제22장 · 지수·로그함수와 삼각함수 ①

내용

제22장 · 지수·로그함수와 삼각함수 ①#

이 장


원본 코드	R3-W02
선행 내용	제21장 — 함수와 그래프
요지	로그는 곱셈을 덧셈으로 바꾸고, 삼각비는 단위원 위의 좌표다.

도입#

종이 한 장을 반으로 접는 조작을 서른 번 반복한 경우의 두께를 계산한다. 종이 한 장의 두께를 \(0.1\) mm라 하면, 한 번 접을 때마다 두께가 두 배가 된다. 서른 번 접으면 \(2\) 를 서른 번 곱한 것이다.

\[2^{30} = 1{,}073{,}741{,}824\]

\[0.1 \ \text{mm} \times 1{,}073{,}741{,}824 = 107{,}374{,}182.4 \ \text{mm} \approx 107 \ \text{km}\]

서른 번 접은 결과의 두께는 \(107\) 킬로미터이며, 이는 서울에서 대전에 이르는 거리에 해당한다. 한 걸음마다 일정한 양을 더하는 변화에 맞추어진 직관으로는 이러한 증가의 규모를 예측하기 어렵다. 여기서 두께를 결정하는 함수는 더하는 함수가 아니라 곱하는 함수이다. 이것이 지수함수이다.

이 장에서 다루는 두 번째 함수는 그 역방향의 함수이다. 즉 되묻는 함수 — “몇 번 접어야 \(107\) km가 되는가”를 묻는 함수이다. 이것이 로그이다.

세 번째 대상은 성격이 다르다. 다음 식을 먼저 제시한다.

\[\sin 100^\circ = \ ?\]

\(100^\circ\) 인 각의 사인은 직각삼각형에서 정의한 삼각비만으로는 설명되지 않는다. 이 값은 이 장 후반에서 단위원을 그려 읽는다.

지수함수는 한 걸음에 같은 배를 곱한다#

일차함수는 한 걸음에 같은 양을 더한다. 지수함수는 한 걸음에 같은 배를 곱한다. 이 차이가 \(107\) 킬로미터라는 결과를 만든다.

두 함수의 값을 표로 나란히 비교한다.

\[\begin{split}y = 2x \ : \ \begin{array}{c|cccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 10 \\ \hline y & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 20 \end{array}\end{split}\]

\[\begin{split}y = 2^x \ : \ \begin{array}{c|cccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 10 \\ \hline y & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 1024 \end{array}\end{split}\]

\(x=2\) 에서는 두 값이 모두 \(4\) 로 같다. \(x=4\) 에서 \(8\) 과 \(16\) 으로 차이가 생기고, \(x=10\) 에서는 \(20\) 과 \(1024\) 로 \(50\) 배가 넘는 차이가 난다. 지수함수는 초기 구간에서 증가가 완만하지만, 구간이 진행될수록 증가량이 급격히 커진다.

\(x\) 가 음수인 구간과 \(0\) 에서의 값도 확인한다.

\[\begin{split}\begin{array}{c|ccc} x & -2 & -1 & 0 \\ \hline 2^x & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 1 \end{array}\end{split}\]

\(2^0 = 1\), \(2^{-1} = \dfrac{1}{2}\) 은 새로운 규칙이 아니라 앞에서 다룬 지수법칙에서 그대로 따라 나온다. 여기서 중요한 사실은 다음이다. \(2^x\) 는 \(0\) 이 되지 않는다. \(x\) 가 작아질수록 값은 계속 절반씩 줄어들지만 \(0\) 에는 도달하지 않는다. 그래프는 \(x\) 축에 한없이 가까워진다.

그래프의 왼쪽 끝은 \(x\) 축에 한없이 가까워지되 만나지 않고, 오른쪽에서는 값이 급격히 커진다. 이 “가까워지되 만나지 않는다”는 성질은 극한에서 정식 용어로 정의된다.

지수함수가 실제로 쓰이는 대표적인 예는 복리 계산이다. 원금 \(100\) 만원을 연 이자 \(5\%\) 로 맡기면 \(1\) 년 뒤에는

\[100 \times 1.05 = 105 \ \text{만원}\]

이 된다. \(2\) 년, \(3\) 년으로 가면 다음과 같다.

\[2 \text{년} \ : \ 100 \times 1.05^2 = 110.25 \qquad 3 \text{년} \ : \ 100 \times 1.05^3 = 115.7625\]

\(2\) 년 뒤 금액은 \(110\) 만원이 아니라 \(110.25\) 만원이다. 차액 \(2500\) 원은 이자에 다시 붙은 이자이며, 이것이 복리이다. \(1.05\) 를 \(n\) 번 곱하는 것이므로

\[A(n) = 100 \times 1.05^n\]

이 성립하며, 이는 지수함수이다. \(30\) 년이면 \(1.05^{30} \approx 4.32\) 이므로 원금의 \(4\) 배를 넘는다. 비율이 \(5\%\) 로 작아도 \(30\) 회 반복해 곱하면 앞의 종이접기와 같은 구조의 증가가 나타난다.

