차이가 뒤에서 정리의 성립 여부를 가른다고 적었는데, 그 자리가 여기이다.
4. 응용#
정리가 존재만 말한다면 무엇에 쓰는가. 존재만으로 답이 되는 질문이 실제로 있다. 첫 번째가 3회에서 던진 질문이다.
제곱해서 2가 되는 수#
예제 8 (제곱해서 2가 되는 수의 존재)
\(f(x) = x^2 - 2\)는 12회 정리 38에 의하여 모든 점에서 연속이므로 \([1,2]\)에서 연속이다. \(f(1) = -1 < 0\)이고 \(f(2) = 2 > 0\)이므로 정리 39에 의하여 \(f(c) = 0\)인 \(c\)가 \((1,2)\) 안에 있다. 곧 \(c^2 = 2\)이다.
3회 정리 8에서 제곱해서 \(2\)가 되는 유리수는 없다고 하였다. 5회 2절에서는 그 수를 최소상계로 얻고 “\(b^2 = 2\)임을 보일 수 있다”고 적은 뒤 논증을 생략했다. 예제 8가 그 자리를 채운다.
구체적인 값으로 위치를 좁혀 본다. \(f(1.4) = 1.96 - 2 = -0.04 < 0\)이고 \(f(1.5) = 2.25 - 2 = 0.25 > 0\)이므로, 같은 정리를 \([1.4, 1.5]\)에 다시 적용하면 \(c \in (1.4, 1.5)\)이다. 정리를 두 번 쓴 것이지 정리가 자리를 알려준 것이 아니다.
홀수차 다항함수#
최고차항의 계수가 \(1\)인 홀수차 다항함수
를 본다. 여기서 \(n\)은 홀수이다.
준비가 세 가지 필요하다.
첫째, \(|x| \ge 1\)이면 \(0 \le k \le n-1\)에 대하여 \(|x|^k \le |x|^{n-1}\)이다. \(|x| \ge 1\)의 양변에 \(|x|^k > 0\)을 곱하면 3회 정리 6의 두 번째 항목에 의하여 \(|x|^{k+1} \ge |x|^k\)이고, 이것을 반복하면 된다. 반복의 근거는 4회 정리 9이다.
둘째, 항이 여럿인 삼각부등식이 성립한다. 5회 정리 18을 항의 개수에 대한 귀납법으로 늘린 것이다. 그리고 각 항의 절댓값은 4회 따름정리 2에 의하여 \(|c_k x^k| = |c_k|\,|x|^k\)이다.
셋째, \(n\)이 홀수이면 \((-R)^n = -R^n\)이다. 3회 정리 4을 귀납적으로 쓴 것이며, 부호가 \(n\)번 곱해지는데 \(n\)이 홀수이므로 음수가 남는다.
이제 반지름을 정한다.
\(|x| \ge R\)이라 하자. (14.8)에서 각 \(|c_k| \ge 0\)이므로 \(R \ge 1\)이고 따라서 \(|x| \ge 1\)이다. 또 \(|x| \ge R > R - 1 = \sum_k |c_k|\)이다. 위의 세 준비를 합치면
이다.
(14.9)는 \(|x| \ge R\)에서 나머지 항 전체가 최고차항보다 작다는 뜻이다. 따라서 \(x = R\)에서는 \(P(R) > 0\)이고, \(x = -R\)에서는 최고차항이 \(-R^n\)으로 음수이므로 \(P(-R) < 0\)이다.
정리 41 (홀수차 다항함수는 실근을 갖는다)
\(n\)이 홀수이고 \(P(x) = x^n + c_{n-1}x^{n-1} + \cdots + c_0\)이면 \(P(c) = 0\)인 실수 \(c\)가 존재한다.
증명. (14.8)의 \(R\)을 잡는다. 위에서 \(P(-R) < 0 < P(R)\)을 확인하였다.
\(P\)는 12회 정리 38에 의하여 모든 점에서 연속이므로 \([-R, R]\)에서 연속이다. 정리 39를 적용하면 \(P(c) = 0\)인 \(c\)가 \((-R, R)\) 안에 있다.
