10회 · 적분 가능한 함수#
이 회차
한 문장 |
단조함수는 적분 가능하고, 유계이면서 적분 불가능한 함수가 존재한다. |
출처 |
L8 |
파트 |
PART I — 무한을 담을 그릇 · 관통 질문: 넓이를 어떻게 정의할 것인가 |
짝 실험 |
지금까지 적분을 계산한 함수는 상수함수, 일차함수, 이차함수이다. 셋 다 적분 가능했다. 그렇다면 유계인 함수는 모두 적분 가능한가.
그렇지 않다. 이번 회차에서 유계이면서 적분 불가능한 함수를 하나 제시한다.
그러면 어떤 함수가 적분 가능한가. 이번 회차에서는 단조함수(monotonic function)가 적분 가능함을 증명한다. 단조함수는 증가하거나 감소하는 함수이며, 조건이 단순한 데 비해 포함하는 범위가 넓다. 증명에는 8회의 리만 조건을 쓴다.
1. 단조함수의 적분 가능성#
정의 16 (단조함수)
\(f\)가 \([a,b]\)에서 정의되어 있다고 하자.
\(a \le x < y \le b\)인 모든 \(x\), \(y\)에 대하여 \(f(x) \le f(y)\)이면 \(f\)가 \([a,b]\)에서 증가한다(increasing)고 한다. 모든 그런 \(x\), \(y\)에 대하여 \(f(x) \ge f(y)\)이면 \(f\)가 감소한다(decreasing)고 한다.
둘 중 하나이면 \(f\)를 \([a,b]\)에서 단조함수(monotonic function)라 한다.
정의 16은 부등호에 등호를 허용한다. 따라서 상수함수도 증가함수이면서 감소함수이다.
단조함수는 유계이다. \(f\)가 증가한다고 하자. 임의의 \(x \in [a,b]\)에 대하여 \(a \le x \le b\)이므로 \(f(a) \le f(x) \le f(b)\)이다. \(M = \max\{|f(a)|, |f(b)|\}\)라 두면 모든 \(x\)에서 \(|f(x)| \le M\)이므로 6회 정의 10의 조건이 성립한다. 감소하는 경우에는 부등호의 방향만 바뀐다.
유계이므로 정리 25의 전제가 갖추어졌다.
정리 31 (단조함수는 적분 가능하다)
\(f\)가 \([a,b]\)에서 단조이면 \(f\)는 \([a,b]\)에서 적분 가능하다.
증명. 먼저 \(f\)가 증가하는 경우를 다룬다.
분할을 잡는다. \([a,b]\)를 \(n\)등분한다. 분할점은
이고 각 부분구간의 폭은 \((b-a)/n\)으로 모두 같다.
각 부분구간의 최댓값과 최솟값. \(x \in [x_{k-1}, x_k]\)이면 \(x_{k-1} \le x \le x_k\)이므로, \(f\)가 증가한다는 것에서
이다. 양 끝의 값은 \(x = x_{k-1}\)과 \(x = x_k\)에서 실제로 얻어진다. 따라서 이 부분구간에서 \(f\)의 최솟값은 \(f(x_{k-1})\)이고 최댓값은 \(f(x_k)\)이다. 단조성만으로 최댓값과 최솟값이 어디에 있는지 정해진다.
계단함수 두 개를 만든다. 열린 부분구간 \((x_{k-1}, x_k)\)에서 값이 \(f(x_{k-1})\)인 계단함수를 \(s\), 값이 \(f(x_k)\)인 계단함수를 \(t\)라 하고, 분할점에서는 두 함수 모두 \(f\)의 값을 갖도록 둔다. (10.2)에 의하여 \(s \le f \le t\)이다.
이다. 두 합의 항 수가 같으므로 7회 (7.2)와 4회 (4.3)에 의하여
이다.
망원합. (10.4)의 합에서 \(a_k = f(x_{k-1})\)이라 두면 \(a_{k+1} - a_k = f(x_k) - f(x_{k-1})\)이므로, 이 합은 4회 정리 10의 (4.5)와 같은 꼴이다. 그 정리에 의하여 합은 \(a_{n+1} - a_1 = f(x_n) - f(x_0)\)이고, (10.1)에서 \(x_0 = a\)이고 \(x_n = b\)이므로
이다. 가운데 항이 모두 상쇄되어 양 끝값의 차만 남았다.
