19회 · 미적분의 기본정리#
이 회차
한 문장 |
따로 정의한 두 연산이 서로의 역이다. |
출처 |
L18 |
파트 |
PART II — 두 번째 무한 · 관통 질문: 자르기(미분)와 쌓기(적분)는 무슨 관계인가 |
짝 실험 |
우리는 두 개의 연산을 정의하였다.
하나는 적분이다. 7회에서 계단함수의 넓이를 쌓아 정의하였고, 정의에 등장한 것은 유한합과 최소상계뿐이었다. 다른 하나는 도함수이다. 16회에서 두 점을 지나는 직선의 기울기를 극한으로 보내 정의하였고, 정의에 등장한 것은 극한이었다.
두 연산은 서로 다른 문제에서 출발하였다. 1회 1절이 넓이 문제를 제시하고 2절이 접선 문제를 제시하였다. 그리고 1회는 두 문제가 오랫동안 별개로 다루어졌다고 적었다. 아르키메데스는 포물선 아래의 넓이를 구했지만 접선을 다루지 않았고, 두 문제가 이어진 것은 그로부터 이천 년 가까이 지나서였다.
정의를 보아도 공통점이 없다. 한쪽은 넓이를 쌓고 다른 쪽은 기울기를 잰다.
이번 회차에서 두 연산의 관계를 밝힌다. 결론부터 말하면 두 연산은 서로의 역이다. 이 사실을 미적분의 기본정리(fundamental theorem of calculus)라 한다.
1. 두 정의를 나란히 놓는다#
정리를 만나기 전에 할 일이 있다. 두 정의가 얼마나 무관한지를 다시 확인하는 것이다.
7회 정의 15은 이렇게 말한다.
\(f\)가 \([a,b]\)에서 유계이고 \(\underline{I}(f) = \overline{I}(f)\)일 때 \(f\)가 \([a,b]\)에서 적분 가능하다고 한다. 이때 그 공통값을 \(f\)의 \([a,b]\) 위의 적분이라 한다.
여기서 \(\underline{I}\)와 \(\overline{I}\)는 7회 정의 14가 정한 값이다. \(f\) 아래에 있는 계단함수들의 적분값을 모아 최대하계를 잡고, \(f\) 위에 있는 계단함수들의 적분값을 모아 최소상계를 잡는다. 계단함수의 적분값은 정의 13이 정한 유한합이다.
16회 정의 30는 이렇게 말한다.
\(f\)가 \(p\)를 포함하는 어떤 열린구간에서 정의되어 있다고 하자. 극한 \(\lim_{x\to p} \frac{f(x)-f(p)}{x-p}\)이 존재하면 \(f\)가 \(p\)에서 미분 가능하다고 하고, 그 값을 \(f'(p)\)라 한다.
두 정의를 나란히 놓고 무엇이 공통인지 세어 본다.
다루는 대상 |
구간 \([a,b]\) 위의 \(f\) |
한 점 \(p\) 근처의 \(f\) |
재료 |
계단함수, 유한합, 최소상계 |
차분몫, 극한 |
기대는 공리 |
완비성 공리 |
없음 (극한의 정의만) |
결과 |
수 하나 |
수 하나 |
두 정의는 서로를 언급하지 않는다. 적분의 정의 어디에도 극한이라는 말이 없고 — 최소상계는 극한이 아니다 — 도함수의 정의 어디에도 계단함수나 넓이라는 말이 없다.
공통으로 나오는 것은 함수 \(f\)와 실수뿐이다.
이 절이 왜 필요한가
이 회차의 값어치는 증명의 길이에 있지 않다. 3절의 증명은 반쪽 페이지이고 4절의 증명은 다섯 줄이다.
값어치는 배치에 있다. 7회와 16회에서 두 연산을 서로 무관하게 정의하였고, 그 사이 열두 회차 동안 두 연산은 서로를 언급하지 않았다. 그 상태에서 둘이 역관계라는 결론이 나오면 그것은 정의를 다시 읽는 것이 아니라 새로 알게 된 사실이 된다.
