21회 · 로그와 지수#
이 회차
한 문장 |
\(1/t\)의 적분으로 로그를 정의하면 지수함수는 그 역함수로 얻어진다. |
출처 |
L20 |
파트 |
PART II — 두 번째 무한 · 관통 질문: 자르기(미분)와 쌓기(적분)는 무슨 관계인가 |
짝 실험 |
앞 회차에 이어 익숙한 함수를 다시 정의한다. 이번에는 로그와 지수이다.
\(2^x\)를 생각해 보자. \(x\)가 자연수이면 \(2\)를 그만큼 곱한 것이다. 17회 정의 36가 유리수 지수까지 확장했다. 그런데 \(x\)가 무리수이면 어떻게 되는가. \(2^{\sqrt2}\)는 무엇인가. 17회의 「아직 무리수 지수는 없다」 상자가 그 물음을 21회로 미루었다.
이번 회차에서는 순서를 뒤집는다. 지수함수를 먼저 정의하고 로그를 그 역함수로 삼는 대신, 로그를 먼저 정의하고 지수함수를 그 역함수로 삼는다. 그리고 로그를 정의하는 데 적분을 쓴다.
7회 6절에서 \(f(x)=x^2\) 아래의 넓이를 계산하였다. 같은 방법을 \(f(x)=1/x\)에 적용하면 유한합의 닫힌 공식이 나오지 않아 계산할 수 없었고, 7회는 그 사실을 적어 두고 지나갔다. 19회 6절이 다시 그 자리로 돌아가 “\(1/x\)의 원시함수는 우리가 지금까지 만든 어떤 함수도 아니다”라고 적었다.
이번 회차에서 그 넓이가 무엇인지 밝혀진다.
1. 익숙한 정의의 문제#
\(a>0\)이라 하고 \(a^x\)를 정의하려 한다. 지금까지 확보한 것을 적어 본다.
\(x\)의 범위 |
정의 |
어디서 |
|---|---|---|
자연수 |
\(a^{n+1}=a^n\cdot a\) |
12회 정의 26 |
\(0\) |
\(a^0=1\) |
12회 정의 26 |
\(1/n\) |
\(x^n\)의 역함수 |
17회 정의 35 |
\(m/n\) |
\(\bigl(a^{1/n}\bigr)^m\) |
17회 정의 36 |
여기까지가 전부이다. 그리고 이 표는 유리수에서 멈춘다.
\(2^{\sqrt2}\)를 정의하려면 어떻게 해야 하는가. 흔한 방법은 \(\sqrt2\)에 가까워지는 유리수들 \(r_1, r_2, \ldots\)을 잡고 \(2^{r_1}, 2^{r_2}, \ldots\)의 극한을 취하는 것이다.
그 방법에는 두 가지 부담이 있다. 첫째, 그 극한이 존재하는지 증명해야 한다. 둘째, 유리수를 다르게 골라도 같은 값이 나오는지 증명해야 한다. 게다가 이 책에는 수열이 없으므로 “가까워지는 유리수들”이라는 말부터 다시 정의해야 한다.
우회로가 있다. 지수함수를 만들려 하지 말고 로그를 먼저 만든다. 로그를 만드는 재료는 적분이고, 적분은 우리에게 이미 있다.
2. 로그의 정의#
정의 46 (로그)
\(x>0\)에 대하여
라 정의한다.
정의가 뜻을 갖는지 확인한다. 이 확인을 생략하지 않는다.
\(x>1\)이면 \([1,x]\)에서 \(1/t\)는 분모가 \(0\)이 아니므로 12회 정리 38의 유리함수 부분에 의하여 연속이고, 15회 정리 46에 의하여 적분 가능하다.
\(0<x<1\)이면 \([x,1]\)에서 같은 이유로 적분 가능하고, 19회 정의 41가 \(\int_1^x = -\int_x^1\)을 정해 준다. 19회에서 세운 방향 규약이 여기서 처음 실제로 쓰인다.
\(x=1\)이면 같은 규약이 \(\int_1^1 = 0\)을 준다.
흔한 오해 — 적분 구간에 0이 들어갈 수 있다고 생각하는 것
\(\log\)를 \(x \le 0\)에서 정의할 수 없다. \(1/t\)가 \(0\) 근처에서 유계가 아니기 때문이다.
15회 예제 9가 정확히 그것을 보였다. 그리고 7회 정의 15은 유계인 함수에 대해서만 적분을 정의한다. 유계가 아니면 상적분과 하적분을 잡을 집합부터 만들 수 없다.