리만 조건을 확인한다. \(\epsilon > 0\)이 주어졌다. \(C = (b-a)\bigl(f(b)-f(a)\bigr)\)라 두면 \(f\)가 증가하므로 \(f(b) \ge f(a)\)이고, \(b > a\)이므로 \(C \ge 0\)이다.
\(C = 0\)이면 (10.5)의 오른쪽이 모든 \(n\)에서 \(0\)이므로 \(n = 1\)로 두어도 \(\int(t-s) = 0 < \epsilon\)이다.
\(C > 0\)이면 \(\epsilon / C > 0\)이므로 5회 따름정리 4에 의하여
인 자연수 \(n\)이 있다. (10.6)의 양변에 \(C > 0\)을 곱하면 3회 정리 6의 두 번째 항목에 의하여 부등호의 방향이 유지되어 \(C/n < \epsilon\)이다. 이 \(n\)으로 만든 \(s\)와 \(t\)가 \(\int(t-s) < \epsilon\)을 만족한다.
\(\epsilon\)이 무엇이든 이런 계단함수 쌍이 있으므로 정리 25에 의하여 \(f\)는 적분 가능하다.
감소하는 경우. \(f\)가 감소하면 \(-f\)는 증가한다. \(x < y\)일 때 \(f(x) \ge f(y)\)의 양변에 \(-1\)을 곱하면 3회 정리 6의 세 번째 항목에 의하여 부등호가 뒤집혀 \(-f(x) \le -f(y)\)이기 때문이다.
위의 결과에 의하여 \(-f\)가 적분 가능하다. 9회에서 증명한 정리 22을 \(c_1 = -1\), \(c_2 = 0\)으로 적용하면 \(f = -(-f)\)도 적분 가능하다.
(10.5)가 이 증명의 전부이다. \(\epsilon\)이 아무리 작아도 \(n\)을 크게 잡으면 되는 이유는 오른쪽 분자가 \(n\)과 무관하기 때문이다. 분자는 구간의 폭과 양 끝값의 차만으로 정해진다.
구체적인 값#
\(f(x) = x^2\)을 \([0,1]\)에서 본다. 이 함수는 증가한다. \(0 \le x < y \le 1\)이면 \(y^2 - x^2 = (y-x)(y+x) \ge 0\)이기 때문이다.
(10.5)에 \(a=0\), \(b=1\), \(f(1)-f(0) = 1\)을 넣으면 \(U_n - L_n = 1/n\)이다. \(n = 100\)이면 \(0.01\)이다.
7회 (7.17)에서 이 함수의 \(U_n - L_n\)을 직접 계산하여 \(b^3/n\)을 얻었고, \(b=1\)이면 \(1/n\)이다. 두 값이 일치한다. 7회에서는 \(\sum k^2\)의 공식을 써서 얻었고 여기서는 망원합으로 얻었다.
차이가 직사각형 하나가 되는 이유#
(10.4)의 각 항 \(\bigl(f(x_k)-f(x_{k-1})\bigr)\cdot\frac{b-a}{n}\)은 폭이 \((b-a)/n\)이고 높이가 \(f(x_k)-f(x_{k-1})\)인 직사각형의 넓이이다. 상합의 막대에서 하합의 막대를 뺀 나머지 띠가 그것이다.
\(n\)등분이므로 이 직사각형들의 폭이 모두 같다. 따라서 이들을 옆으로 밀어 한 세로줄에 쌓아 올릴 수 있고, 쌓인 높이는
이다. 결과는 폭 \((b-a)/n\), 높이 \(f(b)-f(a)\)인 직사각형 하나이다. \(n\)을 키우면 높이는 그대로이고 폭만 줄어든다.
흔한 오해 — 끊어진 함수는 적분 불가능하다고 생각하는 것
정리 31의 증명 어디에도 \(f\)의 그래프가 이어져 있다는 조건이 쓰이지 않았다. 쓰인 것은 (10.2)뿐이며, 그것은 단조성에서만 나온다.
