9회 · 적분 성질의 증명#
이 회차
한 문장 |
최소상계와 최대하계를 다루는 논증을 반복하여 적분의 성질을 증명한다. |
출처 |
L7 |
파트 |
PART I — 무한을 담을 그릇 · 관통 질문: 넓이를 어떻게 정의할 것인가 |
짝 실험 |
앞 회차에서 진술만 하고 미루어 둔 증명을 진행한다.
증명은 대체로 같은 구조를 갖는다. 계단함수에 대해서는 성질이 곧바로 확인된다. 계단함수의 적분은 유한합이므로 유한합의 성질을 그대로 물려받기 때문이다. 문제는 일반 함수로 넘어가는 단계이다. 이 단계에서는 최소상계와 최대하계를 다루어야 하며, 5회 정리 14가 반복해서 쓰인다.
이번 회차에서는 그 논증을 세 번 반복해 보자. 세 번을 거치면 구조가 분명해진다.
1. 증명의 공통 구조#
증명 세 개를 하나씩 읽기 전에, 셋이 왜 닮았는지부터 말해 둔다.
우리가 다루는 대상은 \(\int_a^b f\)이고, 이것은 정의 15에 의하여 최소상계로 정의된 수이다. 값이 계산 규칙으로 주어진 것이 아니라 “어떤 집합의 상계 중 가장 작은 것”이라는 조건으로 지목되어 있다.
이런 수를 다루는 방법은 하나뿐이다. 정의가 주는 두 조건으로 부등식을 만들고, 부등식 두 개를 맞물려 등호를 얻는 것이다. 등호를 곧바로 얻는 길은 없다. \(\underline{I}(f+g)\)가 무엇인지 직접 계산할 방법이 없기 때문이다.
3회 정리 4에서 이미 같은 일을 했다. 거기서도 \((-a)b\)가 무엇인지 계산하지 않고 “\(ab\)와 더하면 \(0\)이 된다”는 성질로 지목했다. 값을 구할 수 없을 때 성질로 가두는 것이 공리에서 출발하는 논의의 기본 수법이며, 이번 회차는 그 수법을 최소상계에 적용하는 연습이다.
표기#
7회 (7.4)에서 두 집합을 정의하였다. 이번 회차에는 함수가 여러 개 등장하므로 어느 함수에 딸린 집합인지 함께 적는다.
(9.1)에서 \(s\)와 \(t\)는 계단함수만을 가리킨다. 7회 정의 14의 하적분과 상적분도 같은 방식으로 쓴다.
3절에서는 구간이 여러 개 등장하므로 그때는 \(\underline{I}_a^b(f)\)처럼 구간도 함께 적는다.
네 단계#
이번 회차의 증명은 모두 다음 네 단계를 밟는다.
증명의 네 단계
(i) 계단함수에 대하여 성질을 확인한다. 계단함수의 적분은 (7.1)의 유한합이므로 4회 (4.3)의 선형성이 그대로 쓰인다. 결과가 7회의 (7.2)와 (7.3)이다.
(ii) 부등식의 한쪽 방향을 정의 7의 두 조건으로 얻는다. 조건 1은 집합의 원소가 최소상계 이하라는 것이고, 조건 2는 상계를 하나 찾으면 최소상계가 그 이하라는 것이다.
(iii) 반대 방향을 5회 정리 14의 조건 3으로 얻는다. 최소상계보다 \(\epsilon\)만큼 작은 수를 넘는 원소가 집합 안에 있다는 서술이다. \(\epsilon\)은 이 단계에서 들어온다.
(iv) 두 부등식에서 등호를 결론짓는다. (iii)이 남긴 \(\epsilon\)을 없애는 데에는 아래 보조정리를 쓴다.
(iii) 단계가 필요한 이유는 (ii) 단계가 한쪽 부등식만 주기 때문이다. 최소상계의 정의는 집합의 원소가 그 값 이하라는 것과 상계 중 가장 작다는 것을 말할 뿐이다. 두 집합의 최소상계를 비교하려면 한 집합의 원소를 다른 집합 쪽으로 옮겨 놓을 수단이 따로 있어야 하며, (iii)이 그 수단이다.
\(\epsilon\)을 없애는 보조정리#
보조정리 2 (임의의 \(\epsilon\)에 대하여 성립하면 \(\epsilon\)을 뺄 수 있다)
\(A\)와 \(B\)가 실수이고, 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 \(A \le B + \epsilon\)이면 \(A \le B\)이다.
증명. 귀류법을 쓴다. \(A > B\)라고 하자. 그러면 \(A - B > 0\)이므로
라 두면 \(\epsilon_0 > 0\)이다. 가정을 \(\epsilon = \epsilon_0\)에 적용하면
이다.
한편 \(B < A\)의 양변에 \(A\)를 더하면 3회 정리 6의 첫 번째 항목에 의하여 \(A + B < 2A\)이고, 양변에 \(\tfrac{1}{2} > 0\)을 곱하면 두 번째 항목에 의하여 부등호의 방향이 유지되어
이다. (9.3)과 이으면 \(A < A\)가 되어 3회 O2(삼분법)에 어긋난다. 따라서 \(A \le B\)이다.
