제42장 · 쌓임과 잉여 — 총량은 적분이다#
이 장
도입#
고속도로에서 속도계가 시속 \(100\) km를 가리키고 있다. 이 값 하나만으로는 서울에서 몇 km를 이동했는지 알 수 없다. 그래서 자동차에는 속도계와 별도로 주행거리계가 달려 있다. 속도계는 지금 이 순간의 빠르기를, 주행거리계는 지금까지 이동한 거리를 표시한다. 두 계기는 서로 다른 양을 측정하며, 서로 다른 질문에 답한다.
경제 뉴스에서는 이 두 계기에 해당하는 양이 자주 혼용된다.
“물가 상승률이 \(3\%\) 에서 \(1.5\%\) 로 낮아졌습니다.”
이것은 속도계에 해당하는 서술이다. 물가가 올라가는 속도가 절반이 되었다는 뜻이지, 물가가 내렸다는 뜻이 아니다. 지수 \(100\) 은 한 해에 \(103\) 이 되고 그다음 해에 \(103 \times 1.015 = 104.545\) 가 된다. 물가는 두 해 내내 올랐다. 그럼에도 이 문장은 물가 수준이 낮아졌다는 뜻으로 오독되는 경우가 있다. 속도계의 눈금을 주행거리계의 눈금으로 읽은 것이다.
“재정적자 규모가 작년보다 줄었습니다.”
같은 유형의 혼동이다. 적자는 한 해 동안 새로 빌린 돈, 곧 속도에 해당한다. 국가부채는 지금까지 빌린 돈의 총합, 곧 거리에 해당한다. 적자가 양수인 한 부채는 계속 는다. 적자가 줄었다는 것은 부채가 더 천천히 는다는 뜻이다.
앞의 제41장에서는 미분으로 속도계에 해당하는 양을 구했다. 총비용에서 한계비용을, 총수입에서 한계수입을 얻었다. 이 장은 그 반대 방향이다. 속도계에서 주행거리계를 복원하는 연산, 즉 적분이다. 또한 적분은 곡선과 곡선 사이에 남는 넓이가 시장에서 실제로 발생한 이득의 크기라는 결과를 함께 제공한다. 소비자잉여와 생산자잉여가 그것이다.
이 장을 지나면 다음 세 문장이 같은 구조임을 확인한다.
속도를 시간에 대해 쌓으면 거리다.
한계비용을 수량에 대해 쌓으면 변동비다.
수요곡선 아래에서 가격선 윗부분을 쌓으면 소비자잉여다.
흐름을 쌓으면 총량이 된다 — 스톡과 플로우#
두 종류의 양#
경제에서 다루는 수는 크게 두 종류다. 이 구분을 혼동하면 이후의 계산이 전부 어긋난다.
플로우(flow, 유량)는 기간당 측정되는 양이다. 단위에 반드시 “~당”이 붙는다. 월급 \(300\)만원/월, 연간 적자 \(60\)조원/년, 시간당 매출 \(12\)만원/시간.
스톡(stock, 저량)은 어느 한 시점에서 측정되는 양이다. 단위에 시간이 붙지 않는다. 통장 잔고 \(2{,}400\)만원, 국가부채 \(1{,}200\)조원, 창고 재고 \(600\)개.
플로우 (기간당) |
대응하는 스톡 (시점) |
|---|---|
소득 (원/년) |
자산 (원) |
재정적자 (원/년) |
국가부채 (원) |
투자 (원/년) |
자본 (원) |
출생 − 사망 (명/년) |
인구 (명) |
유입 − 방류 (톤/시간) |
저수량 (톤) |
온실가스 배출 (톤/년) |
대기 중 축적량 (톤) |
감가상각 (원/년) |
장부가 (원) |
표의 왼쪽 열을 오른쪽 열로 옮기는 연산이 적분이고, 오른쪽에서 왼쪽으로 가는 연산이 미분이다.
이것이 제33장의 미적분 기본정리를 경제학의 용어로 옮긴 문장이다. 위 식이 맞는지 확인하는 가장 빠른 방법은 단위 검산이다. \(f\) 의 단위가 톤/시간이고 \(dt\) 의 단위가 시간이면, 곱한 것의 단위는 톤이다. 시간이 약분되면서 플로우가 스톡으로 바뀐다. 단위가 일치하지 않으면 식을 잘못 세운 것이다.
한계비용을 쌓으면 변동비#
이제 시간 대신 수량에 대해 쌓는다. 제41장에서 한계비용(\(MC\), 생산량을 한 단위 더 늘릴 때 추가로 드는 비용)은 총비용 함수의 도함수로 정의했다. 즉 \(MC(q) = C'(q)\) 이다. 그러므로 기본정리에 의해 다음이 성립한다.
여기서 \(C(0)\) 은 생산량이 \(0\) 일 때의 비용이다. 생산하지 않아도 지출되는 임대료, 설비 감가상각, 정규직 인건비, 보험료가 여기 해당한다. 이것을 고정비(fixed cost)라 부르고 \(F\) 로 쓴다. 그리고 \(\int_0^q MC\) 는 생산량에 따라 늘어나는 지출, 곧 변동비(variable cost)다. 원재료비, 포장비, 시간제 인건비가 여기 들어간다.
적분상수가 경제학에서 뜻하는 것#
부정적분에 붙는 적분상수 \(+\,C\) 는 이 장에서 실질적인 의미를 가진다.
한계비용 곡선만 주어진 경우에는 총비용을 결코 결정할 수 없다. \(MC(q) = 40q + 1200\) 이라는 정보는 \(C(q) = 20q^2 + 1200q + F\) 까지만 확정하고, \(F\) 가 \(0\) 원인지 \(8\) 억원인지는 판별하지 못한다. 미분하면 상수가 사라지기 때문이다.
경제적으로 이것은 다음을 뜻한다.
한계 정보는 수준(level)을 결정하지 못한다.
두 회사의 한계비용 곡선이 완전히 같아도, 한 곳은 자기 건물에서 영업하고 다른 곳은 월 \(3{,}000\)만원 임대료를 낸다면 두 회사의 손익은 전혀 다르다. 한계비용만 보고 “개당 \(4{,}000\)원에 팔면 남는다”고 판단하는 것은 적분상수를 무시한 것이다. 이러한 오류는 컨설팅 보고서와 창업 계획서에서 빈번하게 나타난다.
역으로 이 사실은 다음 원칙의 근거가 된다. 이미 지출된 고정비는 지금의 의사결정을 바꾸지 못한다. 상수는 미분하면 사라지므로, “몇 개를 더 만들 것인가”라는 한계적 질문의 답에는 \(F\) 가 들어오지 않는다. 이것이 회계에서 말하는 매몰비용 무시 원칙의 수학적 근거다.
기호 주의
경제학에서 총비용을 \(C(q)\) 로 쓰는 관습과, 부정적분의 적분상수를 \(C\) 로 쓰는 관습이 정면으로 충돌한다. 이 책에서는 고정비를 \(F\) 로 쓰고, 총비용 함수는 \(C(q)\) 로 쓴다.
고정비가 영구히 고정되는 것은 아니다. 임대차 계약이 끝나면 사무실을 옮길 수 있고, 설비도 매각할 수 있다. 그래서 경제학은 단기(고정비를 바꿀 수 없는 기간)와 장기(모든 비용이 변동비가 되는 기간)를 구분한다. 위의 \(F\) 는 단기에 해당하는 개념이다.
잉여 — 곡선 아래의 넓이가 “이득”인 이유#
수요곡선을 거꾸로 읽기#
수요곡선 \(P = P_D(Q)\) 를 읽는 익숙한 방식은 “가격이 \(P\) 일 때 \(Q\) 만큼 팔린다”이다. 이 장에서는 축을 바꿔 읽는다.
\(Q\) 번째 한 단위에서의 곡선 높이 \(P_D(Q)\) 는, 그 단위를 사 가는 사람이 최대로 낼 의향이 있는 금액이다.
이 최대 금액을 지불용의(willingness to pay)라 한다. 수요곡선이 우하향하는 이유가 여기 있다. 지불용의가 가장 높은 사람이 첫 번째 단위를 사고, 그다음으로 높은 사람이 두 번째 단위를 산다. 뒤로 갈수록 지불용의는 낮아진다.
이제 시장가격이 \(P^*\) 로 정해져 있다. 첫 번째 단위를 사는 사람의 지불용의는 \(P_D(0)\) 인데 실제로 낸 금액은 \(P^*\) 이다. 차액 \(P_D(0) - P^*\) 만큼이 이득이다. 두 번째 사람의 이득은 \(P_D(\Delta Q) - P^*\) 이다. 이렇게 \(\Delta Q\) 폭짜리 직사각형을 하나씩 세워 나가면 다음을 얻는다.
이것은 제32장에서 넓이를 만들 때 쌓았던 직사각형과 동일한 대상이다. \(\Delta Q \to 0\) 의 극한을 취하면 다음이 된다.
말로 하면 수요곡선 아래, 가격선 위의 넓이다. 두 곡선(수요곡선과 수평선 \(P = P^*\)) 사이의 넓이이므로 제35장의 도구가 그대로 적용된다.
생산자 쪽#
공급곡선 \(P = P_S(Q)\) 의 높이도 같은 방식으로 읽는다. 그 높이는 \(Q\) 번째 단위를 만드는 데 드는 추가 비용, 곧 한계비용이다. 앞 절에서 정의한 \(MC\) 와 같다. 판매자는 \(P^*\) 를 받고 \(MC\) 만큼 지출했으므로 차액이 이득이다.
여기서 앞 절과 이 절이 연결된다. 오른쪽 식은 수입에서 변동비를 뺀 값, 회계에서 공헌이익(contribution margin)이라 부르는 값이다. 그리고 다음이 성립한다.
생산자잉여는 이윤이 아니다. 고정비만큼 차이가 난다. 이 구분을 흐리면 “생산자잉여가 양수이므로 이 사업은 이익을 낸다”는 틀린 결론에 이른다. 정확히는 다음과 같다. 생산자잉여가 양수이면 조업을 계속하는 것이 중단하는 것보다 유리하다(고정비는 조업 여부와 무관하게 발생하므로). 이윤이 양수이려면 생산자잉여가 고정비를 넘어야 한다.
