15회 · 최대최소 정리와 균등연속#
이 회차
한 문장 |
닫힌구간에서 연속인 함수는 유계이고 최댓값과 최솟값을 가지며 균등연속이고, 따라서 적분 가능하다. |
출처 |
L12 |
파트 |
PART I — 무한을 담을 그릇 · 관통 질문: 넓이를 어떻게 정의할 것인가 |
짝 실험 |
10회에서 남긴 문제로 돌아간다.
그때 막힌 자리는 이렇다. 8회 정리 25을 쓰려면 각 부분구간에서 최댓값과 최솟값의 차를 통제해야 하는데, 그러려면 두 가지가 필요하다. 첫째, 그 최댓값과 최솟값이 실제로 존재해야 한다. 10회 (10.11)은 “각 부분구간에서 최댓값과 최솟값이 존재한다고 하자”는 가정을 달고 있었다. 둘째, 그 차가 부분구간의 폭에만 의존하고 위치에는 의존하지 않아야 한다. 위치마다 다른 폭이 필요하다면 분할 하나로 모든 부분구간을 한꺼번에 다룰 수 없기 때문이다.
둘째가 어려운 이유는 11회에서 이미 보았다. \(\epsilon\)을 고정해도 필요한 \(\delta\)가 점마다 달랐다.
이번 회차에서는 첫째를 최대최소 정리로, 둘째를 균등연속 정리로 해결하고, 그 둘로 10회의 문제에 답해 보자.
1. 유계성 정리#
14회는 중간값 정리를 얻었지만 그것은 함숫값이 어떤 값을 취한다는 진술이었다. 진동을 다루려면 각 부분구간에서 최댓값과 최솟값을 붙잡아야 하는데, 그 전에 함숫값이 아예 무한히 커지지 않는다는 것부터 확인해야 한다.
6회 정의 10가 유계를 정의했다. 그런데 어떤 함수가 유계인지를 판정하는 조건은 지금까지 하나도 없었다. 이 절이 그 첫 번째 조건을 준다.
한 점 근처에서의 유계성#
한 점에서의 연속은 그 점 근처에 대한 정보이다. 구간 전체의 유계성을 얻으려면 먼저 점 하나 근처의 유계성을 확보해야 한다.
보조정리 7 (연속인 점 근처에서 유계이다)
\(f\)가 \(p\)에서 연속이면 어떤 \(\delta > 0\)이 있어서, 정의역 안의 \(x\)가 \(|x-p| < \delta\)를 만족하면
이다. \(f\)가 \(p\)에서 우연속이면 같은 결론이 \(p \le x < p+\delta\)에서 성립하고, 좌연속이면 \(p-\delta < x \le p\)에서 성립한다.
증명. 11회 (11.11)을 허용 오차 \(\epsilon = 1\)에 적용한다. \(\epsilon\)이 먼저 주어지고 \(\delta\)가 그것을 보고 정해진다. 어떤 \(\delta > 0\)이 있어서 \(|x-p| < \delta\)에서 \(|f(x)-f(p)| < 1\)이다.
\(f(x) = \bigl(f(x)-f(p)\bigr) + f(p)\)이므로 5회 정리 18에 의하여
이고, 이것이 (15.1)이다.
우연속이면 같은 \(\epsilon = 1\)을 11회 (11.12)에 적용하고, 좌연속이면 (11.13)에 적용한다. 나머지 줄은 글자 그대로 같다.
12회 보조정리 5가 비슷해 보이지만 쓸 수 없다. 그것은 \(0 < |x-p|\)인 뚫린 양쪽 근방을 주므로 \(x = p\)가 빠지고 정의역의 끝점에 적용할 수 없다. 12회에서 따름정리 8를 따로 세워야 했던 것과 같은 상황이다.
구체적인 값으로 확인한다. \(f(x) = x^2\)을 \([0,3]\)에서 보고 \(p = 2\)를 잡자. \(\epsilon = 1\)이면 \(|x^2-4| < 1\)이 되게 해야 하는데, 11회 예제 7와 같은 계산으로 \(|x-2| < 1\)에서 \(|x+2| < 5\)이므로 \(\delta = \min\{1,\ 1/5\} = 0.2\)이다. 그 근방에서 \(|f(x)| < 4 + 1 = 5\)이다.
구간 전체로 넓힌다#
정리 43 (유계성 정리)
\(f\)가 닫힌구간 \([a,b]\)에서 연속이면 \(f\)는 \([a,b]\)에서 유계이다.
증명. 집합을 잡는다. 왼쪽 끝에서부터 유계성이 확보된 지점을 모은다.
\(a \in S\)이다. \([a,a]\)는 한 점이므로 \(M = |f(a)|+1\)로 두면 조건이 성립한다. 그리고 \(S\)의 원소가 모두 \([a,b]\)에 있으므로 \(b\)가 상계이다.
최소상계를 잡는다. 5회 공리 1에 의하여 \(c = \sup S\)가 존재한다. 정의 7의 조건 1에서 \(a \le c\)이고 조건 2에서 \(c \le b\)이다.