\([0,2]\)에서 \(x < 1\)이면 값이 \(0\)이고 \(x \ge 1\)이면 값이 \(1\)인 함수를 생각하자. 이 함수는 \(x=1\)에서 값이 갑자기 뛰지만 정의 16의 조건을 만족하므로 증가함수이고, 따라서 적분 가능하다. 실제로 이 함수는 계단함수이므로 (7.1)로 적분값이 곧바로 \(1\)이다.
값이 뛰는 것 자체는 적분을 막지 않는다. 3절에서 적분을 막는 것이 무엇인지 확인한다.
2. 조각적 단조함수#
단조함수만으로는 좁다. \([0,2]\)에서 \(|x-1|\)은 \([0,1]\)에서 감소하고 \([1,2]\)에서 증가하므로 전체에서는 단조가 아니다. 그러나 구간을 나누면 각 조각에서 단조이다.
정의 17 (조각적 단조함수)
\([a,b]\)의 분할 \(a = c_0 < c_1 < \cdots < c_m = b\)가 있어서 각 \([c_{j-1}, c_j]\)에서 \(f\)가 단조이면, \(f\)를 \([a,b]\)에서 조각적 단조함수(piecewise monotonic function)라 한다.
정리 32 (조각적 단조함수는 적분 가능하다)
\(f\)가 \([a,b]\)에서 조각적 단조이면 \(f\)는 \([a,b]\)에서 적분 가능하고
증명. 조각의 개수 \(m\)에 대한 귀납법을 쓴다.
\(m = 1\)이면 \(f\)가 \([a,b]\)에서 단조이므로 정리 31이 그대로 결론이다.
\(m\)개의 조각에 대하여 성립한다고 가정하고 조각이 \(m+1\)개인 경우를 본다. \(f\)는 \([a, c_m]\)에서 \(m\)개의 조각으로 나뉘므로 가정에 의하여 그 구간에서 적분 가능하고, \([c_m, b]\)에서는 단조이므로 정리 31에 의하여 적분 가능하다.
\(a < c_m < b\)이므로 9회에서 증명한 정리 23를 적용하면 \(f\)는 \([a,b]\)에서 적분 가능하고
이다. 오른쪽 첫 항에 귀납 가정을 넣으면 (10.7)을 얻는다.
4회 정리 9에 의하여 모든 \(m\)에 대하여 성립한다.
\([0,2]\)의 \(|x-1|\)에 (10.7)을 적용한다. \([0,1]\)에서 \(|x-1| = 1-x\)이고 \([1,2]\)에서 \(|x-1| = x-1\)이다. 각각의 적분은 정리 22과 7회 (7.8), (7.12)로 계산되며 값이 모두 \(1/2\)이다. 따라서 \(\int_0^2 |x-1|\,dx = 1\)이다.
9회 5절에서 이 값을 (8.8)의 예로 썼다. 그때는 적분 가능성을 확인하지 않은 채 값을 적었으나, 정리 32가 그 근거를 준다.
3. 유계이지만 적분 불가능한 함수#
6회 1절에서 식으로 쓸 수 없는 함수의 예를 하나 들었다. 유리수에서 값이 \(1\)이고 무리수에서 값이 \(0\)인 함수이다. 이 함수가 적분 불가능함을 보인다.
논증에는 임의의 열린구간에 유리수와 무리수가 모두 들어 있다는 사실이 필요하다. 9회 5절에서 이 사실을 아직 확인하지 않았다고 적었다. 먼저 그것을 확인한다.
열린구간 안의 유리수와 무리수#
보이려는 것은 다음이다. 아무리 짧은 구간을 잡아도 그 안에 유리수와 무리수가 함께 있다. \((0.1, 0.100001)\)처럼 좁은 구간에도 둘 다 있다.
유리수 쪽부터 생각해 보자. 구간의 길이가 \(0.000001\)이라면, 분모가 \(10^7\)인 분수들은 간격이 \(10^{-7}\)이므로 그중 하나는 반드시 이 구간 안에 떨어진다. 일반화하면 구간의 길이보다 촘촘한 격자를 깔면 격자점 하나가 구간 안에 들어간다는 것이고, 그런 격자를 깔 수 있다는 것이 5회 따름정리 4이다.