총잉여와 자중손실#
수요곡선과 공급곡선 사이의 넓이다. 두 곡선이 만나는 점(균형)까지 쌓으면 이 넓이가 최대가 된다. 그 지점을 넘어가면 \(P_D < P_S\) 가 되어 적분값이 감소하기 때문이다.
세금이나 규제로 거래량이 균형보다 줄면, 거래되지 못한 구간에서 잉여가 사라진다. 그 사라진 넓이 중 정부 세수로도 가지 않고 아무에게도 귀속되지 않는 부분을 자중손실(deadweight loss, 후생손실)이라 하고, 수요·공급이 직선이면 삼각형 모양이 된다.
연속 현금흐름의 현재가치#
제39장에서 미래의 돈을 현재 시점으로 환산할 때 다음 식을 사용했다.
일 년에 한 번 들어오는 돈이라면 이 식으로 충분하다. 그러나 월세는 매달, 카페 매출은 매 시간, 유료 구독 수익은 사실상 끊김 없이 들어온다. 지급 간격을 잘게 나누어 본다. 연이율 \(r\) 을 한 해에 \(n\) 번 나눠 복리로 붙이면 \(\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}\) 이고, \(n \to \infty\) 의 극한에서 이 값은 \(e^{rt}\) 가 된다(제22장에서 다룬 극한이다). 따라서 할인계수는 \(e^{-rt}\) 다.
\(f(t)\) 는 시각 \(t\) 에서의 현금흐름의 속도(원/년)이고, \(e^{-rt}\) 는 그 시각의 돈을 현재 값으로 환산하는 배율이다. 여기서 \(r\) 을 연속복리 할인율이라 한다.
흐름이 일정할 때(\(f(t) = A\))는 닫힌 형태로 계산된다.
\(T \to \infty\) 로 보내면 \(e^{-rT} \to 0\) 이므로 다음이 된다.
이것이 영구흐름(perpetuity)의 현재가치다. 연 \(600\)만원이 영구히 발생하고 할인율이 \(4\%\) 라면 그 현재가치는 \(600/0.04 = 15{,}000\)만원, 곧 \(1\)억 \(5{,}000\)만원이다. 적분 구간이 무한하더라도 할인계수가 지수적으로 감소하므로 넓이는 유한한 값에 수렴한다.
빈번한 오류
\(T\) 년에 걸쳐 총 \(A \times T\) 원이 들어오는 흐름의 현재가치를 \(AT \cdot e^{-rT}\) 로 계산하는 것. 이 값은 그 금액 전부를 마지막 날 한 번에 받는 경우의 현재가치다. 흐름은 도중에 계속 들어오므로 할인이 훨씬 덜 된다. 두 값의 차이는 크다.
불평등을 넓이로 재기 — 로렌츠 곡선과 지니계수#
소득이 얼마나 고르게 분포하는지를 하나의 수로 나타낼 때 평균은 지표가 되지 못한다. 평균 소득이 같아도 분포는 얼마든지 다를 수 있다.
로렌츠 곡선(Lorenz curve)은 다음과 같이 정의한다. 인구를 소득이 낮은 쪽부터 정렬한다. 가로축 \(x\) 는 앞에서부터 센 인구의 누적 비율(\(0\) 에서 \(1\)), 세로축 \(L(x)\) 는 그 인구가 가진 소득의 누적 비율이다.
정의상 \(L(0) = 0\), \(L(1) = 1\) 이다. 낮은 쪽부터 정렬했으므로 곡선은 증가하면서 아래로 볼록하다(뒤로 갈수록 소득이 큰 사람이 더해지므로 기울기가 점점 커진다). 그리고 모두가 똑같이 벌면 \(L(x) = x\) 라는 직선, 곧 완전평등선이 된다.
곡선 |
뜻 |
|---|---|
\(L(x) = x\) |
완전평등 — 하위 \(30\%\) 가 소득의 \(30\%\) 를 갖는다 |
\(L(x) = x^2\) |
하위 \(30\%\) 가 소득의 \(9\%\) 를 갖는다 |
\(L(x) = 0\) (단, \(L(1)=1\)) |
한 사람이 전부 갖는다 |
완전평등선과 실제 로렌츠 곡선 사이에 낀 넓이를 \(A\), 로렌츠 곡선 아래 넓이를 \(B\) 라 한다. \(A + B\) 는 삼각형 넓이이므로 항상 \(\tfrac{1}{2}\) 이다. 지니계수(Gini coefficient)는 이 두 넓이의 비다.
\(G = 0\) 이면 완전평등이고, \(G\) 가 \(1\) 에 가까울수록 불평등하다. 실제 국가들의 처분가능소득 지니계수는 대체로 \(0.25\) 에서 \(0.5\) 사이에 놓인다.
예를 들어 \(L(x) = x^2\) 이면 다음과 같다.
지니계수는 넓이의 비이므로 단위가 없고, 소득 수준이 열 배가 되어도 분포 모양이 같으면 값이 변하지 않는다. 국가 간, 시대 간 비교가 가능한 이유다.
다만 하나의 수로 요약하면 분포의 정보 일부가 소실된다. 로렌츠 곡선이 서로 교차하는 두 나라는 지니계수가 같아도 불평등의 성격이 전혀 다를 수 있다. 한쪽은 최상위 소득의 비중이 크고, 다른 쪽은 중간층의 비중이 작을 수 있다. 지니계수는 그 차이를 구분하지 못한다.
구간 평균 — \(\frac{1}{b-a}\int_a^b f\) 의 근거#
수 \(n\) 개의 평균은 \(\frac{1}{n}\sum x_i\) 다. 그런데 재고처럼 매 순간 값이 달라지는 양은 값이 무한히 많으므로, 개수로 나누는 방식을 그대로 적용할 수 없다.
리만합에서 출발하면 답이 나온다. 구간 \([a,b]\) 를 \(n\) 등분하면 \(\Delta x = \frac{b-a}{n}\) 이므로 다음이 성립한다.
기하학적으로는 더 간단하다. 곡선 아래 넓이와 같은 넓이를 갖는 직사각형의 높이가 평균이다. 그래서 \(\bar f \times (b-a) = \int_a^b f\) 가 항상 성립하고, 이것이 그대로 검산이 된다.
경제에서 이 식이 쓰이는 예는 많다. 한 달 평균 재고, 하루 평균 매출률, 기간 평균 이자율, 연평균 가동률이 여기 해당한다.
시간가중 평균과 수량가중 평균은 다르다
어느 가게가 오전 \(6\) 시간은 개당 \(1{,}000\)원, 오후 \(6\) 시간은 \(2{,}000\)원에 팔았다. 시간에 대한 평균 가격은 \(\frac{1}{12}\int_0^{12}p(t)dt = 1{,}500\)원이다.
그런데 오전에 \(900\)개, 오후에 \(100\)개가 팔렸다면 실제로 지불된 평균 판매가는 다음과 같다.
\(400\)원 차이가 난다. 무엇으로 가중할지를 정하지 않은 “평균”은 의미가 없다. 일반형은 다음과 같다.
금융에서 거래량가중평균가격(VWAP)이라 부르는 것이 이 식이다.
시나리오 문제#
계산기가 필요한 문항은 별도로 표시한다. 나머지 문항은 손 계산으로 완결된다.
문제 1 · 비누 공방의 장부 ★☆☆#
상황 — 성수동에서 수제 비누를 만드는 한도윤은 회계사에게 “한계비용 곡선”이라는 자료를 받았다. 한 달에 \(q\) 개를 만들 때 \(q\) 번째 한 개를 더 만드는 데 드는 비용이 \(MC(q) = 40q + 1200\) (원)이라는 내용이다. 작업장 월세와 설비 감가상각으로는 생산량과 무관하게 매달 \(800{,}000\) 원이 나간다.
모형 설정 — 한 달에 \(100\) 개를 만들 때의 총비용을 구한다. 한계비용 곡선만으로 총비용을 복원하면 결정되지 않는 값이 하나 남는다. 그 값을 임의의 상수로 둘 것인지, 장부의 특정 항목으로 해석할 것인지가 이 문제의 분기점이다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — 한 달 총비용 \(C(100)\). ② 주어진 값 — \(MC(q) = C'(q) = 40q + 1200\), 생산량과 무관한 지출 \(800{,}000\)원/월. ③ 관계식 — \(\displaystyle C(q) = F + \int_0^q (40x + 1200)\,dx\), 여기서 \(F = 800{,}000\). ④ 사용 도구 — 제33장 FTC, 제41장 한계비용 ⑤ 모형의 한계 — 이 식은 \(100\) 개를 만드는 데 드는 비용만 말한다. 그 \(100\) 개가 팔리는지, 다음 달 월세가 오를지는 곡선 바깥의 사항이다.
풀이와 검산
변동비부터 구한다.
여기에 고정비를 더한다.
개당 평균비용은 \(1{,}120{,}000 \div 100 = 11{,}200\) 원이다.
답 — 총비용 \(1{,}120{,}000\) 원(고정비 \(800{,}000\) + 변동비 \(320{,}000\)), 개당 평균 \(11{,}200\) 원. 한계비용 곡선만으로 결정되지 않고 남는 상수는 고정비다.
검산 — \(C(q) = 20q^2 + 1200q + 800{,}000\) 을 미분하면 \(40q + 1200\) 으로 원래 한계비용이 복원된다. 또 \(C(0) = 800{,}000\) 이 고정비와 일치한다.
빈번한 오류 — \(MC(100) = 5{,}200\) 원에 \(100\) 을 곱해 변동비를 \(520{,}000\) 원이라 하는 것. 한계비용은 마지막 한 개의 비용이지 평균이 아니다. 한계비용 곡선의 높이는 \(0\) 개 지점의 \(1{,}200\) 원에서 \(100\) 개 지점의 \(5{,}200\) 원까지 오르므로 평균 높이는 그 중간인 \(3{,}200\) 원이고, 실제 변동비는 \(3{,}200 \times 100 = 320{,}000\) 원이다.
