17회 · 합성함수와 역함수의 미분#
이 회차
한 문장 |
합성함수의 도함수는 두 도함수의 곱이고, 역함수의 도함수는 원래 도함수의 역수이다. |
출처 |
L16 |
파트 |
PART II — 두 번째 무한 · 관통 질문: 자르기(미분)와 쌓기(적분)는 무슨 관계인가 |
짝 실험 |
16회에서 얻은 공식으로 미분할 수 있는 것은 다항함수와 유리함수까지이다. 16회 마치며가 \(f(x) = (x^2+1)^{10}\)을 들며 곱의 미분을 아홉 번 적용해야 한다고 적었고, 그것도 전개한 뒤에나 가능하다고 하였다.
이번 회차에서 두 가지를 더한다.
첫째는 합성함수이다. \(f(g(x))\)의 도함수를 \(f\)와 \(g\)의 도함수로 나타내는 규칙이며 연쇄법칙(chain rule)이라 한다. 규칙 자체는 짧지만 증명에 함정이 하나 있고, 그 함정을 보는 것이 이 회차의 값어치 절반이다.
둘째는 역함수이다. \(y = f(x)\)를 \(x\)에 대하여 푼 것이 역함수인데, 이 책은 아직 역함수를 정의한 적이 없다. 정의부터 세우고, 그것이 연속인지, 미분 가능한지를 차례로 묻는다.
두 물음이 따로 놀지 않는다. 역함수의 미분을 증명하는 데 역함수의 연속성이 필요하고, 그 두 증명이 같은 장치를 쓴다. 연쇄법칙에서 함정을 메우려고 만든 장치가 역함수에서 그대로 다시 쓰인다.
1. 역함수의 연속성#
먼저 말을 정해야 한다. 이 책은 지금까지 역함수를 쓴 적이 없다.
10회 정의 16이 증가함수를 정의했지만 그 정의는 등호를 허용한다. 상수함수도 증가함수였다. 역함수를 만들려면 서로 다른 두 점이 서로 다른 값을 가져야 하므로 더 강한 조건이 필요하다.
정의 33 (순증가와 순감소)
\(f\)가 집합 \(S\)에서 정의되어 있다고 하자.
\(x < y\)인 모든 \(x, y \in S\)에 대하여 \(f(x) < f(y)\)이면 \(f\)가 \(S\)에서 순증가(strictly increasing)한다고 한다. 그런 모든 \(x, y\)에 대하여 \(f(x) > f(y)\)이면 순감소(strictly decreasing)한다고 한다.
정의 16과의 차이는 부등호 하나이다. \(f(x) \le f(y)\)가 \(f(x) < f(y)\)로 바뀌었다. 그 하나 때문에 상수함수가 빠진다. \(f(x)=3\)인 함수는 증가함수이지만 순증가하지 않는다.
순증가하면 서로 다른 두 점의 함숫값이 서로 다르다. \(x \ne y\)이면 3회 O2(삼분법)에 의하여 \(x<y\)이거나 \(y<x\)이고, 어느 쪽이든 정의에 의하여 \(f(x) \ne f(y)\)이다. 그러면 다음이 뜻을 갖는다.
정의 34 (역함수)
\(f\)가 집합 \(S\)에서 정의되어 있고 서로 다른 두 점의 함숫값이 항상 서로 다르다고 하자. \(f\)의 치역을 \(T = \{\, f(x) : x \in S \,\}\)라 할 때, 각 \(y \in T\)에 대하여 \(f(x) = y\)인 \(x \in S\)가 정확히 하나 있다. 그 \(x\)를 \(y\)에 대응시키는 함수를 \(f\)의 역함수(inverse function)라 하고 \(f^{-1}\)이라 쓴다.
정의에서 곧바로 두 등식이 나온다.
흔한 오해 — \(f^{-1}\)을 \(1/f\)로 읽는 것
\(f^{-1}\)의 위 첨자 \(-1\)은 거듭제곱이 아니다. \(f^{-1}(y)\)는 \(1/f(y)\)와 아무 관계가 없다.
\(f(x) = x^3\)이면 \(f^{-1}(8) = 2\)이지만 \(1/f(8) = 1/512\)이다. 표기가 겹치는 것은 관습이며, 어느 쪽인지는 문맥이 정한다. 이 책에서 \(f^{-1}\)은 언제나 정의 34의 뜻이다.
