제29장 · 연쇄법칙과 삼각·지수·로그의 미분#
이 장
원본 코드 |
R3-W09 |
선행 내용 |
제28장 (미분 규칙 ②) |
요지 |
연쇄법칙은 겉 미분 곱하기 속 미분이다. 라디안을 쓰는 이유가 여기서 드러난다. |
도입#
미분에서 가장 빈번하게 나타나는 오류는 다음 한 줄이다.
이 식은 틀렸다. 정답은 \(3\cos 3x\) 이고, 앞의 \(3\) 이 어디서 오는지가 이 장의 핵심이다. 합성함수를 미분할 때 발생하는 오류의 상당 부분이 이 형태를 취한다.
\(3\) 이 필요한 이유는 다음과 같다. \(\sin 3x\) 에서는 두 연산이 순서대로 일어난다. 먼저 \(x\) 에 \(3\) 을 곱하고, 그다음 사인을 취한다. 단계가 두 개다. 이 장에서 다루는 연쇄법칙은 한 문장으로 요약된다 — 단계가 두 개면 미분도 두 개다. 앞에서 다룬 함수들, 곧 \(x^3\) 이나 \(\sin x\) 는 모두 한 단계로 끝나는 함수였다. 합성함수는 단계가 두 개인데 겉 함수만 미분하고 멈추면 위와 같은 오류가 발생한다.
이 장에는 제23장에서 예고한 내용이 하나 남아 있다. 라디안을 도입할 때, 라디안을 쓰는 이유는 미분에서 밝혀진다고만 하고 넘어갔다. \(90^\circ\) 대신 \(\dfrac{\pi}{2}\) 라고 적는 표기를 그때는 근거 없이 받아들여야 했다. 이 장 마지막에서 그 근거를 제시한다. 라디안은 임의의 관습이 아니라 미분 공식을 상수 없이 만드는 유일한 각도 단위다. 이 명제를 확인하는 것이 이 장의 후반부다.
연쇄법칙은 변화율의 곱이다#
톱니바퀴 세 개가 맞물려 도는 상황을 생각한다.
\(A\) 가 \(B\) 보다 \(3\) 배 빠르고, \(B\) 가 \(C\) 보다 \(2\) 배 빠르다. 그러면 \(A\) 는 \(C\) 보다 \(6\) 배 빠르다. 두 배율은 더해지는 것이 아니라 곱해진다. \(3 \times 2 = 6\). 변화율은 이어 붙이면 곱해진다. 이것이 연쇄법칙의 내용이며, 나머지는 표기법이다.
곱이 되는 관계는 환율로도 확인된다. \(1\) 달러가 \(1300\) 원이고 \(1\) 달러가 \(130\) 엔일 때, \(1\) 원이 몇 엔인지 계산한다.
\(1\) 원은 \(0.1\) 엔이다. 원에서 엔으로 직접 환산하는 비율이 주어지지 않으면 달러를 경유하고, 경유하는 동안 두 환율이 곱해진다. 미분도 같은 구조다. \(x\) 에서 \(y\) 로 가는 변화율이 직접 주어지지 않으면 중간 변수 \(u\) 를 경유한다.
이름 붙이기. 합성함수 \(y = f(g(x))\) 는 속함수에 이름을 붙이면 두 층으로 분리된다.
라이프니츠 표기. 변화율의 곱은 이 표기로 다음과 같이 쓰인다.
\(y\) 가 \(u\) 에 대해 변하는 비율에, \(u\) 가 \(x\) 에 대해 변하는 비율을 곱한다. 톱니바퀴의 배율 관계와 같은 형태다. \(du\) 가 분자와 분모에 나타나 약분되는 것처럼 보이지만, 이 식은 분수가 아니다. \(dy\) 와 \(du\) 는 각각 독립적인 수가 아니라 \(\dfrac{dy}{dx}\) 라는 하나의 기호를 이루는 부분이다. 따라서 이것은 약분이 아니다. 다만 기억을 돕는 표기로서는 유효하다. 라이프니츠가 이 표기를 이렇게 설계한 이유가 여기에 있다. 약분하는 형태로 기억해도 무방하나, 약분한다는 사실이 증명이 되지는 않는다.
곱이 되는 이유. \(d\) 대신 \(\Delta\) 로 쓰면 이것은 실제 분수가 된다. \(\Delta u\) 는 “\(u\) 가 실제로 움직인 양”이라는 하나의 수이기 때문이다.
오른쪽을 곱하면 \(\Delta u\) 가 분자와 분모에 있는 실제 수이므로 약분되어 왼쪽이 된다. 여기까지는 분수 계산이며 아직 미분이 아니다. 이제 \(\Delta x\) 를 \(0\) 으로 보낸다. \(u\) 는 \(x\) 를 따라 움직이므로 \(\Delta u\) 도 함께 \(0\) 으로 간다. 그러면 세 조각이 각각 도함수가 된다.