확장 — 고정비를 모르는 컨설턴트가 개당 평균 변동비 \(3{,}200\) 원을 근거로 “개당 \(4{,}000\) 원에 팔면 남습니다”라고 조언한 경우를 본다. \(100\) 개를 팔면 수입 \(400{,}000\) 원, 변동비 \(320{,}000\) 원, 공헌이익 \(80{,}000\) 원이다. 고정비 \(800{,}000\) 원을 감안하면 이 사업은 매달 \(720{,}000\) 원의 손실을 낸다. 적분상수를 무시한 조언이 어떤 결과로 이어지는지 보여 주는 예다.
문제 2 · 콘서트 예매창 ★☆☆#
상황 — 어느 실내 공연장의 티켓 수요곡선이 \(P = 12{,}000 - 20Q\) (원, \(Q\) 는 티켓 장수)로 추정되었다. 주최 측은 티켓 가격을 \(6{,}000\) 원으로 정했고, 그 가격에서 \(300\) 장이 팔렸다.
모형 설정 — 티켓을 산 \(300\) 명이 지불한 금액을 초과해 얻은 몫을 계산한다. 각자의 지불용의는 직접 관측되지 않는다. 수요곡선의 높이를 “그 수량에서의 시장가격”으로 읽을 것인지 “그 한 장을 사는 사람의 최대 지불용의”로 읽을 것인지가 분기점이다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — 소비자잉여 \(CS\). ② 주어진 값 — \(P_D(Q) = 12{,}000 - 20Q\), \(P^* = 6{,}000\), \(Q^* = 300\). ③ 관계식 — \(\displaystyle CS = \int_0^{300}\big(12{,}000 - 20Q\big)dQ - 6{,}000 \times 300\). ④ 사용 도구 — 제32장 직사각형 쌓기, 제35장 두 곡선 사이 넓이 ⑤ 모형의 한계 — 이 넓이는 표를 구매한 사람들의 이득만 계산한다. \(6{,}000\) 원이라는 가격 때문에 구매를 포기한 사람의 손실은 이 넓이에 포함되지 않는다.
풀이와 검산
먼저 가격과 수량이 곡선 위에서 일치하는지 확인한다. \(12{,}000 - 20 \times 300 = 12{,}000 - 6{,}000 = 6{,}000\) 으로 일치한다.
이것은 \(300\) 명 전체의 지불용의 합이다. 실제로 지불된 금액은 다음과 같다.
답 — 소비자잉여 \(900{,}000\) 원. 한 사람당 평균 \(3{,}000\) 원.
검산 — 수요곡선이 직선이므로 잉여는 삼각형이다. 밑변 \(300\), 높이 \(12{,}000 - 6{,}000 = 6{,}000\).
빈번한 오류 — \(2{,}700{,}000\) 원(수요곡선 아래 전체 넓이)을 소비자잉여라고 부르는 것. 그 값은 총지불용의이고, 실제로 지불된 \(1{,}800{,}000\) 원을 빼야 이득이 된다.
확장 — 티켓 가격을 \(8{,}000\) 원으로 올리면 \(Q = 200\) 이 되고 소비자잉여는 \(\tfrac12 \times 200 \times 4{,}000 = 400{,}000\) 원으로 줄어든다. 주최 측 수입도 \(1{,}800{,}000\) 원에서 \(8{,}000 \times 200 = 1{,}600{,}000\) 원으로 줄어든다. 양쪽 모두 감소한다. 가격을 올려도 수입이 늘지 않는 이 구간이 제41장에서 다룬 탄력적 구간이다.
문제 3 · 논산 딸기 ★★☆#
상황 — 논산의 딸기 농가 연합이 하루 출하량과 최소 수취 가격의 관계를 조사했다. 하루 \(Q\) 상자를 출하하게 하려면 상자당 최소 \(P = 4{,}000 + 30Q^2\) (원)을 지급해야 한다는 결과가 나왔다. 오늘 도매시장 가격은 상자당 \(16{,}000\) 원이다.
모형 설정 — 농가가 오늘 얻는 이득을 계산하려면 공급곡선의 높이를 무엇으로 읽어야 하는지 정한다. 그리고 그렇게 구한 값을 그대로 이윤이라 부를 수 있는지 확인해야 한다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — 오늘의 출하량 \(Q^*\) 와 생산자잉여 \(PS\). ② 주어진 값 — \(P_S(Q) = 4{,}000 + 30Q^2\)(= 한계비용 곡선), \(P^* = 16{,}000\). ③ 관계식 — \(16{,}000 = 4{,}000 + 30Q^2\) 로 \(Q^*\) 를 찾고, \(\displaystyle PS = P^*Q^* - \int_0^{Q^*}(4{,}000 + 30Q^2)\,dQ\). ④ 사용 도구 — 제17장 이차방정식, 제33장 FTC ⑤ 모형의 한계 — 이 넓이는 오늘 하루에 해당하는 값이다. 딸기 농사에 투입된 지난 반년의 노동과 하우스 시설비는 이 계산에 포함되지 않는다.
풀이와 검산
출하량부터 구한다.
공급곡선 아래 넓이(= 총 변동비)는 다음과 같다.
수입은 \(16{,}000 \times 20 = 320{,}000\) 원이므로 다음이 된다.
답 — 하루 출하량 \(20\) 상자, 생산자잉여 \(160{,}000\) 원. 이 값은 수입 − 변동비, 곧 공헌이익이다.
검산 — 수입 사각형의 넓이 \(320{,}000\) 이 공급곡선에 의해 정확히 반으로 나뉜다. 아래쪽 \(160{,}000\) 이 비용, 위쪽 \(160{,}000\) 이 잉여다. 합이 수입과 같으므로 일치한다.
빈번한 오류 — \(PS\) 를 이윤이라 부르는 것. 하우스 감가상각·토지 임차료 같은 고정비가 하루로 환산해 \(200{,}000\) 원이라면 오늘의 이윤은 \(160{,}000 - 200{,}000 = -40{,}000\) 원이다. 그럼에도 오늘 출하하는 것이 유리하다. 출하하지 않으면 손실이 \(-200{,}000\) 원이 되기 때문이다. 생산자잉여가 양수인 한 조업을 계속하는 편이 낫다는 원칙이 여기서 나온다.
확장 — 가격이 \(7{,}000\) 원으로 하락하면 \(30Q^2 = 3{,}000\) 이므로 \(Q^* = 10\) 상자다. 잉여는 \(70{,}000 - (40{,}000 + 10{,}000) = 20{,}000\) 원이다. 가격은 \(44\%\) 수준으로 떨어졌는데 잉여는 \(12.5\%\) 로 떨어진다. 잉여는 가격보다 큰 폭으로 변한다. 농산물 가격이 소폭 하락해도 농가의 수취 잉여가 크게 감소하는 이유가 이 넓이의 형태에 있다.
문제 4 · 유류세 \(200\)원 ★★★#
상황 — 어느 소규모 주유소의 경유 시장을 하루 단위로 보면, 수요곡선이 \(P = 2{,}000 - 0.5Q\), 공급곡선이 \(P = 800 + 0.5Q\) 다(\(P\) 는 리터당 원, \(Q\) 는 하루 판매량(리터)). 정부가 리터당 \(200\) 원의 유류세를 판매자에게 부과하기로 했다.
모형 설정 — 세금이 부과되면 소비자가 지불하는 가격과 판매자가 수취하는 가격이 분리된다. 미지수를 새 거래량 하나로 둘 것인지, 두 가격 \(P_d\) 와 \(P_s\) 를 따로 둘 것인지를 정한다. 그리고 세금 때문에 사라진 잉여가 전부 정부 세수로 이전되었는지 확인한다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — 세후 거래량, 세수, 그리고 아무에게도 귀속되지 않고 사라진 넓이. ② 주어진 값 — \(P_D(Q) = 2{,}000 - 0.5Q\), \(P_S(Q) = 800 + 0.5Q\), 단위세 \(t = 200\). ③ 관계식 — 세후 균형은 \(P_d - P_s = 200\) 이면서 두 곡선 위에 있어야 하므로 \(2{,}000 - 0.5Q = (800 + 0.5Q) + 200\). 자중손실은 \(\tfrac12 t\,\Delta Q\). ④ 사용 도구 — 제18장 연립방정식, 제35장 두 곡선 사이 넓이 ⑤ 모형의 한계 — 이 삼각형을 손실로 판정하는 것은 경유 연소가 제삼자에게 부과하는 비용(미세먼지, 온실가스, 도로 혼잡)을 \(0\) 으로 놓았을 때만 성립한다. 그 비용이 리터당 \(200\) 원을 넘는다면 이 세금은 손실을 만드는 것이 아니라 줄이는 것이다.
풀이와 검산
세금 전 균형.
세금 후 균형. 공급곡선이 세금만큼 위로 이동해 \(P = 1{,}000 + 0.5Q\) 가 된다.
거래량은 \(1{,}200 \to 1{,}000\) 으로 \(200\) 리터 줄었다.
세수 \(= 200 \times 1{,}000 = 200{,}000\) 원.
자중손실 \(= \tfrac12 \times 200 \times 200 = 20{,}000\) 원.
답 — 세후 거래량 \(1{,}000\) L, 소비자 지불가격 \(1{,}500\) 원, 판매자 수취가격 \(1{,}300\) 원. 하루 세수 \(200{,}000\) 원, 자중손실 \(20{,}000\) 원.
검산 — 잉여를 항목별로 계산해 대조한다.
세금 전 |
세금 후 |
변화 |
|
|---|---|---|---|
소비자잉여 |
\(\tfrac12(600)(1200) = 360{,}000\) |
\(\tfrac12(500)(1000) = 250{,}000\) |
\(-110{,}000\) |
생산자잉여 |
\(\tfrac12(600)(1200) = 360{,}000\) |
\(\tfrac12(500)(1000) = 250{,}000\) |
\(-110{,}000\) |
세수 |
\(0\) |
\(200{,}000\) |
\(+200{,}000\) |
합계 |
\(720{,}000\) |
\(700{,}000\) |
\(-20{,}000\) |
감소한 잉여 \(220{,}000\) 원 중 \(200{,}000\) 원은 정부로 이전되었고 \(20{,}000\) 원은 어디에도 귀속되지 않았다. 삼각형 공식과 일치한다.
