25회 · 부분분수#
이 회차
한 문장 |
유리함수는 언제나 초등적인 원시함수를 갖는다. |
출처 |
L24 |
파트 |
PART II — 두 번째 무한 · 관통 질문: 자르기(미분)와 쌓기(적분)는 무슨 관계인가 |
짝 실험 |
24회 2절의 절차표에 답하지 못한 갈래가 하나 있었다.
+- Is f rational?
| yes -> partial fractions (not yet available)
이번 회차가 그 자리를 채운다.
유리함수, 곧 두 다항식의 몫을 적분하려 한다. \(\frac{1}{x}\)와 \(\frac{1}{1+x^2}\)은 이미 다루었다. 앞의 것은 21회 따름정리 12가 로그를 주고 뒤의 것은 23회 (23.5)가 역탄젠트를 준다.
일반적인 유리함수는 어떠한가.
이번 회차에서 확인하는 것은 이렇다. 모든 유리함수는 위의 두 형태와 몇 가지 단순한 형태의 합으로 분해된다. 따라서 유리함수의 적분은 언제나 계산할 수 있다.
이것은 드문 성질이다. 22회와 23회의 기법은 통할 때도 있고 통하지 않을 때도 있었다. 22회 3절의 상자가 \(e^{-x^2}\)을 들며 “두 기법이 못 하는 것이 아니라 애초에 그런 식이 없다”고 적었다. 유리함수에 대해서는 그런 일이 없다.
1. 문제의 축소#
12회 정의 26가 다항함수를 \(P(x)=\sum_{k=0}^{n}c_k x^k\)로 정의했다. 그 표기에 이름을 하나 붙인다.
정의 53 (다항식의 차수)
\(P(x)=\sum_{k=0}^{n}c_k x^k\)에서 \(c_k \ne 0\)인 가장 큰 \(k\)를 \(P\)의 차수(degree)라 하고 \(\deg P\)라 쓴다. 모든 계수가 \(0\)인 다항식에는 차수를 정하지 않는다.
유리함수 \(\dfrac{P}{D}\)에서 \(\deg P \ge \deg D\)이면 먼저 나눗셈을 한다.
정리 79 (다항식의 나눗셈)
\(P\)와 \(D\)가 다항식이고 \(D\)가 영다항식이 아니면, 다항식 \(Q\)와 \(R\)이 있어서
이고 \(R\)이 영다항식이거나 \(\deg R < \deg D\)이다.
증명. \(P\)가 영다항식이거나 \(\deg P < \deg D\)이면 \(Q=0\), \(R=P\)로 두면 된다.
\(\deg P \ge \deg D\)인 경우를 귀납법으로 다룬다. \(\deg D = m\)이고 \(D\)의 최고차 계수를 \(d \ne 0\)이라 하자.
귀납 집합을 어떻게 잡는지에 주의한다. 아래에서 만드는 \(P_1\)은 차수가 \(n\)보다 작다는 것만 알 뿐 \(n-1\)이라는 보장이 없다. 그런데 4회 정리 9이 주는 것은 “\(n\)이 들어 있으면 \(n+1\)도 들어 있다”뿐이다. 그래서 집합을 이렇게 잡는다.
이 집합에 대해서는 보통 귀납법이 그대로 통한다. \(\deg P_1 < n\)이면 \(\deg P_1 \le n-1\)이고, \(n-1 \in S\)라는 귀납가정이 곧바로 적용되기 때문이다.
\(\deg P = n \ge m\)이고 \(P\)의 최고차 계수를 \(c\)라 할 때
라 두면, 두 다항식의 \(x^n\) 항이 서로 지워지므로 \(P_1\)은 영다항식이거나 \(\deg P_1 < n\)이다.
\(\deg P_1 < m\)이면 \(Q = \frac{c}{d}x^{n-m}\), \(R = P_1\)로 두면 된다. 그렇지 않으면 \(\deg P_1 < n\)이므로 귀납가정에 의하여 \(P_1 = Q_1 D + R\)인 \(Q_1\), \(R\)이 있고,
이다. 4회 정리 9이 이 귀납을 정당화한다.
증명이 절차이다. 최고차 항을 지우고 남은 것에 같은 일을 되풀이한다. 차수가 매번 줄어들므로 유한 번에 끝난다.