\(c\) 근처를 확보한다. \(c \in [a,b]\)이므로 \(f\)는 \(c\)에서 연속이다. \(c\)가 \((a,b)\)의 점이면 양쪽 연속이고, \(c = a\)이면 11회 정의 22에 의하여 우연속, \(c = b\)이면 좌연속이다. 어느 경우든 보조정리 7가 \(\delta > 0\)을 준다.
\(c\)가 \(S\)에 든다. 5회 정리 14의 조건 3을 \(S\)와 \(c\)에 허용오차 \(\delta\)로 적용하면 \(x_0 \in S\)이면서 \(x_0 > c - \delta\)인 \(x_0\)이 있다. \(x_0 \in S\)이므로 \([a, x_0]\)에서 \(|f| \le M_0\)인 \(M_0\)이 있다.
\([a,c]\)의 점은 \([a,x_0]\)에 있거나 \(x_0 < u \le c\)를 만족한다. 뒤쪽이면 \(|u - c| < \delta\)이므로 (15.1)에 의하여 \(|f(u)| < |f(c)|+1\)이다. 따라서 두 수 중 큰 것을 \(M\)으로 두면 \([a,c]\) 전체에서 \(|f| \le M\)이고, 곧 \(c \in S\)이다.
\(c\)가 \(b\)이다. \(c < b\)라고 하자. 10회 보조정리 4에 의하여 \(c < y < \min\{b,\ c+\delta\}\)인 \(y\)가 있다. 위와 같은 방식으로 \([a,y]\)에서도 \(|f|\)가 같은 \(M\) 아래에 있으므로 \(y \in S\)이다. 그런데 \(y > c\)이므로 \(c\)가 상계라는 데 어긋난다.
따라서 \(c = b\)이고, \(c \in S\)이므로 \(f\)는 \([a,b]\)에서 유계이다.
14회 2절의 증명과 뼈대가 같다. 집합을 잡고, 완비성으로 최소상계를 잡고, 그 점의 연속성으로 근방을 얻고, 모순을 끌어낸다. 다른 점은 14회가 \(f(c) > 0\)과 \(f(c) < 0\) 두 경우를 배제했고 여기서는 \(c \in S\)를 확인한 뒤 \(c < b\)를 배제한다는 것이다.
예제 9 (열린구간에서는 성립하지 않는다)
\((0,1)\)에서 \(f(x) = 1/x\)는 연속이지만 유계가 아니다.
연속이라는 근거는 12회 정리 38의 유리함수 부분이다. 분모 \(x\)가 \((0,1)\)에서 \(0\)이 아니므로 모든 점에서 연속이다.
유계가 아니라는 것을 보인다. 임의의 \(M > 0\)에 대하여 5회 정리 17로 \(n > M\)이면서 \(n \ge 2\)인 자연수 \(n\)을 잡으면 \(x = 1/n \in (0,1)\)이고 \(f(x) = n > M\)이다. 구체적으로 \(M = 1000\)이면 \(x = 1/1001\)에서 \(f(x) = 1001\)이다.
차이는 구간이 닫혀 있는지이다. 위 증명에서 \(c = b\)가 되는 마지막 단계는 \(b\)가 정의역 안에 있어야 뜻을 갖는다.
8회 정리 25은 “\(f\)가 \([a,b]\)에서 유계라 하자”를 가정으로 요구한다. 지금까지는 그 가정을 함수마다 손으로 확인해야 했다. 이제 연속이라는 조건 하나가 그 가정을 조달한다. 5절이 이것을 그대로 쓴다.
2. 최대최소 정리#
1절은 함숫값이 어떤 수 아래에 있다는 것만 말한다. 그런데 진동 \(\omega_k = M_k - m_k\)를 다루려면 그 상한이 실제로 함숫값이어야 한다.
10회 (10.11)에는 “각 부분구간에서 \(f\)의 최댓값과 최솟값을 \(M_k\), \(m_k\)라 하자”는 가정이 달려 있었다. 이 절이 그 가정을 갚는다.
그전에 정의가 필요하다. 최댓값과 최솟값이라는 말을 7회 이래 여러 번 썼지만 정의한 적이 없다.
정의 27 (함수의 최댓값과 최솟값)
\(f\)가 집합 \(S\)에서 정의되어 있다고 하자.
어떤 \(c \in S\)가 있어서 모든 \(x \in S\)에 대하여 \(f(x) \le f(c)\)이면 \(f(c)\)를 \(f\)의 \(S\) 위의 최댓값(maximum)이라 하고, \(c\)를 그 최댓값을 주는 점이라 한다.
어떤 \(d \in S\)가 있어서 모든 \(x \in S\)에 대하여 \(f(d) \le f(x)\)이면 \(f(d)\)를 최솟값(minimum)이라 한다.
정의 27과 5회 정의 7를 나란히 두면 차이가 보인다. 최댓값은 집합에 속해야 하고 최소상계는 그럴 필요가 없다. 13회 3절 「헷갈리는 네 쌍」의 첫 행이 이 구별이었다.