빈번한 오류 — 세금을 판매자에게 부과했으므로 판매자가 전액 부담한다고 보거나, 반대로 \(P_d = 1{,}600\) 원이라 놓고 전액이 소비자에게 전가된다고 보는 것. 실제 전가는 수요와 공급의 기울기 비로 나뉜다. 여기서는 기울기가 \(0.5\) 로 같아 정확히 반반(\(+100\) / \(-100\))이다. 세금을 누구에게 부과하는지는 이 결과를 바꾸지 못한다.
확장 — 공급곡선이 훨씬 가파르면(재고를 이미 보유해 공급이 잘 줄지 않으면) 거래량이 덜 줄고, 부담은 판매자 쪽으로 기울며, 삼각형도 작아진다. 덜 반응하는 쪽이 더 많이 부담하고, 덜 반응하는 시장일수록 세금의 자중손실이 작다. 담배와 유류에 세금이 집중되는 이유의 하나가 이 성질이다.
문제 5 · 연금과 일시금 ★★☆ (계산기 사용)#
상황 — 통역사 서지현(\(48\)세)은 은퇴 설계 상담에서 두 가지 제안을 받았다. (가) 앞으로 \(10\) 년 동안 매년 \(2{,}400\) 만원씩 끊김 없이 들어오는 연금, (나) 지금 당장 받는 일시금 \(1\) 억 \(8{,}000\) 만원. 상담사는 연 \(5\%\) 연속복리로 할인해 비교할 것을 제안했다.
모형 설정 — “\(10\) 년이면 \(2\) 억 \(4{,}000\) 만원이므로 (가)가 낫다”는 판단이 성립하지 않는 이유를 확인한다. 두 제안을 비교하려면 기준 시점을 먼저 정해야 한다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — 연금 흐름의 현재가치. ② 주어진 값 — 흐름 \(f(t) = 2{,}400\) 만원/년(일정), \(r = 0.05\), \(T = 10\). ③ 관계식 — \(\displaystyle PV = \int_0^{10} 2{,}400\,e^{-0.05t}\,dt = \frac{2{,}400}{0.05}\big(1 - e^{-0.5}\big)\). ④ 사용 도구 — 제34장 치환적분, 제39장 할인 ⑤ 모형의 한계 — 이 비교는 명목금액 사이의 비교다. 연 \(2{,}400\) 만원이 물가와 무관하게 고정된 금액이라면 \(10\) 년째의 \(2{,}400\) 만원의 구매력은 현재의 \(2{,}400\) 만원보다 작다. 실질 기준으로 비교하려면 실질할인율(명목 할인율에서 예상 물가상승률을 뺀 값)을 사용해야 한다.
풀이와 검산
\(e^{-0.5} \approx 0.60653\) 이므로 다음이 된다.
답 — (가)의 현재가치는 약 \(1\) 억 \(8{,}887\) 만원이다. (나)의 \(1\) 억 \(8{,}000\) 만원보다 약 \(887\) 만원 크므로 (가)를 택한다.
검산 — 단순합 \(2\) 억 \(4{,}000\) 만원에 대한 비율은 \(18{,}886.5 \div 24{,}000 \approx 0.787\) 이다. 흐름 전체가 중간 시점인 \(t = 5\) 에 집중되어 있다고 근사하면 할인계수는 \(e^{-0.25} \approx 0.779\) 다. 두 값이 가깝다. 근사값이 조금 작게 나오는 것도 타당하다(할인계수 \(e^{-0.05t}\) 가 아래로 볼록하므로).
빈번한 오류 — \(24{,}000 \times e^{-0.5} \approx 14{,}557\) 만원이라고 계산하는 것. 이 값은 \(2\) 억 \(4{,}000\) 만원 전액을 \(10\) 년 뒤 한 시점에 받는 경우에 해당한다. 실제 흐름은 첫해부터 들어오므로 할인이 훨씬 덜 되고, 그래서 답이 \(4{,}300\) 만원가량 크다.
확장 — 이 연금이 기간 제한 없이 영구히 지급된다면 현재가치는 \(2{,}400 \div 0.05 = 48{,}000\) 만원, 곧 \(4\) 억 \(8{,}000\) 만원이다. \(10\) 년치가 그중 \(39.3\%\) 를 차지한다. 이후 무한한 기간이 전체의 \(60\%\) 에 그치는 이유는 할인이 지수적으로 커지기 때문이다. 할인율이 \(5\%\) 에서 \(10\%\) 로 오르면 영구흐름의 현재가치는 정확히 절반이 된다.
문제 6 · 장마철 저수지 ★★☆#
상황 — 저수용량 \(1{,}600\) 톤짜리 소규모 농업용 저수지가 있다. 비가 오기 시작한 시각을 \(t = 0\)(시간)으로 두면 하천에서 들어오는 물이 \(r_{\text{in}}(t) = 300 - 20t\) (톤/시간)으로 감소하고, 방류 수문은 일정하게 \(100\) 톤/시간을 내보낸다. \(t = 0\) 에 저수량은 \(500\) 톤이었다.
모형 설정 — 저수지가 넘치는지 판정하려면 무엇이 스톡이고 무엇이 플로우인지 먼저 구분해야 한다. 그리고 저수량이 최대가 되는 시각이 유입이 \(0\) 이 되는 때인지 순유입이 \(0\) 이 되는 때인지를 결정한다. 이 선택에 따라 답이 달라진다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — 저수량의 최댓값, 그리고 그 값이 \(1{,}600\) 톤을 넘는지 여부. ② 주어진 값 — 유입 \(300 - 20t\), 방류 \(100\)(둘 다 톤/시간), 초기 저수량 \(500\) 톤(톤). ③ 관계식 — 순유입 \(n(t) = 200 - 20t\), 저수량 \(\displaystyle S(T) = 500 + \int_0^T (200 - 20t)\,dt\). 최댓값은 \(S'(T) = n(T) = 0\) 에서 나온다. ④ 사용 도구 — 제30장 그래프 분석, 제33장 FTC ⑤ 모형의 한계 — 이 모형은 증발도 지하 침투도 제방 누수도 없다고 놓았다. 그리고 \(r_{\text{in}}\) 이 실제로 이 직선을 따를지는 기상의 문제이지 적분의 문제가 아니다.
풀이와 검산
순유입은 \(n(t) = (300 - 20t) - 100 = 200 - 20t\) (톤/시간)이다.
최댓값은 \(S'(T) = 200 - 20T = 0\), 즉 \(T = 10\) 시간에서 나타난다.
답 — 비가 시작된 지 \(10\) 시간 뒤 저수량이 \(1{,}500\) 톤으로 최대가 된다. 용량 \(1{,}600\) 톤을 넘지 않으므로 넘치지 않는다(여유 \(100\) 톤).
검산 — \(S(T) = 500 + 200T - 10T^2 = 1{,}500 - 10(T - 10)^2\) 로 완전제곱 형태로 정리하면 최댓값이 \(T = 10\) 에서 \(1{,}500\) 임이 바로 확인된다. 또 \(S''(T) = -20 < 0\) 이므로 위로 볼록, 곧 극대다.
빈번한 오류 — 유입 \(r_{\text{in}}(t) = 300 - 20t\) 가 \(0\) 이 되는 \(t = 15\) 를 최대 시각으로 잡는 것. 그 시각의 저수량은 \(S(15) = 500 + 3{,}000 - 2{,}250 = 1{,}250\) 톤으로 이미 감소하는 중이다. 유입이 방류보다 많으면 저수량은 계속 늘고, 유입이 방류 아래로 내려간 순간부터 줄기 시작한다. 유입이 \(0\) 이 되는 시각과는 무관하다.
확장 — 같은 구조가 국가재정에도 나타난다. 부채가 \(500\) 조원이고 재정적자 흐름이 \(60 - 20t\) (조원/년)이라면, 적자가 \(0\) 이 되는 \(t = 3\) 년까지 부채는 계속 늘어 \(500 + \int_0^3(60 - 20t)dt = 500 + 90 = 590\) 조원이 되고, 그 뒤에 감소하기 시작한다. 유입이 방류를 넘는 동안 저수량이 증가하는 것과 구조가 동일하다.
문제 7 · 두 나라의 로렌츠 곡선 ★★☆#
상황 — 통계 자료에 두 가상 국가의 로렌츠 곡선이 실려 있다. 가로축 \(x\) 는 소득이 낮은 쪽부터 센 인구의 누적 비율, 세로축은 그들이 가진 소득의 누적 비율이다.
모형 설정 — 두 곡선을 관찰해 “A국이 더 불평등하다”고 말하는 것과, 하나의 수로 “A국의 지니계수는 \(\square\)”라고 말하는 것은 다르다. 어떤 넓이를 어떤 넓이로 나눌 것인지 정한다. 완전평등선과의 사이 넓이를 그대로 답으로 낼 것인지, 정규화할 것인지가 분기점이다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — 두 나라의 지니계수 \(G_A\), \(G_B\). ② 주어진 값 — 완전평등선은 \(y = x\). 완전평등선과 로렌츠 곡선 사이 넓이를 \(A\), 로렌츠 곡선 아래를 \(B\) 라 하면 \(A + B = \tfrac12\). ③ 관계식 — \(\displaystyle G = \frac{A}{A+B} = 2\int_0^1\big(x - L(x)\big)dx\). ④ 사용 도구 — 제35장 두 곡선 사이 넓이, 제33장 FTC ⑤ 모형의 한계 — 지니계수는 한 시점의 분포를 나타낸다. 지니계수가 같더라도 해마다 구성원의 순위가 바뀌는 사회와 \(20\) 년째 순위가 고정된 사회는 전혀 다른데, 넓이는 그 차이를 담지 못한다. 세대 간 이동성은 로렌츠 곡선 바깥의 정보다.
