24회 · [정리편 2] 미분과 적분의 대조#
이 회차
한 문장 |
모든 적분 기법이 어느 미분 법칙에서 왔는지를 표로 정리한다. |
출처 |
L23 |
파트 |
PART II — 두 번째 무한 · 관통 질문: 자르기(미분)와 쌓기(적분)는 무슨 관계인가 |
짝 실험 |
16회부터 23회까지 여덟 회차가 지났다. 도함수를 정의하였고, 두 연산의 관계를 밝혔고, 익숙한 함수들을 다시 정의하였고, 적분 기법을 얻었다.
이번 회차에서는 새로운 내용을 다루지 않는다. 13회가 PART I 의 절반에서 한 일을 여기서 되풀이한다. 상자를 세우지 않고, 지금까지 얻은 것을 나란히 놓고 대조한다.
할 일이 셋이다.
첫째, 미분 법칙과 적분 기법의 대응을 명시한다. 적분 기법은 모두 미분 법칙에서 나왔으므로 두 목록이 서로 대응한다. 그 대응이 보이면 기법을 개별적으로 외울 필요가 없다.
둘째, 계보를 통합한다. 13회 1절이 계보도를 그리고 “11회와 12회가 어디에도 연결되어 있지 않다”고 적었다. 15회가 그 선을 이었고, 16회부터 새 계보가 다시 자랐다. 두 계보가 19회에서 만났으므로 그 모양을 그린다.
셋째, 정적분을 계산할 때 무엇부터 시도할지에 대한 절차를 만든다. 13회 2절이 적분 가능성 판정 절차를 만들었는데, 이번에는 계산 절차이다.
1. 미분 법칙과 적분 기법의 대조#
19회 1절이 정의 15과 정의 30를 나란히 놓고 **”두 정의는 서로를 언급하지 않는다”**고 적었다. 그 표에서 겹치는 칸은 마지막 한 줄, 결과가 수 하나라는 것뿐이었다.
이 절은 그 표의 뒷면이다. 정의가 무관한 두 연산인데 그 결과 목록은 한 줄씩 대응한다.
대체로 왼쪽 열이 오른쪽 열을 낳았다. 예외 둘은 아래에서 따로 적는다.
미분 쪽 |
회차 |
적분 쪽 |
회차 |
|---|---|---|---|
정리 48 합·상수배 |
16 |
정리 22 선형성 |
8 |
정리 49 곱 |
16 |
정리 75 부분적분 |
22 |
정리 54 연쇄법칙 |
17 |
정리 76 치환적분 |
22 |
정리 76을 거꾸로 |
22 |
삼각치환 |
23 |
정리 50 거듭제곱 |
16 |
\(\int_0^b x^2\), \(\int_0^b x\) |
19 |
정리 68 삼각함수 |
20 |
\(\int\sin\), \(\int\cos\) |
20 |
정리 73 지수 |
21 |
\(\int e^x\) |
22 |
정리 77 역삼각함수 |
23 |
23 |
|
정리 70 로그 |
21 |
정의 46 (반대 방향) |
21 |
두 열을 잇는 것은 하나뿐이다. 19회 정리 64이다.
왼쪽 열의 각 줄은 “\(F\)의 도함수가 \(f\)이다”라는 형태이고, 이 등식이 그것을 “\(f\)의 적분이 \(F\)의 두 끝값의 차이다”로 옮긴다. 표의 오른쪽 열은 왼쪽 열을 다시 쓴 것에 지나지 않는다.
예외가 둘 있다
넷째 줄. 삼각치환은 새 정리가 아니다. 23회 4절이 밝힌 대로 정리 76의 등식을 오른쪽에서 왼쪽으로 읽은 것이다. 그래서 왼쪽 칸에도 22회의 정리가 들어간다.
역함수의 미분 정리 55가 삼각치환을 낳은 것이 아니다. 그 정리가 낳은 것은 여덟째 줄이다. \(\arcsin\)과 \(\arctan\)의 도함수를 구하는 데 쓰였고, 그 결과가 (23.5)의 적분 공식이 되었다. 역함수의 미분이 삼각치환에 기여한 것은 따로 있다. 치환한 뒤 \(\theta\)를 \(x\)로 되돌리는 단계에서 역삼각함수가 필요하고, 그 존재를 17회 정리 53가 보장한다.
