28회 · 로피탈 법칙과 무한 극한#
이 회차
한 문장 |
분모와 분자가 모두 \(0\)에 가까워질 때, 두 도함수의 비가 극한을 준다. |
출처 |
L27 |
파트 |
PART II — 두 번째 무한 · 관통 질문: 자르기(미분)와 쌓기(적분)는 무슨 관계인가 |
짝 실험 |
20회 4절에서 \(\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}\)를 다루었다. 그때는 부등식과 압축정리로 구했다. 분모와 분자가 모두 \(0\)에 가까워지므로 12회 정리 34의 몫을 쓸 수 없었기 때문이다.
이런 형태의 극한은 자주 나타난다. 그리고 27회에서 얻은 것을 쓰면 다루기 쉬워진다.
이번 회차에서 그 방법을 정리로 세우고, 적용 조건을 확인하고, 무한이 관련된 극한도 다룬다.
PART II의 마지막 회차이다.
1. 부정형#
\(\dfrac{f(x)}{g(x)}\)에서 \(x \to p\)일 때 분모와 분자가 모두 \(0\)으로 간다고 하자. 이런 형태를 \(\dfrac{0}{0}\) 꼴이라 부른다.
이 말이 값을 뜻하지 않는다. 세 예로 확인한다. 셋 다 \(x\to0\)에서 분모와 분자가 \(0\)으로 간다.
함수 |
극한 |
왜 |
|---|---|---|
\(\dfrac{x}{x}\) |
\(1\) |
\(x \ne 0\)에서 값이 항상 \(1\)이다 |
\(\dfrac{x^2}{x}\) |
\(0\) |
\(x \ne 0\)에서 \(x\)와 같다 |
\(\dfrac{x}{x^2}\) |
없다 |
\(x \ne 0\)에서 \(1/x\)와 같다 |
세 번째가 극한을 갖지 않는 것은 15회 예제 9가 보인 대로 \(1/x\)가 \(0\) 근처에서 유계가 아니기 때문이다. 극한이 있으면 12회 보조정리 5에 의하여 그 근처에서 유계여야 한다.
\(\dfrac{0}{0}\)은 값이 아니라 형태이다. 같은 형태에서 서로 다른 결과가 나온다.
그래서 이 형태를 만나면 더 들여다보아야 한다. 그 도구를 만드는 것이 2절과 3절이다.
2. 코시의 평균값 정리#
18회 정리 59가 \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)\)를 주었다. 분모의 \(b-a\)를 다른 함수의 차로 바꾸면 어떻게 되는가.
정리 85 (코시의 평균값 정리)
\(f\)와 \(g\)가 \([a,b]\)에서 연속이고 \((a,b)\)에서 미분 가능하면
인 \(c\)가 \((a,b)\) 안에 있다.
증명. 보조함수를
라 하자. \(f\)와 \(g\)가 \([a,b]\)에서 연속이므로 14회 보조정리 6와 16회 정리 48에 의하여 \(h\)도 \([a,b]\)에서 연속이고 \((a,b)\)에서 미분 가능하다.
두 끝값이 같다. 계산하면
이고, \(h(b)\)도 같은 방식으로 \(f(b)g(b)-f(a)g(b)-g(b)f(b)+g(a)f(b) = g(a)f(b)-f(a)g(b)\)이다. 두 값이 같다.
18회 정리 58에 의하여 \(h'(c)=0\)인 \(c\)가 \((a,b)\) 안에 있고, 그것이 (28.1)이다.
\(g(x)=x\)로 두면 평균값 정리가 나온다. 그때 \(g'(c)=1\)이고 \(g(b)-g(a)=b-a\)이므로 (28.1)이 \(f(b)-f(a) = (b-a)f'(c)\)가 된다.
27회 정리 83가 평균값 정리의 일반화였고, 이것도 그렇다. 방향이 다르다. 27회는 차수를 올렸고 여기서는 분모를 바꾸었다.
두 번 적용하는 것이 아니다
(28.1)을 얻으려고 \(f\)와 \(g\)에 평균값 정리를 각각 적용해 \(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c_1)}{g'(c_2)}\)라 쓰면 안 된다.
두 번 적용하면 \(c_1\)과 \(c_2\)가 다른 점이다. (28.1)의 값어치는 **같은 \(c\)**를 준다는 데 있고, 그래서 보조함수를 하나 만들어 롤의 정리를 한 번만 쓴다.