풀이와 검산
A국.
B국. 먼저 피적분함수를 정리한다.
답 — \(G_A = \tfrac13 \approx 0.333\), \(G_B = \tfrac16 \approx 0.167\). B국이 더 평등하다. 지니계수가 정확히 절반이다.
검산 — 구체적인 지점으로 확인한다.
하위 \(50\%\) 의 소득 점유율 |
상위 \(10\%\) 의 소득 점유율 |
|
|---|---|---|
완전평등 |
\(50\%\) |
\(10\%\) |
A국 |
\(L_A(0.5) = 0.25 \to 25\%\) |
\(1 - L_A(0.9) = 1 - 0.81 = 19\%\) |
B국 |
\(L_B(0.5) = \tfrac{0.5+0.25}{2} = 0.375 \to 37.5\%\) |
\(1 - L_B(0.9) = 1 - 0.855 = 14.5\%\) |
두 지표 모두 B국이 완전평등에 가깝다. 지니계수의 대소와 일치한다.
빈번한 오류 — \(A = \int_0^1(x - L(x))dx\) 를 구하고 그 값을 그대로 지니계수라 부르는 것. A국이면 \(\tfrac16 \approx 0.167\) 이라는 값이 나온다. \(A\) 는 아무리 커도 \(\tfrac12\) 을 넘지 못하므로, \(0\) 에서 \(1\) 사이의 눈금으로 만들려면 반드시 \(\tfrac12\) 로 나눠야 한다. 계수 \(2\) 는 이 정규화에서 나온다.
확장 — 로렌츠 곡선이 서로 교차하는 경우를 생각한다. 한 나라는 하위층의 점유율이 특히 낮고, 다른 나라는 최상위의 점유율이 특히 높은데도 지니계수가 같게 나올 수 있다. 그래서 실무에서는 지니계수 하나만 보지 않고 상위 \(10\%\) 점유율, 상위 \(1\%\) 점유율, 소득 \(5\) 분위 배율을 함께 본다. 하나의 넓이로 곡선 전체를 요약할 때는 반드시 정보의 손실이 발생한다.
문제 8 · 브레이크 패드 창고 ★☆☆#
상황 — 대전의 자전거 부품 도매상은 매달 \(1\) 일에 브레이크 패드 \(1{,}200\) 개를 들여와, 한 달(\(30\) 일) 동안 하루 \(40\) 개씩 일정하게 팔아 말일에 재고를 \(0\) 으로 만든다. 창고 임차료와 보험을 재고 한 개당 하루 \(50\) 원으로 환산해 두었다.
모형 설정 — 한 달 보관비를 계산하려면 재고 항목에 어떤 값을 넣어야 하는지 정한다. 월초의 \(1{,}200\) 개인지, 월말의 \(0\) 인지, 또는 다른 값인지를 결정한다. 무엇에 대해 평균을 낼지가 관건이다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — 한 달 평균 재고와 총 보관비. ② 주어진 값 — \(I(t) = 1{,}200 - 40t\) (개, \(0 \le t \le 30\)), 단가 \(50\) 원/(개·일). ③ 관계식 — \(\displaystyle \bar I = \frac{1}{30}\int_0^{30} I(t)\,dt\), 보관비 \(= 50 \times \int_0^{30} I(t)\,dt\). ④ 사용 도구 — 구간 평균 \(\frac{1}{b-a}\int_a^b f\), 제32장 적분의 도입 ⑤ 모형의 한계 — 이 계산은 재고가 적을수록 보관비가 작다는 것만 말한다. 재고 소진으로 놓친 주문, 소량 발주로 늘어나는 배송비와 발주 인건비는 이 적분에 포함되지 않는다. 최적 발주량은 그 요소들을 함께 고려해야 나온다.
풀이와 검산
단위는 개\(\times\)일이다. 평균 재고는 다음과 같다.
보관비는 다음과 같다.
답 — 평균 재고 \(600\) 개, 한 달 보관비 \(900{,}000\) 원.
검산 — 재고 곡선이 직선이므로 곡선 아래는 밑변 \(30\), 높이 \(1{,}200\) 인 삼각형이다. \(\tfrac12 \times 30 \times 1{,}200 = 18{,}000\). 또 직선이면 평균은 양 끝값의 중간이므로 \((1{,}200 + 0)/2 = 600\) 개다. 두 방법의 결과가 일치한다.
빈번한 오류 — \(1{,}200 \times 50 \times 30 = 1{,}800{,}000\) 원. 한 달 내내 재고가 \(1{,}200\) 개였다고 계산한 것이며, 정확히 두 배가 나온다. 재고는 스톡이고 매 순간 값이 다르므로, 곱셈이 아니라 적분이 필요하다.
확장 — 같은 \(1{,}200\) 개를 같은 \(30\) 일에 모두 팔더라도 판매 시점의 분포가 다르면 보관비가 달라진다. 판매가 앞쪽에 집중되어 재고가 \(I(t) = 1{,}200\left(1 - \tfrac{t}{30}\right)^2\) 로 감소한 경우를 본다. \(u = 1 - \tfrac{t}{30}\) 로 치환하면 \(dt = -30\,du\) 이므로 다음이 된다.
평균 재고 \(400\) 개, 보관비 \(600{,}000\) 원이다. 총 판매량이 같아도 \(300{,}000\) 원이 갈린다. 재고 관리가 판매량의 문제가 아니라 판매 시점의 문제인 이유가 여기 있다.
문제 9 · 굴착기의 장부가 ★★☆ (계산기 사용)#
상황 — 건설장비 임대업을 하는 문재하는 \(5{,}000\) 만원짜리 굴착기를 샀다. 세무사는 정률법 상각을 권했다. 정률법은 남은 장부가에 일정 비율을 곱해 상각하는 방식으로, 연속으로 보면 장부가가 \(V(t) = 5{,}000\,e^{-0.2t}\) (만원, \(t\) 는 연)로 감소한다.
모형 설정 — “\(5\) 년 동안 상각한 총액”을 구하는 방법이 두 가지다. 매 순간의 상각 흐름을 적분하는 방법과, 처음과 나중의 장부가 차이를 구하는 방법이다. 두 방법이 반드시 같은 값을 주는 이유가 이 장의 요점이다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — \(5\) 년간 누적 감가상각액과 \(5\) 년 말 장부가. ② 주어진 값 — \(V(t) = 5{,}000e^{-0.2t}\), \(V(0) = 5{,}000\) 만원. ③ 관계식 — 상각 흐름 \(d(t) = -V'(t) = 1{,}000e^{-0.2t}\) (만원/년). 누적 \(= \displaystyle\int_0^5 d(t)\,dt\). 또는 곧바로 \(V(0) - V(5)\). ④ 사용 도구 — 제29장 연쇄법칙, 제33장 FTC, 제34장 치환적분 ⑤ 모형의 한계 — 장부가는 회계 규칙이 정의한 수이지 중고 시세가 아니다. 이 굴착기가 \(5\) 년 뒤 장부가에 해당하는 금액으로 실제로 매각된다는 뜻은 아니다. 세법상 상각률과 시장의 마모 속도는 서로 다른 개념이다.
풀이와 검산
장부가를 미분해 상각 흐름을 얻는다.
따라서 상각 흐름은 \(d(t) = 1{,}000e^{-0.2t}\) (만원/년)이고 다음이 성립한다.
\(e^{-1} \approx 0.36788\) 이므로 다음이 된다.
\(5\) 년 말 장부가는 \(V(5) = 5{,}000 \times 0.36788 \approx 1{,}839.4\) 만원이다.
답 — 누적 상각액 약 \(3{,}161\) 만원, \(5\) 년 말 장부가 약 \(1{,}839\) 만원.
검산 — 두 값을 더하면 \(3{,}160.6 + 1{,}839.4 = 5{,}000\) 만원으로 취득가와 정확히 같다. 이것이 기본정리가 보장하는 결과다. 상각 흐름을 쌓은 값과 장부가의 차이는 같은 양의 두 표현이다.
빈번한 오류 — 상각률이 \(0.2\) 이므로 \(0.2 \times 5 = 1 = 100\%\), 곧 \(5\) 년이면 전액 상각된다고 보는 것. 정률(지수) 상각은 남은 값에 비율을 곱하므로 장부가가 \(0\) 에 도달하지 않는다. \(10\) 년 뒤에도 \(5{,}000e^{-2} \approx 677\) 만원이 남는다.
확장 — 같은 굴착기를 정액법(취득가에서 잔존가치를 뺀 값을 내용연수로 균등하게 나눠 매년 같은 금액씩 상각하는 방식)으로 \(8\) 년, 잔존가치 \(0\) 으로 상각하는 경우를 본다. 매년 \(5{,}000 \div 8 = 625\) 만원씩이므로 \(3\) 년 누적은 \(1{,}875\) 만원이다. 정률법으로 \(3\) 년이면 \(5{,}000(1 - e^{-0.6}) \approx 5{,}000 \times 0.45119 \approx 2{,}256\) 만원이다. 앞쪽 \(3\) 년만 보면 정률법이 \(381\) 만원 더 많이 상각한다. 그러나 총액까지 같아지려면 기간을 무한히 늘려야 한다. \(8\) 년만 놓고 보면 정률법 누적은 \(5{,}000(1 - e^{-1.6}) \approx 5{,}000 \times 0.79810 \approx 3{,}991\) 만원으로 정액법의 \(5{,}000\) 만원에 미치지 못한다. 달라지는 것은 총액과 시점 분포 둘 다이며, 세금에서 중요한 것은 시점 분포다. 정률법은 앞쪽에 비용을 배분해 초기 세금을 줄이고, 시점이 다르면 제39장의 할인 때문에 현재가치가 달라진다. 실무의 정률법이 상각 후반에 정액법으로 전환하는 것도 이 때문이다. 정률법을 유지하면 장부가가 \(0\) 에 도달하지 않으므로, 어느 시점부터는 남은 장부가를 남은 내용연수로 나누어 균등하게 상각한다.