마지막 줄은 방향이 반대이다. 다른 줄들은 도함수를 먼저 알고 적분 공식을 얻었는데, 로그는 그 반대였다.
정의 46이 (21.1)로 적분을 정의로 삼았고, 정리 70는 19회 따름정리 10를 그 정의에 적용해 나왔다. 21회 마치며의 표 첫 줄이 “\((\log x)'=1/x\) — 19회 따름정리 10”인 것이 그 순서를 못박는다.
곧 이 줄에서는 오른쪽 칸이 왼쪽 칸을 낳았다. 그래서 표에서 그 줄만 뒤집어 적었다.
표에 대해 두 가지를 더 적어 둔다.
오른쪽 열의 가정이 왼쪽보다 늘 강하다. 정리 49는 한 점에서의 미분 가능만 요구하지만 정리 75는 \(f'\)과 \(g'\)의 연속까지 요구한다. 이유는 하나이다. 두 열을 잇는 정리 64가 피적분함수의 연속을 요구한다.
정리 76이 \(J\)를 열린구간으로 요구하는 것도 같은 사정이다. 닫힌구간의 끝점에서 따름정리 10가 주는 것은 한쪽 도함수값뿐인데 정리 54은 정의 30의 양쪽 도함수를 요구한다.
거듭제곱 줄은 오른쪽이 왼쪽보다 좁다. 미분 쪽은 정리 57로 유리수 지수까지 갔는데 적분 쪽은 19회가 적은 사례 둘뿐이다. 일반형은 정리 50와 정리 64로 곧바로 나오지만 이 책이 아직 적지 않았다.
\(\int e^x\)도 21회가 아니라 22회가 부분적분 계산 도중에 상자 없이 썼다. (21.5)와 정리 64가 곧바로 주는 것이므로 유도가 빠진 것은 아니다.
함수 목록#
지금 도함수를 아는 함수를 모아 둔다. 16회 시작 시점에는 다항함수와 유리함수뿐이었다.
함수 |
어디서 만들었나 |
도함수 |
|---|---|---|
\(x^n\) |
12회 정의 26 |
\(nx^{n-1}\) |
\(x^{m/n}\) |
17회 정의 36 |
\(\frac{m}{n}x^{m/n-1}\) |
\(x^{a}\) (실수 \(a\)) |
21회 정의 49 |
— |
\(\sin\), \(\cos\) |
20회 정의 44 |
\(\cos\), \(-\sin\) |
\(\tan\) |
22회 정의 50 |
\(1/\cos^2\) |
\(\sec\) |
23회 정의 52 |
— |
\(\log\) |
21회 정의 46 |
\(1/x\) |
\(\exp\) |
21회 정의 47 |
\(\exp\) |
\(\arcsin\), \(\arccos\), \(\arctan\) |
23회 정의 51 |
만드는 방식이 세 가지였다. 12회와 20회는 정의를 직접 적었고, 17회와 21회와 23회는 역함수로 만들었으며, 21회의 \(\log\)는 적분으로 만들었다.
세 번째가 이 파트에서 처음 나온 방식이다. 19회 2절이 “적분이 새로운 함수를 만드는 장치가 된다”고 적었고 21회가 그것을 실제로 썼다.
2. 정적분 계산 절차#
13회 2절이 적분 가능성 판정 절차를 만들었다. 이번에는 계산 절차이다.
13회 절차표와 같은 서식으로 적는다.
a primitive of f is wanted
|
+- Is f in the list of section 1? (thm-19-ftc2)
| yes -> write the primitive directly
|
+- Is f a product f g' ? (thm-22-parts)
| yes -> integration by parts
| needs f', g' continuous
| check that the leftover is easier
|
+- Is f a composite F(g(x)) g'(x) ? (thm-22-substitution)
| yes -> substitution
| the inner derivative must be a factor
| for a definite integral, change the limits
|
+- Does f contain sqrt(a^2-x^2), sqrt(a^2+x^2), sqrt(x^2-a^2) ?
| yes -> trigonometric substitution (23회 4절)
| read thm-22-substitution right to left
| going back to x needs an inverse trig function
|
+- Is f rational?
| yes -> partial fractions (not yet available)
|
+- otherwise -> the primitive may not be elementary
22회 3절이 두 기법 사이의 선택을 표로 만들었다. 여기서는 그 표를 여섯 갈래의 순서 안에 넣는다.