치역이 구간이다#
역함수를 다루려면 그 정의역인 치역 \(T\)가 무엇인지 알아야 한다. 연속이라는 조건이 이 물음에 답한다.
정리 52 (순증가 연속함수의 치역)
\(f\)가 닫힌구간 \([a,b]\)에서 연속이고 순증가하면 \(f\)의 치역은 닫힌구간 \([f(a), f(b)]\)이다.
증명. 치역이 \([f(a),f(b)]\)에 들어간다. \(x \in [a,b]\)라 하자. \(x = a\)이거나 \(a < x\)이고, 뒤쪽이면 정의 33에 의하여 \(f(a) < f(x)\)이다. 어느 경우든 \(f(a) \le f(x)\)이다. 오른쪽도 같으므로 \(f(a) \le f(x) \le f(b)\)이다.
\([f(a),f(b)]\)의 모든 점이 치역에 있다. \(k \in [f(a), f(b)]\)라 하자.
\(k = f(a)\)이거나 \(k = f(b)\)이면 각각 \(x = a\), \(x = b\)가 답이다.
\(f(a) < k < f(b)\)이면 14회 정리 40에 의하여 \(f(c) = k\)인 \(c\)가 \((a,b)\) 안에 있다. 중간값 정리를 쓰는 자리가 여기이다.
두 방향을 합치면 치역이 정확히 \([f(a),f(b)]\)이다.
\(f(a) < f(b)\)인 것은 순증가에서 나온다. 따라서 \([f(a),f(b)]\)는 점 하나로 찌그러지지 않는 진짜 구간이다.
연속이 빠지면 결론이 무너진다. \([0,2]\)에서 \(x < 1\)일 때 \(f(x) = x\)이고 \(x \ge 1\)일 때 \(f(x) = x+1\)인 함수를 보자. 이 함수는 순증가하지만 \(1\)에서 연속이 아니고, 치역은 \([0,1) \cup [2,3]\)이어서 구간이 아니다. 값 \(1.5\)를 갖는 점이 없다.
역함수가 연속이다#
정리 52가 준 것은 \(f^{-1}\)의 정의역이다. 그것이 \([f(a),f(b)]\)라는 닫힌구간이라는 사실이 확보되었다.
정의역을 알았으니 다음 물음은 그 위에서 \(f^{-1}\)이 어떤 함수인가이다. 그리고 우리에게 필요한 것은 연속성이다. 3절에서 역함수의 미분을 증명할 때 \(y\)가 \(f(p)\)로 갈 때 \(f^{-1}(y)\)가 \(p\)로 간다는 사실을 쓰게 되는데, 그 문장이 정확히 \(f^{-1}\)의 연속이다.
증명은 뜻밖의 모양을 한다. \(f\)가 연속이라는 사실은 이미 정리 52에서 다 쓰였고, 아래 증명에서는 순증가만 쓴다. 부등호를 \(f^{-1}\)로 옮기는 조작이 전부이다.
정리 53 (역함수의 연속성)
\(f\)가 닫힌구간 \([a,b]\)에서 연속이고 순증가하면, \(f^{-1}\)은 \([f(a), f(b)]\)에서 순증가하고 연속이다.
증명. 정리 52에 의하여 \(f^{-1}\)의 정의역이 \([A,B]\)이다. 여기서 \(A = f(a)\), \(B = f(b)\)라 두었다.
순증가한다. \(A \le u < v \le B\)라 하고 \(x = f^{-1}(u)\), \(y = f^{-1}(v)\)라 하자. \(x \ge y\)라면 \(x = y\)일 때 (17.1)에서 \(u = v\)가 되어 어긋나고, \(x > y\)일 때 순증가에서 \(u > v\)가 되어 어긋난다. 3회 O2에 의하여 \(x < y\)이다.
연속이다. \(v_0 \in [A,B]\)를 잡고 \(x_0 = f^{-1}(v_0)\)이라 하자. \(\epsilon > 0\)이 주어졌다.
