# 1회 · 미적분의 두 문제

```{admonition} 이 회차
:class: seealso

| | |
|---|---|
| **한 문장** | 미적분은 넓이를 구하는 문제와 접선을 긋는 문제에서 출발했으며, 두 문제는 2000년 동안 별개였다. |
| **출처** | L0 + Strang |
| **파트** | PART I — 무한을 담을 그릇 · 관통 질문: 넓이를 어떻게 정의할 것인가 |
| **짝 실험** | {doc}`L01_lab` |
```

미적분(calculus)은 두 개의 문제에서 출발한다. 하나는 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 문제이고, 다른 하나는 곡선 위의 한 점에서 접선을 긋는 문제이다.

두 문제는 서로 무관해 보인다. 넓이는 도형 전체에 관한 양이고 접선은 한 점에 관한 양이다. 실제로 두 문제는 오랫동안 별개의 문제로 다루어졌다. 넓이 문제는 기원전 3세기에 아르키메데스(Archimedes)가 상당한 수준까지 해결했고, 접선 문제는 17세기에 와서야 체계적으로 다루어졌다. 두 문제 사이에 관계가 있다는 것이 밝혀진 것은 그보다 뒤의 일이다.

이번 회차에서는 두 문제가 각각 무엇인지, 그리고 아르키메데스가 넓이 문제를 어떤 방법으로 다루었는지 살펴보자.

## 1. 넓이 문제

직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 이미 다룰 수 있다. 삼각형의 넓이가 밑변과 높이로 정해지고, 다각형은 대각선을 그어 삼각형으로 나눌 수 있기 때문이다. 나눈 조각의 넓이를 각각 구해 더하면 전체 넓이가 된다.

곡선으로 둘러싸인 도형에는 이 방법이 통하지 않는다. 곡선의 어느 부분을 잘라내도 남은 조각은 여전히 곡선을 포함한다. 유한 번 잘라서 삼각형만 남게 만들 수 없다.

앞으로 다룰 대상을 하나 고정하자. 양수 $b$에 대하여, 포물선 $y = x^2$과 $x$축, 그리고 직선 $x = b$로 둘러싸인 영역을 생각한다. 이 영역을 $\Omega_b$라 쓰고 그 넓이를 $A$라 쓴다.

**넓이 문제**: $A$는 얼마인가.

물음을 하나 더 짚어 둘 필요가 있다. "$A$가 얼마인가"를 묻기 전에 "$A$란 무엇인가"라는 물음이 있다. 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이가 무엇인지를 우리는 아직 정하지 않았다. 이번 회차에서는 넓이가 이미 정해져 있다고 두고, 그것이 만족한다고 볼 만한 성질 두 가지만 쓴다. 도형 $P$가 도형 $Q$에 포함되면 $P$의 넓이는 $Q$의 넓이보다 크지 않다는 것이 하나이고, 직사각형의 넓이가 가로와 세로의 곱이라는 것이 다른 하나이다.

## 2. 접선 문제

함수 $f$의 그래프 위의 서로 다른 두 점 $(x_1, f(x_1))$과 $(x_2, f(x_2))$를 지나는 직선을 할선(secant line)이라 한다. 할선의 기울기는 다음과 같다.

$$
\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}
\tag{1.1}
$$

(1.1)은 $x_1 \ne x_2$인 한 언제나 하나의 값으로 정해진다. 두 점의 좌표만 알면 되고 새로 정의할 것이 없다.

접선(tangent line)은 한 점에서의 직선이다. 점 $(x_1, f(x_1))$ 하나만 주어졌을 때 그 점에서의 기울기를 정하려면 (1.1)에서 $x_2$를 $x_1$으로 가져가야 한다. 그런데 $x_2 = x_1$을 넣으면 분모가 $0$이 되고, 동시에 분자도 $f(x_1) - f(x_1) = 0$이 된다. $0/0$은 값이 정해지지 않는다.

그러므로 접선의 기울기는 (1.1)에 값을 대입하는 것으로는 얻을 수 없다. 새로운 정의가 필요하다.

