18회 · 평균값 정리#
이 회차
한 문장 |
평균값 정리는 한 점에서의 도함수 정보를 구간 전체로 옮기는 도구이다. |
출처 |
L17 |
파트 |
PART II — 두 번째 무한 · 관통 질문: 자르기(미분)와 쌓기(적분)는 무슨 관계인가 |
짝 실험 |
17회 마치며가 남긴 물음으로 시작한다. 지금까지 얻은 것은 모두 한 점에 관한 진술이다.
정의 30가 한 점 \(p\)에서의 극한이었고, 16회의 미분 공식도 17회의 연쇄법칙도 모두 한 점에서의 등식이었다. \(f'(p) = 3\)이라는 정보는 \(p\) 하나에 대한 것이다.
그런데 우리가 알고 싶은 것은 대개 구간 전체에 관한 것이다.
도함수가 모든 점에서 양수이면 함수가 증가하는가.
도함수가 모든 점에서 \(0\)이면 함수는 상수인가.
두 물음 모두 점마다의 정보를 모아 구간 전체의 결론을 얻는 형태이다. 그리고 지금 가진 도구로는 답할 수 없다. 도함수는 \(p\) 근처만 알려 주고, \(p\) 근처의 정보를 아무리 많이 모아도 그것을 잇는 규칙이 없다.
평균값 정리(mean value theorem)가 그 규칙이다. 서술은 이렇다. \(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이고 \((a,b)\)에서 미분 가능하면, \(f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)인 \(c\)가 \((a,b)\) 안에 있다.
왼쪽은 한 점에서의 도함수값이고 오른쪽은 두 끝점만으로 계산되는 값이다. 등호가 그 둘을 잇는다.
재료는 15회에서 가져온다. 최대최소 정리가 PART II 에서 처음 쓰이는 자리이다.
1. 내부 극값에서의 도함수#
증명의 출발점은 관찰 하나이다. 함수가 봉우리의 꼭대기에서 잠시 평평하다.
이 말을 정확히 하려면 “봉우리의 꼭대기”를 정의해야 한다. 15회 정의 27이 최댓값과 최솟값을 정의했지만 그것은 집합 전체에서 가장 큰 값이었다. 봉우리는 그 근처에서만 가장 높으면 된다.
정의 37 (극댓값과 극솟값)
\(f\)가 집합 \(S\)에서 정의되어 있고 \(p \in S\)라 하자.
어떤 \(\delta>0\)이 있어서 \(N(p;\delta) \cap S\)의 모든 \(x\)에 대하여
이면 \(f\)가 \(p\)에서 극댓값(local maximum)을 갖는다고 한다. 부등호를 뒤집어 \(f(x) \ge f(p)\)이면 극솟값(local minimum)을 갖는다고 한다. 둘 중 하나이면 \(p\)에서 극값(local extremum)을 갖는다고 한다.
11회 정의 19의 근방을 쓴 것이 요점이다. \(\delta\)가 얼마인지는 결론에 남지 않는다. 그런 \(\delta\)가 있다는 것만이 조건이다.
정의 27과의 관계는 한쪽으로만 간다. \(S\) 전체의 최댓값이면 어느 \(\delta\)를 잡아도 (18.1)이 성립하므로 극댓값이다. 거꾸로는 아니다.
\([-2,2]\)에서 \(f(x) = x^3-3x\)를 보자. 5절에서 확인하겠지만 이 함수는 \(x=-1\)에서 봉우리를 이루어 \(f(-1)=2\)가 극댓값이다. 그런데 \(f(2)=2\)이고 그 왼쪽의 \(x\)들에서는 \(f\)가 더 작으므로, 최댓값은 \(2\)이되 \(x=-1\)만이 그것을 주는 점은 아니다. 봉우리를 하나 더 낮추어 \([-2,3]\)에서 같은 함수를 보면 \(f(3)=18\)이 최댓값이 되고 \(x=-1\)의 봉우리는 극댓값이지만 최댓값이 아니다.
극값은 근처만 보고 최댓값은 전체를 본다.
또 하나 필요한 말이 있다.