등식은 극한을 취해도 유지된다. 따라서 곱의 형태가 남는다. 약분은 \(\Delta\) 단계에서 실제로 일어난 연산이고, \(d\) 로 쓴 식은 그 결과를 기록한 것이다. (엄밀하게는 \(\Delta x \ne 0\) 인데도 \(\Delta u = 0\) 이 되는 경우, 곧 속함수의 값이 순간적으로 변하지 않는 지점에 대한 추가 논의가 필요하다. 그 논의를 거쳐도 결론은 동일하다.)
5단계 절차. 숙달되면 1번과 5번은 암산으로 처리하지만, 절차가 정착될 때까지는 다섯 단계를 모두 기록한다.
속에 \(u\) 라는 이름을 붙인다.
겉을 \(u\) 로 미분한다.
속을 \(x\) 로 미분한다.
둘을 곱한다.
\(u\) 를 원래 식으로 되돌린다.
각 문항에서 “겉 미분, 속 미분”이라는 절차를 소리 내어 확인한다. 절차를 명시적으로 반복하면 속 미분을 누락하는 오류가 크게 줄어든다.
예제 1 — 연쇄법칙의 결과 검증. \(y = (2x+1)^2\) 을 두 방법으로 미분해 비교한다.
전개한 뒤 미분하면 다음과 같다.
두 결과가 일치한다.
세 비를 수치로 확인한다. 앞의 \(\Delta\) 논의를 이 함수에서 수치로 확인할 수 있다. \(x=1\) 에서 \(\Delta x = 0.01\) 만큼 움직인 경우를 계산한다.
재는 것 |
계산 |
값 |
|---|---|---|
\(\Delta u\) |
\(u(1.01) - u(1) = 3.02 - 3\) |
\(0.02\) |
\(\Delta y\) |
\(y(1.01) - y(1) = 3.02^2 - 3^2 = 9.1204 - 9\) |
\(0.1204\) |
\(\dfrac{\Delta u}{\Delta x}\) |
\(0.02 \div 0.01\) |
\(2\) |
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta u}\) |
\(0.1204 \div 0.02\) |
\(6.02\) |
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) |
\(0.1204 \div 0.01\) |
\(12.04\) |
\(6.02 \times 2 = 12.04\) 이고, 이는 마지막 행과 정확히 일치한다. 근사가 아니라 등식이 성립한다. \(\Delta\) 단계에서는 실제 분수이므로 약분이 성립하기 때문이다. 또한 \(\Delta x\) 를 더 줄이면 \(12.04\) 는 연쇄법칙이 준 도함수 \(8x+4\) 의 \(x=1\) 에서의 값, 곧 \(12\) 로 수렴한다.
연쇄법칙은 전개해서 미분한 결과를 더 짧은 경로로 얻는 방법이다. 전개가 가능한 식이면 전개해서 결과를 검산할 수 있다. 속 미분을 누락하면 \(2(2x+1) = 4x+2\) 가 되는데, 이는 정답의 절반이다. 속 미분 \(2\) 를 곱하지 않아 값이 정확히 두 배 어긋난다. 이 오류는 이러한 배수 관계로 드러난다.
예제 2. \(y = (x^2+3)^4\)
\(u\) 를 원래 식으로 되돌리지 않으면 답에 \(u\) 가 남는다. 5단계 절차의 마지막 항목이 이 과정이다. 답에 \(u\) 가 남아 있으면 계산이 완료되지 않은 것이다.
예제 3. \(y = (2x+1)^5\)
\((2x+1)^5\) 을 전개하면 항이 여섯 개이고, 미분하면 다섯 개이며, 이를 다시 묶어야 \(10(2x+1)^4\) 이 된다. 연쇄법칙은 이 과정을 한 줄로 대체한다.
삼각함수의 도함수는 그래프에서 읽는다#
\(\sin x\), \(\cos x\) 의 도함수는 암기 대상이 아니라 그래프에서 읽어내는 값이다. \(y = \sin x\) 를 한 주기 그리고, 가로축은 라디안으로만 표기한다.
네 지점에서 접선을 그어 기울기를 읽으면 다음과 같다.
\(x\) |
\(0\) |
\(\pi/2\) |
\(\pi\) |
\(3\pi/2\) |
\(2\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|
\(\sin x\) 의 접선 기울기 |
\(1\) |
\(0\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(\cos x\) |
\(1\) |
\(0\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
두 행의 값이 일치한다. \(\sin\) 의 접선 기울기를 모으면 \(\cos\) 이 된다.
\(\cos\) 의 도함수에는 음의 부호가 붙는다. \(\cos\) 은 \(x=0\) 부근에서 감소하므로 기울기가 음수이기 때문이며, 그래프에서 확인된다. 부호는 암기하지 않아도 \(\cos\) 그래프가 \(x=0\) 이후 감소한다는 사실에서 결정된다.