로그는 지수를 되묻는 함수다#

로그는 “밑을 몇 번 곱해야 이 수가 되는가”를 되묻는 함수이며, 지수함수의 역함수이다.

같은 사실을 두 가지 방식으로 표기한다.

\[2^6 = 64 \qquad \Longleftrightarrow \qquad \log_2 64 = 6\]

두 식은 같은 내용을 서술한다. 왼쪽은 “\(2\) 를 \(6\) 번 곱하면 \(64\) 이다”, 오른쪽은 “\(64\) 가 되려면 \(2\) 를 \(6\) 번 곱해야 한다”이며, 진술의 방향만 다르다. 앞 장에서 다룬 역함수의 구체적인 예가 이것이다.

읽는 방식을 고정한다. \(\log_2 64\) 는 **”\(2\) 를 몇 번 곱해야 \(64\) 가 되는가”**로 읽는다. 이 방식으로 읽으면 식의 의미가 그대로 드러난다. “로그 이의 육십사”라는 기호적 읽기에는 의미가 남지 않는다.

같은 방식으로 읽으면 다음 값이 바로 나온다.

\[\log_2 8 = 3 \qquad \log_3 81 = 4 \qquad \log_{10} 1000 = 3\]

밑이 \(10\) 인 로그는 사용 빈도가 높아 밑을 생략해 표기한다. 계산기의 log 버튼이 이에 해당한다. \(\log 1000 = 3\) 이다.

로그는 지수함수의 역함수이므로, 그래프는 직선 \(y=x\) 에 대해 대칭이다.

지수 그래프는 \((0,1)\) 을 지나고, 로그 그래프는 \((1,0)\) 을 지난다. 좌표의 순서가 서로 바뀌어 있다. 역함수는 점 \((a,b)\) 를 점 \((b,a)\) 로 대응시키기 때문이다. 그리고 지수함수의 값이 \(0\) 이 되지 않는 것에 대응하여, 로그함수는 \(0\) 이하의 수를 입력으로 받지 않는다. \(2\) 를 몇 번 곱해도 \(0\) 이하의 값은 나오지 않기 때문이다.

곱셈을 덧셈으로 바꾼다#

로그가 도입된 이유는 다음 성질에 있다.

\[\log(ab) = \log a + \log b\]

로그는 곱셈을 덧셈으로 바꾼다. \(400\) 년 전 천문학자들은 이 성질을 이용해 곱셈 계산을 덧셈 계산으로 바꾸어, 몇 달이 걸리던 계산 시간을 줄였다. 덧셈이 곱셈보다 계산 부담이 작기 때문이다.

이 성질은 따로 외우는 규칙이 아니라 지수법칙에서 유도된다. 같은 밑의 거듭제곱끼리 곱하면 지수는 더해진다.

\[2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7\]

로그는 지수를 되묻는 함수이므로, 곱에 대해 물으면 지수의 합이 답이 된다. 수치로 확인하면 다음과 같다.

\[\log_2 8 + \log_2 16 = 3 + 4 = 7 = \log_2 128, \qquad 8 \times 16 = 128\]

양변이 일치한다. 로그의 성질 세 가지를 정리하면 다음과 같다.

\[\log(ab) = \log a + \log b\]

\[\log\frac{a}{b} = \log a - \log b\]

\[\log a^n = n \log a\]

세 식 모두 지수법칙에서 유도된다. 곱은 덧셈으로, 나눗셈은 뺄셈으로, 거듭제곱은 곱셈으로 바뀌어 연산의 단계가 한 단계씩 내려간다.

첫 식만 확인하고 넘어가면 나머지 두 식이 서로 혼동되기 쉽다. 각각을 따로 확인한다. 나눗셈 식은 첫 식과 같은 방식으로 수치 확인이 가능하다.

\[\log_2 16 - \log_2 8 = 4 - 3 = 1 = \log_2 2, \qquad 16 \div 8 = 2\]

뺄셈 \(4-3=1\) 이 나눗셈 \(16\div8=2\) 에 대응한다. 지수를 뺄 때 밑끼리는 나누어지기 때문이다(\(2^4 \div 2^3 = 2^{4-3}\)).

거듭제곱 식은 첫 식에서 곧바로 유도된다. 거듭제곱은 같은 수를 여러 번 곱한 것이므로, 곱셈 규칙을 반복해서 적용하면 된다.

\[\log a^3 = \log(a \cdot a \cdot a) = \log a + \log a + \log a = 3\log a\]

거듭제곱이 곱셈의 반복이므로, 로그를 거치면 덧셈의 반복 곧 곱셈이 된다. 수치로도 일치한다.

\[\log_2 8^2 = \log_2 64 = 6, \qquad 2\log_2 8 = 2 \times 3 = 6\]

\(n\) 이 로그 기호 밖으로 나와 곱해진다는 점에 유의한다. \(n\) 을 지수 자리에 그대로 두면 식이 성립하지 않는다.