3. 로피탈 법칙#
2절의 (28.1)을 \(a=p\), \(b=x\)로 두고 나누어 보면 이렇게 읽힌다.
\(f(p)=g(p)=0\)이면 왼쪽이 곧바로 \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\)이다. 1절이 다루려던 그 형태이다.
곧 코시의 평균값 정리는 \(\frac{0}{0}\) 꼴을 도함수의 비로 바꾸어 준다. 그리고 도함수의 비는 더 이상 \(\frac{0}{0}\) 꼴이 아닐 수 있다. 1절의 \(\frac{x^2}{x}\)에서 도함수의 비가 \(\frac{2x}{1}\)이 되어 분모가 \(0\)으로 가지 않는 것이 그 예이다.
남은 문제는 \(c\)이다. 위 등식의 오른쪽에 있는 \(c\)가 어디인지 모른다. 그것을 다루는 방식이 이 절의 증명에서 가장 조심스러운 자리이다.
정리 86 (로피탈 법칙)
\(f\)와 \(g\)가 \(p\)를 포함하는 어떤 열린구간에서 연속이고 \(f(p)=g(p)=0\)이라 하자. 그 구간에서 \(p\)를 뺀 곳에서 \(f\)와 \(g\)가 미분 가능하고 \(g' \ne 0\)이며
이면
이다.
증명. \(\epsilon\)을 먼저 잡는다. \(\epsilon>0\)이 주어졌다. 가정과 11회 정의 18에 의하여 어떤 \(\delta>0\)이 있어서
이다. \(\delta\)를 줄여 그 범위가 가정의 열린구간 안에 들어가게 한다.
\(x\)를 그 안에서 잡는다. \(0<|x-p|<\delta\)라 하자. \(p\)와 \(x\)를 양 끝으로 하는 닫힌구간에서 정리 85를 적용하면, 그 내부의 어떤 \(c\)에 대하여
이다. \(f(p)=g(p)=0\)이므로 \(f(x)g'(c) = g(x)f'(c)\)이다.
나눌 수 있음을 확인한다. \(g(x) \ne 0\)이어야 한다. \(g(x)=0\)이면 \(g(p)=g(x)=0\)이므로 정리 58이 \(g'(\xi)=0\)인 \(\xi\)를 \(p\)와 \(x\) 사이에 주는데, 가정에서 \(g' \ne 0\)이므로 그럴 수 없다.
\(g'(c) \ne 0\)도 확인된다. \(c\)가 \(p\)와 \(x\) 사이에 있으므로 가정의 열린구간에서 \(p\)를 뺀 곳에 들어 있고, 거기서 \(g' \ne 0\)이기 때문이다.
따라서
이다.
여기가 요점이다. \(c\)가 \(p\)와 \(x\) 사이에 있고 \(0<|x-p|<\delta\)이므로 \(0<|c-p|<\delta\)이다. 그러면 첫 문단의 결론이 \(t=c\)에 그대로 적용되어
이다. \(\epsilon\)이 임의였으므로 정의 18에 의하여 (28.2)이다.
“x가 p로 가면 c도 p로 간다”고 쓰지 않았다
이 정리의 흔한 증명이 \(\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}\)를 얻은 뒤 “\(x \to p\)이면 \(c \to p\)이므로 오른쪽이 \(L\)로 간다”고 적는다.
그것은 합성의 극한이다. 12회의 「합성을 극한의 형태로 진술하는 것」 상자가 그 형태를 반례로 무너뜨렸다. 게다가 여기서 \(c\)는 \(x\)의 함수라고 부를 수도 없다. 정리 85가 존재만 말하므로 \(x\)마다 \(c\)가 여럿일 수 있다.
위 증명은 그 자리를 지나가지 않는다. \(\epsilon\)을 먼저 잡고 \(\delta\)를 얻으면, \(c\)가 어디에 있든 자동으로 그 \(\delta\) 안이다.
같은 함정을 피하는 길이 둘이다. 17회는 보조정리 9로 바깥 함수를 연속이 되도록 고쳐 놓고 “우리는 \(F\)를 일부러 연속이 되도록 만들어 두었으므로 경고에 걸리지 않는다”고 적었다. 여기서는 그 길이 막혀 있다 — 고칠 바깥 함수가 없고 \(c\)는 함수조차 아니다. 바깥을 고칠 수 없으면 \(\epsilon\)을 먼저 잡는다. 이것이 이 책이 12회의 경고를 지나는 두 번째 방법이다.