\(x_0\)이 \((a,b)\)의 점인 경우를 먼저 본다. \(\epsilon\)을 줄여서
\(f\)가 순증가하므로 \(f(x_0-\epsilon') < v_0 < f(x_0+\epsilon')\)이다. 그래서
으로 둘 수 있다.
\(|v - v_0| < \delta\)인 \(v \in [A,B]\)를 잡으면 4회 따름정리 1에 의하여
\(x_0 = a\)이면 \(\epsilon' = \min\{\epsilon,\ b-a\}\)로 두고 오른쪽만 쓴다. \(\delta = f(a+\epsilon') - A\)로 잡으면 \(A \le v < A+\delta\)에서 \(a \le f^{-1}(v) < a + \epsilon'\)이므로 11회 (11.12)의 우연속이다. \(x_0 = b\)이면 좌연속이 같은 방식으로 나온다. 11회 정의 22에 의하여 \(f^{-1}\)은 \([A,B]\)에서 연속이다.
이 증명에서 \(f\)가 연속이라는 사실을 한 번도 쓰지 않았다. 쓴 것은 순증가와, 정의역이 \([A,B]\) 전체라는 사실뿐이다. \(f\)의 연속성은 그 정의역을 확보하는 데, 곧 정리 52에서 이미 다 쓰였다.
15회에서 닫힌구간과 연속이라는 조건이 세 정리를 낳았다. 여기가 네 번째이다.
2. 연쇄법칙#
이제 합성함수로 간다. 12회 정의 25가 합성을 정의했고 정리 37가 그 연속성을 주었다. 미분 가능성은 아직이다.
먼저 답이 무엇일지 짐작해 본다. \(g(x) = 3x+1\)이고 \(f(y) = y^2\)이라 하자. 합성하면 \(f(g(x)) = (3x+1)^2 = 9x^2+6x+1\)이므로 16회 공식으로 직접 미분하면 도함수값은 \(18x+6\)이다.
한편 \(f'(y) = 2y\)이고 \(g'(x) = 3\)이므로 \(f'(g(x))\,g'(x) = 2(3x+1)\cdot 3 = 18x+6\)이다. 두 값이 같다. 이것이 연쇄법칙이 주장하는 바이다.
곧바로 쪼개면 안 된다#
증명을 시도해 보자. 차분몫을 다음처럼 쪼개고 싶어진다.
오른쪽 첫 분수가 \(f'(g(p))\)로 가고 둘째 분수가 \(g'(p)\)로 갈 것 같다. 그럴듯하다.
그런데 (17.3)은 항등식이 아니다. \(g(x) = g(p)\)인 \(x\)에서 오른쪽의 분모가 \(0\)이 되어 그 식이 아무것도 뜻하지 않는다.
이것이 억지로 만든 걱정이 아니다. \(g\)가 상수함수이면 모든 \(x\)에서 \(g(x) = g(p)\)이므로 오른쪽은 어디서도 정의되지 않는다. 그런데 왼쪽은 멀쩡하다. 상수함수의 합성도 상수함수이므로 왼쪽은 모든 \(x\)에서 \(0\)이다.
상수함수만의 문제도 아니다. \(g\)가 \(p\) 근처의 어떤 구간에서만 상수이고 바깥에서는 변하는 함수라면, \(g\)는 \(p\)에서 미분 가능한데도 \(g(x) = g(p)\)인 \(x\)가 \(p\) 주위에 통째로 깔려 있다. 극한을 취할 때 보는 것이 \(p\)에 가까운 점들이므로, 하필 그 점들에서 식이 무너지면 극한을 논할 수 없다.
\(g(x)=g(p)\)인 점이 \(x=p\) 하나뿐인 함수도 물론 많다. 그러나 증명은 그런 \(g\)만 다룰 수 없다. 정리의 가정은 “\(g\)가 \(p\)에서 미분 가능하다”뿐이고, 그 가정을 만족하면서 (17.3)을 무너뜨리는 \(g\)가 실제로 있다.
흔한 오해 — 이 구멍을 보지 못하는 것
(17.3) 을 그대로 쓰고 두 극한의 곱이라고 적는 논증을 흔히 본다. 결론은 맞지만 증명이 아니다.