**접선 문제**: 곡선 위의 한 점에서의 기울기를 어떻게 정의할 것인가.

## 3. 아르키메데스의 구적법(method of exhaustion)

아르키메데스는 포물선으로 잘린 조각의 넓이를 구했다. 그가 쓴 방법을 구적법(method of exhaustion)이라 한다. 여기서는 그 방법을 1절에서 고정한 영역 $\Omega_b$에 적용한다.

### 안쪽 도형과 바깥쪽 도형

구간 $[0, b]$를 $n$등분한다. 분할점을

$$
x_k = \frac{kb}{n} \qquad (k = 0, 1, \dots, n)
\tag{1.2}
$$

이라 두면 각 부분구간 $[x_{k-1},\, x_k]$의 폭은 모두 $b/n$이다.

$x \ge 0$에서 $x^2$은 증가한다. 따라서 부분구간 $[x_{k-1},\, x_k]$ 위에서 함숫값의 최솟값은 왼쪽 끝의 값 $x_{k-1}^2$이고 최댓값은 오른쪽 끝의 값 $x_k^2$이다.

각 부분구간마다 밑변이 그 구간이고 높이가 최솟값인 직사각형을 세운다. 이 직사각형들은 모두 $\Omega_b$ 안에 들어간다. 이들을 모은 도형의 넓이를 $s_n$이라 쓴다. 높이를 최댓값으로 바꾸면 직사각형들이 $\Omega_b$를 덮는다. 이 도형의 넓이를 $S_n$이라 쓴다. 소문자가 안쪽이고 대문자가 바깥쪽이다.

직사각형의 넓이는 가로와 세로의 곱이므로

$$
s_n = \sum_{k=1}^{n} x_{k-1}^{\,2}\cdot\frac{b}{n}
    = \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{kb}{n}\right)^{2}\frac{b}{n}
    = \frac{b^3}{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2
\tag{1.3}
$$

이다. 마지막 등호에서 $b^3/n^3$을 합 밖으로 빼냈고, $k = 0$인 항은 $0$이므로 합의 시작을 $k = 1$로 바꾸었다.

같은 방식으로 바깥쪽 도형의 넓이는 다음과 같다.

$$
S_n = \sum_{k=1}^{n} x_k^{\,2}\cdot\frac{b}{n} = \frac{b^3}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k^2
\tag{1.4}
$$

### 두 넓이를 $n$의 식으로 쓴다

(1.3)과 (1.4)를 계산하려면 제곱수의 합을 알아야 한다. 그 값은

$$
\sum_{k=1}^{m}k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}
\tag{1.5}
$$

이다. (1.5)를 어떻게 얻는지는 지금 다루지 않고 결과만 쓴다.

(1.5)를 $m = n-1$에 적용하여 (1.3)에 넣는다.

$$
s_n = \frac{b^3}{n^3}\cdot\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{b^3(n-1)(2n-1)}{6n^2}
\tag{1.6}
$$

(1.5)를 $m = n$에 적용하여 (1.4)에 넣는다.

$$
S_n = \frac{b^3}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{b^3(n+1)(2n+1)}{6n^2}
\tag{1.7}
$$

(1.6)과 (1.7)의 분자를 전개하면 $ (n-1)(2n-1) = 2n^2 - 3n + 1$이고 $(n+1)(2n+1) = 2n^2 + 3n + 1$이다. 각각 $6n^2$으로 나누어 항별로 정리하면 다음을 얻는다.

$$
s_n = \frac{b^3}{3} - \frac{b^3}{2n} + \frac{b^3}{6n^2},
\qquad
S_n = \frac{b^3}{3} + \frac{b^3}{2n} + \frac{b^3}{6n^2}
\tag{1.8}
$$

(1.8)에서 두 가지를 읽는다.