로그는 덧셈을 통과하지 못한다#

여기서 빈번한 오류 하나를 확인한다. 계산기로 두 값을 직접 구해 비교한다.

\[\log(2+3) \qquad \text{vs} \qquad \log 2 + \log 3\]

왼쪽 값은 다음과 같다.

\[\log 5 = 0.69897\ldots\]

오른쪽 값은 다음과 같다.

\[\log 2 + \log 3 = 0.30103 + 0.47712 = 0.77815\ldots\]

\(0.699\) 와 \(0.778\) 은 다르다. \(0.778\) 이 무엇인지는 \(\log 6\) 을 계산하면 확인된다.

\[\log 6 = 0.77815\ldots\]

\(\log 2 + \log 3\) 은 \(\log 6\) 이며 \(\log 5\) 가 아니다. 로그가 통과시키는 연산은 덧셈이 아니라 곱셈이다(\(2 \times 3 = 6\)). 로그는 덧셈을 통과하지 못한다.

같은 형태의 오류는 앞에서도 나타났다. 세 식을 나란히 제시한다.

\[\sqrt{a+b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}\]

\[(a+b)^2 \ne a^2 + b^2\]

\[\log(a+b) \ne \log a + \log b\]

세 경우 모두 동일한 오류이며, 바깥의 연산만 근호에서 제곱으로, 다시 로그로 바뀌었다. 즉 바깥 연산이 덧셈을 그대로 통과한다는 오류이다. 이 오류는 이후 다른 연산에서도 같은 형태로 나타난다.

삼각함수는 삼각형이 아니라 원의 함수다#

삼각함수는 삼각형의 함수가 아니라 원의 함수이다. 각 \(\theta\) 만큼 회전했을 때 단위원 위에 도착한 점의 좌표가 \((\cos\theta, \sin\theta)\) 이다.

직각삼각형의 삼각비#

직각삼각형에서 삼각비는 다음과 같이 정의된다.

\[\sin\theta = \frac{\text{높이}}{\text{빗변}} \qquad \cos\theta = \frac{\text{밑변}}{\text{빗변}} \qquad \tan\theta = \frac{\text{높이}}{\text{밑변}}\]

세 변이 \(3\)–\(4\)–\(5\) 인 직각삼각형에서 높이 \(3\) 에 마주 보는 각을 \(\theta\) 라 하면

\[\sin\theta = \frac{3}{5} \qquad \cos\theta = \frac{4}{5} \qquad \tan\theta = \frac{3}{4}\]

이 성립한다. 이 정의는 틀린 정의가 아니다. 다만 적용 범위가 좁다. 그 한계를 다음 물음으로 확인한다.

정의의 한계 — \(\sin 100^\circ\)#

\(100^\circ\) 인 각을 갖는 직각삼각형은 존재하지 않는다. 직각이 이미 \(90^\circ\) 를 차지하고, 삼각형 세 각의 합은 \(180^\circ\) 이므로 나머지 두 각의 합은 \(90^\circ\) 이다. 즉 직각삼각형의 나머지 각은 \(90^\circ\) 를 넘을 수 없다. 따라서 위 정의로는 \(\sin 100^\circ\) 를 정의할 방법이 없다.

그러나 계산기에서 (DEG 모드로) \(\sin 100\) 을 계산하면 값이 나온다.

\[\sin 100^\circ = 0.9848\ldots\]

이 값은 실제로 존재한다. 앞의 정의로는 정의되지 않는 값이 계산기에서는 얻어진다. 문제는 계산기가 아니라 정의의 범위에 있다. 정의의 적용 범위가 좁았던 것이다. 직각삼각형에 의한 정의는 \(0^\circ\) 부터 \(90^\circ\) 까지만 다룰 수 있으나, 각의 크기는 그 범위에 한정되지 않는다.

정의의 확장 — 단위원#

반지름이 \(1\) 인 원을 그린다. 이것을 단위원이라 한다. \(x\) 축의 양의 방향에서 출발해 반시계 방향으로 각 \(\theta\) 만큼 회전한다. 그때 도착한 점 \(P\) 의 좌표를 다음과 같이 정의한다.

\[\text{단위원 위의 점 } P = (\cos\theta, \ \sin\theta)\]

\(\cos\) 이 가로 좌표이고 \(\sin\) 이 세로 좌표이다.

이 정의는 이전 정의를 폐기하는 것이 아니라 확장하는 것이다. 위 그림에서 원점 \(O\), 점 \(P\), 그리고 \(P\) 아래 \(x\) 축 위의 점, 이 셋은 직각삼각형을 이룬다. 빗변은 반지름이므로 길이가 \(1\) 이다. 그러면

\[\sin\theta = \frac{\text{높이}}{\text{빗변}} = \frac{\text{높이}}{1} = \text{높이} = y \text{좌표}\]

가 성립한다. 빗변이 \(1\) 이므로 분모가 \(1\) 이 되고, \(\sin\) 은 세로 좌표와 같아진다. 이전 정의가 새 정의 안에 그대로 포함되어 있다. 정의를 대체한 것이 아니라 확장한 것이다. \(\cos\) 도 같은 방식으로 \(\dfrac{\text{밑변}}{1} = \text{밑변} = x\) 좌표가 된다.