함의의 방향에 유의한다. 도함수의 비의 극한이 존재해야 결론이 나온다. 다음 절이 역이 거짓임을 보인다.
4. 조건이 깨지는 예#
\(f(x) = x^2\sin\dfrac{1}{x}\)이고 \(f(0)=0\)이라 하자. \(g(x)=x\)로 둔다.
\(\sin\frac1x\)은 12회 정의 25의 합성이며 \(x \ne 0\)에서 정의된다. \(f(0)\)을 따로 정해 주었으므로 \(f\)는 실수 전체에서 정의된다.
\(f\)가 \(0\)에서 미분 가능하다. 16회 정의 30의 차분몫이 \(\dfrac{x^2\sin(1/x)-0}{x-0} = x\sin\dfrac1x\)이다.
20회 정리 65의 1이 \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)을 주고 \(\cos^2 x \ge 0\)이므로 \(|\sin| \le 1\)이다(20회 3절이 같은 것을 적어 두었다). 4회 따름정리 2로 \(\left|x\sin\frac1x\right| = |x|\left|\sin\frac1x\right| \le |x|\)이고, 4회 정리 13가 이것을
로 푼다.
양 끝이 \(x\to0\)에서 \(0\)으로 간다. 16회 예제 11가 \(\delta=\epsilon\)으로 \(\lim_{x\to0}|x|=0\)을 확인했고, 12회 4절이 상수함수의 연속을 확인했으므로 정리 34의 곱으로 \(-|x|\)도 그렇다. 따라서 20회 정리 66에 의하여 차분몫의 극한이 \(0\)이고, \(f'(0)=0\)이다.
\(x \ne 0\)에서는 16회 정리 51가 \(\left(\dfrac1x\right)' = -\dfrac{1}{x^2}\)을 주고, 20회 정리 68와 17회 정리 54에 의하여 \(\left(\sin\dfrac1x\right)' = \cos\dfrac1x \cdot \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)\)이다. 16회 정리 49로 묶으면
이다.
원래 비는 극한을 갖는다. \(\dfrac{f(x)}{g(x)} = x\sin\dfrac1x\)이고 위와 같은 압축으로 \(x\to0\)에서 \(0\)으로 간다.
도함수의 비는 극한을 갖지 않는다.
대우로 옮긴다. 이 비가 \(x\to0\)에서 극한을 갖는다고 하자. 앞에서 \(\lim_{x\to0}2x\sin\frac1x = 0\)을 얻었으므로, 12회 정리 34의 차에 의하여
도 극한을 가져야 한다. 그러므로 \(\cos\frac1x\)이 극한을 갖지 않음을 보이면 된다.
\(\lim_{x\to0}\cos\frac1x = A\)인 \(A\)가 있다고 하자. 11회 정의 18을 \(\epsilon=1\)에 적용하면 \(\delta>0\)이 있어서 \(0<|x|<\delta\)에서 \(\left|\cos\frac1x - A\right| < 1\)이다.
그 범위 안에서 값이 \(1\)인 점과 \(-1\)인 점을 찾는다. 20회 6절이 \(\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right) = -\sin x\)와 \(\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x\)를 적었고, 그 둘을 이어 쓰면 \(\cos(x+\pi) = -\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right) = -\cos x\)이다. (T1)의 \(\cos 0 = 1\)에서 시작하여 이것을 되풀이하면 — 되풀이의 근거는 4회 정리 9이다 — 모든 자연수 \(k\)에서 \(\cos(k\pi) = (-1)^k\)이다.
5회 정리 17로 \(2k\pi > \frac1\delta\)인 자연수 \(k\)를 잡는다. \(x_1 = \dfrac{1}{2k\pi}\)와 \(x_2 = \dfrac{1}{(2k+1)\pi}\)는 둘 다 양수이고 \(x_2 < x_1 < \delta\)이므로 \(0<|x|<\delta\) 안에 있으며, \(\cos\frac{1}{x_1} = \cos(2k\pi) = 1\)이고 \(\cos\frac{1}{x_2} = \cos\bigl((2k+1)\pi\bigr) = -1\)이다.
따라서 \(|1-A| < 1\)이고 \(|A-(-1)| < 1\)인데, 5회 정리 18에 의하여
이다. \(2<2\)는 3회 O2(삼분법)에 어긋나므로 그런 \(A\)는 없다. 16회 예제 11가 \(|x|\)의 차분몫에 쓴 논법과 같은 형태이다.