그래서 (21.1)의 정의역이 \(x>0\)이다.
정의에서 곧바로 나오는 것이 있다.
\(\log 1 = 0\)이다. \(x>1\)이면 \([1,x]\)에서 \(1/t>0\)이므로 9회 따름정리 6에 의하여 \(\log x>0\)이다. \(0<x<1\)이면 \(\int_x^1 \frac{dt}{t}>0\)이고 방향 규약이 부호를 바꾸므로 \(\log x<0\)이다.
닫힌구간의 정리를 반직선에서 쓰는 법#
문제가 하나 있다. \(\log\)의 정의역은 \((0,\infty)\)인데 17·18·19회의 정리들은 거의 모두 닫힌구간 \([a,b]\)에 대한 진술이다.
따름정리 10도 따름정리 9도 정리 53도 모두 그렇다. 그대로 인용할 수 없다.
해결은 간단하다. 우리가 확인하려는 것이 대부분 한 점에 대한 진술이거나 두 점에 대한 진술이기 때문이다. 그 점들을 품는 닫힌 부분구간을 하나 잡으면 정리를 그 위에서 쓸 수 있고, 결론은 그 점들에 대한 것이므로 그대로 남는다.
두 점짜리는 상자로 세워 둔다. 이 회차에서 세 번 쓴다.
보조정리 13 (구간에서의 상수 차이)
\(I\)가 구간이고 \(f\)와 \(g\)가 \(I\)에서 연속이며 \(I\)의 내부의 모든 점에서 \(f'=g'\)이면, 어떤 상수 \(k\)가 있어서 \(I\)의 모든 점에서 \(f(x)=g(x)+k\)이다.
증명. \(x, y \in I\)이고 \(x<y\)라 하자. \(I\)가 구간이므로 \([x,y] \subset I\)이고, \(f\)와 \(g\)는 \([x,y]\)에서 연속이며 \((x,y)\)는 \(I\)의 내부에 있으므로 그 위에서 \(f'=g'\)이다.
18회 따름정리 9를 \([x,y]\)에 적용하면 \(f-g\)가 \([x,y]\)에서 상수이고, 특히 \(f(x)-g(x) = f(y)-g(y)\)이다.
\(x\)와 \(y\)가 임의였으므로 \(f-g\)의 값이 \(I\)의 모든 점에서 같다. 그 값을 \(k\)라 두면 된다.
\(I\)가 무엇이든 상관없다. 열린구간이어도, 반직선이어도, 실수 전체여도 성립한다. 닫힌구간에서 얻은 결론을 두 점씩 옮겨 붙인 것이기 때문이다.
3. 도함수와 단조성#
정리 70 (로그의 도함수)
\(x>0\)에서 \(\log\)는 미분 가능하고
이다.
증명. \(x_0>0\)을 고정한다. \(c = \tfrac12\min\{1, x_0\}\)이고 \(d = 1+\max\{1,x_0\}\)이라 두면 \(0<c\)이고 \([c,d]\)가 \(1\)과 \(x_0\)을 모두 품으며 \(x_0 \in (c,d)\)이다.
\(1/t\)는 \([c,d]\)에서 연속이므로 따름정리 10를 쓸 수 있다. \(A(x) = \int_c^x \frac{dt}{t}\)라 두면 \(A\)는 \([c,d]\)에서 미분 가능하고 \(A'(x)=1/x\)이다.
\(c \le 1 \le d\)이고 \(c \le x \le d\)이므로 8회 정리 23와 19회 정의 41에 의하여
\(x_0\)이 임의였으므로 (21.2)이다.
이 한 줄이 이 회차의 요점이다.
19회는 도함수를 아는 함수의 적분을 구하는 데 기본정리를 썼다. 20회 7절도 그랬다. 여기서는 방향이 반대이다. 적분으로 함수를 정의해 놓고, 그 함수의 도함수를 기본정리가 곧바로 알려 준다.
\(1/x>0\)이므로 18회 정리 60의 1을 \((0,\infty)\)의 임의의 닫힌 부분구간에 적용하면 \(\log\)는 그 위에서 순증가한다. 임의의 두 점이 어떤 닫힌 부분구간에 함께 들어가므로 \(\log\)는 \((0,\infty)\)에서 순증가한다.
그리고 16회 정리 47에 의하여 \(\log\)는 연속이다.