확장되는 것은 \(\sin\) 과 \(\cos\) 만이 아니다. \(\tan\) 도 함께 정의된다. 높이가 \(y\), 밑변이 \(x\) 이므로 이전 정의를 좌표로 옮겨 적으면 다음과 같다.

\[\tan\theta = \frac{\text{높이}}{\text{밑변}} = \frac{y}{x} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\]

\(\tan\) 은 별도의 정의를 필요로 하지 않는다. 세로 좌표를 가로 좌표로 나눈 값, 곧 \(\sin\) 을 \(\cos\) 으로 나눈 값이다. 따라서 \(\tan 100^\circ\) 와 \(\tan 200^\circ\) 도 정의된다. 해당 위치의 좌표를 나누면 된다.

\[\tan 0^\circ = \frac{0}{1} = 0 \qquad \tan 45^\circ = \frac{\sqrt2/2}{\sqrt2/2} = 1\]

\(100^\circ\) 도 같은 방식으로 계산된다. 그 위치의 좌표는 다음 절에서 읽으며, 값은 \((\cos 100^\circ, \sin 100^\circ) = (-0.1736, \ 0.9848)\) 이다. 두 좌표를 나누면 다음을 얻는다.

\[\tan 100^\circ = \frac{0.9848}{-0.1736} = -5.67\ldots\]

정의되지 않는 입력이 하나 있다. \(\cos\theta = 0\) 이 되는 \(90^\circ\) 와 \(270^\circ\) 이다. 이 두 각에서는 분모가 \(0\) 이므로 \(\tan\) 이 정의되지 않는다. 제21장에서 \(\dfrac{1}{x-3}\) 에 \(x=3\) 을 대입할 수 없다고 한 것과 같은 구조이다. 분모를 \(0\) 으로 만드는 입력은 정의역에 포함되지 않는다.

\(100^\circ\) 의 값 읽기#

\(100^\circ\) 는 \(x\) 축에서 반시계 방향으로 \(100^\circ\) 회전한 위치, 곧 왼쪽 위의 제\(2\)사분면이다. 그 점의 세로 좌표는 \(x\) 축 위쪽에 있으므로 양수이다. 따라서 \(\sin 100^\circ = 0.98\) 이다. 가로 좌표는 \(y\) 축 왼쪽으로 넘어갔으므로 음수이다. 따라서 \(\cos 100^\circ = -0.17\) 이다.

직각삼각형으로는 나타낼 수 없던 \(100^\circ\) 도 단위원에서는 회전량이 조금 더 큰 위치이다. \(200^\circ\) 나 \(500^\circ\) 도 회전을 계속하면 되고, 음수 각은 시계 방향 회전으로 정의한다.

절댓값을 정하는 방법. 앞에서는 부호만 판정했다. \(\sin 150^\circ\) 와 같은 값을 실제로 구하려면 절댓값도 필요하다. 절댓값은 새로 외우는 것이 아니라 이미 알고 있는 \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) 의 값에서 그대로 가져온다(그 값들은 아래 표에 있다). \(150^\circ\) 의 경우를 끝까지 계산한다.

\(150^\circ\) 는 \(180^\circ\) 보다 \(30^\circ\) 작은 각이다. 단위원에서 \(150^\circ\) 의 점은 \(30^\circ\) 의 점을 세로축(\(y\) 축)에 대해 대칭 이동시킨 위치이다. 대칭 이동에서 세로 좌표는 변하지 않으므로 \(30^\circ\) 와 같은 \(\dfrac{1}{2}\) 이고, 가로 좌표는 왼쪽으로 넘어가 부호가 바뀌어 \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 가 된다.

	\(30^\circ\) (1사분면)	\(150^\circ\) (2사분면)
가로 \(= \cos\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
세로 \(= \sin\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)

규칙은 다음 한 줄이다. 절댓값은 가까운 축까지의 각에서 그대로 가져오고, 부호는 사분면에서 판정한다. 가까운 축까지의 각도 뺄셈 한 번으로 구한다. \(120^\circ\) 는 \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\), \(210^\circ\) 는 \(210^\circ - 180^\circ = 30^\circ\), \(300^\circ\) 는 \(360^\circ - 300^\circ = 60^\circ\) 이다.

\[\sin 120^\circ = +\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \qquad (60^\circ \text{ 자리의 크기, 2사분면의 부호})\]

\[\sin 210^\circ = -\frac{1}{2}, \quad \cos 210^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \qquad (30^\circ \text{ 자리의 크기, 3사분면의 부호})\]

계산기로 검산할 수 있다. \(\sin 150^\circ = 0.5\) 이고 \(\sin 30^\circ = 0.5\) 로 두 값이 같다. \(\sin 120^\circ = 0.8660\ldots\) 이고 \(\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 0.8660\ldots\) 로 두 값이 같다. 세로축에 대한 대칭 이동에서 세로 좌표는 보존된다.