곧 로피탈 법칙의 역은 거짓이다. 원래 극한이 있어도 도함수의 비의 극한은 없을 수 있다.
흔한 오해 — 세 가지
부정형이 아닌데 적용하는 것. 가장 흔하다. \(\lim_{x\to1}\frac{x}{x+1}\)은 \(\frac{1}{2}\)인데 도함수의 비는 \(\frac{1}{1}=1\)이다. 적용 전에 분모와 분자가 모두 \(0\)으로 가는지 확인해야 한다.
몫의 미분 법칙과 혼동하는 것. 정리 86이 쓰는 것은 \(\dfrac{f'}{g'}\)이지 \(\left(\dfrac{f}{g}\right)'\)이 아니다. 16회 정리 51와 아무 관계가 없다.
\(\lim\frac{\sin x}{x}\)를 로피탈로 구하는 것. 20회 1절의 상자가 지적한 순환이다. 그 극한을 로피탈로 구하려면 \(\sin' = \cos\)을 알아야 하는데, 20회 정리 68의 증명이 바로 그 극한을 쓴다.
5. 무한이 관련된 극한#
먼저 11회를 정확히 읽는다. 정의 23는 상자 하나로 둘을 정의했다. (11.14)가 유한한 점에서의 \(+\infty\)이고, (11.15)가 \(x\)가 한없이 커질 때 \(f(x)\)가 어떤 값에 가까워지는 경우이다. 이 회차가 쓰려는 것은 뒤엣것이며 이미 있다.
그런데 (11.15)에는 정의 18이 갖춘 것 둘이 빠져 있다. 정의역 조건과 유일성이다. 그 자리를 여기서 채우고, 11회가 적지 않은 방향 하나를 더한다.
정의 58 (무한대에서의 극한)
\(f\)가 어떤 \((X_0, \infty)\)에서 정의되어 있다고 하자. 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 어떤 실수 \(X\)가 있어서
이면 \(\lim_{x\to+\infty} f(x) = A\)라 쓴다.
\(f\)가 어떤 \((-\infty, X_0)\)에서 정의되어 있고 조건을 \(x < X\)로 바꾸면 \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=A\)이다.
(28.3)은 11회 (11.15)와 같은 명제이다. 새로 보탠 것은 앞의 정의역 조건이고, 음의 방향이 11회에 없던 것이다. 기호도 11회의 \(X\)를 그대로 쓴다. \(N\)을 쓰면 11회 정의 19의 근방 기호 \(N(p;\delta)\)와 부딪치기 때문이다.
정의역 조건이 왜 필요한지 밝혀 둔다. 그것이 없으면 정의역이 위로 유계인 \(f\)에서 충분히 큰 \(X\)를 잡을 때 조건절을 만족하는 \(x\)가 하나도 없어 (28.3)이 공허하게 참이 되고, 모든 실수 \(A\)가 극한이 된다. 11회 정리 33의 증명이 “그런 \(x\)가 실제로 있다”를 따로 확인한 것이 같은 사정이었다.
정리 87 (무한대에서의 극한값의 유일성)
\(\lim_{x\to+\infty}f(x)=A\)이고 \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=B\)이면 \(A=B\)이다.
증명. \(\epsilon>0\)이 주어졌다. (28.3)을 허용 오차 \(\epsilon/2\)에 두 번 적용하면 \(X_1\)과 \(X_2\)가 있어서 \(x>X_1\)에서 \(|f(x)-A|<\epsilon/2\)이고 \(x>X_2\)에서 \(|f(x)-B|<\epsilon/2\)이다.
정의 58의 정의역 조건이 준 \(X_0\)을 함께 써서 \(X = \max\{X_1, X_2, X_0\}\)으로 두면, \(x>X\)인 곳에서 두 부등식이 함께 성립하고 그곳에서 \(f\)가 정의되어 있다. 그런 \(x\)가 실제로 있다 — \(x = X+1\)을 잡으면 된다. 11회가 “순서에 유의한다”고 적은 자리와 같으며, 정의역 조건이 여기서 쓰인다.
\(A-B = (A-f(x)) + (f(x)-B)\)이므로 5회 정리 18에 의하여 \(|A-B| < \epsilon\)이다. \(\epsilon\)이 임의였으므로 9회 보조정리 2가 \(|A-B| \le 0\)을 주고, 절댓값은 \(0\) 이상이므로 \(A=B\)이다.
