13회 · [정리편 1] 실수에서 적분까지#
이 회차
한 문장 |
지금까지 세운 정의와 정리를 계보로 정리하고, 판정 절차를 하나 만든다. |
출처 |
L11 |
파트 |
PART I — 무한을 담을 그릇 · 관통 질문: 넓이를 어떻게 정의할 것인가 |
짝 실험 |
열두 회차가 지났다. 실수의 공리에서 출발하여 적분을 정의하였고, 적분의 성질을 증명하였고, 극한과 연속을 정의하였다.
이번 회차에서는 새로운 내용을 다루지 않는다. 대신 지금까지 세운 정의와 정리가 어떤 순서로 서로에게 의존하는지를 하나의 계보로 정리한다. 그리고 함수 하나가 주어졌을 때 적분 가능성을 판정하는 절차를 만들어 둔다.
1. 정의 계보#
열두 회차 동안 공리를 세우고 정의와 정리를 쌓았는데, 무엇이 무엇 위에 서 있는지는 각 회차 안에서만 확인했다. 한 장으로 모으면 두 가지가 드러난다. 완비성 공리가 몇 군데에서 쓰였는가, 그리고 아직 어디에도 연결되지 않은 것이 무엇인가이다.
수를 먼저 세어 둔다. 정의·정리·보조정리·따름정리·예제 상자가 열두 회차에 여든네 개이고, 그 가운데 공리는 둘이다. 완비성 공리와 넓이 공리이다. 나머지 여든두 개는 모두 유도된 것이다.
F1-F6, O1-O3 (3회) ax-6-area (6회)
| Q도 만족한다 -> 부족 |
v v
ax-5-completeness (5회) ------+ def-7-step-integral (7회)
| | | thm-7-well-defined
| | |
+--> thm-5-archimedes --> cor-5-small |
| | |
+--> thm-5-eps | |
| | |
+------------------------+--> def-7-lower-upper (7회)
|
v
def-7-integral (7회)
|
+-----------------------+-----------------------+
v v
thm-8-linear / thm-8-additive / thm-8-compare thm-8-riemann
(증명은 9회) |
v
thm-10-monotone
|
v
thm-10-piecewise
공리는 둘뿐이다#
3회의 체 공리 F1–F6과 순서 공리 O1–O3은 가정이지만 공리 상자로 두지 않았다. 표로 제시하고 그 자리에서 유리수도 만족한다는 것을 확인했기 때문이다. 상자로 세운 것은 5회 공리 1와 6회 공리 2 둘이다.
넓이 공리는 계보의 오른쪽 가지에만 나타난다. 7회 정의 13이 직사각형의 넓이를 쓰는 자리에서 한 번 쓰이고, 그 뒤로는 등장하지 않는다. 적분을 정의하고 나면 넓이 공리가 더는 필요하지 않다.
완비성 공리에서 세 갈래가 나간다#
계보도에서 화살표가 가장 많이 나가는 곳이 공리 1이다. 세 갈래를 따로 적으면 다음과 같다.
첫째, 정리 17를 거쳐 따름정리 4로 간다. 이 갈래가 “잘게 나눌 수 있다”를 담당한다. 10회 보조정리 3와 보조정리 4가 여기에 매달려 있고, 정리 31의 마지막 단계도 그렇다.
둘째, 정리 14로 간다. 최소상계를 \(\epsilon\)으로 다루는 형태이며, 8회 정리 25의 증명과 9회의 (iii) 단계가 전부 이것을 쓴다.
셋째, 정의 14의 존재 자체를 보장한다. 상적분과 하적분이 수로 정의되려면 그 최소상계와 최대하계가 있어야 하는데, 그것을 주는 것이 완비성 공리이다.
반면 완비성과 무관한 것도 있다. 5회 정리 18과 따름정리 5는 4회의 절댓값에서만 나온다. 12회는 새 공리를 하나도 쓰지 않았다.
갚은 빚#
미뤄 둔 것을 어디서 갚았는지 정리한다.
