미적분학 79회#
Apostol의 Calculus Vol 1·2를 따라 미적분학을 79회로 나누어 다룬다. MIT 18.014의 39슬롯과 18.024의 40슬롯을 합친 구성이며, 신규 강의 72회와 정리편 7회로 이루어진다.
이 시리즈는 계산법을 익히는 과목이 아니라 논증을 따라가는 과목이다. 실수의 공리에서 출발하여 적분을 정의하고, 도함수를 따로 정의한 다음, 두 정의가 역관계임을 밝히고, 그 관계가 차원을 늘려도 유지된다는 것까지 간다.
도달점#
79회 전체는 다음 한 줄에 도달하는 과정이다.
19회의 미적분의 기본정리에서 이 식의 1차원판을 얻고, 79회에서 그것이 모든 차원으로 확장된다는 것을 본다.
여섯 파트#
읽는 방법 — 서술과 실험이 번갈아 온다#
각 회차는 두 쪽으로 이루어진다.
서술 쪽은 정의와 정리와 증명을 다룬다. 계산이 아니라 논증이 대상이다.
실험 쪽은 같은 내용을 코드로 확인한다. 코드가 답을 주는 것이 아니라, 서술 쪽에서 세운 정의가 실제로 무엇을 하는지 확인하는 것이 목적이다. 왼쪽 차례에서 각 회차 아래에 붙어 있으며, 서술 쪽을 읽은 다음에 본다.
계산의 3층 구조
실험 쪽의 코드는 언제나 세 층으로 나뉜다. 어느 층의 코드인지 매번 밝힌다.
층 |
도구 |
하는 일 |
|---|---|---|
1층 — 정의 |
numpy, 직접 구현 |
정의를 그대로 옮긴다. 본문의 주된 코드이다 |
2층 — 수치 대조 |
scipy |
1층의 계산이 맞는지 독립적으로 확인한다 |
3층 — 기호 참값 |
sympy |
유한한 \(n\)에 대한 정확한 식을 얻는다 |
언제나 1층을 먼저 제시한다. 라이브러리를 먼저 부르면 정의가 무엇을 하는지 보이지 않는다.
아직 다루지 않은 도구는 쓰지 않는다
정의의 순서를 지키기 위해, 각 파트에는 금지 목록이 있다. 예를 들어
PART I에서는 sympy.integrate, sympy.limit, sympy.diff를 쓰지 않는다.
부정적분은 도함수의 역이고, 극한은 11회에서야 정의하며, 도함수는
PART II의 대상이기 때문이다. 같은 이유로 scipy.integrate.quad는 허용된다.
구간을 나누어 함숫값을 더하는 계산이므로 7회의 정의와 같은 계열이다.
참고#
Apostol, Calculus Vol 1·2 — 주 교재
Munkres, 18.014 강의노트 — 보조
Strang, Highlights of Calculus — 보조