11회가 “정리 33이 있어야 \(\lim_{x\to p}f(x)\)라는 표기가 뜻을 갖는다”고 적었다. 6절이 (28.4)를 등호로 적을 수 있는 것은 정리 87 덕분이다.
양화사의 구조가 11회와 같다. 네 정의를 나란히 놓아 본다.
먼저 주어지는 것 |
그다음 찾는 것 |
조건 |
결론 |
|
|---|---|---|---|---|
\(\epsilon>0\) |
\(\delta>0\) |
\(0<\lvert x-p\rvert<\delta\) |
\(\lvert f(x)-A\rvert<\epsilon\) |
|
\(M\) |
\(\delta>0\) |
\(0<\lvert x-p\rvert<\delta\) |
\(f(x)>M\) |
|
\(\epsilon>0\) |
\(X\) |
\(x>X\) |
\(\lvert f(x)-A\rvert<\epsilon\) |
|
정의 58의 음의 방향 |
\(\epsilon>0\) |
\(X\) |
\(x<X\) |
\(\lvert f(x)-A\rvert<\epsilon\) |
바뀐 것은 자리에 들어가는 것뿐이다. “가깝다”를 \(\epsilon\)이 재고 “크다”를 \(M\)이 재며, “충분히 가까이”를 \(\delta\)가 정하고 “충분히 멀리”를 \(X\)가 정한다. 11회 4절이 “네 정의를 나란히 두면 형태가 하나이다”라고 적은 것이 이 표이다.
11회 2절이 “\(\delta\)가 결론에 남지 않는 경우가 많다”고 적었는데 \(X\)도 마찬가지이다. 그런 \(X\)가 있다는 사실만 중요하다.
\(f(x)=\frac1x\)을 본다. \(\epsilon>0\)이 주어졌을 때 \(X = 1/\epsilon\)으로 둔다. \(x > X > 0\)이면 양변이 모두 양수이므로 역수를 취하면 부등호가 뒤집혀 \(\frac1x < \frac1X = \epsilon\)이고, \(x>0\)이므로 \(\left|\frac1x\right| = \frac1x\)이다. 따라서 \(\lim_{x\to+\infty}\frac1x = 0\)이다.
변수를 뒤집어 유한한 자리로 되돌린다#
무한대에서의 사칙연산도 압축정리도 이 책에 없다. 12회 정리 34와 20회 정리 66가 모두 유한한 \(p\)에 대한 진술이기 때문이다.
그것들을 무한대로 옮기지 않는다. 대신 무한대의 물음을 유한한 자리로 되돌린다.
보조정리 16 (역수로 변수를 바꾼다)
\(F\)가 어떤 \(c>0\)에 대하여 \(x>c\)에서 정의되어 있고 \(G(t) = F(1/t)\)라 하자. 그러면 \(\lim_{x\to+\infty}F(x) = A\)인 것과 \(\lim_{t\to0+}G(t) = A\)인 것은 같은 말이다.
증명. (\(\Leftarrow\)) \(\lim_{t\to0+}G(t)=A\)라 하자. \(\epsilon>0\)이 주어지면 11회 (11.12)가 \(\delta>0\)을 주어 \(0<t<\delta\)에서 \(|G(t)-A|<\epsilon\)이다.
\(X = \max\{c,\, 1/\delta\}\)로 둔다. \(x>X\)이면 \(x>0\)이고 \(x>1/\delta\)이므로, 양변이 양수인 곳에서 역수를 취하면 부등호가 뒤집혀 \(0 < \frac1x < \delta\)이다. \(t=1/x\)로 두면 \(|G(1/x)-A| = |F(x)-A| < \epsilon\)이다.
(\(\Rightarrow\)) 반대 방향도 같은 계산이다. (28.3)이 주는 \(X\)에 대하여 \(\delta = 1/\max\{X, c\}\)로 두면 \(0<t<\delta\)일 때 같은 뒤집기로 \(1/t > \max\{X,c\}\)이므로 \(|G(t)-A| = |F(1/t)-A| < \epsilon\)이다.
이것은 합성이 아니다. 16회 보조정리 8가 평행이동에 대하여 같은 것을 적었다 — 변수를 바꾸어 다시 적은 것이므로 12회의 반례에 걸리지 않는다.
바깥 함수가 연속이면#
다음 절에서 필요해질 것을 하나 세워 둔다.
