# 제22장 · 지수·로그함수와 삼각함수 ① :::{admonition} 이 장 :class: seealso | | | |---|---| | **원본 코드** | R3-W02 | | **선행 내용** | [제21장](ch21.md) — 함수와 그래프 | | **요지** | 로그는 곱셈을 덧셈으로 바꾸고, 삼각비는 단위원 위의 좌표다. | ::: ## 도입 종이 한 장을 반으로 접는 조작을 서른 번 반복한 경우의 두께를 계산한다. 종이 한 장의 두께를 $0.1$ mm라 하면, 한 번 접을 때마다 두께가 두 배가 된다. 서른 번 접으면 $2$ 를 서른 번 곱한 것이다. $$2^{30} = 1{,}073{,}741{,}824$$ $$0.1 \ \text{mm} \times 1{,}073{,}741{,}824 = 107{,}374{,}182.4 \ \text{mm} \approx 107 \ \text{km}$$ 서른 번 접은 결과의 두께는 $107$ 킬로미터이며, 이는 서울에서 대전에 이르는 거리에 해당한다. 한 걸음마다 일정한 양을 **더하는** 변화에 맞추어진 직관으로는 이러한 증가의 규모를 예측하기 어렵다. 여기서 두께를 결정하는 함수는 더하는 함수가 아니라 **곱하는 함수**이다. 이것이 지수함수이다. 이 장에서 다루는 두 번째 함수는 그 역방향의 함수이다. 즉 **되묻는 함수** — "몇 번 접어야 $107$ km가 되는가"를 묻는 함수이다. 이것이 로그이다. 세 번째 대상은 성격이 다르다. 다음 식을 먼저 제시한다. $$\sin 100^\circ = \ ?$$ $100^\circ$ 인 각의 사인은 직각삼각형에서 정의한 삼각비만으로는 설명되지 않는다. 이 값은 이 장 후반에서 단위원을 그려 읽는다. ## 지수함수는 한 걸음에 같은 배를 곱한다 일차함수는 한 걸음에 같은 **양**을 더한다. 지수함수는 한 걸음에 같은 **배**를 곱한다. 이 차이가 $107$ 킬로미터라는 결과를 만든다. 두 함수의 값을 표로 나란히 비교한다. $$y = 2x \ : \ \begin{array}{c|cccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 10 \\ \hline y & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 20 \end{array}$$ $$y = 2^x \ : \ \begin{array}{c|cccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 10 \\ \hline y & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 1024 \end{array}$$ $x=2$ 에서는 두 값이 모두 $4$ 로 같다. $x=4$ 에서 $8$ 과 $16$ 으로 차이가 생기고, $x=10$ 에서는 $20$ 과 $1024$ 로 $50$ 배가 넘는 차이가 난다. 지수함수는 초기 구간에서 증가가 완만하지만, 구간이 진행될수록 증가량이 급격히 커진다. $x$ 가 음수인 구간과 $0$ 에서의 값도 확인한다. $$\begin{array}{c|ccc} x & -2 & -1 & 0 \\ \hline 2^x & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 1 \end{array}$$ $2^0 = 1$, $2^{-1} = \dfrac{1}{2}$ 은 새로운 규칙이 아니라 앞에서 다룬 지수법칙에서 그대로 따라 나온다. 여기서 중요한 사실은 다음이다. **$2^x$ 는 $0$ 이 되지 않는다.** $x$ 가 작아질수록 값은 계속 절반씩 줄어들지만 $0$ 에는 도달하지 않는다. 그래프는 $x$ 축에 한없이 가까워진다. ```{image} /_static/figs/ch22_exp.svg :alt: 지수함수 y=2^x 그래프 :width: 300px :align: center :class: chfig ``` 그래프의 왼쪽 끝은 $x$ 축에 한없이 가까워지되 만나지 않고, 오른쪽에서는 값이 급격히 커진다. 이 "가까워지되 만나지 않는다"는 성질은 극한에서 정식 용어로 정의된다. 지수함수가 실제로 쓰이는 대표적인 예는 복리 계산이다. 원금 $100$ 만원을 연 이자 $5\%$ 로 맡기면 $1$ 년 뒤에는 $$100 \times 1.05 = 105 \ \text{만원}$$ 이 된다. $2$ 년, $3$ 년으로 가면 다음과 같다. $$2 \text{년} \ : \ 100 \times 1.05^2 = 110.25 \qquad 3 \text{년} \ : \ 100 \times 1.05^3 = 115.7625$$ $2$ 년 뒤 금액은 $110$ 만원이 아니라 $110.25$ 만원이다. 차액 $2500$ 원은 이자에 다시 붙은 이자이며, 이것이 복리이다. $1.05$ 를 $n$ 번 곱하는 것이므로 $$A(n) = 100 \times 1.05^n$$ 이 성립하며, 이는 지수함수이다. $30$ 년이면 $1.05^{30} \approx 4.32$ 이므로 원금의 $4$ 배를 넘는다. 