16회 · 도함수의 정의#
이 회차
한 문장 |
두 점을 지나는 직선의 기울기에서 한 점을 다른 점에 보내면 도함수가 나온다. |
출처 |
L15 |
파트 |
PART II — 두 번째 무한 · 관통 질문: 자르기(미분)와 쌓기(적분)는 무슨 관계인가 |
짝 실험 |
1회에서 두 개의 문제를 제시하였다. 넓이 문제와 접선 문제이다. 그중 넓이 문제는 앞의 열다섯 회차에서 다루었다. 이번 회차에서는 미루어 둔 접선 문제로 돌아간다.
1회 (1.1)이 두 점을 지나는 직선의 기울기를 주었다. 그런데 한 점에서의 기울기를 정하려면 두 점을 같은 점으로 보내야 하고, 그러면 분모와 분자가 모두 \(0\)이 되어 그 식이 아무 값도 주지 않았다. 1회 4절은 “그 정의는 넓이를 정의하는 것보다 더 많은 준비를 요구한다”고 적고 멈추었다.
11회에서 극한을 정의하였으므로 이제 이 문제를 다룰 수 있다. 두 점이 같아진 뒤를 묻는 것이 아니라, 한 점을 다른 점에 가까이 보내면서 기울기가 어떤 값에 가까워지는지를 물으면 된다.
이번 회차에서는 그 값을 도함수로 정의하고, 정의에서 곧바로 나오는 성질과 계산 규칙을 얻어 보자.
1. 차분몫#
1회 (1.1)은 두 점을 지나는 직선의 기울기였다. 한 점을 고정하고 다른 점을 변수로 두면 함수가 된다.
정의 29 (차분몫)
\(f\)가 \(p\)를 포함하는 어떤 열린구간 \(U\)에서 정의되어 있다고 하자. \(S = U \setminus \{p\}\)에서
로 정의된 함수를 \(p\)에서의 차분몫(difference quotient)이라 한다.
정의역을 \(S\)로 잡은 이유가 있다. 12회 정의 24가 “몫 \(f/g\)는 \(g(x) \ne 0\)인 \(x\)에서만 정의한다”고 했으므로, 분모 \(x-p\)가 \(0\)이 되는 점 \(p\)가 자동으로 빠진다. \(Q\)는 \(p\)에서 정의되지 않는다.
구체적으로 계산해 본다. \(f(x) = x^2\)이고 \(p = 3\)이라 하자. \(x \ne 3\)에서
이다. 마지막 등호는 \(x - 3 \ne 0\)이므로 약분한 것이며, 3회 F6이 그 근거이다.
이 정리는 \(x \ne 3\)에서만 유효하다. 12회 4절에서 \(r(x) = \frac{x^2-9}{x-3}\)을 두고 같은 논의를 했다. \(x = 3\)을 대입할 수는 없지만, \(x\)가 \(3\)에 가까워질 때 \(Q(x)\)가 어떻게 되는지는 물을 수 있다.
수치로 보면 \(x = 3.1\)에서 \(Q = 6.1\)이고, \(x = 3.01\)에서 \(6.01\)이며, \(x = 3.001\)에서 \(6.001\)이다. \(6\)에 가까워지는 것으로 보인다.
흔한 오해 — 차분몫이 \(x = p\)에서 정의된다고 생각하는 것
(16.1)의 분모가 \(x = p\)에서 \(0\)이므로 그 점에서 값이 없다. 약분한 뒤의 식 \(x+3\)은 \(x = 3\)에서도 값을 갖지만, 약분은 \(x \ne 3\)을 전제로 한 조작이므로 그 값이 \(Q(3)\)인 것은 아니다.
정의되지 않기 때문에 극한이 필요하다. 11회 (11.1)의 조건 \(0 < |x-p|\)가 정확히 이 상황을 위해 있다.
2. 도함수의 정의#
11회 정의 18의 전제를 다시 읽어 보자. “\(f\)가 \(p\)를 포함하는 어떤 열린구간에서 정의되어 있다고 하자. 단, \(p\) 자신에서는 정의되어 있지 않아도 된다.”
1절의 \(Q\)가 정확히 이 형태이다. 극한의 정의가 처음부터 이런 함수를 다루도록 만들어져 있었다.