**첫째, 두 넓이의 차이가 간단하다.** (1.8)의 두 식을 빼면 가운데 항만 두 배로 남고 나머지는 상쇄된다.

$$
S_n - s_n = 2\cdot\frac{b^3}{2n} = \frac{b^3}{n}
\tag{1.9}
$$

**둘째, $b^3/3$은 언제나 두 값 사이에 있다.**

$$
s_n < \frac{b^3}{3} < S_n \qquad (n = 1, 2, 3, \dots)
\tag{1.10}
$$

(1.10)의 왼쪽 부등식을 확인하자. (1.8)에서

$$
\frac{b^3}{3} - s_n = \frac{b^3}{2n} - \frac{b^3}{6n^2} = \frac{b^3(3n-1)}{6n^2}
\tag{1.11}
$$

이다. $n \ge 1$이므로 $3n - 1 \ge 2 > 0$이고, $b > 0$이므로 (1.11)의 값은 양수이다. 따라서 $s_n < b^3/3$이다. 오른쪽 부등식은 (1.8)에서 $S_n - b^3/3 = b^3/(2n) + b^3/(6n^2) > 0$이므로 곧바로 나온다.

$b = 1$일 때 몇 개의 $n$에 대해 값을 적으면 다음과 같다.

| $n$ | $s_n$ | $S_n$ | $S_n - s_n$ | $b^3/n$ |
|---|---|---|---|---|
| 4 | 0.21875 | 0.46875 | 0.25 | 0.25 |
| 10 | 0.285 | 0.385 | 0.1 | 0.1 |
| 40 | 0.3209375 | 0.3459375 | 0.025 | 0.025 |

세 줄 모두에서 $s_n < 1/3 < S_n$이고, 차이는 (1.9)가 말하는 $1/n$과 일치한다.

### 넓이가 $b^3/3$임을 보인다

안쪽 도형은 $\Omega_b$에 포함되고 $\Omega_b$는 바깥쪽 도형에 포함된다. 1절에서 넓이가 포함 관계를 따른다고 두었으므로

$$
s_n \le A \le S_n \qquad (n = 1, 2, 3, \dots)
\tag{1.12}
$$

이다. 이제 (1.12)를 만족하는 수가 $b^3/3$ 하나뿐임을 보인다.

논증에 쓸 사실을 하나 미리 밝혀 둔다. **양수 $d$가 무엇이든, $b^3/n < d$가 되는 자연수 $n$이 있다.** 이 사실이 어디서 오는지는 아직 확정하지 않았다. 여기서는 성립한다고 두고 쓴다.

```{prf:theorem} 포물선 아래 영역의 넓이
:label: thm-1-archimedes

$A$가 모든 자연수 $n$에 대하여 (1.12)를 만족하면 $A = b^3/3$이다.
```

```{prf:proof}
$A \ne b^3/3$이라고 하자. 그러면 $A > b^3/3$이거나 $A < b^3/3$이다. 두 경우를 각각 살펴본다.

**(가) $A > b^3/3$인 경우.** $d = A - b^3/3$이라 두면 $d > 0$이다. 위에서 밝혀 둔 사실에 의하여 $b^3/n < d$가 되는 자연수 $n$을 하나 고를 수 있다. 그 $n$을 고정한다.

$A - s_n$을 두 부분으로 쪼갠다.

$$
A - s_n = \left(A - \frac{b^3}{3}\right) + \left(\frac{b^3}{3} - s_n\right)
$$

첫 번째 괄호는 $d$이다. 두 번째 괄호는 (1.10)에 의하여 양수이다. 따라서

$$
A - s_n > d > \frac{b^3}{n} = S_n - s_n
$$

이다. 마지막 등호에서 (1.9)를 썼다. 양변에 $s_n$을 더하면 $A > S_n$이다. 이것은 (1.12)의 오른쪽 부등식에 어긋난다.

**(나) $A < b^3/3$인 경우.** $d = b^3/3 - A$라 두면 $d > 0$이다. 같은 방식으로 $b^3/n < d$가 되는 $n$을 고정한다.

$$
S_n - A = \left(S_n - \frac{b^3}{3}\right) + \left(\frac{b^3}{3} - A\right)
$$

첫 번째 괄호는 (1.10)에 의하여 양수이고 두 번째 괄호는 $d$이다. 따라서

$$
S_n - A > d > \frac{b^3}{n} = S_n - s_n
$$

이다. 양변에서 $S_n$을 빼면 $-A > -s_n$이다. 양변에 $-1$을 곱하면 **부등호의 방향이 뒤집혀** $A < s_n$이 된다. 이것은 (1.12)의 왼쪽 부등식에 어긋난다.

(가)와 (나)가 모두 모순이므로 $A \ne b^3/3$은 성립할 수 없다. 따라서 $A = b^3/3$이다.
```

```{admonition} 흔한 오해 — 이 논증에는 극한이 없다
:class: caution

$n$을 키우면 $s_n$과 $S_n$이 $b^3/3$에 다가간다고 읽기 쉽다. 그러나 위 증명에 등장한 것은 유한개의 직사각형, 부등식 (1.9)와 (1.10)과 (1.12), 그리고 귀류법뿐이다. $n$이 무한히 커지는 상황을 다루지 않았고, "다가간다"는 말도 쓰지 않았다.

증명이 실제로 한 일은 다음과 같다. $b^3/3$이 아닌 수를 하나 가져오면 그 수를 배제할 수 있는 $n$이 반드시 있다는 것을 보였다. 후보를 하나씩 배제한 것이지, 무언가를 무한히 반복한 것이 아니다.
```