지수와 로그의 도함수 — \(e\) 가 특별한 이유#
지수함수의 도함수를 수치로 먼저 확인한다. 다음은 \(x=0\) 에서의 기울기를 차분몫으로 계산한 표다.
\(h\) |
\(\dfrac{2^h-1}{h}\) |
\(\dfrac{e^h-1}{h}\) |
\(\dfrac{3^h-1}{h}\) |
|---|---|---|---|
\(0.1\) |
\(0.7177346\) |
\(1.0517092\) |
\(1.1612317\) |
\(0.01\) |
\(0.6955550\) |
\(1.0050167\) |
\(1.1046692\) |
\(0.001\) |
\(0.6933875\) |
\(1.0005002\) |
\(1.0992160\) |
극한 |
\(0.6931472\) |
\(\mathbf{1}\) |
\(1.0986123\) |
이 표는 \(x=0\) 한 점의 기울기만 계산한 것이다. 이 한 점의 값이 함수 전체의 도함수를 결정하는 이유는 정의를 전개하면 드러난다.
가운데 단계에서 사용한 것은 지수법칙 \(a^{x+h} = a^x a^h\)(제12장) 하나뿐이다. 그다음 \(a^x\) 은 \(h\) 와 무관한 인수이므로 극한 밖으로 나온다. 남은 \(\lim_{h\to0}\dfrac{a^h-1}{h}\) 이 위 표가 계산한 값, 곧 \(x=0\) 에서의 기울기다. 따라서 원점 한 점의 기울기가 모든 점의 기울기를 결정한다. 지수함수의 도함수는 항상 자기 자신에 그 상수 하나가 곱해진 형태다.
\(2^x\) 를 미분하면 자기 자신에 \(0.693\ldots\) 이라는 상수가 붙는다. \(3^x\) 에는 \(1.098\ldots\) 이 붙는다. 밑이 커지면 상수도 커진다. 따라서 상수가 정확히 \(1\) 이 되는 밑이 \(2\) 와 \(3\) 사이에 존재한다. 그 수가 \(e = 2.71828\ldots\) 이다.
\(e\) 는 지수함수의 도함수에 붙는 상수를 \(1\) 로 만드는 밑이다. 수학과 물리에서 \(e\) 를 표준으로 채택하는 이유가 여기에 있다. 이 장 후반에서 각도 단위에 대해 같은 구조가 다시 나타난다.
\(\ln x\) 는 \(e^x\) 의 역함수다. 역함수의 그래프는 \(y=x\) 에 대한 대칭이고, 대칭시키면 기울기는 역수가 된다. 단, 같은 \(x\) 에서가 아니라 서로 대응하는 두 점에서 그렇다. 이 조건을 빠뜨리면 오류가 발생한다 — \((e^x)'=e^x\) 이므로 “역수”를 같은 \(x\) 에서 적용해 \((\ln x)' = \dfrac{1}{e^x}\) 이라고 쓰는 것이 그 예이며, 이는 틀린 식이다. 대응 관계는 다음과 같다. \(e^x\) 의 점 \((0,1)\) 을 \(y=x\) 에 대해 대칭시키면 \(\ln x\) 의 점 \((1,0)\) 이 된다. \(e^x\) 는 \((0,1)\) 에서 기울기가 \(1\) 이고, \(\ln x\) 는 \((1,0)\) 에서 기울기가 \(1\) 이다. 역수 관계가 성립하는 것은 이렇게 대응하는 두 점 사이에서다.
연쇄법칙을 쓰면 이 관계는 세 줄로 유도된다. \(y = \ln x\) 로 놓으면 정의에 의해
이다. 양변을 \(x\) 로 미분한다. 왼쪽은 겉이 \(e^{(\ )}\), 속이 \(y\) 인 합성함수이므로 연쇄법칙에 따라 겉 미분에 속 미분을 곱하고, 오른쪽 \(x\) 의 미분은 \(1\) 이다.
마지막으로 \(e^y = x\) 를 대입한다. 첫 줄에서 그렇게 놓았으므로 그대로 치환하면 된다.
유도 결과는 다음 문장으로 요약된다 — 미분해서 \(\dfrac{1}{x}\) 이 되는 함수가 \(\ln x\) 다. 적분에서 이 관계를 역방향으로 사용한다.
네 개를 한자리에 모으면 다음과 같다.
새 규칙은 기존 규칙을 대체하지 않고 누적된다.
연쇄법칙과 초월함수의 결합#
연쇄법칙을 초월함수에 적용한다. 도입에서 제시한 오류로 돌아간다. \(\sin 3x\) 는 속이 \(3x\), 겉이 사인이다.
누락되었던 \(3\) 이 속 미분이다. 속이 \(3x^2\) 인 경우는 다음과 같다.