만약 적분을 “미분의 역”으로 정의했다면 이번 회차는 성립하지 않는다. 그 경우 기본정리는 정의를 다시 쓴 것에 지나지 않는다.
2. 누적 함수#
\(f\)가 \([a,b]\)에서 적분 가능하다고 하자. 지금까지 \(\int_a^b f\)는 수 하나였다. 위끝을 움직이면 어떻게 되는가.
\(x \in [a,b]\)마다 \(\int_a^x f\)라는 수가 하나씩 정해진다. 대응이 정해지므로 이것은 6회 정의 9의 뜻으로 함수이다.
그전에 정해 둘 것이 있다. \(\int_a^x\)에서 \(x\)가 \(a\)와 같거나 \(a\)보다 작으면 어떤 뜻인가. 7회의 정의는 \(a < b\)인 경우만 다루었다.
정의 41 (방향이 있는 적분)
\(a < b\)이고 \(f\)가 \([a,b]\)에서 적분 가능할 때
라 약속한다.
이것은 정리가 아니라 약속이다. 무엇을 증명한 것이 아니라 표기의 뜻을 넓힌 것이다.
약속을 이렇게 정하는 이유는 8회 정리 23가 이 약속 아래에서 대소 조건 없이 성립하기 때문이다. 정리 23는 \(a<b<c\)를 요구했는데, (19.1)을 쓰면 세 점의 순서가 어떻든
이 성립한다. 예를 들어 \(b < a < c\)이면 오른쪽 첫 항이 \(-\int_b^a f\)이고, 정리 23를 \(b<a<c\)에 적용한 \(\int_b^c = \int_b^a + \int_a^c\)를 옮기면 같은 식이 된다. 나머지 다섯 가지 순서도 같은 방식으로 확인된다.
정의 42 (누적 함수)
\(f\)가 \([a,b]\)에서 적분 가능할 때 각 \(x \in [a,b]\)에 대하여
로 정의된 함수 \(A\)를 \(f\)의 누적 함수라 한다.
적분 기호 안의 변수를 \(t\)로 쓴 것에 유의한다. \(x\)는 위끝이고 \(t\)는 적분 변수이므로 서로 다른 역할을 한다.
\(A\)가 잘 정의되는지 확인해 둔다. \(x \in (a,b]\)이면 정리 23에 의하여 \(f\)가 \([a,x]\)에서도 적분 가능하므로 \(\int_a^x f\)가 존재한다. \(x=a\)이면 (19.1)이 \(0\)을 준다.
관점이 하나 바뀌었다. 지금까지 적분은 계산의 결과였다. 이제 그것이 새로운 함수를 만드는 장치가 된다.
\(f(x)=c\)인 상수함수를 넣어 보면 7회 (7.8)에 의하여 \(A(x) = c(x-a)\)이다. 이 함수의 도함수값은 16회 정리 48에 의하여 어디서나 \(c\)이고, 그것은 \(f\)의 값과 같다. 3절이 이것이 우연이 아님을 보인다.
누적 함수는 연속이다#
\(A\)를 미분하는 것이 3절의 일인데, 그 전에 확인해 둘 것이 있다. \(A\)가 어떤 함수인지 우리는 아직 아무것도 모른다.
\(f\)에 요구한 것은 적분 가능성뿐이다. 10회 예제 5이 보였듯 적분 가능하지 않은 함수도 있고, 적분 가능한 함수 중에도 도약하는 것이 얼마든지 있다. 그런 \(f\)에서 나온 \(A\)가 험한 함수일 수도 있다.
그런데 그렇지 않다. \(f\)가 유계라는 사실 하나가 \(A\)의 모양을 크게 제한한다. 그것을 먼저 확인한다.
4절에서 18회 따름정리 9를 쓰게 되는데, 그 따름정리가 요구하는 가정 중 하나가 정확히 “\([a,b]\)에서 연속”이다. 여기서 얻는 것이 그때 필요해진다.
정리 62 (누적 함수의 연속성)
\(f\)가 \([a,b]\)에서 적분 가능하면 \(A\)는 \([a,b]\)에서 연속이다.
증명. 정의 15이 \(f\)가 유계일 것을 요구하므로 모든 \(t \in [a,b]\)에서 \(|f(t)| \le M\)인 \(M>0\)이 있다.