(25.1)의 양변을 \(D\)로 나누면
이고 \(Q\)는 다항함수이므로 16회 정리 50와 19회 정리 64로 곧바로 적분된다.
따라서 \(\deg R < \deg D\)인 경우만 다루면 된다. 이런 몫을 진분수라 부르기로 한다.
2. 분모의 인수분해#
이제 분모 \(D\)를 쪼갠다.
왜 쪼개려 하는가. 우리가 적분할 줄 아는 유리함수는 아직 둘뿐이다. \(\frac{1}{x}\)가 로그를 주고 \(\frac{1}{1+x^2}\)이 역탄젠트를 준다. 둘 다 분모가 더 이상 쪼개지지 않는 꼴이다.
그러니 임의의 진분수를 그런 꼴들의 합으로 만들 수 있다면 적분이 끝난다. 8회 정리 22이 합을 갈라 주기 때문이다.
그러려면 분모를 먼저 쪼개야 한다. 분모가 곱으로 적혀야 그 곱을 합으로 뒤집을 수 있다.
여기서 미적분이 잠시 물러난다.
여기서부터는 대수학이다
실계수 다항식은 일차식과 실근이 없는 이차식의 곱으로 인수분해된다.
이 사실은 대수학의 기본정리에서 나오며 미적분의 결과가 아니다. 이 책은 그것을 증명하지 않는다.
이 책이 증명 없이 쓰는 사실을 표시해 온 방식이 있다. 8회 4절이 곱의 적분 가능성을 그렇게 두었고 13회와 15회와 24회가 장부에 올렸다. 20회 정의 44도 삼각함수의 존재를 증명하지 않고 조건부로 두었다.
여기가 세 번째 자리이다. 다만 앞의 둘과 성격이 다르다. 앞의 둘은 이 책이 언젠가 갚을 수 있는 것이고, 이것은 미적분의 밖에 있다.
\(\dfrac{1}{x^3-x}\)을 보자. \(x^3-x = x(x^2-1) = x(x-1)(x+1)\)이므로 일차식 셋의 곱이다.
\(\dfrac{1}{x^3+x}\)은 다르다. \(x^3+x = x(x^2+1)\)인데 \(x^2+1\)은 실근이 없다.
제곱이 음이 아니라는 것부터 확인한다. 이 책에 그 정리가 없으므로 3회의 재료로 직접 얻는다.
\(x>0\)이면 3회 O1에 의하여 \(x\cdot x\)가 양수이다. \(x<0\)이면 \(-x\)가 양수이므로 O1에 의하여 \((-x)(-x)\)가 양수이고, 정리 4이 그 값을 \(x\cdot x\)와 같게 해 준다. \(x=0\)이면 정리 3에 의하여 \(x\cdot x = 0\)이다. 세 경우를 합치면 \(x^2 \ge 0\)이다.
3회 정리 7가 \((-1)(-1)=1\)을 다룬 것과 같은 논증이다.
따라서 \(x^2+1 \ge 1 > 0\)이고 \(x^2+1=0\)인 실수가 없다. 실수 범위에서는 더 쪼개지지 않는다.
흔한 오해 — 이차 인수를 억지로 쪼개려는 것
\(x^2+1\)을 일차식의 곱으로 쓰려 하면 안 된다.
일차식 \(x-a\)로 나누어떨어지려면 \(a\)가 근이어야 한다. 그 사실은 1절이 준다. 정리 79을 \(D=x-a\)에 적용하면 \(R\)이 상수이고 \(P = Q\cdot(x-a)+R\)인데, \(x=a\)를 넣으면 \(R = P(a)\)이다. 나누어떨어진다는 것은 \(R=0\)이라는 뜻이므로 \(P(a)=0\)이다.
\(x^2+1\)에는 그런 \(a\)가 없다. 인수분해가 안 되는 것이 결함이 아니라 실수 범위의 사실이다.
3절이 이차 인수에 대해 다른 형태의 항을 두는 이유가 여기에 있다.
3. 부분분수 분해#
정리 80 (부분분수 분해)
\(\dfrac{R}{D}\)가 진분수이고 \(D\)가 2절의 방식으로
로 인수분해된다고 하자. 그러면 \(\dfrac{R}{D}\)는 다음 두 종류의 항들의 합으로 유일하게 쓰인다.