주요 각의 값은 암기 대상이 아니라 단위원에서 읽는 값이다.

\(\theta\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)	\(180^\circ\)	\(270^\circ\)
\(\cos\theta\)	\(1\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(0\)	\(-1\)	\(0\)
\(\sin\theta\)	\(0\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)	\(0\)	\(-1\)

\(90^\circ\) 는 맨 위의 점 \((0,1)\), \(180^\circ\) 는 왼쪽 끝의 점 \((-1,0)\), \(270^\circ\) 는 맨 아래의 점 \((0,-1)\) 이다. 값이 기억나지 않으면 단위원을 그려 읽는다. 부호도 사분면에서 읽는다. \((\cos, \sin)\) 의 순서로 쓰면 다음과 같다.

\[\text{1사분면} (+,+) \quad \text{2사분면} (-,+) \quad \text{3사분면} (-,-) \quad \text{4사분면} (+,-)\]

\(e\) 와 \(\ln\)#

계산기에는 log 옆에 ln 버튼이 있다. 이것은 밑이 \(e\) 인 로그이다. \(e\) 는 다음 값을 갖는 수이다.

\[e = 2.71828\ldots\]

\(\pi\) 와 마찬가지로 유한한 소수로 표현되지 않는 수이며, 복리 계산에서 나온다. 연 \(100\%\) 의 이자를 무한히 잘게 나누어 적용하면 원금은 \(2\) 배나 \(3\) 배가 아니라 \(2.718\ldots\) 배가 된다.

\[\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \ \to \ e \qquad (n \text{이 커질수록})\]

\[n=10 \ : \ 2.594 \qquad n=1000 \ : \ 2.717 \qquad n = 10000 \ : \ 2.718\]

\(e\) 가 이 값을 갖는 이유와 이 수가 수학 전반에서 기준이 되는 이유는 미분에서 설명된다. \(e\) 는 미분해도 자기 자신이 되는 유일한 함수의 밑이다. 이 장에서는 ln 이 밑 \(e\) 인 로그라는 것과, 로그의 성질이 밑에 관계없이 성립한다는 것만 확인한다.

\[\ln e = 1 \qquad \ln 1 = 0 \qquad \ln e^2 = 2\]

빈번한 오류#

“\(\log(a+b)\) 는 \(\log a + \log b\) 로 쪼갤 수 있다”

\(\log(ab) = \log a + \log b\) 는 참이다. 오류는 이 지점에서 발생한다. “로그는 쪼갤 수 있다”만 기억하고 무엇을 쪼갤 수 있는지를 놓치면, 곱셈에서만 성립하는 성질을 덧셈에 잘못 적용하게 된다. 로그가 통과시키는 연산은 곱셈이며 덧셈이 아니다. 이것은 \(\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}\), \((a+b)^2\ne a^2+b^2\) 과 같은 유형의 오류, 곧 “바깥 연산이 덧셈을 그대로 통과한다”는 오류이다.

확인 문제: 참인지 거짓인지 판정하라. (가) \(\log(4 \times 25) = \log 4 + \log 25\) (나) \(\log(4 + 25) = \log 4 + \log 25\) (답: (가) 참 — 양변 다 \(\log 100 = 2\). (나) 거짓.)

“삼각함수는 직각삼각형 안에서만 정의된다”

직각삼각형에서 정의한 삼각비는 그 삼각형 안에서만 성립하는 정의이며, 틀린 정의가 아니라 적용 범위가 좁은 정의이다. 그 정의로 다룬 문제의 각이 모두 \(90^\circ\) 이하였으므로 범위의 한계가 드러나지 않았을 뿐이다. 각을 “얼마나 회전했는가”로 보고 단위원 위 점의 좌표 \((\cos\theta, \sin\theta)\) 로 정의하면, \(100^\circ\) 와 \(200^\circ\) 도 회전량이 조금 더 큰 위치가 된다.

확인 문제: \(\sin 120^\circ\) 를 단위원으로 구하고, 왜 양수인지 한 문장으로 말하라. (답: \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) — 제\(2\)사분면이라 점이 \(x\) 축 위쪽에 있어 \(y\) 좌표가 양수다.)

“\(\log_2 8\) 을 나눗셈으로 푼다”

\(\log_2 8\) 을 \(8 \div 2 = 4\) 로 계산하면 틀린 값이 된다. 로그 기호에 수가 둘 있으므로 그 둘 사이에 연산을 적용해야 한다고 보고, 그중 나눗셈을 택하는 데서 생기는 오류이다. 로그는 두 수 사이의 연산이 아니라 지수를 묻는 물음이다. \(\log_2 8\) 은 “\(2\) 를 몇 번 곱해야 \(8\) 이 되나”이고, \(2, 4, 8\) 로 세 번이므로 답은 \(3\) 이다.