\(p, x \in [a,b]\)이고 \(p < x\)라 하자. 정리 23에 의하여 \(A(x)-A(p) = \int_p^x f\)이다.
\(-M \le f \le M\)이므로 9회 따름정리 6를 \([p,x]\)에 적용하면
이고, 4회 정리 13에 의하여
이다. \(x < p\)이면 (19.1)이 부호만 바꾸므로 절댓값은 같다.
이제 연속을 확인한다. \(p \in [a,b]\)와 \(\epsilon>0\)이 주어졌다. \(\delta = \epsilon/(2M)\)으로 두면 \(|x-p|<\delta\)인 \(x \in [a,b]\)에서 (19.3)에 의하여 \(|A(x)-A(p)| \le M\delta = \epsilon/2 < \epsilon\)이다. 11회 정의 22이 요구하는 것이 이것이다.
(19.3)이 말하는 것은 \(A\)가 기울기 \(M\)보다 가파를 수 없다는 것이다. \(f\)가 아무리 험한 함수여도 — 10회 예제 5처럼 어디서도 연속이 아니어도 되지는 않지만 — 유계이기만 하면 \(A\)는 연속이다.
적분이 함수를 매끄럽게 만든다. \(f\)에 요구한 것은 적분 가능성뿐인데 \(A\)는 연속이다.
3. 미적분의 기본정리 — 첫째 형태#
이제 \(A\)를 미분한다.
정리 63 (미적분의 기본정리 (첫째 형태))
\(f\)가 \([a,b]\)에서 적분 가능하고 \(p \in (a,b)\)에서 연속이면, \(A\)는 \(p\)에서 미분 가능하고
이다. \(p\)가 끝점이면 같은 결론이 16회 정의 31의 한쪽 도함수값으로 성립한다.
증명. \(x \in [a,b]\)이고 \(x \ne p\)라 하자. 정리 23와 (19.1)에 의하여 \(A(x)-A(p) = \int_p^x f\)이다.
차분몫에서 \(f(p)\)를 뺀다. 상수함수의 적분이 7회 (7.8)에 의하여 \(\int_p^x f(p)\,dt = f(p)(x-p)\)이므로, 8회 정리 22로 두 적분을 묶으면
이다. 왼쪽의 뺄셈이 오른쪽에서 적분 안으로 들어갔다. 이 한 줄이 증명의 전부이며, 나머지는 오른쪽을 작게 만드는 일이다.
연속을 쓴다. \(\epsilon>0\)이 주어졌다. \(f\)가 \(p\)에서 연속이므로 11회 정의 20에 의하여 어떤 \(\delta>0\)이 있어서, \(|t-p|<\delta\)인 \(t \in [a,b]\)에서
이다. 4회 따름정리 1로 풀면 그런 \(t\)에서 \(-\epsilon/2 < f(t)-f(p) < \epsilon/2\)이다.
적분을 가둔다. \(0<|x-p|<\delta\)라 하자. \(p\)와 \(x\) 사이의 모든 \(t\)가 \(|t-p|<\delta\)를 만족하므로 위 부등식이 그 구간 전체에서 성립한다.
\(x>p\)이면 따름정리 6를 \([p,x]\)에 적용하여
를 얻는다. \(x-p>0\)으로 나누면 (19.5)의 왼쪽의 절댓값이 \(\epsilon/2\) 이하이다.
\(x<p\)이면 \([x,p]\)에 같은 것을 적용하여 \(\left|\int_x^p (f(t)-f(p))\,dt\right| \le \frac{\epsilon}{2}(p-x)\)를 얻고, (19.1)이 부호만 바꾸므로 \(\left|\int_p^x (f(t)-f(p))\,dt\right| \le \frac{\epsilon}{2}|x-p|\)이다. \(|x-p|\)로 나누면 같은 결론이다.
두 경우를 합친다. \(0<|x-p|<\delta\)인 모든 \(x\)에서
이다. 11회 정의 18이 요구하는 것이 이것이므로 극한이 \(f(p)\)이고, 정의 30에 의하여 (19.4)이다.