비율이 $5\%$ 로 작아도 $30$ 회 반복해 곱하면 앞의 종이접기와 같은 구조의 증가가 나타난다. ## 로그는 지수를 되묻는 함수다 로그는 "밑을 몇 번 곱해야 이 수가 되는가"를 되묻는 함수이며, 지수함수의 역함수이다. 같은 사실을 두 가지 방식으로 표기한다. $$2^6 = 64 \qquad \Longleftrightarrow \qquad \log_2 64 = 6$$ 두 식은 **같은 내용**을 서술한다. 왼쪽은 "$2$ 를 $6$ 번 곱하면 $64$ 이다", 오른쪽은 "$64$ 가 되려면 $2$ 를 $6$ 번 곱해야 한다"이며, 진술의 방향만 다르다. 앞 장에서 다룬 역함수의 구체적인 예가 이것이다. 읽는 방식을 고정한다. $\log_2 64$ 는 **"$2$ 를 몇 번 곱해야 $64$ 가 되는가"**로 읽는다. 이 방식으로 읽으면 식의 의미가 그대로 드러난다. "로그 이의 육십사"라는 기호적 읽기에는 의미가 남지 않는다. 같은 방식으로 읽으면 다음 값이 바로 나온다. $$\log_2 8 = 3 \qquad \log_3 81 = 4 \qquad \log_{10} 1000 = 3$$ 밑이 $10$ 인 로그는 사용 빈도가 높아 밑을 생략해 표기한다. 계산기의 `log` 버튼이 이에 해당한다. $\log 1000 = 3$ 이다. 로그는 지수함수의 역함수이므로, 그래프는 직선 $y=x$ 에 대해 대칭이다. ```{image} /_static/figs/ch22_exp_log.svg :alt: 지수함수와 로그함수는 y=x에 대칭 :width: 320px :align: center :class: chfig ``` 지수 그래프는 $(0,1)$ 을 지나고, 로그 그래프는 $(1,0)$ 을 지난다. 좌표의 순서가 서로 바뀌어 있다. 역함수는 점 $(a,b)$ 를 점 $(b,a)$ 로 대응시키기 때문이다. 그리고 지수함수의 값이 $0$ 이 되지 않는 것에 대응하여, 로그함수는 **$0$ 이하의 수를 입력으로 받지 않는다.** $2$ 를 몇 번 곱해도 $0$ 이하의 값은 나오지 않기 때문이다. ### 곱셈을 덧셈으로 바꾼다 로그가 도입된 이유는 다음 성질에 있다. $$\log(ab) = \log a + \log b$$ **로그는 곱셈을 덧셈으로 바꾼다.** $400$ 년 전 천문학자들은 이 성질을 이용해 곱셈 계산을 덧셈 계산으로 바꾸어, 몇 달이 걸리던 계산 시간을 줄였다. 덧셈이 곱셈보다 계산 부담이 작기 때문이다. 이 성질은 따로 외우는 규칙이 아니라 지수법칙에서 유도된다. 같은 밑의 거듭제곱끼리 곱하면 지수는 **더해진다.** $$2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$$ 로그는 지수를 되묻는 함수이므로, 곱에 대해 물으면 지수의 합이 답이 된다. 수치로 확인하면 다음과 같다. $$\log_2 8 + \log_2 16 = 3 + 4 = 7 = \log_2 128, \qquad 8 \times 16 = 128$$ 양변이 일치한다. 로그의 성질 세 가지를 정리하면 다음과 같다. $$\log(ab) = \log a + \log b$$ $$\log\frac{a}{b} = \log a - \log b$$ $$\log a^n = n \log a$$ 세 식 모두 지수법칙에서 유도된다. 곱은 덧셈으로, 나눗셈은 뺄셈으로, 거듭제곱은 곱셈으로 바뀌어 연산의 단계가 한 단계씩 내려간다. 첫 식만 확인하고 넘어가면 나머지 두 식이 서로 혼동되기 쉽다. 각각을 따로 확인한다. **나눗셈 식**은 첫 식과 같은 방식으로 수치 확인이 가능하다. $$\log_2 16 - \log_2 8 = 4 - 3 = 1 = \log_2 2, \qquad 16 \div 8 = 2$$ 뺄셈 $4-3=1$ 이 나눗셈 $16\div8=2$ 에 대응한다. 지수를 뺄 때 밑끼리는 나누어지기 때문이다($2^4 \div 2^3 = 2^{4-3}$). **거듭제곱 식**은 첫 식에서 곧바로 유도된다. 거듭제곱은 같은 수를 여러 번 곱한 것이므로, 곱셈 규칙을 반복해서 적용하면 된다. $$\log a^3 = \log(a \cdot a \cdot a) = \log a + \log a + \log a = 3\log a$$ 거듭제곱이 곱셈의 반복이므로, 로그를 거치면 덧셈의 반복 곧 곱셈이 된다. 수치로도 일치한다. $$\log_2 8^2 = \log_2 64 = 6, \qquad 2\log_2 8 = 2 \times 3 = 6$$ $n$ 이 로그 기호 밖으로 나와 **곱해진다**는 점에 유의한다. $n$ 을 지수 자리에 그대로 두면 식이 성립하지 않는다. ### 로그는 덧셈을 통과하지 못한다 여기서 빈번한 오류 하나를 확인한다. 