4. 곱셈 법칙#
\(\log\)를 적분으로 정의했으므로 곱셈 법칙이 저절로 따라 나오지는 않는다. \(\log(ab)\)는 \(1\)에서 \(ab\)까지의 넓이이고 \(\log a + \log b\)는 두 넓이의 합인데, 두 값이 왜 같아야 하는지 정의만 보아서는 알 수 없다.
넓이로 직접 따지려면 \([1,ab]\)를 \([1,a]\)와 \([a,ab]\)로 가르고 뒤쪽이 \([1,b]\)와 같은 넓이임을 보여야 한다. 그것은 적분 구간을 \(a\)배로 늘이면서 피적분함수가 \(1/a\)배가 되어 상쇄된다는 이야기인데, 이 책에는 아직 적분의 변수변환이 없다. 그것이 다음 회차의 일이다.
대신 도함수를 쓴다. 두 함수의 도함수가 같으면 상수 차이라는 사실이 있고, 그것이 18회 따름정리 9이다. 3절에서 얻은 (21.2) 덕분에 \(\log\)의 도함수를 알고 있으므로 이 길이 열려 있다.
이 절이 이 회차에서 보조정리 13를 처음 쓰는 자리이기도 하다.
정리 71 (로그의 곱셈 법칙)
\(a>0\), \(b>0\)이면
이다.
증명. \(a>0\)을 고정하고 \((0,\infty)\)에서 \(g(x) = \log(ax)\)라 두자. \(x>0\)이면 \(ax>0\)이므로 잘 정의된다.
\(x \mapsto ax\)는 다항함수이므로 12회 정리 38에 의하여 연속이고 미분 가능하며, 17회 정리 54에 의하여
두 함수가 모두 \((0,\infty)\)에서 연속이므로 보조정리 13에 의하여 \(g(x) - \log x\)가 상수이다. 그 상수를 \(k\)라 하자.
\(x=1\)을 넣으면 \(g(1) = \log a\)이고 \(\log 1 = 0\)이므로 \(k = \log a\)이다. 따라서 모든 \(x>0\)에서 \(\log(ax) = \log x + \log a\)이고, \(x=b\)를 넣은 것이 (21.3)이다.
18회 따름정리 9가 19회에 이어 다시 쓰였다. 19회 4절이 기본정리 둘째 형태를 얻는 데 썼고, 여기서는 곱셈 법칙을 얻는 데 쓴다. 두 번 모두 “도함수가 같으면 상수 차이”라는 사실 하나이다.
따라 나오는 것을 적어 둔다.
따름정리 11 (나눗셈과 거듭제곱)
\(a>0\), \(b>0\)이고 \(n\)이 자연수이면
이다.
증명. (21.3)에 \(b = 1/a\)를 넣으면 왼쪽이 \(\log 1 = 0\)이므로 첫째 식이 나온다. 둘째 식은 \(\frac{a}{b} = a\cdot\frac1b\)에 (21.3)과 첫째 식을 쓴 것이다.
셋째 식은 \(n\)에 대한 귀납법이다. \(n=1\)이면 자명하고, \(\log(a^{n+1}) = \log(a^n\cdot a) = \log(a^n)+\log a = n\log a + \log a\)이다. 4회 정리 9에 의하여 모든 자연수 \(n\)에서 성립한다.
5. 치역과 역함수#
정리 72 (로그의 치역)
\(\log\)의 치역은 실수 전체이다.
증명. 위로 유계가 아니다. \(\log 2>0\)이다. 임의의 실수 \(M\)에 대하여 5회 정리 17로 \(n\log 2 > M\)인 자연수 \(n\)을 잡으면, 따름정리 11에 의하여 \(\log(2^n) = n\log 2 > M\)이다.
아래로 유계가 아니다. 따름정리 11의 첫째 식에 의하여 \(\log \dfrac{1}{2^n} = -\log(2^n) = -n\log 2 < -M\)이다.
음의 지수 표기를 쓰지 않고 \(\dfrac{1}{2^n}\)이라 적은 것에 유의한다. 음의 정수 지수는 6절에서야 정의된다.
모든 값을 취한다. 임의의 실수 \(y\)가 주어졌다. 위 두 결과로 \(\log \dfrac{1}{2^n} < y < \log(2^n)\)인 자연수 \(n\)을 잡는다. \(\log\)는 \(\left[\dfrac{1}{2^n},\ 2^n\right]\)에서 연속이므로 14회 정리 40에 의하여 \(\log c = y\)인 \(c\)가 그 구간 안에 있다.