확인 문제: \(\log_2 64\) 를 구하고, 그 식을 말로 읽어라. (답: \(6\) — “\(2\) 를 \(6\) 번 곱하면 \(64\) 가 된다.”)

“\(\log\) 와 \(\ln\) 은 다른 종류의 함수다”

\(\ln\) 을 별개의 함수로 보는 것은 표기가 다르고 두 기호를 배우는 시점에 차이가 있기 때문이다. 그러나 둘은 밑만 다른 같은 함수이다. \(\log x = \log_{10} x\), \(\ln x = \log_e x\) 이다. 새로운 함수가 아니다. 로그의 성질은 밑에 관계없이 성립하므로 \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\) 도 참이다.

확인 문제: \(\ln e\), \(\ln 1\), \(\ln e^3\) 을 구하라. (답: \(1\), \(0\), \(3\) — “\(e\) 를 몇 번 곱해야 그 수가 되나”로 읽으면 바로 나온다.)

연습문제#

계산기는 표시된 문항에서만 쓴다. 삼각함수 문항은 매번 단위원을 그려 놓고 푼다. 풀리지 않는 문항은 표시해 두고 다음 문항으로 넘어간다. A 기본 · B 표준 · C 도전.

A 계산하라. (1) \(2^0\) (2) \(2^3\) (3) \(2^{-2}\) (4) \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\)
A 계산하라. (1) \(\log_2 8\) (2) \(\log_3 81\) (3) \(\log_{10} 1000\) (4) \(\log_5 1\)
A \(\log_2 32 = x\) 를 지수 꼴로 고쳐 쓰고 \(x\) 를 구하라.
A 계산기로 \(\log(2+3)\) 과 \(\log 2 + \log 3\) 을 각각 구하고, 두 값이 같은지 다른지 쓰라. 다르다면 \(\log 2 + \log 3\) 은 무엇과 같은가?
A 단위원을 보고 답하라. \(\sin 90^\circ\), \(\cos 90^\circ\), \(\sin 180^\circ\), \(\cos 180^\circ\), \(\sin 270^\circ\)
B \(\log_2 3 = a\), \(\log_2 5 = b\) 일 때 다음을 \(a\), \(b\) 로 나타내라. (1) \(\log_2 15\) (2) \(\log_2 \dfrac{5}{3}\) (3) \(\log_2 9\)
B \(\log_{10} 2 = 0.3010\) 일 때 다음을 구하라. (1) \(\log_{10} 4\) (2) \(\log_{10} 5\) (3) \(\log_{10} 50\)
B 원금 \(100\) 만원을 연 이자 \(5\%\) 의 복리로 \(3\) 년 예치했다. \(3\) 년 뒤 금액을 구하라. (원 단위까지)
B \(\sin 150^\circ\) 와 \(\cos 150^\circ\) 를 단위원으로 구하라.
B 다음 각이 몇 사분면에 있는지 쓰고, \(\sin\) 과 \(\cos\) 의 부호를 각각 판정하라. (1) \(100^\circ\) (2) \(200^\circ\) (3) \(300^\circ\)
B 어떤 방사성 물질이 \(10\) 년마다 양이 절반으로 준다. 처음 \(80\) g이 있었다면 \(40\) 년 뒤에는 몇 g인가? 그리고 \(5\) g이 되는 것은 몇 년 뒤인가?
C \(\sin 100^\circ\) 와 \(\sin 80^\circ\) 를 계산기로 구해 비교하고, 왜 그런 결과가 나오는지 단위원 그림으로 설명하라.
C \(\log_2 x + \log_2 (x-2) = 3\) 을 풀어라. (힌트: 왼쪽을 로그 하나로 합친다)
C “\(\sin 100^\circ\) 는 왜 존재하는가”를 직각삼각형과 단위원을 비교해 세 문장으로 설명하라.