6절이 \(\left(1+\frac1x\right)^x\)의 극한을 구하는데, 그 방법은 로그를 취해 지수의 극한을 먼저 구하고 \(\exp\)를 씌우는 것이다.
마지막 단계가 문제이다. 지수를 \(u(x)\)라 쓸 때 \(u(x) \to 1\)임을 알았다고 해서 \(\exp(u(x))\)가 \(\exp(1)\)로 간다고 곧바로 말할 수 없다. 그것이 합성의 극한이고, 12회가 거짓임을 반례로 보인 형태이다.
그런데 12회의 반례를 다시 읽으면 바깥 함수가 극한점에서 연속이 아니었다. 연속이면 그 어긋남이 생기지 않는다. 그것을 상자로 세운다.
보조정리 17 (연속함수를 극한 안으로 넣는다)
\(\lim_{x\to a} u(x) = L\)이고 \(h\)가 \(L\)에서 연속이면 \(\lim_{x\to a} h(u(x)) = h(L)\)이다. 여기서 \(a\)는 실수여도 되고 \(\infty\)여도 된다.
증명. \(\epsilon>0\)이 주어졌다. \(h\)가 \(L\)에서 연속이므로 11회 (11.11)에 의하여 어떤 \(\eta>0\)이 있어서 \(|y-L|<\eta\)인 \(y\)에서 \(|h(y)-h(L)|<\epsilon\)이다.
여기서 \(|y-L|<\eta\)이지 \(0<|y-L|<\eta\)가 아니다. 연속은 \(y=L\)인 경우를 함께 처리해 준다.
\(\lim u = L\)이므로 그 \(\eta\)에 대하여 범위를 정하는 수가 있다 — \(a\)가 실수이면 정의 18의 \(\delta\)이고 \(a=\infty\)이면 (28.3)의 \(X\)이다. 그 범위의 \(x\)에서 \(|u(x)-L|<\eta\)이므로, 그런 \(x\)에 \(y=u(x)\)를 넣으면 \(|h(u(x))-h(L)|<\epsilon\)이다.
12회의 반례에 걸리지 않는 이유가 그 한 줄에 있다. 그 회차의 상자가 든 반례는 바깥 함수가 \(B\)에서 연속이 아니어서 \(y=B\)인 경우가 어긋난 것이었다. 여기서는 연속을 가정했다.
17회 보조정리 9가 연쇄법칙에서 \(F\)를 일부러 연속으로 만든 것도 같은 사정이다.
6. 다른 부정형#
\(\dfrac{0}{0}\) 말고도 여러 형태가 있다. 모두 \(\dfrac{0}{0}\) 꼴로 바꾸어 다룬다.
형태 |
바꾸는 방법 |
|---|---|
\(0 \cdot \infty\) |
\(f\cdot g = \dfrac{f}{1/g}\) |
\(\infty - \infty\) |
통분하거나 공통 인수를 묶는다 |
\(1^{\infty}\), \(0^0\), \(\infty^0\) |
로그를 취한다 |
마지막 줄이 21회를 쓴다. \(u = f^g\)이면 \(\log u = g\log f\)이고, 오른쪽이 \(0\cdot\infty\) 꼴이 되어 위의 방법으로 돌아간다. 그다음 보조정리 17로 \(\exp\)를 씌운다.
계산 예#
\(\lim_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac1x\right)^x\)을 구한다. \(1^{\infty}\) 꼴이다.
21회 정의 49에 의하여 \(\left(1+\frac1x\right)^x = \exp\left(x\log\left(1+\frac1x\right)\right)\)이다.
지수부터 다룬다. \(F(x) = x\log\left(1+\frac1x\right)\)로 두면 \(F(1/t) = \dfrac{\log(1+t)}{t}\)이다. 5절 보조정리 16이 \(\lim_{x\to+\infty}F(x)\)와 \(\lim_{t\to0+}\frac{\log(1+t)}{t}\)를 같은 말로 만들어 주므로, 뒤엣것을 구하면 된다.
\(t\to0\)에서 분자와 분모가 모두 \(0\)으로 가므로 \(\frac{0}{0}\) 꼴이다. 양쪽 극한부터 구한다. \(\log(1+t)\)는 \(t>-1\)에서 정의되므로 열린구간 \(\left(-\frac12, \frac12\right)\)에서 정리 86의 가정이 모두 갖추어진다. 21회 정리 70와 17회 정리 54에 의하여 분자의 도함수가 \(\dfrac{1}{1+t}\)이고 분모의 도함수가 \(1\)이므로
이다. 마지막 등호는 12회 정리 38의 유리함수가 연속이라는 것이다.