이 책이 11회 정의 18에서 \(0 < |x-p|\)라는 조건을 둔 이유가 여기서 드러난다. 그 조건은 \(x = p\) 하나만 빼 준다. \(g(x) = g(p)\)인 다른 점들은 빼 주지 않는다.
12회의 「합성을 극한의 형태로 진술하는 것」 상자가 든 반례가 정확히 같은 구조였다. 안쪽 함수가 바깥 함수의 문제 지점을 실제로 맞히는 경우이다.
구멍을 메우는 장치#
문제는 \(y = g(p)\)에서 값이 없는 분수이다. 그 점에서의 값을 손으로 정해 주면 된다.
보조정리 9 (차분몫의 연속 확장)
\(f\)가 \(q\)를 포함하는 열린구간 \(V\)에서 정의되어 있고 \(q\)에서 미분 가능하다고 하자. \(V\)에서
로 정의하면 \(F\)는 \(q\)에서 연속이고, \(V\)의 모든 \(y\)에 대하여
가 성립한다.
증명. 연속이다. \(y \ne q\)에서 \(F\)는 16회 정의 29의 차분몫이고, \(f\)가 \(q\)에서 미분 가능하므로 정의 30에 의하여 \(\lim_{y\to q} F(y) = f'(q)\)이다. \(F(q)\)를 그 값으로 정했으므로 11회 (11.10)이 성립하고, 정의 20에 의하여 \(F\)는 \(q\)에서 연속이다.
등식이 성립한다. \(y \ne q\)이면 (17.4)의 위쪽 식에 \(y - q\)를 곱한 것이 (17.5)이다. \(y = q\)이면 양변이 모두 \(0\)이다.
(17.5)에 분모가 없다. 이것이 요점이다. (17.3)이 나눗셈이라 무너진 자리에서 (17.5)는 곱셈이라 무너지지 않는다.
\(F\)를 만든 방식도 짚어 둔다. 16회 1절에서 차분몫이 \(p\)에서 정의되지 않는다는 것을 확인했고, 그 빈 자리를 극한값으로 메우면 연속함수가 된다. 12회 4절이 \(r(x) = \frac{x^2-9}{x-3}\)을 두고 같은 이야기를 했지만 그때는 그렇게 메운 함수를 쓸 일이 없었다. 여기가 그 일을 하는 자리이다.
정리 54 (연쇄법칙)
\(g\)가 \(p\)에서 미분 가능하고 \(f\)가 \(g(p)\)에서 미분 가능하면 \(f \circ g\)는 \(p\)에서 미분 가능하고
이다.
증명. \(q = g(p)\)라 두자. \(f\)가 \(q\)에서 미분 가능하므로 정의 30에 의하여 \(f\)는 \(q\)를 포함하는 어떤 열린구간 \(V\)에서 정의되어 있다.
합성이 \(p\) 근처에서 정의된다. \(g\)가 \(p\)에서 미분 가능하므로 16회 정리 47에 의하여 \(p\)에서 연속이다. \(V\)가 열린구간이므로 \(q\)를 중심으로 하는 근방 \(N(q;\eta) \subset V\)가 있고, 연속의 정의를 허용 오차 \(\eta\)에 적용하면 \(|x-p|<\delta_0\)에서 \(g(x) \in V\)가 되는 \(\delta_0 > 0\)이 있다.
\(g\)의 치역 전체가 \(V\)에 들어간다는 보장은 없다. 그러나 12회 정의 25의 마지막 문장이 합성의 정의역을 \(g(x)\)가 바깥 함수의 정의역에 드는 \(x\) 전체로 정하므로, 방금 얻은 \(N(p;\delta_0)\)이 그 정의역에 포함된다. 극한을 다루는 데 필요한 것은 \(p\) 근처뿐이므로 이것으로 충분하다.
등식을 세운다. 보조정리 9의 \(F\)를 잡는다. \(|x-p| < \delta_0\)이면 \(g(x) \in V\)이므로 (17.5)에 \(y = g(x)\)를 넣을 수 있고
\(0 < |x-p| < \delta_0\)에서 양변을 \(x-p\)로 나누면
이다. (17.3)과 달리 오른쪽이 모든 \(x\)에서 뜻을 갖는다.