부등호를 뒤집은 형태도 함께 쓴다. 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(A \ge B - \epsilon\)이면 \(A \ge B\)이다. 두 부등식의 양변에 \(-1\)을 곱하면 \(-A \le -B + \epsilon\)이 되므로, 보조정리 2를 \(-A\)와 \(-B\)에 적용한 뒤 다시 \(-1\)을 곱하면 된다.
2. 선형성의 증명#
정리 22을 상수배와 합으로 나누어 증명한다. 두 부분은 성격이 다르다.
상수배가 쉽다. \(s\)가 \(f\) 이하인 계단함수이면 \(cs\)는 \(cf\) 이하인 계단함수이므로, 두 집합의 원소가 \(s \mapsto cs\)로 일대일 대응한다. 한쪽에서 얻은 것을 다른 쪽으로 그대로 옮길 수 있다.
합이 어렵다. \(f+g\) 이하인 계단함수가 언제나 \(s+u\) 꼴로 쪼개지는 것은 아니기 때문이다. \(f+g\) 아래에 바짝 붙은 계단함수를 하나 가져와도, 그것을 \(f\) 아래의 것과 \(g\) 아래의 것으로 나눌 방법이 없다. 대응이 한쪽으로만 간다.
이 차이가 증명의 모양을 가른다. 상수배에서는 (ii)와 (iii)이 대칭이고, 합에서는 (iii)에서 \(\epsilon\)을 꺼내야 한다. 순서대로 상수배부터 본다.
상수배#
먼저 \(c > 0\)인 경우를 본다. 부호를 나누는 이유는 (i) 단계에서 드러난다. \(s \le f\)의 양변에 \(c\)를 곱할 때 3회 정리 6의 두 번째 항목을 쓰는데, 그 항목이 \(c > 0\)을 요구하기 때문이다. \(c < 0\)이면 세 번째 항목이 적용되어 부등호가 뒤집히고, 그러면 \(cs\)가 \(cf\) 이상이 되어 다른 집합으로 넘어간다.
구체적인 수로 미리 보아 둔다. \(f(x) = x^2\)을 \([0,1]\)에서 \(10\)등분하면 7회 (7.15)에 의하여 \(L_{10} = 0.285\), \(U_{10} = 0.385\)이다. \(c = 2\)이면 두 값이 \(0.570\)과 \(0.770\)으로 각자 두 배가 되고 아래위 순서는 그대로다. \(c = -1\)이면 \(-0.385\)와 \(-0.285\)가 되어 순서가 뒤집힌다. 아래쪽이던 값이 위쪽으로 간다.
아래 정리는 순서가 그대로인 경우이다.
정리 27 (양수배와 하적분·상적분)
\(f\)가 \([a,b]\)에서 유계이고 \(c > 0\)이면
증명. 하적분에 대한 등식을 네 단계로 보인다.
(i) 계단함수에 대하여. \(s\)가 계단함수이면 \(cs\)도 같은 분할에 대한 계단함수이고, 7회 (7.2)에서 \(c_1 = c\), \(c_2 = 0\)으로 두면 \(\int cs = c \int s\)이다. 또 \(s \le f\)의 양변에 \(c > 0\)을 곱하면 3회 정리 6의 두 번째 항목에 의하여 \(cs \le cf\)이다.
(ii) 한쪽 부등식. (i)에 의하여 \(s \le f\)인 계단함수마다 \(c\int s\)는 \(\underline{A}(cf)\)의 원소이다. 정의 7의 조건 1에 의하여
이다. (9.5)의 양변에 \(1/c > 0\)을 곱하면 \(\int_a^b s \le \underline{I}(cf)/c\)이다. 이것이 \(f\) 이하인 모든 계단함수 \(s\)에 대하여 성립하므로 \(\underline{I}(cf)/c\)는 \(\underline{A}(f)\)의 상계이다. 정의 7의 조건 2에 의하여 \(\underline{I}(f) \le \underline{I}(cf)/c\)이고, 양변에 \(c>0\)을 곱하면
이다.
(iii) 반대 부등식. \(\epsilon > 0\)이 주어졌다. 정리 14의 조건 3을 집합 \(\underline{A}(cf)\)와 그 최소상계 \(\underline{I}(cf)\)에 적용하면
인 계단함수 \(u \le cf\)가 있다. \(1/c > 0\)이므로 \(u/c\)는 계단함수이고 \(u/c \le f\)이다. 따라서 \(\int (u/c)\)는 \(\underline{A}(f)\)의 원소이고, 정의 7의 조건 1과 (7.2)에 의하여 \(\frac{1}{c}\int u \le \underline{I}(f)\)이다.
(9.7)의 양변에 \(1/c > 0\)을 곱한 것과 이으면
이고, 양변에 \(c > 0\)을 곱하여 정리하면
이다.