마지막 항목이 중요하다. 19회 5절과 22회 3절이 두 번 적었듯 \(e^{-x^2}\)의 원시함수는 존재하지만 우리가 이름을 가진 함수들의 유한한 조합으로 적을 수 없다.
절차가 실패하는 것과 적분이 존재하지 않는 것은 다르다. 15회 정리 46이 연속이면 적분 가능하다고 했으므로, 연속인 피적분함수의 정적분은 언제나 존재한다. 절차가 답하지 못하는 것은 그 값을 식으로 적는 방법이다.
절차에 없는 것
13회 2절의 판정 절차에도 같은 상자가 있었다.
이 절차는 원시함수를 식으로 찾는 길만 다룬다. 값을 얻는 다른 길이 둘 있다.
하나는 정의로 돌아가는 것이다. 7회의 상합과 하합을 좁히면 원시함수 없이도 값을 원하는 만큼 가깝게 얻는다. 실험 페이지들이 계속 그렇게 해 왔다.
다른 하나는 적분 자체를 함수의 정의로 삼는 것이다. 21회가 \(\log\)에 대해 그렇게 했다. \(\int_1^x \frac{dt}{t}\)를 계산하려 하지 않고 그것에 이름을 붙였다.
3. 계보를 잇는다#
13회 1절의 계보도는 완비성 공리에서 시작해 적분 가능성으로 갔다. 그때 11회와 12회가 어디에도 연결되어 있지 않았다.
지금은 이렇다.
ax-5-completeness (5회)
|
+--> def-7-integral (7회)
| |
| v
| thm-15-cont-integrable (15회) <-- 연속이 적분으로 건너오는 자리
| |
| v
| thm-19-ftc1 (19회)
| |
+--> thm-14-ivt (14회) |
| |
+--> thm-15-extreme-value (15회) |
| |
v |
thm-18-rolle --> thm-18-mvt (18회)|
| |
v |
cor-18-constant-diff (18회) ------+
|
v
thm-19-ftc2 (19회)
|
+---------------+------------------+---------------+
v v v v
def-21-log thm-22-parts thm-22-substitution 20회 7절
(21회) (22회) (22회) (int sin, int cos)
| |
v v
def-21-exp 23회 4절
(21회) (삼각치환)
def-20-trig (20회) <-- 존재와 유일성은 증명하지 않았다
그리고 미분 쪽 계보는 이렇다.
def-11-limit (11회)
|
+--> def-11-continuous (11회) ----> (적분 쪽 thm-15-cont-integrable 으로)
|
+--> def-16-derivative (16회)
|
+--> thm-16-diff-cont (16회) --> (연속 쪽으로 합류)
|
+--> thm-16-product (16회) ----> thm-22-parts
|
+--> thm-17-chain (17회) ------> thm-22-substitution
|
+--> thm-17-inverse-diff (17회)
|
+--> def-17-root (17회)
+--> def-21-exp (21회)
+--> def-23-inverse-trig (23회)
18회 마치며가 “16회부터 시작한 새 계보는 다시 따로 자라고 있다”고 적었다. 그 두 계보가 만나는 자리가 셋이다.
첫째는 정리 46이다. 11회가 정의한 연속이 7회가 정의한 적분 가능성으로 이어지는 자리이며, 13회가 “연결되어 있지 않다”고 적은 것을 15회가 이미 해소하였다. 15회 5절이 계보도를 다시 그리며 그 사실을 적었으므로 이 회차가 새로 한 일은 아니다.
둘째는 정리 64이다. 적분 쪽 계보와 미분 쪽 계보가 여기서 하나가 된다.
셋째는 정의 47이다. 적분으로 만든 \(\log\)의 역함수이므로 두 계보 모두에 뿌리를 둔다.
갚은 빚#
13회가 「갚은 빚」 표를 둔 이유는 계보도만으로는 보이지 않는 것이 있기 때문이다. 어떤 정리가 어디에 쓰이는지는 화살표가 보여 주지만, 어떤 물음이 몇 회차 뒤에 답을 얻었는지는 보여 주지 않는다.
이 파트의 회수는 유난히 길다. 7회가 \(1/x\)에서 막힌 것이 21회에서 풀렸으니 열네 회차가 걸렸고, 1회의 접선 문제는 16회까지 열다섯 회차를 기다렸다.