극한을 취한다. \(g\)가 \(p\)에서 연속이고 \(F\)가 \(g(p)\)에서 연속이므로 12회 정리 37에 의하여 \(F \circ g\)는 \(p\)에서 연속이고, 정의 20에 의하여
증명의 어느 자리에서 무엇이 쓰였는지 정리해 둔다.
쓰인 것 |
어디서 |
|---|---|
16회 정리 47 |
합성이 \(p\) 근처에서 정의되게 하는 데 |
분모를 없애는 데 |
|
12회 정리 37 |
\(F(g(x))\)의 극한을 얻는 데 |
12회 정리 34 |
두 극한을 곱하는 데 |
정리 37이 연속의 형태로만 진술된 것이 여기서 이득이 된다. 12회는 그것을 극한의 형태로 옮기면 거짓이라고 경고했는데, 우리는 \(F\)를 일부러 연속이 되도록 만들어 두었으므로 경고에 걸리지 않는다.
흔한 오해 — \(f'(g(p))\)를 다르게 읽는 것
(17.6)의 \(f'(g(p))\)는 \(f'\)이라는 함수에 \(g(p)\)를 넣은 값이다. 다음 둘과 모두 다르다.
\(\bigl(f(g)\bigr)'(p)\)는 합성함수의 도함수값 자체이므로 (17.6)의 좌변이고, 우변의 한 인수가 아니다.
\(f'\bigl(g'(p)\bigr)\)은 \(f'\)에 \(g'(p)\)를 넣은 것으로 아무 근거 없는 식이다. 위의 \(g(x)=3x+1\), \(f(y)=y^2\)에서 \(f'(g'(x)) = f'(3) = 6\)인데 옳은 답은 \(18x+6\)이다.
넣는 것은 \(g\)의 값이고 곱하는 것이 \(g\)의 도함수값이다.
이제 16회 마치며의 물음에 답할 수 있다. \(f(x) = (x^2+1)^{10}\)은 \(g(x)=x^2+1\)과 \(h(y)=y^{10}\)의 합성이므로, 정리 50와 (17.6)에 의하여 도함수값은 \(10(x^2+1)^9 \cdot 2x\)이다. 전개하지 않았다.
3. 역함수의 미분#
1절이 역함수의 연속성을 주었다. 미분 가능성으로 간다.
짐작을 먼저 해 둔다. \(f\)와 \(f^{-1}\)의 그래프는 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭이다. 대칭시키면 기울기 \(m\)인 직선이 기울기 \(1/m\)인 직선으로 바뀌므로, 대응하는 두 점에서의 접선 기울기가 서로 역수일 것이다. 그림이 말하는 바가 그것이다.
\(m = 0\)이면 \(1/m\)이 없다. 그래서 \(f'(p) \ne 0\)이라는 조건이 붙는다.
정리 55 (역함수의 미분)
\(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이고 순증가한다고 하자. \(p \in (a,b)\)에서 \(f\)가 미분 가능하고 \(f'(p) \ne 0\)이면, \(f^{-1}\)은 \(q = f(p)\)에서 미분 가능하고
이다.
증명. \(g = f^{-1}\)이라 쓰고 \(A=f(a)\), \(B=f(b)\)라 하자. 정리 53에 의하여 \(g\)는 \([A,B]\)에서 순증가하고 연속이다.
차분몫을 뒤집는다. \(f\)의 차분몫을 보조정리 9의 방식으로 확장한다. \(p\)를 포함하는 열린구간 \((a,b)\)에서
\(H\)는 \(0\)이 되지 않는다. \(x \ne p\)이면 \(f\)가 순증가하므로 \(f(x) \ne f(p)\)이고 따라서 \(H(x) \ne 0\)이다. \(x = p\)에서는 \(H(p) = f'(p) \ne 0\)이 가정이다. 가정이 쓰이는 자리가 여기이다.
\(H\)가 \(p\)에서 연속이고 \(H(p) \ne 0\)이므로 12회 정리 36의 몫에 의하여 \(1/H\)도 \(p\)에서 연속이다.
합성한다. \(y \in [A,B]\)이고 \(y \ne q\)라 하자. \(x = g(y)\)라 두면 \(g\)가 순증가하므로 \(x \ne p\)이고, (17.1)에서 \(f(x) = y\)이며 \(f(p) = q\)이다. 그러므로
이다. \(g\)의 차분몫이 \(p\)에서 연속인 함수와 \(g\)의 합성으로 적혔다.