계산기로 두 값을 직접 구해 비교한다. $$\log(2+3) \qquad \text{vs} \qquad \log 2 + \log 3$$ 왼쪽 값은 다음과 같다. $$\log 5 = 0.69897\ldots$$ 오른쪽 값은 다음과 같다. $$\log 2 + \log 3 = 0.30103 + 0.47712 = 0.77815\ldots$$ $0.699$ 와 $0.778$ 은 **다르다.** $0.778$ 이 무엇인지는 $\log 6$ 을 계산하면 확인된다. $$\log 6 = 0.77815\ldots$$ $\log 2 + \log 3$ 은 $\log 6$ 이며 $\log 5$ 가 아니다. 로그가 통과시키는 연산은 덧셈이 아니라 **곱셈**이다($2 \times 3 = 6$). 로그는 덧셈을 통과하지 못한다. 같은 형태의 오류는 앞에서도 나타났다. 세 식을 나란히 제시한다. $$\sqrt{a+b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$$ $$(a+b)^2 \ne a^2 + b^2$$ $$\log(a+b) \ne \log a + \log b$$ 세 경우 모두 동일한 오류이며, 바깥의 연산만 근호에서 제곱으로, 다시 로그로 바뀌었다. 즉 **바깥 연산이 덧셈을 그대로 통과한다는 오류**이다. 이 오류는 이후 다른 연산에서도 같은 형태로 나타난다. ## 삼각함수는 삼각형이 아니라 원의 함수다 삼각함수는 삼각형의 함수가 아니라 원의 함수이다. 각 $\theta$ 만큼 회전했을 때 단위원 위에 도착한 점의 좌표가 $(\cos\theta, \sin\theta)$ 이다. ### 직각삼각형의 삼각비 직각삼각형에서 삼각비는 다음과 같이 정의된다. $$\sin\theta = \frac{\text{높이}}{\text{빗변}} \qquad \cos\theta = \frac{\text{밑변}}{\text{빗변}} \qquad \tan\theta = \frac{\text{높이}}{\text{밑변}}$$ 세 변이 $3$–$4$–$5$ 인 직각삼각형에서 높이 $3$ 에 마주 보는 각을 $\theta$ 라 하면 $$\sin\theta = \frac{3}{5} \qquad \cos\theta = \frac{4}{5} \qquad \tan\theta = \frac{3}{4}$$ 이 성립한다. 이 정의는 틀린 정의가 아니다. 다만 적용 범위가 **좁다.** 그 한계를 다음 물음으로 확인한다. ### 정의의 한계 — $\sin 100^\circ$ $100^\circ$ 인 각을 갖는 **직각삼각형**은 존재하지 않는다. 직각이 이미 $90^\circ$ 를 차지하고, 삼각형 세 각의 합은 $180^\circ$ 이므로 나머지 두 각의 합은 $90^\circ$ 이다. 즉 **직각삼각형의 나머지 각은 $90^\circ$ 를 넘을 수 없다.** 따라서 위 정의로는 $\sin 100^\circ$ 를 정의할 방법이 없다. 그러나 계산기에서 (`DEG` 모드로) $\sin 100$ 을 계산하면 값이 나온다. $$\sin 100^\circ = 0.9848\ldots$$ 이 값은 실제로 존재한다. 앞의 정의로는 정의되지 않는 값이 계산기에서는 얻어진다. 문제는 계산기가 아니라 정의의 범위에 있다. **정의의 적용 범위가 좁았던 것이다.** 직각삼각형에 의한 정의는 $0^\circ$ 부터 $90^\circ$ 까지만 다룰 수 있으나, 각의 크기는 그 범위에 한정되지 않는다. ### 정의의 확장 — 단위원 반지름이 $1$ 인 원을 그린다. 이것을 단위원이라 한다. $x$ 축의 양의 방향에서 출발해 **반시계 방향**으로 각 $\theta$ 만큼 회전한다. 그때 도착한 점 $P$ 의 좌표를 다음과 같이 정의한다. ```{image} /_static/figs/ch22_unitcircle.svg :alt: 단위원 위의 점과 sin·cos :width: 300px :align: center :class: chfig ``` $$\text{단위원 위의 점 } P = (\cos\theta, \ \sin\theta)$$ $\cos$ 이 가로 좌표이고 $\sin$ 이 세로 좌표이다. 이 정의는 이전 정의를 폐기하는 것이 아니라 **확장하는** 것이다. 위 그림에서 원점 $O$, 점 $P$, 그리고 $P$ 아래 $x$ 축 위의 점, 이 셋은 직각삼각형을 이룬다. 빗변은 반지름이므로 길이가 $1$ 이다. 그러면 $$\sin\theta = \frac{\text{높이}}{\text{빗변}} = \frac{\text{높이}}{1} = \text{높이} = y \text{좌표}$$ 가 성립한다. 빗변이 $1$ 이므로 분모가 $1$ 이 되고, $\sin$ 은 세로 좌표와 같아진다. 이전 정의가 새 정의 **안에** 그대로 포함되어 있다. 정의를 대체한 것이 아니라 확장한 것이다. $\cos$ 도 같은 방식으로 $\dfrac{\text{밑변}}{1} = \text{밑변} = x$ 좌표가 된다. 확장되는 것은 $\sin$ 과 $\cos$ 만이 아니다. **$\tan$ 도 함께 정의된다.