논증에 필요한 것이 하나 더 있다. 격자를 깔았을 때 구간의 왼쪽 끝을 막 지나는 격자점을 지목할 수 있어야 한다. 그러려면 실수 \(x\)에 대하여 “\(x\)를 넘지 않는 가장 큰 정수”가 존재해야 하며, 그 존재는 아르키메데스 성질에서 나온다. 먼저 그것을 확인한다.
보조정리 3 (정수부의 존재)
\(x \ge 0\)인 실수에 대하여 \(m \le x < m+1\)인 정수 \(m \ge 0\)이 존재한다.
증명. 5회 정리 17에 의하여 \(x < N\)인 자연수 \(N\)이 있다.
\(0, 1, 2, \dots, N\) 중에서 \(x\) 이하인 것들을 모은다. \(x \ge 0\)이므로 \(0\)이 이 모임에 속하고, 따라서 모임은 공집합이 아니다. 또 원소가 \(N+1\)개를 넘지 않으므로 유한하다. 유한개의 수 중에는 가장 큰 것이 있으므로, 그것을 \(m\)이라 한다. 개수에 대한 귀납법으로 확인되는 사실이다.
\(m\)이 모임에 속하므로 \(m \le x\)이다. 그리고 \(m\)이 그중 가장 크므로 \(m+1\)은 모임에 속하지 않는다. \(m + 1 \le N\)인 경우에는 \(m+1 > x\)이어야 모임에서 빠지고, \(m + 1 > N\)인 경우에는 \(x < N < m+1\)이다. 어느 쪽이든 \(x < m+1\)이다.
보조정리 4 (열린구간에는 유리수와 무리수가 있다)
\(x < y\)인 실수 \(x\), \(y\)에 대하여 \(x < q < y\)인 유리수 \(q\)와 \(x < r < y\)인 무리수 \(r\)이 존재한다.
증명. 유리수 — \(x \ge 0\)인 경우. \(y - x > 0\)이므로 5회 따름정리 4에 의하여
인 자연수 \(n\)이 있다. \(n > 0\)이고 \(x \ge 0\)이므로 \(nx \ge 0\)이고, 보조정리 3를 \(nx\)에 적용하면 \(m \le nx < m+1\)인 정수 \(m \ge 0\)이 있다.
이라 두면 \(q\)는 두 정수의 몫이므로 유리수이다.
\(nx < m+1\)의 양변에 \(1/n > 0\)을 곱하면 \(x < q\)이다.
\(m \le nx\)의 양변에 \(1/n > 0\)을 곱하면 \(m/n \le x\)이므로
이다. 마지막 부등호는 (10.8)이다. 따라서 \(x < q < y\)이다.
유리수 — \(x < 0\)인 경우. 정리 17에 의하여 \(N > -x\)인 자연수 \(N\)이 있다. 양변에 \(x\)를 더하면 \(x + N > 0\)이고, \(x < y\)의 양변에 \(N\)을 더하면 \(x + N < y + N\)이다.
앞의 경우를 두 수 \(x+N\)과 \(y+N\)에 적용하면 \(x + N < q' < y+N\)인 유리수 \(q'\)이 있다. \(q = q' - N\)이라 두면 유리수이고 \(x < q < y\)이다.
무리수. 14회 예제 8에서 제곱이 \(2\)인 실수가 \((1,2)\)에 존재함을 얻는다. 그 값을 \(c\)라 한다. 3회 정리 8에 의하여 제곱이 \(2\)인 유리수는 없으므로 \(c\)는 무리수이다.
이 인용이 순환이 아니라는 것을 확인해 둔다. 14회의 영점 정리는 이 보조정리의 유리수 부분만 쓰고, 유리수 부분의 증명은 5회 따름정리 4과 위의 보조정리 3만 쓴다.
\(x < y\)의 양변에서 \(c\)를 빼면 \(x - c < y - c\)이므로, 위의 결과를 이 두 수에 적용하면 \(x - c < q < y-c\)인 유리수 \(q\)가 있다. \(r = q + c\)라 두면 양변에 \(c\)를 더하여 \(x < r < y\)이다.