겉인 사인을 미분해 \(\cos(3x^2)\) 을 쓰고, 뒤에 속 미분 \(6x\) 를 곱한다. 지수함수도 같은 절차를 따른다.
\(e^{2x}\) 의 도함수는 \(e^{2x}\) 가 아니다. 앞에 속 미분 \(2\) 가 붙어 \(2e^{2x}\) 이다. 이 \(2\) 의 누락이 이 장에서 가장 빈번한 오류다. 로그도 같은 방식이며, 결과를 로그 성질로 검산할 수 있다.
\(\ln 3x\) 와 \(\ln x\) 의 도함수가 같다. \(\ln 3x = \ln 3 + \ln x\) 이고 \(\ln 3\) 은 상수이므로 미분하면 \(0\) 이기 때문이다. 로그 성질이 답을 검산해 준다. 서로 다른 두 경로가 같은 답을 주면 계산이 일관된 것이다.
여기서 반드시 구분해야 할 표기가 있다. \(\sin^2 x\) 와 \(\sin(x^2)\) 은 표기가 비슷하지만 겉과 속이 서로 뒤바뀐 서로 다른 함수다.
\(\sin^2 x = (\sin x)^2\) 은 겉이 제곱, 속이 \(\sin x\) 다.
\(\sin(x^2)\) 은 겉이 사인, 속이 \(x^2\) 다.
표기가 유사할 뿐 서로 다른 두 함수다. \(\sin^2 x\) 는 \((\sin x)^2\) 의 축약 표기이므로, 미분하기 전에 \((\sin x)^2\) 으로 고쳐 쓰면 혼동이 발생하지 않는다.
라디안을 쓰는 이유#
제23장에서 예고한 내용을 여기서 다룬다. \((\sin x)' = \cos x\) 라는 식이 성립하는 근거를 도함수의 정의에서 확인한다.
여기에 덧셈정리 \(\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h\) 를 도구로 사용한다. (이 식은 단위원에서 유도되며, 여기서는 증명 없이 도구로만 사용한다.)
\(h\) 를 \(0\) 으로 보낸다. 앞의 \(\dfrac{\cos h - 1}{h}\) 는 \(0\) 으로 수렴한다. 그러면 \(\cos x\) 와 \(\dfrac{\sin h}{h}\) 의 곱이 남는다. 따라서 \((\sin x)' = \cos x\) 가 성립하려면 다음 조건 하나가 필요하다.
이 극한이 \(1\) 이어야 한다. \(1\) 이 아니면 그 값이 무엇이든 모든 삼각함수 미분 공식 앞에 그 상수가 붙는다.
그런데 이 극한값은 \(\sin h\) 의 \(h\) 를 어떤 단위로 읽느냐에 따라 달라진다. 같은 \(\sin(0.001)\) 을 계산기에 입력해도 모드에 따라 결과가 다르다.
이는 계산기의 오작동이 아니라, \(0.001\) 이라는 값을 라디안으로 읽었는지 degree로 읽었는지의 차이다. \(\dfrac{\sin h}{h}\) 를 두 단위로 각각 계산하면 다음과 같다.
\(h\) |
\(\dfrac{\sin h}{h}\) (라디안으로 읽을 때) |
\(\dfrac{\sin h}{h}\) (degree로 읽을 때) |
|---|---|---|
\(1\) |
\(0.84147098\) |
\(0.01745241\) |
\(0.1\) |
\(0.99833417\) |
\(0.01745328\) |
\(0.01\) |
\(0.99998333\) |
\(0.01745329\) |
\(0.001\) |
\(0.99999983\) |
\(0.01745329\) |
\(h \to 0\) |
\(\mathbf{1}\) |
\(\dfrac{\pi}{180} = 0.01745329\ldots\) |
왼쪽 열은 \(1\) 로 수렴한다. 오른쪽 열은 \(0.01745\ldots\) 로 수렴한다. 그 값은 \(\dfrac{\pi}{180}\), 곧 degree를 라디안으로 바꾸는 환산상수다. 이는 단위 환산에서 예상되는 결과다. degree로 측정하면 \(h\) 라는 값이 실제로는 \(\dfrac{\pi h}{180}\) 라디안이므로, 나눗셈에 그 비율이 그대로 남는다. 각도의 단위를 바꾸면 변화율이 그 배율만큼 전체적으로 스케일된다.
degree를 사용하면 미분 공식은 다음 형태가 된다.
두 번 미분하면 상수가 제곱되고, 세 번 미분하면 세제곱된다. 미분할 때마다 상수가 하나씩 추가된다. 물리 방정식을 세울 때마다 \(\dfrac{\pi}{180}\) 을 여러 개 유지해야 한다는 뜻이다. 라디안을 쓰면 그 상수가 모두 \(1\) 이 되어 식에서 사라진다.