이것도 대수학의 정리이다. 증명은 계수를 미지수로 두고 연립일차방정식을 푸는 것이며, 그 방정식이 언제나 유일한 해를 갖는다는 것을 보이는 일이다. 2절의 상자와 같은 이유로 여기서 증명하지 않는다.
우리에게 필요한 것은 절차이다. 통분하여 항등식을 세우고 계수를 비교한다.
예를 끝까지 계산한다#
\(\dfrac{1}{x^3-x}\)을 분해한다. 2절에서 분모가 \(x(x-1)(x+1)\)이었다.
일차 인수 셋이 모두 중복 없이 나타나므로 (25.2)의 첫 형태를 \(j=1\)로 셋 둔다.
양변에 \(x(x-1)(x+1)\)을 곱하면
이다. 이 등식이 모든 \(x\)에서 성립해야 한다.
계수를 정하는 방법이 둘이다.
값을 넣는다. \(x=0\)을 넣으면 \(1 = A(-1)(1) = -A\)이므로 \(A=-1\)이다. \(x=1\)을 넣으면 \(1 = B\cdot1\cdot2\)이므로 \(B=\frac12\)이다. \(x=-1\)을 넣으면 \(1 = C(-1)(-2)\)이므로 \(C=\frac12\)이다.
계수를 비교한다. (25.3)의 오른쪽을 전개하면 \((A+B+C)x^2 + (B-C)x + (-A)\)이다. 왼쪽이 상수 \(1\)이므로 \(A+B+C=0\), \(B-C=0\), \(-A=1\)이고 같은 답이 나온다.
앞의 방법이 짧지만 일차 인수가 중복되거나 이차 인수가 있으면 값을 넣는 것만으로 부족하다. 그때는 두 방법을 섞는다.
결과는
이다.
흔한 오해 — 중복 인수에 항을 하나만 두는 것
\((x-a)^m\)에 대하여 \(\dfrac{A}{(x-a)^m}\) 하나만 두면 안 된다. (25.2)가 \(j=1\)부터 \(m\)까지 \(m\)개를 요구한다.
\(\dfrac{1}{(x-1)^2}\)은 그 자체로 이미 한 항이지만, \(\dfrac{x}{(x-1)^2}\)은 \(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{(x-1)^2}\)이다. 확인하려면 오른쪽을 통분하면 된다.
항을 하나만 두면 계수를 정하는 연립방정식에 해가 없어진다.
4. 각 형태의 적분#
(25.2)의 두 형태를 각각 적분한다.
일차 인수, \(j=1\)#
이다.
절댓값이 필요하다. 21회 정의 46는 \(\log\)를 \(x>0\)에서만 정의했으므로 \(x<a\)인 쪽에서는 \(\log(x-a)\)가 뜻을 갖지 않는다. 21회가 따름정리 12를 “다음 회차에서 필요해질 것”이라며 세워 두었고, 22회 \(\int\tan\)에 이어 여기가 두 번째 사용처이다.
그리고 22회의 상자가 적은 대로 \(+C\)는 한 구간 안에서만 상수 하나이다. \(x=a\)가 정의역을 두 조각으로 끊으므로 조각마다 상수가 따로 정해질 수 있다.
일차 인수, \(j \ge 2\)#
\(m \ge 2\)이면 로그가 나오지 않는다.
16회 정리 50와 17회 정리 54에 의하여 \(\dfrac{d}{dx}(x-a)^{m-1} = (m-1)(x-a)^{m-2}\)이므로, 16회 정리 51를 \(f=1\)과 \(g=(x-a)^{m-1}\)에 적용하면
이다. 19회 정리 64로 옮기면
이다.
음의 지수로 적지 않은 이유
\((x-a)^{-m}\)이라 쓰면 짧지만 그럴 수 없다. 21회 정의 49가 \(a^x = \exp(x\log a)\)로 정의했고 밑이 양수일 때만 값을 주므로, \(x<a\)인 쪽에서 \((x-a)^{-m}\)이 뜻을 갖지 않는다.
위에서 쓴 것은 12회 정의 26의 \((x-a)^{m}\)과 정의 24의 몫이다. 그러면 정의역이 \(x \ne a\)인 곳 전체가 된다.