(iv) 등호. (9.8)이 모든 \(\epsilon > 0\)에 대하여 성립하므로 보조정리 2에 의하여 \(\underline{I}(cf) \le c\,\underline{I}(f)\)이다. (9.6)과 합치면 (9.4)의 첫 등식을 얻는다.
상적분. 같은 네 단계를 최대하계에 대하여 반복한다. (i)에서 \(t \ge f\)이면 \(ct \ge cf\)이고 \(\int ct = c \int t\)이므로 \(c\int t\)는 \(\overline{A}(cf)\)의 원소이다. (ii)에서 최대하계는 하계이므로 \(\overline{I}(cf) \le c \int t\)이고, 양변에 \(1/c>0\)을 곱하면 \(\overline{I}(cf)/c\)가 \(\overline{A}(f)\)의 하계임을 얻는다. 최대하계는 하계 중 가장 크므로 \(\overline{I}(cf)/c \le \overline{I}(f)\), 즉 \(\overline{I}(cf) \le c\,\overline{I}(f)\)이다.
(iii)에서는 최대하계의 \(\epsilon\) 서술을 쓴다. 8회 정리 25의 증명에서 확인한 대로, 정리 14의 부등호를 모두 뒤집으면 최대하계에 대한 진술이 되고 그 조건 3은 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\inf S + \epsilon\)보다 작은 원소가 \(S\)에 있다는 것이다. 이를 \(\overline{A}(cf)\)에 적용하면 \(\int v < \overline{I}(cf) + \epsilon\)인 계단함수 \(v \ge cf\)가 있다. \(v/c \ge f\)이므로 \(\overline{I}(f) \le \frac{1}{c}\int v < \frac{1}{c}\bigl(\overline{I}(cf)+\epsilon\bigr)\)이고, 양변에 \(c\)를 곱하면 \(c\,\overline{I}(f) < \overline{I}(cf) + \epsilon\)이다.
(iv)에서 보조정리 2에 의하여 \(c\,\overline{I}(f) \le \overline{I}(cf)\)이다. 두 부등식에서 (9.4)의 둘째 등식을 얻는다.
\(c > 0\)이라는 조건이 (i)과 (ii) 두 곳에서 쓰였다. 음수배는 따로 다루어야 한다.
정리 28 (부호를 바꾸면 상적분과 하적분이 자리를 바꾼다)
\(f\)가 \([a,b]\)에서 유계이면
증명. (i) 계단함수에 대하여. \(t\)가 계단함수이면 \(-t\)도 계단함수이고 (7.2)에 의하여 \(\int(-t) = -\int t\)이다. 그리고 \(f \le t\)의 양변에 \(-1 < 0\)을 곱하면 3회 정리 6의 세 번째 항목에 의하여 부등호가 뒤집혀 \(-t \le -f\)이다. 반대로 \(s \le -f\)인 계단함수에 대해서는 같은 이유로 \(f \le -s\)이다.
따라서 \(t \mapsto -t\)는 \(f\) 이상인 계단함수와 \(-f\) 이하인 계단함수를 서로 짝지으며, 적분값의 집합 사이에
라는 대응이 성립한다.
(ii) 하계와 상계를 옮긴다. \(\beta = \overline{I}(f) = \inf \overline{A}(f)\)라 두고 \(-\beta\)가 \(\underline{A}(-f)\)의 최소상계임을 보인다.
\(-\beta\)는 상계이다. \(\underline{A}(-f)\)의 원소는 \(-v\) 꼴이고 \(v \ge \beta\)이므로, 양변에 \(-1\)을 곱하면 부등호가 뒤집혀 \(-v \le -\beta\)이다.
\(-\beta\)는 상계 중 가장 작다. \(w\)가 \(\underline{A}(-f)\)의 상계라 하자. 모든 \(v \in \overline{A}(f)\)에 대하여 \(-v \le w\)이므로 \(v \ge -w\)이고, 따라서 \(-w\)는 \(\overline{A}(f)\)의 하계이다. \(\beta\)는 하계 중 가장 크므로 \(-w \le \beta\)이고, 양변에 \(-1\)을 곱하면 \(-\beta \le w\)이다.
두 조건이 정의 7의 조건 1과 조건 2이므로 \(\underline{I}(-f) = \sup \underline{A}(-f) = -\beta\)이다. 이것이 (9.9)의 첫 등식이다.
둘째 등식. 첫 등식을 \(f\) 대신 \(-f\)에 적용하면 \(\underline{I}(f) = -\overline{I}(-f)\)이고, 양변에 \(-1\)을 곱하면 \(\overline{I}(-f) = -\underline{I}(f)\)이다.
이 증명에는 \(\epsilon\)이 등장하지 않았다. (ii) 단계만으로 두 부등식이 모두 나왔기 때문이다. 부호를 바꾸는 조작은 두 집합을 일대일로 짝지어 주므로 한쪽 원소를 다른 쪽으로 옮기는 데 근사가 필요하지 않다.