\(g\)가 \(q\)에서 연속이고 \(g(q) = p\)이며 \(1/H\)가 \(p\)에서 연속이므로 정리 37에 의하여 \((1/H) \circ g\)는 \(q\)에서 연속이다. 따라서 (17.9)의 극한은 그 함수의 \(q\)에서의 값이고
2절과 3절이 같은 장치를 썼다. 차분몫의 빈 자리를 극한값으로 메워 연속함수로 만들고, 정리 37으로 합성의 극한을 얻는다. 두 정리의 증명이 이 한 문장을 공유한다.
흔한 오해 — 대입하는 점을 헷갈리는 것
(17.8)을 \(\dfrac{1}{f'(y)}\)로 쓰면 안 된다. \(f'\)에 넣는 것은 \(y\)가 아니라 \(f^{-1}(y)\)이다.
\(f(x) = x^3\)을 보자. \(f^{-1}\)의 \(8\)에서의 도함수값을 구하려면 먼저 \(f^{-1}(8) = 2\)를 구하고 \(f'(2) = 12\)를 계산해 \(1/12\)를 얻는다. \(f'(8) = 192\)를 써서 \(1/192\)라 하면 틀린다.
\(f\)와 \(f^{-1}\)은 서로 다른 점에서 서로 다른 기울기를 갖고, (17.8)은 대응하는 두 점을 짝지어 준다.
도함수가 0이면 무너진다#
예제 12 (세제곱의 역함수는 원점에서 미분 가능하지 않다)
\(f(x) = x^3\)은 \([-1,1]\)에서 연속이고 순증가하지만 \(f'(0) = 0\)이다. 이때 \(f^{-1}\)은 \(0\)에서 미분 가능하지 않다.
\(f\)가 순증가하는 것부터 확인한다. \(x < y\)라 하자. \(y^3 - x^3 = (y-x)(y^2+xy+x^2)\)인데 둘째 인수는
\(f\)는 다항함수이므로 12회 정리 38에 의하여 연속이고, 정리 53에 의하여 \(g = f^{-1}\)은 \([-1,1]\)에서 연속이고 순증가한다.
\(g\)가 \(0\)에서 미분 가능하다고 가정하고 모순을 끌어낸다.
\(f(0)=0\)이므로 (17.1)에서 \(g(0)=0\)이고, 같은 식에서 모든 \(y \in [-1,1]\)에 대하여 \(f(g(y)) = y\)이다. 곧 \(f \circ g\)는 항등함수이다.
가정에 의하여 \(g\)가 \(0\)에서 미분 가능하고, \(f\)는 \(g(0)=0\)에서 미분 가능하다. 정리 54을 쓰면
\(0 = 1\)은 3회 정리 7에 어긋난다. 따라서 가정이 틀렸고, \(g\)는 \(0\)에서 미분 가능하지 않다.
무엇이 일어나는지도 보아 두자. \(y \ne 0\)이고 \(x = g(y)\)라 하면 \(y = x^3\)이므로
정리 55의 \(f'(p) \ne 0\)은 없어도 되는 장식이 아니다. 그리고 이 예는 미분 가능성이 역함수로 넘어가지 않는다는 것도 보인다. \(f\)는 모든 점에서 미분 가능한데 \(g\)는 한 점에서 그렇지 않다.
연속성은 넘어갔다. 정리 53가 그것이었다. 연속과 미분 가능이 역함수 앞에서 갈린다.
4. 거듭제곱근과 유리수 지수#
1절과 3절을 합치면 새 함수를 만들 수 있다. 이 책은 아직 \(\sqrt{x}\)를 정의한 적이 없다.
14회 예제 8가 \(c^2 = 2\)인 \(c\)가 있다고 했지만 그것은 수 하나의 존재였다. 모든 \(x \ge 0\)에 대하여 제곱근을 대응시키는 함수는 아직 없다.
보조정리 10 (거듭제곱은 순증가한다)
자연수 \(n\)에 대하여 \(f(x) = x^n\)은 \([0,\infty)\)에서 순증가한다.