흔한 오해 — 최댓값과 최소상계를 같은 것으로 보는 것
\(f([a,b])\)가 위로 유계이면 최소상계 \(\sup f([a,b])\)는 언제나 존재한다. 1절 정리와 완비성 공리가 그것을 준다.
그러나 그 값이 함숫값으로 달성되는지는 별개의 물음이다. 최소상계는 집합에 속하지 않아도 되기 때문이다. 아래 정리의 내용이 바로 이것이다 — 닫힌구간에서 연속이면 그 최소상계가 실제 함숫값이 된다.
\((0,1)\)에서 \(f(x) = x\)를 보면 \(\sup f((0,1)) = 1\)인데 \(f(x) = 1\)인 \(x\)가 없다. 유계인데도 최댓값이 없다.
정리 44 (최대최소 정리)
\(f\)가 닫힌구간 \([a,b]\)에서 연속이면 \(f\)는 \([a,b]\)에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.
증명. 최소상계를 잡는다. 정리 43에 의하여 함숫값의 집합 \(f([a,b])\)가 위로 유계이고, \(f(a)\)가 그 안에 있으므로 공집합이 아니다. 공리 1에 의하여 \(M = \sup f([a,b])\)가 존재한다.
\(f(c_0) = M\)인 \(c_0 \in [a,b]\)가 있음을 보이면 된다. 귀류법을 쓴다. 모든 \(x \in [a,b]\)에서 \(f(x) < M\)이라고 하자.
집합을 잡는다. 1절과 같은 방식으로 왼쪽부터 모은다.
\(\sup f([a,a]) = f(a) < M\)이므로 \(a \in T\)이고, \(b\)가 상계이다. 공리 1에 의하여 \(c = \sup T\)가 존재하고 정의 7의 두 조건에서 \(a \le c \le b\)이다.
\(c\) 근처를 확보한다. 가정에서 \(f(c) < M\)이므로
이다. \(f\)가 \(c\)에서 연속이므로 — \(c\)가 끝점이면 11회 정의 22이 주는 한쪽 연속을 쓴다 — 허용 오차 \(\eta\)에 대하여 \(\delta > 0\)이 있어서 \(|x-c| < \delta\)인 \(x \in [a,b]\)에서 \(|f(x)-f(c)| < \eta\)이다. 4회 따름정리 1로 풀고 오른쪽만 남기면
이다. 마지막 부등호는 \(f(c) < M\)에서 나온다.
\(c\)가 \(T\)에 든다. 정리 14의 조건 3으로 \(x_0 \in T\)이면서 \(x_0 > c - \delta\)인 \(x_0\)을 잡는다. \(x_0 \in T\)이므로 \(K = \sup f([a,x_0]) < M\)이다.
\([a,c]\)의 점은 \([a,x_0]\)에 있거나 \(x_0 < u \le c\)를 만족한다. 앞쪽에서는 함숫값이 \(K\) 이하이고, 뒤쪽에서는 \(|u-c| < \delta\)이므로 (15.4)가 적용된다. 두 상한 \(K\)와 \(\frac{M+f(c)}{2}\)가 모두 \(M\)보다 작으므로 그중 큰 것도 \(M\)보다 작다. 따라서 \(\sup f([a,c]) < M\)이고 \(c \in T\)이다.
\(c\)가 \(b\)이다. \(c < b\)라 하면 보조정리 4로 \(c < y < \min\{b,\ c+\delta\}\)인 \(y\)를 잡을 수 있고, 같은 방식으로 \(y \in T\)이다. \(y > c\)이므로 \(c\)가 상계라는 데 어긋난다.
모순. 따라서 \(c = b \in T\)이고, (15.3)에 의하여 \(\sup f([a,b]) < M\)이다. 그런데 \(M = \sup f([a,b])\)였으므로 모순이다.
그러므로 \(f(c_0) = M\)인 \(c_0\)이 있다. \(M\)이 상계이므로 \(f(c_0) \le M\)이고, 위에서 \(f(c_0) < M\)이 불가능하므로 3회 O2(삼분법)에 의하여 \(f(c_0) = M\)이다. 이것이 최댓값이다.
최솟값. 값이 항상 \(0\)인 상수함수는 12회 정의 26의 \(n=0\)인 다항함수이므로 정리 38에 의하여 모든 점에서 연속이고, 11회 4절에서 확인한 대로 양쪽 연속이면 한쪽 연속이므로 \([a,b]\)에서 연속이다. 14회 보조정리 6에 의하여 \(0 - f = -f\)도 \([a,b]\)에서 연속이다.
위 결과를 \(-f\)에 적용하면 \(-f\)의 최댓값을 주는 점 \(d\)가 있다. 모든 \(x\)에서 \(-f(x) \le -f(d)\)이고, 양변에 \(-1\)을 곱하면 3회 정리 6의 세 번째 항목에 의하여 부등호가 뒤집혀 \(f(d) \le f(x)\)이다. 이것이 최솟값이다.