문제 10 · 신도시 인구 ★★☆ (계산기 사용)#
상황 — 어느 신도시의 인구는 \(2020\) 년 초에 \(400{,}000\) 명이었다. 그 뒤 인구 증가 속도가 \(P'(t) = 5{,}000\,e^{0.03t}\) (명/년, \(t\) 는 \(2020\) 년 초부터의 연수)로 관측되었다. 시청은 \(2030\) 년 초까지 필요한 초등학교 수를 추정하려 한다.
모형 설정 — 주어진 것이 인구인지 인구의 변화 속도인지를 단위로 먼저 확인한다. 그리고 \(2030\) 년 인구를 구할 때 초기 인구 \(400{,}000\) 명을 식의 어디에 넣을 것인지가 분기점이다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — \(2030\) 년 초의 인구 \(P(10)\). ② 주어진 값 — \(P'(t) = 5{,}000e^{0.03t}\) (명/년), \(P(0) = 400{,}000\) (명). ③ 관계식 — \(\displaystyle P(10) = P(0) + \int_0^{10} 5{,}000\,e^{0.03t}\,dt = 400{,}000 + \frac{5{,}000}{0.03}\left(e^{0.3} - 1\right)\). ④ 사용 도구 — 제33장 FTC, 제34장 치환적분 ⑤ 모형의 한계 — 이 계산은 관측된 증가 속도가 \(10\) 년 내내 유지된다고 가정한다. 신도시 인구는 입주가 끝나면 대체로 증가세가 꺾인다. 적분은 주어진 흐름을 쌓을 뿐 그 흐름이 지속될지는 판정하지 않는다.
풀이와 검산
\(e^{0.3} \approx 1.34986\) 이므로 다음이 된다.
답 — \(2030\) 년 초 인구는 약 \(458{,}310\) 명이다. \(10\) 년간 약 \(58{,}310\) 명 증가한다.
검산 — 사다리꼴로 근사한다. 증가 속도는 \(t = 0\) 에 \(5{,}000\) 명/년, \(t = 10\) 에 \(5{,}000 \times 1.34986 \approx 6{,}749\) 명/년이다. 평균을 \(\tfrac{5{,}000 + 6{,}749}{2} \approx 5{,}875\) 명/년으로 잡으면 \(10\) 년간 \(58{,}750\) 명이다. 지수함수는 아래로 볼록하므로 사다리꼴 근사가 실제보다 약간 크게 나오는 것이 타당하다. \(58{,}310 < 58{,}750\) 으로 방향이 일치한다.
빈번한 오류 — 두 가지가 자주 나타난다.
첫째, \(P'(t)\) 를 인구로 착각해 “\(2030\) 년 인구는 \(6{,}749\) 명”이라 답하는 것. 단위를 확인하면 바로 판별된다. 명/년과 명은 서로 다른 양이다.
둘째, “인구가 지수적으로 는다”는 서술에 이끌려 \(P(t) = 400{,}000\,e^{0.03t}\) 라 놓는 것. 이 식을 미분하면 \(t = 0\) 에서 증가 속도가 \(400{,}000 \times 0.03 = 12{,}000\) 명/년이 되어 주어진 \(5{,}000\) 명/년과 어긋난다. 지수적으로 커지는 것은 인구가 아니라 증가 속도다.
확장 — 학교 수요를 결정하는 것은 총인구가 아니라 학령인구, 곧 특정 연령대의 스톡이다. 총인구가 \(58{,}310\) 명 늘어도 그중 \(6\) 세부터 \(11\) 세가 몇 명인지는 이 적분으로 알 수 없다. 신도시는 초기 입주 시기에 어린이 비중이 높았다가 \(10\) 년쯤 뒤 급락하는 경향이 있어, 총량만 보고 학교를 지으면 이후 교실이 남는다.
문제 11 · 두 감축 경로 ★☆☆#
상황 — 어느 나라의 \(2025\) 년 온실가스 배출량은 연 \(600\) 백만톤이고, 정부는 \(2050\) 년 배출 \(0\) 을 약속했다. \(2025\) 년을 \(t = 0\) 으로 두고 두 경로가 논의된다.
경로 갑 — 곧바로 매년 같은 폭으로 줄여 \(2050\) 년에 \(0\): \(E_1(t) = 600 - 24t\) (\(0 \le t \le 25\))
경로 을 — \(2035\) 년까지 \(600\) 을 유지하다가 그 뒤 매년 같은 폭으로 줄여 \(2050\) 년에 \(0\): \(E_2(t) = 600\) (\(0 \le t \le 10\)), \(E_2(t) = 1{,}000 - 40t\) (\(10 \le t \le 25\))
모형 설정 — 두 경로는 출발점도 도착점도 같다. 지구 기온에 영향을 주는 것이 매년의 배출량인지 대기에 쌓인 총량인지를 먼저 확정한다. 여기서 잘못 고르면 두 경로가 같다는 결론이 나온다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — 두 경로의 \(25\) 년 누적 배출량과 그 차이. ② 주어진 값 — 두 배출 곡선. 배출량은 플로우(백만톤/년), 대기 축적량은 스톡(백만톤). ③ 관계식 — 누적 \(= \displaystyle\int_0^{25} E(t)\,dt\). 차이는 \(\displaystyle\int_0^{25}\big(E_2(t) - E_1(t)\big)dt\). ④ 사용 도구 — 제32장 적분의 도입, 제35장 두 곡선 사이 넓이 ⑤ 모형의 한계 — 이 넓이는 배출의 누적이지 대기 중 농도가 아니다. 실제로는 바다와 숲이 배출량의 일부를 흡수하고, 그 흡수 비율 자체도 시간에 따라 변한다. 흡수를 반영하려면 \(S' = E(t) - \delta S\) 형태의 식이 필요한데 그것은 이 책의 도구를 넘는다.
풀이와 검산
경로 갑. 밑변 \(25\), 높이 \(600\) 인 삼각형이다.
경로 을. 직사각형 하나와 삼각형 하나로 나뉜다.
답 — 갑은 \(7{,}500\) 백만톤, 을은 \(10{,}500\) 백만톤이다. 을이 \(3{,}000\) 백만톤(=\(30\) 억톤) 더 많고, 갑의 \(1.4\) 배다.
검산 — 두 곡선 사이 넓이로 직접 구한다. \(0 \le t \le 10\) 구간에서 \(E_2 - E_1 = 600 - (600 - 24t) = 24t\) 이므로 다음이 성립한다.
\(10 \le t \le 25\) 구간에서 \(E_2 - E_1 = (1{,}000 - 40t) - (600 - 24t) = 400 - 16t\) 이므로 다음이 성립한다.
\(1{,}200 + 1{,}800 = 3{,}000\) 으로 앞의 뺄셈과 일치한다.
빈번한 오류 — “둘 다 \(2050\) 년에 배출 \(0\) 이므로 결과가 같다”는 판단. 배출량(플로우)이 같아지는 것과 누적 배출(스톡)이 같아지는 것은 서로 다른 사건이다. 기후를 움직이는 것은 대기 중에 남은 양, 곧 스톡이다. “\(2050\) 년 넷제로”라는 목표만으로 정책을 평가할 수 없는 이유가 여기 있다.
확장 — 이 나라에 남은 탄소예산(누적 배출 한도)이 \(8{,}000\) 백만톤인 경우를 본다. 갑은 \(500\) 백만톤의 여유를 두고 한도 안에 들어오지만, 을은 \(2{,}500\) 백만톤 초과다. 목표 연도가 같아도 경로의 형태가 결과를 가른다. 기후 협상에서 감축 목표 연도만큼이나 중간 목표가 쟁점이 되는 이유다.
문제 12 · 광고를 끊은 뒤 ★★★ (계산기 사용)#
상황 — 온라인 반찬가게를 하는 김세라는 \(1{,}500\) 만원을 들여 한 달짜리 광고를 집행했다. 광고가 끝난 뒤에도 매출은 곧바로 원래 수준으로 돌아가지 않았다. 광고 종료 시점을 \(t = 0\)(개월)으로 두면, 광고가 없었을 경우에 비해 늘어난 공헌이익(매출에서 재료비·배송비 같은 변동비를 뺀 몫)의 흐름이 \(g(t) = 800\,e^{-0.4t}\) (만원/월)로 감쇠했다.
모형 설정 — 광고비를 회수했는지 판단하려면 무엇과 무엇을 비교할지 정한다. 늘어난 매출과 광고비를 비교할 것인지, 늘어난 공헌이익의 누적과 광고비를 비교할 것인지가 분기점이다. 그리고 “끝까지 쌓는다”가 어느 시점까지를 뜻하는지도 정해야 한다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — 광고 효과의 총 누적액, 그리고 광고비를 회수하는 시점. ② 주어진 값 — \(g(t) = 800e^{-0.4t}\) (만원/월), 광고비 \(1{,}500\) 만원(일시 지출). ③ 관계식 — 총 효과 \(= \displaystyle\int_0^\infty 800e^{-0.4t}dt\). \(T\) 개월까지의 누적 \(= \dfrac{800}{0.4}\big(1 - e^{-0.4T}\big)\). 회수 시점은 이 값이 \(1{,}500\) 이 되는 \(T\). ④ 사용 도구 — 제34장 치환적분, 제22장 로그, 이 장 「연속 현금흐름의 현재가치」의 \(T \to \infty\) 극한(영구흐름) ⑤ 모형의 한계 — \(g(t)\) 전체를 광고 효과로 규정했지만, 같은 기간에 계절 수요나 경쟁사의 사정이 겹쳤다면 그 몫이 섞여 있다. 적분은 주어진 곡선을 정확히 쌓을 뿐, 그 곡선이 광고에서 비롯되었는지는 판정하지 못한다. 인과를 판별하려면 광고를 집행하지 않은 비교집단이 필요하다.
풀이와 검산
총 효과.
광고비 \(1{,}500\) 만원을 빼면 순이익은 \(+500\) 만원이다. 광고비를 초과 회수했다.
\(6\) 개월까지의 누적. \(e^{-2.4} \approx 0.09072\) 이므로 다음이 된다.