** 높이가 $y$, 밑변이 $x$ 이므로 이전 정의를 좌표로 옮겨 적으면 다음과 같다. $$\tan\theta = \frac{\text{높이}}{\text{밑변}} = \frac{y}{x} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$ $\tan$ 은 별도의 정의를 필요로 하지 않는다. **세로 좌표를 가로 좌표로 나눈 값**, 곧 $\sin$ 을 $\cos$ 으로 나눈 값이다. 따라서 $\tan 100^\circ$ 와 $\tan 200^\circ$ 도 정의된다. 해당 위치의 좌표를 나누면 된다. $$\tan 0^\circ = \frac{0}{1} = 0 \qquad \tan 45^\circ = \frac{\sqrt2/2}{\sqrt2/2} = 1$$ $100^\circ$ 도 같은 방식으로 계산된다. 그 위치의 좌표는 다음 절에서 읽으며, 값은 $(\cos 100^\circ, \sin 100^\circ) = (-0.1736, \ 0.9848)$ 이다. 두 좌표를 나누면 다음을 얻는다. $$\tan 100^\circ = \frac{0.9848}{-0.1736} = -5.67\ldots$$ 정의되지 않는 입력이 하나 있다. $\cos\theta = 0$ 이 되는 $90^\circ$ 와 $270^\circ$ 이다. 이 두 각에서는 분모가 $0$ 이므로 $\tan$ 이 정의되지 않는다. [제21장](ch21.md)에서 $\dfrac{1}{x-3}$ 에 $x=3$ 을 대입할 수 없다고 한 것과 같은 구조이다. 분모를 $0$ 으로 만드는 입력은 정의역에 포함되지 않는다. ### $100^\circ$ 의 값 읽기 $100^\circ$ 는 $x$ 축에서 반시계 방향으로 $100^\circ$ 회전한 위치, 곧 왼쪽 위의 제$2$사분면이다. 그 점의 세로 좌표는 $x$ 축 위쪽에 있으므로 **양수**이다. 따라서 $\sin 100^\circ = 0.98$ 이다. 가로 좌표는 $y$ 축 왼쪽으로 넘어갔으므로 **음수**이다. 따라서 $\cos 100^\circ = -0.17$ 이다. 직각삼각형으로는 나타낼 수 없던 $100^\circ$ 도 단위원에서는 **회전량이 조금 더 큰 위치**이다. $200^\circ$ 나 $500^\circ$ 도 회전을 계속하면 되고, 음수 각은 시계 방향 회전으로 정의한다. **절댓값을 정하는 방법.** 앞에서는 부호만 판정했다. $\sin 150^\circ$ 와 같은 값을 실제로 **구하려면** 절댓값도 필요하다. 절댓값은 새로 외우는 것이 아니라 이미 알고 있는 $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ 의 값에서 그대로 가져온다(그 값들은 아래 표에 있다). $150^\circ$ 의 경우를 끝까지 계산한다. $150^\circ$ 는 $180^\circ$ 보다 $30^\circ$ 작은 각이다. 단위원에서 $150^\circ$ 의 점은 $30^\circ$ 의 점을 세로축($y$ 축)에 대해 **대칭 이동**시킨 위치이다. 대칭 이동에서 세로 좌표는 변하지 않으므로 $30^\circ$ 와 같은 $\dfrac{1}{2}$ 이고, 가로 좌표는 왼쪽으로 넘어가 부호가 바뀌어 $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 가 된다. | | $30^\circ$ (1사분면) | $150^\circ$ (2사분면) | |---|---|---| | 가로 $= \cos$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | | 세로 $= \sin$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | 규칙은 다음 한 줄이다. **절댓값은 가까운 축까지의 각에서 그대로 가져오고, 부호는 사분면에서 판정한다.** 가까운 축까지의 각도 뺄셈 한 번으로 구한다. $120^\circ$ 는 $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$, $210^\circ$ 는 $210^\circ - 180^\circ = 30^\circ$, $300^\circ$ 는 $360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$ 이다. $$\sin 120^\circ = +\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \qquad (60^\circ \text{ 자리의 크기, 2사분면의 부호})$$ $$\sin 210^\circ = -\frac{1}{2}, \quad \cos 210^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \qquad (30^\circ \text{ 자리의 크기, 3사분면의 부호})$$ 계산기로 검산할 수 있다. $\sin 150^\circ = 0.5$ 이고 $\sin 30^\circ = 0.5$ 로 두 값이 같다. $\sin 120^\circ = 0.8660\ldots$ 이고 $\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 0.8660\ldots$ 로 두 값이 같다. 