\(\log\)가 순증가하므로 서로 다른 두 점의 값이 다르고, 17회 정의 34가 역함수를 준다. 그 정의는 집합 \(S\)가 무엇이든 상관하지 않으므로 \((0,\infty)\)에도 그대로 적용된다.
정의 47 (지수함수)
\(\log\)의 역함수를 \(\exp\)라 쓴다. 정리 72에 의하여 \(\exp\)의 정의역은 실수 전체이고 치역은 \((0,\infty)\)이다.
정의 34가 준 (17.1)이 여기서는 이렇게 읽힌다.
정리 73 (지수함수의 도함수)
\(\exp\)는 모든 실수에서 연속이고 미분 가능하며
이다.
증명. \(y_0\)을 고정하고 \(p = \exp y_0\)이라 하자. \(p>0\)이다.
\(0<a<p<b\)인 \(a\), \(b\)를 잡는다. \(\log\)는 \([a,b]\)에서 연속이고 순증가하므로 17회 정리 53에 의하여 그 역함수가 \([\log a, \log b]\)에서 연속이다.
그 역함수가 \(\exp\)를 좁힌 것임을 확인해 둔다. \(y \in [\log a, \log b]\)라 하고 \(\log\)를 \([a,b]\)로 좁힌 것의 역함수 값을 \(z\)라 하자. \(z \in [a,b]\)이고 \(\log z = y\)이다. 한편 \(\exp y\)도 \(\log(\exp y)=y\)를 만족한다. \(\log\)가 \((0,\infty)\) 전체에서 순증가하므로 서로 다른 두 점의 값이 다르고, 따라서 \(z = \exp y\)이다. 좁힌 역함수와 전역 역함수가 겹치는 곳에서 일치한다.
연속은 점에 대한 성질이고 \(y_0\)이 \((\log a, \log b)\)의 점이므로 \(\exp\)는 \(y_0\)에서 연속이다.
미분 가능성도 같은 자리에서 나온다. 정리 70에 의하여 \(\log\)는 \(p\)에서 미분 가능하고 \((\log)'(p) = 1/p \ne 0\)이다. 17회 정리 55에 의하여 역함수가 \(y_0 = \log p\)에서 미분 가능하고
각 등호에서 쓴 것을 적어 둔다. 첫째 등호는 (17.8)이고, 둘째는 정리 70이며, 셋째는 나눗셈, 넷째는 \(p\)의 정의이다.
\(y_0\)이 임의였으므로 (21.5)이다.
도함수가 자기 자신인 함수를 얻었다. 지금까지 만난 함수 가운데 이런 것이 없었다. 다항함수는 미분할 때마다 차수가 하나씩 줄고, \(\sin\)과 \(\cos\)은 넷을 주기로 돌아온다.
\(\exp\)의 덧셈 법칙도 4절에서 따라 나온다. \(\log(\exp u \cdot \exp v) = \log(\exp u) + \log(\exp v) = u+v\)이므로 양변에 \(\exp\)를 취하면
이다. 로그의 곱셈 법칙이 지수의 덧셈 법칙으로 뒤집혔다.
6. e 와 일반 지수#
정의 48 (자연상수)
\(\log e = 1\)인 수를 \(e\)라 한다.
이런 수가 있고 하나뿐이다. 정리 72가 값 \(1\)을 취하는 점의 존재를 주고, \(\log\)가 순증가이므로 그런 점이 둘일 수 없다. \(e = \exp 1\)이다.
\(\log 2>0\)이고 \(\log 4 = 2\log 2\)이므로, \(\log 2 < 1 < 2\log 2\)이면 \(2<e<4\)이다. 실험 페이지가 \(\log 2 \approx 0.693\)임을 확인하며, 그러면 \(2\log 2 \approx 1.386>1\)이므로 실제로 그렇다.
정의 49 (일반 지수)
\(a>0\)과 임의의 실수 \(x\)에 대하여
라 정의한다.
1절에서 제기한 문제가 여기서 풀린다. \(x\)가 무리수여도 \(x\log a\)는 그냥 실수이고 \(\exp\)는 실수 전체에서 정의되므로, (21.6)의 오른쪽이 언제나 값을 갖는다.