흔한 오해 — 상수배에서 부호를 나누지 않는 것
\(\underline{I}(cf) = c\,\underline{I}(f)\)가 모든 실수 \(c\)에 대하여 성립한다고 쓰면 안 된다. \(c < 0\)이면 (9.9)에 의하여 상적분과 하적분이 자리를 바꾼다.
구체적인 값으로 확인한다. \(f(x) = x^2\)을 \([0,1]\)에서 \(10\)등분하면 7회 (7.15)에 의하여 \(L_{10} = 0.285\), \(U_{10} = 0.385\)이다. 같은 분할에서 \(-f\)의 각 부분구간 최솟값은 \(f\)의 최댓값에 \(-1\)을 곱한 것이므로
이다. 아래쪽 값과 위쪽 값이 서로 자리를 바꾸었다.
\(f\)가 적분 가능하면 두 값이 결국 같아지므로 최종 결과 \(\int cf = c\int f\)에서는 이 구분이 보이지 않는다. 그러나 증명 도중에는 보인다.
합#
이제 어려운 쪽이다. 절 첫머리에서 말한 대로 \(f+g\) 이하인 계단함수를 \(f\) 쪽과 \(g\) 쪽으로 쪼갤 수 없으므로, 얻을 수 있는 것은 등호가 아니라 부등식이다.
어느 방향인지 먼저 정해 두자. \(s \le f\)이고 \(u \le g\)이면 \(s+u \le f+g\)이다. 즉 \(f\) 아래의 것과 \(g\) 아래의 것을 더하면 \(f+g\) 아래의 것이 되지만, 그렇게 만들어지지 않는 \(f+g\) 아래의 계단함수가 더 있을 수 있다. 후보가 더 많으므로 최소상계도 더 클 수 있다. 따라서
이고 반대 방향은 보장되지 않는다. 상적분에서는 같은 이유로 방향이 반대이다.
이 두 부등식과 정리 21을 이어 붙이면 네 값이 한 줄로 늘어선다. 그것이 아래 정리이다.
정리 29 (합의 하적분과 상적분)
\(f\)와 \(g\)가 \([a,b]\)에서 유계이면 \(f+g\)도 유계이고
증명. 유계임을 먼저 확인한다. 6회 정의 10에 의하여 \(|f(x)| \le M_1\), \(|g(x)| \le M_2\)인 \(M_1\), \(M_2\)가 있다. 5회 정리 18에 의하여 \(|f(x)+g(x)| \le M_1 + M_2\)이므로 \(f+g\)도 유계이다. 따라서 (9.10)의 네 값이 모두 정의된다.
왼쪽 부등식 — (i)과 (ii). \(s \le f\)이고 \(u \le g\)인 계단함수를 잡는다. 두 분할의 공통 세분을 택하면 \(s+u\)도 계단함수이고, 각 \(x\)에서 \(s(x)+u(x) \le f(x)+g(x)\)이므로 \(s + u \le f+g\)이다. (7.2)에 의하여
이다. 마지막 부등호는 정의 7의 조건 1이다.
이제 \(u\)를 하나 고정한다. (9.11)은 \(f\) 이하인 모든 계단함수 \(s\)에 대하여 \(\int s \le \underline{I}(f+g) - \int u\)임을 말하므로, 오른쪽은 \(\underline{A}(f)\)의 상계이다. 정의 7의 조건 2에 의하여
이다. 이 식을 \(\int u \le \underline{I}(f+g) - \underline{I}(f)\)로 옮겨 쓰면, 오른쪽은 \(g\) 이하인 모든 계단함수 \(u\)에 대한 상계이다. 조건 2를 다시 적용하면 \(\underline{I}(g) \le \underline{I}(f+g) - \underline{I}(f)\)이고, 이것이 (9.10)의 왼쪽 부등식이다.
가운데 부등식. 7회 정리 21을 \(f+g\)에 적용한 것이다.
오른쪽 부등식 — (iii)과 (iv). \(\epsilon > 0\)이 주어졌다. 최대하계의 \(\epsilon\) 서술을 \(\overline{A}(f)\)와 \(\overline{A}(g)\)에 각각 허용오차 \(\epsilon/2\)로 적용하면
인 계단함수 \(t \ge f\)와 \(v \ge g\)가 있다. \(t + v\)는 계단함수이고 \(t+v \ge f+g\)이므로 \(\int(t+v)\)는 \(\overline{A}(f+g)\)의 원소이다. 최대하계는 하계이므로 (7.2)와 (9.12)를 이어
이다. 이것이 모든 \(\epsilon>0\)에 대하여 성립하므로 보조정리 2에 의하여 \(\overline{I}(f+g) \le \overline{I}(f)+\overline{I}(g)\)이다.
(9.10)에서 등호를 주장하지 않았다는 점에 유의한다. 일반적으로 부등식일 뿐이다. 등호는 \(f\)와 \(g\)가 적분 가능할 때 나온다.