\(r\)이 유리수라면 \(c = r - q\)가 두 유리수의 차이므로 유리수가 되어 \(c\)가 무리수라는 것에 어긋난다. 따라서 \(r\)은 무리수이다.
디리클레 함수#
예제 5 (디리클레 함수)
\(a < b\)라 하고 \([a,b]\)에서
로 정의된 함수를 디리클레 함수(Dirichlet function)라 한다. 유리수에서 \(1\)이고 무리수에서 \(0\)이다. 이 함수는 유계이지만 적분 가능하지 않다.
증명. 유계이다. 모든 \(x\)에서 \(0 \le f(x) \le 1\)이므로 \(|f(x)| \le 1\)이고, 6회 정의 10의 조건이 성립한다.
하적분이 \(0\)이다. \(s\)를 \(f\) 이하인 임의의 계단함수라 하고 그 분할을 \(\{x_0, \dots, x_n\}\)이라 하자. 각 열린 부분구간 \((x_{k-1}, x_k)\)는 \(x_{k-1} < x_k\)이므로 보조정리 4에 의하여 무리수 \(r\)을 포함한다. \(s\)가 그 구간에서 값 \(s_k\)를 가지므로
이다. 폭 \(x_k - x_{k-1}\)이 양수이므로 3회 정리 6의 두 번째 항목에 의하여 각 항 \(s_k(x_k-x_{k-1})\)이 \(0\) 이하이고, (7.1)에 의하여
이다. (10.9)가 \(f\) 이하인 모든 계단함수에 대하여 성립하므로, 9회 (9.1)의 표기로 \(0\)은 \(\underline{A}(f)\)의 상계이다. 정의 7의 조건 2에 의하여 \(\underline{I}(f) \le 0\)이다.
한편 값이 항상 \(0\)인 상수함수는 계단함수이고 \(f\) 이하이며 적분이 \(0\)이므로 \(0 \in \underline{A}(f)\)이다. 조건 1에 의하여 \(0 \le \underline{I}(f)\)이다. 두 부등식에서 \(\underline{I}(f) = 0\)이다.
상적분이 \(b-a\)이다. \(t\)를 \(f\) 이상인 임의의 계단함수라 하자. 각 열린 부분구간은 보조정리 4에 의하여 유리수 \(q\)를 포함하므로 \(t_k = t(q) \ge f(q) = 1\)이다. 따라서 (7.1)의 각 항이 \(x_k - x_{k-1}\) 이상이고, 그 합은 4회 정리 10에 의하여 \(x_n - x_0 = b-a\)이다. 즉
이다. 따라서 \(b-a\)는 \(\overline{A}(f)\)의 하계이고, 최대하계는 하계 중 가장 크므로 \(b - a \le \overline{I}(f)\)이다.
값이 항상 \(1\)인 상수함수는 계단함수이고 \(f\) 이상이며 7회 (7.8)에 의하여 적분이 \(b-a\)이므로 \(b-a \in \overline{A}(f)\)이다. 최대하계는 하계이므로 \(\overline{I}(f) \le b-a\)이다. 두 부등식에서 \(\overline{I}(f) = b-a\)이다.
두 값이 다르다. \(a < b\)이므로 \(b - a > 0\)이고, 따라서 \(\underline{I}(f) = 0 \ne b-a = \overline{I}(f)\)이다. 정의 15에 의하여 \(f\)는 적분 가능하지 않다.
\(n\)등분 분할로 보면 더 분명하다. 모든 부분구간에서 최솟값이 \(0\)이고 최댓값이 \(1\)이므로
이다. \(n\)을 아무리 키워도 이 값이 줄지 않는다. \(\epsilon = b-a\)로 두면 정리 25의 조건을 만족하는 계단함수 쌍이 없다.
4. 연속함수는 어떠한가#
앞의 두 절을 같은 틀에 놓아 본다.
\(f\)가 \([a,b]\)에서 유계이고 각 부분구간에서 최댓값과 최솟값이 존재한다고 하자. \([a,b]\)를 \(n\)등분하고, \(k\)번째 부분구간에서 \(f\)의 최댓값을 \(M_k\), 최솟값을 \(m_k\)라 하자. 그 차
를 그 부분구간에서 \(f\)의 진동(oscillation)이라 한다. 8회 4절 끝에서 이름 없이 쓴 말이 이것이다.