세로축에 대한 대칭 이동에서 세로 좌표는 보존된다. 주요 각의 값은 암기 대상이 아니라 단위원에서 읽는 값이다. | $\theta$ | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ | $180^\circ$ | $270^\circ$ | |---|---|---|---|---|---|---|---| | $\cos\theta$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ | $0$ | | $\sin\theta$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $90^\circ$ 는 맨 위의 점 $(0,1)$, $180^\circ$ 는 왼쪽 끝의 점 $(-1,0)$, $270^\circ$ 는 맨 아래의 점 $(0,-1)$ 이다. 값이 기억나지 않으면 단위원을 그려 읽는다. 부호도 사분면에서 읽는다. $(\cos, \sin)$ 의 순서로 쓰면 다음과 같다. $$\text{1사분면} (+,+) \quad \text{2사분면} (-,+) \quad \text{3사분면} (-,-) \quad \text{4사분면} (+,-)$$ ### $e$ 와 $\ln$ 계산기에는 `log` 옆에 `ln` 버튼이 있다. 이것은 밑이 $e$ 인 로그이다. $e$ 는 다음 값을 갖는 수이다. $$e = 2.71828\ldots$$ $\pi$ 와 마찬가지로 유한한 소수로 표현되지 않는 수이며, 복리 계산에서 나온다. 연 $100\%$ 의 이자를 무한히 잘게 나누어 적용하면 원금은 $2$ 배나 $3$ 배가 아니라 $2.718\ldots$ 배가 된다. $$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \ \to \ e \qquad (n \text{이 커질수록})$$ $$n=10 \ : \ 2.594 \qquad n=1000 \ : \ 2.717 \qquad n = 10000 \ : \ 2.718$$ $e$ 가 이 값을 갖는 이유와 이 수가 수학 전반에서 기준이 되는 이유는 미분에서 설명된다. $e$ 는 미분해도 자기 자신이 되는 유일한 함수의 밑이다. 이 장에서는 `ln` 이 밑 $e$ 인 로그라는 것과, 로그의 성질이 밑에 관계없이 성립한다는 것만 확인한다. $$\ln e = 1 \qquad \ln 1 = 0 \qquad \ln e^2 = 2$$ ## 빈번한 오류 :::{admonition} "$\log(a+b)$ 는 $\log a + \log b$ 로 쪼갤 수 있다" :class: warning $\log(ab) = \log a + \log b$ 는 참이다. 오류는 이 지점에서 발생한다. "로그는 쪼갤 수 있다"만 기억하고 **무엇을 쪼갤 수 있는지**를 놓치면, 곱셈에서만 성립하는 성질을 덧셈에 잘못 적용하게 된다. 로그가 통과시키는 연산은 곱셈이며 덧셈이 아니다. 이것은 $\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}$, $(a+b)^2\ne a^2+b^2$ 과 같은 유형의 오류, 곧 "바깥 연산이 덧셈을 그대로 통과한다"는 오류이다. *확인 문제*: 참인지 거짓인지 판정하라. (가) $\log(4 \times 25) = \log 4 + \log 25$ (나) $\log(4 + 25) = \log 4 + \log 25$ (답: (가) 참 — 양변 다 $\log 100 = 2$. (나) 거짓.) ::: :::{admonition} "삼각함수는 직각삼각형 안에서만 정의된다" :class: warning 직각삼각형에서 정의한 삼각비는 그 삼각형 안에서만 성립하는 정의이며, 틀린 정의가 아니라 **적용 범위가 좁은** 정의이다. 그 정의로 다룬 문제의 각이 모두 $90^\circ$ 이하였으므로 범위의 한계가 드러나지 않았을 뿐이다. 각을 "얼마나 회전했는가"로 보고 단위원 위 점의 좌표 $(\cos\theta, \sin\theta)$ 로 정의하면, $100^\circ$ 와 $200^\circ$ 도 회전량이 조금 더 큰 위치가 된다. *확인 문제*: $\sin 120^\circ$ 를 단위원으로 구하고, 왜 양수인지 한 문장으로 말하라. (답: $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ — 제$2$사분면이라 점이 $x$ 축 위쪽에 있어 $y$ 좌표가 양수다.) ::: :::{admonition} "$\log_2 8$ 을 나눗셈으로 푼다" :class: warning $\log_2 8$ 을 $8 \div 2 = 4$ 로 계산하면 틀린 값이 된다. 로그 기호에 수가 둘 있으므로 그 둘 사이에 연산을 적용해야 한다고 보고, 그중 나눗셈을 택하는 데서 생기는 오류이다. 