정의 30 (도함수)
\(f\)가 \(p\)를 포함하는 어떤 열린구간에서 정의되어 있다고 하자. 극한
이 존재하면 \(f\)가 \(p\)에서 미분 가능(differentiable)하다고 하고, 그 값 \(f'(p)\)를 \(f\)의 \(p\)에서의 도함수값(derivative)이라 한다.
전제가 정의 18보다 강하다는 점에 유의한다. 여기서는 \(f\)가 \(p\)에서도 정의되어 있어야 한다. (16.2)의 분자에 \(f(p)\)가 들어 있기 때문이다.
극한을 묻는 대상은 \(Q\)이고 \(Q\)는 \(p\)에서 정의되지 않는다. 그러나 \(Q\)를 만들려면 \(f(p)\)가 있어야 한다. 두 요구가 서로 다른 함수에 걸린다.
평행이동한 형태#
(16.2)는 \(x\)가 \(p\)로 가는 형태이다. 두 점의 거리를 하나의 문자로 나타내면 계산이 짧아지므로 \(h = x - p\)로 바꾸어 쓰고 싶은데, 그러려면 근거가 필요하다.
보조정리 8 (극한의 평행이동)
\(F\)가 \(p\)를 포함하는 어떤 열린구간에서 (\(p\) 자신은 빼고) 정의되어 있다고 하고 \(G(h) = F(p+h)\)라 하자. 그러면 \(\lim_{x \to p} F(x) = A\)인 것과 \(\lim_{h \to 0} G(h) = A\)인 것은 같은 말이다.
증명. \(x = p + h\)로 두면 두 조건이 글자 그대로 같은 것이 된다.
\(0 < |h - 0| < \delta\)는 \(0 < |h| < \delta\)이고, \(0 < |(p+h) - p| < \delta\)도 \(0 < |h| < \delta\)이다. 즉 \(x\)에 대한 조건과 \(h\)에 대한 조건이 같다.
그리고 \(|G(h) - A| = |F(p+h) - A| = |F(x) - A|\)이다.
따라서 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 한쪽에서 통하는 \(\delta\)가 다른 쪽에서 그대로 통한다. 정의 18이 요구하는 것이 그것뿐이므로 두 진술은 같다.
12회 정리 37를 쓰려 하면 안 된다. 그것은 연속에 대한 진술이고, 12회의 「합성을 극한의 형태로 진술하는 것」 상자가 극한 형태로 옮기면 거짓이 됨을 반례로 보였다. 보조정리 8는 합성이 아니라 변수를 바꾸어 적은 것이므로 그 반례에 걸리지 않는다.
보조정리 8를 \(F = Q\)에 적용하면 다음을 얻는다.
두 형태로 같은 값을 계산해 본다. \(f(x) = x^2\), \(p = 3\)이다.
(16.2)로 계산하면 1절에서 \(Q(x) = x+3\)이었고, \(x+3\)은 12회 정리 38에 의하여 모든 점에서 연속이므로 11회 (11.10)에 의하여 \(\lim_{x\to3}(x+3) = 6\)이다. 따라서 \(f'(3) = 6\)이다.
(16.3)으로 계산하면
이고 \(h \to 0\)에서 \(6\)이다. 두 계산이 같은 값을 준다.
흔한 오해 — \(f'(p)\)와 \(f'\)를 같은 것으로 보는 것
\(f'(p)\)는 수이다. 점 \(p\) 하나에 대하여 극한을 계산한 결과이다.
\(f\)가 미분 가능한 점들을 모아 \(p \mapsto f'(p)\)로 정하면 함수가 되고, 그것을 \(f\)의 도함수라 한다. 두 대상이 다르다.
그리고 도함수의 정의역이 \(f\)의 정의역보다 작을 수 있다. 3절의 절댓값 함수가 그 예이다.
3. 미분 가능이면 연속이다#
정의를 세웠으니 정의에서 곧바로 무엇이 나오는지 본다.
12회가 연속함수를 조립하는 규칙을 모았다. 미분 가능이라는 새 조건이 그 연속이라는 조건과 어떤 관계인지를 여기서 정한다.
정리 47 (미분 가능이면 연속이다)
\(f\)가 \(p\)에서 미분 가능하면 \(f\)는 \(p\)에서 연속이다.
증명. \(x \ne p\)에서 다음 항등식이 성립한다.
오른쪽에서 \(x - p\)가 분모와 분자에 함께 있으므로 약분하면 왼쪽이 된다. \(x \ne p\)에서만 성립하는 항등식인데, 11회 (11.1)이 \(0 < |x-p|\)로 \(x = p\)를 제외하므로 극한을 다루는 데는 지장이 없다.