이며 \(\sqrt2\)는 17회 정의 35가 만든 수이다. \(\log 2 \approx 0.6931\)이고 \(\sqrt2 \approx 1.4142\)이므로 지수가 약 \(0.9803\)이고, 그 값은 \(2.6651\ldots\)이다. 실험 페이지가 이 수를 두 경로로 구해 맞춘다.
17회의 정의와 어긋나지 않는가#
여기가 확인이 필요한 자리이다. 17회가 이미 \(a^{m/n}\)을 정의했는데, (21.6)이 같은 기호에 다른 정의를 준다. 두 값이 같아야 한다.
정리 74 (유리수 지수에서 두 정의가 일치한다)
\(a>0\)이고 \(m\), \(n\)이 자연수이면 정의 49가 주는 \(a^{m/n}\)과 17회 정의 36가 주는 \(a^{m/n}\)이 같다.
증명. \(u = a^{1/n}\)이라 쓰자. 17회 정의 35에 의하여 \(u>0\)이고 \(u^n = a\)이다.
따름정리 11의 셋째 식에 의하여 \(\log a = \log(u^n) = n\log u\)이므로 \(\log u = \frac1n\log a\)이다.
같은 식을 다시 쓰면 17회의 \(a^{m/n} = u^m\)에 대하여
양변에 \(\exp\)를 취하면 왼쪽은 \(u^m\)이고 오른쪽은 \(\exp\bigl(\frac{m}{n}\log a\bigr)\)이며, 그것이 정의 49가 주는 값이다.
\(n=1\)로 두면 자연수 지수도 포함되고, \(m=n\)이면 \(a^1=a\)이다. 표의 네 줄이 모두 (21.6) 하나에 흡수되었다.
지수법칙도 4절에서 나온다. \(a^x a^y = \exp(x\log a)\exp(y\log a) = \exp\bigl((x+y)\log a\bigr) = a^{x+y}\)이다.
음의 지수#
5절에서 \(\frac{1}{2^n}\)을 음의 지수로 적지 않고 미루었다. 여기서 갚는다.
\(\log 1 = 0\)이므로 \(\exp 0 = 1\)이고, (21.6)에 \(x=0\)을 넣으면 모든 \(a>0\)에서 \(a^0 = 1\)이다. 그러면 지수법칙에서
이 되고, 양변을 \(a^x\)로 나누면 다음을 얻는다.
이다. 자연수 \(n\)에 대하여 \(a^{-n} = 1/a^n\)이므로 5절에서 쓴 \(\frac{1}{2^n}\)이 이제 \(2^{-n}\)으로 적힌다.
17회가 형식적으로 적어 둔 표기도 여기서 뜻을 얻는다. 17회 정리 57의 결론이 \(\frac{m}{n}y^{\,m/n-1}\)이었는데, 지수 \(\frac{m}{n}-1\)이 음수일 수 있다. 그때는 정의 36가 그 기호에 값을 주지 않았고, 17회 4절 끝의 \(\frac12 y^{-1/2}\)도 마찬가지였다. (21.6)과 (21.7)이 그 자리를 채운다.
그리고 \(\exp x = e^x\)이다. (21.6)에 \(a=e\)를 넣으면 \(\log e = 1\)이므로 \(e^x = \exp(x\cdot1) = \exp x\)이기 때문이다. 앞으로 두 표기를 섞어 쓴다.
절댓값을 씌운 로그#
다음 회차에서 필요해질 것을 하나 세워 둔다.
정리 70는 \(1/x\)의 원시함수가 \(\log x\)라고 말한다. 그런데 그 진술은 \(x>0\)에서만 뜻을 갖는다. \(\log\)의 정의역이 그렇기 때문이다.
\(1/x\) 자체는 \(x<0\)에서도 멀쩡한 함수이다. 그러면 그쪽에서는 원시함수가 무엇인가. 그냥 \(\log x\)라고 쓸 수 없다.
다음 회차에서 \(\int \tan x\,dx\)를 계산할 때 정확히 이 문제가 나온다. \(\cos x\)가 음수인 구간이 있기 때문이다. 미리 메워 둔다.
따름정리 12 (절댓값 로그의 도함수)
\(x \ne 0\)에서 \(\log|x|\)는 미분 가능하고 그 도함수값이 \(1/x\)이다.
증명. \(x>0\)이면 \(|x|=x\)이므로 정리 70가 그대로 준다.
\(x<0\)이면 \(|x|=-x>0\)이므로 \(\log|x| = \log(-x)\)이고, 정리 54에 의하여 도함수값이 \(\frac{1}{-x}\cdot(-1) = \frac1x\)이다.