로그는 두 수 사이의 연산이 아니라 **지수를 묻는 물음**이다. $\log_2 8$ 은 "$2$ 를 몇 번 곱해야 $8$ 이 되나"이고, $2, 4, 8$ 로 세 번이므로 답은 $3$ 이다. *확인 문제*: $\log_2 64$ 를 구하고, 그 식을 말로 읽어라. (답: $6$ — "$2$ 를 $6$ 번 곱하면 $64$ 가 된다.") ::: :::{admonition} "$\log$ 와 $\ln$ 은 다른 종류의 함수다" :class: warning $\ln$ 을 별개의 함수로 보는 것은 표기가 다르고 두 기호를 배우는 시점에 차이가 있기 때문이다. 그러나 둘은 **밑만 다른 같은 함수**이다. $\log x = \log_{10} x$, $\ln x = \log_e x$ 이다. 새로운 함수가 아니다. 로그의 성질은 밑에 관계없이 성립하므로 $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ 도 참이다. *확인 문제*: $\ln e$, $\ln 1$, $\ln e^3$ 을 구하라. (답: $1$, $0$, $3$ — "$e$ 를 몇 번 곱해야 그 수가 되나"로 읽으면 바로 나온다.) ::: ## 연습문제 계산기는 표시된 문항에서만 쓴다. 삼각함수 문항은 **매번 단위원을 그려 놓고** 푼다. 풀리지 않는 문항은 표시해 두고 다음 문항으로 넘어간다. `A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전. 1. `A` 계산하라. (1) $2^0$ (2) $2^3$ (3) $2^{-2}$ (4) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$ 2. `A` 계산하라. (1) $\log_2 8$ (2) $\log_3 81$ (3) $\log_{10} 1000$ (4) $\log_5 1$ 3. `A` $\log_2 32 = x$ 를 지수 꼴로 고쳐 쓰고 $x$ 를 구하라. 4. `A` 계산기로 $\log(2+3)$ 과 $\log 2 + \log 3$ 을 각각 구하고, 두 값이 같은지 다른지 쓰라. 다르다면 $\log 2 + \log 3$ 은 무엇과 같은가? 5. `A` 단위원을 보고 답하라. $\sin 90^\circ$, $\cos 90^\circ$, $\sin 180^\circ$, $\cos 180^\circ$, $\sin 270^\circ$ 6. `B` $\log_2 3 = a$, $\log_2 5 = b$ 일 때 다음을 $a$, $b$ 로 나타내라. (1) $\log_2 15$ (2) $\log_2 \dfrac{5}{3}$ (3) $\log_2 9$ 7. `B` $\log_{10} 2 = 0.3010$ 일 때 다음을 구하라. (1) $\log_{10} 4$ (2) $\log_{10} 5$ (3) $\log_{10} 50$ 8. `B` 원금 $100$ 만원을 연 이자 $5\%$ 의 복리로 $3$ 년 예치했다. $3$ 년 뒤 금액을 구하라. (원 단위까지) 9. `B` $\sin 150^\circ$ 와 $\cos 150^\circ$ 를 단위원으로 구하라. 10. `B` 다음 각이 몇 사분면에 있는지 쓰고, $\sin$ 과 $\cos$ 의 부호를 각각 판정하라. (1) $100^\circ$ (2) $200^\circ$ (3) $300^\circ$ 11. `B` 어떤 방사성 물질이 $10$ 년마다 양이 절반으로 준다. 처음 $80$ g이 있었다면 $40$ 년 뒤에는 몇 g인가? 그리고 $5$ g이 되는 것은 몇 년 뒤인가? 12. `C` $\sin 100^\circ$ 와 $\sin 80^\circ$ 를 계산기로 구해 비교하고, 왜 그런 결과가 나오는지 **단위원 그림으로** 설명하라. 13. `C` $\log_2 x + \log_2 (x-2) = 3$ 을 풀어라. (힌트: 왼쪽을 로그 하나로 합친다) 14. `C` "$\sin 100^\circ$ 는 왜 존재하는가"를 직각삼각형과 단위원을 비교해 세 문장으로 설명하라. :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. (1) $1$ (2) $8$ (3) $\dfrac{1}{4}$ (4) $\dfrac{1}{8}$ 2. (1) $3$ (2) $4$ (3) $3$ (4) $0$ — (4)는 "$5$ 를 $0$ 번 곱하면 $1$"이다. 3. $2^x = 32$, $x = 5$ 4. $\log 5 = 0.69897\ldots$ / $\log 2 + \log 3 = 0.77815\ldots$ / **다르다.** $\log 2 + \log 3 = \log 6$ 이다. 두 값이 같다고 보고 계산기로 확인하지 않는 것이 빈번한 오류이다. 