구체적인 값으로 확인한다. \(f(x) = x^2 - x\)를 \([0,1]\)에서 보자. 최솟값은 \(x = 1/2\)에서 \(-1/4\)이고, 최댓값은 \(x = 0\)과 \(x = 1\) 두 곳에서 \(0\)이다. 최댓값을 주는 점이 둘이다. 정리는 존재만 말하고 유일성은 말하지 않는다.
이 함수는 10회 4절에서 조각적 단조의 예로 들었던 것이다. 그때는 조각을 세어야 적분 가능성을 말할 수 있었는데, 5절에서 그 사정이 달라진다.
세 반례를 나란히 둔다. 셋 모두 결론이 성립하지 않으며, 빠진 조건이 각각 다르다.
\((0,1)\)에서 \(f(x) = 1/x\)는 위로 유계가 아니므로 최댓값이 없다. 최솟값도 없다. 어떤 \(c \in (0,1)\)을 잡아도 \(x = (c+1)/2\)에서 \(f(x) < f(c)\)이기 때문이다.
\((0,1)\)에서 \(f(x) = x\)는 유계인데도 최댓값과 최솟값이 없다. 어떤 \(c\)에 대해서도 \((c+1)/2 \in (0,1)\)이고 \(f\bigl((c+1)/2\bigr) > f(c)\)이다. 유계성만으로는 부족하다는 것을 이 예가 보인다.
\([0,1]\)에서 \(x < 1\)이면 \(f(x) = x\)이고 \(f(1) = 0\)인 함수는 유계이고 정의역이 닫혀 있지만 최댓값이 없다. 연속이 아니기 때문이다.
10회 (10.11)의 \(M_k\)와 \(m_k\)를 이제 정당하게 쓸 수 있다. 두 값이 실제 함숫값이므로 \(\omega_k\)를 두 점의 함숫값 차로 다시 읽을 수 있다. 그 차를 통제하는 것이 다음 두 절의 일이다.
3. 균등연속#
11회 마치며에서 \(f(x) = 3x+1\)의 \(\delta\)는 \(\epsilon/3\)으로 \(p\)가 들어가지 않았고, \(f(x) = x^2\)의 \(\delta\)는 \(p=3\)에서 \(\epsilon/7\)이고 \(p=10\)에서 \(\epsilon/21\)이었다고 적었다. 그리고 \(\delta\)가 \(\epsilon\)과 \(p\) 두 값에 의존한다는 사실을 적어 두기만 했다.
이제 그 의존성을 다룬다. 물음은 다음과 같다. 구간 전체에 한꺼번에 통하는 \(\delta\)를 하나 고를 수 있는가.
11회 2절의 흔한 오해 상자가 “같은 오차를 지키는 데 세 배 좁은 범위가 필요하다”고 적은 것이 이 물음의 배경이다.
두 정의를 나란히 놓는다#
구간에서의 연속을 양화사로 쓰면 다음과 같다.
여기서 \(\delta\)를 앞으로 옮기면 다른 명제가 된다.
(15.5)에서는 점이 \(\delta\)보다 앞에 있고, (15.6)에서는 \(\delta\)가 점보다 앞에 있다. 2회 (2.5)와 (2.6)에서 본 것과 같은 구분이며, 13회 3절 「헷갈리는 네 쌍」의 마지막 행이 이것이었다.
정의 28 (균등연속)
\(f\)가 집합 \(I\)에서 정의되어 있다고 하자. 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 어떤 \(\delta > 0\)이 있어서, \(|x-y| < \delta\)인 모든 \(x, y \in I\)에 대하여 \(|f(x)-f(y)| < \epsilon\)이면 \(f\)가 \(I\)에서 균등연속(uniformly continuous)이라 한다.
두 가지를 짚어 둔다.
\(0 < |x-y|\) 조건을 넣지 않았다. \(x = y\)이면 \(|f(x)-f(y)| = 0 < \epsilon\)이 저절로 성립하므로 그 경우를 빼 두어도 넣어도 같다. 11회에서 (11.1)과 (11.11)의 차이를 설명한 것과 같은 사정이다.
두 점이 모두 자유변수이다. 10회 정의 16이 “\(a \le x < y \le b\)인 모든 \(x\), \(y\)”라는 형태를 처음 썼지만, \(\epsilon\)과 \(\delta\) 안에서 두 점을 모두 움직인 것은 이번이 처음이다.
11회의 계산을 다시 한다#
4회 따름정리 2에 의하여 \(|x^2-y^2| = |x-y|\,|x+y|\)이다.
\([0,1]\)에서는 \(|x+y| \le 2\)이므로 \(|x^2-y^2| \le 2|x-y|\)이다. 따라서 \(\epsilon = 0.01\)이면 \(\delta = \epsilon/2 = 0.005\)가 구간 전체에 통한다.
\([0,10]\)에서는 \(|x+y| \le 20\)이므로 \(\delta = \epsilon/20 = 0.0005\)이다.
11회가 \(p = 10\)에서 얻은 것은 \(\epsilon/21 \approx 0.000476\)이었다. 구간 전체에 통하는 \(0.0005\)와 거의 같다. \(p = 10\)이 \([0,10]\)의 오른쪽 끝이어서 가장 나쁜 자리이기 때문이다.