여기서 우극한으로 좁힌다. 11회 4절의 “양쪽 극한이 있으면 한쪽 극한도 있다”에 의하여 \(\lim_{t\to0+}\frac{\log(1+t)}{t} = 1\)이다. 방향에 유의한다. 20회 4절의 상자가 적었듯 이 책에는 그 역이 없으므로, 한쪽에서 얻어 양쪽으로 가는 길은 쓸 수 없고 지금처럼 양쪽에서 얻어 한쪽으로 좁혀야 한다.
보조정리 16이 이것을 되돌리면 \(\lim_{x\to+\infty}x\log\left(1+\frac1x\right) = 1\)이다.
이제 \(\exp\)를 씌운다. \(\exp\)가 21회 정리 73에 의하여 모든 점에서 연속이므로 보조정리 17가
를 준다.
\(e\)가 다른 모습으로 나타났다. 21회 정의 48는 \(e\)를 \(\log e = 1\)인 수로 정의했다. (28.4)는 그 수가 이 극한이기도 하다고 말한다. 두 진술은 서로 다른 것이며, 보조정리 17가 둘을 이었다. 등호로 적을 수 있는 것은 정리 87가 극한값을 하나로 정해 주기 때문이다.
같은 대상에 두 번째 특징짓기를 준 첫 사례이다. 24회 1절의 표는 함수를 만드는 세 방식을 모았는데, 여기서는 이미 있는 수를 다른 방식으로 다시 집어냈다.
여전히 남는 것#
파트가 끝나므로 정직하게 적어 둔다. 24회 「아직 갚지 않은 빚」이 넷을 세었고 25회가 하나를 더했는데, 다섯 가운데 하나도 갚지 못했다.
첫째, 곱의 적분 가능성. 8회 4절이 남긴 것이다. 22회 정리 75가 \(f'\)과 \(g'\)의 연속을 요구해 그 자리를 비껴갔고, 27회 정리 84도 \(f^{(n+1)}\)의 연속을 가정해 같은 길을 갔다. 파트가 끝나도록 미상환이다. 15회가 PART I을 닫으며 적은 그 문장이 그대로 남는다.
둘째, 삼각함수의 존재와 유일성. 20회 정의 44이 “그런 함수쌍이 있다고 하자”로 시작했다. 20회 2절이 방법 (나)로 갚을 재료가 모두 갖추어져 있다고 적었으나 덧셈정리를 따로 세우는 길이 길어 미루었고, 그 미룸이 파트 끝까지 이어졌다.
셋째, 초등적 원시함수가 없는 함수. 24회가 “무엇을 조합으로 칠 것인지부터 정해야 한다”며 이 책의 밖으로 두었다. 다만 성격이 바뀌었다 — 27회 따름정리 13가 적을 수 없는 값이라도 원하는 자리까지 얻는 길을 세웠다.
넷째, \(\int\sec\theta\,d\theta\)의 유도. 23회 4절이 답을 적고 미분으로 확인했을 뿐이다. 25회의 절차가 닿을 수 있는 자리였다 — \(\sec\theta = \frac{\cos\theta}{1-\sin^2\theta}\)로 적고 22회 정리 76으로 \(u=\sin\theta\)를 넣으면 정리 81이 다루는 형태가 된다. 그 예제를 들지 않았을 뿐이다.
다섯째, \(\int\frac{dx}{(x^2+k^2)^j}\)의 차수 강하. 25회가 22회 정리 75 하나로 세울 수 있다고 스스로 적어 둔 것이며, 정리 81의 “유한 번 조합”이라는 단언이 여기에 기대고 있다. 갚을 수 있다고 적어 놓고 갚지 못한 채 넘긴다.
곧 다섯 가운데 둘은 이미 손에 든 도구로 닿을 수 있는 자리였다.
마치며#
이번 회차에서는 로피탈 법칙을 다루었다. 코시의 평균값 정리를 먼저 세우고 그것으로 법칙을 증명하였다.
증명에서 한 자리를 조심해서 지났다. 흔한 서술이 “\(x\to p\)이면 \(c\to p\)”라고 적는데 그것은 합성의 극한이고 12회가 거짓임을 보인 형태이다. \(\epsilon\)을 먼저 잡으면 \(c\)가 어디에 있든 자동으로 범위 안에 들어오므로 그 자리를 지나갈 필요가 없다.