\(360\) 이라는 분할은 바빌로니아에서 유래한 규약이며, 일 년이 약 \(360\) 일이라는 관측에 근거한다. 인위적으로 정한 값이므로 자연에는 대응하는 근거가 없다. 라디안은 다르다. 반지름 하나를 호 위에 얹어 정의한 각, 곧 원 자신의 길이로 정의한 각이다. 그래서 미분 계산에서 환산상수가 남지 않는다.
이는 앞의 \(e\) 와 정확히 같은 구조다. \(e\) 는 지수함수의 도함수에 붙는 상수를 \(1\) 로 만드는 밑이고, 라디안은 삼각함수의 도함수에 붙는 상수를 \(1\) 로 만드는 각도 단위다. 수학에서 이 수와 이 단위를 표준으로 채택하는 이유는 미학이 아니라 도함수에 불필요한 상수가 남지 않도록 하기 위해서다.
빈번한 오류#
속을 미분하는 것을 잊는다
\((\sin 3x)' = \cos 3x\), \((e^{2x})' = e^{2x}\), \(((2x+1)^5)' = 5(2x+1)^4\) 처럼 겉만 미분하고 계산을 끝내는 오류다. 연쇄법칙에서 발생하는 오류의 대부분이 이 형태다. 앞에서 배운 규칙이 모두 한 단계로 끝나는 형태였기 때문에, 합성함수의 두 번째 단계가 누락된다. 대응 방법은 절차를 명시화하는 것이다 — 매 문항에서 “겉 미분, 속 미분”을 소리 내어 말하며 다섯 단계를 기록한다.
확인 문제: \((\cos 4x)'\) 와 \((e^{5x})'\). (답: \(-4\sin 4x\), \(5e^{5x}\). 둘 다 앞에 상수가 나와야 한다.)
degree와 라디안을 섞는다
계산기가 DEG 모드인 상태에서 \(\sin\dfrac{\pi}{2}\) 를 계산해 \(0.0274\) 와 같은 값을 얻거나, \((\sin x)' = \cos x\) 를 쓰면서 \(x\) 에 \(30\) 을 대입하는 오류다. 이전 학습 과정에서 degree만 사용했기 때문에 degree를 기본 단위로 가정하는 데서 발생한다. 삼각함수는 단위를 지정하지 않으면 값이 정해지지 않는다. 이는 계산 실수가 아니라 정보 누락이다. 미적분에서는 예외 없이 라디안을 사용하고, \(30^\circ\) 가 주어지면 즉시 \(\dfrac{\pi}{6}\) 으로 바꾸어 적는다.
확인 문제: \((\sin x)' = \cos x\) 라고 쓸 때 \(x\) 의 단위는? 그리고 \(x = 60^\circ\) 에서의 기울기는? (답: 라디안. \(\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\).)
\(\sin^2 x\) 와 \(\sin(x^2)\) 을 같은 것으로 본다
두 함수의 도함수를 모두 \(2x\cos x\) 형태로 쓰거나, \(\sin^2 x\) 를 \(\sin(x^2)\) 으로 읽는 오류다. \(\sin^2 x\) 는 \((\sin x)^2\) 을 줄여 쓴 관습적 표기이며, 이 사실이 명시되지 않은 채 사용되는 경우가 많다. \((\sin x)^2\) 은 겉이 제곱·속이 \(\sin x\) 이고, \(\sin(x^2)\) 은 겉이 \(\sin\)·속이 \(x^2\) 이다. 겉과 속이 서로 뒤바뀐 두 함수다. \(\sin^2 x\) 는 \((\sin x)^2\) 으로 고쳐 쓴 뒤 미분한다.
확인 문제: \((\cos^2 x)'\) 와 \((\cos(x^2))'\). (답: \(-2\sin x\cos x\), \(-2x\sin(x^2)\).)
거듭제곱 규칙을 \(e^x\) 에도 쓴다
\((e^x)' = xe^{x-1}\) 또는 \((2^x)' = x \cdot 2^{x-1}\) 이라고 쓰는 오류다. \((x^n)' = nx^{n-1}\) 을 오래 사용했고 “밑과 지수”라는 외형이 동일하기 때문에 같은 규칙이 적용된다. 그러나 \(x^3\) 은 밑이 변하고 지수가 고정된 거듭제곱함수, \(3^x\) 은 밑이 고정되고 지수가 변하는 지수함수로 서로 다른 종류의 함수다. 미분하기 전에 \(x\) 의 위치를 먼저 확인한다. 밑에 있으면 거듭제곱 규칙, 지수에 있으면 지수함수 규칙을 적용한다.
확인 문제: \((x^5)'\) 과 \((e^{5x})'\). (답: \(5x^4\), \(5e^{5x}\). 두 답의 형태가 서로 다르다.)