증명. \(n\)에 대한 귀납법을 쓴다. \(x^n\)의 정의는 12회 정의 26이다.
\(n=1\)이면 \(f(x)=x\)이므로 \(0 \le x < y\)에서 \(f(x) < f(y)\)가 그대로 성립한다.
\(n\)에서 성립한다고 하고 \(0 \le x < y\)라 하자. 귀납가정에서 \(x^n < y^n\)이다.
\(x = 0\)이면 \(x^{n+1} = 0\)이고 \(y > 0\)이므로 \(y^{n+1} > 0\)이다. 3회 O1에서 양수끼리의 곱이 양수이므로 그렇다.
\(x > 0\)이면 \(x^n > 0\)이다. \(x^{n+1} = x^n \cdot x < x^n \cdot y\)는 3회 정리 6의 두 번째 항목을 \(x < y\)에 양수 \(x^n\)을 곱하여 얻고, \(x^n \cdot y < y^n \cdot y\)는 같은 항목을 \(x^n < y^n\)에 양수 \(y\)를 곱하여 얻는다. 두 부등식을 정리 6의 네 번째 항목으로 이으면 \(x^{n+1} < y^{n+1}\)이다.
4회 정리 9에 의하여 모든 자연수 \(n\)에서 성립한다.
정의 35 (\(n\)제곱근)
자연수 \(n\)과 실수 \(b > 0\)에 대하여 \(f(x) = x^n\)은 \([0,b]\)에서 연속이고 순증가하므로, 정리 52에 의하여 치역이 \([0,b^n]\)이고 정리 53에 의하여 연속인 역함수를 갖는다. 그 역함수를 \(y \mapsto y^{1/n}\)이라 쓰고 \(y\)의 \(n\)제곱근이라 한다. \(n=2\)일 때는 \(\sqrt{y}\)라고도 쓴다.
\(b\)를 크게 잡을수록 정의역이 넓어지고, 겹치는 곳에서 두 정의가 같은 값을 준다. \(0 \le y \le b_1^n \le b_2^n\)이면 어느 쪽에서 구해도 \(x^n = y\)인 \(x \ge 0\)은 하나뿐이기 때문이다. 그러므로 \(y^{1/n}\)은 모든 \(y \ge 0\)에서 정해진다.
5회 2절이 미루고 14회 예제 8가 존재를 보인 그 수가 \(2^{1/2}\)이다. 14회가 그 수 하나를 갚았고 여기서 함수로 넓어졌다. 그때는 \(c^2=2\)인 \(c\)가 있다는 진술이었고 이제는 모든 \(y \ge 0\)에 값을 대응시키는 함수이다.
정리 56 (\(n\)제곱근의 미분)
자연수 \(n\)과 \(y > 0\)에 대하여 \(y^{1/n}\)은 미분 가능하고
이다.
증명. \(f(x)=x^n\)이라 하고 \(p = y^{1/n}\)이라 두면 \(y > 0\)이므로 \(p > 0\)이다. \(b\)를 \(p < b\)가 되도록 잡으면 \(p\)는 \((0,b)\)의 점이다.
16회 정리 50에 의하여 \(f\)는 \(p\)에서 미분 가능하고 \(f'(p) = n\,p^{\,n-1}\)이다. \(p>0\)이므로 \(p^{\,n-1}>0\)이고 \(n \ge 1\)이므로 \(f'(p) \ne 0\)이다.
정리 55를 적용하면 \(f^{-1}\)이 \(y = f(p)\)에서 미분 가능하고 도함수값이 \(1/f'(p)\)이다. \(p = y^{1/n}\)을 넣은 것이 (17.10)이다.
\(n=2\)이면 (17.10)은 \(\dfrac{1}{2\sqrt{y}}\)이다. \(y = 9\)에서 값은 \(\dfrac{1}{2\cdot 3} = \dfrac16\)이다.
\(y = 0\)은 빠져 있다. \(f'(0) = n\cdot 0^{\,n-1}\)이 \(n \ge 2\)에서 \(0\)이므로 정리 55를 쓸 수 없고, 실제로 예제 12가 \(n=3\)에서 미분 가능하지 않음을 보였다.