미뤄 둔 자리 |
갚은 자리 |
|---|---|
1회 — 양수 \(d\)에 대해 \(b^3/n < d\)인 \(n\)이 있다 (근거 미확정) |
5회 따름정리 4 |
1회 — 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이가 무엇인지 정하지 않았다 |
|
1회 — (1.5)를 어떻게 얻는지는 다루지 않는다 |
4회 정리 12 |
2회 — 함수의 정의는 아직 하지 않는다 |
6회 정의 9 |
3회 — 세 번째 공리 묶음이 필요하다 |
5회 공리 1 |
4회 — 절댓값 부등식이 오차 논증에 쓰인다 |
|
8회 — 네 성질의 증명을 다음 회차로 미룬다 |
9회 전체 |
9회 — 임의의 부분구간에 유리수와 무리수가 모두 있다 |
10회 보조정리 4 |
10회 — 연속함수라는 말을 아직 정의하지 않았다 |
11회 정의 20 |
11회 — 끝점에서의 연속은 4절에서 적는다 |
11회 정의 22 |
12회 — 몫의 증명은 2절에서 마친다 |
12회 따름정리 7 |
6회 — 아래쪽은 부호를 뒤집으면 된다 |
5회 따름정리 3 |
아직 갚지 않은 빚#
계보를 그리면 두 곳이 비어 있다.
첫째, 제곱해서 \(2\)가 되는 수의 존재. 5회 2절은 최소상계 \(b\)를 얻은 뒤 “\(b^2 = 2\)임을 보일 수 있다”로 끝냈고 논증을 적지 않았다. 그런데 10회 보조정리 4의 증명은 이것을 “확인하였다”고 인용한다. 두 문장이 어긋나 있으며 아직 메워지지 않았다.
둘째, 곱의 적분 가능성. 8회 4절이 \(fg\)의 적분 가능성을 “진술만 하고 증명하지 않는다”고 적었고 9회도 증명하지 않았다. 계보에서 증명 없이 쓰는 사실로 표시해 두어야 한다.
연결되지 않은 두 회차#
계보도를 다시 보면 눈에 띄는 것이 있다. 11회와 12회가 어디에도 연결되어 있지 않다.
여든네 개의 상자 가운데 스무 개가 이 두 회차에서 나왔다. 극한을 정의하고, 연속을 정의하고, 사칙연산과 부호 보존까지 갖추었다. 그런데 적분 쪽 계보와 잇는 화살표가 하나도 없다.
극한을 도입한 이유는 10회 4절에서 답하지 못한 문제 때문이었다. 각 부분구간의 진동을 통제해야 하는데 단조성이 없으면 방법이 없었다. 그 문제로 아직 돌아가지 않았다.
2. 적분 가능성 판정 절차#
1절이 무엇이 무엇 위에 서 있는지를 보였다면, 이 절은 함수 하나를 받았을 때 어느 정리를 어느 순서로 꺼내는가를 정한다.
적분 가능성을 다룬 회차가 7·8·9·10회로 넷인데, 각 회차의 결과가 서로 다른 종류의 질문에 답한다. 순서를 정해 두지 않으면 어느 것을 먼저 시도해야 하는지 알 수 없다.
f is given on [a,b]
|
+- Is f bounded? (def-6-bounded)
| no -> the definition itself does not apply (def-7-lower-upper)
|
+- Is f a step function? (def-7-step)
| yes -> integrable, and the value is immediate (7.1)
|
+- Is f monotonic? (def-10-monotone)
| yes -> integrable (thm-10-monotone), gap = (b-a)(f(b)-f(a))/n
|
+- Is f piecewise monotonic? (def-10-piecewise)
| yes -> integrable (thm-10-piecewise)
|
+- Is f built from integrable pieces?
| sum / scalar multiple (thm-8-linear)
| split at an interior point (thm-8-additive) <- necessary and sufficient
| absolute value (thm-8-abs)
| product stated without proof
|
+- otherwise -> check the Riemann condition directly (thm-8-riemann)
| the n-fold variant gives only a sufficient condition
|
+- to show NOT integrable -> show the two integrals differ (ex-10-dirichlet)
각 단계가 하는 일#
유계 단계. 6회 정의 10의 조건이 없으면 7회 정의 14의 두 집합이 유계가 아니어서 최소상계가 존재하지 않는다. 정의 자체가 적용되지 않는다.
유계는 필요조건이지 충분조건이 아니다. 디리클레 함수는 \([0,1]\)에서 \(|f| \le 1\)로 유계인데 10회 예제 5에 의하여 적분 가능하지 않다.
단조 단계. 여기서 판정이 가장 빨리 끝난다. \(f(x) = x^2\)을 \([0,1]\)에서 보면 10회 (10.5)에 의하여 \(U_n - L_n = \frac{1 \cdot 1}{n} = \frac{1}{n}\)이다. \(\epsilon = 10^{-3}\)이 주어지면 \(n = 1001\)에서 이미 조건이 성립한다.