정의 38 (내부점)
\(p \in S\)이고 어떤 \(\delta > 0\)에 대하여 \(N(p;\delta) \subset S\)이면 \(p\)를 \(S\)의 내부점(interior point)이라 한다.
\([a,b]\)의 내부점은 정확히 \((a,b)\)의 점이다. 끝점 \(a\)는 내부점이 아니다. 어떤 \(\delta\)를 잡아도 \(N(a;\delta)\)에 \(a\)보다 작은 점이 들어 있고 그 점은 \([a,b]\) 밖이기 때문이다.
보조정리 11 (내부 극값에서 도함수는 0이다)
\(f\)가 집합 \(S\)에서 정의되어 있고 \(p\)가 \(S\)의 내부점이라 하자. \(f\)가 \(p\)에서 극값을 갖고 \(p\)에서 미분 가능하면 \(f'(p) = 0\)이다.
증명. 극댓값인 경우를 보인다. 극솟값이면 마지막에 처리한다.
\(p\)가 내부점이므로 \(N(p;\delta_0) \subset S\)인 \(\delta_0>0\)이 있고, 정의 37에서 \(N(p;\delta_1) \cap S\)에서 (18.1)이 성립하는 \(\delta_1>0\)이 있다. \(\delta_2 = \min\{\delta_0,\delta_1\}\)로 두면 \(|x-p|<\delta_2\)인 모든 \(x\)가 \(S\)에 있고 \(f(x) \le f(p)\)이다.
차분몫을 \(Q(x) = \dfrac{f(x)-f(p)}{x-p}\)라 하고 \(A = f'(p)\)라 하자. 정의 30에 의하여 \(\lim_{x\to p} Q(x) = A\)이다.
\(|x-p|<\delta_2\)에서 \(Q\)의 부호가 방향에 따라 정해진다. 분자 \(f(x)-f(p)\)는 \(0\) 이하이다. 분모는 \(x>p\)이면 양수이고 \(x<p\)이면 음수이다. 3회 정리 4에 의하여
이다. 부등호의 방향이 바뀌는 자리가 분모의 부호이다.
\(A>0\)일 수 없다. \(A>0\)이라 하자. 12회 정리 35에 의하여 어떤 \(\delta_3>0\)이 있어서 \(0<|x-p|<\delta_3\)에서 \(Q(x) > A/2 > 0\)이다. \(\delta = \min\{\delta_2,\delta_3\}\)로 두고 \(x_1 = p + \delta/2\)를 잡으면 \(0<|x_1-p|<\delta\)이므로 \(Q(x_1)>0\)인데, \(x_1>p\)이므로 (18.2)에서 \(Q(x_1)\le 0\)이다. 어긋난다.
\(A<0\)일 수 없다. \(A<0\)이라 하자. 12회 정리 34의 상수배(\(\alpha=-1\))에 의하여 \(\lim_{x\to p}\bigl(-Q(x)\bigr) = -A > 0\)이므로, 정리 35에 의하여 어떤 \(\delta_4>0\)이 있어서 \(0<|x-p|<\delta_4\)에서 \(-Q(x) > -A/2 > 0\), 곧 \(Q(x) < A/2 < 0\)이다. \(\delta = \min\{\delta_2,\delta_4\}\)로 두고 \(x_2 = p - \delta/2\)를 잡으면 \(Q(x_2)<0\)인데, \(x_2<p\)이므로 (18.2)에서 \(Q(x_2)\ge 0\)이다. 어긋난다.
3회 O2(삼분법)에 의하여 \(A=0\)이다.
극솟값인 경우. \(f\)가 \(p\)에서 극솟값을 가지면 \(-f\)는 \(p\)에서 극댓값을 갖는다. 16회 정리 48에 의하여 \(-f\)가 \(p\)에서 미분 가능하고 \((-f)'(p) = -f'(p)\)이다. 위 결과를 \(-f\)에 적용하면 \(-f'(p)=0\)이고 따라서 \(f'(p)=0\)이다.