24회 1절의 함수 목록에서 \(x^{a}\)(실수 \(a\)) 줄의 도함수 칸이 비어 있던 것이 이 사정이다.
\(m=1\)과 \(m \ge 2\)가 갈린다. (25.5)의 오른쪽에 \(m=1\)을 넣으면 분모가 \(0\)이 되어 뜻을 잃는다. 그 자리를 로그가 메운다.
다항식 부분도 마저 적어 둔다. 1절에서 \(Q\)가 다항함수라 적분된다고만 했는데, 정리 50와 정리 64가 주는 것은
이다. 24회 1절이 “일반형은 곧바로 나오지만 이 책이 아직 적지 않았다”고 적어 둔 것을 여기서 적는다.
이차 인수#
\(\dfrac{Bx+C}{x^2+bx+c}\)를 다룬다. 분모는 실근이 없으므로 어디서도 \(0\)이 아니다.
분자를 둘로 가른다. 분모의 도함수가 \(2x+b\)이므로
이다. 두 조각을 따로 적분한다.
앞 조각. \(g(x)=x^2+bx+c\)로 두면 \(g'(x)=2x+b\)이므로 22회 정리 76의 형태이고, \(g>0\)이므로 절댓값도 필요 없다.
뒤 조각. 남은 것은 \(\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+bx+c}\)이다. 완전제곱을 한다. 3회의 체 공리로 전개해 확인하면
이다.
이 형태가 실근의 유무를 곧바로 읽어 준다. 2절에서 확인한 대로 \(\left(x+\frac{b}{2}\right)^2 \ge 0\)이고, \(x\)를 움직이면 그 값이 \(0\)부터 위로 모든 값을 취한다. 따라서 \(c-\frac{b^2}{4} \le 0\)이면 오른쪽이 \(0\)이 되는 \(x\)가 있고, \(c-\frac{b^2}{4}>0\)이면 오른쪽이 언제나 양수라 근이 없다.
판별식을 부를 필요가 없다. 실근이 없다는 가정이 곧 \(c-\frac{b^2}{4}>0\)이다.
그 값을 \(k^2\)이라 쓰면 — 17회 정의 35가 양수의 제곱근을 준다 — 분모가 \(\left(x+\frac{b}{2}\right)^2+k^2\)이다.
이제 답을 적고 미분으로 확인한다.
확인은 이렇다. 23회 정리 77와 17회 정리 54에 의하여
이고, 그것이 완전제곱한 분모이다. 19회 정리 64가 이 확인을 적분으로 옮긴다.
\(dx = k\,du\) 라고 적지 않았다
치환을 \(u = \frac{x+b/2}{k}\)로 두고 \(dx = k\,du\)라 쓰는 것이 흔한 서술인데, 이 책은 그런 기호 조작을 근거로 삼은 적이 없다.
22회 정리 76은 \(\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du\)라는 등식이지 \(dx\)와 \(du\) 사이의 관계식이 아니다.
그래서 22회가 (22.6)에서 한 것과 같이 답을 적고 미분으로 확인했다. 치환은 답을 찾는 데 쓰고, 찾은 것은 미분이 확인한다.
\(j \ge 2\)인 이차 인수는 더 번거롭다. \(\displaystyle\int\frac{dx}{(x^2+k^2)^{j}}\)를 \(j\)가 하나씩 줄어드는 형태로 옮기는 관계식이 있으며, 그것을 되풀이하면 어느 \(j\)에서도 \(j=1\)로 내려와 (25.7)이 끝낸다. 23회 4절이 \(j=2\)인 경우를 삼각치환으로 계산했다.
그 관계식을 이 회차가 진술하지 않는다. 22회 정리 75로 세울 수 있으나 여기서 하지 않으며, 5절의 결론이 그것에 기대고 있다는 것을 마치며에서 다시 적는다.