\(p\)가 끝점이면 위 논증에서 한쪽 \(x\)만 쓰면 되고, 결론이 한쪽 극한이 되어 정의 31의 한쪽 도함수값을 준다.
적분한 뒤 미분하면 원래 함수로 돌아온다.
가정을 다시 읽어 둔다. \(f\)에 요구한 것은 \([a,b]\) 전체에서의 적분 가능성과 점 \(p\) 하나에서의 연속이다. 두 조건의 성격이 다르다. 앞의 것은 구간 전체에 대한 것이고 뒤의 것은 한 점에 대한 것이다.
15회 정리 46이 “연속이면 적분 가능”이라 하였으므로, \(f\)가 \([a,b]\) 전체에서 연속이면 두 조건이 하나로 줄어든다.
따름정리 10 (연속함수의 누적 함수)
\(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이면 \(A\)는 \([a,b]\)에서 미분 가능하고 모든 점에서 \(A'=f\)이다.
흔한 오해 — 연속이 필요한 자리를 놓치는 것
정리 63이 \(A'(p)=f(p)\)를 주는 것은 \(f\)가 \(p\)에서 연속일 때이다. 적분 가능하기만 해서는 안 된다.
\([-1,1]\)에서 \(t<0\)이면 \(f(t)=0\)이고 \(t \ge 0\)이면 \(f(t)=1\)인 함수를 보자. 이 함수는 계단함수이므로 적분 가능하고, 누적 함수는 \(x<0\)에서 \(A(x)=0\)이고 \(x \ge 0\)에서 \(A(x)=x\)이다.
\(A\)는 \(0\)에서 연속이다. 정리 62가 보장한 대로이다. 그러나 미분 가능하지 않다. 좌도함수값이 \(0\)이고 우도함수값이 \(1\)이어서 16회 예제 11와 같은 사정이다.
\(f\)의 불연속이 \(A\)의 미분 불가능으로 옮겨 간 것이다. 적분이 한 단계 매끄럽게 만들지만 없던 매끄러움을 만들어 내지는 않는다.
4. 미적분의 기본정리 — 둘째 형태#
3절은 적분한 뒤 미분하는 순서였다. 순서를 바꾼다.
순서를 바꾸면 물음도 바뀐다. 3절은 \(A\)라는 하나의 함수를 만들어 그것을 미분했다. 이제는 \(F'=f\)인 함수가 주어졌을 때 \(\int_a^b f\)가 무엇인지를 묻는다.
두 물음이 이어지는 이유는 따름정리 9에 있다. 도함수가 같은 두 함수는 상수만큼만 다르므로, \(A\)와 \(F\)가 둘 다 도함수 \(f\)를 가지면 둘은 사실상 같은 함수이다. 3절이 \(A\)에 대해 알아낸 것이 \(F\)에 대해서도 통한다.
그리고 이 절의 결론이 이 회차에서 실제로 계산에 쓰이는 부분이다. 6절이 그것을 보인다.
정리 64 (미적분의 기본정리 (둘째 형태))
\(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이라 하자. \(F\)가 \([a,b]\)에서 연속이고 \((a,b)\)의 모든 점에서 \(F'(x)=f(x)\)이면
이다.
증명. 따름정리 10에 의하여 \(A\)는 \([a,b]\)에서 미분 가능하고 \(A'=f\)이다. 특히 \(A\)는 \([a,b]\)에서 연속이고 \((a,b)\)에서 \(A'=f=F'\)이다.
18회 따름정리 9가 요구하는 가정이 그대로 갖추어졌다. 따라서 어떤 상수 \(k\)가 있어서 모든 \(x \in [a,b]\)에서 \(A(x) = F(x)+k\)이다.
\(x=a\)를 넣으면 (19.1)에 의하여 \(A(a)=0\)이므로 \(k=-F(a)\)이다.
\(x=b\)를 넣으면 \(A(b) = F(b)-F(a)\)이고, 정의 42에 의하여 \(A(b)=\int_a^b f\)이다.
증명이 다섯 줄이다. 한 회차 전에 세운 따름정리 9가 전부를 한다.