증명이 양쪽 모두를 필요로 했다는 점에 주목하자. \(A>0\)을 배제할 때 오른쪽 점 \(x_1\)을 썼고 \(A<0\)을 배제할 때 왼쪽 점 \(x_2\)를 썼다. 두 점이 모두 정의역에 있어야 하고, 그것을 보장하는 것이 내부점 조건이다.
끝점에서는 성립하지 않는다#
\([0,1]\)에서 \(f(x)=x\)를 보자. 이 함수는 \(x=1\)에서 최댓값을 가지므로 정의 37의 뜻으로 극댓값을 갖는다. 그리고 모든 점에서 미분 가능하며 \(f'(1)=1\)이다.
\(f'(1) \ne 0\)인데 보조정리 11에 어긋나지 않는다. \(1\)이 \([0,1]\)의 내부점이 아니기 때문이다.
무엇이 막히는지도 분명하다. 위 증명에서 \(A=1>0\)을 배제하려면 \(x_1 = 1+\delta/2\)를 잡아야 하는데 그 점은 정의역 밖이다. 오른쪽으로 더 갈 수 없으니 함숫값이 더 커질 기회가 없고, 그래서 도함수가 양수인 채로 꼭대기일 수 있다.
2. 롤의 정리#
1절은 극값이 있다면 도함수가 \(0\)이라고 말한다. 극값이 있다는 것은 어디서 오는가.
15회에서 온다. 정리 44가 닫힌구간에서 연속이면 최댓값과 최솟값이 있다고 했다. 그것이 이 절의 재료이다.
정리 58 (롤의 정리)
\(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이고 \((a,b)\)에서 미분 가능하며 \(f(a)=f(b)\)이면, \(f'(c)=0\)인 \(c\)가 \((a,b)\) 안에 있다.
증명. 정리 44에 의하여 \(f\)는 \([a,b]\)에서 최댓값 \(M = f(c_1)\)과 최솟값 \(m = f(c_2)\)를 갖는다.
\(M = m\)인 경우. 모든 \(x \in [a,b]\)에서 \(m \le f(x) \le M\)이므로 \(f\)는 상수함수이다. 16회 정리 48에 의하여 상수함수의 도함수값은 어디서나 \(0\)이므로, \((a,b)\)의 아무 점이나 \(c\)로 잡으면 된다. \(a<b\)이므로 그런 점이 있다.
\(M > m\)인 경우. \(f(a)=f(b)\)이므로 \(M\)과 \(m\)이 모두 \(f(a)\)와 같을 수는 없다. 같다면 \(M = f(a) = m\)이 되어 \(M>m\)에 어긋난다.
\(M \ne f(a)\)라 하자. \(f(c_1) = M \ne f(a) = f(b)\)이므로 \(c_1 \ne a\)이고 \(c_1 \ne b\)이며, 따라서 \(c_1 \in (a,b)\)이다.
\((a,b)\)가 열린구간이므로 \(N(c_1;\delta) \subset (a,b) \subset [a,b]\)인 \(\delta>0\)이 있고, 그 근방의 모든 \(x\)에서 \(f(x) \le M = f(c_1)\)이다. 곧 \(f\)는 \(c_1\)에서 극댓값을 갖고 \(c_1\)은 \([a,b]\)의 내부점이다. 가정에서 \(f\)가 \(c_1\)에서 미분 가능하므로 보조정리 11에 의하여 \(f'(c_1)=0\)이다.
\(m \ne f(a)\)인 경우에는 \(c_2\)에 대하여 같은 논증을 하면 된다.
가정이 왜 저 모양인지 짚어 둔다. 연속은 \([a,b]\)에서 요구하고 미분 가능성은 \((a,b)\)에서만 요구한다. 연속은 정리 44를 쓰는 데 필요하고 그 정리가 닫힌구간을 요구한다. 미분 가능성은 보조정리 11를 쓰는 데만 필요하고 그것은 내부점에서만 쓰인다.
끝점에서의 미분 가능성을 요구하지 않는 것이 실제로 이득이다. 3절 뒤에서 그 예를 본다.
3. 평균값 정리#
롤의 정리는 \(f(a)=f(b)\)일 때의 이야기이다. 두 끝점의 높이가 다르면 어떻게 되는가.