\(\lim_{x\to p}(x-p) = 0\)이다. 12회 정리 38의 증명 첫째 단계에서 상수함수가 연속임을, 둘째 단계에서 항등함수가 연속임을 보였고, 12회 정리 34의 차를 적용하면 된다.
(16.4)의 오른쪽에 정리 34의 곱을 적용한다. 첫 인수의 극한이 \(f'(p)\)이고 둘째 인수의 극한이 \(0\)이므로
이다.
\(f(x) = \bigl(f(x)-f(p)\bigr) + f(p)\)이므로 정리 34의 합에 의하여 \(\lim_{x\to p} f(x) = 0 + f(p) = f(p)\)이다. 11회 (11.10)에 의하여 이것이 \(p\)에서의 연속이다.
미분 가능이라는 조건이 극한의 존재를 요구하는데, 그 극한이 존재하려면 분자가 \(0\)으로 가야 한다는 것이 증명의 요점이다. 분자가 \(0\)으로 가지 않으면 분모가 \(0\)으로 가는 몫이 어떤 수에 가까워질 수 없다.
역은 성립하지 않는다.
예제 11 (연속이지만 미분 가능하지 않은 함수)
\(g(x) = |x|\)는 \(0\)에서 연속이지만 미분 가능하지 않다.
연속인 것부터 본다. \(\epsilon > 0\)에 대하여 \(\delta = \epsilon\)으로 두면 \(|x - 0| < \delta\)에서 \(\bigl||x| - 0\bigr| = |x| < \epsilon\)이다.
미분 가능하지 않다는 것을 보인다. \(x \ne 0\)에서 차분몫은
이고, 4회 (4.12)에 의하여 \(x > 0\)이면 \(|x| = x\)이므로 \(Q(x) = 1\)이고, \(x < 0\)이면 \(|x| = -x\)이므로 \(Q(x) = -1\)이다.
\(\lim_{x\to 0} Q(x) = A\)인 \(A\)가 있다고 하자. 정의 18을 \(\epsilon = 1\)에 적용하면 \(\delta > 0\)이 있어서 \(0 < |x| < \delta\)에서 \(|Q(x) - A| < 1\)이다.
\(x_1 = \delta/2\)와 \(x_2 = -\delta/2\)는 둘 다 \(0 < |x| < \delta\)를 만족하고, \(Q(x_1) = 1\)이며 \(Q(x_2) = -1\)이다. 따라서 \(|1 - A| < 1\)이고 \(|-1-A| = |A-(-1)| < 1\)이다. 5회 정리 18에 의하여
이다. \(2 < 2\)는 3회 O2(삼분법)에 어긋나므로 그런 \(A\)는 없다.
이 논법은 11회 3절에서 디리클레 함수가 어느 점에서도 연속이 아님을 보인 것과 같은 형태이다. 두 값이 멀리 떨어져 있는데 둘 다 같은 \(A\)에 가까울 수는 없다는 것이다.
수치로도 확인한다. \(h = 0.001\)이면 \(Q = 1\)이고 \(h = -0.001\)이면 \(Q = -1\)이다. \(h\)를 아무리 줄여도 두 값이 \(1\)과 \(-1\) 그대로이다.
4. 미분 공식#
정의만으로는 함수 하나마다 극한을 새로 계산해야 한다. \(x^2\)에서 한 계산을 \(x^3\)과 \(x^{10}\)에서 되풀이할 수는 없다.
12회가 극한의 사칙연산 규칙을 모아 극한 계산을 조립으로 바꾸었다. 여기서 같은 일을 미분에 대해 한다.
쌓는 순서는 12회 정리 38의 증명과 같다. 상수함수와 항등함수를 손으로 확인하고, 나머지는 조립으로 얻는다.
정리 48 (상수함수·항등함수·합·상수배)
값이 항상 \(c\)인 상수함수는 모든 점에서 미분 가능하고 도함수값이 \(0\)이다. 항등함수 \(f(x)=x\)는 모든 점에서 미분 가능하고 도함수값이 \(1\)이다.
\(f\)와 \(g\)가 \(p\)에서 미분 가능하고 \(\alpha\)가 실수이면 \(f+g\)와 \(\alpha f\)도 \(p\)에서 미분 가능하고
이다.