유리수 지수#
정의 35가 \(y^{1/n}\)을 주었고 12회 정의 26가 \(y^m\)을 주었다. 두 지수는 각각 \(1/n\) 꼴과 자연수 꼴뿐이라 그 사이가 비어 있다. \(y^{2/3}\)을 적을 방법이 아직 없다.
빈 자리를 메우는 데 새 장치가 필요하지 않다. 두 조작을 잇달아 하면 된다. \(n\)제곱근을 먼저 취하고 그 결과를 \(m\)제곱하는 것이다.
그리고 잇달아 한 것의 도함수를 구하는 규칙이 2절의 연쇄법칙이다. 1절에서 만든 함수와 2절에서 얻은 규칙이 여기서 만난다.
정의 36 (유리수 지수)
자연수 \(m\), \(n\)과 \(y > 0\)에 대하여 \(y^{m/n} = \bigl(y^{1/n}\bigr)^m\)이라 정의한다.
정리 57 (유리수 지수의 미분)
자연수 \(m\), \(n\)과 \(y>0\)에 대하여
이다.
증명. \(u(y) = y^{1/n}\)이고 \(h(t) = t^m\)이라 하면 \(y^{m/n} = h(u(y))\)이다.
정리 56에 의하여 \(u\)가 \(y\)에서 미분 가능하고, 정리 50에 의하여 \(h\)가 \(u(y)\)에서 미분 가능하다. 정리 54에 의하여
16회 정리 50가 자연수 지수에 대한 것이었다. 같은 모양의 공식이 유리수 지수로 넓어졌다. \(y^{1/2}\)의 도함수는 \(\frac12 y^{-1/2}\)이고, 이것은 (17.10)이 준 \(\frac{1}{2\sqrt y}\)와 같다.
아직 무리수 지수는 없다
\(y^{\sqrt 2}\) 같은 것은 이 회차의 도구로 정의되지 않는다. 정의 36가 쓰는 것은 \(n\)제곱근과 자연수 거듭제곱뿐이고, 두 조작 모두 유리수까지만 닿는다.
무리수 지수를 정의하려면 지수함수를 먼저 세워야 하며, 그것은 21회의 일이다.
마치며#
이번 회차에서는 합성함수와 역함수의 도함수를 구하는 규칙을 얻었다.
연쇄법칙의 증명에서는 차분몫을 그대로 쪼갤 수 없었다. \(g(x) = g(p)\)인 점에서 분모가 \(0\)이 되기 때문이고, \(g\)가 상수함수이면 모든 점이 그런 점이다. 차분몫의 빈 자리를 극한값으로 메워 연속함수 \(F\)를 만들고, 분모가 없는 등식 (17.5)로 옮겨 이 문제를 피하였다.
역함수의 미분에서는 같은 장치를 다시 썼다. 차분몫을 확장한 \(H\)를 만들고, \(H(p) \ne 0\)에서 \(1/H\)가 연속임을 얻고, 1절의 역함수 연속성과 12회 합성 정리로 극한을 계산하였다. 두 증명이 같은 문장을 공유한다.
그리고 새 함수를 하나 만들었다. \(x^n\)이 순증가하고 연속이므로 연속인 역함수를 갖고, 그것이 \(n\)제곱근이다. 5회에서 미루고 14회에서 존재만 보인 \(\sqrt 2\)가 이제 함수의 값이 되었다.
\(f'(p) = 0\)인 점에서는 역함수가 미분 가능하지 않을 수 있다. \(x^3\)의 역함수가 원점에서 그러하다. 연속성은 역함수로 넘어가지만 미분 가능성은 넘어가지 않는다.
이것으로 미분의 계산 규칙은 대체로 갖추어졌다. 그러나 지금까지 얻은 것은 전부 한 점에서의 성질이다. 도함수는 한 점에서 정의되었고, 이 회차의 세 정리도 모두 한 점에 관한 등식이다.
도함수가 모든 점에서 양수이면 함수가 증가하는가. 도함수가 모든 점에서 \(0\)이면 함수가 상수인가. 두 물음 모두 한 점의 정보에서 구간 전체의 결론을 끌어내는 형태인데, 그런 도구가 아직 없다.
다음 회차에서는 평균값 정리를 알아보도록 하자.
이어서
같은 회차의 실험: 17회 실험 · 되돌리는 함수