기울여 놓고 보면 된다. 두 끝점을 잇는 직선을 빼면 두 끝점의 높이가 같아진다.
정리 59 (평균값 정리)
\(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이고 \((a,b)\)에서 미분 가능하면
인 \(c\)가 \((a,b)\) 안에 있다.
증명. 두 끝점을 지나는 직선을
라 하고 보조함수를
로 둔다. \(f\)에서 두 끝점을 잇는 직선을 뺀 것이다. 임의로 만든 식이 아니다.
\(h\)가 롤의 정리의 가정을 만족한다. \(\ell\)은 \(x\)에 대한 다항함수이므로 12회 정리 38에 의하여 연속이고, \(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이므로 14회 보조정리 6에 의하여 \(h\)도 \([a,b]\)에서 연속이다.
\(\ell\)은 16회 정리 48에 의하여 모든 점에서 미분 가능하고 도함수값이 상수 \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)이다. 같은 정리의 합과 상수배로 \(h\)는 \((a,b)\)에서 미분 가능하고
이다.
두 끝값이 같다. \(\ell(a) = f(a)\)이므로 \(h(a)=0\)이고, \(\ell(b) = f(a) + \bigl(f(b)-f(a)\bigr) = f(b)\)이므로 \(h(b)=0\)이다.
롤의 정리를 쓴다. 정리 58에 의하여 \(h'(c)=0\)인 \(c \in (a,b)\)가 있다. 그 점에서
이고, 양변에 \(b-a \ne 0\)을 곱한 것이 (18.3)이다.
\(b-a>0\)이므로 (18.3)을 나누어 쓴 형태도 자주 쓴다.
오른쪽은 \(a\)에서 \(b\)까지의 평균 변화율이다. 1회 (1.1)이 두 점을 지나는 직선의 기울기였고 그것이 정확히 이 값이다. 정리의 이름이 여기서 나왔다.
구체적인 값으로 확인해 본다. \(f(x)=x^2\)을 \([1,3]\)에서 보면 \(\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{9-1}{2} = 4\)이고, \(f'(c)=2c=4\)에서 \(c=2\)이다. 실제로 \(2 \in (1,3)\)이다.
흔한 오해 — \(c\)에 대한 두 가지 착각
\(c\)가 유일하지 않다. 정리는 존재만 말한다. \(f(x)=x^3-x\)를 \([-2,2]\)에서 보면 평균 변화율이 \(\frac{6-(-6)}{4}=3\)이고 \(f'(c)=3c^2-1=3\)에서 \(c^2=4/3\)이므로 \(c\)가 둘이다. 둘 다 \((-2,2)\) 안에 있다.
\(c\)를 구할 수 있다고 생각하면 안 된다. 위 두 예는 \(f'\)이 간단해서 풀렸을 뿐이다. 증명은 롤의 정리를 거치고 롤의 정리는 정리 44를 거치는데, 그 정리의 증명은 완비성 공리로 최소상계를 잡을 뿐 그 값을 알려 주지 않는다.
14회 2절에서 중간값 정리를 두고 같은 이야기를 했다. 존재 증명은 위치를 알려주지 않는다.
가정이 빠지면 무너진다#
\(f(x) = |x|\)를 \([-1,1]\)에서 보자. 이 함수는 \([-1,1]\)에서 연속이지만 16회 예제 11에 의하여 \(0\)에서 미분 가능하지 않다.
평균 변화율은 \(\frac{|1|-|-1|}{1-(-1)} = 0\)이다. 그런데 \(f'(c)=0\)인 \(c\)가 없다. \(c>0\)이면 \(f'(c)=1\)이고 \(c<0\)이면 \(f'(c)=-1\)이며, \(c=0\)에서는 도함수값 자체가 없다.
\((a,b)\)의 단 한 점에서 미분 가능성이 빠진 것으로 결론이 사라진다.
반대로 끝점에서의 미분 가능성은 정말로 필요하지 않다. \(f(x) = x^{1/2}\)를 \([0,1]\)에서 보면 17회 정의 35에 의하여 \([0,1]\)에서 연속이고, 정리 56에 의하여 \((0,1)\)의 모든 점에서 미분 가능하다. \(0\)에서는 미분 가능하지 않지만 그 점은 \((0,1)\)에 없으므로 정리를 쓸 수 있다.