직접 계산해 두 값을 비교하면 차이가 드러난다. 5. $1$, $0$, $0$, $-1$, $-1$ 6. (1) $a + b$ — $15 = 3 \times 5$ (2) $b - a$ (3) $2a$ — $9 = 3^2$ 7. (1) $0.6020$ — $\log 4 = 2\log 2$ (2) $0.6990$ — $\log 5 = \log\dfrac{10}{2} = 1 - \log 2$ (3) $1.6990$ — $\log 50 = \log 100 - \log 2 = 2 - 0.3010$. (2)에서는 $5$ 를 직접 다루지 않고 $\dfrac{10}{2}$ 로 바꾸어 계산한다. 알고 있는 값으로 되돌리는 것이 로그 계산의 기본 절차이다. 8. $100 \times 1.05^3 = 115.7625$ 만원 $= 1{,}157{,}625$ 원. 빈번한 오류는 $100 \times 1.05 \times 3 = 115$ 만원으로 계산하는 것이다. 복리는 $1.05$ 를 세 번 곱하는 것이며 이자를 $3$ 배 하는 것이 아니다. 9. $\sin 150^\circ = \dfrac{1}{2}$, $\cos 150^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ — $30^\circ$ 의 점을 세로축에 대해 대칭 이동시킨 위치이다. 세로 좌표는 같고 가로 좌표만 부호가 바뀐다. 10. (1) 2사분면, $\sin > 0$, $\cos < 0$ (2) 3사분면, 둘 다 음수 (3) 4사분면, $\sin < 0$, $\cos > 0$ 11. **$5$ g** — $40$ 년은 반감기 $4$ 번이므로 $80 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = 5$. $5$ g이 되는 것도 **$40$ 년 뒤**로 같은 답이다. 두 물음은 같은 시점을 가리킨다. 12. 둘 다 $0.98481\ldots$ **같다.** 단위원에서 $100^\circ$ 와 $80^\circ$ 는 세로축($y$ 축)을 기준으로 대칭인 자리다. 두 점의 높이($y$ 좌표)가 같으므로 $\sin$ 값이 같다. 가로 좌표는 부호가 반대이므로 $\cos$ 값은 부호만 다르다($\pm 0.1736$). 13. $x = 4$ — 왼쪽을 합치면 $\log_2 x(x-2) = 3$, 즉 $x(x-2) = 8$, $x^2 - 2x - 8 = 0$, $(x-4)(x+2)=0$. 빈번한 오류는 $x = -2$ 도 답으로 쓰는 것이다. 로그 안에는 음수를 넣을 수 없어 $x > 2$ 여야 하므로 $x=-2$ 는 버린다. 검산: $\log_2 4 + \log_2 2 = 2 + 1 = 3$. 14. 예시 답안: "직각삼각형은 직각이 이미 $90^\circ$ 를 쓰므로 나머지 각이 $90^\circ$ 를 넘을 수 없다. 그래서 삼각형으로는 $100^\circ$ 의 $\sin$ 을 정의할 수 없다. 단위원에서는 각을 '얼마나 돌았나'로 보므로 $100^\circ$ 도 조금 더 돈 자리이고, 그 점의 $y$ 좌표가 $\sin 100^\circ$ 다." — 핵심은 각의 크기 제한이 왜 생기는지와 단위원에서는 왜 생기지 않는지를 둘 다 말하는 것이다. ::: ### 추가 연습문제 혼자 푸는 문항이다. 삼각함수 문항은 여기서도 매번 단위원을 그려 놓고 푼다. **지수함수** 1. 계산하라. (1) $3^0$ (2) $3^2$ (3) $3^{-1}$ (4) $3^{-2}$ 2. $y = 2^x$ 의 표를 채워라. $x = -2, -1, 0, 1, 2, 3$ 3. $y = 2^x$ 와 $y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ 중 증가하는 것은 어느 쪽인가? 이유도 한 줄로 쓰라. 4. $2^x = 64$ 를 만족하는 $x$ 를 구하라. 5. 두께 $0.1$ mm인 종이를 $30$ 번 접으면 두께가 얼마인가? 계산기로 구하고 **km 단위**로 답하라. **로그** 6. 계산하라. (1) $\log_2 16$ (2) $\log_3 27$ (3) $\log_5 125$ (4) $\log_7 1$ (5) $\log_4 4$ 7. $\log_2 \dfrac{1}{8}$ 을 구하라. 8. $\log_{10} 100 + \log_{10} 10$ 을 구하라. 9. $\log_3 5 + \log_3 7$ 을 로그 하나로 합쳐라. 10. $\log_2 24 - \log_2 3$ 을 계산하라. 11. $\log_2 5 = 2.32$ 라 할 때 $\log_2 125$ 를 구하라. (힌트: $125 = 5^3$) **단위원** 12. 직각삼각형의 세 변이 $3, 4, 5$ 이고 $\theta$ 가 길이 $3$ 인 변에 마주 보는 각일 때, $\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ 를 구하라. 13. 단위원을 그려서 답하라. $\sin 0^\circ$, $\cos 0^\circ$, $\sin 90^\circ$, $\cos 90^\circ$ 14. $\sin 30^\circ$, $\cos 30^\circ$, $\sin 45^\circ$, $\cos 60^\circ$ 를 구하라. 15. $\sin 120^\circ$, $\cos 120^\circ$ 를 단위원으로 구하라. 16. $\sin 210^\circ$, $\cos 210^\circ$ 를 단위원으로 구하라. 17. 