분자가 \(n\)과 무관하다는 것이 정리 31의 전부이다. 구간의 폭과 양 끝값의 차만으로 정해지므로 \(n\)을 키우면 값이 줄어든다.
조립 단계. 이미 적분 가능한 것들로 만들어졌으면 새로 판정할 필요가 없다. 9회에서 증명한 정리 22와 정리 23가 조립 규칙이다. 그중 정리 23는 필요충분조건이라 양방향으로 쓸 수 있다.
리만 조건 단계. 위의 어느 것도 통하지 않으면 8회 정리 25으로 돌아간다. 여기서 순서에 유의한다. \(\epsilon\)이 먼저 주어지고 계단함수 쌍 \(s \le f \le t\)가 나중에 나온다. 순서를 바꾸면 다른 명제가 된다.
그리고 계단함수를 구체적으로 만들 필요가 없다. 존재만 보이면 된다.
\(n\)등분 변형. 8회 3절이 적은 대로 이 형태는 충분조건만 준다. \(n\)등분으로 차이를 작게 만들지 못했다고 해서 적분 불가능이라고 말할 수 없다. 다만 이 시점에 그런 반례를 하나도 갖고 있지 않다. 반례가 없다는 사실 자체를 적어 둔다.
진동으로 통일해 읽는다#
세 경우를 한 양으로 읽을 수 있다. 10회 (10.11)의 진동 \(\omega_k = M_k - m_k\)이다.
증가함수에서는 \(\omega_k = f(x_k) - f(x_{k-1})\)이므로 4회 정리 10의 망원합에 의하여
이다. 이 값이 \(n\)과 무관하다. 그래서 \(U_n - L_n\)이 \(1/n\)에 비례하여 줄어든다.
디리클레 함수에서는 10회 보조정리 4에 의하여 모든 부분구간에 유리수와 무리수가 함께 있으므로 \(M_k = 1\)이고 \(m_k = 0\)이며 \(\omega_k = 1\)이다. 따라서
이고, \(n\)이 아무리 커져도 값이 줄지 않는다.
두 경우의 차이가 (13.1)과 (13.2)의 오른쪽에 그대로 나타난다. 앞은 \(n\)과 무관한 상수이고 뒤는 \(n\)에 비례한다.
구체적인 값으로 보면 \([0,1]\)에서 \(n = 1000\)일 때 \(x^2\)은 \(U_n - L_n = 10^{-3}\)이고 디리클레 함수는 \(U_n - L_n = 1\)이다. 같은 분할인데 한쪽은 천분의 일이고 다른 쪽은 그대로이다.
절차에 없는 것#
위 절차를 다시 보면 연속이라는 항목이 없다.
12회 4절이 적은 대로 연속이라는 사실에서 적분 가능성으로 건너갈 다리가 아직 없다. 다항함수가 모든 점에서 연속임은 12회 정리 38로 알지만, 그 함수가 적분 가능하다는 것은 조각적 단조라는 별개의 근거로만 말할 수 있다.
3. 헷갈리는 네 쌍#
지금까지 「흔한 오해」 상자를 서른일곱 개 두었다. 그중 상당수가 두 개념을 구별하지 못한 데서 온 것이었고, 같은 구별이 회차를 건너뛰며 반복되었다. 네 쌍으로 묶으면 그 반복이 보인다.
쌍 |
무엇이 다른가 |
처음 나온 자리 |
|---|---|---|
최댓값과 최소상계 |
그 값이 집합에 속해야 하는가 |
5회 정의 7 |
상합과 상적분 |
특정 분할에 대한 값인가, 모든 계단함수에 대한 최대하계인가 |
7회 정의 14 |
유계와 적분 가능 |
유계는 필요조건이지 충분조건이 아니다 |
6회 정의 10 |
\(\forall\epsilon\,\exists\delta\)와 \(\exists\delta\,\forall\epsilon\) |
두 양화사의 순서 |
최댓값과 최소상계. 최댓값은 집합에 속해야 하고 최소상계는 그럴 필요가 없다. \(S = \{x \in \R : x < 1\}\)을 보면 \(\sup S = 1\)인데 \(1 \notin S\)이므로 최댓값이 없다. 5회에서 이 구분을 세웠고 7회에서 상적분을 다룰 때 다시 나왔다.