흔한 오해 — 최소상계가 합에 대하여 분배된다고 생각하는 것
집합 \(E\) 위에서 함숫값의 최소상계를 볼 때 일반적으로 성립하는 것은
이며 등호가 아니다. \(f\)가 최댓값을 갖는 점과 \(g\)가 최댓값을 갖는 점이 다르면 왼쪽이 더 작다.
\(E = [0,1]\)에서 \(f(x) = x - \frac12\), \(g(x) = \frac12 - x\)라 두자. \(f+g\)는 값이 항상 \(0\)인 함수이므로 왼쪽은 \(0\)이다. 오른쪽에서는 \(f\)가 \(x=1\)에서 최댓값 \(\frac12\)를 갖고 \(g\)는 \(x=0\)에서 최댓값 \(\frac12\)를 가지므로 합이 \(1\)이다. 두 최댓값이 서로 다른 점에서 달성되기 때문에 벌어진 차이이다.
이 사실이 (9.10)에 그대로 나타난다. 각 부분구간에서 \(f+g\)의 최댓값이 \(f\)의 최댓값과 \(g\)의 최댓값의 합보다 작을 수 있으므로, 상합에 대해서는 \(U_n(f+g) \le U_n(f) + U_n(g)\)만 성립한다. 하합에 대해서는 방향이 반대이다.
그래서 (9.10)의 양 끝에서 부등식 두 개만 얻는다. 등호를 얻으려면 (iv) 단계에서 두 부등식을 맞물려야 한다.
세 결과를 합친다#
이제 정리 22을 증명한다. 정리 27, 정리 28, 정리 29을 차례로 쓴다.
증명. \(f\)와 \(g\)가 \([a,b]\)에서 적분 가능하다 하고 그 값을 각각 \(I_f\), \(I_g\)라 하자. 정의 15에 의하여 \(\underline{I}(f) = \overline{I}(f) = I_f\)이고 \(\underline{I}(g) = \overline{I}(g) = I_g\)이다.
상수배. \(c > 0\)이면 정리 27에 의하여 \(\underline{I}(cf) = c\,I_f\)이고 \(\overline{I}(cf) = c\,I_f\)이다. 두 값이 같으므로 \(cf\)는 적분 가능하고 \(\int_a^b cf = c\int_a^b f\)이다.
\(c = 0\)이면 \(cf\)는 값이 항상 \(0\)인 상수함수이므로 계단함수이고, 7회 (7.8)에 의하여 적분값이 \(0\)이다. \(c\int f = 0\)이므로 등식이 성립한다.
\(c < 0\)이면 정리 28에 의하여 \(\underline{I}(-f) = -I_f\)이고 \(\overline{I}(-f) = -I_f\)이므로 \(-f\)가 적분 가능하고 \(\int(-f) = -\int f\)이다. 그리고 \(c = -|c|\)이고 \(|c| > 0\)이므로, \(cf = |c|\,(-f)\)에 위의 양수배 결과를 적용하면
이다.
합. (9.10)에 \(\underline{I}(f) = \overline{I}(f) = I_f\)와 \(\underline{I}(g) = \overline{I}(g) = I_g\)를 넣으면
이다. (9.13)의 양 끝이 같은 값이므로 가운데 두 값도 그 값과 같다. 따라서 \(f+g\)는 적분 가능하고 \(\int(f+g) = I_f + I_g\)이다.
둘을 합친다. 상수배 결과에 의하여 \(c_1 f\)와 \(c_2 g\)는 각각 적분 가능하고 적분값이 \(c_1 I_f\), \(c_2 I_g\)이다. 이 두 함수에 합 결과를 적용하면 \(c_1 f + c_2 g\)가 적분 가능하고
이다. 이것이 (8.1)이다.
(9.13)이 (iv) 단계이다. 부등식 세 개가 하나의 사슬을 이루고 양 끝이 같은 값이라서 전부 등호가 된다. 적분 가능성이라는 가정이 여기서 쓰인다. 가정이 없으면 (9.10)의 부등호가 진짜 부등호일 수 있다.
3. 구간 가법성의 증명#
이 절에서는 구간이 셋 등장하므로 하적분과 상적분에 구간을 함께 적는다. \(\underline{I}_a^b(f)\)는 \([a,b]\) 위에서 계산한 하적분이고, \(\underline{A}_a^b(f)\)는 그 구간에서 (9.1)로 만든 집합이다.
2절의 합과 이 절의 구간 나누기는 겉보기에 비슷하지만 결과가 다르다. 합에서는 부등식만 얻었고 여기서는 등식을 얻는다. 미리 이유를 말해 두면 다음과 같다.
합에서는 \(f+g\) 아래의 계단함수를 \(f\) 쪽과 \(g\) 쪽으로 쪼갤 수 없었다. 여기서는 쪼갤 수 있다. \([a,c]\) 위의 계단함수를 \(b\)에서 자르면 \([a,b]\) 위의 계단함수와 \([b,c]\) 위의 계단함수가 그대로 나오기 때문이다. 이어 붙이기와 쪼개기가 서로의 역이므로 두 집합이 일대일로 대응한다.