18회 4절이 그 따름정리에 독립된 번호를 붙이며 “이유는 다음 회차에 있다”고 적었다. 여기가 그 자리이다.
미분한 뒤 적분하면 상수 차이를 제외하고 원래 함수로 돌아온다.
5. 두 형태의 관계#
두 형태를 한 줄로 요약하면 이렇다.
첫째 줄은 \(f\)로 돌아오고 둘째 줄은 \(F\)로 — 상수 차이를 빼고 — 돌아온다. 두 연산이 서로의 역이다.
둘째 형태에 실용적인 뜻이 있다. 적분을 계산하려면 상합과 하합으로 돌아갈 필요가 없다. 도함수가 \(f\)인 함수를 하나 찾으면 된다.
그 함수에 이름을 붙인다.
정의 43 (원시함수와 부정적분)
\(F'=f\)인 함수 \(F\)를 \(f\)의 원시함수(primitive, antiderivative)라 한다.
\(f\)의 원시함수 전체를 나타내는 기호로
를 쓰고 부정적분(indefinite integral)이라 한다. 여기서 \(C\)는 임의의 상수이다.
이 용어를 이 책에서 처음 쓴다. 7회부터 18회까지 원시함수라는 말이 한 번도 나오지 않았고, 그것은 의도된 것이었다. 적분을 미분의 역으로 정의하지 않았기 때문이다.
(19.7)의 \(+C\)는 따름정리 9에서 나온다. \(F'=G'=f\)이면 \(F-G\)가 상수이므로, 원시함수는 상수만큼 다른 것들의 모임이다. 상수 하나만큼 다르고 그 이상은 다르지 않다.
흔한 오해 — 부정적분과 정적분을 같은 것으로 보는 것
\(\int_a^b f(x)\,dx\)는 수이다. 정의 15이 정한 값이며, 두 끝점 \(a\)와 \(b\)가 정해지면 하나로 결정된다.
\(\int f(x)\,dx\)는 함수들의 모임이다. 위끝도 아래끝도 없다.
기호가 닮은 것은 (19.6)이 둘을 잇기 때문이지 둘이 같아서가 아니다. 두 대상은 종류가 다르다.
모든 원시함수를 적어 낼 수 있는 것은 아니다
\(f\)가 연속이면 따름정리 10가 원시함수의 존재를 준다. 그러나 그 함수를 우리가 아는 기호로 적어 낼 수 있다는 뜻은 아니다.
\(f(x)=e^{-x^2}\)이 그런 예로 알려져 있다. 이 함수는 연속이므로 원시함수가 있지만, 그것을 우리가 이름을 가진 함수들의 유한한 조합으로 적을 수 없다는 것이 증명되어 있다.
이 문단은 이 책이 증명하는 것이 아니라 알려진 사실을 옮긴 것이다. \(e^{-x^2}\)의 \(e\)부터가 아직 정의되지 않았고, “유한한 조합으로 적을 수 없다”는 진술을 정확히 하려면 무엇을 조합으로 칠 것인지부터 정해야 한다. 여기서는 그런 사정이 있다는 것만 적어 둔다.
존재와 표현은 다른 문제이다. 14회 2절에서 존재와 값을 구분한 것과 같은 종류의 구분이다.
6. 다시 계산해 보기#
7회 6절이 \(\int_0^b x^2\,dx\)를 정의에 따라 계산하였다. 그 절은 식 (7.13)부터 (7.22)까지 열 개의 식을 썼고, 도중에 4회 정리 12의 제곱합 공식과 5회 따름정리 4을 불러왔다.
같은 값을 정리 64로 구한다.
\(F(x) = x^3/3\)이라 하자. 16회 정리 50와 정리 48에 의하여 \(F'(x) = x^2\)이다. \(f(x)=x^2\)은 12회 정리 38에 의하여 연속이므로 정리 64를 쓸 수 있고
이다.
한 줄이다. 7회 (7.22)가 열 개의 식으로 얻은 것과 같은 값이다.
\(b=1\)에서 두 계산을 견주어 본다. 7회는 \(n=10\)에서 \(L_{10}=0.285\)와 \(U_{10}=0.385\)를 얻었고, \(n\)을 키워야 \(1/3\)에 다가갔다. 여기서는 \(1/3\)이 곧바로 나온다.