연습문제#
매 문항에서 “겉 미분, 속 미분”을 소리 내어 확인하며 풀면 속 미분 누락 오류가 줄어든다. A 기본 · B 표준 · C 도전.
A미분하라. (1) \((4x+1)^3\) (2) \((x^2+5)^4\) (3) \((1-2x)^6\)A미분하라. (1) \(\sin 5x\) (2) \(\cos 3x\) (3) \(e^{4x}\)A미분하라. (1) \(\ln 2x\) (2) \(e^{-3x}\) (3) \(\sin(x^2)\)A\((2x-1)^2\) 을 두 가지 방법으로 미분하고 결과가 같은지 확인하라. (가) 연쇄법칙 (나) 전개 후 미분A미분하지 말고, 각각의 속 \(u\) 와 겉함수만 쓰라. (1) \((2x+5)^7\) (2) \(\sin(x^3)\) (3) \(e^{1-x}\)B미분하라. (1) \(\sqrt{3x+1}\) (2) \(\dfrac{1}{(x+2)^3}\)B미분하라. (1) \(x^2e^{3x}\) (2) \(e^x\sin x\)B두 개를 나란히 미분하고, 무엇이 다른지 한 줄로 쓰라. (1) \(\sin^2 x\) (2) \(\sin(x^2)\)B\(\ln(x^2+1)\) 을 미분하라.B\(e^{\sin x}\) 을 미분하라.B어떤 배양접시의 세균 수가 \(N(t) = 100e^{0.5t}\) 마리다(\(t\) 는 시간). \(t=0\) 과 \(t=2\) 에서 증가 속도(시간당 마리 수)를 각각 구하라.B관람차의 높이가 \(h(t) = 20 - 15\cos\left(\dfrac{\pi}{30}t\right)\) 미터다(\(t\) 는 초, 각도는 라디안). \(t=15\) 초일 때 상승 속도(초당 미터)를 구하라.C미분하라. (1) \(e^{\cos 2x}\) (2) \(\ln(\sin x)\)C어떤 학생이 \((\sin 3x)' = \cos 3x\) 라고 썼다. 무엇을 빠뜨렸는지 한 문장으로 지적하고 정답을 쓰라.
정답과 해설
(1) \(12(4x+1)^2\) (2) \(8x(x^2+5)^3\) (3) \(-12(1-2x)^5\) — (3)의 속 미분 \(-2\) 를 \(+2\) 로 쓰면 부호가 반대가 된다.
(1) \(5\cos 5x\) (2) \(-3\sin 3x\) (3) \(4e^{4x}\) — 세 개 모두 속이 \((\text{상수}) \times x\) 이므로 그 상수가 앞에 나온다.
(1) \(\dfrac{1}{x}\) — \(\dfrac{1}{2x}\cdot 2\). \(\ln 2x = \ln 2 + \ln x\) 로도 확인된다. (2) \(-3e^{-3x}\) (3) \(2x\cos(x^2)\)
(가) \(2(2x-1)\cdot 2 = 8x-4\). (나) \(4x^2-4x+1\) 을 미분하면 \(8x-4\). 같다. 연쇄법칙이 전개 후 미분의 축약임을 직접 확인하는 문항이다.
(1) \(u = 2x+5\), 겉은 7제곱 (2) \(u = x^3\), 겉은 \(\sin\) (3) \(u = 1-x\), 겉은 \(e^{(\ )}\) — 분해가 정확하면 나머지는 기계적으로 따라온다.
(1) \(\dfrac{3}{2\sqrt{3x+1}}\) — \((3x+1)^{1/2}\) 로 고쳐서 \(\dfrac{1}{2}(3x+1)^{-1/2}\cdot 3\). (2) \(-\dfrac{3}{(x+2)^4}\) — \((x+2)^{-3}\) 으로 고쳐서 \(-3(x+2)^{-4}\cdot 1\).
(1) \(2xe^{3x} + 3x^2e^{3x} = xe^{3x}(3x+2)\) — 곱의 법칙 안에 연쇄법칙이 포함된다. (2) \(e^x\sin x + e^x\cos x = e^x(\sin x + \cos x)\)
(1) \(2\sin x\cos x\) (2) \(2x\cos(x^2)\). 차이: (1)은 겉이 제곱·속이 \(\sin x\), (2)는 겉이 \(\sin\)·속이 \(x^2\). 겉과 속이 서로 뒤바뀐 두 함수다. 표기가 유사할 뿐 서로 다른 함수다.
\(\dfrac{2x}{x^2+1}\)
\(e^{\sin x}\cos x\) — 빈번한 오류는 \(e^{\cos x}\) 라고 쓰는 것이다. 지수 자리를 미분해 대체하는 것이 아니라, \(e^{(\text{속})}\) 는 그대로 두고 뒤에 속 미분을 곱한다.