평균 변화율은 \(\frac{1-0}{1-0}=1\)이고, \(f'(c) = \frac{1}{2\sqrt c} = 1\)에서 \(\sqrt c = 1/2\)이므로 \(c = 1/4\)이다. \((0,1)\) 안에 있다.
4. 도함수와 단조성#
이제 도입부의 두 물음에 답한다.
정리 60 (도함수의 부호와 단조성)
\(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이고 \((a,b)\)에서 미분 가능하다고 하자.
\((a,b)\)의 모든 점에서 \(f'>0\)이면 \(f\)는 \([a,b]\)에서 순증가한다.
\((a,b)\)의 모든 점에서 \(f'<0\)이면 \(f\)는 \([a,b]\)에서 순감소한다.
\((a,b)\)의 모든 점에서 \(f'=0\)이면 \(f\)는 \([a,b]\)에서 상수이다.
\((a,b)\)의 모든 점에서 \(f' \ge 0\)이면 \(f\)는 \([a,b]\)에서 증가한다.
증명. 네 항목 모두 같은 방식이다. \(a \le x < y \le b\)인 \(x\), \(y\)를 잡는다.
\([x,y] \subset [a,b]\)이므로 11회 4절에서 확인한 대로 \(f\)는 \([x,y]\)에서 연속이고, \((x,y) \subset (a,b)\)이므로 \(f\)는 \((x,y)\)에서 미분 가능하다. 부분구간이 가정을 그대로 물려받는다.
정리 59를 \([x,y]\)에 적용하면 \(c \in (x,y)\)가 있어서
이다. \(c \in (x,y) \subset (a,b)\)이므로 가정이 \(f'(c)\)에 적용된다. 그리고 \(y-x>0\)이다.
(1) \(f'(c)>0\)이므로 3회 O1에 의하여 오른쪽이 양수이고 \(f(x)<f(y)\)이다. 17회 정의 33의 순증가이다.
(2) \(f'(c)<0\)이므로 3회 정리 4에 의하여 오른쪽이 음수이고 \(f(y)<f(x)\)이다.
(3) \(f'(c)=0\)이므로 오른쪽이 \(0\)이고 \(f(x)=f(y)\)이다. \(x\)와 \(y\)가 임의였으므로 모든 두 점에서 함숫값이 같고, 곧 상수이다.
(4) \(f'(c)\ge0\)이므로 오른쪽이 \(0\) 이상이고 \(f(x)\le f(y)\)이다. 10회 정의 16의 증가이다.
한 점씩의 정보가 두 점 사이의 결론으로 바뀌었다. 도함수는 \(c\) 한 점에서의 값인데 결론은 \(x\)와 \(y\) 사이의 부등식이다. (18.6)이 그 통로이다.
흔한 오해 — \(f'>0\)과 순증가를 동치로 보는 것
정리 60의 1은 한쪽 방향이다. 거꾸로는 성립하지 않는다.
\(f(x)=x^3\)은 17회 예제 12에서 확인한 대로 순증가한다. 그런데 \(f'(0)=0\)이다. 순증가하면서 도함수가 \(0\)인 점이 있을 수 있다.
옳은 역방향은 이것이다. \(f\)가 미분 가능하고 증가하면 \(f' \ge 0\)이다. 부등호에 등호가 들어간다.
이제 19회가 쓸 따름정리를 세운다.
따름정리 9 (도함수가 같으면 상수만큼 차이 난다)
\(f\)와 \(g\)가 \([a,b]\)에서 연속이고 \((a,b)\)에서 미분 가능하며 \((a,b)\)의 모든 점에서 \(f'=g'\)이면, 어떤 상수 \(k\)가 있어서
이다.
증명. \(h = f-g\)라 하자. 14회 보조정리 6에 의하여 \(h\)는 \([a,b]\)에서 연속이다.
16회 정리 48의 합과 상수배(\(\alpha=-1\))에 의하여 \(h\)는 \((a,b)\)에서 미분 가능하고 \(h'(x) = f'(x)-g'(x) = 0\)이다.