일대일 대응이 있으면 근사가 필요 없다. 그래서 아래 증명에는 \(\epsilon\)이 등장하지 않는다.
정리 30 (하적분과 상적분은 구간을 나눈다)
\(a < b < c\)이고 \(f\)가 \([a,c]\)에서 유계이면
증명. 하적분에 대한 등식을 보인다.
(i) 이어 붙이기. \(s_1\)을 \([a,b]\)에서 \(f\) 이하인 계단함수, \(s_2\)를 \([b,c]\)에서 \(f\) 이하인 계단함수라 하고 각각의 분할을 \(P_1\), \(P_2\)라 하자. \([a,c]\) 위의 함수 \(s\)를 다음과 같이 정의한다.
\(P_1 \cup P_2\)는 \(a\)에서 시작하여 \(b\)를 지나 \(c\)에서 끝나는 유한집합이므로 정의 11의 분할이고, 그 열린 부분구간은 모두 \((a,b)\) 안에 있거나 \((b,c)\) 안에 있다. 따라서 \(s\)는 각 열린 부분구간에서 상수이며 정의 12의 계단함수이다.
\(x = b\)에서 \(s(b) = f(b)\)로 두었으므로 모든 \(x\)에서 \(s(x) \le f(x)\)이다. 정의 12이 열린 부분구간만 요구하므로 분할점에서의 값은 계단함수라는 사실을 해치지 않는다.
(7.1)의 합을 \(b\)를 기준으로 둘로 나누면
이다.
(ii) 한쪽 부등식. (9.15)의 왼쪽은 \(\underline{A}_a^c(f)\)의 원소이므로 정의 7의 조건 1에 의하여 \(\underline{I}_a^c(f)\) 이하이다. 2절의 합에서와 같이 \(s_2\)를 고정하고 \(s_1\)을 움직인 뒤 다시 \(s_2\)를 움직이면, 조건 2를 두 번 적용하여
를 얻는다.
(iii) 반대 부등식 — 쪼개기. \(s\)를 \([a,c]\)에서 \(f\) 이하인 계단함수라 하고 그 분할을 \(P\)라 하자. \(P' = P \cup \{b\}\)도 \(s\)에 대한 분할이며, 정리 20에 의하여 \(P'\)로 계산한 적분값은 \(P\)로 계산한 값과 같다.
\(P'\)가 \(b\)를 포함하므로 \(P'\)를 \(b\)에서 잘라 \([a,b]\)의 분할과 \([b,c]\)의 분할을 얻는다. \(s\)를 두 구간으로 제한한 함수 \(s_1\), \(s_2\)는 각각 계단함수이고 \(f\) 이하이다. (7.1)의 합을 둘로 나누면 (9.15)가 다시 성립하므로
이다. 마지막 부등호는 조건 1을 두 번 쓴 것이다. 이것이 \(f\) 이하인 모든 계단함수 \(s\)에 대하여 성립하므로 오른쪽은 \(\underline{A}_a^c(f)\)의 상계이고, 조건 2에 의하여 \(\underline{I}_a^c(f) \le \underline{I}_a^b(f) + \underline{I}_b^c(f)\)이다.
(iv) 등호. 두 부등식에서 (9.14)의 첫 등식을 얻는다.
상적분. \(f\) 이상인 계단함수에 대하여 같은 논증을 반복한다. 이어 붙일 때 \(x=b\)에서의 값을 다시 \(f(b)\)로 두는 것과 부등호의 방향만 바뀐다.
이 증명에서는 (iii) 단계에 \(\epsilon\)이 등장하지 않았다. 쪼개기가 이어 붙이기의 역이기 때문이다. 두 방향 모두 계단함수를 정확히 옮겨 놓을 수 있으므로 근사가 필요하지 않다. (iii) 단계에 \(\epsilon\)이 필요한 것은 2절의 합처럼 정확히 옮겨 놓을 수 없는 경우이다.
등식에서 적분 가능성을 읽는다#
이제 정리 23를 증명한다. (9.14)만 있으면 된다.
증명. (9.14)의 두 식을 빼면
이다. 7회 정리 21에 의하여 (9.16)의 오른쪽 두 괄호는 각각 \(0\) 이상이다.
필요조건. \(f\)가 \([a,c]\)에서 적분 가능하면 (9.16)의 왼쪽이 \(0\)이다. \(0\) 이상인 두 수의 합이 \(0\)이면 둘 다 \(0\)이므로, \(f\)는 \([a,b]\)와 \([b,c]\)에서 각각 적분 가능하다.
충분조건. \(f\)가 두 구간에서 각각 적분 가능하면 (9.16)의 오른쪽 두 괄호가 모두 \(0\)이므로 왼쪽도 \(0\)이고, \(f\)는 \([a,c]\)에서 적분 가능하다.