여기에 이 회차의 요점이 있다. 구간이 닫혀 있으면 가장 나쁜 자리가 구간 안에 있고, 거기서 통하는 \(\delta\)가 나머지 전부에서도 통한다.
예제 10 (열린구간에서는 균등연속이 아닐 수 있다)
\((0,1)\)에서 \(f(x) = 1/x\)는 연속이지만 균등연속이 아니다.
\(\epsilon_0 = 1\)로 둔다. 임의의 \(\delta > 0\)에 대하여 5회 따름정리 4로 \(1/n < \delta\)인 자연수 \(n\)을 잡고 \(x_n = 1/n\), \(y_n = 1/(n+1)\)이라 하자. 그러면
이다. 두 점이 \(\delta\)보다 가까운데 함숫값의 차가 \(1\)이므로 \(\epsilon_0 = 1\)을 지키지 못한다. 어떤 \(\delta\)를 잡아도 그렇다.
구체적으로 \(\delta = 0.001\)이면 \(n = 1000\)에서 \(x = 0.001\)이고 \(y = 1/1001 \approx 0.000999\)이다. 두 점의 거리는 약 \(10^{-6}\)인데 함숫값은 \(1000\)과 \(1001\)로 \(1\)만큼 떨어져 있다.
흔한 오해 — 연속이면 균등연속이라고 생각하는 것
예제 10이 반례이다. \(1/x\)는 \((0,1)\)의 모든 점에서 연속인데 균등연속이 아니다.
균등연속이 보장되는 것은 정의역이 닫힌구간일 때이며, 그것이 다음 절의 정리이다. 정의역이 어떤 집합이든 연속에서 균등연속이 따라 나오지 않는다.
같은 \(1/x\)가 이 회차에서 세 번 나왔다. 1절에서는 유계가 아니었고, 2절에서는 최댓값이 없었으며, 여기서는 균등연속이 아니다. 하나의 예가 세 정리의 조건이 모두 필요함을 보인다. 세 경우 모두 무너지는 자리는 \(x\)가 \(0\)에 가까워지는 쪽이고, 그것을 막는 것이 구간이 닫혀 있다는 조건이다.
4. 균등연속 정리#
3절은 정의를 세웠을 뿐이다. 어떤 함수가 균등연속인지는 아직 모르고, 확인한 것은 \(1/x\)가 \((0,1)\)에서 균등연속이 아니라는 것뿐이다.
이 절이 판정 조건을 준다. 3절의 계산에서 관찰한 것 — 가장 나쁜 자리가 구간 안에 있다 — 을 증명으로 옮긴다.
정리 45 (균등연속 정리)
\(f\)가 닫힌구간 \([a,b]\)에서 연속이면 \(f\)는 \([a,b]\)에서 균등연속이다.
증명. \(\epsilon > 0\)을 먼저 고정한다. 이 값은 증명이 끝날 때까지 고정되어 있고, 우리가 찾는 \(\delta\)는 마지막에 나온다. 정의 28이 요구하는 순서가 그것이다.
집합을 잡는다.
\([a,a]\)는 한 점이므로 어떤 \(\delta\)를 잡아도 조건이 성립하여 \(a \in S_\epsilon\)이고, \(b\)가 상계이다.
최소상계를 잡는다. 공리 1에 의하여 \(c = \sup S_\epsilon\)이 존재하고, 정의 7의 두 조건에서 \(a \le c \le b\)이다.
\(c\) 근처를 확보한다. \(f\)가 \(c\)에서 연속이므로 — 끝점이면 11회 정의 22의 한쪽 연속을 쓴다 — 허용 오차 \(\epsilon/2\)에 대하여 \(\eta > 0\)이 있어서 \(|x-c| < \eta\)인 \(x \in [a,b]\)에서 \(|f(x)-f(c)| < \epsilon/2\)이다.
\(u\)와 \(v\)가 둘 다 \(c\)에서 \(\eta\) 안에 있으면 5회 정리 18에 의하여
이다. 이 한 줄이 증명의 전부이다. 한 점에서의 연속이 그 점 근처의 두 점 사이 거리를 통제해 준다.
\(c\)가 \(S_\epsilon\)에 든다. 정리 14의 조건 3으로 \(x_0 \in S_\epsilon\)이면서 \(x_0 > c - \eta/2\)인 \(x_0\)을 잡는다. \(x_0\)에 딸린 \(\delta_0\)을 받아 \(\delta = \min\{\delta_0,\ \eta/2\}\)로 둔다.
\(u, v \in [a,c]\)이고 \(|u-v| < \delta\)라 하자. 두 경우로 나눈다.
둘 다 \(x_0\) 이하이면 \(\delta \le \delta_0\)이므로 \(x_0\)의 조건이 그대로 처리한다.
한쪽이 \(x_0\)보다 크면 그것을 \(v\)라 하자. \(v > x_0 > c - \eta/2\)이고 \(v \le c\)이므로 \(|v-c| < \eta/2\)이다. 그러면 정리 18에 의하여 \(|u-c| \le |u-v| + |v-c| < \eta/2 + \eta/2 = \eta\)이므로 \(u\)와 \(v\)가 모두 \(c\)에서 \(\eta\) 안에 있고, (15.9)가 처리한다.