폭이 모두 \((b-a)/n\)이므로
이다. 적분 가능성은 (10.11)의 오른쪽을 작게 만들 수 있는지의 문제이다. 앞의 두 결과를 (10.11)로 다시 읽으면 다음과 같다.
함수 |
각 부분구간의 \(\omega_k\) |
\(\sum_k \omega_k\) |
\(U_n - L_n\) |
|---|---|---|---|
증가함수 |
\(f(x_k)-f(x_{k-1})\) |
\(f(b)-f(a)\) (망원합) |
\(\dfrac{(b-a)(f(b)-f(a))}{n}\) |
디리클레 함수 |
\(1\) |
\(n\) |
\(b-a\) |
두 경우를 가른 것은 \(\sum_k \omega_k\)가 \(n\)과 함께 커지는지 여부이다. 증가함수에서는 이 합이 \(n\)과 무관한 값으로 고정되므로 \(1/n\)이 그대로 남고, 디리클레 함수에서는 합이 \(n\)에 비례하여 커지므로 \(1/n\)과 상쇄된다.
단조성은 \(\sum_k \omega_k\)를 고정시키는 조건 중 하나이다. 그런데 단조가 아니면서도 진동이 작아 보이는 함수가 많다. \([0,1]\)의 \(f(x) = x^2 - x\)는 \([0, 1/2]\)에서 감소하고 \([1/2, 1]\)에서 증가하므로 조각적 단조이지만, 조각의 개수를 미리 알 수 없는 함수라면 정리 32를 쓸 수 없다.
그런 함수에서 \(\omega_k\)를 작게 만들려면 무엇이 필요한가. 부분구간의 폭이 작을 때 그 안에서 함숫값들이 서로 가깝다는 성질, 즉 \(x\)와 \(y\)가 가까우면 \(f(x)\)와 \(f(y)\)도 가깝다는 성질이 필요하다.
그 성질을 갖는 함수를 연속함수(continuous function)라 부른다. 그러나 이 강의는 아직 그 말을 정의하지 않았다. 정의하려면 “가깝다”를 정확한 부등식으로 옮겨야 하고, 그러려면 \(x\)가 한 점에 다가갈 때 \(f(x)\)가 어떻게 되는지를 서술하는 언어가 있어야 한다.
지금 가진 도구로는 각 부분구간의 진동을 통제할 수 없다. 우리가 가진 것은 유한합, 최소상계, 그리고 (10.2)와 같은 단조성뿐이다. 단조성이 없으면 최댓값과 최솟값이 부분구간의 어디에 있는지조차 말할 수 없다.
마치며#
이번 회차에서는 단조함수가 적분 가능함을 증명하였다. 증명의 핵심은 상합과 하합의 차이가 망원합으로 정리되어 양 끝값의 차만 남는다는 것이었다. 그 결과가 (10.5)이며, 분자가 \(n\)과 무관하므로 \(n\)을 키우면 값이 작아진다. 그다음 구간 가법성으로 조각적 단조함수까지 범위를 넓혔다.
또한 유계이면서 적분 불가능한 함수가 존재함을 확인하였다. 유리수에서 \(1\), 무리수에서 \(0\)인 함수이며, 이 함수의 하적분은 \(0\)이고 상적분은 구간의 길이이다. 그 계산을 가능하게 한 것은 열린구간에 유리수와 무리수가 모두 들어 있다는 보조정리 4이고, 그 증명은 아르키메데스 성질에서 나왔다.
두 결과를 진동으로 다시 읽으면 하나의 문제가 된다. 각 부분구간에서 최댓값과 최솟값의 차를 모두 더한 값이 분할을 잘게 할수록 어떻게 되는가.
남은 문제는 단조가 아닌 함수이다. 진동을 통제하려면 가까운 점에서 함숫값이 가깝다는 성질을 정확히 서술해야 하는데, 그 서술에 필요한 언어가 아직 없다. 지금 가진 도구로는 이 문제에 답할 수 없다.
다음 회차에서는 극한(limit)을 정의하도록 하자.
이어서
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