같은 값을 두 가지 방법으로 구하였다. 두 방법이 같은 답을 준다는 것이 이번 회차의 내용이다.
7회의 계산이 쓸모없어진 것은 아니다. 그 계산은 적분값이 무엇인지를 정의에서 확인한 것이고, (19.8)은 그 값을 어떻게 구하는지를 준다. 정의가 없으면 (19.8)이 무엇을 계산했는지 말할 수 없다.
일차함수로도 확인해 둔다. 7회 (7.11)이 \(\int_0^b x\,dx = b^2/2\)를 상합과 하합으로 얻었다. \(F(x)=x^2/2\)의 도함수가 \(x\)이므로 (19.6)이 곧바로 같은 값을 준다.
7회가 막혔던 자리#
7회 6절 끝의 「이 방법이 통하지 않는 함수」가 \(f(x)=1/x\)를 들었다. 구간을 \(n\)등분하면 \(\sum 1/k\) 꼴의 합이 나오는데 그것에는 닫힌 형태의 공식이 없다는 것이었다.
이제 물음이 바뀐다. 상합과 하합을 계산할 필요가 없으니, 도함수가 \(1/x\)인 함수를 하나 찾으면 된다.
그런데 지금 가진 함수 중에는 없다. 17회 정리 57가 \(y^{m/n}\)의 도함수를 \(\frac{m}{n}y^{m/n-1}\)으로 주었는데, \(1/x = x^{-1}\)이 되려면 지수 \(\frac{m}{n}-1 = -1\), 곧 \(\frac{m}{n}=0\)이어야 하고 그러면 앞의 계수도 \(0\)이 된다.
\(1/x\)의 원시함수는 우리가 지금까지 만든 어떤 함수도 아니다. 이 자리는 아직 열려 있다.
마치며#
이번 회차에서 두 연산의 관계를 밝혔다. 적분한 뒤 미분하면 원래 함수로 돌아오고, 미분한 뒤 적분하면 상수 차이를 제외하고 원래 함수로 돌아온다. 두 연산은 서로의 역이다.
두 연산은 서로 다른 문제에서 출발하였고 정의도 서로를 언급하지 않았다. 하나는 계단함수의 넓이를 쌓아 정의되었고 다른 하나는 차분몫의 극한으로 정의되었다. 1절이 그 무관함을 표로 확인하였다. 그럼에도 둘은 역관계였다.
증명에 쓰인 것을 세어 보면 이 회차가 앞의 여러 회차에 얼마나 기대고 있는지가 보인다.
쓴 것 |
어디에 |
|---|---|
8회 정리 23 |
2절 \(A\)가 잘 정의되는 것, 3절 차분몫을 적분으로 바꾸는 것 |
8회 정리 22 |
3절 \(f(p)\)를 적분 안으로 넣는 것 |
9회 따름정리 6 |
2절 (19.3), 3절 적분을 가두는 것 |
15회 정리 46 |
|
18회 따름정리 9 |
4절 전체 |
특히 마지막 줄이 그렇다. 18회가 그 따름정리를 세우지 않았다면 4절의 증명이 없다.
그리고 이 정리는 계산 방법 하나를 준다. 정적분을 구하려면 도함수가 피적분함수가 되는 함수를 하나 찾으면 된다. 7회에서 열 개의 식으로 계산한 \(\int_0^b x^2\,dx\)를 6절에서 한 줄로 다시 구하였다.
그러나 그 방법에는 조건이 있다. 원시함수를 찾을 수 있어야 한다. 6절 끝에서 본 대로 \(1/x\)의 원시함수는 지금 가진 함수 중에 없다.
그리고 더 기본적인 문제가 하나 남아 있다. 우리가 다룰 수 있는 함수가 아직 다항함수와 유리함수, 그리고 17회에서 만든 거듭제곱근뿐이다. 익숙하게 쓰던 함수들 가운데 이 책이 정의한 것이 거의 없다.
다음 회차에서는 삼각함수를 알아보도록 하자.
이어서
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