따라서 \(c \in S_\epsilon\)이다.
\(c\)가 \(b\)이다. \(c < b\)라 하면 보조정리 4로 \(c < y < \min\{b,\ c+\eta/2\}\)인 \(y\)를 잡는다. 같은 \(\delta\)가 \([a,y]\)에서도 통한다. 둘째 경우에서 \(v \le y < c + \eta/2\)이고 \(v > x_0 > c - \eta/2\)이므로 여전히 \(|v-c| < \eta/2\)이기 때문이다. 따라서 \(y \in S_\epsilon\)인데 \(y > c\)이므로 \(c\)가 상계라는 데 어긋난다.
그러므로 \(c = b \in S_\epsilon\)이고, \([a,b]\) 전체에 통하는 \(\delta\)가 있다. \(\epsilon\)이 임의였으므로 \(f\)는 \([a,b]\)에서 균등연속이다.
구체적인 값으로 따라가 본다. \(f(x) = x^2\)을 \([0,1]\)에서 보고 \(\epsilon = 0.01\)이라 하자. \(c\)가 \(b = 1\)에 이르렀을 때 \(\eta\)는 \(|x^2-1| < 0.005\)에서 나오는데, \(|x+1| \le 2\)이므로 \(\eta = 0.0025\)이다. 최종 \(\delta\)는 \(\eta/2 = 0.00125\) 아래로 잡힌다.
3절에서 직접 계산한 \(\delta = \epsilon/2 = 0.005\)보다 작다. 증명이 주는 \(\delta\)가 최선이 아니라는 뜻이며, 정의 28은 통하는 \(\delta\)가 하나 있으면 된다고 할 뿐이다. 11회 예제 7에서도 같은 일이 있었다.
같은 뼈대가 네 번 반복되었다#
14회 2절, 이 회차의 1절과 2절과 4절이 모두 같은 형태였다.
집합을 잡는다 → 완비성으로 최소상계를 잡는다 → 그 점의 연속성으로 근방을 얻는다 → 정리 14의 조건 3으로 왼쪽에서 점을 끌어온다 → 오른쪽으로 넘어갈 수 있음을 보여 모순을 얻는다.
완비성 공리가 닫힌구간의 성질로 바뀌는 통로가 이 뼈대 하나이다. 13회 1절에서 완비성 공리에서 세 갈래가 나간다고 적었는데, 이제 네 번째 갈래가 생겼다.
5. 연속함수의 적분 가능성#
10회 4절에서 남긴 문제로 돌아간다.
그때 10회 4절은 “지금 가진 도구로는 각 부분구간의 진동을 통제할 수 없다”고 적었다. 가진 것은 유한합과 최소상계와 단조성뿐이었다. 10회 마치며는 “가까운 점에서 함숫값이 가깝다는 성질을 정확히 서술해야 하는데, 그 서술에 필요한 언어가 아직 없다”고 적었다. 11회가 그 언어를 만들었고 12회가 규칙을 모았으나, 12회 4절은 **”연속이라는 사실에서 적분 가능성으로 건너갈 다리는 아직 없다”**고 적었다. 13회 2절은 판정 절차에 연속이라는 항목이 없다고 적었고, 13회 1절은 11회와 12회가 계보 어디에도 연결되어 있지 않다고 적었다. 14회 마치며는 중간값 정리가 진동을 통제하는 진술이 아니라고 적었다.
이제 갖추어졌다. 2절이 각 부분구간에서 최댓값과 최솟값의 존재를 주었고 — 이것이 10회 (10.11)에 달려 있던 가정이다 — 4절이 그 차를 부분구간의 폭만으로 통제하게 해 주었다. 8회 정리 25이 요구하는 것은 계단함수 쌍이며, 그 쌍을 이제 만들 수 있다.
전제도 확인해 둔다. 정리 25은 “\(f\)가 \([a,b]\)에서 유계라 하자”를 가정에 두고 있다. 1절 정리 43가 그것을 준다.
정리 46 (연속함수는 적분 가능하다)
\(f\)가 닫힌구간 \([a,b]\)에서 연속이면 \(f\)는 \([a,b]\)에서 적분 가능하다.
증명. 유계성. 정리 43에 의하여 \(f\)는 \([a,b]\)에서 유계이다. 정리 25의 전제가 충족되었다.
허용 오차를 나눈다. \(\epsilon > 0\)이 주어졌다. \(a < b\)이므로 \(b-a>0\)이고
이다. \(\epsilon\)이 아니라 \(\epsilon'\)을 쓰는 이유는 뒤에서 드러난다. 각 부분구간의 진동에 그 폭을 곱해 \(n\)개를 더할 것인데, 폭의 합이 \(b-a\)이므로 합산 뒤에 정확히 \(\epsilon\)이 되게 하려는 것이다.