\(N'(t) = 50e^{0.5t}\). \(t=0\): 시간당 \(50\) 마리. \(t=2\): \(50e \approx 135.9\), 즉 시간당 약 \(136\) 마리. 두 시간 동안 증가 속도가 \(2.7\) 배가 되었다. 지수 증가에서는 “값”뿐 아니라 “증가 속도”도 같은 비율로 커진다.
\(h'(t) = 15 \cdot \sin\left(\dfrac{\pi}{30}t\right) \cdot \dfrac{\pi}{30} = \dfrac{\pi}{2}\sin\left(\dfrac{\pi}{30}t\right)\). \(t=15\) 이면 \(\dfrac{\pi}{30}\cdot 15 = \dfrac{\pi}{2}\) 이고 \(\sin\dfrac{\pi}{2} = 1\) 이므로 \(h'(15) = \dfrac{\pi}{2} \approx 1.57\), 초당 약 \(1.57\) 미터. 이 관람차는 한 바퀴에 \(60\) 초가 걸리고 \(t=15\) 는 측면(높이 \(20\) m)을 지나는 순간이며, 상승 속도가 최대인 지점이다. degree로 계산하면 답이 \(\dfrac{\pi}{180}\) 배로 어긋난다.
(1) \(-2\sin(2x)\,e^{\cos 2x}\) — 삼중 합성이다. 겉(\(e\)), 중간(\(\cos\)), 속(\(2x\))을 순서대로 곱한다. (2) \(\dfrac{\cos x}{\sin x}\)
속 미분 \(3\) 을 빠뜨렸다. 정답은 \(3\cos 3x\). 확인 방법: \(x\) 가 조금 변하면 \(3x\) 는 세 배로 변하므로 변화율도 세 배가 된다.
추가 연습문제#
숙달될 때까지는 모든 문항에서 5단계 중 2번과 3번을 따로 적고 곱한다.
다항식 연쇄법칙
\((3x-4)^2\) — 전개해서도 미분하고 두 답을 비교하라
\((x^2+1)^5\)
\((2x+7)^4\)
\((1-x)^3\)
\((x^3+2x)^2\)
\(\sqrt{2x+1}\)
\(\dfrac{1}{3x+1}\)
삼각·지수·로그 + 연쇄
\(\sin 4x\)
\(\cos(2x+1)\)
\(e^{5x}\)
\(e^{-2x}\)
\(\ln 4x\)
\(\ln(x^3)\)
\(\sin(x^2+1)\)
곱·몫의 법칙과 섞기
\(x\sin x\)
\(x^2e^x\)
\(e^{2x}\cos x\)
\(\dfrac{\sin x}{x}\)
\(\cos^2 x\)
\(\ln(\cos x)\)
\(e^{x^2}\)
문장제 · 설명 문항
뜨거운 커피가 식는다. \(t\) 분 뒤 온도가 \(T(t) = 20 + 60e^{-0.05t}\) 섭씨도다. (1) 처음 온도는? (2) \(T'(t)\) 를 구하라. (3) \(t=0\) 과 \(t=20\) 에서 온도가 분당 몇 도씩 떨어지는가? (4) 시간이 지날수록 식는 속도는 빨라지는가 느려지는가?
진자가 \(x(t) = 0.5\cos 2t\) 미터 위치에 있다(\(t\) 는 초, 각도는 라디안). (1) 속도 \(x'(t)\) 를 구하라. (2) \(t = \dfrac{\pi}{4}\) 초일 때 속도는?
어떤 학생이 \((\sin 3x)' = \cos 3x\) 라고 썼다. 무엇을 빠뜨렸는지, 그리고 왜 그것이 필요한지 두 문장으로 쓰라.
라디안 대신 degree를 쓰면 \((\sin x)'\) 이 무엇이 되는지 쓰고, 왜 그런 상수가 붙는지 한 문장으로 설명하라.
(선택) 3Blue1Brown의 Essence of Calculus 4화는 연쇄법칙과 곱의 법칙의 시각적 직관을 다룬다. 보고 나서, 영상이 연쇄법칙을 “두 개의 작은 변화를 이어 붙인 것”으로 설명하는 방식이 이 장의 톱니바퀴 그림과 어떻게 같은 이야기인지 두 문장으로 써 보라.
정답과 해설
\(6(3x-4) = 18x-24\) — 전개: \(9x^2-24x+16\), 미분: \(18x-24\). 같다.
\(10x(x^2+1)^4\)
\(8(2x+7)^3\)
\(-3(1-x)^2\) — 속 미분이 \(-1\) 이다. 부호를 놓치기 쉽다.
\(2(x^3+2x)(3x^2+2)\) — 전개해서 확인하면 \(6x^5+16x^3+8x\). 어느 형태로 써도 정답이다.
\(\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}\) — \(\dfrac{1}{2}(2x+1)^{-1/2}\cdot 2\) 에서 \(2\) 가 약분된다.