정리 60의 3에 의하여 \(h\)는 \([a,b]\)에서 상수이다. 그 값을 \(k\)라 두면 (18.7)이다.
이 따름정리에 독립된 번호를 붙인 이유는 다음 회차에 있다. 두 함수의 도함수가 같다는 정보만으로 두 함수의 관계가 완전히 정해진다는 것이 요점이고, 19회가 이것을 쓴다.
\(k\)가 \(0\)이라고 말할 수는 없다. \(f(x)=x^2+5\)와 \(g(x)=x^2\)은 도함수가 같지만 같은 함수가 아니다. 정해지는 것은 차가 상수라는 것까지이다.
5. 곡선 그리기#
4절의 정리는 그래프의 모양을 읽는 데 그대로 쓰인다. 이 절은 그 사용법이다.
\(f(x) = x^3 - 3x\)를 보자. \(f'(x) = 3x^2-3 = 3(x-1)(x+1)\)이다.
\(f'\)의 부호가 \(-1\)과 \(1\)에서 바뀐다. \(x<-1\)에서 두 인수가 모두 음수이므로 곱이 양수이고, \(-1<x<1\)에서 부호가 갈려 음수이며, \(x>1\)에서 다시 양수이다.
정리 60을 각 구간에 적용하면 \(f\)는 \((-\infty,-1]\)에서 순증가하고 \([-1,1]\)에서 순감소하며 \([1,\infty)\)에서 순증가한다. 여기서 각 구간을 닫힌구간으로 잘라 정리를 적용한 뒤 이어 붙인 것이다.
이것으로 극값을 판정할 수 있다.
정리 61 (도함수의 부호가 바뀌면 극값이다)
\(f\)가 \(p\)를 포함하는 열린구간에서 연속이고, 어떤 \(\delta>0\)에 대하여 \((p-\delta,p)\)에서 \(f'>0\)이며 \((p,p+\delta)\)에서 \(f'<0\)이면 \(f\)는 \(p\)에서 극댓값을 갖는다. 부등호를 모두 뒤집으면 극솟값이다.
증명. \(x \in (p-\delta,p)\)라 하자. \(f\)가 \([x,p]\)에서 연속이고 \((x,p)\)에서 미분 가능하며 그 구간에서 \(f'>0\)이므로 정리 60의 1에 의하여 \(f\)는 \([x,p]\)에서 순증가하고, 따라서 \(f(x)<f(p)\)이다.
\(x \in (p,p+\delta)\)이면 같은 방식으로 \(f\)가 \([p,x]\)에서 순감소하므로 \(f(p)>f(x)\)이다.
\(x=p\)에서는 \(f(x)=f(p)\)이다. 세 경우를 합치면 \(N(p;\delta)\)의 모든 \(x\)에서 \(f(x)\le f(p)\)이고, 정의 37에 의하여 극댓값이다.
\(f(x)=x^3-3x\)에서 \(x=-1\)의 왼쪽에서 \(f'>0\)이고 오른쪽에서 \(f'<0\)이므로 극댓값이고, 그 값은 \(f(-1)=2\)이다. \(x=1\)에서는 반대이므로 극솟값이고 \(f(1)=-2\)이다.
흔한 오해 — \(f'(p)=0\)이면 극값이라고 생각하는 것
보조정리 11는 **극값이면 \(f'=0\)**이라고 말한다. 거꾸로가 아니다.
\(f(x)=x^3\)에서 \(f'(0)=0\)이지만 \(0\)은 극값이 아니다. \(f\)가 순증가하므로 \(0\)의 어느 근방에도 \(f(0)\)보다 큰 값과 작은 값이 모두 있다.
\(f'(p)=0\)인 점은 극값의 후보일 뿐이며, 실제로 극값인지는 정리 61처럼 부호 변화를 따로 확인해야 한다.
이계도함수#
16회 3절의 흔한 오해 상자가 \(f'(p)\)는 수이고 \(f'\)은 함수라고 적었다. \(f'\)이 함수이므로 그것을 다시 미분할 수 있다.