정답과 해설

(1) \(1\) (2) \(8\) (3) \(\dfrac{1}{4}\) (4) \(\dfrac{1}{8}\)
(1) \(3\) (2) \(4\) (3) \(3\) (4) \(0\) — (4)는 “\(5\) 를 \(0\) 번 곱하면 \(1\)”이다.
\(2^x = 32\), \(x = 5\)
\(\log 5 = 0.69897\ldots\) / \(\log 2 + \log 3 = 0.77815\ldots\) / 다르다. \(\log 2 + \log 3 = \log 6\) 이다. 두 값이 같다고 보고 계산기로 확인하지 않는 것이 빈번한 오류이다. 직접 계산해 두 값을 비교하면 차이가 드러난다.
\(1\), \(0\), \(0\), \(-1\), \(-1\)
(1) \(a + b\) — \(15 = 3 \times 5\) (2) \(b - a\) (3) \(2a\) — \(9 = 3^2\)
(1) \(0.6020\) — \(\log 4 = 2\log 2\) (2) \(0.6990\) — \(\log 5 = \log\dfrac{10}{2} = 1 - \log 2\) (3) \(1.6990\) — \(\log 50 = \log 100 - \log 2 = 2 - 0.3010\). (2)에서는 \(5\) 를 직접 다루지 않고 \(\dfrac{10}{2}\) 로 바꾸어 계산한다. 알고 있는 값으로 되돌리는 것이 로그 계산의 기본 절차이다.
\(100 \times 1.05^3 = 115.7625\) 만원 \(= 1{,}157{,}625\) 원. 빈번한 오류는 \(100 \times 1.05 \times 3 = 115\) 만원으로 계산하는 것이다. 복리는 \(1.05\) 를 세 번 곱하는 것이며 이자를 \(3\) 배 하는 것이 아니다.
\(\sin 150^\circ = \dfrac{1}{2}\), \(\cos 150^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) — \(30^\circ\) 의 점을 세로축에 대해 대칭 이동시킨 위치이다. 세로 좌표는 같고 가로 좌표만 부호가 바뀐다.
(1) 2사분면, \(\sin > 0\), \(\cos < 0\) (2) 3사분면, 둘 다 음수 (3) 4사분면, \(\sin < 0\), \(\cos > 0\)
\(5\) g — \(40\) 년은 반감기 \(4\) 번이므로 \(80 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = 5\). \(5\) g이 되는 것도 \(40\) 년 뒤로 같은 답이다. 두 물음은 같은 시점을 가리킨다.
둘 다 \(0.98481\ldots\) 같다. 단위원에서 \(100^\circ\) 와 \(80^\circ\) 는 세로축(\(y\) 축)을 기준으로 대칭인 자리다. 두 점의 높이(\(y\) 좌표)가 같으므로 \(\sin\) 값이 같다. 가로 좌표는 부호가 반대이므로 \(\cos\) 값은 부호만 다르다(\(\pm 0.1736\)).
\(x = 4\) — 왼쪽을 합치면 \(\log_2 x(x-2) = 3\), 즉 \(x(x-2) = 8\), \(x^2 - 2x - 8 = 0\), \((x-4)(x+2)=0\). 빈번한 오류는 \(x = -2\) 도 답으로 쓰는 것이다. 로그 안에는 음수를 넣을 수 없어 \(x > 2\) 여야 하므로 \(x=-2\) 는 버린다. 검산: \(\log_2 4 + \log_2 2 = 2 + 1 = 3\).
예시 답안: “직각삼각형은 직각이 이미 \(90^\circ\) 를 쓰므로 나머지 각이 \(90^\circ\) 를 넘을 수 없다. 그래서 삼각형으로는 \(100^\circ\) 의 \(\sin\) 을 정의할 수 없다. 단위원에서는 각을 ‘얼마나 돌았나’로 보므로 \(100^\circ\) 도 조금 더 돈 자리이고, 그 점의 \(y\) 좌표가 \(\sin 100^\circ\) 다.” — 핵심은 각의 크기 제한이 왜 생기는지와 단위원에서는 왜 생기지 않는지를 둘 다 말하는 것이다.

추가 연습문제#

혼자 푸는 문항이다. 삼각함수 문항은 여기서도 매번 단위원을 그려 놓고 푼다.

지수함수

계산하라. (1) \(3^0\) (2) \(3^2\) (3) \(3^{-1}\) (4) \(3^{-2}\)
\(y = 2^x\) 의 표를 채워라. \(x = -2, -1, 0, 1, 2, 3\)
\(y = 2^x\) 와 \(y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x\) 중 증가하는 것은 어느 쪽인가? 이유도 한 줄로 쓰라.
\(2^x = 64\) 를 만족하는 \(x\) 를 구하라.
두께 \(0.1\) mm인 종이를 \(30\) 번 접으면 두께가 얼마인가? 계산기로 구하고 km 단위로 답하라.

로그

계산하라. (1) \(\log_2 16\) (2) \(\log_3 27\) (3) \(\log_5 125\) (4) \(\log_7 1\) (5) \(\log_4 4\)
\(\log_2 \dfrac{1}{8}\) 을 구하라.
\(\log_{10} 100 + \log_{10} 10\) 을 구하라.
\(\log_3 5 + \log_3 7\) 을 로그 하나로 합쳐라.
\(\log_2 24 - \log_2 3\) 을 계산하라.
\(\log_2 5 = 2.32\) 라 할 때 \(\log_2 125\) 를 구하라. (힌트: \(125 = 5^3\))

단위원

직각삼각형의 세 변이 \(3, 4, 5\) 이고 \(\theta\) 가 길이 \(3\) 인 변에 마주 보는 각일 때, \(\sin\theta\), \(\cos\theta\), \(\tan\theta\) 를 구하라.
단위원을 그려서 답하라. \(\sin 0^\circ\), \(\cos 0^\circ\), \(\sin 90^\circ\), \(\cos 90^\circ\)
\(\sin 30^\circ\), \(\cos 30^\circ\), \(\sin 45^\circ\), \(\cos 60^\circ\) 를 구하라.
\(\sin 120^\circ\), \(\cos 120^\circ\) 를 단위원으로 구하라.
\(\sin 210^\circ\), \(\cos 210^\circ\) 를 단위원으로 구하라.
계산하지 말고 판정만 하라. \(\cos 100^\circ\) 는 양수인가 음수인가? 이유를 한 문장으로 쓰라.