\(\log\) 자체는 음수에서 정의되지 않지만 \(\log|x|\)는 \(0\)이 아닌 모든 점에서 정의된다. 두 반직선에서 각각 정의된 것이며, 그 둘을 잇는 점은 없다.
7. 7회의 계산으로 돌아가기#
(21.1)을 다시 읽으면 이렇게도 읽힌다.
7회 6절이 \([1,b]\)를 \(n\)등분해 \(\sum \frac1k\) 꼴의 합을 얻고, 그 합에 4회에서 얻은 것과 같은 닫힌 형태의 공식이 없다고 적었다.
그 관찰은 옳았다. 지금도 그런 공식은 없다. 그런데 (21.8)은 그 넓이가 무엇인지 말해 준다.
넓이를 계산하지 못한 것이 아니라, 그 넓이를 나타내는 함수에 이름이 없었던 것이다.
19회 6절이 “\(1/x\)의 원시함수는 우리가 지금까지 만든 어떤 함수도 아니다. 이 자리는 아직 열려 있다”고 적었다. 정리 70가 그 자리를 채운다. 원시함수는 있었고, 그것이 \(\log\)이다.
\(b=2\)에서 구체적인 값을 본다. \(\log 2 = \int_1^2 \frac{dt}{t}\)이고, 7회의 방식으로 상합과 하합을 계산하면 \(0.693\ldots\) 근처로 좁혀진다. 실험 페이지가 그 계산을 한다.
두 회차가 한 일이 다르다
20회는 삼각함수를 성질로 특징지었을 뿐 만들지 않았다. 그 회차의 결론은 “그런 함수쌍이 있다면”으로 시작하는 조건부였다.
이번 회차는 다르다. \(\log\)는 실제로 만들어졌다. (21.1)의 오른쪽이 존재한다는 것을 2절에서 확인했고, 그 확인은 15회 정리 46에 기댄다. 그리고 \(\exp\)는 그 \(\log\)의 역함수이므로 존재가 따라온다.
적분이 함수를 만드는 장치라는 것이 19회 2절의 관점 전환이었고, 이번 회차가 그것을 실제로 쓴 것이다.
마치며#
이번 회차에서 로그와 지수를 정의하였다. 순서를 뒤집어 로그를 먼저 정의하였고, 정의에는 적분을 썼다. \(\log x\)는 \(1/t\)를 \(1\)에서 \(x\)까지 적분한 값이다.
이 정의에서 나머지가 모두 따라 나왔다.
얻은 것 |
무엇으로 |
|---|---|
\((\log x)' = 1/x\) |
19회 따름정리 10 |
\(\log(ab)=\log a+\log b\) |
18회 따름정리 9 |
\(\log\)의 치역이 \(\R\) |
14회 정리 40 |
\(\exp\)의 존재와 연속 |
17회 정리 53 |
\(\exp'=\exp\) |
17회 정리 55 |
무리수 지수 |
여섯 줄 가운데 다섯이 앞 회차의 정리이다. 이 회차가 새로 만든 것은 정의 (21.1) 하나이고 나머지는 이미 있던 도구가 한 일이다.
닫힌구간의 정리를 반직선에서 쓰는 방법도 정리해 두었다. 확인하려는 것이 한 점이나 두 점에 대한 진술이면, 그 점들을 품는 닫힌 부분구간을 잡으면 된다. 보조정리 13가 두 점짜리를 상자로 만든 것이고, 3절과 5절이 한 점짜리를 그때그때 처리했다.
그리고 7회가 계산하지 못한 넓이에 답하였다. 유한합의 공식이 없다는 관찰은 옳았지만, 그 넓이는 존재했고 이름이 없었을 뿐이다.
이제 도함수를 아는 함수가 꽤 늘었다. 다항함수와 유리함수, 거듭제곱근, \(\sin\)과 \(\cos\), 그리고 \(\log\)와 \(\exp\)이다. 19회 정리 64에 의하여 도함수가 피적분함수가 되는 함수를 찾으면 정적분을 계산할 수 있다.
문제는 그 함수를 어떻게 찾는가이다. 미분은 규칙을 따라가면 되지만 원시함수를 찾는 데에는 규칙이 없다.
다음 회차에서는 부분적분과 치환적분을 알아보도록 하자.
이어서
같은 회차의 실험: 21회 실험 · 넓이가 함수가 된다