증명. 상수함수에서는 \(Q(x) = \dfrac{c-c}{x-p} = 0\)이므로 극한이 \(0\)이다. 항등함수에서는 \(Q(x) = \dfrac{x-p}{x-p} = 1\)이므로 극한이 \(1\)이다. 두 경우 모두 \(x \ne p\)에서 계산한 것이다.
합에서는 차분몫이
로 갈라지고, 12회 정리 34의 합을 적용하면 된다. 상수배도 같은 방식이며 정리 34의 곱을 상수함수에 적용한다.
곱은 사정이 다르다. 차분몫의 분자가 \(f(x)g(x) - f(p)g(p)\)인데, 여기에는 \(f\)의 차분몫도 \(g\)의 차분몫도 그대로 들어 있지 않다.
쪼개는 방법은 12회에서 이미 썼다. 분자에 \(f(x)g(p)\)를 더하고 뺀다.
12회 (12.4)에서 곱의 극한을 증명할 때 같은 것을 더하고 뺐다. 같은 조작이 여기서 다시 쓰인다.
정리 49 (곱의 미분)
\(f\)와 \(g\)가 \(p\)에서 미분 가능하면 \(fg\)도 \(p\)에서 미분 가능하고
이다.
증명. (16.6)의 오른쪽에서 \(x \to p\)일 때 각 조각의 극한을 본다. 둘째 항의 \(g(p)\)는 상수이고 분수의 극한이 \(f'(p)\)이다. 첫째 항의 분수는 \(g'(p)\)로 가는데, 앞에 붙은 \(f(x)\)가 문제이다.
여기서 3절의 정리가 쓰인다. \(f\)가 \(p\)에서 미분 가능하므로 정리 47에 의하여 \(p\)에서 연속이고, 11회 (11.10)에 의하여 \(\lim_{x\to p} f(x) = f(p)\)이다.
정리 34의 곱과 합을 (16.6)에 적용하면 (16.7)을 얻는다.
절의 순서가 3절 다음에 4절이므로 순환이 없다. 정리 47의 증명은 곱의 미분을 쓰지 않는다.
정리 50 (거듭제곱의 미분)
자연수 \(n\)에 대하여 \(f(x) = x^n\)은 모든 점에서 미분 가능하고
이다.
증명. \(n\)에 대한 귀납법을 쓴다. \(x^n\)의 정의는 12회 정의 26의 귀납적 정의이다.
\(n = 1\)이면 항등함수이므로 정리 48에 의하여 도함수값이 \(1 = 1\cdot p^0\)이다.
\(n\)에서 성립한다고 가정한다. \(x^{n+1} = x^n \cdot x\)이므로 정리 49를 적용하면
이다. 이것이 \(n+1\)에 대한 (16.8)이다. 4회 정리 9에 의하여 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립한다.
\(x^n - p^n\)을 인수분해하는 공식을 쓰지 않았다는 점에 유의한다. 그 공식은 아직 세우지 않았으므로 곱의 미분과 귀납법으로 돌아간 것이다.
정리 51 (몫의 미분)
\(f\)와 \(g\)가 \(p\)에서 미분 가능하고 \(g(p) \ne 0\)이면 \(f/g\)도 \(p\)에서 미분 가능하고
이다.
증명. 먼저 분모가 \(0\)이 아닌 범위를 확보한다. \(g\)가 \(p\)에서 미분 가능하므로 정리 47에 의하여 \(p\)에서 연속이고, \(g(p) \ne 0\)이므로 12회 따름정리 8를 적용할 수 있다. 어떤 \(\delta > 0\)이 있어서 \(|x-p| < \delta\)인 모든 \(x\)에서 \(|g(x)| > |g(p)|/2 > 0\)이다.
\(p\) 자신이 포함된다는 점이 중요하다. 12회 따름정리 7는 뚫린 근방을 주므로 여기서 쓸 수 없다. 차분몫을 만들려면 \(g(p) \ne 0\)도 필요하기 때문이다.
이 근방에서 \(f/g\)가 정의되고 차분몫을 만들 수 있다.
오른쪽 분자에 \(f(p)g(p)\)를 더하고 빼면
이다. 정리 49에서 쓴 것과 같은 조작이다.