균등연속을 쓴다. 정리 45에 의하여 \(|u-v| < \delta\)인 \(u,v \in [a,b]\)에서 \(|f(u)-f(v)| < \epsilon'\)이 되는 \(\delta > 0\)이 있다. \(\epsilon'\)이 먼저이고 \(\delta\)가 나중이다.
분할을 고른다. \(\delta/(b-a) > 0\)이므로 5회 따름정리 4에 의하여 \(1/n < \delta/(b-a)\)인 자연수 \(n\)이 있다. 양변에 \(b-a>0\)을 곱하면 3회 정리 6의 두 번째 항목에 의하여 부등호의 방향이 유지되어
이다. 10회 (10.6)이 같은 형태였다.
\([a,b]\)를 \(n\)등분하고 분할점을 \(x_k = a + k\frac{b-a}{n}\)이라 하자.
각 조각에서 최댓값과 최솟값을 잡는다. \([x_{k-1},x_k]\)의 내부 점에서는 \(f\)가 양쪽으로 연속이므로 11회 4절에서 확인한 대로 그 점에서 우연속이면서 좌연속이고, 두 끝점에서는 필요한 한쪽 연속이 그대로 남는다. 따라서 \(f\)는 정의 22의 뜻으로 \([x_{k-1},x_k]\)에서 연속이다.
정리 44에 의하여 최댓값 \(M_k = f(u_k)\)와 최솟값 \(m_k = f(v_k)\)가 존재하고, \(u_k\)와 \(v_k\)는 그 부분구간의 점이다.
진동을 통제한다. \(u_k\)와 \(v_k\)가 같은 부분구간에 있으므로
이다. \(\le\)와 \(<\)가 이어지는 자리이며, 3회 정리 6의 네 번째 항목 뒤에서 확인한 등호 혼합형이 이것이다.
\(M_k \ge m_k\)이므로 4회 (4.12)에 의하여 \(M_k - m_k = |M_k - m_k| = |f(u_k)-f(v_k)|\)이다. 진동은 두 함숫값의 차이고 균등연속이 주는 것은 절댓값이므로, 이 한 줄이 둘을 잇는다. 앞의 두 결과를 합치면
이다.
계단함수를 만든다. 각 열린 부분구간 \((x_{k-1},x_k)\)에서 \(s = m_k\)이고 \(t = M_k\)인 계단함수를 잡고, 분할점에서는 두 함수 모두 \(f\)의 값을 갖도록 둔다. 7회 정의 12이 열린 부분구간에서의 상수성만 요구하므로 이것이 계단함수이며, 분할점에서의 값은 그 사실을 해치지 않는다. 9회 정리 30과 10회 정리 31의 증명이 같은 방식을 썼다.
이렇게 두면 \(s \le f \le t\)가 \([a,b]\) 전체에서 성립한다.
이다. 부등호는 (15.10)을 \(n\)개의 항에 적용한 것이며, 유한개의 엄격부등식을 더하는 것은 3회 정리 6의 첫 번째 항목을 되풀이한 것이다.
\(\epsilon\)이 무엇이든 \(s \le f \le t\)이고 \(\int(t-s) < \epsilon\)인 계단함수 쌍을 만들었으므로, 8회 정리 25에 의하여 \(f\)는 \([a,b]\)에서 적분 가능하다.
흔한 오해 — \(\epsilon\) 대신 \(\epsilon/(b-a)\)를 쓰는 이유
각 부분구간의 진동을 \(\epsilon\) 아래로 눌러 두면 될 것 같지만 그렇지 않다. (15.11)에서 각 항에 폭 \((b-a)/n\)이 곱해지고 항이 \(n\)개이므로, 합은 진동의 상한에 \(b-a\)를 곱한 값이 된다.
진동을 \(\epsilon\) 아래로 두면 합이 \((b-a)\epsilon\)까지 갈 수 있다. \(b-a\)가 \(1\)보다 크면 결론이 나오지 않는다.
합산 뒤에 \(\epsilon\)이 되도록 역산한 값이 \(\epsilon/(b-a)\)이다. 12회에서 항이 둘이라 \(\epsilon/2\)로 나눈 것과 같은 조작이며, 여기서는 나누는 수가 폭의 합이다.
구체적인 값으로 확인한다. \(f(x) = x^2\)을 \([0,1]\)에서 보고 \(\epsilon = 0.01\)이라 하자. 구간의 길이가 \(1\)이므로 \(\epsilon' = 0.01\)로 같다. 3절의 계산에서 \(\delta = \epsilon'/2 = 0.005\)이고, \(1/n < 0.005\)에서 \(n = 201\)을 잡으면 된다.
실제로 7회 (7.17)이 \(U_n - L_n = b^3/n = 1/201 \approx 0.00498\)을 주고, 이 값이 \(0.01\)보다 작다. 정리가 지시한 \(n\)과 7회가 직접 계산한 값이 맞는다.
구간이 길어지면 달라진다. \([0,2]\)에서는 \(\epsilon' = \epsilon/2 = 0.005\)가 되어 \(\delta\)가 더 작아지고 필요한 \(n\)이 더 커진다. \(\epsilon/(b-a)\)가 하는 일이 이것이다.