조건이 깨지는 예도 보았다. \(x^2\sin\frac1x\)에서 원래 비는 극한을 갖는데 도함수의 비는 갖지 않는다. 함의가 한 방향으로만 간다.
그리고 무한이 관련된 극한을 다루었다. 11회 정의 23가 이미 두 형태를 적어 두었으므로 새로 정의한 것은 음의 방향뿐이고, 이 회차가 보탠 것은 (11.15)에 빠져 있던 정의역 조건과 유일성이다. 양화사의 구조는 11회와 같고 \(\delta\)의 자리에 \(X\)가 들어간다.
\(\left(1+\frac1x\right)^x\)의 극한이 \(e\)임도 확인하였다. 21회가 로그로 정의한 그 수가 이 극한이기도 하다. 그 계산에 다리 셋이 필요했다 — 보조정리 16이 무한대를 유한한 자리로 되돌리고, 정리 86이 지수의 극한을 주며, 보조정리 17가 \(\exp\)를 극한 안으로 들여보냈다.
26회가 27회에 넘긴 것도 여기서 결산한다. 26회 5절이 표에서 두 관찰을 읽었는데, 기준점에서 멀어지면 나빠진다는 쪽은 27회 따름정리 13가 보장으로 바꾸었고 차수를 높이면 좋아진다는 쪽은 바꾸지 못했다. 그 하나가 이 파트를 넘어간다.
열세 회차가 지났다.
16회에서 도함수를 정의하였다. 1회가 남긴 접선 문제로 돌아간 것이었다. 17회와 18회가 계산 규칙과 평균값 정리를 세웠다.
19회가 이 파트의 정점이었다. 7회의 적분과 16회의 도함수를 나란히 놓고, 두 정의가 서로를 언급하지 않는다는 것을 확인한 뒤, 두 연산이 서로의 역임을 보였다.
그다음 여섯 회차가 그 결과를 썼다. 20회와 21회가 익숙한 함수들을 다시 정의하였고 — \(\pi\)가 원의 둘레가 아니라 \(\cos\)의 영점에서 나왔고 \(\log\)가 넓이로 정의되었다 — 22회부터 25회까지 적분 기법을 모았다. 26회와 27회가 함수를 다항식으로 근사하였다.
여기까지가 PART II이다. 상자로 세운 새 공리는 없다. 다만 20회 정의 44이 그런 함수쌍의 존재를 가정했고 그 가정은 아직 갚지 않았다. 그것 말고는 5회의 완비성 공리와 6회의 넓이 공리 위에서만 돌았다. 파트 표지가 내건 물음 “자르기(미분)와 쌓기(적분)는 무슨 관계인가”에 대한 답이 19회 정리 64이고, 앞의 세 회차가 도함수를 준비했으며 뒤의 아홉 회차가 그 답을 썼다.
파트 표지의 앵커 예제도 갚는다. 15회는 \([1,2]\)에서 \(1/x\)가 적분 가능하다는 것까지만 말하고 그 값은 모른다고 적으며 PART I을 닫았다. 21회 정의 46가 \(\log x = \int_1^x\frac{dt}{t}\)로 그 넓이에 이름을 붙였으므로, 15회가 모른다고 한 그 값이 \(\int_1^2\frac{dt}{t} = \log 2\)이다. 7회에서 막힌 계산이 19회와 21회를 거쳐 여기서 이름을 얻었다.
그런데 마지막 주제에서 미결이 남았다. 27회 5절이 적었듯 테일러 다항식의 차수를 계속 높이면 어떻게 되는지 모른다. 상계의 분모가 커지지만 분자도 커질 수 있고, 어느 쪽이 이기는지는 함수마다 다르다.
그 물음을 세우려면 언어가 없다. 항이 무한히 많아지면 그 합이 무엇인가.
20회 2절이 삼각함수를 정의하는 방법 (다)로 멱급수를 적어 두고 “무한히 많은 항을 더하는 것이 무슨 뜻인지 아직 정하지 않았다”며 물러났다. 그 자리도 아직 비어 있다.
다음 회차에서는 무한히 많은 항을 더하는 일을 알아보도록 하자.
이어서
같은 회차의 실험: 28회 실험 · 형태는 값이 아니다