5. 결론#
절차를 한자리에 모은다.
a rational function P/D is given
|
+- Is deg P >= deg D ? (thm-25-division)
| yes -> divide: P/D = Q + R/D, integrate Q by the power rule
|
+- Factor D into linear and irreducible quadratic factors
| this step is algebra, not calculus
|
+- Split R/D into the two forms of (25.2)
| match coefficients to find them
|
+- Integrate each term
| A/(x-a) -> log |x-a| (25.4)
| A/(x-a)^j, j>=2 -> a rational function (25.5)
| (Bx+C)/(quadratic)
| split the numerator (25.6)
| first piece -> log of the quadratic
| second piece -> arctan (25.7)
|
+- the procedure always terminates
정리 81 (유리함수의 적분)
유리함수의 원시함수는 유리함수, 로그, 역탄젠트를 유한 번 조합한 것이다.
이것은 위 절차를 한 문장으로 적은 것이다. 각 단계가 끝난다는 것은 1절의 나눗셈이 유한 번에 끝나고 3절의 항이 유한개이기 때문이다.
유리함수를 적분하면 유리함수로 돌아오지 않는다. \(\frac{1}{x}\)의 원시함수가 \(\log|x|\)이고 \(\frac{1}{1+x^2}\)의 원시함수가 \(\arctan x\)이다. 미분은 유리함수를 유리함수로 보내는데 적분은 그렇지 않다.
24회 1절의 함수 목록이 세 가지 방식으로 함수를 만들었다고 적었다. 정의를 직접 적기, 역함수, 적분이다. 여기서 세 번째가 다시 일어난다. 유리함수만 있던 자리에서 적분이 로그와 역탄젠트를 끌어낸다.
구체적인 값#
\(\displaystyle\int_2^3\frac{dx}{x^2-1}\)을 계산한다.
\(x^2-1=(x-1)(x+1)\)이고 3절의 방법으로 \(\dfrac{1}{x^2-1} = \dfrac{1/2}{x-1} - \dfrac{1/2}{x+1}\)이다.
\([2,3]\)에서 \(x-1>0\)이고 \(x+1>0\)이므로 절댓값을 벗길 수 있고, (25.4)와 19회 정리 64에 의하여
이다. 21회 따름정리 11로 로그를 묶었다. 그 값은 \(0.2027\ldots\)이며 실험 페이지가 7회의 상합과 하합으로 같은 값을 좁힌다.
마치며#
이번 회차에서는 유리함수의 적분을 다루었다. 분자의 차수를 낮추고, 분모를 일차 인수와 실근이 없는 이차 인수로 분해하고, 각 인수에 대응하는 항으로 나눈 뒤, 항마다 이미 아는 적분 공식을 적용하는 절차였다.
결과는 유리함수, 로그, 역탄젠트의 조합이다. 유리함수를 적분하면 유리함수로 돌아오지 않는다.
그리고 이 절차는 언제나 작동한다. 22회와 23회의 기법은 통할 때도 있고 통하지 않을 때도 있었지만, 유리함수에 대해서는 절차가 확정되어 있다. 24회 절차표가 유리함수를 별도 갈래로 둔 이유가 이것이다.
대신 값을 치렀다. 세 사실을 증명하지 않았다.
둘은 대수학이다. 2절의 실계수 다항식 인수분해와 3절의 부분분수 분해의 존재이다. 이 책의 밖에 있으며, 8회의 곱의 적분 가능성이나 20회의 삼각함수 존재와는 성격이 다르다. 그 둘은 이 책이 언젠가 갚을 수 있는 것이고, 이것은 갚을 자리가 아니다.
셋째는 미적분이다. 4절 끝에서 \(\int\frac{dx}{(x^2+k^2)^j}\)의 차수를 내리는 관계식을 진술하지 않았다. 정리 81이 “유한 번 조합”이라 단언하는 근거의 한 조각이 그것이며, 22회 정리 75로 세울 수 있으므로 이것은 갚을 수 있는 빚이다.
여기까지가 정확한 계산에 관한 내용이다. 16회부터 열 회차 동안 도함수를 정의하고, 두 연산의 관계를 밝히고, 함수를 늘리고, 적분 기법을 모았다.
그러나 정확한 값을 구할 수 없는 경우가 많다. \(e^{-x^2}\)이 그런 예였고, 22회와 24회가 두 번 적었다. 그런 경우에는 근삿값이라도 얻어야 한다.
다음 회차에서는 함수를 다항식으로 근사하는 방법을 알아보도록 하자.
이어서
같은 회차의 실험: 25회 실험 · 절차가 언제나 끝난다