절차에 한 줄이 들어간다#
13회 2절에서 판정 절차를 만들고 “위 절차를 다시 보면 연속이라는 항목이 없다”고 적었다. 그 자리를 채운다.
+- Is f piecewise monotonic? (def-10-piecewise)
| yes -> integrable (thm-10-piecewise)
|
+- Is f continuous on [a,b]? (def-11-cont-interval)
| yes -> integrable (thm-15-cont-integrable)
|
+- Is f built from integrable pieces?
이 한 줄이 무엇을 바꾸는지 적어 둔다. 12회 정리 38로 다항함수가 모든 점에서 연속임을 알고 있었지만, 그 함수가 적분 가능하다는 것은 조각적 단조라는 별개의 근거로만 말할 수 있었다. 이제 연속이라는 근거 하나로 말한다.
그리고 10회 4절이 걱정한 것 — 조각의 개수를 미리 알 수 없는 함수 — 도 연속이기만 하면 처리된다. 조각을 셀 필요가 없다.
계보가 이어졌다#
13회 1절에서 11회와 12회가 계보 어디에도 연결되어 있지 않다고 적었다. 이제 화살표를 그린다.
ax-5-completeness (5회)
|
+--> thm-5-eps -----------------+
| |
+--> thm-14-bolzano (14회) |
| | |
| v |
| thm-14-ivt |
| |
+--> thm-15-bounded (15회) <---+
|
v
thm-15-extreme-value
|
+----------------+
| |
v v
thm-15-uniform (10.11) 의 M_k, m_k
| |
+-------+--------+
v
thm-15-cont-integrable
^
|
thm-8-riemann (8회)
두 가지를 짚어 둔다. 왼쪽 기둥은 전부 5회 완비성 공리에서 나왔다. 그리고 오른쪽에서 올라오는 화살표 하나가 8회 리만 조건인데, 그것이 적분 쪽 계보와 극한 쪽 계보를 잇는 유일한 접점이다.
11회와 12회는 그 왼쪽 기둥의 재료를 댄다. 연속의 정의와 극한의 대수가 없으면 1절부터 4절까지가 성립하지 않는다. 이제 두 회차가 계보에 연결되어 있다.
여전히 남는 것#
정직하게 적어 둔다.
8회 4절이 남긴 \(fg\)의 적분 가능성은 여전히 증명 없이 쓰는 사실이다. 8회는 그 증명 구조가 “각 부분구간에서 곱의 진동을 \(f\)와 \(g\)의 진동으로 억제하는 계산”이라고 적었다. 이번 회차에서 진동을 다루는 도구를 얻었지만 그 계산은 균등연속과 별개이므로 여기서 하지 않는다.
14회가 남긴 것 — 중간값 성질을 가지면서 연속이 아닌 함수의 예 — 도 이 회차의 도구로는 만들 수 없다.
마치며#
이번 회차에서는 세 정리를 증명하였다. 닫힌구간에서 연속인 함수는 유계이고, 최댓값과 최솟값을 가지며, 균등연속이다. 세 정리 모두 구간이 닫혀 있다는 조건을 쓰며, \((0,1)\)에서 \(f(x) = 1/x\)는 세 결론이 모두 성립하지 않는 예이다.
이 정리들로 10회에서 남긴 문제에 답하였다. 닫힌구간에서 연속인 함수는 적분 가능하다. 최대최소 정리가 각 부분구간의 최댓값과 최솟값의 존재를 보장하고, 균등연속 정리가 그 차를 부분구간의 폭만으로 통제하게 해 주며, 그러면 8회의 리만 조건을 적용할 수 있다.
여기까지가 PART I이다. 상자로 세운 공리는 둘이었다. 5회의 완비성 공리와 6회의 넓이 공리이다. 넓이 공리는 7회에서 계단함수의 적분을 정의하는 데 한 번 쓰이고 그 뒤로 등장하지 않았고, 완비성 공리는 계보의 왼쪽 기둥 전체를 지탱했다. 그 둘에서 출발하여 넓이를 정의하고, 적분을 정의하고, 어떤 함수가 적분 가능한지를 판정하는 절차를 얻었다. 파트 표지가 내건 물음 “넓이를 어떻게 정의할 것인가”에 대한 답이 여기까지이다.
다만 적분 가능성을 판정할 수 있다는 것과 적분값을 계산할 수 있다는 것은 다르다. 7회 6절에서 \(f(x) = x^2\) 아래의 넓이는 유한합 공식으로 계산했지만, 같은 방법을 \(f(x) = 1/x\)에 적용하면 \(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\) 꼴의 합이 나오고 그 합에는 닫힌 형태의 공식이 없다. 이번 회차의 정리로 \([1,2]\)에서 \(1/x\)가 적분 가능하다는 것은 말할 수 있으나, 그 값이 얼마인지는 여전히 모른다.
다음 회차에서는 1회에서 미루어 둔 나머지 한 문제, 곧 접선 문제를 다루도록 하자.
이어서
같은 회차의 실험: 15회 실험 · 하나의 δ