그 간격이 우연이 아니라는 것이 요점이다. \(1/x\)의 적분을 구하려면 기본정리가 있어야 하고, 기본정리를 증명하려면 평균값 정리가 있어야 하며, 그것은 최대최소 정리를 요구하고, 그것은 완비성 공리로 증명된다. 열네 회차는 그 사슬의 길이이다.
13회의 표를 이어 쓴다. 16회부터 갚은 것들이다.
미뤄 둔 자리 |
갚은 자리 |
|---|---|
1회 — 접선 문제는 더 많은 준비를 요구한다 |
16회 정의 30 |
5회·14회 — 제곱해서 \(2\)가 되는 수 |
17회 정의 35 |
16회 — \((x^2+1)^{10}\)을 다룰 규칙이 없다 |
17회 정리 54 |
17회 — 무리수 지수는 아직 없다 |
21회 정의 49 |
10회 — 진동을 통제할 도구가 없다 |
15회 정리 45 |
18회 — 이 따름정리의 이유는 다음 회차에 |
19회 정리 64 |
7회 — \(1/x\)에는 이 방법이 통하지 않는다 |
21회 정리 70 |
19회 — \(1/x\)의 원시함수가 없다 |
21회 정의 46 |
20회 — 방법 (나)는 버려지지 않는다 |
21회 2절 |
20회 — \(\pi\)가 원과 무슨 관계인가 |
23회 정리 78 |
22회 — \(\frac{1}{1+x^2}\)을 다룰 수 없다 |
23회 (23.5) |
\(1/x\)를 따라가는 세 줄이 이 파트의 뼈대이다. 7회가 막힌 자리를 19회가 다시 짚었고 21회가 이름을 붙였다. 그리고 마지막 두 줄에서 20회가 정의한 \(\pi\)가 23회에서 원과 이어졌다.
아직 갚지 않은 빚#
첫째, 곱의 적분 가능성. 8회 4절이 \(fg\)의 적분 가능성을 “진술만 하고 증명하지 않는다”고 적었고 9회도 증명하지 않았다. 13회와 15회가 이어서 확인하였다.
22회가 이것을 밟지 않으려고 가정을 강화했다. 정리 75가 \(f'\)과 \(g'\)의 연속을 요구하는 것은 그 덕분에 정리 46로 적분 가능성을 얻기 위해서이다. 여전히 미상환이다.
둘째, 삼각함수의 존재와 유일성. 20회 정의 44은 “그런 함수쌍이 있다고 하자”로 시작하는 조건부 진술이었고, 존재도 유일성도 증명하지 않았다. 그 회차의 「이 정의가 하지 않는 일」 상자가 그것을 적어 두었다.
셋째, 초등적 원시함수가 없는 함수. 19회 5절과 22회 3절이 \(e^{-x^2}\)을 들었지만 “적을 수 없다”는 진술을 정확히 하려면 무엇을 조합으로 칠 것인지부터 정해야 한다. 사실만 옮겨 적었다.
넷째, \(\int\sec\theta\,d\theta\)를 찾는 방법. 23회 4절이 답을 적고 미분으로 확인했으나 그것은 확인이지 유도가 아니다.
4. 헷갈리는 네 쌍#
13회 3절과 같은 표이다.
쌍 |
무엇이 다른가 |
|---|---|
부정적분과 정적분 |
앞은 함수들의 모임이고 뒤는 수이다. 19회 5절 상자 |
원시함수와 누적 함수 |
앞은 \(F'=f\)인 함수 전체이고 뒤는 \(\int_a^x f\)로 정해진 하나이다 |
기본정리 첫째와 둘째 |
앞은 적분한 뒤 미분, 뒤는 미분한 뒤 적분이다 |
미분 가능과 연속 |
앞이 뒤를 함의한다. 역은 거짓이며 예제 11가 반례 |
넷째 쌍에 하나 덧붙인다. 연속이 미분 가능을 함의하지 않는 것처럼, 적분 가능이 연속을 함의하지 않는다. 10회 정리 31이 도약하는 단조함수도 적분 가능하다고 했다.
세 성질의 관계를 한 줄로 적으면 이렇다.
미분 가능 ==> 연속 ==> 적분 가능
(1) (2)
첫째 화살표는 정리 47이고 둘째는 정리 46이다. 두 화살표 모두 역이 거짓이다. 첫째의 반례가 예제 11이고 둘째의 반례가 계단함수이다.