전체 효과의 \(90.9\%\) 가 \(6\) 개월 안에 발생한다.
회수 시점.
양변에 자연로그를 취하면 \(-0.4T = \ln 0.25 = -\ln 4 \approx -1.38629\) 이므로 다음이 된다.
답 — 총 효과 \(2{,}000\) 만원, 순이익 \(+500\) 만원, 광고비 회수까지 약 \(3.5\) 개월.
검산 — \(T = 3.466\) 에서 \(e^{-0.4 \times 3.466} = e^{-1.38629} = 0.25\) 이므로 누적은 \(2{,}000 \times (1 - 0.25) = 1{,}500\) 만원이다. 광고비와 정확히 같다.
빈번한 오류 — 두 가지가 있다.
첫째, “첫 달 효과가 \(800\) 만원이므로 \(2\) 달이면 \(1{,}600\) 만원”이라 계산하는 것. \(g(0) = 800\) 은 흐름의 순간값(만원/월)이지 첫 달 총액이 아니다. 실제 \(1\) 개월차 누적은 \(2{,}000(1 - e^{-0.4}) \approx 2{,}000 \times 0.32968 \approx 659\) 만원으로 훨씬 작다.
둘째, 매출 흐름과 공헌이익 흐름을 혼용하는 것. 변동비를 빼지 않은 매출로 회수를 계산하면 회수 시점이 실제보다 이르게 나온다. 광고비와 비교할 대상은 변동비를 뺀 몫이다.
확장 — 감쇠율이 \(0.4\) 가 아니라 \(0.8\) 이라면(잊히는 속도가 두 배) 총 효과는 \(800 \div 0.8 = 1{,}000\) 만원이다. 첫 달 반응의 크기(\(800\) 만원/월)는 동일한데 광고비 \(1{,}500\) 만원을 회수하지 못한다. 광고의 가치는 반응의 크기보다 반응의 지속 기간에 더 크게 좌우된다. 브랜드 광고와 할인 쿠폰을 같은 기준으로 평가할 수 없는 이유가 여기 있다.
문제 13 · 두 난방 정책 ★★★#
상황 — 어느 광역시가 노후 아파트 난방 개선에 두 가지 안을 검토한다. 시행 시점을 \(t = 0\)(년)으로 두면 연간 재정 지출 흐름은 다음과 같다.
갑안 — \(A(t) = 100 + 10t\) (억원/년). 초기 비용은 작지만 유지비가 매년 는다.
을안 — \(B(t) = 160 + 2t\) (억원/년). 초기 설비비가 크지만 이후 증가가 완만하다.
사업 기간은 \(15\) 년이다.
모형 설정 — 어느 쪽이 저렴한지에 대한 답이 하나로 정해지지 않을 수 있다. 비교 구간을 \(15\) 년 전체로 잡는지 더 짧게 잡는지에 따라 답이 뒤집힌다. 두 곡선이 만나는 시점을 먼저 구하는 것이 순서다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — 두 안의 \(15\) 년 누적 지출과 그 차이, 그리고 중간에 중단할 때의 비교. ② 주어진 값 — \(A(t) = 100 + 10t\), \(B(t) = 160 + 2t\) (둘 다 억원/년), 기간 \(15\) 년. ③ 관계식 — 교차 시점은 \(A(t) = B(t)\). 누적 차이는 \(\displaystyle\int_0^{T}\big(B(t) - A(t)\big)dt = \int_0^{T}(60 - 8t)\,dt\). ④ 사용 도구 — 제35장 두 곡선 사이 넓이, 제10장 일차방정식 ⑤ 모형의 한계 — 이 비교는 두 안의 효과가 같다고 놓았다. 을안이 난방 효율을 더 크게 올려 시민의 난방비를 더 줄인다면, 지출 곡선만 비교하는 것은 비교의 한쪽 항만 고려하는 것이다.
풀이와 검산
교차 시점.
\(7.5\) 년 전에는 을안이 더 비싸고, 그 뒤에는 갑안이 더 비싸다.
\(15\) 년 누적 차이.
\(0\) 이다. 각각 직접 계산해도 결과가 같다.
중간에 중단하는 경우. \(8\) 년째에 사업이 중단되는 경우를 계산한다.
답 — 두 곡선은 \(7.5\) 년에 만난다. \(15\) 년 누적 지출은 두 안 모두 \(2{,}625\) 억원으로 정확히 같다. 그러나 \(8\) 년에 중단되면 갑안 \(1{,}120\) 억원, 을안 \(1{,}344\) 억원으로 갑안이 \(224\) 억원 적다.
검산 — 두 곡선 사이의 넓이를 두 조각으로 나눠 확인한다.
두 조각이 정확히 같으므로 총액이 같다는 결과와 일치한다.
빈번한 오류 — “\(15\) 년 총액이 같으므로 어느 쪽이든 무방하다”는 결론. 넓이가 같아도 넓이의 시점 분포가 다르면 현재가치가 다르다. 제39장의 할인을 반영하면 지출이 앞쪽에 집중된 을안이 현재가치 기준으로 더 비싸다. 미래의 \(100\) 억원은 현재의 \(100\) 억원보다 현재가치가 작기 때문이다.
확장 — 갑안이 항상 유리한 것은 아니다. 갑안은 시간이 갈수록 지출이 늘어나므로, \(15\) 년 뒤에도 사업을 계속한다면 부담이 계속 커진다. \(20\) 년으로 늘리면 \(\int_0^{20}A = 2{,}000 + 5 \times 400 = 4{,}000\) 억원, \(\int_0^{20}B = 3{,}200 + 400 = 3{,}600\) 억원으로 을안이 \(400\) 억원 적다. 넓이가 같을 때 선택을 가르는 것은 넓이 바깥의 조건 — 사업의 지속 기간과 현재 재정의 여력 — 이다.
문제 14 · 카페의 하루 ★☆☆#
상황 — 대구의 한 카페가 포스 기록으로 시간대별 매출 속도를 추정했다. 오전 \(9\) 시를 \(t = 0\), 오후 \(9\) 시를 \(t = 12\) 로 두면 \(r(t) = 5t(12 - t)\) (천원/시간)이다.
모형 설정 — \(r(6) = 180\) 이라는 값이 “오후 \(3\) 시 매출이 \(18\) 만원”을 뜻하는지 단위로 확인한다. 그리고 하루 매출을 구할 때 이 곡선을 더할 것인지, 곱할 것인지, 적분할 것인지를 정한다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — 하루 총매출, 평균 매출 속도. ② 주어진 값 — \(r(t) = 5t(12-t) = 60t - 5t^2\) (천원/시간), \(0 \le t \le 12\). ③ 관계식 — 하루 매출 \(= \displaystyle\int_0^{12} (60t - 5t^2)\,dt\), 평균 \(= \dfrac{1}{12}\int_0^{12} r(t)\,dt\). ④ 사용 도구 — 제32장 적분의 도입, 구간 평균 ⑤ 모형의 한계 — 이 곡선은 과거 기록에서 추정한 것이다. 강우, 시험 기간, 인근 공사 등 곡선의 형태를 바꾸는 요인은 이 식에 포함되지 않는다. 그리고 매출은 이익과 다른 양이다.
풀이와 검산
평균 매출 속도는 \(1{,}440 \div 12 = 120\) 천원/시간이다.
답 — 하루 매출 \(1{,}440\) 천원 \(= 144\) 만원. 평균 \(12\) 만원/시간, 최고는 \(t = 6\)(오후 \(3\) 시)의 \(18\) 만원/시간.
검산 — 두 가지로 확인한다. 첫째, 평균 \(\times\) 시간 \(= 120 \times 12 = 1{,}440\) 천원으로 일치한다. 둘째, 포물선 아래 넓이는 그 포물선에 외접하는 직사각형 넓이의 \(\tfrac23\) 이다. \(180 \times 12 \times \tfrac23 = 1{,}440\) 천원으로 일치한다.
빈번한 오류 — \(r(6) = 180\) 을 “오후 \(3\) 시 매출이 \(18\) 만원”으로 읽는 것. \(r\) 의 단위는 천원/시간, 곧 속도다. 오후 \(3\) 시라는 한 시점의 매출은 \(0\) 이다(구간의 폭이 없으므로). \(180\) 천원은 “오후 \(2\) 시 \(30\) 분부터 \(3\) 시 \(30\) 분까지 한 시간에 약 \(18\) 만원”이라는 뜻이다. 속도계의 눈금을 거리로 읽는 오류와 동일한 구조다.
확장 — 오후 \(1\) 시부터 \(5\) 시까지(\(t \in [4, 8]\))의 매출을 구한다.
\(12\) 시간 중 \(4\) 시간이 하루 매출의 \(48\%\) 를 만든다. 반면 오전 \(9\) 시부터 정오까지(\(t \in [0,3]\))는 \(5 \times 45 = 225\) 천원으로 \(15.6\%\) 다. 시간제 인력을 어느 시간대에 배치할지, 오전 영업을 유지할지 같은 결정이 이 넓이의 분포에서 나온다.
문제 15 · 보고서 바로잡기 ★★☆#
상황 — 어느 지자체 산하 공사의 연간 보고서에 다음 세 문장이 실렸다.
(가) “올해 하수처리 시설의 한계비용이 작년보다 모든 구간에서 낮아졌다. 따라서 총운영비가 줄었다.” (나) “물가 상승률이 \(3\%\) 에서 \(1.5\%\) 로 절반이 되었다. 따라서 물가가 절반으로 내렸다.” (다) “이번 분기 월별 순현금흐름이 계속 줄고 있다. 따라서 현금 잔고가 줄고 있다.”
참고로 (가)의 수치는 다음과 같다. 작년 한계비용 \(MC_1(q) = 0.4q + 300\), 올해 \(MC_2(q) = 0.2q + 300\) (원/톤). 처리량은 작년 \(2{,}000\) 톤에서 올해 \(5{,}000\) 톤으로 늘었고, 고정비는 두 해 모두 \(1{,}000{,}000\) 원이다.