\(x \to p\)에서 이 값의 극한은 정리 34에 의하여 \(g(p)f'(p) - f(p)g'(p)\)이다. 그리고 \(g\)가 \(p\)에서 연속이므로 \(g(x)g(p) \to g(p)^2\)이고, \(g(p) \ne 0\)이므로 3회 정리 5의 대우에 의하여 \(g(p)^2 \ne 0\)이다. 정리 34의 몫을 적용하면 (16.9)를 얻는다.
구체적인 값으로 확인한다. \(f(x) = x^3 - 2x\)를 \(p = 2\)에서 본다.
(16.8)과 정리 48의 합·상수배를 쓰면 \(f'(x) = 3x^2 - 2\)이므로 \(f'(2) = 12 - 2 = 10\)이다.
정의로도 계산해 본다. (16.3)의 형태로
이고 \(h \to 0\)에서 \(10\)이다. 두 값이 맞는다.
이 절의 정리들이 하는 일은 함수마다 극한을 새로 계산하지 않게 해 주는 것이다. 상수함수와 항등함수 둘만 손으로 확인하면 다항함수와 유리함수의 도함수가 모두 조립으로 나온다.
5. 한쪽 도함수와 접선#
3절의 절댓값 함수에서 극한은 없었다. 그런데 오른쪽에서 온 값과 왼쪽에서 온 값은 각각 하나로 정해졌다. \(1\)과 \(-1\)이었다.
그 값들에 이름을 붙여 둔다.
정의 31 (한쪽 도함수)
11회 정의 21의 우극한이 존재하면
를 \(f\)의 \(p\)에서의 우도함수값(right-hand derivative)이라 한다. 좌극한으로 같은 것을 정의하고 \(f'_{-}(p)\)라 쓴다.
\(g(x) = |x|\)의 \(0\)에서 우도함수값은 \(1\)이고 좌도함수값은 \(-1\)이다. 3절에서 계산한 값이 그것이다.
두 값이 있어도 도함수는 없다. 11회 4절에서 우극한과 좌극한이 모두 있어도 두 값이 다르면 극한이 없다고 하였다. 같은 사정이다.
접선#
이제 1회의 물음에 답한다.
정의 32 (접선)
\(f\)가 \(p\)에서 미분 가능할 때
로 정해지는 직선을 \(f\)의 그래프 위의 점 \((p, f(p))\)에서의 접선(tangent line)이라 한다.
이것은 정의이지 유도가 아니다. 1회 2절이 접선 문제를 “곡선 위의 한 점에서의 기울기를 어떻게 정의할 것인가”로 적었다. 정의하라는 물음이었으므로 정의로 답한다.
(16.11)이 \((p, f(p))\)를 지난다는 것은 \(x = p\)를 넣으면 확인된다. 그리고 이 직선의 기울기가 \(f'(p)\)이다.
구체적으로 \(f(x) = x^2\)의 \(p = 3\)에서의 접선은 \(f(3) = 9\)이고 \(f'(3) = 6\)이므로 \(y = 9 + 6(x-3) = 6x - 9\)이다.
미분 가능하지 않은 점에서는 접선을 정의하지 않는다. \(|x|\)의 \(0\)에서 한쪽 도함수값이 둘 다 있지만 서로 다르므로 (16.11)의 \(f'(p)\) 자리에 넣을 값이 없다.
마치며#
이번 회차에서는 1회에서 미루어 둔 접선 문제에 답하였다. 두 점을 지나는 직선의 기울기를 한 점을 고정한 함수로 보고, 다른 점을 그 점에 보낼 때의 극한을 도함수로 정의하였다.
정의에서 곧바로 하나가 나왔다. 미분 가능이면 연속이다. 역은 성립하지 않으며 절댓값 함수가 그 예이다. 미분 가능이 연속보다 강한 조건이다.
그다음 계산 규칙을 모았다. 상수함수와 항등함수 둘만 정의로 확인하고, 합·상수배·곱·거듭제곱·몫을 조립으로 얻었다. 12회가 극한에 대해 한 일과 같은 형태이며, 실제로 모든 증명이 12회 정리 34로 돌아갔다.
그러나 아직 다룰 수 없는 것이 있다. \(f(x) = (x^2+1)^{10}\)의 도함수를 구하려면 곱의 미분을 아홉 번 적용해야 하고, 그것도 전개한 뒤에나 가능하다. 함수를 함수에 넣은 형태를 직접 다루는 규칙이 없다.
다음 회차에서는 합성함수의 미분을 알아보도록 하자.
이어서
같은 회차의 실험: 16회 실험 · 기울기가 하나로 정해지는 자리