상합과 상적분. \(U_n\)은 하나의 분할에 대한 값이고 \(\overline{I}(f)\)는 그런 값 전체에 대한 최대하계이다. \([0,1]\)의 \(x^2\)에서 7회 (7.15)에 의하여 \(U_8 = 51/128 = 0.3984375\)이고 상적분은 \(1/3\)이다. 어떤 \(n\)에서도 \(U_n = 1/3\)이 되지 않는다. (7.15)의 \(U_n = \frac13 + \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2}\)에서 뒤의 두 항이 언제나 양수이기 때문이다. 최대하계가 집합에 속하지 않는다는 앞 쌍의 이야기가 여기서 되풀이된다.
유계와 적분 가능. 유계이면서 적분 불가능한 함수가 있다. 디리클레 함수는 \(|f| \le 1\)인데 \(\underline{I}(f) = 0\)이고 \(\overline{I}(f) = b-a\)이다. 반대로 적분 가능하면 유계인 것은 정의가 요구하는 바이다. 한쪽 방향만 성립한다.
두 양화사의 순서. 2회 (2.5)는 참이고 (2.6)은 거짓인데 두 명제의 차이는 순서뿐이다. 같은 구분이 8회 리만 조건과 11회 극한의 정의에서 되풀이되었다. 11회 예제 7에서 \(\delta = \min\{1, \epsilon/7\}\)이 \(\epsilon\)에 따라 달라진 것이 그 예이다. \(\delta\) 하나가 모든 \(\epsilon\)을 감당하는 일은 상수함수에서만 일어난다.
4. 자주 하는 실수#
서른일곱 개의 상자를 회차 순서로 늘어놓으면 목록일 뿐이다. 실수의 종류로 묶으면 여섯 가지밖에 없다.
축 |
항목 |
|---|---|
① 양화사와 순서 |
“모든”의 부정을 “모든 ~이 아니다”로 쓰는 것 (2회) · 리만 조건에서 \(\epsilon\)과 계단함수의 순서를 바꾸는 것 (8회) · \(\epsilon\)-\(\delta\)에서 \(\delta\)를 먼저 잡는 것 (11회) |
② 정의의 조건을 빠뜨림 |
최소상계 정의의 두 번째 조건을 빠뜨리는 것 (5회) · 리만 조건에서 \(s \le f \le t\)를 빠뜨리는 것 (8회) · 부호 보존을 \(A \ge 0\)까지 넓히는 것 (12회) |
③ 공리와 정리의 혼동 |
공리를 “당연한 사실”로 여기는 것 (3회) · \(a\cdot 0 = 0\)을 공리로 아는 것 (3회) · 잘게 나눌 수 있다는 것이 자명하다고 여기는 것 (5회) |
④ 무한에 대한 직관 |
이 논증에는 극한이 없다 (1회) · 적분을 “무한히 잘게 나눈 합”으로 읽는 것 (7회) · 하합이 적분값과 같아지는 \(n\)이 있다고 보는 것 (7회) |
⑤ 역·대우·필요충분 |
대우와 역을 바꾸는 것 (2회) · \(\lvert f \rvert\)가 적분 가능하면 \(f\)도 그렇다고 보는 것 (9회) · \(n\)등분 변형을 필요충분으로 읽는 것 (8회) |
⑥ 부호와 유계성 처리 |
상수배에서 부호를 나누지 않는 것 (9회) · 최소상계가 합에 대하여 분배된다고 보는 것 (9회) · 곱의 극한 증명에서 유계성을 건너뛰는 것 (12회) |
네 항목을 자세히 본다. 무엇이 틀렸는지가 아니라 왜 그렇게 쓰게 되는지를 적는다.
최소상계 정의의 두 번째 조건 (5회). 상계를 하나 찾는 것과 가장 작은 상계를 찾는 것은 다른 일이다. 앞은 부등식 하나를 확인하면 되지만 뒤는 다른 모든 상계와 비교해야 한다. 첫 번째 조건만 확인하고 멈추면 상계 중 아무것이나 최소상계라고 부르게 된다.
리만 조건의 순서 (8회). 계단함수를 먼저 고르고 나면 그 뒤에 \(\epsilon\)을 아무리 작게 잡아도 소용이 없다. 고정된 계단함수 쌍의 차이는 이미 정해진 값이기 때문이다. 순서가 반대여야 \(\epsilon\)마다 다른 쌍을 가져올 수 있다.