모형 설정 — 세 문장은 하나의 공통 오류를 공유한다. 먼저 그 오류를 규정한다. 그리고 (가)에 대해서는 “한계비용이 낮아졌다”는 관찰이 틀린 것인지, 아니면 관찰은 옳으나 결론이 따라 나오지 않는 것인지를 구분해야 한다. 데이터를 의심할 것인지 추론을 의심할 것인지가 분기점이다.
모형화 다섯 단계
① 미지량 — 세 문장에서 무엇이 도함수에 관한 서술이고 무엇이 원함수에 관한 서술인지, 그리고 (가)의 실제 총운영비. ② 주어진 값 — \(MC_1(q) = 0.4q + 300\), \(MC_2(q) = 0.2q + 300\), 처리량 \(2{,}000 \to 5{,}000\) 톤, 고정비 \(1{,}000{,}000\) 원. ③ 관계식 — \(\displaystyle C = F + \int_0^{q} MC(x)\,dx\). 한계량은 피적분함수, 총량은 넓이다. 넓이는 높이와 밑변 둘 다로 정해진다. ④ 사용 도구 — 제33장 FTC, 제41장 한계, 스톡과 플로우 ⑤ 모형의 한계 — 총운영비가 늘었다는 사실 자체는 이 시설의 성과를 판정하지 않는다. 처리량이 \(2.5\) 배가 되었으므로 총비용이 느는 것은 계산상 당연한 결과다. 무엇을 개선으로 규정할지(총액인지 톤당 단가인지)는 계산이 아니라 판단의 영역이다.
풀이와 검산
세 문장이 공유하는 오류는 한계량(도함수)의 변화에서 총량(원함수)의 변화를 곧바로 읽어 낸 것이다. 속도계의 눈금을 주행거리계의 눈금으로 읽은 것이다.
(가) — 관찰은 옳고 결론이 틀렸다.
모든 \(q > 0\) 에서 \(MC_2(q) < MC_1(q)\) 인 것은 사실이다(\(0.2q < 0.4q\)). 그러나 총비용은 곡선의 높이만이 아니라 밑변까지 곱해진 넓이다.
작년 변동비:
작년 총비용 \(= 1{,}000{,}000 + 1{,}400{,}000 = 2{,}400{,}000\) 원.
올해 변동비:
올해 총비용 \(= 1{,}000{,}000 + 4{,}000{,}000 = 5{,}000{,}000\) 원.
총운영비는 감소하지 않았고, 두 배 넘게 증가했다.
(나) 지수를 \(100\) 에서 출발시키면 \(100 \to 103 \to 103 \times 1.015 = 104.545\) 이다. 물가는 두 해 내내 올랐다. 물가가 내리려면 상승률이 음수(디플레이션)여야 한다. 상승률이 줄어드는 것은 물가 곡선의 기울기가 완만해지는 현상, 곧 이계도함수에 관한 서술이다.
(다) 순현금흐름이 매달 \(+30\), \(+20\), \(+10\) (백만원)으로 줄었다고 한다. 흐름은 줄었지만 세 달 동안 잔고는 \(60\) 백만원 증가한다. 잔고가 줄려면 순현금흐름이 음수여야 한다.
답 — 세 문장 모두 틀렸다. 바로잡으면 다음과 같다.
원문 |
바른 문장 |
|---|---|
(가) 한계비용이 낮아졌으므로 총운영비가 줄었다 |
한계비용은 낮아졌지만 처리량이 \(2.5\) 배가 되어 총운영비는 \(240\) 만원에서 \(500\) 만원으로 늘었다. 개선은 톤당 평균비용에 나타난다 |
(나) 상승률이 절반이므로 물가가 절반으로 내렸다 |
물가는 계속 올랐고, 다만 오르는 속도가 절반이 되었다 |
(다) 순현금흐름이 줄고 있으므로 잔고가 줄고 있다 |
순현금흐름이 양수인 한 잔고는 계속 는다. 다만 늘어나는 속도가 느려지고 있다 |
검산 — (가)의 톤당 평균비용을 계산하면 보고서가 서술하려던 내용이 드러난다.
톤당 평균비용은 실제로 감소했다. 틀린 것은 데이터가 아니라 데이터를 요약한 지표의 선택이다.
빈번한 오류 — (가)에서 \(MC_2 < MC_1\) 이라는 관찰까지 의심하고 데이터가 잘못되었다고 결론짓는 것. 관찰은 정확하다. 오류는 관찰과 결론을 잇는 추론에 있다. 보고서를 검토할 때는 개별 문장의 참·거짓보다 문장 사이의 추론 단계를 먼저 점검하는 편이 빠르다.
확장 — 이 세 오류는 같은 구조로 반복된다. “실업률 증가세가 둔화되었다”(실업자는 여전히 늘고 있다), “적자 폭이 감소했다”(부채는 여전히 쌓이고 있다), “온실가스 배출 증가율이 꺾였다”(대기 중 농도는 계속 오르고 있다). 뉴스에서 **”~율”, “~세”, “~폭”**이라는 표현이 나오면 속도계에 해당하는 양을 읽고 있는 것이다. 주행거리계에 해당하는 양은 따로 확인해야 한다.
적용 범위와 한계#
잉여는 지불용의로 잰다. 지불용의는 지불능력에 묶여 있다. 소비자잉여의 넓이는 “\(1\) 만원어치 만족은 누구에게나 \(1\) 만원어치”라고 놓는다. 월 소득 \(200\) 만원인 사람의 \(1\) 만원과 월 소득 \(2{,}000\) 만원인 사람의 \(1\) 만원을 같은 무게로 계산하는 것이다. 그래서 총잉여를 최대로 만드는 배분이 곧 가장 정의로운 배분이라는 보장은 없다. 이 넓이는 효율을 재는 척도이지 공정을 재는 척도가 아니다.
곡선은 관측되지 않는다. 실제로 관측되는 것은 몇 개의 점 — 어느 날의 가격과 그날의 거래량 — 뿐이다. 수요곡선과 한계비용 곡선은 그 점들 사이를 추정해 이은 것이다. 곡선의 형태를 직선으로 잡는지 곡선으로 잡는지에 따라 잉여의 넓이는 전혀 달라진다. 이 장의 문제들이 함수를 처음부터 제시한 것은 연습을 위한 설정이며, 실제 자료가 이런 형태로 주어지는 것은 아니다.
적분은 쌓기만 하고 감소를 반영하지 않는다. \(S(T) = S(0) + \int_0^T f\) 라는 식은 쌓인 것이 그대로 남는다고 가정한다. 그러나 대기 중 탄소는 바다가 흡수하고, 부채는 상환되고, 인구는 사망으로 줄고, 자본은 마모된다. 이러한 감소를 반영하면 식이 \(S'(t) = f(t) - \delta S(t)\) 형태가 되어 미분방정식이 필요해진다. 이 책이 다루는 범위를 벗어난다.
적분상수는 데이터에서 나오지 않는다. 한계 정보만으로는 수준을 알 수 없다는 것이 이 장 앞부분의 결론이다. 고정비가 얼마인지, 초기 저수량이 얼마인지, 현재 부채가 얼마인지 — 이 값들은 반드시 곡선 바깥에서 가져와야 한다. 그리고 실무의 오류는 대개 곡선이 아니라 이 상수에서 발생한다.
연속은 편의상의 가정이다. \(\int f(t)e^{-rt}dt\) 는 돈이 연속적으로 흐른다고 놓는다. 실제 월급은 매달 \(25\) 일에 일시금으로 들어오고, 임대료는 매달 \(1\) 일에 일시금으로 나간다. 흐름의 빈도가 높으면 연속 근사가 잘 맞지만, 큰 금액이 드물게 오가는 사업이라면 이산으로 계산하는 편이 정확하다.
하나의 수는 하나의 정보만 전달한다. 지니계수가 그렇고, 평균이 그렇고, 누적 총량이 그렇다. 요약은 언제나 무언가를 지우고, 지워진 것이 결정적일 때가 있다.
요약과 다음 장#
이 장의 요지는 다음 한 문장이다. 흐름을 쌓으면 총량이 되고, 그 총량은 곡선 아래의 넓이다.
흐름(플로우) |
쌓는 변수 |
총량(스톡) |
|---|---|---|
한계비용 \(MC(q)\) |
수량 \(q\) |
변동비 (+ 고정비 = 총비용) |
소득·적자·배출·유입 \(f(t)\) |
시간 \(t\) |
자산·부채·축적량·저수량 |
지불용의 − 가격 |
수량 \(Q\) |
소비자잉여 |
가격 − 한계비용 |
수량 \(Q\) |
생산자잉여 |
현금흐름 \(\times\, e^{-rt}\) |
시간 \(t\) |
현재가치 |
\(x - L(x)\) |
인구 비율 \(x\) |
지니계수(의 절반) |
여기에 두 가지 논점이 덧붙는다. 하나는 적분상수의 경제학이다. 한계 정보는 수준을 결정하지 못하고, 그 결정되지 않은 수준이 고정비이고 초기 부채이고 초기 인구다. 다른 하나는 구간 평균이다. 넓이를 밑변으로 나눈 높이가 평균이고, 무엇으로 가중할지 정하지 않은 평균은 의미가 없다.
도입에서 제시한 속도계와 주행거리계의 구분으로 돌아온다. 이 장에서 바로잡은 오독 — 상승률과 물가, 적자와 부채, 한계비용과 총비용, 배출량과 축적량 — 은 모두 두 계기의 눈금을 바꿔 읽은 것이었다. 제41장이 속도계를 구성하는 방법이었다면 이 장은 주행거리계를 구성하는 방법이며, 이제 두 양을 함께 놓고 경제 서술을 읽을 수 있다.
다만 이 장에서 측정한 넓이에는 조건이 하나 붙어 있다. 가로축과 세로축에 수가 붙어 있어야 한다는 것이다. 가격이 있고 수량이 있어야 잉여를 측정할 수 있다. 그런데 가로축은 있으나 세로축이 정의되지 않은 대상이 있다. 여기서 남는 물음 — 곡선은 어디서 오는가, 값이 매겨지지 않은 것은 어떻게 재는가 — 을 제43장에서 이어 간다.