정의 39 (이계도함수)
\(f'\)이 \(p\)를 포함하는 어떤 열린구간의 모든 점에서 정의되어 있고 \(f'\)이 \(p\)에서 미분 가능하면, 그 도함수값을 \(f''(p)\)라 쓰고 \(f\)의 \(p\)에서의 이계도함수값(second derivative)이라 한다.
\(f(x)=x^3-3x\)이면 \(f'(x)=3x^2-3\)이고 \(f''(x)=6x\)이다.
정의 40 (아래로 볼록과 위로 볼록)
\(f'\)이 구간 \(I\)에서 증가하면 \(f\)가 \(I\)에서 아래로 볼록(convex)하다고 하고, \(f'\)이 감소하면 위로 볼록(concave)하다고 한다.
\(f''\ge0\)이면 정리 60의 4를 \(f'\)에 적용하여 \(f'\)이 증가하므로 아래로 볼록이다. 볼록성 판정이 4절 정리를 한 번 더 쓴 것에 지나지 않는다.
\(f(x)=x^3-3x\)에서 \(f''(x)=6x\)이므로 \(x\ge0\)에서 아래로 볼록하고 \(x\le0\)에서 위로 볼록하다. 볼록의 방향이 바뀌는 \(x=0\)을 변곡점이라 한다.
볼록의 정의는 여러 가지이다
정의 40는 도함수로 볼록을 정의했다. 그림으로 흔히 말하는 “두 점을 잇는 선분이 그래프 위에 있다”는 조건과 같은 것이지만, 두 조건이 같다는 증명은 이 회차에서 하지 않는다.
도함수 쪽을 정의로 삼은 이유는 그것이 4절 정리로 곧바로 판정되기 때문이다. 선분 쪽 조건은 \(f\)가 미분 가능하지 않아도 뜻을 갖는다는 장점이 있고, 그쪽이 필요해지면 그때 다시 정한다.
마치며#
이번 회차에서는 평균값 정리를 증명하였다.
증명은 세 단계였다. 내부의 극값에서 도함수가 \(0\)이라는 보조정리를 세우고, 그것과 15회 최대최소 정리로 롤의 정리를 얻고, 두 끝점을 잇는 직선을 빼는 보조함수로 일반적인 경우에 옮겼다.
15회 최대최소 정리가 PART II 에서 처음 쓰인 자리이다. 정리 44가 없으면 롤의 정리가 나오지 않고, 그 정리는 완비성 공리로 증명되었다. 평균값 정리의 뿌리가 5회의 공리에 닿아 있다.
PART I 의 정리가 PART II 로 넘어온 것이 이번이 처음은 아니다. 17회가 정리 52를 증명하며 14회 중간값 정리를 썼고 정리 54에서 12회 합성 정리를 썼다. 두 파트가 갈라져 있지 않다.
그리고 이 정리로 도입부의 두 물음에 답하였다. 도함수가 양수이면 함수가 순증가하고, 도함수가 \(0\)이면 상수이다. 한 점에서의 정보가 구간 전체의 결론으로 바뀌는 통로가 (18.6) 한 줄이었다.
특히 따름정리 하나를 얻었다. 도함수가 같은 두 함수는 상수만큼만 차이 난다.
여기까지가 도함수에 대한 기본적인 내용이다.
이제 돌아볼 것이 있다. 우리는 열한 회차 전에 넓이를 다루는 연산 하나를 정의하였고, 두 회차 전에 기울기를 다루는 연산 하나를 정의하였다. 두 연산은 서로 다른 문제에서 출발하였다. 하나는 1회의 넓이 문제였고 다른 하나는 1회의 접선 문제였다.
지금까지 두 연산은 아무 관계 없이 다루어졌다. 13회 1절이 계보도를 그렸을 때 11회와 12회가 어디에도 연결되어 있지 않다고 적었는데, 15회가 그 선을 이었다. 그런데 16회부터 시작한 새 계보는 다시 따로 자라고 있다.
다음 회차에서는 두 연산의 관계를 알아보도록 하자.
이어서
같은 회차의 실험: 18회 실험 · 한 점에서 구간으로