적분값. 이때 (9.14)의 첫 등식에서 각 항이 그 구간의 적분값이므로
이다. 이것이 (8.2)이다.
(9.16) 하나가 필요조건과 충분조건을 모두 준다. 8회에서 정리 23를 필요충분조건의 형태로 진술한 이유가 이것이다.
구체적인 값으로 확인한다. \([0,2]\)에서 \(f(x) = x-1\)이라 하고 \(b=1\)에서 자른다. 7회 (7.8)과 (7.12)에 정리 22을 함께 쓰면 \(\int_0^1 (x-1)\,dx = \tfrac12 - 1 = -\tfrac12\)이고 \(\int_1^2 (x-1)\,dx = \tfrac12\)이다. 두 값을 더하면 \(0\)이고, 이것이 \(\int_0^2 (x-1)\,dx\)이다.
여기서 (8.2)가 실제로 하는 일이 보인다. \([0,2]\) 전체에서 상합과 하합을 잡으려 하면 함수의 부호가 도중에 바뀌어 다루기 번거롭다. \(x=1\)에서 자르면 각 조각에서 부호가 일정하고, 각각은 7회에서 이미 계산한 일차함수의 적분이다. 자르는 위치를 고르는 것이 계산의 전부인 경우가 많다.
4. 비교 정리의 증명#
정리 24를 증명한다. 이번 회차의 세 증명 중 가장 짧다.
증명. \(s\)가 \(f\) 이하인 계단함수라 하자. 가정에서 \(f \le g\)이므로 모든 \(x\)에서 \(s(x) \le f(x) \le g(x)\)이고, 따라서 \(s\)는 \(g\) 이하인 계단함수이기도 하다. (9.1)에 의하여
이다.
\(\underline{I}(g)\)는 \(\underline{A}(g)\)의 상계이다. (9.17)에 의하여 \(\underline{A}(f)\)의 원소는 모두 \(\underline{A}(g)\)의 원소이므로, \(\underline{I}(g)\)는 \(\underline{A}(f)\)의 상계이기도 하다. 정의 7의 조건 2에 의하여
이다.
\(f\)와 \(g\)가 적분 가능하므로 \(\int_a^b f = \underline{I}(f)\)이고 \(\int_a^b g = \underline{I}(g)\)이다. 이것이 (8.3)이다.
이 증명은 (i)과 (ii) 단계만으로 끝났다. 얻으려는 것이 부등식이지 등식이 아니기 때문이다. 등식을 얻어야 할 때에만 (iii)과 (iv)가 필요하다.
증명의 실질은 (9.17) 한 줄이다. \(f\) 아래의 계단함수는 \(g\) 아래의 계단함수이기도 하다. 후보 집합이 커지므로 최소상계도 작아질 수 없다. 이것이 전부이고, \(\epsilon\)도 근사도 등장하지 않는다.
구체적인 값으로 확인하면 \([0,1]\)에서 \(x^2 \le x\)이고, 7회 (7.12)와 (7.22)에 의하여 \(\int_0^1 x^2\,dx = \tfrac13\)이고 \(\int_0^1 x\,dx = \tfrac12\)이다. \(\tfrac13 \le \tfrac12\)이므로 부등호의 방향이 유지된다.
세 증명을 나란히 두면 길이가 (iii) 단계의 유무로 갈린다는 것이 보인다. 부등식만 얻으면 되는 이 절이 가장 짧고, 일대일 대응이 있는 3절이 그다음이고, 근사가 필요한 2절의 합이 가장 길다.
따름정리 6 (적분값의 범위)
\(f\)가 \([a,b]\)에서 적분 가능하고 모든 \(x \in [a,b]\)에서 \(m \le f(x) \le M\)이면
증명. 값이 항상 \(m\)인 상수함수와 값이 항상 \(M\)인 상수함수는 계단함수이므로 적분 가능하고, 7회 (7.8)에 의하여 적분값이 각각 \(m(b-a)\)와 \(M(b-a)\)이다.
\(m \le f\)에 정리 24를 적용하면 왼쪽 부등식을 얻고, \(f \le M\)에 적용하면 오른쪽 부등식을 얻는다.
(9.18)은 적분값을 직접 구하지 않고도 그 범위를 말해 준다. 유계이면서 적분 가능한 함수라면 언제나 쓸 수 있다.
5. 절댓값에 대한 성질#
8회 정리 26에서 \(|f|\)의 적분 가능성과 (8.8)을 얻었다. 그 증명은 두 부분으로 되어 있었다. 앞부분은 정리 25만 썼고, 뒷부분은 정리 24와 정리 22을 썼다.
뒷부분이 쓴 두 정리는 그때 증명되지 않은 상태였다. 이번 회차에서 증명하였으므로 이제 확인할 것은 순환이 없는지이다. 의존 관계를 적으면 다음과 같다.