그리고 이 사슬은 닫힌구간에서의 이야기이다. 둘째 화살표가 정리 46이고 그 정리가 닫힌구간을 요구한다. \((0,1)\)에서 \(1/x\)는 연속인데 적분 가능하지 않다. 유계가 아니기 때문이다.
5. 자주 하는 실수#
13회 4절과 같은 표인데 성격이 달라졌다. 13회의 실수는 대부분 정의를 잘못 읽는 것이었다. 최소상계와 최댓값을 섞거나 양화사의 순서를 바꾸는 종류였다.
이 파트의 실수는 계산 절차에서 한 단계를 빠뜨리는 것이 많다. 기법이 늘었기 때문이다. 각 기법에 딸린 확인 사항이 있고, 그것을 건너뛰면 답이 나오되 틀린다.
그래서 아래 표에 “무엇이 잘못되었나” 열을 두었다. 실수를 외우는 것보다 그 실수가 어느 확인을 건너뛴 것인지를 아는 편이 낫다.
실수 |
회차 |
무엇이 잘못되었나 |
|---|---|---|
차분몫을 곧바로 쪼갠다 |
17 |
\(g(x)=g(p)\)인 점에서 분모가 \(0\)이다 |
\(f'(g'(p))\)라고 쓴다 |
17 |
넣는 것은 \(g\)의 값이고 곱하는 것이 \(g\)의 도함수값이다 |
\(f'(p)=0\)이면 극값이라 한다 |
18 |
후보일 뿐이다. \(x^3\)이 반례 |
치환에서 구간을 안 바꾼다 |
22 |
변수를 바꾸었으므로 그 변수의 범위로 바꾸어야 한다 |
부정적분에서 \(+C\)를 빠뜨린다 |
22 |
원시함수는 상수만큼 다른 것들의 모임이다 |
\(\int fg = \int f\int g\)라고 쓴다 |
22 |
정리 22은 합과 상수배만 준다 |
\(\arcsin(\sin x)=x\)라고 쓴다 |
23 |
제한 구간 밖에서는 성립하지 않는다 |
근호의 부호를 확인하지 않는다 |
23 |
제한 구간이 부호를 정한다 |
기본정리 첫째에서 연속을 잊는다 |
19 |
적분 가능만으로는 \(A'(p)=f(p)\)가 나오지 않는다 |
앞의 여덟 줄은 계산의 실수이고 마지막 한 줄은 가정의 실수이다. 계산은 다시 해 보면 드러나지만 가정은 그렇지 않다. 답이 나오고 그 답이 틀린다.
마치며#
여덟 회차를 정리하였다.
1절의 표에서 왼쪽 열과 오른쪽 열이 하나씩 대응하였고, 두 열을 잇는 것이 정리 64 하나였다. 적분 기법을 따로 외울 필요가 없는 이유가 그 표에 있다.
3절에서 두 계보가 만나는 자리를 셋 찾았다. 정리 46, 정리 64, 정의 47이다. 13회가 “11회와 12회가 어디에도 연결되어 있지 않다”고 적은 상태에서 열한 회차가 지났고, 지금은 그 두 회차가 계보의 중심에 있다.
갚은 빚 열한 줄과 갚지 않은 빚 네 줄을 적었다. 7회가 남긴 \(1/x\) 하나가 19회와 21회를 거쳐 답을 얻은 것이 이 파트에서 가장 긴 회수였다.
그리고 4절의 사슬에서 두 화살표를 확인하였다. 미분 가능이 연속을, 연속이 적분 가능을 함의하며 역은 둘 다 거짓이다.
남은 것이 있다. 2절의 절차에서 “유리함수인가 → 부분분수”라는 줄을 적어 두고 회차를 적지 않았다. 유리함수는 12회 이래 계속 나왔지만 그 적분을 일반적으로 다루는 방법은 아직 없다.
\(\frac{1}{x^2-1}\)을 어떻게 적분하는가. 삼각치환의 형태가 아니고 곱도 합성도 아니다. 그런데 이 함수는 \(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\)로 쪼개지고, 각 조각은 21회 따름정리 12가 적분해 준다.
쪼갤 수 있다는 것을 어떻게 아는가. 그것이 남은 물음이다.
다음 회차에서는 유리함수의 적분을 알아보도록 하자.
이어서
같은 회차의 실험: 24회 실험 · 표를 검산한다