계산하지 말고 판정만 하라. $\cos 100^\circ$ 는 양수인가 음수인가? 이유를 한 문장으로 쓰라. **선형성과 $e$** 18. 계산기로 $\log(2+3)$ 과 $\log 2 + \log 3$ 을 각각 소수 다섯 자리까지 구해 적어라. 그리고 $\log 2 + \log 3$ 이 무엇과 같은지 쓰라. 19. $e \approx 2.718$ 이다. $\ln e$, $\ln 1$, $\ln e^2$ 를 구하라. 20. 두 가지를 각각 한 문장으로 쓰라. (1) "로그는 무엇을 되묻는 함수인가" (2) "$\sin 100^\circ$ 가 왜 존재하는가" :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. (1) $1$ (2) $9$ (3) $\dfrac{1}{3}$ (4) $\dfrac{1}{9}$ 2. $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{2}$, $1$, $2$, $4$, $8$ 3. $y = 2^x$ — 밑이 $1$ 보다 크므로 곱할수록 커진다. $\dfrac{1}{2}$ 은 곱할수록 작아진다. 4. $x = 6$ 5. $0.1 \times 2^{30} = 0.1 \times 1{,}073{,}741{,}824 = 107{,}374{,}182.4$ mm $\approx$ **$107$ km**. $30$ 번 접는 것은 "$30$ 배"가 아니라 "$2$ 를 $30$ 번 곱하기"이다. 곱셈의 누적은 덧셈의 누적과 증가 양상이 전혀 다르다. 6. (1) $4$ (2) $3$ (3) $3$ (4) $0$ (5) $1$ 7. $-3$ — $2^{-3} = \dfrac{1}{8}$ 8. $3$ — $2 + 1$ 9. $\log_3 35$ 10. $3$ — $\log_2 8$ 11. $6.96$ — $\log_2 125 = \log_2 5^3 = 3\log_2 5 = 3 \times 2.32$ 12. $\sin\theta = \dfrac{3}{5}$, $\cos\theta = \dfrac{4}{5}$, $\tan\theta = \dfrac{3}{4}$ 13. $0$, $1$, $1$, $0$ — $0^\circ$ 는 점 $(1,0)$, $90^\circ$ 는 점 $(0,1)$ 14. $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\dfrac{1}{2}$ 15. $\sin 120^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}$ — 2사분면 16. $\sin 210^\circ = -\dfrac{1}{2}$, $\cos 210^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ — 3사분면이라 둘 다 음수 17. **음수** — $100^\circ$ 는 2사분면이고, 그 점은 $y$ 축 왼쪽에 있으므로 $x$ 좌표가 음수다. 18. $\log 5 = 0.69897$ / $\log 2 + \log 3 = 0.77815$ / $\log 2 + \log 3 = \log 6$ 이다. 로그가 통과시키는 연산은 곱셈이며 덧셈이 아니다. 이 오류는 앞에서 다룬 근호($\sqrt{a+b}$)와 제곱($(a+b)^2$)에서의 오류와 같은 유형이다. 19. $1$, $0$, $2$ 20. 예시 답안: (1) "로그는 '밑을 몇 번 곱해야 이 수가 되는가'를 되묻는 함수다. 지수함수의 역함수다." (2) "삼각함수를 직각삼각형이 아니라 단위원 위의 좌표로 정의하면, $100^\circ$ 는 반시계로 조금 더 돈 자리이고 그 점의 $y$ 좌표가 $\sin 100^\circ$ 다." ::: ## 요약과 다음 장 이 장의 핵심은 세 가지다. 지수함수는 **한 걸음에 같은 배를 곱하는** 함수이고, 로그는 그것을 되묻는 역함수로서 **곱셈을 덧셈으로 바꾼다**. 그리고 삼각함수는 삼각형의 함수가 아니라 **단위원 위 점의 좌표** $(\cos\theta, \sin\theta)$ 이다. 이 정의 하나가 $\sin 100^\circ$ 같은 값이 왜 존재하는지를 설명한다. 로그가 덧셈을 통과하지 못한다는 것($\log(a+b)\ne\log a+\log b$)도 함께 확인했다. 이 장에서 각은 모두 도 단위로 측정했다. 한 바퀴를 $360$ 도로 정한 근거를 확인한다. $$360$$ $100$ 도나 $1000$ 도가 아니라 $360$ 도인 데에 수학적인 근거는 없다. 오래전에 그렇게 정해진 값이 관습으로 이어져 온 것이며, 사람이 정한 임의의 수이다. 그러나 미적분에서는 이 단위가 적합하지 않으므로 **다른 단위**가 필요하다. [제23장](ch23.md)에서 그 단위인 라디안을 다룬다.