최소상계가 합에 대하여 분배된다고 보는 것 (9회). 등호가 아니라 부등호이다. 두 함수가 최댓값을 갖는 점이 다르면 한 점에서 두 값을 동시에 얻을 수 없기 때문이다. 9회 (9.10)이 그 사슬이며, 양 끝에서 부등호가 두 개 생기는 이유가 이것이다.
\(\delta\)를 먼저 잡는 것 (11회). 2회 (2.6)이 거짓인 것과 같은 이유이다. 하나의 \(\delta\)가 모든 \(\epsilon\)을 감당하라는 요구가 되어, 그 근방에서 함수가 상수이기를 요구하는 셈이 된다.
5. 연습문제#
판정 절차를 만들었으니 실제로 돌려 본다. 계산보다 근거를 요구한다. 각 문항에서 “어느 정리에 의하여”를 함께 답한다.
\(f(x) = x^3\)이 \([0,2]\)에서 적분 가능한가. 근거가 되는 정리의 라벨을 적고, 그 정리가 요구하는 조건이 성립함을 확인하여라.
\(f(x) = x^2 - 3x\)가 \([0,3]\)에서 적분 가능한가. 이 함수는 단조가 아니다. \(x^2-3x = \bigl(x-\tfrac32\bigr)^2 - \tfrac94\)로 고쳐 조각을 나누고, 어느 정리를 쓰는지 밝혀라.
\([0,1]\)에서 \(x\)가 유리수이면 \(1\), 무리수이면 \(-1\)인 함수 \(f\)를 보자. \(f\)는 유계인가. 적분 가능한가. \(|f|\)는 어떠한가. 이 예가 어느 「흔한 오해」 상자를 다시 확인하는지 적어라.
\(x \ne 0\)에서 \(f(x) = 1/x\)이고 \(f(0) = 0\)인 함수를 \([0,1]\)에서 보자. 판정 절차의 첫 단계에서 무슨 일이 일어나는가. “적분 불가능하다”와 “적분을 정의할 수 없다”의 차이를 적어라.
\(f\)가 \([a,b]\)에서 단조이고 \(g\)가 계단함수일 때 \(f+g\)가 적분 가능함을 보여라. 어느 정리를 쓰는가.
\(f(x) = x\)를 \([0,1]\)에서 \(n\)등분할 때 \(U_n - L_n\)을 구하여라. \(\epsilon = 10^{-3}\)에 대하여 리만 조건을 만족시키는 가장 작은 \(n\)은 얼마인가.
\(f\)가 \([0,2]\)에서 적분 가능하다는 것과 \([0,1]\)과 \([1,2]\)에서 각각 적분 가능하다는 것이 서로 같은 말임을 보이는 정리는 무엇인가. 이 정리가 필요충분이라는 점이 왜 중요한지 한 문장으로 적어라.
\(a < b\), \(b < c\), \(c < d\)일 때 \(a < d\)이다. 3회의 어느 정리를 몇 번 쓰는가.
\(\epsilon > 0\)이 주어졌을 때 \(f(x) = x^2\)이 \(p = 5\)에서 연속임을 보이는 \(\delta\)를 구하여라. \(|x-5| < 1\)을 먼저 요구하면 \(|x+5| < 11\)임을 쓴다.
\(\lim_{x\to p} f(x) = A\)이고 \(A \ge 0\)이면 \(p\)의 어떤 근방에서 \(f \ge 0\)인가. 아니라면 반례를 들고, 12회의 부호 보존이 왜 \(A > 0\)을 요구하는지 적어라.
마치며#
이번 회차에서는 지금까지 세운 정의와 정리를 계보로 정리하고, 적분 가능성을 판정하는 절차를 만들었다.
계보를 보면 한 가지가 눈에 띈다. 극한과 연속을 정의한 11회와 12회의 내용이 아직 계보에 연결되어 있지 않다. 극한을 도입한 이유는 10회에서 답하지 못한 문제 때문이었는데, 아직 그 문제로 돌아가지 않았다.
돌아가려면 연속함수의 정리가 필요하다. 지금까지 연속에 대해 증명한 것은 사칙연산과 부호 보존뿐이며, 이는 한 점 근처에 관한 진술이다. 닫힌구간 전체에 관한 진술이 필요하다.
다음 회차에서는 중간값 정리를 알아보도록 하자.
이어서
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