## 4. 이 강의가 다루는 순서

이 강의는 넓이 문제를 먼저 다룬다. 이유는 두 가지이다.

**첫째, 3절의 논증에는 극한이 필요하지 않았다.** 필요했던 것은 유한한 $n$에 대한 부등식과 귀류법, 그리고 "양수 $d$가 무엇이든 $b^3/n < d$가 되는 $n$이 있다"는 사실뿐이다. 우리는 이 구조를 그대로 확장하여 넓이를 정의할 수 있다. 다만 그러려면 마지막 사실이 어디서 오는지를 확정해야 한다.

**둘째, 접선 문제에는 극한이 필요하다.** 2절에서 본 것처럼 (1.1)은 두 점이 같아지는 순간 값을 잃는다. 이 상황을 다루려면 "$x_2$를 $x_1$에 가져간다"는 말을 정확한 뜻으로 정의해야 한다. 그 정의는 넓이를 정의하는 것보다 더 많은 준비를 요구한다.

```{admonition} 흔한 오해 — 두 문제의 관계를 미리 가정하는 것
:class: caution

넓이와 접선 사이에 관계가 있다는 이야기를 들은 적이 있을 수 있다. 그러나 지금까지 우리가 확인한 범위에서 두 문제는 무관하다. 3절의 논증 어디에도 접선이 등장하지 않았고, 2절의 물음 어디에도 넓이가 등장하지 않았다.

이 강의에서는 두 문제를 각각 따로 정의하고 따로 다룬다. 관계가 있다면 그것은 정의에 넣어 두는 것이 아니라 증명해야 하는 것이다.
```

## 마치며

이번 회차에서는 미적분의 출발점이 된 두 문제를 확인하였다. 넓이 문제와 접선 문제이다. 그리고 아르키메데스가 포물선 조각의 넓이를 구한 방법을 살펴보았다. 안쪽에서 채우는 도형과 바깥쪽에서 덮는 도형을 만들고, 두 넓이의 차이를 원하는 만큼 작게 만든 다음, 참값이 될 수 없는 후보를 하나씩 배제하는 방법이었다.

이 방법에는 극한이 등장하지 않는다. 등장하는 것은 유한개의 직사각형과 부등식뿐이다. 우리는 이 구조를 그대로 확장하여 넓이를 정의할 것이다. 다만 그러려면 먼저 부등식을 다룰 수 있는 수 체계가 무엇인지 확정해야 한다.

다음 회차에서는 증명을 쓰는 방법과 집합의 언어를 정리하도록 하자.

```{admonition} 이어서
:class: note
같은 회차의 실험: {doc}`L01_lab`
```