선형성과 \(e\)

계산기로 \(\log(2+3)\) 과 \(\log 2 + \log 3\) 을 각각 소수 다섯 자리까지 구해 적어라. 그리고 \(\log 2 + \log 3\) 이 무엇과 같은지 쓰라.
\(e \approx 2.718\) 이다. \(\ln e\), \(\ln 1\), \(\ln e^2\) 를 구하라.
두 가지를 각각 한 문장으로 쓰라. (1) “로그는 무엇을 되묻는 함수인가” (2) “\(\sin 100^\circ\) 가 왜 존재하는가”

정답과 해설

(1) \(1\) (2) \(9\) (3) \(\dfrac{1}{3}\) (4) \(\dfrac{1}{9}\)
\(\dfrac{1}{4}\), \(\dfrac{1}{2}\), \(1\), \(2\), \(4\), \(8\)
\(y = 2^x\) — 밑이 \(1\) 보다 크므로 곱할수록 커진다. \(\dfrac{1}{2}\) 은 곱할수록 작아진다.
\(x = 6\)
\(0.1 \times 2^{30} = 0.1 \times 1{,}073{,}741{,}824 = 107{,}374{,}182.4\) mm \(\approx\) \(107\) km. \(30\) 번 접는 것은 “\(30\) 배”가 아니라 “\(2\) 를 \(30\) 번 곱하기”이다. 곱셈의 누적은 덧셈의 누적과 증가 양상이 전혀 다르다.
(1) \(4\) (2) \(3\) (3) \(3\) (4) \(0\) (5) \(1\)
\(-3\) — \(2^{-3} = \dfrac{1}{8}\)
\(3\) — \(2 + 1\)
\(\log_3 35\)
\(3\) — \(\log_2 8\)
\(6.96\) — \(\log_2 125 = \log_2 5^3 = 3\log_2 5 = 3 \times 2.32\)
\(\sin\theta = \dfrac{3}{5}\), \(\cos\theta = \dfrac{4}{5}\), \(\tan\theta = \dfrac{3}{4}\)
\(0\), \(1\), \(1\), \(0\) — \(0^\circ\) 는 점 \((1,0)\), \(90^\circ\) 는 점 \((0,1)\)
\(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\dfrac{1}{2}\)
\(\sin 120^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}\) — 2사분면
\(\sin 210^\circ = -\dfrac{1}{2}\), \(\cos 210^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) — 3사분면이라 둘 다 음수
음수 — \(100^\circ\) 는 2사분면이고, 그 점은 \(y\) 축 왼쪽에 있으므로 \(x\) 좌표가 음수다.
\(\log 5 = 0.69897\) / \(\log 2 + \log 3 = 0.77815\) / \(\log 2 + \log 3 = \log 6\) 이다. 로그가 통과시키는 연산은 곱셈이며 덧셈이 아니다. 이 오류는 앞에서 다룬 근호(\(\sqrt{a+b}\))와 제곱(\((a+b)^2\))에서의 오류와 같은 유형이다.
\(1\), \(0\), \(2\)
예시 답안: (1) “로그는 ‘밑을 몇 번 곱해야 이 수가 되는가’를 되묻는 함수다. 지수함수의 역함수다.” (2) “삼각함수를 직각삼각형이 아니라 단위원 위의 좌표로 정의하면, \(100^\circ\) 는 반시계로 조금 더 돈 자리이고 그 점의 \(y\) 좌표가 \(\sin 100^\circ\) 다.”

요약과 다음 장#

이 장의 핵심은 세 가지다. 지수함수는 한 걸음에 같은 배를 곱하는 함수이고, 로그는 그것을 되묻는 역함수로서 곱셈을 덧셈으로 바꾼다. 그리고 삼각함수는 삼각형의 함수가 아니라 단위원 위 점의 좌표 \((\cos\theta, \sin\theta)\) 이다. 이 정의 하나가 \(\sin 100^\circ\) 같은 값이 왜 존재하는지를 설명한다. 로그가 덧셈을 통과하지 못한다는 것(\(\log(a+b)\ne\log a+\log b\))도 함께 확인했다.

이 장에서 각은 모두 도 단위로 측정했다. 한 바퀴를 \(360\) 도로 정한 근거를 확인한다.

\[360\]

\(100\) 도나 \(1000\) 도가 아니라 \(360\) 도인 데에 수학적인 근거는 없다. 오래전에 그렇게 정해진 값이 관습으로 이어져 온 것이며, 사람이 정한 임의의 수이다. 그러나 미적분에서는 이 단위가 적합하지 않으므로 다른 단위가 필요하다. 제23장에서 그 단위인 라디안을 다룬다.