\(-\dfrac{3}{(3x+1)^2}\) — \((3x+1)^{-1}\) 로 고치면 연쇄법칙만으로 계산된다. 몫의 법칙을 써도 같은 답이다.
\(4\cos 4x\) 9. \(-2\sin(2x+1)\) 10. \(5e^{5x}\) 11. \(-2e^{-2x}\)
\(\dfrac{1}{x}\) — 빈번한 오류는 \(\dfrac{1}{4x}\) 라고 쓰고 멈추는 것이다. 속 미분 \(4\) 를 곱하면 \(\dfrac{4}{4x} = \dfrac{1}{x}\).
\(\dfrac{3}{x}\) — \(\dfrac{1}{x^3}\cdot 3x^2\). 또는 \(\ln(x^3) = 3\ln x\) 로 먼저 고쳐도 된다. 두 경로가 같은 답을 준다.
\(2x\cos(x^2+1)\)
\(\sin x + x\cos x\) 16. \(2xe^x + x^2e^x = xe^x(x+2)\)
\(2e^{2x}\cos x - e^{2x}\sin x = e^{2x}(2\cos x - \sin x)\) — 곱의 법칙 안에 연쇄법칙이 포함된다.
\(\dfrac{x\cos x - \sin x}{x^2}\)
\(-2\sin x\cos x\) — \((\cos x)^2\) 이다. 겉은 제곱, 속은 \(\cos x\), 속 미분은 \(-\sin x\) 이다.
\(-\dfrac{\sin x}{\cos x}\)
\(2xe^{x^2}\) — 빈번한 오류는 \(e^{2x}\) 라고 쓰는 것이다. 지수는 그대로 두고 뒤에 속 미분을 곱한다.
(1) \(T(0) = 80\) 도. (2) \(T'(t) = -3e^{-0.05t}\). (3) \(t=0\): 분당 \(3\) 도씩 하강. \(t=20\): \(-3e^{-1} \approx -1.10\), 즉 분당 약 \(1.10\) 도씩 하강. (4) 느려진다. \(e^{-0.05t}\) 가 계속 작아지므로 식는 속도의 크기도 계속 줄어든다. 실제로 커피는 처음에 빠르게 식고 이후에는 천천히 식는다. 계산 결과가 관측과 일치한다.
(1) \(x'(t) = -0.5 \cdot \sin 2t \cdot 2 = -\sin 2t\). (2) \(t=\dfrac{\pi}{4}\) 이면 \(2t = \dfrac{\pi}{2}\), \(\sin\dfrac{\pi}{2} = 1\) 이므로 초당 \(-1\) 미터. 음수는 운동 방향이 반대임을 뜻한다.
예시 답안: “속함수 \(3x\) 의 미분인 \(3\) 을 곱하지 않았다. 정답은 \(3\cos 3x\) 다. \(x\) 가 조금 변할 때 \(3x\) 는 그 세 배로 변하므로, 변화율도 세 배가 되어야 하기 때문이다.”
\((\sin x)' = \dfrac{\pi}{180}\cos x\). 예시 답안: “\(\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin h}{h}\) 가 라디안에서는 \(1\) 이지만 degree로 재면 \(\dfrac{\pi}{180}\) 이 되고, 그 값이 도함수 앞에 그대로 남기 때문이다.”
요약과 다음 장#
이 장의 핵심은 한 문장이다. 겉 미분 곱하기 속 미분. 합성함수는 단계가 두 개이므로 미분도 두 개다. \(\sin(3x^2)\) 의 도함수가 \(6x\cos(3x^2)\) 이고 \(e^{2x}\) 의 도함수가 \(2e^{2x}\) 인 것도, 앞의 상수가 속 미분이라는 같은 사실의 결과다. 이 상수의 누락이 이 단원에서 가장 빈번한 오류다.
여기에 네 개의 새 도함수를 추가했다 — \((\sin x)' = \cos x\), \((\cos x)' = -\sin x\), \((e^x)' = e^x\), \((\ln x)' = \dfrac{1}{x}\). 이들은 암기한 것이 아니라 그래프와 수치표에서 읽어낸 결과다. 그리고 제23장에서 예고한 내용을 확인했다. \(\lim_{h\to0}\dfrac{\sin h}{h} = 1\) 은 라디안일 때만 성립하며, 이것이 \((\sin x)' = \cos x\) 를 상수 없는 형태로 만든다. 라디안과 \(e\) 는 같은 종류의 선택 — 도함수에 붙는 상수를 \(1\) 로 만드는 단위와 수다.
여기까지가 미분의 계산법이다. 제30장에서는 미분의 활용을 다룬다. 첫 번째 활용은 그래프다. 이전에는 점을 여러 개 계산해 이어 그리던 곡선을 도함수 하나로 그린다. 증가 구간과 극값의 위치를 도함수가 결정한다.