구체적인 값으로 확인한다. \(P(x) = x^3 - x - 1\)이면 \(c_2 = 0\), \(c_1 = -1\), \(c_0 = -1\)이므로 (14.8)에서 \(R = 1 + 1 + 1 + 0 = 3\)이다. 실제로 \(P(3) = 27 - 3 - 1 = 23 > 0\)이고 \(P(-3) = -27 + 3 - 1 = -25 < 0\)이므로 \((-3, 3)\) 안에 근이 있다.
함숫값을 두 번 더 계산하면 범위가 줄어든다. \(P(1) = -1 < 0\)이고 \(P(2) = 5 > 0\)이므로 \((1,2)\)로 좁혀진다. \(R\)이 주는 것은 넉넉한 범위이지 좁은 범위가 아니다.
고정점#
정리 42 (고정점의 존재)
\(f\)가 \([0,1]\)에서 연속이고 모든 \(x \in [0,1]\)에서 \(0 \le f(x) \le 1\)이면, \(f(c) = c\)인 \(c\)가 \([0,1]\) 안에 존재한다.
증명. 먼저 두 경우를 뺀다. \(f(0) = 0\)이면 \(c = 0\)이 결론을 만족하고, \(f(1) = 1\)이면 \(c = 1\)이 만족한다.
그렇지 않다고 하자. 가정에서 \(f(0) \ge 0\)이므로 \(f(0) \ne 0\)과 합치면 \(f(0) > 0\)이고, \(f(1) \le 1\)이므로 \(f(1) \ne 1\)과 합치면 \(f(1) < 1\)이다.
항등함수 \(x \mapsto x\)는 12회 정의 26의 다항함수이므로 정리 38에 의하여 연속이다. 보조정리 6에 의하여
도 \([0,1]\)에서 연속이다.
(14.10)에 두 끝점을 넣으면 \(g(0) = f(0) - 0 = f(0) > 0\)이고 \(g(1) = f(1) - 1 < 0\)이다. 부호가 반대이므로 1절에서 확인한 형태의 정리 39를 적용하면 \(g(c) = 0\)인 \(c\)가 \((0,1)\) 안에 있고, 이는 \(f(c) = c\)를 뜻한다.
앞에서 뺀 두 경우까지 합치면 어느 경우든 \(c \in [0,1]\)이다.
결론을 \((0,1)\)이 아니라 \([0,1]\)로 적은 이유가 있다. \(f(0) = 0\)인 경우에는 고정점이 끝점에 있고 내부에는 없을 수 있기 때문이다. 값이 항상 \(0\)인 상수함수가 그 예이다. 이 함수는 가정을 만족하고 고정점은 \(0\) 하나뿐이다.
마치며#
이번 회차에서는 중간값 정리를 증명하였다. 증명의 재료는 두 가지였다. 5회의 완비성 공리로 최소상계를 확보하고, 12회의 부호 보존 성질로 그 점에서 함숫값이 \(0\)이 아닌 경우를 배제하였다.
또한 각 조건이 필요함을 반례로 확인하였다. 정의역이 유리수뿐이면 최소상계를 확보하는 단계가 무너지고, 정의역이 끊어져 있으면 오른쪽 점을 고르는 단계가 무너지며, 함수가 연속이 아니면 부호 보존을 적용할 수 없다. 닫혀 있다는 조건은 성격이 달라서, 결론을 만드는 것이 아니라 가정을 진술할 수 있게 한다.
응용에서 3회의 빚을 갚았다. 제곱해서 \(2\)가 되는 실수가 존재한다는 것을 이제 증명으로 말할 수 있다. 그리고 홀수차 다항함수가 실근을 갖는다는 것과 고정점의 존재를 얻었다. 세 응용 모두 값을 계산하지 않고 존재만으로 답이 되는 질문이다.
그러나 아직 10회에서 남긴 문제로 돌아가지 못했다. 중간값 정리는 함숫값이 특정 값을 취한다는 진술이며, 함숫값의 진동을 통제하는 진술이 아니다. 필요한 것은 후자이다.
다음 회차에서는 최대최소 정리와 균등연속을 알아보도록 하자.
이어서
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