정리 |
증명한 곳 |
증명에 쓴 것 |
|---|---|---|
8회 2절 |
||
이번 회차 2절 |
||
이번 회차 3절 |
||
이번 회차 4절 |
5회 정의 7 |
|
8회 4절 |
위의 세 정리 |
가장 오른쪽 열 어디에도 정리 26가 나오지 않는다. 순환이 없다.
두 가지 증명 방식#
정리 26의 증명은 이번 회차의 네 단계를 밟지 않았다. 정리 25을 쓰면 하적분과 상적분을 각각 다루는 대신 계단함수 쌍 하나를 만들면 되기 때문이다. 두 방식을 나란히 둔다.
네 단계 구조 |
리만 조건 |
|
|---|---|---|
다루는 대상 |
\(\underline{I}(f)\)와 \(\overline{I}(f)\) |
계단함수 한 쌍 \(s \le f \le t\) |
\(\epsilon\)이 들어오는 곳 |
(iii) 단계 |
조건 자체 |
얻는 것 |
적분값 사이의 등식 |
적분 가능성 |
이번 회차의 예 |
2절, 3절, 4절 |
8회 정리 26 |
적분값 사이의 등식을 얻으려면 네 단계가 필요하고, 적분 가능성만 필요하면 리만 조건이 짧다. 정리 23처럼 둘 다 필요한 경우에는 네 단계로 (9.14)를 먼저 얻고 그 등식에서 가능성을 읽어 냈다.
부등식 (8.8)의 등호#
(8.8)의 등호는 \(f\)의 부호가 구간 전체에서 일정할 때 성립한다. \(f \ge 0\)이면 \(|f| = f\)이므로 양변이 같고, \(f \le 0\)이면 \(|f| = -f\)이므로 정리 22에 의하여 양변이 모두 \(-\int_a^b f\)이다.
부호가 바뀌면 왼쪽이 더 작다. \([0,2]\)에서 \(f(x) = x-1\)이라 하면 정리 23로 구간을 \([0,1]\)과 \([1,2]\)로 나누어 계산할 때 두 부분이 상쇄되어 \(\int_0^2 f = 0\)이지만, \(|f|\)에서는 상쇄가 일어나지 않아 \(\int_0^2 |f| = 1\)이다. 왼쪽은 \(0\)이고 오른쪽은 \(1\)이다.
흔한 오해 — \(|f|\)가 적분 가능하면 \(f\)도 적분 가능하다고 생각하는 것
정리 26는 한 방향만 말한다. \(f\)가 적분 가능하면 \(|f|\)도 적분 가능하다는 것이다. 역은 성립하지 않는다.
\([0,1]\)에서 \(x\)가 유리수이면 값이 \(1\)이고 무리수이면 값이 \(-1\)인 함수 \(f\)를 생각하자. 6회 1절에서 본 함수의 무리수 쪽 값을 \(0\) 대신 \(-1\)로 바꾼 것이다. 이때 \(|f|\)는 값이 항상 \(1\)인 상수함수이므로 계단함수이고, 7회 (7.8)에 의하여 \(\int_0^1 |f| = 1\)이다.
\(f\) 자체는 적분 가능하지 않다. 임의의 부분구간에 유리수와 무리수가 모두 들어 있다면, \(f\) 이하인 계단함수는 각 부분구간에서 높이가 \(-1\) 이하여야 하고 \(f\) 이상인 계단함수는 높이가 \(1\) 이상이어야 한다. 그러면 (7.3)에 의하여 \(\underline{I}(f) \le -1\)이고 \(\overline{I}(f) \ge 1\)이므로 두 값이 같을 수 없다.
이 논증은 임의의 부분구간에 유리수와 무리수가 모두 들어 있다는 사실에 기대고 있다. 그 사실은 아직 확인하지 않았다.
마치며#
이번 회차에서는 앞 회차에서 진술한 성질들을 증명하였다. 증명은 네 단계의 구조를 반복하는 형태였다. 계단함수에 대해 확인하고, 최소상계의 정의로 한쪽 부등식을 얻고, 정리 14로 반대쪽을 얻고, 두 부등식에서 등호를 결론지었다.
세 번의 반복에서 (iii) 단계의 모습이 서로 달랐다. 합에서는 \(\epsilon\)이 필요했고, 부호 바꾸기와 구간 나누기에서는 필요하지 않았다. 계단함수를 한쪽에서 다른 쪽으로 정확히 옮겨 놓을 수 있으면 근사가 필요하지 않고, 그렇지 않으면 \(\epsilon\)이 들어온다.
이 구조는 최소상계로 정의된 대상을 다룰 때 일반적으로 쓰인다. 상적분과 하적분이 최소상계와 최대하계로 정의되어 있는 한, 그 성질을 다루는 논증은 이 형태를 벗어나지 않는다.
이제 성질은 갖추어졌다. 그러나 아직 답하지 않은 질문이 하나 있다. 어떤 함수가 적분 가능한가.
다음 회차에서는 적분 가능한 함수의 종류를 알아보도록 하자.
이어서
같은 회차의 실험: 9회 실험 · 최소상계의 성질 검산